Resolución de ecuaciones de

segundo grado.

Con lo aprendido estamos en condiciones de resolver cualquier ecuación de

segundo grado del tipo:

POR EJEMPLO TENEMOS LA SIGUIENTE ECUACIÓN

Usamos la formula general de la ecuación que es:

Donde: a= al coeficiente que acompaña a la variable que

tenemos elevada al cuadrado. b= al coeficiente que acompaña a la variable y

también se toma su signo. c= es el numero sin variable.

= (13i)

EJERCICIO #6RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES:

a)

b)

c) 2

EJERCICIO #7OBTENER LA EXPRESIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CUYAS SOLUCIONES

SON LAS QUE SE DAN A CONTINUACIÓN:

, (3-i)

, -i

+

NOTA:

El opuesto de un número complejo, es el resultado de cambiarle los signos de la

parte real y la imaginaria a dicho número

(z = a +bi ; -z= -a-bi)

Y el conjugado de dicho número es el resultado de cambiarle el signo,

únicamente a la parte imaginaria de éste.

(z=a+bi; z(conjugado) =a-bi)

EJERCICIO #8OBTENER LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CUYAS

SOLUCIONES SON:

(Obsérvese que se trata de dos números que no son conjugados)

DIVISION DE NÚMEROS COMPLEJOS

Basta con multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado de este y así, el denominador de la fracción se convierte en un número real.

En efecto sean: a+bi, c+di.

Se tiene: = * = = + i

EJERCICIO #9

Siendo

calcular:

a) b) c)

EJERCICIO #10DETERMINAR EL VALOR DE LA FRACCIÓN PARA QUE EL

COCIENTE SEA:

Un número real. Un imaginario puro.

Si a = 0, b 6= 0, el número complejo a + bi se convierte en un número imaginario puro bi; b se llama coeficiente de la unidad imaginaria. Si b = 0, el número complejo a + bi deviene un número real igual a a. El conjunto de números complejos contiene, como parte, tanto todos los números reales como todos los números imaginarios puros; en otras palabras, los números reales, así como los números imaginarios son casos particulares de números complejos.

Ejemplo ¿Cuánto debe valer x, real, para que sea imaginario puroDescomponemos la expresión

= 9 − 6xi + = 9 − 6xi − .

Para que sea imaginario puro, tenemos que hacer 9 − x 2 = 0

(3 − x)(3 + x) = 0 x = −3 y x = 3.

EJERCICIO #11

Calcular

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

La representación grafica de un número complejo permite tener una visualización que facilita su compresión y ayuda a deducir ciertos conceptos y propiedades. Vamos a construir el plano complejo y conviene advertir desde el principio que no lo identifiquen con el plano vectorial aunque se produzcan algunas coincidencias.Dado el número complejo z= a+bi, las partes real (a) e imaginaria (b) serán llevados a unos ejes cartesianos teniendo en cuenta las siguientes instrucciones:a) El eje horizontal se representa por la parte real del número complejo.b) El eje vertical es la parte imaginaria. c) El punto que se obtiene en el plano cartesiano se llama AFIJO del numero complejo representado

 EJERCICIO #12

REPRESENTAR GRÁFICAMENTE LOS SIGUIENTES NÚMEROS COMPLEJOS:

INVESTIGACIÓN:

Determinar que signo deben tener cada una de las partes real e imaginaria de un número complejo para que su afijo este en cada uno de los cuadrantes del plano complejo.

Para que el afijo se encuentre en el primer cuadrante, las partes real e imaginaria deberán tener signo positivo

Para que el afijo se encuentre en el segundo cuadrante, la parte real deberá tener signo negativo y la parte imaginaria signo positivo.

Para que el afijo se encuentre en el tercer cuadrante las partes real e imaginaria deberán tener signo negativo

Para que el afijo se encuentre en el cuarto cuadrante la parte real deberá tener signo positivo y la imaginaria signo negativo.

ESTUDIAR LA REPRESENTACIÓN GRAFICA DE DOS NÚMEROS COMPLEJOS CONJUGADOS Y DE DOS OPUESTOS ¿QUE RELACIÓN EXISTE ENTRE SUS

AFIJOS?

Un número complejo está compuesto por una parte real y otra imaginaria. Para representarlo gráficamente, al igual que los vectores, una parte del número se corresponde a un eje mientras que la otra parte al otro eje. La parte real se representa en el eje real (horizontal) y la parte imaginaria se representa en el eje imaginario (vertical).

z=(a+bi)z=número complejo

a=parte realb=parte imaginaria

Para aprender cómo representar un conjugado y un opuesto de un número complejo, debemos saber que son:

-El conjugado de un número complejo se trata del mismo número complejo pero con el signo de la parte imaginaria cambiado.Si z=(a+bi), su conjugado z'=(a-bi)

-El opuesto de un número complejo se trata del número complejo cambiado de signo.Si z=(a+bi), su opuesto z''= -z ; z''=-(a+bi)

1) z= 4+5iz'=4-5iz''=-4-5i

2) z= 6iz''= -6iz''= -6

3)z=2-7iz'=2+7iz''=-2+7i

4) z=-6-4iz'=-6+4iz''=6+4i

-4i, 5+4i (conjugado), -5+4i (opuesto)

-4+5i, -4-5i (conjugado), 4-5i (opuesto)

2+i, 2-i (conjugado), -2-i (opuesto)

-2-i, -2+i (conjugado), 2+i (opuesto)

COMPLEJOS CONJUGADOS Y COMPLEJOS OPUESTOS.

Dos números complejos se llaman conjugados si tienen iguales sus componentes reales y

opuestas sus componentes imaginarias. Se expresan de la forma siguiente:

z = a + b.i y z = a - b.i. Gráficamente son simétricos respecto del eje

real (eje de abscisas).

Dos números complejos se llaman opuestos si tienen opuestas sus dos componentes. Se

expresan de la forma siguiente: z = a + b.i y - z = -a - b.i.

Gráficamente son simétricos respecto del origen de coordenadas.

REPRESENTAR GRÁFICAMENTE LOS TRES NÚMEROS COMPLEJOS

SIGUIENTES