TEMA 8: TEOREMA DE PITÁGORAS . SEMEJANZA

8.1 Teorema de PitágorasTareas 13-04-2015 2A: todas las actividades de la página 172.Tareas 13-04-2015 2B: todas las actividades de la página 172.

EjemploAplica el Teorema de Pitágoras en las siguientes situaciones:1.

a2 � 122 � 212 � 585 � a � � 585 � � 3 65 � � 24. 187La hipotenusa vale 24.187 cm

2.

c2 � 462 � 352 � 891 � c � � 891 � � 29. 850El cateto mide 29.85 cm

1

Tareas 13-04-2015 2A: todas las actividades de la página 173.Tareas 13-04-2015 2B: todas las actividades de la página 173.

8.2 Aplicaciones del Teorema de PitágorasTareas 14-04-2015 2A: todas las actividades de la página 175.Tareas 15-04-2015 2B: todas las actividades de la página 175.

8.3 Figuras semejantesEjemplo1. Queremos ampliar esta lámina al tamaño que se indica.

a. Calcula.� La razón de semejanza

12.88

� 1. 6

� La anchura, x, de la lámina ampliada:x � 6 � 1.6 � 9. 6cm

� La longitud del listón de la lámina ampliada:7 � 1.6 � 11. 2cm

2. Queremos hacer una fotocopia reducida de esta lámina, para que tenga el tamaño que seindica.

a. Calcula el porcentaje que habría que introducir en la fotocopiadora para hacer lareducción.7.812

� P100

� P � 7.8 � 10012

� 65%

b. ¿Cuál sería la razón de semejanza entre las dos figuras?

2

razón de semejanza�

127.88

5.2

�1. 5385

1. 5385

O también:

razón de semejanza�

7.8125.28

�0.65

0.65

Tareas 15-04-2015 2A: todas las actividades de la página 177 y 178.Tareas 20-04-2015 2B: todas las actividades de la página 177 y 178.

8.4 Planos , mapas , maquetasTareas 20-04-2015 2A: encontrar tres mapas, uno con cada escala (numérica, gráfica, unidad)Tareas 22-04-2015 2B: encontrar tres mapas, uno con cada escala (numérica, gráfica, unidad)

Ejemplo1. Sabiendo que hay 27 km en línea recta entre Altavista y Puerto Nuevo, calcula las distancias:

a. Altavista-Puerto Oesteb. Puerto Nuevo-Punta Oeste

Antes de nada mide con la regla:

Altavista-P. Nuevo 13.5 cm

Altavista-P. Oeste 8.8 cm

P. Nuevo-P. Oeste 10 cm

Ahora completa y calcula:

Distancia en el mapa (cm) Distancia real (km)

Altavista-P. Nuevo 13.5 cm 27

Altavista-P. Oeste 8.8 cm x

P. Nuevo-P. Oeste 10 cm y

a. x � 8.8 � 270000013.5

� 1. 76� 106 cm � 17.6km

b. y � 10 � 270000013.5

� 2.0� 107 cm � 20km

2. Teniendo en cuenta la escala, calcula las distancias.a. Altavista-P. Nuevob. Altavista-P. Oestec. P. Nuevo-P.OesteDibujo anterior con la escala 1 : 200000Antes de nada, mide con la regla:

3

Altavista-P. Nuevo 13.5 cm

Altavista-P. Oeste 8.8 cm

P. Nuevo-P. Oeste 10 cm

Teniendo en cuenta la escala, calcula las distanciasAhora, calcula:a. Altavista-P. Nuevo� 13.5� 200000� 2. 7� 106 � 27kmb. Altavista-P. Oeste� 8.8 � 200000� 1. 76� 106 cm � 17.6kmc. P. Nuevo-P. Oeste� 10 � 200000� 2000000cm � 20km

3. Sabiendo que la distancia real entre Altavista y Puerto Nuevo es de 27 km, calcula:a. La escala a la que se ha dibujado el mapa.b. La distancia que recorrerá una avioneta que va de Altavista a P. Oeste, haciendo

escala en P. Nuevo.

Dibujo anterior con Altavista-P. Nuevo 13.5 cm

P. Nuevo-P. Oeste 10 cm

a. Calculo de la escala:

Distancia Altavista-P.Nuevoen el mapa � 13.5cm

en la realidad � 27km � 2700000cm

Si la escala es 1 : e � 13.52700000

� 1e � e � 2700000

13.5�

� 2.0� 105 � 200000La escala es 1 : 200000

b. Distancias en el planoAltavista-P. Nuevo 13.5 cm

P. Nuevo-P. Oeste 10 cm

Recorrido en el plano de la avioneta� 13.5� 10 � 23. 5cmDistancia total del viaje� 23.5� 200000� 4. 7� 106 � 47km

4. Este es el plano de una vivienda a escala 1 : 50

Mide con la regla las distancias oportunas y calcula:a. Las dimensiones del salón.

En el plano� 9cmx8cm

En la realidad�9 � 50

8 � 50�

450cm

400cm�

4.5m

4m� 4.5mx4m

b. La superficie del salón� Ssalon � 4.5 � 4 � 18.0m2

c. Las dimensiones de la cocina.En el plano� 4.6cmx6cm

4

En la realidad�4.6 � 50

6 � 50�

230.0cm

300cm�

2.3m

3m� 2.3mx3m

d. La superficie total de la vivienda.

largo

ancho

16 � 50

14 � 50�

800cm

700cm�

8m

7m� 8mx7m � 56m2

Tareas 22-04-2015 2A: todas las actividades de la página 180Tareas 22-04-2015 2B: encontrar tres mapas, uno con cada escala (numérica, gráfica, unidad)Tareas 06-05-2015 2B: todas las actividades de la página 180

8.5 Teorema de TalesTareas 22-04-2015 2A: todas las actividades de la página 181Tareas 07-05-2015 2B: todas las actividades de la página 181

8.6 Semejanza de triángulosTareas 05-05-2015 2A: todas las actividades de la página 182Tareas 08-05-2015 2B: todas las actividades de la página 182

Ejemplo1. Observa y completa paso a paso.

�

Se trata de triángulos en posición de Tales, entonces son semejantes, por lo que se tiene que:68

� 3x � x � 3 � 8

6� 4

Propiamente resuelto, sería:68

� 6 � 38 � x

� �8 � x�6 � 72 � x � 72� 486

� 4

�

5

Se trata de triángulos en posición de Tales, entonces son semejantes, por lo que se tiene que:610

� 3y � x � 3 � 10

6� 5

Propiamente resuelto, sería:610

� 6 � 310� y

� �10� y�6 � 90 � y � 90� 606

� 5

2. Dados los siguientes triángulos en posicion de Tales, calcula los lados desconocidos.

Tenemos dos triángulos, AB´C´ y ABC, que tienen un ángulo común, siendo los lados B‘ C‘ yBC paralelos. Entonces son triángulos que están en posición de Tales y son por ellosemejantes. En particular se tiene que:8a � 6

9� 10

b8a � 6

9� a � 8 � 9

6� 12

69

� 10b

� b � 9 � 106

� 15

3. En cada pareja de triángulos semejantes, calcula y completa:a.

37.5

� 4x � 5

y3

7.5� 4

x � x � 4 � 7.53

� 10.0

37.5

� 5y � x � 5 � 7.5

3� 12. 5

b.

6

46.4

� 8x � 6

y4

6.4� 8

x � x � 6.4 � 84

� 12. 8

46.4

� 6y � y � 6.4 � 6

4� 9. 6

c.

79.1

� 3x �

y11.7

79.1

� 3x � x � 9.1 � 3

7� 3. 9

79.1

�y

11.7� y � 11.7� 7

9.1� 9.0

Tareas 06-05-2015 2A: todas las actividades de la página 183Tareas 11-05-2015 2B: todas las actividades de la página 183

7.7 Aplicaciones de la semejanza de triángulos .Tareas 06-05-2015 2A: todas las actividades de la página 184Tareas 11-05-2015 2B: todas las actividades de la página 184

Ejemplo1. Rocío mide 1.70 m y comprueba que cuando su sombra mide 1.20 m, la sombra del árbol mide

4.80 m. ¿Cuál es la altura del árbol?Gráficamente la situación es la siguiente:

7

Se trata de dos triángulos rectángulos que tienen un ángulo agudo igual (pues estamoshablando de las sombras a la misma hora del día): � ´Entonces son triángulos semejantes por lo que en particular es cierto que:a´s � a

t � 1.71.2

� a4.8

� a � 1.7 � 4.81.2

� 6. 8m

2. Marcelo coloca una banderola de dos metros de altura, de forma que el extremo de su sombracoincide con el extremo de la sombra del árbol. Teniendo en cuenta los datos de la ilustración,calcula la altura del árbol.

Son dos triángulos rectángulos que están en posición de Tales pues comparten un ánguloagudo, entonces son semejantes. En particular tenemos que:

2.82.8� 6.3

� 2d

� d � 2 � 9.12.8

� 6. 5m

El árbol mide 6.5 m3. Una antena de comunicaciones se sostiene mediante cuatro cables que tienen la misma

inclinación. Tres de los cables están amarrados al suelo, y el cuarto, al techo de una casetacomo indica la figura. Con los datos de la ilustración, calcula la altura de la antena.

8

Esquemáticamente, la situación es la siguiente:

Como todos los cables tienen la misma inclinación, los ángulos F� y  son iguales (en lostriángulos ABC y BFC, el ángulo B� es el mismo). Entonces tenemos dos triángulos rectángulos,ABC y DEF, con un ángulo agudo igual. Por lo tanto son semejantes. En particular se tiene que:BC8

� 38 � 6

� BC � 3 � 82

� 12m

La torre mide 12 m4. Para calcular la altura de una torre, María clava en el suelo un listón de tres metros de altura y,

después, retrocede hasta que coinciden en la visual los extremos del listón y de la torre. Acontinuación, toma las medidas que ves en la ilustración. Con esos datos resuelve el problema.

Los triángulos ABE y AB´E´ son rectángulos con un ángulo, Â, común. Entonces son

9

semejantes. En particular se cumple que:AEAE

� B´E´BE

� 30� 2.12.1

� x � 1.63 � 1.6

� x � 32.1� 1.4� 1.6 � 2.12.1

� 23m

La torre mide 23 mTareas 11-05-2015 2A: todas las actividades de la página 185Tareas 13-05-2015 2B: todas las actividades de la página 185

8.8 Construcción de una figura semejante a otraTareas 12-05-2015 2A: todas las actividades de la página 186Tareas 13-05-2015 2B: todas las actividades de la página 186

EJERCICIOS Y PROBLEMAS1. Calcula el área del cuadrado verde en cada uno de los siguientes casos:

b

Como tenemos un triángulo rectángulo sobre cuyos lados se construyen cuadrados de loscuáles queremos calcular el área de uno conociendo las áreas de los otros dos, aplicaremos elTeorema de Pitágoras. Es decir, el cuadrado de la hipotenusa sera igual a la suma de loscuadrados de los catetos.45� áreaB� 60 � áreaB� 60� 45 � 15m2

3 Di si cada uno de los siguientes triángulos es rectángulo, acutángulo o obtusángulo.g 18cm, 80cm, 82cm

lado grande 82cm

lados pequeños 18cm, 80cm

Calculamos:822 � 6724182 � 802 � 6724Las comparamos.Como 6724� 6724entonces el triángulo es rectángulo.

4 Calcula el lado desconocido en cada triángulo:�

10

Tenemos que calcular la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras.b2 � a2 � c2 � 202 � 152 � 400� 225 � 625b � � 625 � �25Entonces b � 25m�

Tenemos que calcular un cateto, aplicando el Teorema de Pitágoras.a2 � b2 � c2 � 652 � b2 � 162

b2 � 4225� 256 � 3969

11

b � � 3969 � �63Entonces b � 63mm

8 Halla la diagonal de un cuadrado cuyo perímetro mide 28dam.Gráficamente es:

Como conocemos el perímetro, cada uno de los lados mide 284

� 7dam

En el triángulo ABC podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular su diagonal pueses un triángulo rectángulo.c2 � a2 � b2 � 72 � 72 � 49� 49 � 98c � � 98 � � 9. 8995La diagonal mide 9.8995 dam.

Tareas 19-05-2015 2A: 9, 10, 12(a,d,b), 13, 1411 Calcula la medida del lado de un rombo cuyas diagonales miden 1 dm y 2.4 dm.

12

El triángulo ABC es rectángulo por lo que podemos aplicar el Teorema de Pitágoras.b2 � a2 � c2 � 1.22 � 0.52 � 1. 69b � � 1.69 � � 1. 3El lado del rombo mide 1.3 dm

12 Halla la longitud x en cada una de las siguientes figuras.c

Como tenemos un hexágono regular, el radio y el lado del polígono miden lo mismo.Tenemosel triángulo rectángulo ABC donde podemos aplicar el Teorema de Pitágoras.

13

b2 � x2 � a2 � 22 � x2 � 12

x2 � 4 � 1 � 3x � � 3 � � 1. 7321La apotema mide 1.7321 kmSe trata de la apotema pues es el segmento perpendicular a un lado por su punto medio: estesegmento pasa por el centro del polígono regular.

15 En cada una de las siguientes figuras coloreadas, halla su área y su perímetro. Para ello,tendrás que calcular la medida de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángulo,.....). Si noes exacta, hállala con una cifra decimal.

Tenemos que Perímetro � Perímetro cuadrado � Perímetro círculoPara calcular el primero me hace falta el lado del cuadrado.Consideramos el triángulo ABC que es isósceles rectángulo. En el podemos aplicar el Teoremade Pitágoras.c2 � a2 � b2 � 52 � 52 � 50c � � 50 � � 7. 0711El lado del cuadrado mide 7.1cmPerímetro cuadrado� 4 � 7.1 � 28. 4cmPerímetro círculo� 2� � 5 � 31. 416� 31.4cmPerímetro� 28.4� 31.4 � 59. 8cmÁrea � área círculo - área cuadrado� 78.5� 50.4 � 28. 1cm2

área círculo� � � 52 � 25� � 78. 540� 78.5cm2

área cuadrado� 7.12 � 50. 41� 50.4cm2

Tareas 20-05-2015 2A: 16,17,18Tareas 22-05-2015 2B: 16,17,1819

14

En el triángulo ABC, como es rectángulo, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras paracalcular el cateto c.b2 � a2 � c2 � 202 � 162 � c2

c2 � 400� 256 � 144c � � 144 � �12 � c � 12mEn el triángulo AEB, como es rectángulo, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras paracalcular el cateto f.d2 � f2 � c2 � 132 � f2 � 122

f2 � 169� 144 � 25f � � 25 � �5 � f � 5mEn el triángulo BED, como es rectángulo, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras paracalcular el cateto e.f2 � 32 � e2 � 52 � 32 � e2

e2 � 25� 9 � 16e � � 16 � �4 � e � 4mEl perímetro es 20� 13� 4 � 3 � 16 � 56mFinalmente Àrea azul � área triángulo grande � área triángulo pequeño�� 126� 6 � 132m2

área triángulo grande� base� altura2

��16� 5� � 12

2� 126m2

área triángulo pequeño� 3 � 42

� 6m2

Tareas 22-05-2015 2A: 20, 21, 22, 24Tareas 22-05-2015 2B: 20, 21, 22, 2425 Dibuja en tu cuaderno una figura como la siguiente y amplíala al doble de su tamaño

proyectándola desde el punto exterior O.

15

Desde O, trazar semirectas que pasen por los vértices de nuestro cuadrilátero. Elegir al azaruno de esas semirectas y medir la distancia, por ejemplo, entre O y A. Despúes, sobre esamisma semirecta, determinar otro punto, A´, a partir de A, cuya distancia también sea lamedida. Después, desde A‘, trazar paralelas a los lados que salen desde A para determinarotros dos puntos, B´y D‘. Finalmente, desde uno de estos, por ejemplo B´, trazar una nuevaparalela al otro lado que llega a B, para determinar C´.

Tareas 26-05-2015 2A: 26, 27, 28Tareas 27-05-2015 2B: 26, 27, 2829 Explica por qué estos dos triángulos isósceles son semejantes.

Son dos triángulos isósceles cuyo ángulo desigual mide 20º. Entonces, los otros dos ángulos,que son los iguales, médiran 180� 20

2� 80º.

Por lo tanto, tenemos dos triángulos cuyos ángulos respectivos son iguales, entonces sonsemejantes.

Tareas 26-h05-2015 2A: 30Tareas 27-05-2015 2B: 3031 Explica por qué son semejantes dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo igual.

16

Al ser triángulos rectángulos, tienen un ángulo recto, es decir, de 90º. Por lo tanto, en los dostriángulos, tendríamos dos ángulos que al sumarlos nos daría lo mismo, concluyendo que eltercer ángulo es igual.Por lo tanto, tenemos dos triángulos cuyos ángulos respectivos son iguales, entonces sonsemejantes.

Tareas 26-05-2015 2A: 31 los dibujos,32, 33Tareas 27-05-2015 2B: 31 los dibujos, 32, 3334 Para determinar que la altura de un eucalipto es de 11 m, Carlos ha medido la sombra de este

(9.6 m) y la suya propia (1.44 m), ambas proyectadas por el Sol a la misma hora. ¿Cuántomide Carlos?

Al estar hablando de la sombra a la misma hora del día, los dos triángulos rectángulos tienenun ángulo agudo igual (Ĉ � Ĉ‘ �(también podría ser  � ‘ �. Entonces son semejantes.En particular, sus lados respectivos son proporcionales:ac � a�

c�� 1.44

c � 9.611

� c � 1.44� 119.6

� 1. 65m

Carlos mide 1.65 mTareas 27-05-2015 2A: 35Tareas 28-05-2015 2B: 3536 En las fiestas de un pueblo, cuelgan una estrella que mide 1 m de altura en medio de una

cuerda de 34 m que está atada a los extremos de dos postes de 12 m separados 30 m entre sí.¿A qué distancia del suelo queda la estrella?

Vamos a trabajar en el triángulo rectángulo BGC, donde aplicaremos el Teorema de Pitágoras

17

para calcular el cateto BG.BG2

� GC2� BC2

� BG2� 172 � 152 � 64

BG � � 64 � � 8El lado BG � 8mLa altura a la que está la estrella será 12� �8 � 1� � 3m

Tareas 27-05-2015 2A: 37, 38Tareas 28-05-2015 2B: 37, 3839 Las medidas de un coche teledirigido de Fórmula 1, a escala 1:40, son 11.75 cm de largo, 5 cm

de ancho y 3 cm de alto. ¿Cuáles son las dimensiones reales del coche?Como la escala es 1:40, esto quiere decir que 1 cm de la maqueta son 40 cm de la realidad.Entonces:� 11.75� 40 � 470.0cm � 4.7m largo real� 5 � 40 � 200cm � 2m ancho real� 3 � 40 � 120cm � 1.2malto real

Tareas 27-05-2015 2A: 40Tareas 28-05-2015 2B: 4041 ¿Cuál es la distancia entre el chico y la base de la torre (el chico ve la torre reflejada en el

agua)?

Consideramos los triángulos rectángulos FEG y GAD. Como estamos considerando un haz deluz que sale de los ojos del chico reflejándose en el agua llegando hasta la punta de la torre, losángulos Ĝ, son iguales en esos dos triángulos. Por lo tanto, tenemos dos triángulos rectángulosque tienen un ángulo agudo igual, entonces son semejantes. En particular los ladosrespectivos son proporcionales:FEEG

� BCDG

� 1.763.3

� 16DG

� DG � 16 � 3.31.76

� 30.0

Entonces la distancia entre el chico y la base de la torre es 30� 3.3 � 33. 3mTareas 29-05-2015 2A: 42, 43, 44Tareas 28-05-2015 2B: 42, 43, 44

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