MATEMÁTICAS III Tema 13: Semejanza y Teorema de Pitágoras Tema 13: Semejanza y Teorema de...

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Semejanza y Teorema de PitágorasSemejanza y Teorema de Pitágoras

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MATEMÁTICAS IIIMATEMÁTICAS III

Tales de Mileto (c. 625-c. 546 a.C.), filósofo griego nacido en Mileto (Asia Menor), fue el fundador de la filosofía griega, y está considerado como uno de los Siete Sabios de Grecia. Tales llegó a ser famoso por sus conocimientos de astronomía después de predecir el eclipse de sol que ocurrió el 28 de mayo del 585 A.C. Se dice también que introdujo la geometría en Grecia. Según Tales, el principio original de todas las cosas es el agua, de la que todo procede y a la que todo vuelve otra vez.

Tales de Mileto (c. 625-c. 546 a.C.), filósofo griego nacido en Mileto (Asia Menor), fue el fundador de la filosofía griega, y está considerado como uno de los Siete Sabios de Grecia. Tales llegó a ser famoso por sus conocimientos de astronomía después de predecir el eclipse de sol que ocurrió el 28 de mayo del 585 A.C. Se dice también que introdujo la geometría en Grecia. Según Tales, el principio original de todas las cosas es el agua, de la que todo procede y a la que todo vuelve otra vez.




TalesTales fue el primero en demostrar fue el primero en demostrar sus afirmaciones, por lo que se le sus afirmaciones, por lo que se le considera el primer matemático de considera el primer matemático de la historia. A la historia. A TalesTales debemos debemos proposiciones como:proposiciones como:

• Todo diámetro bisecta al Todo diámetro bisecta al círculo.círculo.

• Los ángulos de la base de un Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son igualestriángulo isósceles son iguales..

TalesTales fue el primero en demostrar fue el primero en demostrar sus afirmaciones, por lo que se le sus afirmaciones, por lo que se le considera el primer matemático de considera el primer matemático de la historia. A la historia. A TalesTales debemos debemos proposiciones como:proposiciones como:

• Todo diámetro bisecta al Todo diámetro bisecta al círculo.círculo.

• Los ángulos de la base de un Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son igualestriángulo isósceles son iguales..




• El ángulo inscrito en El ángulo inscrito en un semicírculo es recto.un semicírculo es recto.

• Los lados Los lados correspondientes a correspondientes a ángulos iguales en ángulos iguales en triángulos semejantes triángulos semejantes son proporcionales.son proporcionales.

• El ángulo inscrito en El ángulo inscrito en un semicírculo es recto.un semicírculo es recto.

• Los lados Los lados correspondientes a correspondientes a ángulos iguales en ángulos iguales en triángulos semejantes triángulos semejantes son proporcionales.son proporcionales.




A A TalesTales se le reconoce se le reconoce también por un teorema que también por un teorema que lleva su nombre, y es muy útil lleva su nombre, y es muy útil en temas de semejanza. Lo en temas de semejanza. Lo encontramos enunciado de las encontramos enunciado de las siguientes maneras:siguientes maneras:

A A TalesTales se le reconoce se le reconoce también por un teorema que también por un teorema que lleva su nombre, y es muy útil lleva su nombre, y es muy útil en temas de semejanza. Lo en temas de semejanza. Lo encontramos enunciado de las encontramos enunciado de las siguientes maneras:siguientes maneras:




* * Si varias paralelas Si varias paralelas determinan segmentos determinan segmentos congruentes sobre una congruentes sobre una transversal, entonces transversal, entonces también determinarán también determinarán segmentossegmentos

* * Si varias paralelas Si varias paralelas determinan segmentos determinan segmentos congruentes sobre una congruentes sobre una transversal, entonces transversal, entonces también determinarán también determinarán segmentossegmentos



congruentes congruentes sobre cualquier sobre cualquier otra otra transversal transversal que las corte.que las corte.

congruentes congruentes sobre cualquier sobre cualquier otra otra transversal transversal que las corte.que las corte.




ContinuarContinuar……




** Si varias ** Si varias paralelas cortan paralelas cortan a 2 a 2 transversales, transversales, determinan determinan sobre ellas sobre ellas segmentos segmentos proporcionales.proporcionales.

** Si varias ** Si varias paralelas cortan paralelas cortan a 2 a 2 transversales, transversales, determinan determinan sobre ellas sobre ellas segmentos segmentos proporcionales.proporcionales.




““Toda paralela a un lado Toda paralela a un lado de un triángulo, divide a los de un triángulo, divide a los otros dos lados en otros dos lados en segmentos proporcionales”segmentos proporcionales”

““Toda paralela a un lado Toda paralela a un lado de un triángulo, divide a los de un triángulo, divide a los otros dos lados en otros dos lados en segmentos proporcionales”segmentos proporcionales”




El teorema anterior tiene su recíproco:

El teorema anterior tiene su recíproco:

““Si una recta al cortar a Si una recta al cortar a dos lados de un triángulo, dos lados de un triángulo, los divide en segmentos los divide en segmentos proporcionales, dicha recta proporcionales, dicha recta es paralela al tercer lado”es paralela al tercer lado”

““Si una recta al cortar a Si una recta al cortar a dos lados de un triángulo, dos lados de un triángulo, los divide en segmentos los divide en segmentos proporcionales, dicha recta proporcionales, dicha recta es paralela al tercer lado”es paralela al tercer lado”




Las aplicaciones del Las aplicaciones del Teorema de Tales son Teorema de Tales son variadas, como por ejemplo variadas, como por ejemplo el trazo deel trazo de

Las aplicaciones del Las aplicaciones del Teorema de Tales son Teorema de Tales son variadas, como por ejemplo variadas, como por ejemplo el trazo deel trazo defiguras semejantes, el figuras semejantes, el cálculo de distancias cálculo de distancias inaccesibles; trazado inaccesibles; trazado de mapas, medición de mapas, medición de ríos, lagos y de ríos, lagos y montañas, etc.montañas, etc.

figuras semejantes, el figuras semejantes, el cálculo de distancias cálculo de distancias inaccesibles; trazado inaccesibles; trazado de mapas, medición de mapas, medición de ríos, lagos y de ríos, lagos y montañas, etc.montañas, etc.




Un ejemplo del cálculo de Un ejemplo del cálculo de distancias inaccesibles puede ser distancias inaccesibles puede ser elel

Un ejemplo del cálculo de Un ejemplo del cálculo de distancias inaccesibles puede ser distancias inaccesibles puede ser elel que usó Tales que usó Tales

aplicando su aplicando su teorema para teorema para encontrar encontrar indirectamente la indirectamente la altura de una altura de una pirámide egipcia, pirámide egipcia, basándose en la basándose en la longitud de la longitud de la sombra de su sombra de su bastón:bastón:

que usó Tales que usó Tales aplicando su aplicando su teorema para teorema para encontrar encontrar indirectamente la indirectamente la altura de una altura de una pirámide egipcia, pirámide egipcia, basándose en la basándose en la longitud de la longitud de la sombra de su sombra de su bastón:bastón:




Aplicando las proporciones tendríamos Aplicando las proporciones tendríamos

que:que:

Aplicando las proporciones tendríamos Aplicando las proporciones tendríamos

que:que:

Entonces:Entonces: Entonces:Entonces:





La altura de la pirámide es de: La altura de la pirámide es de:

148.95 m148.95 m..

La altura de la pirámide es de: La altura de la pirámide es de:

148.95 m148.95 m..ContinuarContinuar……




También, un trazo interesante sería: dividir un segmento en n partes iguales, por ejemplo:

También, un trazo interesante sería: dividir un segmento en n partes iguales, por ejemplo:

* Dividir un segmento de 8 cm en 6 partes iguales. * Dividir un segmento de 8 cm en 6 partes iguales.





a) Traza un segmento de 8 cm y una línea auxiliar sin importar la medida formando un ángulo mayor de 0° y menor de 180°.

a) Traza un segmento de 8 cm y una línea auxiliar sin importar la medida formando un ángulo mayor de 0° y menor de 180°.





b) Divide la línea auxiliar en el número de partes iguales deseado (en este caso 6).

b) Divide la línea auxiliar en el número de partes iguales deseado (en este caso 6).





c) Une la última marca con el extremo B del segmento. c) Une la última marca con el extremo B del segmento.





d) Ahora traza paralelas al segmento que une la última marca con B.

d) Ahora traza paralelas al segmento que une la última marca con B. e) El segmento ha quedado dividido en 6 partes iguales. e) El segmento ha quedado dividido en 6 partes iguales.





Un segmento x se llama cuarta proporcional de otros tres segmentos a, b y c, si se cumple lo siguiente:

Un segmento x se llama cuarta proporcional de otros tres segmentos a, b y c, si se cumple lo siguiente:

La construcción geométrica de la cuarta proporcional, está basada en el Teorema de Tales.

La construcción geométrica de la cuarta proporcional, está basada en el Teorema de Tales.




Calcula la Calcula la cuarta proporcionalcuarta proporcional de:de:

aa = 3.5, = 3.5, bb = 4, = 4, cc = 2.1 = 2.1





Un segmento x se llama media proporcional de otros dos segmentos a y b, si se cumple lo siguiente:

Un segmento x se llama media proporcional de otros dos segmentos a y b, si se cumple lo siguiente:

Veamos como se construye

geométricamente:

Veamos como se construye

geométricamente: ContinuarContinuar……




*Dados los segmentos a y b, construir el segmento x de tal forma que sea media proporcional:

*Dados los segmentos a y b, construir el segmento x de tal forma que sea media proporcional:

a) Coloca los segmentos uno a continuación del otro

a) Coloca los segmentos uno a continuación del otro





b) Dibuja un semicírculo que tenga por diámetro el segmento formado.

b) Dibuja un semicírculo que tenga por diámetro el segmento formado.





c) Traza una perpendicular en la unión de los segmentos hasta que toque el semicírculo.

c) Traza una perpendicular en la unión de los segmentos hasta que toque el semicírculo.

d) Llama x al nuevo segmento.d) Llama x al nuevo segmento.

e) El segmento x es la media proporcional buscada.

e) El segmento x es la media proporcional buscada.




*Podemos utilizar el Teorema de Tales para comprobar que efectivamente el segmento X es la media proporcional:

*Podemos utilizar el Teorema de Tales para comprobar que efectivamente el segmento X es la media proporcional:

Completemos la figura anterior, formando triángulos semejantes:

Completemos la figura anterior, formando triángulos semejantes:





Si superponemos los dos triángulos obtendremos el conocido esquema utilizado en el Teorema de Tales, lo que justifica la proporción:

Si superponemos los dos triángulos obtendremos el conocido esquema utilizado en el Teorema de Tales, lo que justifica la proporción:




Ahora que conoces algunas de las aplicaciones del Teorema de Tales puedes utilizarlo en la resolución de algunos problemas de la vida cotidiana o los que propongan en tu salón de clase.

Ahora que conoces algunas de las aplicaciones del Teorema de Tales puedes utilizarlo en la resolución de algunos problemas de la vida cotidiana o los que propongan en tu salón de clase.

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