Tema 6. Interferencia y difracción de ondas

Superposición de ondasOndas coherentesDispositivos de ondas coherentes. Interferencias debidas a dos fuentes sincrónicasInterferencias debidas a varias fuentes sincrónicas.Láminas delgadasDifracción de Fraunhofer por una rendija rectangularDifracción de Fraunhofer por varias rendijas Redes de difracciónDifracción de rayos X

Superposición de ondas armónicas

El resultado de la superposición de 2 ondas depende de la diferencia entre sus fases.Sean dos fuentes puntuales de ondas S1 y S2 que oscilan en fase con la mismafrecuencia y con amplitudes o1 y o2, dando lugar a ondas armónicas de la forma:

= o1sen(k1 · r1-t)

= o2sen(k2 · r2-t)

Al llegar a P hay un desfase entre ellas:

= k2 · r2- k1 · r1k·(r2-r1)== (r2-r1)

S1

S2

Pr1

r2

r1, r2>>

Suma de ondas armónicas: Fasores

Las interferencias se forman como consecuencia de la superposición de 2 ó más ondas en un puntodel espacio. Estas ondas tienen fases diferentes.

Sus funciones de onda en ese punto son:E1 =A1 senE2 =A2 sen()

Para sumarlas recurrimos a los fasores,en los que representamos las ondas como vectores,cuyo módulo es la amplitud y cuya fase es elángulo que forma con el eje x Al sumarlos nos dará otro fasor de módulo diferentey fase tambien diferente

A sen(’) =A1sen+A2 sen()

La amplitud en P es (th. del coseno):

o2=o1

2+ o22+2 o1 o2 cos

La amplitud resultante está comprendida entre o1+ o2 y o1- o2, según el valor que tome cos .

= (r2-r1)=n2 máximo

(2n+1) mínimo

(r2-r1)=n

(2n+1)

Para r2-r1 = ++2+3+... La amplitud alcanzamáximos.Para r2-r1 = ++3+5+... La amplitudalcanza mínimos

kr1

kr2

01

02 0

Teorema del coseno

Sea un triángulo ABC, α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados opuestos a estosángulos , la relación entre los lados es:

a2=b2+c2-2bccos

Las interferencias aparecen cuando se superponen dos ondas provenientes dedistintas fuentes.

Ondas coherentes son ondas de la misma frecuencia y amplitud.

S1SS2

Biprisma de Fresnel

Doble rendija de Young

Principiode

Huygens

Ondas coherentes

Dispositivos para conseguir dos fuentes de ondas coherentes

Interferencias por una doble rendija de Young

S1 d S2

D

x

r1 r2

d<<D, las amplitudes y las frecuencias soniguales:

o2=1o

2+2o2+21o2ocos

1o2+10

2+21o10cos1o2+2 1o

2 cos

2cos2cos1

2cos2)cos1(2

2

11

ooo

<<, sentg=x/D

r1-r2=d sendx/D

=(2/ (r1-r2)= 2dx/D)

Como la intensidad de la onda es proporcional al cuadrado de la amplitud:

Io es la intensidad para x=0, (=0), Io=41o2

Se produce un máximo de intensidad cuando cos(ax/D)=+1

(dx/D)=nx=(nD/d), ó dsenn d senn

La separación entre dos franjas consecutivas es:

2 2o o

δ πdxI ( )cos cosI I2 λD

DλΔxd

Interferencias producidas por varias fuentes sincrónicas

d

S5S4S3S2S1

Por cada 2 rayos hay un desfase

de =2(r1-r2)= (2 d sen

La amplitud resultante la obtenemossumando los sucesivos desfases.

o

1o

N P

O

C

Q

2δsen 2ρξ

2Nδsen 2ρ2QPOPξ

1o

o

2δsen2

Nδsenξξ 1oo

Para N=2 2δcosξ2

2δsen

2δcos

2δ2sen

ξ

2δsen

senδξξ 1o1o1oo

Para N fuentes la intensidad la intensidad resultante se puede poner como

22

0 02

Nπ d senθNδ sensen λ2I I Iδ πdsenθsen sen2 λ

Io 102

Los máximos corresponden a los mínimos del denominador y aparecen para d sen/= n

Q

1o

N P

O

2

o2

Nsen 2I Isen 2

2π d senθλ

senN2n π; N

2 sen2

Todos los 1o son paralelos

o=N 1o

Además, la intensidad se anula cuando el numerador se hace 0

N=m;

m toma los valores 1, 2,3, 4 N-1, N+1, N+2, 2N-1, 2N+1...., se excluyen los valores N, 2N, 3N...,pues corresponden a los máximos

m π2 N

La intensidad es proporcional a N2

Láminas delgadasControl de calidad de lentes mediante el estudio de los anillos de Newton. El espacio entre los dos vidrios es una película delgada de aire de espesor variable. Cuando la lente es iluminada desde arriba con luz monocromática, en las cercanías del centro el espesor de la película de aire es casi nulo, no hay diferencia de camino entre los dos rayos, el rayo reflejado en la superficie inferior aire-vidrio sufre un desfase de radianes que no ocurre en la superficie superior vidrio-aire, por tanto se produce interferencia destructiva y el centro es un punto oscuro. A partir de ese punto, aparece un patrón de franjas claras y obscuras a medida que se van alternando las condiciones de interferencia constructiva y destructiva. Los máximos se producen cuando la diferencia de camino es un múltiplo de /2, pues así compensa el desfase de que se produce en la reflexión aire/vidrio.

La lámina tiene espesor a e índice de refracción n.Las sucesivas reflexiones y refracciones sonequivalentes a un problema de N fuentes sincrónicas.Las interferencias se producen entre las onda reflejadasen la superficie superior y la inferior.Los máximos de interferencia ocurren cuando =2n.

B’D=BD seniBD=2a tgt

B’D=2 a tgt seni,

B’D= 2 a n tgt sent= 2a n (sen2t/ cost)

BCD= 2BC= 2a/cost

nθsenθsen

t

i

Ley de Snell

t1= B’D/c= (2a n/c) (sen2t/ cost)

t2=BCD/v= (2a n/c) (1/cost)

θcosc

2an)θsen(1θcos

1c

2antt tt

2

t12

Al ser las velocidades de propagación diferentes en ambos medios, el tiempo que tarda en recorrer ambas distancias es:

θcosλan 4π

θcosc

2anω)ttω(δ tt12

Además al pasar de un medio menos denso a uno más denso se produce un cambio de fase de en la onda reflejada.

πθcosλan 4πδ t

La condición de máximo es =2l, siendo l un entero.

t

t

4 an2 l cos π;θλ4a n cos (2l 1)λθ

Se podría haber hecho lo mismo para los rayos transmitidos y se habría obtenido

2a n cost=l En la onda transmitida no hay desfase.

La luz reflejada y la transmitida no son iguales

En esta configuración el rayo 1 está desfasado con respecto al 2

En este caso los dos están desfasados , Por consiguiente ese desfase no contribuye

El interferómetro de Michelson, inventado por Albert Abraham Michelson, permite medir distancias con una precisión muy alta. Su funcionamiento se basa en la división de un haz coherente en dos haces para que recorran caminos diferentes y luego converjan nuevamente en un punto. De esta forma se obtiene lo que se denomina la figura de interferencia que permitirá medir pequeñas variaciones en cada uno de los caminos seguidos por los haces. Este interferómetro fue usado por Michelson junto con Edward Morley para intentar probar la existencia del éter, en el famoso experimento de Michelson-Morley.

Demostrar que el éter carecía de propiedades mesurables, resultando insostenible la hipótesis del éter.Se sugería un nuevo principio físico, la velocidad de la luz en el espacio libre es la misma en todas partes,independientemente de cualquier movimiento de la fuete o del observador.

2 1 2 1 2 1

2 1

2 12 20 0

2 1

2 1

( ' 2 ) ( ' 2 ) 2( )2 4 ( )

2 ( )cos cos2

2 ( ):

2 ( )min : 2 12

r D d D dd d d dr rr d d

d dI I I

d dMax m

d d m

D

d’ d2d1

La difracción es un fenómeno de interferencia entre los rayos de un númeroinfinito de fuentes.

El fenómeno se produce cuando la onda se distorsiona por un obstáculo dedimensiones comparables a la longitud de onda, y se produce un cambio de dirección de la luz.

Difracción

Difracción por una rendija

Difracción por una abertura circular

Distribución de Airy

Difracción por un alambre Difracción por varios alambres cruzados

Richard Feynman:No-one has ever been able to define the difference between interference and diffraction satisfactorily. It is just a question of usage,and there is no specific important physical difference between them.

Dispositivo de Fraunhofer

En el caso general, la llamada difracción de Fresnel, la fuente y la pantalla de detección están a distancias finitas, por lo que ni los rayos incidentes ni los difractados son paralelos entre sí.

Esta situación es difícil de tratar, por ello se recurre a la difracción de Fraunhofer, que opera con rayos, paralelos, lo que permite hacer un estudio del fenómeno de la difracción mucho más sencillo.

Difracción de Fraunhofer por una rendija rectangular

Al variar el ángulo de observación se altera ladistribución de franjas claras y obscuras. Además la distribución depende de la dimensión de la rendija y de la longitud de onda.

La interferencia destructiva se producía cuando

r1-r2 =(2l+1)/2

Vamos a ver que sucede para los rayos que

provienen del extremo y del centro de la rendija.

b

r1-r2 = b/2 sen=(2l+1)/2 extinciónbsen=(2l+1) lbsen=nn=1, 3, 5, 7..)

Entre los rayos que están separados una distancia b/4 podemos hacer algosimilar y buscar la correspondiente condición de extinción

r1-r2 = b/4 sen=(2l+1)/2 extinciónbsen= 2(2l+1) lbsen=nn=2, 6, 10, 14...)

Haciendo el mismo cálculo para rayos separados por otras distancias se llegana completar todos los enteros, de forma que la condición general se puede poner:

bsen=n, (n= 1, 2, 3, ...), n # 0

Cálculo de la intensidad

Dividimos la anchura en intervalos dx

A B C

x

dxEl desfase entre A y B viene dado por:

=2/ xsen,

El desfase entre A y C es

=2bsen/

)λ

πbsen( sen 2ρ2αsen 2ρ

=0; todos los vectores son paralelos y la amplitud es la suma de todos ellos

o es la amplitud para =0, por consiguiente nos permite poner enfunción de los parámetros de la difracción

senθ b2ππλρ ;

λsenθ b2ππρραOP arco o

0

λθ sen πb

λθ sen πbsen

0

sen

I

λsenθ πbλsenθ πb

senII

2

o2

2

o

λ

πbsenθ

Los ceros de intensidad se producen cuando el numerador se anula

sen=n; bsen=n, n0

Los máximos se obtienen haciendo la derivada de la intensidad e igualando a cero

nπλ

πbsenθ

λπbsenθ

λπbsenθ

λπbsenθcos

tg ;sencos ; 0senI

cosId

dI 0;ddI

2oo

sen

Los sucesivos máximos se producenpara valores de cada vez mayores,

por consiguiente va disminuyendo la intensidad.

(sen/

0 1

1,43 0,047

2,459 0,017

3,471 0,008

4,477 0,005

5,482 0,003

Cuando <<b, bsen=n,

Esta expresión nos da el poder separador de una rendija.

bλθsenθ ;

bλnsenθ

Se observan las dos fuentes cuando elmáximo de una fuente, coincidecon el mínimo de la otra

Resolución en microscopía óptica

Dλ 1.22θ

Criterio de Rayleigh

r

1.22 λd=rθD/r

d

1.22 λ 1.22 λ 1.22 λ 1.22 λd=r ;D/r 2sen 2nsen 2

dNA

Apertura numérica, NA=n senn Índice de refracción

1.22 λ2

dNA

Difracción de Fraunhofer por dos rendijas

b

aCalculamos la amplitud debida acada una de las rendijas y luegolas sumamos

λθsen πb

λθsen πbsen

AA 01

Entre dos rayos equivalentes de las dos rendijas hay una diferencia de fase de

λsenθ a 2πβ

cosβAA2AAA 2122

21

2

Si las dos rendijas son iguales

A1=A2

2βsA2cosβ2(1AA 1

21

1 ) co

λ

asenθ πcos

λπbsenθ

λπbsenθsen

A2A 0

λ

asenθ cos

λπbsenθ

λπbsenθsen

II 2

2

0

El primer factor es el que obtuvimos al estudiar una rendija, el segundofactor introduce ceros adicionales:

Y máximos:

2λ1)(2lasenθ ;

2π1)(2l

λπasenθ

λn'asenθ ;πn'λ

πasenθ

Superponemos el patrón de difracción y el de interferencias

Redes de difracción

Cuando hay más de tres rendijas decimos que hay una red de difracción.El ancho de las rendijas es b y la separación entre ellas a. Para el caso de N rendijas, la expresión de la intensidad viene dada por:

2 2

o

πbsenθ N senθsen( ) sen( )λ λI I πbsenθ senθsen

λ λ

πd

πd

Difracción Interferencias

La diferencia con las interferencias por N rendijas, consiste en que en elestudio de las interferencias las rendijas no tenían anchura.

d

Cuando sobre una red de difracción incide luz policromática se producen máximos de difracción a distintosángulos para las distintas longitudes de onda que componen la luz incidente, excepto para el orden ceroque es igual para todas.

Un monocromador no puede trabajar con el máximo principal (orden cero).El conjunto de los máximos para un orden dado constituye un espectro. Cuanto mayor es la longitud de onda mayores la dispersión.

La dispersión de una red se define como:

dsen=n θDλdd

nλ dθ n nsenθ ; cosθ ; Dd dλ d d cosθ

D aumenta cuando aumenta n, pero la intensidad es menor. Tambien aumenta cuando disminuye d, es decir cuanto más próximas entre sí están las rendijas.Las redes de difracción son de 150, 300, 600, 1200, 1800, 2400, 3200 líneas /mm.A más líneas por mm más dispersión y más resolución espectral.

Dispersión angular de la red

Particle detection and measurement by diffraction

Difracción de rayos X por los cristales

La longitud de onda de los rayos X es muy corta, por consiguiente las redes de difracción convencionales no sirven, sin embargo las redes cristalinas constituyenredes de difracción naturales para los rayosX

Las distancias interatómicas son de unos pocos A, por lo que están en el ordende magnitud de la longitud de onda de los rayos X. Cuando éstos pasan a travésde un cristal se produce difracción por los átomos ó moléculas del mismo. Comopuede haber átomos ó moléculas de diferente naturaleza, la contribución de cadauno de ellos será diferente. Suponiendo que solo tenemos una clase de átomos:

AB

C

ABC=2d sen

El desfase es

La condición de interferencia constructiva es: =2n

2dsen=n Ley de Bragg

2dsenθλ

2πABCλ

2πδ

Diagrama de Laue Diagrama de Laue

Difracción por varios alambres cruzados( se aprecia la similitud co n las figuras de difracción por un cristal)

Diagrama de cristales pulverizados: diagramas de Debye-Scherrer, anillos de difracción

X-ray key enzyme of common pathogen crystallised in living cells

Nanocristales de proteinas

Imágenes de difracción de rayos X de la molécula de ADN yestructura de doble hélice deducida a partir de ellos

Imagen de difracción de rayos X del ADN obtenida por Raymond Gosling yRosalind Franklin en Mayo 1952 en la que se basaron, Watson, Crick y Willkins paradesarrollar el modelo de doble hélice del ADN

The left image shows one plane through the three-dimensional diffraction pattern of a DNA crystal. Each spot has a characteristic intensity that is related to the distribution of electrons in the crystal. The view shows one base pair with a guanine and a bromocytosine. The blue contours enclose most of the electrons, and show the overall shape of the bases.the yellow contours enclose only regions with high electron density, such as the electron-dense bromine atom.

Moon coronas are due to diffraction.

When the moon looks a bit hazy, you’re seeing a corona. It’s a diffraction effect.