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Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 1

TEMA 4:

Ecuaciones y sistemas de ecuaciones


ESQUEMA DE LA UNIDAD

1.- Ecuaciones de primer grado.

2.- Ecuaciones de segundo grado completas.

3.- Ecuaciones de segundo grado incompletas.

3.1.- Caso 0b .

3.2.- Caso 0c .

4.- Ecuaciones bicuadradas.

5.- Ecuaciones racionales.

6.- Ecuaciones de grado mayor que dos.

7.- Ecuaciones irracionales.

8.- Ecuaciones exponenciales.

9.- Sistemas de ecuaciones lineales.

9.1.- Método de sustitución.

9.2.- Método de igualación.

9.3.- Método de reducción.

10.- Sistemas de ecuaciones no lineales.

1.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Para resolver las ecuaciones de primer grado se recomienda seguir los siguientes pasos:

1. Quitar los paréntesis.

2. Si hay fracciones ponerle a todas el mismo denominador.

3. Quitar los denominadores teniendo mucho cuidado con los signos.

4. Pasar todos los términos que contengan la incógnita a la izquierda de la ecuación y todos

los términos que no la tengan a la derecha.

5. Agrupar en ambos lados de la ecuación.

6. Despejar la incógnita pasando el número que tiene delante al otro lado de la ecuación

DIVIDIENDO.


Ejemplos: resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.

a)

2

3

8

7

4

32

2

13

xxx

2

3

8

7

4

32

2

13 xxx

2

3

8

7

4

62

2

33 xxx

8

12

8

7

8

124

8

1212

xxx

1271241212 xxx 1212127412 xxx 36x

b)

5

33

15

124

3

12

5

2

xxxx

5

93

15

48

3

22

5

2 xxxx

15

279

15

48

15

1010

15

63 xxxx

27948101063 xxxx 10627498103 xxxx

3514x 14

35x

2.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS

Recordatorio:

Son ecuaciones de la forma 02 cbxax , donde cba ,, son números distintos de cero.

Estas ecuaciones se resuelven aplicando la siguiente fórmula: a

cabbx

2

42

Observaciones:

- Antes de aplicar la fórmula para resolver la ecuación, hay que asegurarse de que todos los

términos de la ecuación están a la izquierda, quedando un cero a la derecha.

- Al aplicar la fórmula no olvidar quiénes son cba ,, , ya que podemos tener desordenada la

ecuación y confundirnos.

Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas.

a) 0762 xx

2

14

2

867

2

86

2

646

2

28366

12

714662

x

2

2

2

861


b) 01032 xx

2

4

2

732

2

73

2

493

2

4093

12

101433 2

x

2

10

2

735

3.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS

Son ecuaciones de la forma 02 cbxax donde """" cob vale cero. Aunque se pueden

resolver con la misma fórmula que las ecuaciones de segundo grado completas, hay una forma más

rápida de resolverlas.

3.1.- Caso b = 0

En este caso el término que le falta a la ecuación es la “x”. Se podría resolver siguiendo los

siguientes pasos:

1. Se resuelve la ecuación como si fuera de primer grado; es decir, como si la “x” no estuviera

elevada al cuadrado.

2. Cuando esté despejada la “ 2x ”, el cuadrado se pasa al otro lado en forma de raíz cuadrada,

sin olvidar que cuando se saca la raíz cuadrada de un número hay dos soluciones, una positiva y

otra negativa.

Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) 0273 2 x

0273 2x 273 2x 3

272x 92x xx 9 3

b) 0255 2 x

0255 2x 255 2x 5

252x xx 52 5

c) 06416 2 x

06416 2x 6416 2x 16

642x 42x xx 4 2

d) 0182 2 x

0182 2x 182 2x 2

182x 92x xx 9 3


3.2.- Caso c = 0

En este caso el término que le falta a la ecuación es el término independiente. Se podría resolver

siguiendo los siguientes pasos:

1. Se saca factor común.

2. Se plantean dos ecuaciones, una en la que se iguala a cero lo que ha quedado fuera del

paréntesis después de haber sacado factor común, y otra igualando a cero lo que ha quedado dentro

del paréntesis.

3. Las soluciones de esas dos ecuaciones serán las soluciones de la ecuación de segundo grado

que estamos buscando.

Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) 0255 2 xx

xx 05 0

0550255 2 xxxx

xx 05 5

b) 027 2 xx

xx 0 0

027027 2 xxxx

xxx 270277

2

c) 0126 2 xx

xx 06 0

0260126 2 xxxx

xx 02 2

d) 0248 2 xx

xx 08 0

0380248 2 xxxx

xx 03 3

4.- ECUACIONES BICUADRADAS

Son ecuaciones de la forma 024 cbxax , donde a, b, c son números reales y "a" no puede

valer cero.

Cuando "b" y "c" tampoco valen cero, a la ecuación bicuadrada se le llama completa, y en el

caso de que o "b" o "c" sean cero, se le llama incompleta, al igual que sucede con las ecuaciones de

segundo grado.


Las ecuaciones bicuadradas hay que transformarlas mediante lo que se conoce como un cambio

de variable en una ecuación de segundo grado. Los pasos que hay que seguir para resolverlas, de

una manera más detallada, son los siguientes:

1. Hacer el cambio de variable yx 2 , quedando así una ecuación de segundo grado. Vamos

a verlo: cambio de variable yx 2

00 22224 cbxxacbxax 02 cbyay

2. Resolver la ecuación de segundo grado, obteniendo así el valor de "y", que no es la

incógnita de la ecuación que tenemos que resolver.

3. Deshacer el cambio de variable que se hizo en el paso 1 para obtener el valor de "x", que es

el que nos interesa:

yx2 yx

Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas.

a) 045 24 xx

12

41455045045045

2

222224 yyyxxxx

2

8

2

354 442 xx 2x

2

35

2

95

2

16255

2

2

2

351 112 xx 1x

b) 0214 24 xx

12

211444021402140214

2

222224 yyyxxxx

2

12

2

846 62x 6x

2

84

2

644

2

48164

2

4

2

842 22x 2x No es real

c) 032 24 xx

22

32411032032032

2

222224 yyyxxxx


4

6

4

51

2

3

2

32x2

3x

4

51

4

251

4

2411

4

4

4

511 12x 1x No es real

5.- ECUACIONES RACIONALES

Son ecuaciones en las aparecen fracciones algebraicas. Para resolverlas se aconseja seguir los

siguientes pasos:

1. Si no lo tienen, ponerle a todas las fracciones el mismo denominador (que será el m.c.m. de

todos ellos).

2. Realizar las operaciones que quedan en los numeradores.

3. Quitar los denominadores teniendo cuidado con los signos. Recordar que si hay un signo

"-" delante de una fracción, al quitar el denominador hay que cambiarle el signo a todos los

términos del numerador.

4. Resolver la ecuación resultante, así se obtendrán POSIBLES soluciones de la ecuación

inicial.

5. Comprobar si las posibles soluciones obtenidas en el paso anterior son realmente

soluciones de nuestra ecuación.

Observación: la comprobación es necesaria por aparecer la incógnita en los denominadores de

las fracciones, ya que sabemos que no se puede dividir entre cero y cabe la posibilidad de que al

sustituir las posibles soluciones en los denominadores nos dé ese número, en cuyo caso el número

sustituido no podríamos considerar que es solución de la ecuación.

Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones

a) 024

22

2

x

x

x

x

22

220

22

2

22

120

24

2 2

2

2

xx

xx

xx

xx

xx

x

x

x

x

x

22

0

22

2

22

2 22

xxxx

xx

xx

x 022 22 xxx

2

222 xx 1x Posible solución


Comprobación: para ver si 1x es solución de nuestra ecuación tenemos que comprobar si

anula algún denominador.

024

22

2

x

x

x

x

1x 1x

412 21

03 01

Como al sustituir la "x" de los denominadores por "1", no se ha anulado ninguno de ellos,

podemos afirmar que 1x SÍ es solución de nuestra ecuación.

b) 196

3

3

22

xxx

x

2

2

2223

31

3

13

3

321

96

3

3

2

x

x

xx

xx

xxx

x

xxxxx

x

xx

xx

xxx693623

3

69

3

3

3

623 22

2

2

22

2

0369623 22 xxxxxx 0x Posible solución



196

3

3

22

xxx

x

0x 0x

30 90602

03 09

Como al sustituir la "x" de los denominadores por "0", no se ha anulado ninguno de ellos,

podemos afirmar que 0x SÍ es solución de nuestra ecuación.

c) 01

112

xxx

1

10

1

1

1

110

1

112 xx

xx

xx

x

xxxxx


1011

0

11

1xx

xxxx

x

xx 1x Posible solución



01

112

xxx

1x

112

0

Como al sustituir la "x" de los denominadores por "1", se ha anulado uno de ellos, podemos

afirmar que 1x NO es solución de nuestra ecuación, y como no hay otras posibles soluciones,

nuestra ecuación no tiene solución.

6.- ECUACIONES DE GRADO MAYOR QUE DOS

Son ecuaciones en las que la incógnita aparece elevada a un número mayor que dos. Para

resolverlas se aconseja seguir los siguientes pasos:

1. Descomponer o factorizar la ecuación.

2. Igualar a cero cada uno de los factores de la factorización, quedando así tantas ecuaciones

como factores tenga la ecuación, pero serán de grados menores que la inicial.

3. Resolver las ecuaciones planteadas en el paso anterior.

Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de grado mayor que dos

a) 0671344 234 xxxx

Factorización de la ecuación:

4 4 -13 -7 6

1x -1 -4 0 13 -6

4 0 -13 6 0

2x -2 -8 16 -6

4 -8 3 0

384 2 xx


Así, la ecuación factorizada queda de esta manera: 038421 2 xxxx

Igualar a cero cada uno de los factores y resolver:

038421 2 xxxx

01x 1x

02x 2x

42

344880384

2

2 xxx

8

48

8

168

8

48648

8

12

8

48

2

3

8

4

8

48

2

1

b) 0652 23 xxx

Factorización de la ecuación:

1 2 -5 -6

1x -1 -1 -1 6

1 1 -6 0

2x 2 2 6

1 3 0

3x

Así, la ecuación factorizada queda de esta manera: 0321 xxx

Igualar a cero cada uno de los factores y resolver:

0321 xxx

01x 1x

02x 2x

03x 3x


7.- ECUACIONES IRRACIONALES

Una ecuación irracional es una ecuación en la que la incógnita aparece dentro de una raíz (en

nuestro caso siempre serán raíces cuadradas).

Para resolver una ecuación irracional se aconseja seguir los siguientes pasos:

1. Asilar la raíz del resto de la ecuación; es decir, dejar la raíz a un lado del signo "=" y el

resto de términos de la ecuación al otro lado. Conviene siempre dejar la raíz en el lado donde

quede con un signo positivo delante.

2. En el lado en el que no está la raíz, agrupar todo lo que se pueda de manera que queden,

como mucho, dos términos.

3. Encerrar todo lo que hay a la izquierda del signo "=" en un solo paréntesis, y todo lo que

hay a la derecha del signo "=" en otro.

4. Elevar al cuadrado cada uno de los paréntesis, así se irá la raíz y quedará una ecuación sin

raíces.

5. Resolver la ecuación resultante en el paso anterior, obteniendo así POSIBLES soluciones

de la ecuación irracional.

6. Comprobar si las posibles soluciones obtenidas en el paso anterior son o no soluciones de la

ecuación de partida.

Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones irracionales

a) 31452 xxx

44513453145 222 xxxxxxxxx

xxxxxxxxxx 81645445445 2222

22

3

121230123081645 22 xxxxxxx 4x Posible

solución

Comprobación: comprobamos si 4x es solución de la ecuación irracional.

31452 xxx

4x 4x

34144542

1142016

110

11 soluciónesSíx 4


b) 552 xx

xxxxxxxxx 10255555555 2222

222

10

2020105251022 xxxxx 2x Posible solución

Comprobación: comprobamos si 2x es solución de la ecuación irracional.

552 xx

2x 2x

52522

354

39

33 soluciónesNox 2

3.- ECUACIONES EXPONENCIALES

Son ecuaciones en las que la incógnita aparece en el exponente de una potencia. Las hay de dos

tipos:

Ec. Monómicas son aquellas en las que se pueden expresar los dos términos de la

ecuación como una potencia de la misma base. Estas ecuaciones tienen dos términos.

Ejemplos:

a) 273 52 x

273 52 x

Se factorizan las bases (en este caso solo se factoriza el 27): 352 33 x

Cuando a ambos lados del "=" queden potencias con la misma base, se "tachan" las bases

de manera que quedan igualados los exponentes: 352 x

Por último se resuelve la ecuación que queda planteada en el paso anterior (ecuación en la

que ya no hay potencias). En este ejemplo queda una ecuación de primer grado:

2

222532352 xxxx 1x


b) 125

15 42

xx

Factorización de las bases (en este caso solo se factoriza el número 125): 3

4

5

15

2

xx

Se pasa la potencia 35 al numerador de la fracción (recordar que para pasar una potencia

del numerador al denominador o viceversa basta con cambiar de signo al EXPONENTE de

la potencia: 34 552 xx

Tachamos las bases y resolvemos la ecuación que queda:

2

12164

12

3144403434

2

22 xxxxx

2

6

2

243

2

24

2

44

2

2

2

241

Ec. Trinómicas son aquellas en las que es necesario hacer un cambio de variable para

resolverlas, transformándose la ecuación inicial en otra ecuación no exponencial. Estas ecuaciones

tienen más de dos términos.

Ejemplos:

a) 9033 2 xx

Aplicamos en la segunda potencia la propiedad de la suma de potencias de la misma base:

9039390333 2 xxxx

Hacemos el siguiente cambio de variable: yx 3 , con el que la ecuación queda de la

siguiente manera: 909 yy

Resolvemos la ecuación cuya incógnita es la "y":

10

909010909 yyyy 9y

Por último deshacemos el cambio de variable (quedando una ecuación exponencial del tipo

anterior):

233933 xxx y 2x


b) 655 1 xx

Aplicamos en la primera potencia la propiedad de división de potencias de la misma base:

655

5 x

x

Hacemos el siguiente cambio de variable: yx 5 , con el que la ecuación queda de la

siguiente manera: 65

yy

Resolvemos la ecuación cuya incógnita es la "y":

3055

30

5

5

56

5yy

yyy

y5

6

30306 yyy

Por último deshacemos el cambio de variable (quedando una ecuación exponencial del tipo

anterior):

155555 xxx y 1x

9.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de varias ecuaciones con varias incógnitas. Según el

número de soluciones que tengan, los sistemas pueden ser de tres tipos:

Sistema compatible determinado: es aquel que tiene solamente una solución.

Gráficamente este tipo de sistemas viene representado por dos rectas

secantes; es decir, por dos rectas que se cortan en un solo punto (que es

la solución del sistema).

Analíticamente, cuando se resuelve el sistema, sale un valor para cada una de las incógnitas.

Sistema compatible indeterminado: es aquel que tiene infinitas soluciones.

Gráficamente este tipo de sistemas viene representado por dos rectas

coincidentes; es decir, dos rectas que son la misma (las soluciones del

sistema son los infinitos puntos de cualquiera de las rectas).


Analíticamente, cuando se resuelve el sistema, sale una igualdad entre dos números que es

cierta (por ejemplo 44 ).

Sistema incompatible: es aquel que no tiene solución.

Gráficamente este tipo de sistemas viene representado por dos rectas paralelas; es decir, que no

se cortan nunca:

Analíticamente, cuando se resuelve el sistema, sale una igualdad entre dos números que no es

cierta (por ejemplo 9 = 4).

9.1.- Método de sustitución

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución se aconseja seguir los

siguientes pasos:

1. Despejar una incógnita de una de las ecuaciones.

Observaciones:

- Para evitar errores con los signos, se aconseja despejar una incógnita que tiene delante un

número positivo. Si interesa despejar una incógnita que tiene delante un número negativo, antes

de hacerlo se le puede cambiar el signo a toda la ecuación para que pase a ser positivo.

- Aunque se puede despejar la incógnita que se quiera, lo más fácil es despejar una incógnita

que tenga delante un “1”.

2. Sustituir la incógnita despejada en la otra ecuación, quedando así una ecuación de primer

grado.

3. Resolver la ecuación resultante en el paso anterior, así se obtiene el valor de una de las

incógnitas.

4. Hallar el valor de la otra incógnita.

Ejemplo: resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución

a) 952

53

yx

yx

Despejamos la “y” de la primera ecuación:

53 yx 53 xy


Sustituimos en la segunda ecuación la “y” despejada y resolvemos la ecuación que queda:

341725915292515295352952 xxxxxxxyx

17

34x 2x

Calculamos el valor de “y”:

Una vez que se tiene el valor de una de las incógnitas, para hallar lo que vale la otra se

puede coger cualquiera de las ecuaciones que han aparecido a lo largo del ejercicio en la que

aparezca la incógnita que falta por calcular.

Aquí vamos a coger la ecuación que salió cuando se despejó la “y” en el primer paso:

5652353 yyxy 1y

b) 1223

73

yx

yx

Despejamos la “y” de la segunda ecuación, pero para no tener problemas con los signos,

como tiene delante un número negativo, antes le cambiamos el signo a la ecuación entera:

1223 yx 12321223 xyyx2

123

xy

Sustituimos en la primera ecuación la “y” despejada y resolvemos la ecuación que queda:

2

14

2

369

2

27

2

3697

2

123373

xxxx

xxyx

11

222211361492143692 xxxxxx 2x

Calculamos el valor de “y”:

Una vez que se tiene el valor de una de las incógnitas, para hallar lo que vale la otra se

puede coger cualquiera de las ecuaciones que han aparecido a lo largo del ejercicio en la que

aparezca la incógnita que falta por calcular.

Aquí vamos a coger la primera ecuación del sistema de partida:

3

99327373273 yyyyyx 1y

9.2.- Método de igualación

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de igualación se aconseja seguir los

siguientes pasos:

1. Despejar una incógnita de una de las ecuaciones. (Recordar la observación que se hizo en el

punto anterior).


2. Despejar la misma incógnita de la otra ecuación.

3. Igualar las incógnitas despejadas en los pasos anteriores y resolver la ecuación que queda.

4. Hallar el valor de la otra incógnita.

Ejemplo: resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación

a) 952

53

yx

yx

Despejamos la “y” de la primera ecuación:

5353 yxyx 53 xy

Despejamos la “y” de la segunda ecuación:

xyyx 2959525

29 xy

Igualamos y resolvemos:

34172592152925155

29

5

2515

5

2953 xxxxx

xxxx

17

34x 2x

Calculamos la otra incógnita:

5652353 yyxy 1y

b) 1223

73

yx

yx

Despejamos la “x” de la primera ecuación:

73yx yx 37

Despejamos la “x” de la segunda ecuación:

12231223 yxyx3

122

yx

Igualamos y resolvemos:

2112291229213

122

3

921

3

12237 yyyy

yyyy


11

333311211229 yyyy 3y

Calculamos la otra incógnita:

9733737 yxyx 2x

9.3.- Método de reducción

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de reducción se aconseja seguir los

siguientes pasos:

1. Multiplicar la primera ecuación por el coeficiente que tenga en la otra ecuación una de las

incógnitas.

2. Multiplicar la segunda ecuación por el coeficiente que tenga en la primera ecuación la misma

incógnita que antes.

Observación: si antes de multiplicar las ecuaciones observamos que se pueden simplificar los

números por los que vamos a multiplicarlas, se simplifican.

3. Comprobar que una de las incógnitas aparece con coeficientes opuestos (mismo número pero

de signo contrario) en las ecuaciones. Si es así hay que sumar dichas ecuaciones. Si hay una

incógnita que tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones, con el mismo signo, antes de

sumarlas a una de las ecuaciones hay que cambiarle el signo a cada uno de sus términos.

4. Despejar la incógnita.

5. Calcular el valor de la otra incógnita.

Ejemplo: resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción

a) 952

53

yx

yx

Multiplicamos cada ecuación por el coeficiente que tenga la “x” en la otra ecuación:

952

53

yx

yx →

9523

532

yx

yx →

27156

1026

yx

yx →

27156

1026

yx

yx

1717 y Como la “x” ha quedado con el mismo número y signo delante, se le cambia el signo a una de las ecuaciones, por ejemplo a la primera.

17

171717 yy 1y

Calculamos el valor de la otra incógnita:

3

66315351353 xxxxyx 2x


b) 4565

932

yx

yx

Multiplicamos cada ecuación por el coeficiente que tenga la “y” en la otra ecuación:

4565

932

yx

yx →

45653

9326

yx

yx →

45651

9322

yx

yx →

4565

1864

yx

yx

Como estos números se pueden simplificar dividiéndolos entre 3, lo hacemos para trabajar con números más pequeños.

Como la “y” ha quedado con el mismo número y signo delante en las dos ecuaciones, se le cambia el signo a una de ellas, por ejemplo a la primera.

4565

1864

yx

yx →

4565

1864

yx

yx

63x

Calculamos el valor de la otra incógnita:

1353126939312693632932 yyyyyx

3

135y 45y

10.- SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

Son sistemas en los que en una de las ecuaciones o las dos alguna de las incógnitas aparecen

elevadas a una potencia o multiplicadas entre sí.

Los métodos más empleados en la resolución de este tipo de sistemas son el de sustitución y el

de reducción.

Ejemplo: resuelve los siguientes sistemas no lineales

a) 7

2522

yx

yx

En este caso el método más adecuado es el de sustitución.

Despejamos la "x" de la segunda ecuación:

7yx yx 7

La sustituimos en la primera ecuación:

25144925725 222222 yyyyyyx


22

2424196140241420251449 222 yyyyyy

4

16

4

2144

4

214

4

414

4

19219614y

4

12

4

2143

Calculamos el valor de la otra incógnita. Como han salido dos valores para "y", habrá

que calcular dos valores de "x".

Para 4y Solución 1

477 xyx 3x

→

Para 3y Solución 2

377 xyx 4x

b) 12

7

yx

yx

En este caso el método más adecuado es el de sustitución.

Despejamos la "y" de la segunda ecuación:

12yxx

y12

La sustituimos en la primera ecuación:

0127712712

712

7 222

xxxxx

x

xx

x

xxyx

2

8

2

174

2

17

2

17

2

48497

12

1214497x

2

6

2

173


Calculamos el valor de la otra incógnita. Como han salido dos valores para "x", habrá

que calcular dos valores de "y".

Para 4x Solución 1

4

1212y

xy 3y

Para 3x Solución 2

3

1212y

xy 4y

c) 8073

5252

22

22

yx

yx

En este caso el método más adecuado es el de reducción.

8073

5252

22

22

yx

yx

80732

52523

22

22

yx

yx

160146

156156

22

22

yx

yx

160146

156156

22

22

yx

yx

160146

156156

22

22

yx

yx

42 y

442 yy 2y

Calculamos el valor de "x":

Para 2y

5220252452522525252 222222 xxxyx

36362

7272220522 2222 xxxxx 6x

Solución 1: 2,6 yx

Solución 2: 2,6 yx


Para 2y

5220252452522525252 222222 xxxyx

36362

7272220522 2222 xxxxx 6x

Solución 3: 2,6 yx

Solución 4: 2,6 yx

FIN DEL TEMA

TEMA 1 (4 del libro): La célula · Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 2 ESQUEMA DE LA...

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