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TEMA 7: Sistemas de ecuaciones

7.1 Ecuaciones con dos incógnitas . SolucionesEjemplo1. Encuentra soluciones para la siguiente ecuación de primer grado con dos incógnitas: 2x � y � 5

a. �x, y� � �0, 5� es soluciónSi sustituimos en la ecuación nos queda:2 � 0 � 5 � 55 � 5

b. �x, y� � �1, 3� es soluciónSi sustituimos en la ecuación nos queda:2 � 1 � 3 � 52 � 3 � 5

c. �x, y� � �2, 1� es soluciónSi sustituimos en la ecuación nos queda:2 � 2 � 1 � 54 � 1 � 5

d. �x, y� � �3,�1� es soluciónSi sustituimos en la ecuación nos queda:2 � 3 � ��1� � 56 � 1 � 5

e. �x, y� � �4,�3� es soluciónSi sustituimos en la ecuación nos queda:2 � 4 � ��3� � 58 � 3 � 5

f. �x, y� � ��2, 6� no es soluciónSi sustituimos en la ecuación nos queda:2 � ��2� � 6 � 5�4 � 6 � 52 � 5

g. �x, y� � ��1, 4� no es soluciónSi sustituimos en la ecuación nos queda:2 � ��1� � 4 � 5�2 � 4 � 52 � 5

2. Representa sobre unos ejes de coordenadas los puntos anteriores y luego traza la recta quepasa por la mayoría de ellos.

1

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

3. Dada la recta siguientes 3x � 4y � 12. Se pide:a. Despeja la y en función de la x.b. A partir de la expresión obtenida en el apartado anterior, calcula una tabla con cuatro

valores:c. Representa los puntos obtenidos en el apartado anterior y traza la recta

correspondiente.d. Despeja la x en función de la y.e. A partir de la expresión obtenida en el apartado anterior, calcula una tabla con cuatro

valores:f. Representa los puntos obtenidos en el apartado anterior y traza la recta

correspondiente.a 3x � 4y � 12

4y � 12 � 3x

y � 12 � 3x4

b x �3 �1 1 3

y 5. 25 3. 75 2. 25 0. 75

� x � �3 � y �12 � 3 � ��3�

4� 21

4� 5. 25

� x � �1 � y �12 � 3 � ��1�

4� 15

4� 3. 75

� x � 1 � y � 12 � 3 � 14

� 94

� 2. 25

� x � 3 � y � 12 � 3 � 34

� 34

� 0. 75

c 3x � 4y � 12

2

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

d 3x � 4y � 123x � 12 � 4y

x �12 � 4y

3ef

"Una recta queda unívocamente determinada cuando conocemos dos de suspuntos"Por lo tanto, las tablas de valores para pintar rectas contarán con sólo dos valores.Tareas 14-12-16: todos los ejercicios de la página 124

7.2 Sistemas de ecuaciones linealesTareas 14-12-16: todos los ejercicios de la página 125

7.3 Sistemas equivalentesTareas 15-12-16: todos los ejercicios de la página 126

7.4 Número de soluciones de un sistema linealTareas 15-12-16: todos los ejercicios de la página 127

7.5 Métodos de resolución de sistemas linealesEjemploResuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

2x � 3y � �6

7x � 5y � 35

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Elegimos la x, y tomamos la 1º ecuación:2x � 3y � �62x � �6 � 3y

x ��6 � 3y

2Se sustituye este valor de x en la segunda ecuación:

7�6 � 3y

2� 5y � 35

�42 � 21y2

� 5y � 35

�42 � 21y � 10y � 70

3

�31y � 70 � 42

y � 112�31

Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x:

x ��6 � 3 � 112

�312

��6 � 336

312

�

�186 � 336312

� 15031

� 2 � 7531

La solución del sistema es 7531

,� 11231

Tareas 16-12-16: todos los ejercicios de la página 128

MÉTODO DE IGUALACIÓN

2x � 3y � �6

7x � 5y � 35

Elegimos despejar la x en las dos ecuaciones:

2x � �6 � 3y

7x � 5y � 35

x ��6 � 3y

2

x �5y � 35

7Igualamos las dos expresiones obtenidas para x:�6 � 3y

2�

5y � 357

�42 � 21y � 10y � 70�21y � 10y � 70 � 42

y � � 11231


x ��6 � 3 � 112

�312

��6 � 336

312

�

�186 � 336312

� 15031

� 2 � 7531


,� 11231


MÉTODO DE REDUCCIÓN

2x � 3y � �6

7x � 5y � 35

Elegimos la x, para:� multiplicar la primera ecuación por 7 (coeficiente de la x en la segunda ecuación)� multiplicar la segunda ecuación por 2 (coeficiente de la x en la primera ecuación)

�2x � 3y � �6�7

�7x � 5y � 35�2

14x �21y � �42

restamos en columna 14x �10y � 70

0 31y � �112

y � �11231

Ahora, tenemos que despejar la x: tendremos que sustituir el valor de y en una de las dos ecuacionespara hallarla.

2x � 3 � 11231

� �6

62x � �186 � 336

4

x � 15062

� 7531


,� 11231

7531

� 2. 419 4

� 11231

� � 3. 612 9


MÉTODO DE GRÁFICO

2x � 3y � �6

7x � 5y � 35

Tenemos que representar las dos rectas sobre los mismos ejes de coordenadasHabrá que calcular sendas tablas de valores para cada una de las rectas (Dado que una recta quedaunívocamente determinada por dos de sus puntos , en dicha tabla , sólo daremos dos puntos .)� 2x � 3y � �6

Despejamos la x en función de la y:

x ��6 � 3y

2y �1 1

x�6 � 3 � ��1�

2� � 3

2�6 � 3 � 1

2� � 9

2� 7x � 5y � 35

Despejamos la y en función de la x:

y � 7x � 355

x �1 1

y7 � ��1� � 35

5� � 42

57 � 1 � 35

5� � 28

5Representamos los puntos obtenidos para luego unirlos por las rectas correspondientes:

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y


7.6 Sistemas de ecuaciones no linealesEjemploResuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:

5

1.5x � y � 8

x2 � xy � �2

Utilizamos el método de sustitución.Despejamos la y en la primera ecuación:5x � 8 � ySustituimos este valor de y en la segunda ecuación.x2 � x�5x � 8� � �2x2 � 5x2 � 8x � �26x2 � 8x � 2 � 02�3x2 � 4x � 1� � 0El producto de números es cero si uno de ellos es cero .3x2 � 4x � 1 � 0

Ecuación de 2º grado completa con

a � 3

b � �4

c � 1

x ��b � b2 � 4ac

2a�

��4� � ��4�2 � 4 � 3 � 1

2 � 3�

4 � 46

� 4 � 26

�

�

4 � 26

� 66

� 1

4 � 26

� 26

� 13

Sustituimos estos valores de x para encontrar los correspondientes valores de y:� si x � 1 � y � 5 � 1 � 8 � 5 � 8 � �3

� si x � 13

� y � 5 � 13

� 8 � 5 � 243

� �193

Las soluciones son �1,�3� y 13

,� 193

La representación gráfica sería:

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

2.x2 � xy � 28

xy � y2 � 21

Aplicamos el método de sustitución: despejaremos la y en la primera ecuación:xy � 28 � x2

y � 28 � x2

xSustituimos este valor de y en la segunda ecuación:

6

x 28 � x2

x � 28 � x2

x2� 21

28 � x2 ��28 � x2�2

x2 � 21 m. c. m.� x2

�28 � x2�x2

x2 ��28 � x2�2

x2 � 21 � x2

x2

Como tenemos una igualdad donde todos los denominadores son iguales los podemossuprimir .28x2 � x4 � x4 � 56x2 � 784 � 21x2

�28x2 � 21x2 � �784�49x2 � �784

x2 � �784�49

� 16

x � � 16 � �4Sustituimos estos valores de x para hallar los correspondientes valores de y:

� si x � 4 � y � 28 � 42

4� 3

� si x � �4 � y �28 � ��4�2

�4� � 3

Las soluciones del sistema son �4, 3� y ��4,�3�La representación gráfica sería:

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y


7.7 Resolución de problemas mediante sistemasEjemplo1. La razón de las edades de dos personas es de 2

3. Sabiendo que se llevan quince años, ¿Cuál

es la edad de cada una de ellas?Llamamos:

x es la edad de la persona menor

y es la edad de la persona mayor

Tenemos que:

� La razón de las edades de dos personas es de 23

� xy � 2

3� se llevan quince años� x � 15 � y

Entonces tenemos el sistema de ecuaciones lineales siguiente:

7

xy � 2

3x � 15 � y

Se resuelve por el método de sustituición:x

x � 15� 2

32x � 30 � 3x30 � xSustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y:y � 30 � 15 � 45La solución del sistema es �30, 45�Las edades de las personas son 30 y 45 años

2. El perímetro de un rectángulos es de 14 cm, y su diagonal mide 5 cm. Halla sus lados.Gráficamente será:

Tenemos que:� perímetro de un rectángulos es de 14 cm� 2x � 2y � 14� su diagonal mide 5 cm� 52 � x2 � y2 Teorema de Pitágoras

Nos queda el sistema:

x � y � 7

x2 � y2 � 25

Aplicamos el método de sustitución:Despejamos x la primera ecuación:x � 7 � ySustituimos este valor de x en la segunda ecuación.�7 � y�2 � y2 � 2549 � 14y � y2 � y2 � 25 � 02y2 � 14y � 24 � 0y2 � 7y � 12 � 0, Solution is: 4, 3


a � 1

b � �7

c � 12

y ��b � b2 � 4ac

2a�

��7� � ��7�2 � 4 � 1 � 12

2 � 1�

7 � 12

� 7 � 12

�

8

�

7 � 12

� 82

� 4

7 � 12

� 62

� 3

Sustituimos estos valores de x para encontrar los correspondientes valores de x:� si y � 4 � x � 7 � 4 � 3� si y � 3 � x � 7 � 3 � 4

Las soluciones del sistema son �4, 3� y �3, 4�Los lados del rectángulo son 3cm y 4cm

Tareas 15-02-16; todas las tareas de la página 133

EJERCICIOS Y PROBLEMAS1.

d2x � 3y � �4

x � 8y � �2

Como se trata de dos rectas, habremos de confeccionar dos tablas de dos valores cada unapues cada una de las ecuaciones es una recta.� 2x � 3y � �4

Despejamos la y en función de la x:�3y � �4 � 2x

y � �4 � 2x�3

� 4 � 2x3

x 1 4

y 4 � 2 � 13

� 2 4 � 2 � 43

� 4�puntos �1, 2�, �4, 4�

� x � 8y � �2Despejamos la x en función de la y:x � �2 � 8y

x �2 � 8 � 0 � � 2 �2 � 8 � ��1� � 6

y 0 �1�puntos ��2, 0�, �6,�1�

Así la representación gráfica será:

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

9

Las rectas se cortan en un puntoTareas 09-01-17; todos los ejercicios que faltan del 1.2

d2x � 16 � 2y

2y � 3x � 16

Elegimos en la primera ecuación la x, para despejarla:2x � 2y � 16

x �2y � 16

2� y � 8

Sustituimos este valor de x en la segunda ecuación.2y � 3�y � 8� � 162y � 3y � 24 � 16�y � 16 � 24

y � �8�1

� 8

Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x:x � 8 � 8 � 0La solución del sistema es �0, 8�

Tareas 09-01-17: todos los ejercicios que faltan del 23

d3x � 4y � �4

2x � y � �1

Elegimos la y, para despejarla en las dos ecuaciones.

�4y � �4 � 3x

y � �1 � 2x

y � �4 � 3x�4

��4 � 3x�

�4� 4 � 3x

4y � �1 � 2x

Entonces nos queda que:

�1 � 2x � 4 � 3x4

4��1 � 2x� � 4 � 3x�4 � 8x � 4 � 3x�4 � 4 � 3x � 8x

x � �811

Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y:

y � �1 � 2 � �811

� �1 � 1611

� �11 � 1611

� 511

La solución del sistema es �811

, 511


10

d3x � 2y � 3

x � y � 76

Elegimos la x para conseguir en las dos ecuaciones el mismo coeficiente.

�3x � 2y � 3�2

x � y � 76

6

6x � 4y � 6

6x � 6y � 7

Restamos en columna:

6x � 4y � 6

6x � 6y � 7

/ �2y � �1

y � �1�2

� 12


3x � 2 � 12

� 3

3x � 1 � 33x � 3 � 1

x � 23


, 12


b9x � 13y � 54

11x � 7y � 22

Nos fijamos primero en la x, por lo que hacemos lo siguiente:

�9x � 13y � 54�11

�11x � 7y � 22�9�

99x � 143y � 594

99x � 63y � 198

Restamos en columna�

99x � 143y � 594

99x � 63y � 198

/ �80y � 396

y � 396�80

� � 9920

Nos fijamos en segundo lugar en la y, por lo que hacemos lo siguiente:

�9x � 13y � 54�7

�11x � 7y � 22�13�

63x � 91y � 378

143x � 91y � 286

11


63x � 91y � 378

143x � 91y � 286

�80x / � 92

x � 92�80

� � 2320

La solución del sistema es � 2320

,� 9920

Tareas 09-01-17: todos los ejercicios que faltan del 5Tareas 09-01-17: 6 (aviso hay que emplear al menos una vez cada uno de los métodos no gráficos)7

dx � 2y � 5

2x � 4y � �3

Como los coeficientes de las variables son proporcionales (multiplicamos por 2), pero eltérmino independiente no sigue esta regla, las rectas son paralelas. El sistema no tienesolución.Vamos a comprobarlo gráficamente.� x � 2y � 5

Tenemos que construir una tabla de valores con dos valores para representar la rectacorrespondiente.Despejamos x en función de y: x � 5 � 2y

x 5 � 2 � ��1� � 3 5 � 2 � 1 � 7

y -1 1�los puntos �3,�1�, �7, 1�

� 2x � 4y � �3Tenemos que construir una tabla de valores con dos valores para representar la rectacorrespondiente.

Despejamos y en función de x: 2x � 34

� y

x -1 1

y2 � ��1� � 3

4� 1

4� 0. 25 2 � 1 � 3

4� 5

4� 1. 25

�los puntos �1, 14

, 1, 54

La representación gráfica sería:

12

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

Es cierto lo dicho.Tareas 11-01-17: todos los ejercicios que faltan del 710

dx � y � 9

x2 � y2 � 41

Despejamos x en la primera ecuación para sustituir dicho valor en la segunda:x � 9 � y�9 � y�2 � y2 � 4181 � 18y � y2 � y2 � 412y2 � 18y � 40 � 0y2 � 9y � 20 � 0


a � 1

b � �9

c � 20

y ��b � b2 � 4ac

2a�

��9� � ��9�2 � 4 � 1 � 20

2 � 1�

9 � 12

� 9 � 12

�

�

9 � 12

� 102

� 5

9 � 12

� 82

� 4

Sustituir estos valores de y para hallar los correspondientes valores de x:� si y � 5 � x � 9 � 5 � 4� si y � 4 � x � 9 � 4 � 5

La solución del sistema es �4, 5�, �5, 4�Gráficamente es:

13

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y


d3x � 2y � 0

xy � 24

Despejamos x en la primera ecuación:3x � 2y

x �2y3

Sustituimos este valor de x en la 2ª ecuación:2y3

� y � 24

2y2

3� 24

y2 � 24 � 32

� 12 � 3 � 36

y � � 36 � �6Sustituimos estos valores de y para hallar los correspondientes valores de x:

� si y � 6 � x � 2 � 63

� 4

� si y � �6 � x �2 � ��6�

3� � 4

Las soluciones del sistema son �4, 6�, ��4,�6�Gráficamente sería:

14

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y


dx2 � y2 � 17

x2 � y2 � �25

Vamos a reducir las x:

Restamos en todas las columnas�

x2 � y2 � 17

x2 � y2 � �25

/ 2y2 � 42

y2 � 21y � � 21Vamos a averiguar x, también por reducción:

Sumamos en todas las columnas�

x2 � y2 � 17

x2 � y2 � �25

2x2 / � �8

x2 � �82

� �4

No tiene solución pues todo número elevado al cuadrado es positivo o cero.Entonces el sistema es incompatible, es decir, no tiene solución.

15

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

Tareas 11-01-17: todos los ejercicios que faltan del 12Tareas 11-01-17: 13,1415

PLANTEAMIENTO

Llamamosx es el número natural mayor

y es el número natural menor

Los datos son:� su suma es 154� x � y � 154

� su cociente 83

� xy � 8

3RESOLUCIÓN

Tenemos el sistema:

x � y � 154xy � 8

3Aplicamos el método de sustitución.En la primera ecuación despejamos la x:x � 154 � ySustituimos este valor de x en la segunda ecuación:154 � y

y � 83

462 � 3y � 8y

y � 46211

� 42


SOLUCIÓNLos números son 112 y 42

Tareas 11-01-17: 16,1718

16

PLANTEAMIENTO

Llamamosx es el número de alumnos de ESO

y es el número de alumnos de Bachillerato

Los datos que tenemos son:� 42% de la ESO y 52% de Bachillerato son chicas para un total de

196� 42100

x � 52100

y � 196

� los estudiantes de Secundaria son 420� x � y � 420RESOLUCIÓN

Tenemos el sistema42x � 52y � 19600

x � y � 420

Aplicamos el método de igualación. Despejamos en las dos ecuaciones la y:

52y � 19600 � 42x

y � 420 � x

y � 19600 � 42x52

y � 420 � x

Igualamos las dos expresiones de y:19600 � 42x

52� 420 � x

19600 � 42x � 21 840 � 52x19600 � 21840 � �52x � 42x

x � �2240�10

� 224

Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y:y � 420 � 224 � 196La solución del sistema es �224, 196�

SOLUCIÓNHay 224 en la ESO y 196 en Bachillerato.

Tareas 12-01-17: 19, 2021

PLANTEAMIENTO

Llamamosx es el número mayor

y es el número menor

Tenemos que:� los dos números suma 34� x � y � 34� si al mayor lo dividimos entre 3 y al menor entre cuatro, los resultados obtenidos se

diferencian en 2 unidades� x3

�y4

� 2

RESOLUCIÓN

Tenemos el sistemax � y � 34x3

�y4

� 2

Aplicamos el método de reducción. Elegimos la x, para así multiplicar la segunda ecuación por3.

x � y � 34

x3

�y4

� 2 3

17

Restamos en cada columna�

x � y � 34

x �3y4

� 6

/7y4

� 28

y � 28 � 47

� 4 � 4 � 16


SOLUCIÓNLos números son 18 y 16

Tareas 12-01-16: 22, 2324

PLANTEAMIENTOTenemos la siguiente tabla:

edad actual dentro de quince años

Carmen x x � 15

Maite y y � 15

x � 3y x � 15 � 2�y � 15�

Los datos son:� dentro de quince años será el doble de la que entonces tenga su hija� x � 15 � 2�y � 15�� la edad de Carmen es el triple de la de su hija Maite� x � 3y

RESOLUCIÓN

Tenemos el siguiente sistema:x � 3y

x � 15 � 2�y � 15�

Aplicamos el método de igualación. Despejamos x en las dos ecuaciones.

x � 3y

x � 2�y � 15� � 15

Igualamos las expresiones de x obtenidas.3y � 2�y � 15� � 153y � 2y � 30 � 15y � 15Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x:x � 3 � 15 � 45La solución del sistema es �45, 15�

SOLUCIÓNLa edad de la madre es 45 años y 15 años la de la hija.

Tareas 12-01-17: 25,2627

PLANTEAMIENTO

18

Llamamosx es el precio de los pantalones

y es el precio de los zapatos

Los datos son:� por un pantalón y unos zapatos he pagado 126 euros� x � y � 126� si el precio del pantalón aumentará en un 14% entonces sería el 75% del precio de los

zapatos� x � 14100

x � 75100

y

RESOLUCIÓN

Tenemos el sistemax � 14

100x � 75

100y

x � y � 126�

114100

x � 75100

y

x � y � 126�

114x � 75y

x � y � 126

Aplicamos el método de sustitución. Despejamos la x en la segunda ecuación.x � 126 � ySustituimos este valor de x en la primera ecuación.114�126 � y� � 75y14 364 � 114y � 75y

y � 14364114 � 75

� 76

Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x.x � 126 � 76 � 50La solución del sistema es �50, 76�

SOLUCIÓNLos zapatos cuestan 76 euros y los pantalones 50

Tareas 12-01-17: 28,29ADVERTENCIA : SE HAN DE APLICAR TODOS LOS MÉTODOS ANALÍTICOS AL MENOS DOSVECES30

PLANTEAMIENTO

Tenemos la tabla siguiente:

Entonces para el coche será� 25 � x � 110 � tY para el autobús será� x � 90 � t

RESOLUCIÓN

19

Tenemos que resolver el siguiente sistema:25 � x � 110t

x � 90t

Aplicamos el método de reducción:


25 � x � 110t

x � 90t

25 / � 20t

t � 2520

� 54

� 1. 25

Sustituimos este valor de t para hallar el correspondiente valor de x:x � 90 � 1. 25 � 112. 5La solución del sistema es �112. 5, 1. 25�

SOLUCIÓNLa distancia recorrida es 137.5 km en un tiempo de 1 h 15 min

Tareas 17-01-16: 31,3233

PLANTEAMIENTO

Llamamosx es la distancia entre los pueblos

t es el tiempo que tarda si va vacío

Los datos son:� Cuando va con niños lleva una velocidad media de 60 km/h y tarda un cuarto de hora

más que si va vacío� x � 60 � �t � 0. 25�� Cuando va sin niños lleva una velocidad de 100 km/h� x � 100 � t� espacio � velocidad � tiempo

RESOLUCIÓN

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:x � 60�t � 0. 25�

x � 100t

Aplicamos el método de igualación:60t � 15 � 100t15 � 40t

t � 1540

� 38

� 0. 375

Sustituimos este valor de t para hallar el correspondiente valor de x:x � 100 � 0. 375 � 37. 5

La solución del sistema es 37. 5, 38

SOLUCIÓN

La distancia es 37.5 km y el tiempo es 38

� 60 � 452

�

� 22. 5 � 22 min 30 sTareas 13-01-17: 34,3536

PLANTEAMIENTO

20

Llamamosx es la cifra de las decenas

y es la cifra de las unidades

Los datos nos dicen:� si a un número de dos cifras le restamos el que resulta de invertir el orden de estas

obtenemos el doble de la cifra de las decenas del númeroinicial� 10x � y � �10y � x� � 2x

� sus cifras suman 16� x � y � 16RESOLUCIÓN

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:10x � y � 10y � x � 2x

x � y � 16

Aplicamos el método de sustitución.Despejamos x en la segunda ecuación para sustituirla en la primera:x � 16 � y9�16 � y� � 9y � 2�16 � y�144 � 9y � 9y � 32 � 2y144 � 32 � �2y � 18y

y � 11216

� 7


SOLUCIÓNEl número es 97

Tareas 13-01-17: 37,38,40,41,4239

PLANTEAMIENTOTenemos el siguiente triángulo rectángulo:

Los datos son:� la diferencia entre los catetos es de 6 cm� x � 6 � y� el triángulo es rectángulo�Teorema de Pitágoras� x2 � y2 � 302

RESOLUCIÓN

x � 6 � y

x2 � y2 � 900

21

Aplicamos el método de sustitución: cambiamos y por su valor en la segunda ecuación.x2 � �x � 6�2 � 900x2 � �x2 � 12x � 36� � 900x2 � x2 � 12x � 36 � 900 � 02x2 � 12x � 864 � 0x2 � 6x � 432 � 0

Ecuación completa de 2º grado con

a � 1

b � �6

c � �432

x ��b � b2 � 4ac

2a�

��6� � ��6�2 � 4 � 1 � ��432�2 � 1

�6 � 1764

2�

� 6 � 422

�

6 � 422

� 482

� 24

6 � 422

� �362

� �18

Sustituimos estos valores de x para hallar los correspondientes valores de y:� si x � 24 � y � 24 � 6 � 18� si x � �18 � y � �18 � 6 � � 24

La solución del sistema es �24, 18�, ��18,�24�SOLUCIÓN

Los lados miden 24 cm y 18 cm

EXAMEN DEL TEMA 23-01-17

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