Numeros racionales

.Presentado a : Mgs Olga Rincon

Teoría de Números

INTEGRANTES

Lisbeth RodriguezVictoria Garcia Yenny RuizMaria Paz RodriguezAlejandro BermeoOrlando Hernandez

BABILONICOSUTILIZABAN LAS FRACCIONES DENOMINADOR UNA

POTENCIA DE 60

EGIPCIOS FRACCIONES CON NUMERADOR IGUAL A 1

SIGLO XV EL ÁRABE AL KASHI NUMEROS DECIMALES

SIGLO XVI SIMON STEVINFRACCIONES DECIMALES

SIGLO XVII

LOS NUMEROS DECIMALES SEPARADOS POR UN PUNTO O UNA COMA

SIGLO XVIII SISTEMA METRICO DECIMALES

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

El conjunto de los números racionales se designa por la letra Q, y corresponde a la definición: un número entero dividido por otro distinto de cero.

≠∈= 0q,Zq,p/q

pQ

PROPIEDADES

Es infinito.

No tiene primer ni último elemento.

Entre dos números racionales siempre existe otro número racional, es decir, es Denso.

Está ordenado por la relación “menor o igual”

FORMAS DE EXPRESAR UN RACIONAL

Existen tres formas de expresar un número racional:

( )decimalracionaldeformab:ab

a =

( )porcentualracionalrbrb

ra100=⋅⋅

⋅⋅

( )iofraccionarracionaldeformaq/q

p0≠

FORMAS DE UN RACIONAL DECIMAL

Existen tres formas de expresar un racional decimal:

( )cerorestocb:a/b

a =

...,:Ejemplo 666603

2 =

Racional finito o exacto

Racional infinito periódico

Racional infinito semiperiódico

404

2,:Ejemplo =

...,:Ejemplo 833306

5 =

PROPIEDADES DE LA IGUALDAD Y DESIGUALDAD DE FRACCIONES

cbdaentoncesd

c

b

aSi ⋅=⋅=

cbdaentoncesd

c

b

aSi ⋅>⋅>

CON EL MISMO DENOMINADOR

Se suman los numeradores y se mantiene el denominador.

CON DIFERENTE DENOMINADOR

En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

Propiedades de la suma de números racionales

1. Interna:

a + b

2. Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c) ·

3. Conmutativa:

a + b = b + a

4. Elemento neutro:

a + 0 = a

5. Elemento opuesto

a + (−a) = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

Con el mismo denominador

Se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Con distinto denominador

1. Se reducen los denominadores a común denominador:

1º Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.

2º Este denominador común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.

2. Se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

m.c.m.(4, 6) = 12

1. PROPIEDAD INTERNA

El producto de dos números racionales es otro número racional que tiene:

1 Obtenemos el numerador por el producto de los numeradores.

2 Obtenemos el denominador por el producto de los denominadores.Ejemplo:

El resultado de multiplicar dos números racionales es otro número racional.

2. PROPIEDAD ASOCIATIVA

El modo de agrupar los factores no varía el resultado.

(a · b) · c = a · (b · c)

Ejemplo:

3. PROPIEDAD CONMUTATIVA

El orden de los factores no varía el producto.

a · b = b · a

Ejemplo:

4. ELEMENTO INVERSO

Un número es inverso de otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

Ejemplo:

5. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

Ejemplo:

6. SACAR FACTOR COMÚN

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c)

Ejemplo:

7. ELEMENTO NEUTRO

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

a · 1 = a

Ejemplo:

El cociente de dos números fraccionarios es igual al producto entre el dividendo y el inverso del divisor.

Elemento neutro = 1 porque 1/2 / 1 = 1/2

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS

1 LA POTENCIA DE 0 ES IGUAL A 1

a0 = 1

2 LA POTENCIA DE 1 ES IGUAL A ESE MISMO NÚMERO

a1 = a

3 PRODUCTO DE POTENCIAS CON LA MISMA BASE

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

am · an = am + n

Ejemplo:

(−2)5 · (−2)2 = (−2)5 + 2 = (−2)7 = −128

4 DIVISIÓN DE POTENCIAS CON LA MISMA BASE

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

am : an = am − n Ejemplo: (−2)5 : (−2)2 = (−2)5 − 2 = (−2)3 = −8

5 POTENCIA DE UNA POTENCIA

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

(am)n = am · n Ejemplo: [(−2)3]2 = (−2)6 = 64

6 PRODUCTO DE POTENCIAS CON EL MISMO EXPONENTE

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

an · bn = (a · b)n Ejemplo: (−2)3 · (3)3 = (−6)3 = −216

7 COCIENTE DE POTENCIAS CON EL MISMO EXPONENTE

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

an : bn = (a : b)n Ejemplo: (−6)3 : 33 = (−2)3 = −8

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS DE NÚMEROS NATURALES

1 UN NÚMERO ELEVADO A 0 ES IGUAL A 1

Ejemplo: 50 = 1

2 UN NÚMERO ELEVADO A 1 ES IGUAL A SÍ MISMO

Ejemplo: 51 = 5

3 PRODUCTO DE POTENCIAS CON LA MISMA BASE

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

Ejemplo: 25 · 22 = 25+2 = 27

4 DIVISIÓN DE POTENCIAS CON LA MISMA BASE


Ejemplo: 25 : 22 = 25 − 2 = 23

5 POTENCIA DE UNA POTENCIA


Ejemplo: (25)3 = 215

6 PRODUCTO DE POTENCIAS CON EL MISMO EXPONENTE


Ejemplo: 23 · 43 = (2 · 4)3=83

7 COCIENTE DE POTENCIAS CON EL MISMO EXPONENTE


Ejemplo: 63 : 33 = (6:3)3 = 23

PROPIEDAD EJEMPLO

1. Potencia de 0

Un número racional elevado a 0 es igual a la unidad

2. Potencia de 1

Un número racional elevado a 1 es igual a sí mismo.

3. Producto de potencias

3.1 Potencias con la misma baseEs otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los

exponentes.

3.2 Potencias con el mismo exponente


4. Cociente de potencias

4.1 Potencias con la misma base


4.2 Potencias con el mismo exponente


5. Potencia de una potencia


Ejemplo:

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