Tema 7 - Sistemas de Ecuaciones

Indice1.- Conceptos previos. Definiciones

2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones

TEMA 7 -SISTEMAS DE ECUACIONES

Antonio Enrıquez Padial

16 de abril de 2012

Antonio Enrıquez Padial TEMA 7 -SISTEMAS DE ECUACIONES

1 1.- Conceptos previos. DefinicionesEcuaciones con dos incognitasSistemas de Ecuaciones

2 2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de EcuacionesMetodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion

3 3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuacionesResolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones

Ecuaciones con dos incognitasSistemas de Ecuaciones

Ecuaciones con dos incognitas

Definicion de ecuacion de primer grado con dos incognitas

Llamamos ecuacion de primer grado con dos incognitas a unaexpresion algebraica del tipo ax + by = c donde a y b son loscoeficientes, c el termino independiente y x e y son las incognitas.

Ejemplo

3x + 4y = 10Este es un ejemplo de ecuacion de primer grado con dos incognitas.

Definicion de ecuacion de primer grado con dos incognitas

Llamamos ecuacion de primer grado con dos incognitas a unaexpresion algebraica del tipo ax + by = c donde a y b son loscoeficientes, c el termino independiente y x e y son las incognitas.

Ejemplo

3x + 4y = 10Este es un ejemplo de ecuacion de primer grado con dos incognitas.

Definicion

Llamamos solucion de una ecuacion de primer grado con dosincognitas a un par de numeros que hacen que se cumpla esaecuacion.

Ejemplo

Supongamos una ecuacion de primer grado con dos incognitas, porejemplo, 3x + 4y = 10Una solucion de esa ecuacion va a ser la que se consigue parax = 2 e y = 1Si sustituyo tendrıamos que: 3(2) + 4(1) = 6 + 4 = 10

Definicion

Llamamos solucion de una ecuacion de primer grado con dosincognitas a un par de numeros que hacen que se cumpla esaecuacion.

Ejemplo

Supongamos una ecuacion de primer grado con dos incognitas, porejemplo, 3x + 4y = 10Una solucion de esa ecuacion va a ser la que se consigue parax = 2 e y = 1Si sustituyo tendrıamos que: 3(2) + 4(1) = 6 + 4 = 10

Sistemas de Ecuaciones de primer grado

Definicion

Llamamos sistema de ecuaciones de primer grado con dosincognitas, a una expresion algebraica del tipo:{

ax + by = ca′x + b′y = c ′

Definicion

Una solucion de un sistema de ecuaciones es un par de numerosque verifican las dos ecuaciones simultaneamente.

Dos sistemas se dicen equivalentes si tienen las mismas soluciones

Definicion

ax + by = ca′x + b′y = c ′

Definicion

ax + by = ca′x + b′y = c ′

Definicion

ax + by = ca′x + b′y = c ′

Definicion

Ejemplo

Supongamos el siguiente sistema:

{2x + y = 9x − y = 3

}Dado este sistema de ecuaciones, tanteando podemos ver que lasposibles soluciones son las siguientes:{

x = 3y = 3

{x = 4y = 1

}Basta con sustituir en el sistema y comprobamos que la solucioncorrecta es x = 4 e y = 1Por tanto la solucion del sistema es x = 4 e y = 1

Un sistema se dice compatible si tiene solucion y se diceincompatible si no la tiene.

En los sistemas compatibles podemos distinguir entre los quetienen una unica solucion, que llamaremos sistemascompatibles determinados y los que tienen infinitassoluciones, que llamaremos sistemas compatiblesindeterminados

Un sistema se dice compatible si tiene solucion y se diceincompatible si no la tiene.

En los sistemas compatibles podemos distinguir entre los quetienen una unica solucion, que llamaremos sistemascompatibles determinados y los que tienen infinitassoluciones, que llamaremos sistemas compatiblesindeterminados

Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion

Metodo de Sustitucion

El metodo de sustitucion consiste en lo siguiente:

1 Despejamos una de las incognitas de una de las ecuaciones

2 Sustituimos el valor de esa incognita en la otra ecuacion

3 Al sustituir obtendremos una ecuacion de primer grado conuna sola incognita

4 Resolvemos la ecuacion y obtenemos el valor de una incognita

5 Con el valor de esa incognita, calculamos el de la otra

Sistema resuelto por el metodo de sustitucion

1 Queremos resolver el siguiente sistema:

{2x + y = 7

3x + 2y = 11

2 Despejo y en la primera ecuacion por ser mas facil quedandoque:y = 7 − 2x

3 Sustituyo ese valor de y, en la otra ecuacion:3x + 2(7 − 2x) = 11

4 Resolvemos esta ecuacion de primer grado: 3x + 14 − 4x = 11y tenemos que x = 3

{2x + y = 7

3x + 2y = 11

}2 Despejo y en la primera ecuacion por ser mas facil quedando

que:y = 7 − 2x

{2x + y = 7

3x + 2y = 11

que:y = 7 − 2x

{2x + y = 7

3x + 2y = 11

que:y = 7 − 2x

Sistema resuelto por el metodo de sustitucion-Continuacion

1 Ya hemos obtenido el valor de la primera incognita, x = 3.Con este valor sustituimos en cualquier de las ecuaciones yobtenemos el valor de y

2 Sustituimos en y = 7 − 2x , y tenemos quey = 7 − 2(3) = 7 − 6 = 1. De donde tenemos que y = 1

3 Por tanto, las soluciones de este sistema son: x = 3 e y = 1

Metodo de Igualacion

El metodo de igualacion consiste en lo siguiente:

1 Despejamos la misma incognita de las dos ecuaciones

2 Igualamos ambas incognitas.

3 Al igualar obtendremos una ecuacion de primer grado con unasola incognita

Sistema resuelto por el metodo de igualacion

{2x + y = 7

3x + 2y = 11

2 Despejo y en ambas ecuaciones y nos queda:

{y = 7 − 2x

y =11 − 3x

}3 Igualamos ambos valores de y, y tenemos que:

7 − 2x =11 − 3x

24 Resolvemos esta ecuacion de primer grado y tenemos que

2(7 − 2x) = 11 − 3x , de donde se tieneque:14− 4x = 11− 3x , de donde despejando se tiene que x=3

{2x + y = 7

3x + 2y = 11

}2 Despejo y en ambas ecuaciones y nos queda:

{y = 7 − 2x

y =11 − 3x

3 Igualamos ambos valores de y, y tenemos que:

7 − 2x =11 − 3x

{2x + y = 7

3x + 2y = 11

{y = 7 − 2x

y =11 − 3x

7 − 2x =11 − 3x

4 Resolvemos esta ecuacion de primer grado y tenemos que2(7 − 2x) = 11 − 3x , de donde se tieneque:14− 4x = 11− 3x , de donde despejando se tiene que x=3

{2x + y = 7

3x + 2y = 11

{y = 7 − 2x

y =11 − 3x

7 − 2x =11 − 3x

Sistema resuelto por el metodo de igualacion-Continuacion

Metodo de Reduccion

El metodo de reduccion consiste en lo siguiente:

1 Nos fijamos en los coeficientes de las incognitas de las dosecuaciones

2 Intentamos que los coeficientes de alguna de las incognitassean iguales y de signo contrario

3 Cuando en alguna de las incognitas los coeficientes son igualesy de signo contrario, sumamos ambas ecuaciones

4 Obtenemos una ecuacion de primer grado con una solaincognita

Metodo de Reduccion

Sistema resuelto por el metodo de reduccion

{2x + y = 7

3x + 2y = 11

2 Me fijo en los coeficientes y voy a hacer que el coeficiente dey en la primera ecuacion sea −2, para que sea el mismo queen la ecuacion de abajo pero con el signo contrario

3 Para cambiar ese coeficiente, multiplico la primera ecuacionpor (-2), y nos queda: −4x − 2y = −14

4 En ese momento lo que tenemos es este

sistema:

{−4x − 2y = −14

3x + 2y = 11

}5 Sumamos ambas ecuaciones y nos queda:−x = −3,, de

donde, x = 3

Metodo de Reduccion

{2x + y = 7

3x + 2y = 11

}2 Me fijo en los coeficientes y voy a hacer que el coeficiente de

y en la primera ecuacion sea −2, para que sea el mismo queen la ecuacion de abajo pero con el signo contrario

sistema:

{−4x − 2y = −14

3x + 2y = 11

donde, x = 3

Metodo de Reduccion

{2x + y = 7

3x + 2y = 11

sistema:

{−4x − 2y = −14

3x + 2y = 11

donde, x = 3

Metodo de Reduccion

{2x + y = 7

3x + 2y = 11

sistema:

{−4x − 2y = −14

3x + 2y = 11

5 Sumamos ambas ecuaciones y nos queda:−x = −3,, dedonde, x = 3

Metodo de Reduccion

{2x + y = 7

3x + 2y = 11

sistema:

{−4x − 2y = −14

3x + 2y = 11

donde, x = 3

Metodo de Reduccion

Sistema resuelto por el metodo de reduccion-Continuacion

2 Sustituimos en 2x + y = 7, y tenemos que 2(3) + y = 7. Dedonde despejando tenemos que y = 1

Nota importante

La solucion de un sistema de ecuaciones es la misma sea cual seael metodo por el que se resuelve

Metodo de Reduccion

Nota importante

Metodo de Reduccion

Nota importante

Metodo de Reduccion

Nota importante

Metodo de Reduccion

Nota importante

Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones

Pasos a seguir para resolver un problema con sistemas deecuaciones

1 Identificamos las incognitas, x e y

2 Planteamos las ecuaciones a partir del enunciado del problema

3 Resolvemos el sistema por alguno de los metodos aprendidos

4 Comprobamos que los resultados obtenidos sean correctos

Resolucion de un problema con sistemas de ecuaciones

En una granja se crıan gallinas y conejos. Si se cuentan lascabezas, son 50, si las patas, son 134. ¿Cuantos animaleshay de cada clase?

1 Identificamos las incognitas: X=numero conejos; Y=numerogallinas.

2 Planteamos la primera ecuacion: x+y=50

3 Planteamos la segunda ecuacion: 4x+2y=134

4 Planteamos el sistema:

{x + y = 50

4x + 2y = 134

}5 Resolvemos el sistema por el metodo que mas nos guste, en

este caso, por sustitucion:

{x + y = 50

4x + 2y = 134

{x + y = 50

4x + 2y = 134

{x + y = 50

4x + 2y = 134

5 Resolvemos el sistema por el metodo que mas nos guste, eneste caso, por sustitucion:

{x + y = 50

4x + 2y = 134

Resolucion de un problema con sistemas deecuaciones-Continuacion

1 Si aplicamos sustitucion, despejo x de la primera ecuacion ynos queda que x = 50 − y

2 Sustituimos ese valor de x en la otra ecuacion y tenemos:4(50 − y) + 2y = 134. Resolvemos y tenemos que:200 − 4y + 2y = 134. Resolvemos y tenemos que: 2y = 74, dedonde y = 32. Por tanto el numero de gallinas es 32.

3 Con ese valor de y, calculamos el valor de x, y tenemos quex + 32 = 50, de donde x = 18

4 De donde tenemos que hay 32 gallinas y 18 conejos.

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