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2 Simplificación de funciones Simplificación de funciones 2. 2. Simplificación de funciones Simplificación de funciones booleanas: Método de booleanas: Método de Karnaugh Karnaugh Método de Karnaugh Fundamentos de los Computadores Grado en Ingeniería Informática
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22 Simplificación de funcionesSimplificación de funciones2. 2. Simplificación de funcionesSimplificación de funcionesbooleanas: Método de booleanas: Método de KarnaughKarnaughboo ea as étodo deboo ea as étodo de a auga aug
Método de Karnaugh
Fundamentos de los ComputadoresGrado en Ingeniería Informáticag
IntroducciónIntroducción
La efectividad de la simplificación booleana no debe depender de nuestra habilidad usando leyes y reglasdepender de nuestra habilidad usando leyes y reglas
Es necesaria la utilización de una metodología i t áti i lifi l f i b lsistemática para simplificar las funciones booleanas
L bj ti d t t Los objetivos de este tema son: Describir el método de Karnaugh para la simplificación de
f i ló i f d d d t dfunciones lógicas en forma de suma de productos y de producto de sumas
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 2
Estructura del temaEstructura del tema
Introducción
Método de simplificación de Karnaugh Simplificación de una suma de productosp p Simplificación de un producto de sumas
bibli fí Resumen y bibliografía
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 3
Método de KarnaughMétodo de Karnaugh
El método de Karnaugh proporciona una forma sistemática para simplificar funciones booleanassistemática para simplificar funciones booleanas
La clave para realizar este proceso consiste en representar la función que se desea simplificar usando l d hlo que se conoce como mapa de Karnaugh
Si se aplica adecuadamente, este método genera las expresiones más simples posibles, tanto en forma de p p p ,suma de productos como de producto de sumas
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 4
Mapas de KarnaughMapas de Karnaugh
Un mapa de Karnaugh es similar a una tabla de verdad, ya que muestra todos los posibles valores de la salidaya que muestra todos los posibles valores de la salida para cada combinación posible de las entradas
En lugar de organizarse en filas y columnas, un mapa d h j d ld l dde Karnaugh es un conjunto de celdas en el que cada celda representa un valor binario de las entradas
Las celdas se distribuyen de manera que simplificar y q puna determinada expresión consiste en agrupar adecuadamente algunas de las de celdas
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 5
g
Mapas de KarnaughMapas de Karnaugh
El número de celdas de un mapa de Karnaugh es igual al número total de posibles combinaciones de losal número total de posibles combinaciones de los valores de las variables de entrada
P j l d K h d 3 i bl Por ejemplo, un mapa de Karnaugh de 3 variables tendría un total de 23 = 8 celdas y uno de 4 variables tendría 24 16 celdastendría 24 = 16 celdas
ABC
0 1 ABCD
00 01 11 10AB 0 100
01
AB00
01
00 01 11 10
01
11
10
01
11
10
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 6
10 10
Adyacencia de celdasAdyacencia de celdas
Las celdas de un mapa de Karnaugh se disponen de manera que entre dos celdas adyacentes sólo cambiemanera que entre dos celdas adyacentes sólo cambie el valor de una única variable (sólo cambia 1 bit)
Físicamente, cada celda es adyacente a las que están i d i di j l i dsituadas inmediatamente junto a cualquiera de sus
cuatro lados
Una celda no es adyacente a aquellas que tocan y q qdiagonalmente alguna de sus esquinas
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 7
Adyacencia de celdasAdyacencia de celdas
Además existe adyacencia cíclica Las celdas de la fila inferior son adyacentes a la superior Las celdas de la fila inferior son adyacentes a la superior Las celdas de la columna izquierda son adyacentes a la derecha
P d l d K h d bl Podemos pensar que el mapa de Karnaugh se dobla como si fuera un cilindro, de manera que se toquen l t i f i i i i d d hlos extremos inferior-superior o izquierda-derecha
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 8
Estructura del temaEstructura del tema
Introducción
Método de simplificación de Karnaugh Simplificación de una suma de productosp p Simplificación de un producto de sumas
bibli fí Resumen y bibliografía
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 9
Minimización de la suma de productosMinimización de la suma de productos
Una expresión suma de productos minimizada por el método de Karnaugh estará formada por el mínimométodo de Karnaugh estará formada por el mínimo número de términos producto posible
Además, cada término producto de una expresión i i i d l iminimizada estará compuesto por el mínimo número
posible de variables
Esta simplificación dará lugar a una expresión que, en p g p q ,general, podrá ser implementada usando menos puertas lógicas de las que necesitaría su forma canónica
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 10
g q
Generación del mapa de la suma de productosGeneración del mapa de la suma de productos
Lo más conveniente para generar el mapa de Karnaugh de una expresión suma de productos es que la expresiónde una expresión suma de productos es que la expresión esté en forma canónica
El primer paso de este proceso es colocar un 1 en la celda correspondiente a cada combinación de valores de plas variables que hagan valer 1 a algún término producto
Cuando se haya terminado, el mapa tendrá tantas celdas con un 1 como términos producto haya en la expresión
Las celdas vacías son aquellas para las que la expresión vale 0 aunque no es necesario escribirlos
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 11
vale 0, aunque no es necesario escribirlos
Generación del mapa de la suma de productosGeneración del mapa de la suma de productos
Ejemplo: ABC + ABC + ABC + ABC001 110 100000
ABC 0 1
001 110 100000
AB00 1 1
01
11 1
10 1
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 12
Generación del mapa de la suma de productosGeneración del mapa de la suma de productos
Ejemplo: ABC + ABC + ABC + ABC010 110 111001
ABC 0 1
010 110 111001
AB00 1
01 1
11 1 1
10
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 13
Generación del mapa de la suma de productosGeneración del mapa de la suma de productos
Ejemplo: ABCD + ABCD + ABCD + ABCD0011 0100 11110001
ABCD
0011 0100 1111000110110100AB
00 1 1
01 1
11 1
10
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 14
Simplificación de la suma de productosSimplificación de la suma de productos
La minimización de una suma de productos comienza agrupando los 1 que estén situados en celdas adyacentesagrupando los 1 que estén situados en celdas adyacentes del mapa Un grupo debe contener el mayor número posible de celdas Un grupo debe contener el mayor número posible de celdas
▫ Toda celda del grupo debe ser adyacente a otra celda del grupo▫ El número de celdas de cada grupo debe ser potencia de dosg p p
Cada 1 del mapa debe estar incluido en al menos un grupo, aunque un 1 puede estar incluido en varios grupos solapados
Puede haber varias agrupaciones válidas posibles, pero i t i d t l bj ti fi l d tsiempre teniendo en cuenta que el objetivo final de este
proceso es maximizar el tamaño de los grupos al mismo ti t t d i i i l ú d
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 15
tiempo que se trata de minimizar el número de grupos
Simplificación de la suma de productosSimplificación de la suma de productos
Ejemplos:
ABC 0 1 AB
C 0 1AB00 1
AB00 1 1
01 1 01 1
11 1 1 11 1
10 10 1 1
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 16
Simplificación de la suma de productosSimplificación de la suma de productos
Cada grupo de celdas da lugar a un término producto compuesto por todas las variables que aparecen en elcompuesto por todas las variables que aparecen en el grupo con un único valor
Las variables que aparecen con dos valores distintos en iun grupo no se tienen en cuenta
La expresión mínima en forma de suma de productos se obtiene sumando todos los términos producto obtenidos pa partir de los grupos del mapa
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 17
Simplificación de la suma de productosSimplificación de la suma de productos
Ejemplo:
ABC 0 1AB
00 1 ABC
01 1 AB + BC + ABCBC
11 1 1 AB
10
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 18
Simplificación de la suma de productosSimplificación de la suma de productos
Ejemplo:
ABC 0 1AB
00 1 1 B
01 1 AC B + AC + AC
11 1 AC
10 1 1
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 19
Simplificación de la suma de productosSimplificación de la suma de productos
Ejemplo:
ABCD
10110100 ABC + BC + DAB
00 1 1 D
01 1 11BC
11 1 11BC
10 1 11 ABC
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 20
Obtención a partir de la tabla de verdadObtención a partir de la tabla de verdad
Los 1 de una tabla de verdad se pueden trasladar directamente a un mapa de Karnaughdirectamente a un mapa de Karnaugh
Por ejemplo: F(A,B,C) = ∑(0,4,6,7)A B C C
0 0 00 0 1 0
A B C
1 ABCAB
C 0 100 1
0)
1) 0 0 10 1 00 1 1
000
00
01
11)
2)
3) 0 1 11 0 01 0 1
0
01 ABC
01
11 1 1
3)
4)
5) 1 0 11 1 01 1 1
011 ABC
ABC
11
10 1
1 15)
6)
7)
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 21
1 1 1 1 ABC 10 17)
Obtención a partir de la tabla de verdadObtención a partir de la tabla de verdad
El mapa generado nos permite obtener la forma minimizada de la funciónminimizada de la función
ABC 0 1
00 1 BC
01Forma minimizada:
AB + BC
11 1 1 AB
10 1Forma canónica:
ABC + ABC + ABC + ABC
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 22
Estructura del temaEstructura del tema
Introducción
Método de simplificación de Karnaugh Simplificación de una suma de productosp p Simplificación de un producto de sumas
i i l ifi d Funciones incompletamente especificadas
Circuitos con salida múltiple Circuitos con salida múltiple
Resumen y bibliografía Resumen y bibliografía
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 23
Minimización del producto de sumasMinimización del producto de sumas
Una expresión producto de sumas minimizada por el método de Karnaugh estará formada por el mínimométodo de Karnaugh estará formada por el mínimo número de términos suma posible
Además, cada término suma de una expresión i i i d l iminimizada estará compuesto por el mínimo
número posible de variables
Esta simplificación dará lugar a una expresión que, en p g p q ,general, podrá ser implementada usando menos puertas lógicas de las que necesitaría su forma canónica
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 24
g q
Generación del mapa del producto de sumasGeneración del mapa del producto de sumas
Lo más conveniente para generar el mapa de Karnaugh de una expresión producto de sumas es que la expresiónde una expresión producto de sumas es que la expresión esté en forma canónica
El primer paso de este proceso es colocar un 0 en la celda correspondiente a cada combinación de valores de plas variables que hagan valer 0 a algún término suma
Cuando se haya terminado, el mapa tendrá tantas celdas con un 0 como términos suma haya en la expresión
Las celdas vacías son aquellas para las que la expresión vale 1 aunque no es necesario escribirlos
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 25
vale 1, aunque no es necesario escribirlos
Generación del mapa del producto de sumasGeneración del mapa del producto de sumas
Ejemplo: (A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)010 110 101000
ABC 0 1
010 110 101000
AB00 0
01 0
11 0
10 0
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Generación del mapa del producto de sumasGeneración del mapa del producto de sumas
Ejemplo: (A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)0101 11110011
ABCD
0101 1111001110110100AB
00 0
01 0
11 0
10
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 27
Simplificación del producto de sumasSimplificación del producto de sumas
La minimización de un producto de sumas comienza agrupando los 0 que estén situados en celdas adyacentesagrupando los 0 que estén situados en celdas adyacentes del mapa Un grupo debe contener el mayor número posible de celdas Un grupo debe contener el mayor número posible de celdas
▫ Toda celda del grupo debe ser adyacente a otra celda del grupo▫ El número de celdas de cada grupo debe ser potencia de dosg p p
Cada 0 del mapa debe estar incluido en al menos un grupo, aunque un 0 puede estar incluido en varios grupos solapados
Puede haber varias agrupaciones válidas posibles, pero i t i d t l bj ti fi l d tsiempre teniendo en cuenta que el objetivo final de este
proceso es maximizar el tamaño de los grupos al mismo ti t t d i i i l ú d
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 28
tiempo que se trata de minimizar el número de grupos
Simplificación del producto de sumasSimplificación del producto de sumas
Ejemplos:
ABC 0 1AB
C 0 1 AB00 0 0
AB00 0 0
01 001 0
1111 0
10 010 0
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 29
Simplificación del producto de sumasSimplificación del producto de sumas
Cada grupo de celdas da lugar a un término suma compuesto por todas las variables que aparecen encompuesto por todas las variables que aparecen en el grupo con un único valor
Las variables que aparecen con dos valores distintos ien un grupo no se tienen en cuenta
La expresión mínima en forma de producto de sumas se obtiene multiplicando todos los términos suma pobtenidos a partir de los grupos del mapa
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 30
Simplificación del producto de sumasSimplificación del producto de sumas
Ejemplo:
ABC 0 1AB
00 0 0 A+B
(A+B)(A+C)(A+C)01 0 A+C
11 0 A+C
10 0
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 31
Simplificación del producto de sumasSimplificación del producto de sumas
Ejemplo:
ABC 0 1AB
00 0 0
01 0A+C
11 (A+C)(B+C)
A C
10 0(A C)(B C)
B+C
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 32
B C
Simplificación del producto de sumasSimplificación del producto de sumas
Ejemplo:
ABCD
10110100AB00 0 C0
01 0 00 C(B+D)
11 0 00 B+D
( )
10 0 0
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 33
Obtención a partir de la tabla de verdadObtención a partir de la tabla de verdad
Los 0 de una tabla de verdad se pueden trasladar directamente a un mapa de Karnaughdirectamente a un mapa de Karnaugh
Por ejemplo: F(A,B,C) = ∏(1,2,3,5)A B C C
0 0 00 0 1
1A B C
0 C
ABC 0 1
00 00)
1) 0 0 10 1 00 1 1
000
A+B+C
A B C
00
01
0
0
1)
2)
3) 0 A+B+C
0 1 11 0 01 0 1
10
0
A+B+C 01
11
03)
4)
5)
0
1 0 11 1 01 1 1
11
0 A+B+C11
10 0
5)
6)
7)
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 34
1 1 1 1 10 07)
Obtención a partir de la tabla de verdadObtención a partir de la tabla de verdad
El mapa generado nos permite obtener la forma minimizada de la funciónminimizada de la función
ABC 0 1
00 0 B+C Forma minimizada:
01 0 0 A+B(A+B)(B+C)
11
10 0Forma canónica:
(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)
Simplificación de funciones lógicas con el método de Karnaugh 35
Conversión entre formas estándarConversión entre formas estándar
La conversión entre suma de productos y producto de sumas es sencilla utilizando un mapa de Karnaugh yasumas es sencilla utilizando un mapa de Karnaugh, ya que donde no hay un 1 hay un 0 y viceversa
ABC 0 1A B C AB
0001
10 0 00 0 1
10
A B C
0)
1) 1110 1
1 1F(A,B,C) = ∑(0,4,6,7)0 0 10 1 00 1 1
000
1)
2)
3)
F(A B C) = ∏(1 2 3 5)AB
C 0 100 0
0 1 11 0 01 0 1
010
3)
4)
5)0F(A,B,C) = ∏(1,2,3,5) 01
1110 0
01 0 11 1 01 1 1
011
5)
6)
7)
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10 01 1 1 17)
Estructura del temaEstructura del tema
Introducción
Método de simplificación de Karnaugh Simplificación de una suma de productosp p Simplificación de un producto de sumas
bibli fí Resumen y bibliografía
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ResumenResumen
La expresión minimizada de un circuito será aquella que requiera un menor número de puertas y por tantoque requiera un menor número de puertas y, por tanto, requerirá un menor coste de implementación, sufrirá un retardo menor y consumirá menos energíaretardo menor y consumirá menos energía
El método de Karnaugh permite obtener, de forma sistemática, la función lógica mínima que representa un circuito digital
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BibliografíaBibliografíaPrincipios de Diseño Digital
Capítulo 4Daniel D. GajskiPrentice Hall, 1997
Fundamentos de Sistemas Digitales (7ª edición)Capítulo 4pThomas L. FloydPrentice Hall, 2000
Sistemas Electrónicos DigitalesCapítulo 3E i M d dEnrique MandadoMarcombo, 1991
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