TEOREMA DE PITÁGORAS...TEOREMA DE PITÁGORAS Pitágoras fue un filósofo y matemático griego quien...

Matemática Ingreso – FAUD- Contenidos de repaso 1

TEOREMA DE PITÁGORAS

Pitágoras fue un filósofo y matemático griego quien hizo la formulación del Teorema de Pitágoras:

“En un triángulo rectángulo, la suma de los catetos cuadrados es igual a la hipotenusa cuadrada”

222 CCH

Un triángulo rectángulo es un triángulo con un

ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto se

llama hipotenusa y los otros dos lados se

llaman catetos.

OBSERVACIÓN: LOS CATETOS VAN A CAMBIAR EN FUNCIÓN AL ÁNGULO QUE VOY A UTILIZAR.

Geométricamente, el teorema de Pitágoras quiere decir que si dibujamos tres cuadrados, de forma que cada uno tenga el lado igual a uno de los tres lados de un triángulo rectángulo, se cumple que el área del cuadrado mayor es igual a la suma de las áreas de los otros dos.

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las relaciones trigonométricas es la razón entre los lados y ángulos de un triángulo

rectángulo. Son seis y reciben el nombre de: seno, coseno, tangente, cotangente secante y

cosecante. Estás, tienen como variable independiente un ángulo. Este ángulo que denotaremos

como , puede estar expresado en grados o en radianes. Para definir relaciones trigonométricas consideremos un sistema de ejes coordenados, el radio vector y el ángulo que

forma este con el eje de abscisas (x).


RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las relaciones trigonométricas es la razón entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo. Son seis y reciben el nombre de: seno, coseno, tangente, cotangente secante y cosecante. Estás, tienen como variable independiente un ángulo. Este ángulo que denotaremos como , puede estar expresado en grados o en radianes. Más adelante analizaremos algunos sistemas de medición de ángulos.

Para definir relaciones trigonométricas consideremos un sistema de ejes coordenados, el radio vector y el ángulo que forma este con el eje de abscisas (x).

Para este radio vector nos quedaran las dos primeras funciones definidas anteriormente como:

PMopuestocateto sen =y

OMadyacentecateto cos =x

Observa que con el radio vector, la ordenada y la abscisa del punto queda determinado un triángulo rectángulo, donde:

= radio vector =hipotenusa del triángulo.

x= abscisa = cateto adyacente al ángulo y= ordenada = cateto opuesto al ángulo

r=radio vector = magnitud del segmento OP ,

determinando el extremo de radio vector el punto

P(x,y), x es la abscisa del punto e y la ordenada del

punto, es el ángulo que forma el radio vector con el eje horizontal x.


Mediante cocientes entre estos tres segmentos se definen las siguientes funciones trigonométricas del ángulo: Importante: Si te fijas en tu calculadora en ella solo aparecen las tres primeras funciones o funciones principales. Las otras tres llamadas co-funciones las tendrás que obtener a partir de las principales utilizando la última igualdad de la definición anterior. Tracemos una circunferencia trigonométrica con centro en el origen de coordenadas y radio

1

En función de los lados de un triángulo ubicado en una circunferencia trigonométrica. Según el cuadrante donde se encuentre el ángulo, serán los signos de las funciones trigonométricas que tendrán que ver con los signos de la abscisa o de la ordenada. α

Relaciones trigonométricas principales:

hipotenusa

opuestocatetoy

sen

hipotenusa

adyacentecatetox

cos

cos

sentg

adyacentecateto

opuestocateto

x

y

Relaciones trigonométricas secundarias o co-funciones

sen

1cos

opuestocateto

hipotenusa

yec

cos

1sec

adyacentecateto

hipotenusa

x

sen

cos

tg

1cot

opuestocateto

adyacentecateto

y

xg

O M


GRÁFICO DE LOS SEGMNETOS TRIGONOMÉTRICOS PARA UN ÁNGULO

PERTENECEINTE AL PRIMER CUADRANTE

SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

TRIGONOMÉTRICA SEGÚN EL CUADRANTE

α

α


Cuadrante seno coseno tangente cotangente secante cosecanteI + + + + + +II + - - - - +III - - + + - -IV - + - - + -

Cálculo de lados y ángulos agudos de triángulos rectángulos

Estas razones trigonométricas nos permiten calcular distintos problemas.

1. Calcular las longitudes aproximadas de un triángulo rectángulo si se conocen las medidas de un ángulo agudo y un lado.

Ejemplo: Sea el triángulo ABC rectángulo en

=31°

=12 cm

=?

=?

=?

Los lados , y el ángulo B pueden relacionarse mediante la relación trigonométrica:

Reemplazando los datos conocidos en esta fórmula tendremos:

Despejando de las dos últimas igualdades obtendremos: = .

Para calcular el lado se usa la relación trigonométrica:

Reemplazando los datos conocidos tendremos

Despejando de las dos últimas igualdades obtendremos:

Â

B̂

AC

AB

BC

Ĉ

AB AC

AB

ACB ˆtg

AB

cm126009,031tg

AB AB cmcm

97,196009,0

12

BC

BC

ACB ˆsen

BC

cm125104,031sen

BC

cmcm

BC 2992,235104,0

12


El ángulo se obtiene al aplicar la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo

que debe ser 180°. , como conozco y se tendrá:

Nota: Siempre que sea posible deberás usar los datos que te dan en el problema y no los datos que

fuiste calculando en los diversos pasos del problema, ya que estos últimos generalmente están sujetos

a errores.

2. Calcular los ángulos agudos de un triángulo rectángulo si se conocen las longitudes de dos lados.

Ejemplo: Sea el triángulo ABC rectángulo en

=15

=25

=?

=?

?

En este caso para obtener el lado podemos usar el Teorema de Pitágoras. ,

despejando el lado desconocido se obtiene:

Para encontrar el ángulo usamos la relación trigonométrica que nos vincula el ángulo buscado con

los lados conocidos, esta relación es:

Con la calculadora podemos hallar =37°. (usando shift sen y luego ° ’ ”)

Una vez conocidos dos ángulos el tercero se obtiene igual que en el ejemplo anterior.

180°-90°-37°=53°

ACTIVIDADES:

1. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos

Ĉ

180ˆˆˆ CBA 90Â 31B̂

59|3190180Ĉ

Â

AB

BC

CA

Ĉ

B̂

AC222

ABACCB

cmABCBAC 2015252222

Ĉ

6,025

15ˆsen cm

cm

BC

ABC

Ĉ

180ˆˆˆ CBA

B̂


Respuestas: a-

b-

c-


2. Lee atentamente y resuelve

3. Calcule los ángulos interiores, su perímetro y superficie de un triángulo rectángulo que tiene de

base

124.68 m y altura 86.13 m.


4. Encuentre el perímetro de un campo rectangular que tiene la diagonal de 100 m; y forma con uno

de sus lados un ángulo de 30°.

5. En la Avenida de Circunvalación un niño remonta un barrilete empleando un hilo de 150m.

Encuentre: ¿a qué altura de la tierra se encuentra el barrilete cuando el hilo esta tenso y forma un

ángulo de 45º respecto de la horizontal?

6. Una escalera de 6m de largo no debe inclinarse más de 60º. ¿a cuántos m del muro la debemos

poner en su base? y ¿qué altura alcanzará sobre el muro?

7. Una torre proyecta una sombra de 10metros cuando el sol está a 30° sobre el horizonte. Calcule la

altura de la torre.


8. Hallar la proyección de la fuerza “F” sobre eje “Y” y el eje “X”

BIBLIOGRAFÍA:

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA -Tercera edición 2012- Dennis G. Zill Jacqueline M. Dewar

PRE-CÁLCULO GRÁFICO, NUMÉRICO, ALGEBRAICO- Demana Waits Foley Kennedy- Séptima Edición - Editorial Pearson.

PRECÁLCULO ENFOQUE DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS - Editorial Pearson- Prado -Santiago Aguila- Rodriguez -Quezada - Gomes –Ruiz- Florido.

ACTIVADOS 1 MATEMÁTICA -Puertos de Palo – Año 2013

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