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Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 1

TEMA 4:

Ecuaciones y sistemas de ecuaciones


ESQUEMA DE LA UNIDAD

1.- Ecuaciones de primer grado.

2.- Ecuaciones de segundo grado completas.

3.- Ecuaciones de segundo grado incompletas.

3.1.- Caso 0b .

3.2.- Caso 0c .

4.- Propiedades de las ecuaciones de segundo grado.

5.- Ecuaciones bicuadradas.

6.- Sistemas de ecuaciones lineales.

6.1.- Método de sustitución.

6.2.- Método de igualación.

6.3.- Método de reducción.

6.4.- Método gráfico.

1.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Para resolver las ecuaciones de primer grado se recomienda seguir los siguientes pasos:

1. Quitar los paréntesis.

2. Si hay fracciones ponerle a todas el mismo denominador.

3. Quitar los denominadores teniendo mucho cuidado con los signos.

4. Pasar todos los términos que contengan la incógnita a la izquierda de la ecuación y todos

los términos que no la tengan a la derecha.

5. Agrupar en ambos lados de la ecuación.

6. Despejar la incógnita pasando el número que tiene delante al otro lado de la ecuación

DIVIDIENDO.

Ejemplos: resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.

a)

2

3

8

7

4

32

2

13

xxx

2

3

8

7

4

32

2

13 xxx

2

3

8

7

4

62

2

33 xxx

8

12

8

7

8

124

8

1212

xxx

1271241212 xxx 1212127412 xxx 36x


b)

5

33

15

124

3

12

5

2

xxxx

5

93

15

48

3

22

5

2 xxxx

15

279

15

48

15

1010

15

63 xxxx

27948101063 xxxx 10627498103 xxxx

3514x 14

35x

2.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS

Recordatorio:

Son ecuaciones de la forma 02 cbxax , donde cba ,, son números distintos de cero.

Estas ecuaciones se resuelven aplicando la siguiente fórmula: a

cabbx

2

42

Observaciones:

Antes de aplicar la fórmula para resolver la ecuación, hay que asegurarse de que todos los

términos de la ecuación están a la izquierda, quedando un cero a la derecha.

Al aplicar la fórmula no olvidar quiénes son cba ,, , ya que podemos tener desordenada la

ecuación y confundirnos.

Al radicando de la raíz que aparece en la fórmula ( cab 42 ) se le llama discriminante y

se representa con el símbolo . Según sea el discriminante de la ecuación podemos saber, sin

resolverla, cuántas soluciones tiene la ecuación de segundo grado:

Si 0 , entonces la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.

Si 0 , entonces la ecuación solo tiene una solución real (doble).

Si 0 , entonces la ecuación no tiene ninguna solución real.

Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas.

a) 0762 xx

2

14

2

867

2

86

2

646

2

28366

12

714662

x

2

2

2

861


b) 01032 xx

2

4

2

732

2

73

2

493

2

4093

12

101433 2

x

2

10

2

735

3.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS

Son ecuaciones de la forma 02 cbxax donde """" cob vale cero. Aunque se pueden

resolver con la misma fórmula que las ecuaciones de segundo grado completas, hay una forma más

rápida de resolverlas.

3.1.- Caso b = 0

En este caso el término que le falta a la ecuación es la “x”. Se podría resolver siguiendo los

siguientes pasos:

1. Se resuelve la ecuación como si fuera de primer grado; es decir, como si la “x” no estuviera

elevada al cuadrado.

2. Cuando esté despejada la “ 2x ”, el cuadrado se pasa al otro lado en forma de raíz cuadrada,

sin olvidar que cuando se saca la raíz cuadrada de un número hay dos soluciones, una positiva y

otra negativa.

Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) 0273 2 x

0273 2x 273 2x 3

272x 92x xx 9 3

b) 0255 2 x

0255 2x 255 2x 5

252x xx 52 5

c) 06416 2 x

06416 2x 6416 2x 16

642x 42x xx 4 2

d) 0182 2 x

0182 2x 182 2x 2

182x 92x xx 9 3


3.2.- Caso c = 0

En este caso el término que le falta a la ecuación es el término independiente. Se podría resolver

siguiendo los siguientes pasos:

1. Se saca factor común.

2. Se plantean dos ecuaciones, una en la que se iguala a cero lo que ha quedado fuera del

paréntesis después de haber sacado factor común, y otra igualando a cero lo que ha quedado dentro

del paréntesis.

3. Las soluciones de esas dos ecuaciones serán las soluciones de la ecuación de segundo grado

que estamos buscando.

Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) 0255 2 xx

xx 05 0

0550255 2 xxxx

xx 05 5

b) 027 2 xx

xx 0 0

027027 2 xxxx

xxx 270277

2

c) 0126 2 xx

xx 06 0

0260126 2 xxxx

xx 02 2

d) 0248 2 xx

xx 08 0

0380248 2 xxxx

xx 03 3

4.- PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Si llamamos 1x y 2x a las soluciones de una ecuación de segundo grado de la forma

02 cbxax , se cumple lo siguiente:

La suma de las soluciones vale a

b; es decir:

a

bxxS

21


El producto de las soluciones vale a

c; es decir,

a

cxxP 21

Si la ecuación 02 cbxax se divide término a término entre “a” se obtiene lo

siguiente:

00

0 22

2

a

cx

a

bx

aa

c

a

xb

a

axcbxax

Pero como a

bS

y

a

cP , la ecuación de segundo grado se puede terminar escribiendo

también de esta manera: 02 PSxx

La descomposición en factores de una ecuación de segundo grado de la forma

02 cbxax , es la siguientes: 021 xxxxa , donde 1x y 2x son las soluciones de

la ecuación.

Ejemplo: expresa la ecuación 0633 2 xx como producto de factores.

Primero resolvemos la ecuación para hallar las soluciones:

Así, la ecuación se puede expresar factorizada de esta manera: 0213 xx

5.- ECUACIONES BICUADRADAS

Son ecuaciones de la forma 024 cbxax , donde a, b, c son números reales y "a" no puede

valer cero.

Cuando "b" y "c" tampoco valen cero, a la ecuación bicuadrada se le llama completa, y en el

caso de que o "b" o "c" sean cero, se le llama incompleta, al igual que sucede con las ecuaciones de

segundo grado.

Las ecuaciones bicuadradas hay que transformarlas mediante lo que se conoce como un cambio

de variable en una ecuación de segundo grado. Los pasos que hay que seguir para resolverlas, de

una manera más detallada, son los siguientes:

1. Hacer el cambio de variable yx 2 , quedando así una ecuación de segundo grado. Vamos

a verlo: cambio de variable yx 2

00 22224 cbxxacbxax 02 cbyay


2. Resolver la ecuación de segundo grado, obteniendo así el valor de "y", que no es la

incógnita de la ecuación que tenemos que resolver.

3. Deshacer el cambio de variable que se hizo en el paso 1 para obtener el valor de "x", que es

el que nos interesa:

yx2 yx

Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas.

a) 045 24 xx

12

41455045045045

2

222224 yyyxxxx

2

8

2

354 442 xx 2x

2

35

2

95

2

16255

2

2

2

351 112 xx 1x

b) 0214 24 xx

12

211444021402140214

2

222224 yyyxxxx

2

12

2

846 62x 6x

2

84

2

644

2

48164

2

4

2

842 22x 2x No es real

c) 032 24 xx

22

32411032032032

2

222224 yyyxxxx

4

6

4

51

2

3

2

32x2

3x

4

51

4

251

4

2411

4

4

4

511 12x 1x No es real


6.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de varias ecuaciones con varias incógnitas. Según el

número de soluciones que tengan, los sistemas pueden ser de tres tipos:

Sistema compatible determinado: es aquel que tiene solamente una solución.

Gráficamente este tipo de sistemas viene representado por dos rectas

secantes; es decir, por dos rectas que se cortan en un solo punto (que es

la solución del sistema).

Analíticamente, cuando se resuelve el sistema, sale un valor para

cada una de las incógnitas.

Sistema compatible indeterminado: es aquel que tiene infinitas soluciones.

Gráficamente este tipo de sistemas viene representado por dos rectas coincidentes; es decir, dos

rectas que son la misma (las soluciones del sistema son los infinitos puntos de cualquiera de las

rectas):

Analíticamente, cuando se resuelve el sistema, sale una igualdad entre dos números que es

cierta (por ejemplo 44 ).

Sistema incompatible: es aquel que no tiene solución.

Gráficamente este tipo de sistemas viene representado por dos rectas paralelas; es decir, que no

se cortan nunca:

Analíticamente, cuando se resuelve el sistema, sale una igualdad entre dos números que no es

cierta (por ejemplo 9 = 4).


6.1.- Método de sustitución

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución se aconseja seguir los

siguientes pasos:

1. Despejar una incógnita de una de las ecuaciones.

Observaciones:

- Para evitar errores con los signos, se aconseja despejar una incógnita que tiene delante un

número positivo. Si interesa despejar una incógnita que tiene delante un número negativo, antes

de hacerlo se le puede cambiar el signo a toda la ecuación para que pase a ser positivo.

- Aunque se puede despejar la incógnita que se quiera, lo más fácil es despejar una incógnita

que tenga delante un “1”.

2. Sustituir la incógnita despejada en la otra ecuación, quedando así una ecuación de primer

grado.

3. Resolver la ecuación resultante en el paso anterior, así se obtiene el valor de una de las

incógnitas.

4. Hallar el valor de la otra incógnita.

Ejemplo: resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución

a) 952

53

yx

yx

Despejamos la “y” de la primera ecuación:

53 yx 53 xy

Sustituimos en la segunda ecuación la “y” despejada y resolvemos la ecuación que queda:

341725915292515295352952 xxxxxxxyx

17

34x 2x

Calculamos el valor de “y”:

Una vez que se tiene el valor de una de las incógnitas, para hallar lo que vale la otra se

puede coger cualquiera de las ecuaciones que han aparecido a lo largo del ejercicio en la que

aparezca la incógnita que falta por calcular.

Aquí vamos a coger la ecuación que salió cuando se despejó la “y” en el primer paso:

5652353 yyxy 1y


b) 1223

73

yx

yx

Despejamos la “y” de la segunda ecuación, pero para no tener problemas con los signos,

como tiene delante un número negativo, antes le cambiamos el signo a la ecuación entera:

1223 yx 12321223 xyyx2

123

xy

Sustituimos en la primera ecuación la “y” despejada y resolvemos la ecuación que queda:

2

14

2

369

2

27

2

3697

2

123373

xxxx

xxyx

11

222211361492143692 xxxxxx 2x

Calculamos el valor de “y”:

Una vez que se tiene el valor de una de las incógnitas, para hallar lo que vale la otra se

puede coger cualquiera de las ecuaciones que han aparecido a lo largo del ejercicio en la que

aparezca la incógnita que falta por calcular.

Aquí vamos a coger la primera ecuación del sistema de partida:

3

99327373273 yyyyyx 1y

6.2.- Método de igualación

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de igualación se aconseja seguir los

siguientes pasos:

1. Despejar una incógnita de una de las ecuaciones. (Recordar la observación que se hizo en el

punto anterior).

2. Despejar la misma incógnita de la otra ecuación.

3. Igualar las incógnitas despejadas en los pasos anteriores y resolver la ecuación que queda.

4. Hallar el valor de la otra incógnita.

Ejemplo: resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación

a) 952

53

yx

yx

Despejamos la “y” de la primera ecuación:

5353 yxyx 53 xy


Despejamos la “y” de la segunda ecuación:

xyyx 2959525

29 xy

Igualamos y resolvemos:

34172592152925155

29

5

2515

5

2953 xxxxx

xxxx

17

34x 2x

Calculamos la otra incógnita:

5652353 yyxy 1y

b) 1223

73

yx

yx

Despejamos la “x” de la primera ecuación:

73yx yx 37

Despejamos la “x” de la segunda ecuación:

12231223 yxyx3

122

yx

Igualamos y resolvemos:

2112291229213

122

3

921

3

12237 yyyy

yyyy

11

333311211229 yyyy 3y

Calculamos la otra incógnita:

9733737 yxyx 2x

6.3.- Método de reducción

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de reducción se aconseja seguir los

siguientes pasos:


1. Multiplicar la primera ecuación por el coeficiente que tenga en la otra ecuación una de las

incógnitas.

2. Multiplicar la segunda ecuación por el coeficiente que tenga en la primera ecuación la misma

incógnita que antes.

Observación: si antes de multiplicar las ecuaciones observamos que se pueden simplificar los

números por los que vamos a multiplicarlas, se simplifican.

3. Comprobar que una de las incógnitas aparece con coeficientes opuestos (mismo número pero

de signo contrario) en las ecuaciones. Si es así hay que sumar dichas ecuaciones. Si hay una

incógnita que tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones, con el mismo signo, antes de

sumarlas a una de las ecuaciones hay que cambiarle el signo a cada uno de sus términos.

4. Despejar la incógnita.

5. Calcular el valor de la otra incógnita.

Ejemplo: resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción

a) 952

53

yx

yx

Multiplicamos cada ecuación por el coeficiente que tenga la “x” en la otra ecuación:

952

53

yx

yx →

9523

532

yx

yx →

27156

1026

yx

yx →

27156

1026

yx

yx

1717 y Como la “x” ha quedado con el mismo número y signo delante, se le cambia el signo a una de las ecuaciones, por ejemplo a la primera.

17

171717 yy 1y

Calculamos el valor de la otra incógnita:

3

66315351353 xxxxyx 2x

b) 4565

932

yx

yx

Multiplicamos cada ecuación por el coeficiente que tenga la “y” en la otra ecuación:

4565

932

yx

yx →

45653

9326

yx

yx →

45651

9322

yx

yx →

4565

1864

yx

yx

Como estos números se pueden simplificar dividiéndolos entre 3, lo hacemos para trabajar con números más pequeños.


Como la “y” ha quedado con el mismo número y signo delante en las dos ecuaciones, se le cambia el signo a una de ellas, por ejemplo a la primera.

4565

1864

yx

yx →

4565

1864

yx

yx

63x

Calculamos el valor de la otra incógnita:

1353126939312693632932 yyyyyx

3

135y 45y

6.4.- Método gráfico

En un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, cada una de las ecuaciones representa a

una recta. Si representamos gráficamente las dos ecuaciones podemos determinar de qué tipo es el

sistema sin necesidad de resolverlo, bastará ver la posición relativa de dichas rectas.

Recordatorio:

Rectas secantes (las que se cortan en un puno): S.C.D.

Rectas coincidentes (cuando las dos rectas son la misma): S.C.I.

Rectas paralelas (que no se cortan): S.I.

Para representar gráficamente cada ecuación, hay que despejar una de las incógnitas

(normalmente se despeja la "y"), elaborar una tabla de valores y representar los valores de la tabla

en unos ejes de ordenadas.

Ejemplo: estudia gráficamente la compatibilidad de los siguientes sistemas, indicando la

solución en caso de ser compatible determinado.

a) 2

6

yx

yx

Primera ecuación: 6 yx

Se despeja la "y":

6yx xy 6

Se hace la tabla de valores:

A la incógnita que no se ha despejado (en nuestro caso la "x") se le dan tres o cuatro valores,

los que uno quiera, y después se va sustituyendo cada uno de ellos en la expresión donde está la

"y" despejada para saber cuánto vale esa incógnita en cada caso:


x y

1 5 1x 16y 5y

3 3 3x 36y 3y

5 1 5x 56y 1y

Segunda ecuación: 2 yx

Se despeja la "y":

2yx 2 xy


A la incógnita que no se ha despejado (en nuestro caso la "x") se le dan tres o cuatro valores,

los que uno quiera, y después se va sustituyendo cada uno de ellos en la expresión donde está la

"y" despejada para saber cuánto vale esa incógnita en cada caso:

x y

1 -1 1x 21y 1y

3 1 3x 23y 1y

5 3 5x 25y 3y

Se representan las rectas:

Rectas secantes → S.C.D.

Solución: 2,4 yx

b) 3

622

yx

yx


Se despeja la "y":

xyyx 2626222

26 xy



x y

-1 4 1x

2

8

2

26

2

126yyy 4y

1 2 1x

2

4

2

26

2

126yyy 2y

2 -2 5x

2

4

2

106

2

526yyy 2y


Se despeja la "y":

3yx xy 3


x y

1 2 1x 13y 2y

3 0 3x 33y 0y

5 -2 5x 53y 2y


Rectas coincidentes → S.C.I.

c) 1

5

yx

yx


Se despeja la "y":

5yx xy 5



x y

-1 6 1x 1515 yy 6y

1 4 1x 15y 4y

2 3 5x 25y 3y


Se despeja la "y":

1yx xy 1


x y

1 0 1x 11y 0y

3 -2 3x 31y 2y

5 -4 5x 51y 4y


Rectas paralelas → S.I.

FIN DEL TEMA

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