Alonso Fernández Galián

- 1 -

TEMA 7: LÍMITES Y CONTINUIDAD

Los límites, introducidos por Cauchy en el siglo XIX, son una herramienta técnica que permite

dar rigor a los argumentos que involucran al infinito.

7.1 CONCEPTO DE LÍMITE. EJEMPLOS

Formalmente existen dos tipos de límites: en un punto y en el infinito. Veámoslos por separado.

Límite de una función f en un punto ax . El límite de una función en un punto puede ser es-

tudiado por la izquierda o por la derecha:

• Se denomina límite de f cuando x tiende a ax por la izquierda al número al que se aproxi-

ma la función según tomamos valores de x más próximos a a, pero menores que el propio a. Se

denota por:

)(lim xfax

• Análogamente, se denomina límite de f cuando x tiende a ax por la derecha al número al

que se aproxima la función según tomamos valores de x más próximos a a, pero mayores que a.

Se denota por:

)(lim xfax

Si los límites por la derecha y por la izquierda coinciden, el valor resultante se denomina sim-

plemente límite de la función f en el punto ax :

LxfLxf

Lxf

ax

ax

ax

)(lim)(lim

)(lim

•Ejemplo: Determinar mediante una tabla de valores el límite de 53)( xxf cuando x

tiende a 4 por la derecha:

...001,703,73,710

...001,401,41,45

y

x

de la tabla se deduce:

7)(lim4

xfx

•Ejemplo: Determinar mediante una tabla de valores el límite de la función 1)( 2 xxf

cuando x tiende a 2 por la izquierda:

...996001,49601,461,42

...999,199,19,11

y

x

de la tabla se deduce:

5)(lim2

xfx

Matemáticas I

- 2 -

Analíticamente, el límite en el punto ax se define como sigue:

Lxfax

)(lim

Para cualquier número 0 , existe un número 0 tal que si tomamos

valores de x en el intervalo aa , , entonces Lxf )( .

Límite en el infinito. Se denomina límite de f cuando x tiende al infinito al número L al cual se

aproxima la función a medida que tomamos valores de x cada vez más grandes. Se escribe:

Lxfx

)(lim

Analíticamente, se tiene:

Lxfx

)(lim

Para cualquier número 0 , existe un valor 0x tal que si tomamos valo-

res de x mayores que 0x , entonces Lxf )( .

Gráficamente, el límite de una función

cuando x tiende a indica el comporta-

miento de la función a medida que nos

desplazamos más a la derecha:

La recta 5y es una asíntota horizontal

de la función.

Veamos más ejemplos:

•Ejemplo: Determinar mediante tablas de valores el límite cuando x tiende a 0 de:

xx

xxf

2

3)(

2

(i) El límite por la izquierda es:

...50008,15008,15075,15789,1

...0001,0001,001,01,0

y

x 5,1)(lim

0

xf

x

(ii) El límite por la derecha es:

...4999,14992,14925,14286,1

...0001,0001,001,01,0

y

x 5,1)(lim

0

xf

x

(iii) Como los límites laterales son iguales, concluimos que:

5,1)(lim0

xfx

•Ejemplo: Determinar el límite de la siguiente

función cuando x tiende .

2

5)(

x

xxf

Hacemos una tabla dando a x valores cada vez

más grandes:

...999,4990,4902,4167,4

...10000100010010

y

x

Concluimos que:

5)(lim

xfx

Tema 7: Límites y continuidad

- 3 -

Análogamente podemos considerar límites cuando x tiende a .

•Ejemplo: Determinar el límite de la siguien-

te función cuando x tiende .

2)(

2

x

xxxf

Tabla de valores:

...00,999701,99706,975,7

...10000100010010

y

x

La función crece ilimitadamente. Escribimos:

)(lim xfx

Gráficamente:

•Ejemplo: Determinar el límite de la siguiente función cuando x tiende .

132

93)(

x

xxf

Tabla de valores:

...4999,1495,1451,1182,1

...10000100010010

y

x

Se obtiene:

5,1)(lim

xfx

Gráficamente, el límite de f cuando x tiende a indica el comportamiento de la función

a medida que nos desplazamos más hacia la izquierda en la gráfica:

•Ejemplo: Determinar el límite de la si-

guiente función cuando x tiende .

x

xxf

2

16)(

Tabla de valores:

...0005,3005,305,35,3

...10000100010010

y

x

Concluimos que:

3)(lim

xfx

Gráficamente:

Matemáticas I

- 4 -

7.2 OPERACIONES CON LÍMITES

El cálculo de límites mediante tablas de valores, además de pesado, es poco preciso. Vamos a

dedicar las próximas secciones a estudiar las técnicas algebraicas necesarias para calcular lími-

tes de una manera más práctica.

Nota: Las propiedades siguientes son válidas tanto cuando la variable x tiende a un punto como

cuando tiende al infinito. Así, por brevedad, escribiremos “ ax ” para uno y otro caso.

Límites y operaciones: Los límites conmutan con las operaciones aritméticas. Es decir:

1. El límite de la suma de dos funciones es igual a la suma de los límites de las funciones:

gfgfaxaxax

limlimlim

2. El límite de la resta de dos funciones es igual a la resta de los límites de las funciones:

gfgfaxaxax

limlimlim

3. El límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites de las funciones:

gfgfaxaxax

limlimlim

4. El límite del cociente de dos funciones es igual al cociente de los límites de las funciones:

g

f

g

f

ax

ax

ax

lim

limlim

5. El límite de una potencia con funciones es igual a la potencia de los límites de las funciones:

g

ax

g

ax

axff

lim

limlim

Cálculo de límites: evaluación de la función. Para calcular el límite de una función cuando ax se sustituye x por a y se opera. Para operaciones con 0 y con el infinito tenemos:

1 si ,00

1 si ,00

0

kkk

k

kkk

kk

k

k

para cualquier k ℝ+.

Tema 7: Límites y continuidad

- 5 -

Indeterminaciones. Hay ciertas operaciones con 0 o con infinito cuyo resultado no está definido

de antemano, sino que depende de las funciones concretas que se estén considerando. Son:

00 0100

0

Estas expresiones se denominan indeterminaciones. Posteriormente veremos cómo resolverlas.

Límite de funciones polinómicas cuando x . En las funciones polinómicas se observa que

cuando x toma valores muy grandes el término de mayor grado “domina” sobre el resto. Así:

0 si

0 silim...lim 1

a

aaxdcxbxax n

x

nn

x

Y lo mismo ocurre cuando x , pero teniendo en cuenta si el exponente es par o impar.

Demostración:

n

nnn

x

nn

x ax

dcxbxaxaxdcxbxax

...lim...lim

11

n

x

n

xnn

n

xaxax

ax

d

ax

c

ax

bax

lim0...01lim...1lim

1

•Ejemplo: Calcular los siguientes límites

en un punto:

(a) 534232lim4

xx

(b) 0

2

3

2lim

3 xx

(c) 4

1

2

1lim

6

xx

(d) 05

0

1

4lim

4

x

x

x

(e) 07

0

7

2lim

2

x

x

(f) 11

1

3

1

3

1lim

00

xx

•Ejemplo: Calcular los siguientes límites

en el infinito:

(a)

3535lim xx

(b) 01

4

1

4

1lim

xx

(c)

55

3lim

2x

x

(d) 1011

11

1lim

xx

(e)

33lim x

x

(f) 01

2

122lim

x

x

•Ejemplo: Calcular los siguientes límites:

(a)

325lim 23 xxx

(b)

14lim 3 xxx

(c)

64lim 2 xxx

(d)

32lim 25 xxx

Matemáticas I

- 6 -

7.3 RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES

Los límites con expresiones indeterminadas se calculan manipulando adecuadamente la función

hasta que la indeterminación desaparezca. Presentamos a continuación los casos más frecuentes.

Indeterminación del tipo / cuando x . Se resuelve dividiendo el numerador y el deno-

minador entre la mayor potencia de x.

Muchos otros casos de indeterminación pueden reducirse al tipo / mediante algún cálculo.

Las indeterminaciones del tipo en las que x está afectada por una raíz se resuelven multi-

plicando y dividiendo por la expresión conjugada.

•Ejemplo: Calcula los siguientes límites:

(a) 07

0

007

00

327

13

lim327

13

lim327

13lim

32

3

3

3

3

2

3

2

xx

xx

x

xx

x

x

xx

x

xxx

(b) 2

1

06

3

16

3lim

6

3

lim6

3lim

2

2

2

2

2

2

xx

xx

x

x

xx

x

xxx

(c)

0

1

00

01

12

31

lim12

3

lim12

3lim

42

3

4

2

4

4

2

4

xx

x

x

x

x

xx

x

xx

xxx

Para introducir un factor dentro del signo radical hay que elevarlo al índice de la raíz:

(d) 21

4

31

14

lim3

14

lim3

14

lim3

14lim

22

22

2

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

xxxx

Nota: En la práctica la indeterminaciones del tipo / pueden resolverse directamente

comparando los grados del numerador y del denominador.

•Ejemplo: Calcula los siguientes límites:

(a) 01

0

31

1

lim3

lim3

lim03lim1

x

x

x

xx

x

x

xxx

xxxx

(b)

22

12lim

12

212lim

12

1lim

2222

x

xx

x

xxx

x

xx

xxx

Tema 7: Límites y continuidad

- 7 -

Nota (límites cuando x ): Los límites cuando x tiende se calculan de manera similar

a los límites cuando x tiende a . También pueden calcularse mediante el cambio de variable

tx , que los convierte en límites con t tendiendo a . Por ejemplo:

332

6lim

332

6lim

332

6lim

2

3

2

3

2

3

tt

t

tt

t

xx

x

tt

tx

x

Indeterminación del tipo 0/0 cuando x tiende a un punto. Se resuelven factorizando el numera-

dor y el denominador para simplificar el factor que los anula.

Si x está afectada por una raíz se multiplican el numerador y el denominador por la expresión

conjugada para que aparezca explícitamente el factor que los anula.

•Ejemplo: Calcula el siguiente límite:

xx

xxxxxx

xx 1

11lim1lim

0

1

1

1lim

1

1lim

1

1lim

22

xxxx

xx

xx

xx

xxx

•Ejemplo: Calcula el siguiente límite:

2255516

165lim

1616

165lim

0

0

16

5lim

x

xx

xx

xx

x

x

xxx

216lim5

165lim

55

x

x

xx

xx

•Ejemplo: Calcula los siguientes límites:

(a) 2

3

4

6

1

3lim

)3)(1(

)3)(3(lim

0

0

32

9lim

332

2

3

x

x

xx

xx

xx

x

xxx

(b)

0

3

2

3lim

)2(

)2(3lim

0

0

44

63lim

22222 xx

x

xx

x

xxx

Otras indeterminaciones pueden reducirse fácilmente al caso anterior:

(c) 2

3

)1)(1(

)2)(1(lim

0

0

)1)(1(

2lim

1

2

1lim

1

2

121

xx

xx

xx

xx

xx

x

xxx

Matemáticas I

- 8 -

7.4 EL NÚMERO e

Las indeterminaciones del tipo 1 se resuelven a partir de la definición analítica del número e:

...71828,21

1lim

x

x xe

Así, en indeterminaciones del tipo 1 se manipula la expresión para buscar el límite anterior.

Nota: En general, para cualquier función )(xu que tienda a cuando x , se tiene:

exu

xu

x

1

11

)(

11lim

)(

•Ejemplo: Calcular los siguientes límites:

(a) ex

x

x

1

11lim

(b) 3

33

11lim1

11lim e

xx

x

x

x

x

(c) 525

2525

11

11

1lim11

1lim eexxx

x

x

x

x

•Ejemplo: Calcular los siguientes límites del tipo 1 :

(a) ex

x

x

1

3

11lim

3

(b) 24

2

42

4

11lim1

4

11lim e

xx

x

x

x

x

x

x

(c) 33

13

1

3

3

11lim1

3

11lim ee

xx

x

x

x

x

Si la base es un cociente de polinomios, la reescribimos en la forma u/11 :

(d)

222

5

1

5

5lim

5

15lim1

5

4lim

x

x

x

x

x

x xx

x

x

x

x

x

eexx

x

x

x

x

x

x

15

2

52

5

11lim

5

11lim

Tema 7: Límites y continuidad

- 9 -

7.5 CONTINUIDAD

Intuitivamente decimos que una función es continua si su gráfica no está rota; es decir, si pode-

mos dibujarla sin levantar el lápiz del papel.

Definición de continuidad en un punto. Se dice que una función f es continua en el punto

0xx si el límite de la función cuando 0xx coincide con el propio valor de la función:

f es continua en 0xx )()(lim 00

xfxfxx

Si una función no es continua en el punto 0xx se dice que es discontinua en dicho punto.

Tipos de discontinuidad. Si una función es discontinua en el punto 0xx puede ser que la dis-

continuidad sea no evitable o que sea evitable. A su vez, una discontinuidad no evitable puede

ser una discontinuidad de salto finito o una discontinuidad de salto infinito:

• Discontinuidad no evitable de salto finito: Una función presenta una discontinuidad no evita-

ble de salto finito en el punto 0xx si los límites laterales cuando 0xx son distintos:

)(lim)(lim00

xfxfxxxx

• Discontinuidad no evitable de salto infinito: Una función presenta una discontinuidad no evi-

table de salto infinito en el punto 0xx si el límite cuando 0xx es infinito:

)(lim0

xfxx

• Discontinuidad evitable: Una función presenta una discontinuidad evitable en el punto 0xx

si el límite cuando 0xx existe y es finito, pero no coincide con el valor de la función:

)()(lim 00

xfxfxx

Nota: Si L es el límite cuando 0xx ,

podemos construir la función:

0

0

si

si)()(ˆ

xxL

xxxfxf

que es igual que f cuando 0xx , pe-

ro que es continua en el punto 0xx .

Matemáticas I

- 10 -

7.6 ESTUDIO DE LA CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Según todo lo anterior, para comprobar si una función es continua en un punto 0xx hay que

ver que los límites laterales coinciden, y que son iguales al valor de la función en dicho punto.

Las funciones elementales. Se sabe que:

Las funciones elementales son continuas en todos los puntos de su dominio.

En particular, las funciones racionales son continuas en toda la recta real excepto en aquellos

puntos en los que se anula el denominador.

•Ejemplo: Estudia la continuidad de la siguiente función:

86)( 2 xxxf

El dominio de la función es ℝ. Por tanto, la función es continua en toda la recta real.

•Ejemplo: Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

(a) 3

)(

x

xxf

La función es continua en toda la recta real excepto en el punto 3x . Calculemos los lími-

tes laterales en dicho punto:

0

3

3lim

3 x

x

x

0

3

3lim

3 x

x

x

(nota: En los límites laterales de la forma 0/k , el signo del resultado se determina

dando valores por el lado correspondiente).

Por tanto, se trata de una discontinuidad de salto infinito.

(b) 2

2

5)(

xxf

La función es continua en toda la recta real excepto en el punto 2x . Los límites laterales

son:

0

5

2

5lim

22 xx

0

0

2

5lim

22 xx

De nuevo, se trata de una discontinuidad de salto infinito.

[…]

Tema 7: Límites y continuidad

- 11 -

•Ejemplo: Estudia la continuidad de la siguiente función:

xx

xxf

3

62)(

2

La función es continua excepto en los puntos 0x y 3x .

0x Los límites laterales son:

xx

x

x 3

62lim

20

xx

x

x 3

62lim

20

La función presenta una discontinuidad de salto infinito en 0x .

3x Los límites laterales son:

3/22

lim...0

0

3

62lim

32

3

xxx

x

xx 3/2

2lim...

0

0

3

62lim

32

3

xxx

x

xx

La función presenta una discontinuidad evitable en 3x :

[…]

(c) 1

22)(

3

2

x

xxf

La función es continua en toda la recta real excepto en el punto 1x . Los límites laterales

son:

3/4)1(

)1(2lim

)1)(1(

)1)(1(2lim

0

0

1

22lim

21

21

3

2

1

xx

xx

xxx

xxx

x

x

xxx

3/4)1(

)1(2lim

)1)(1(

)1)(1(2lim

0

0

1

22lim

21

21

3

2

1

xx

xx

xxx

xxx

x

x

xxx

Como los límites laterales coinciden, se trata de una discontinuidad evitable.

Matemáticas I

- 12 -

Estudio de la continuidad de una función definida a trozos. En las funciones definidas a trozos

la continuidad depende además de si los trozos “pegan bien”; es decir, de si en los puntos de

unión los límites laterales coinciden.

•Ejemplo: Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

)(a

2 si3

6

2 si63

4

)(

2

xx

xx

x

xf

Debemos analizar el comportamiento de la función en el punto 2x .

Los límites laterales son:

3

4

)2(3

)2)(2(lim

63

4lim

2

2

2

x

xx

x

x

xx

3

4

3

6lim

2

x

x

Como también 3/4)2( f , concluimos que la función es continua.

)(b

1 si22

1 si2)(

2 xxx

xxxg

Debemos analizar el comportamiento de la función en el punto 1x .

Los límites laterales son:

32lim1

xx

122lim 2

1

xx

x

Al no coincidir los límites laterales, no existe un valor límite de la función en 1x :

)(lim1

xgx

Por tanto, la función no es continua en el punto 1x , donde presenta una discontinuidad no

evitable de salto finito.

Veamos las gráficas de las dos funciones:

Tema 7: Límites y continuidad

- 13 -

El límite de una función

1. Calcula los siguientes límites:

(a) 52lim

xx

(b) 234lim xx

(c) 16

1lim

xx (d)

4

1lim

3

x

x

(e) 52

3lim

xx (f) 53lim x

x

(g)

x

x x

13lim (h)

2

7

31lim

x

x

2. Calcula los siguientes límites en un punto:

(a) 23

3lim

x

x

x

(b)

21 1

2lim

x

x

x (c)

2

1lim

2 xx

(d) 4

4lim

4

x

x

x (e)

2

5lim

2 xx (f)

9

2lim

23

xx

3. Calcula los siguientes límites:

(a) x

x2lim

(b)

x

x2lim

(c)

x

x25,0lim

(d)

x

x

4

3lim

(e) x

x

5lim (f) 1

1

2lim

x

x (g) 3

32lim

x

xx (h)

xx 5

1lim

0

4. Calcula:

(a) xxxx

752lim 24

(b) 24lim 3

xxx

(c) 25 122lim

xxx

(d) xxx 5

1lim

3

Resolución de indeterminaciones del tipo /

5. Calcula los siguientes límites cuando x tiende al infinito dividiendo numerador y

denominador entre la mayor potencia de x que aparezca.

(a) 13

45lim

2

x

xx

x (b)

92

87lim

2

2

x

x

x (c)

72

43lim

2

x

x

x

(d) 5

2lim

2

3

xx

x

x (e)

23lim

x

x

x (f)

12

316lim

2

x

x

x

6. Calcula mentalmente los siguientes límites con indeterminaciones del tipo / .

(a) 12

3lim

x

x

x (b)

xx

x

x

2

25lim (c)

5

2lim

2

3

x

xx

x

(d) 42

123lim

5

2

x

xx

x (e)

42

156lim

3

23

xx

xx

x (f)

12

34lim

2

3

x

xx

x

EJERCICIOS DEL TEMA 7

Matemáticas I

- 14 -

7. Calcula:

321

52lim

2

xxx

xx

x

8. Calcula los siguientes límites:

(a)

11

2lim

22

x

x

x

x

x (b)

x

xx

x 2

33

2

13lim

2

9. Calcula los siguientes límites multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada:

(a) 22lim

xxx

(b)

xxx

x2lim 2

Resolución de indeterminaciones del tipo 0 / 0

10. Comprueba que los siguientes límites presen-tan una indeterminación del tipo 0/0 y

calcúlalos:

(a) xx

x

x 20 2

4lim (b)

63

44lim

2

2

x

xx

x (c)

1lim

2

2

1

x

xx

x

(d) 1

1lim

3

2

1

x

x

x (e)

153

9lim

2

3

x

x

x (f)

6

3lim

2

2

3

xx

xx

x

11. Calcula los siguientes límites en un punto:

(a) 182

93lim

23

x

x

x (b)

42

2 2

2lim

x

xx

x (c)

2

43lim

23

2

x

xx

x (d)

x

x

x

1)1(lim

2

0

12. Calcula los siguientes límites:

(a) 23 )3(2

5lim

x

x

x (b)

4

3

2

4lim

22 xxx

(c) 34

2

0

7lim

xx

x

x (d)

2

12lim

2

xx

x

13. Calcula los siguientes límites:

(a) x

xx

x 3lim

0

(b)

11

2lim

2

x

x

x

Resolución de indeterminaciones del tipo 1

14. Calcula los siguientes límites buscando el número e.

(a)

x

x x

31

1lim

(b)

x

x x

41

1lim

(c)

321

1lim

x

x x (d)

521

lim

x

x x

x

Tema 7: Límites y continuidad

- 15 -

15. Calcula los siguientes límites con indeterminaciones del tipo 1.

(a)

x

x x

5

11lim (b)

x

x x

2

1

11lim

(c)

5

2

11lim

x

x x

(d)

12

3

4lim

x

x x

x (e)

25

2

3lim

x

x x

x (f)

1

42

72lim

x

x x

x

Continuidad

16. Estudia la continuidad de la siguiente función:

2 si,53

2 si,4

63

)(2

xx

xx

x

xf

17. Estudia la continuidad de las siguientes funciones definidas a trozos:

(a)

1 si,/2

1 si,2)(

2

xx

xxxf (b)

0 si,3

0 si,1

3

)(

xx

xx

xf

(c)

2 si,1

20 si,3

0 si,/1

)(2 xx

x

xx

xf (d)

1 si,5

1 si44

55

)(

2

xx

x

xx

x

xf

18. Calcula el valor de a para que la siguiente función sea continua.

1 si,3

1 si,1)(

2 xax

xxxf

19. Indica el tipo de discontinuidad que presentan las siguientes funciones racionales:

(a) 3

1)(

x

xxf (b)

42

4)(

2

x

xxf (c)

2)1(

22)(

x

xxf (d)

9

3)(

2

2

x

xxxf

20. Calcula el valor de a y b sabiendo que la función es continua en toda la recta real.

1 si,2

10 si,

0 si,12

)(

2

x

xbax

xxx

xf

21. Estudia la continuidad de la siguiente función:

1 si,3

1 si,22

78

)(

2

x

xx

xx

xf

Matemáticas I

- 16 -

22. Calcula k de manera que la siguiente función sea continua en toda la recta real:

2 si,

2 si,8

462

)(3

2

xk

xx

xx

xf

23. Calcula a y b sabiendo que la siguiente función es continua en toda la recta real y que

además cumple que f (4) = 7.

0 si,

0 si,1)(

3

xbax

xxxxf

Tema 7: Límites y continuidad

- 17 -

EJERCICIOS PARA ENTREGAR POR ESCRITO

Cálculo de límites cuando x tiende a infinito

A) 1

1lim

3

x

x

x B)

32

126lim

2

2

xx

xx

x

C) x

x

x

3

2lim D) xx

xx3

1lim 2

E)

xxx

x39lim 2 F)

1lim

2

x

xx

x

G) xxxx

6lim H) x

x

3lim

I)

x

x x

x

3

2lim J)

x

x

x 6

2lim

Cálculo de límites cuando x tiende a un punto

K) 1

1lim

31

x

x

x L)

xxx

xx

x 232

2lim

23

3

0

M) 23

23lim

2

3

1

xx

xx

x Ñ)

xxx 5

3lim

25

O)

xxxxx 220

12lim P)

86

12

82lim

2

2

4 xx

x

x

x

x

Q) 2

4lim

4

x

x

x R)

4

2lim

22

x

x

x

S) xx

xx

x

20

22lim T)

2

1

2

11lim

220 xxxx

Cálculo de límites con la indeterminación 1

U)

241

1lim

x

x x

V)

2

11lim

x

x x

W)

1

5

21lim

x

x x

X)

13

3

4lim

x

x x

x

Y)

x

x x

x2

34

24lim

Matemáticas I

- 18 -

Continuidad

Z. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

4 si,2

4

4 si,2

4

)(

xx

xx

x

xf

1 si,/1

11 si,1

22

1 si,3

)(

xx

xx

x

xx

xg