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Tema 13. Segundo Cuatrimestre La difracción. Física General.

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TEMA 13. DIFRACCIÓN

1.- Introducción.

El principio de Huygens establece cómo se propaga un frente de ondas: cada punto del frente de ondas en un instante dado es un emisor secundario de “ondículas” cuya envolvente constituye el frente de ondas en un instante posterior. Podemos enunciarlo de otra manera: el frente de ondas en un instante dado es el resultado de la interferencia de las infinitas ondas esféricas emitidas por los infinitos puntos del frente de ondas en el instante anterior.

Así, para obtener el frente de ondas en un instante dado, se ha de tener en cuenta todas las ondículas emitidas en un instante anterior. De esta forma podemos inferir que cualquier mutilación de un haz que se propagase libremente ha de conducir a una modificación del mismo. Por ejemplo, imaginemos un haz plano infinito que se propaga en una dirección dada y que se encuentra con un obstáculo opaco en el que se ha practicado una abertura. Es claro que tras la abertura el haz ya no puede ser un haz plano como el incidente, puesto que se han eliminado las ondículas provenientes de los puntos del frente de ondas que no ha dejado pasar la abertura. Pues bien, el haz resultante de esta mutilación es un haz difractado.

El caso más extremo de difracción se produce cuando todos los puntos de un frente de ondas salvo uno son eliminados, es decir, cuando la abertura difractante es infinitamente pequeña. En este caso la abertura difractante se comporta como una fuente puntual. Es decir, aunque la abertura fuese iluminada originalmente por, por ejemplo, un haz plano, tras ella observaremos una onda esférica.

A la distribución de intensidad que se observa tras la abertura difractante se la denomina patrón de difracción y su aspecto depende de la distancia a la que se observe.

2.- Difracción de Fresnel y de Fraunhofer.

Resulta evidente que el patrón de difracción ha de ser diferente dependiendo de a qué distancia de la abertura difractante se observe. En este sentido se distingue entre difracción de Fresnel y difracción de Fraunhofer. La difracción de Fraunhofer es la que se observa a distancias muy grandes de la abertura difractante y es la que calcularemos, para algunas aberturas sencillas, en este tema. La difracción de Fresnel es la que se observa a distancias finitas de la abertura y depende fuertemente de la distancia. Ejemplos de difracción de Fresnel y Fraunhofer para una abertura


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circular pueden observarse en las figuras 35.28 y 35.31. En la Figura35.27 se representa la distribución de intensidad que se observa tras una rendija a diferentes distancias de la misma.

3.- Difracción por rendija única.

En este apartado vamos a analizar el patrón de difracción de Fraunhofer producido por algunas rendijas sencillas: la rendija unidimensional (de anchura finita en una dirección e infinita en la dirección

Figura 35.27. Diagrama de difracción correspondiente a una sola rendija pero a diversas distancias de la pantalla.

Figura 35.28 a). Diagrama de difracción de Fresnel de un disco opaco. En el centro de la sombra, las ondas difractadas llegan en fase y originan un punto brillante, denominado punto de Poisson b) Difracción de Fresnel de una abertura circular. Compárese con el anterior.


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perpendicular), la rendija rectangular y, finalmente, la rendija circular. Comencemos por la rendija unidimensional.

3.1. Difracción de Fraunhofer producida por una rendija unidimensional.

Cuando el ancho a de una rendija única1 que se interpone en el camino de la onda es del orden de su longitud de onda λ , se produce una figura de difracción de magnitud fácilmente observable. La figura (o patrón) de difracción viene caracterizada por una variación de la intensidad luminosa como la que se observa en la figura 35.10, obtenida sobre una pantalla alejada y que corresponde a una rendija unidimensional.

Antes de obtener analíticamente la distribución de intensidad correspondiente a este patrón de difracción, haremos un análisis cualitativo. Sea el ángulo θ subtendido desde el centro de la rendija por un punto P

1 En el ejercicio de la interferencia por doble rendija se ha supuesto que su anchura era muy pequeña en comparación con la longitud de onda de la luz de modo que podían ser consideradas como fuentes lineales de frentes de onda cilíndricas.

Figura 35.31 .Diagrama de difracción de Fraunhoffer de una abertura circular

Figura 35.10 a) Diagrama de difracción de una sola rendija observado sobre una pantalla lejana. b) Representación de la intensidad en función del sen θ correspondiente al diagrama a).


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situado sobre una pantalla de observación situada muy lejos de la rendija (figura 35.11).

Cuando la rendija es infinitamente estrecha, la intensidad que se recibe en la pantalla es independiente de θ (es decir, es uniforme sobre la pantalla) ya que la abertura se comporta como un emisor puntual. Por el contrario, cuando la anchura de la rendija es finita, la intensidad de luz que se reciba en una pantalla no será independiente del ángulo θ sino que disminuye a medida que aumenta el ángulo.

Supongamos que la rendija es iluminada por un haz plano y monocromático. Este regenera ondas esféricas en cada punto de la rendija. Es claro que el frente de ondas hacia adelante será plano y monocromático, y se hallará en fase con el incidente, por lo que el punto central de la pantalla de observación será brillante. Así pues, la mayor parte de la intensidad luminosa se concentra en un amplio máximo central de difracción. Por otra parte existen bandas de máximos secundarios de intensidad decreciente a cada lado del máximo central. Entre dos máximos consecutivos existen los mínimos de intensidad correspondientes a puntos en los que la superposición de las ondículas emitidas por todos los puntos de la rendija interfieren destructivamente. Podemos calcular fácilmente para qué ángulos θ se produce esta interferencia destructiva. Para que haya interferencia destructiva de todas las ondas secundarias, es necesario que cada pareja de puntos alejados a/2 sobre la rendija interfieran destructivamente. La diferencia de caminos para que la interferencia sea destructiva es la que corresponde a un desfase de π rad, que corresponde a una diferencia de recorrido 2/λ . Así:

asinsin

2

a

2

λ=θ→θ=λ

Figura 35.11. Una rendija “extensa” se representa por un gran número de focos puntuales de la misma amplitud (Principio de Huyghens). En el punto central de la pantalla, todas las ondas emitidas por los focos de la rendija se hallan en fase, por lo que será un punto brillante. En el primer mínimo del diagrama de intensidad de una rendija, las ondas representadas en la figura, procedentes de los dos puntos superior y central se hallan desfasadas en π rad por lo que originan interferencia destructiva, como el resto de pares de focos desplazados en a/2.


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De esta ecuación deducimos que: • Para una longitud de onda determinada λ, la anchura del máximo

central disminuye inversamente con la anchura de la rendija. • Cuando a es muy pequeña, no aparecen puntos de intensidad nula en

el diagrama y la rendija actúa como un foco de luz puntual radiando energía luminosa por igual en todas direcciones.

Obsérvese que la diferencia de caminos recorridos por el frente de ondas del extremo superior de la rendija y el inferior, al llegar a un mínimo, verifican la condición de estar en fase, dado que:

θ=λ sina

La explicación de que ocurra el mínimo estriba en que las parejas de puntos cuya distancia es a/2 llegan al mínimo en oposición de fase produciendo interferencia destructiva entre ellas.

Todos los mínimos que aparecen en la figura 35.10 pueden caracterizarse por un número entero de orden m, tal que se verifica la relación:

...3,2,1mcon;msina =λ=θ

La figura 35.12 nos permite relacionar los parámetros geométricos de la difracción por una rendija

Se deduce, dado que el ángulo θ es pequeño:

a

Ly

L

ytg;y;sina

λ=→=θθ=λ

Vamos a obtener ahora de forma rigurosa los resultados que acabamos de enunciar. Consideremos una rendija unidimensional de anchura a y supongamos que la distancia L a la que se encuentra la pantalla de observación es lo bastante grande como para poder suponer que los

Figura 35.12. Parámetros geométricos a considerar en la difracción, donde y es la distancia entre el máximo y el primer mínimo de difracción..


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frentes de onda que, provenientes de la rendija, llegan a un punto P genérico de la pantalla puedan ser consideradas como ondas planas (difracción de Fraunhofer, esto es, de campo lejano). En este caso el campo en el punto P, de coordenadas (yP,L), que es la suma de las ondas reemitidas por todos los puntos de la rendija, se puede escribir de la forma

( ) ( ) ( )∫∫−−

−ω==2/a

2/a0

2/a

2/aP kDtcosEdy

a

10,yEdy

a

1L,yE

siendo D la distancia al punto P desde un punto de la rendija de coordenadas (y,0). Teniendo en cuenta la aproximación de campo lejano, podemos escribir esta distancia de la forma

( )

( )L

yyAyyy2y

L2

1L

L

yy

2

11LLyyD

P2P

2P

2P22

P

−≈+−+

=

−+≈+−=

con

L2

yLA

2P+= .

Nótese que se ha despreciado y2 por ser mucho más pequeño que el resto de cantidades en la aproximación de campo lejano (D>>a). Así pues

( )P

P

0

2/a

2/aP

0P

yL2

ka

yL2

kasin

BcosEyL

kyBcosdy

a

EL,yE

=

+= ∫

−,

siendo ( ) kLtL2yLktA 2P −ω≈+−ω= .

Finalmente, la intensidad detectada es

( ) ( )∫τ

τε=

0P

20 L,yEdtc

L,PI

esto es

( )

λπ=

= P2

0

2

P

P

0 yL

acsinI

yL2

ka

yL2

kasin

IL,PI


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con

( ) ( )∫τ

−ωτε=

0

220

0 kLtcosEdtc

L,PI .

La función seno cociente (sinc2x) se anula cuando π=λπ LayP , es decir, para los puntos que verifican aLyP /λ= tal y como se vió con anterioridad. Nótese que si a → 0 (o bien L → ∞), la iluminación será uniforme ya que los ceros de la función seno cociente ocurren para yP → ∞ . Así pues, la figura de difracción es tanto más “ancha” cuanto mayor es el cociente L/a. Otra forma, que ya vimos antes, de caracterizar la anchura del patrón de difracción, es dando el ángulo que subtiende el primer mínimo de difracción desde el centro de la rendija, que es (ver figura 35.12) Lysin P=θ y como a/Lyp λ=

asin

λ=θ .

3.2.- Difracción de Fraunhofer producida por una rendija rectangular.

La generalización del resultado anterior al caso de una rendija rectangular es bastante sencilla. Consideremos que la rendija tiene dimensiones a en la dirección x, y b en la dirección y. Entonces, en la aproximación de campo lejano, el campo en un punto P de coordenadas (xP, yP) viene dado por

( ) ( )∫∫−−

−ω=2/b

2/b0

2/a

2/aP kDtcosEdydx

ab

1L,yE

donde

( ) ( )2P2

P2 yyxxLD −+−+= .

Haciendo las aproximaciones desarrolladas en el apartado anterior, se llega fácilmente a que la intensidad en el punto P viene dada por

( )

λπ

λπ= P

2P

20 y

L

bcsinx

L

acsinIL,PI .

3.3.- Difracción de Fraunhofer producida por una apertura circular.

El caso de la apertura circular es bastante más difícil de tratar que el de la rendija rectangular así que no lo llevaremos a cabo y daremos únicamente el resultado.


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El patrón de difracción de Fraunhofer se denomina figura de Airy (Figura 35.31) y, en este caso, el ángulo subtendido desde el centro de la abertura por el primer mínimo del patrón viene dado por

a22.1sin

λ=θ

que es mayor que el correspondiente a una rendija rectangular.

3.4.- Poder de resolución de los instrumentos ópticos.

Un aspecto muy importante de la difracción desde el punto de vista de las aplicaciones, es que limita el poder de resolución de los instrumentos ópticos. En efecto, en cualquier instrumento óptico (telescopio, microscopio, etc), las lentes tienen un tamaño finito y por tanto la luz que las atraviesa es una fracción de la luz incidente. Es decir, las monturas de las lentes en los instrumentos ópticos mutilan el haz de entrada y actúan como aberturas difractantes. Esto hace que la imagen que un instrumento óptico forma, por ejemplo, de un objeto puntual, no sea un punto, sino un patrón de Airy. Es evidente entonces que si dos objetos puntuales se encuentran muy próximos entre sí, las correspondientes figuras de Airy que forma el instrumento óptico se superpongan entre sí dando lugar a una mancha de difracción en la que no puede saberse si el objeto era un punto o dos o más (véase, por ejemplo, la figura35.33)

Podemos, a partir de lo anterior, establecer un criterio sobre cuál es el poder de resolución de un instrumento óptico. Consideremos dos puntos objeto, próximos entre sí, que subtienden un ángulo α respecto a una abertura difractante circular (que puede ser el diafragma de apertura del instrumento óptico). Ahora observamos en un plano alejado de la abertura la figura de difracción resultante. Es evidente que ésta consistirá en dos

Figura 35.33. Diagramas de difracción correspondientes a una abertura circular y a dos fuentes puntules incoherentes cuando a) a es mucho mayor que 1.22 λ/D y b) cuando a corresponde al límite de resolución, ac=1.22 λ/D.


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figuras de Airy cuyos centros subtienden un ángulo α respecto a la abertura difractante (Fig. 35.32)

Si la abertura es grande, como suele ser el caso, el ángulo subtendido por el primer mínimo de difracción será pequeño, con lo que podemos aproximar la ecuación asin λ=θ por aλ≈θ . Tenemos entonces dos figuras de Airy, (cuyo primer mínimo subtiende un ángulo θ) que subtienden un ángulo α. Consideraremos que ambos puntos son separables cuando θ≥α , es decir ac λ=α≥α . A esto se le conoce como criterio de resolución de Rayleigh. Así, si dos puntos objeto subtienden un ángulo menor que αc, en el plano imagen no podremos discernir de cuántos puntos se trata.

4- Red de difracción.

Un objeto difractante de enorme interés por sus múltiples aplicaciones, en particular en el campo de la espectrometría, es la red de difracción. Una red de difracción es un conjunto de N rendijas igualmente espaciadas y grabadas sobre una superfície plana. Existen redes de difracción baratas con 10000 rayas por cm.

En primera aproximación, podemos considerar que cada una de las rendijas que forman la red de difracción es infinitamente estrecha. En este límite, para calcular el patrón de difracción lo que hemos de hacer es calcular el patrón de interferencia correspondiente a N rendijas, es decir, se puede generalizar el experimento de interferencia de la doble rendija ya visto, aumentando el número de rendijas.

Las redes de difracción son importantes porque:

• Aumentan la intensidad de la luz transmitida, comparado con la doble rendija, dado que ahora son muchas las rendijas que intervienen.

Figura 35.32. Dos focos distantes que subtienden un ángulo α. Si α es mucho mayor que 1.22 λ/D, siendo λ la longitud de onda de la luz y D el diámetro de la abertura, los diagramas de difracción apenas se solapan y los focos se ven fácilmente como dos focos separados. Si α no es mucho mayor que 1.22 λ/D, el solapamiento de los diagramas de difracción hace que sea difícil distinguir dos fuentes de una.


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• Los máximos de intensidad son ahora mucho más agudos que en el caso de dos rendijas, lo que permite determinar mejor la longitud de onda λ de la luz.

Existen redes de difracción para luz transmitida y para luz reflejada. Fraunhofer inventó las primeras redes de difracción, usando alambres finos paralelos y Rowland inventó una máquina capaz de grabar redes de difracción con millares de líneas por cm.

Sea una red de difracción formada por N rendijas iguales, separadas una distancia d. Cada una de las rendijas emite ondas esféricas en fase, si la luz incidente es una onda plana monocromática. Para 0=θ la luz que procede de cada rendija se halla en fase, puesto que no hay diferencia de caminos. Si una rendija de la red emite luz de amplitud 0A e intensidad 0I , el principio de superposición nos permite escribir:

• La amplitud de la onda en el máximo es 0NA • La intensidad de la onda en el máximo es ( ) 0

220 INNA =

Para un ángulo de emisión θ , tal que:

...3,2,1mcon;msind =λ=θ

la diferencia de caminos entre dos rendijas sucesivas será un múltiplo entero m de longitudes de onda λ , por lo que la luz llegará en fase a la pantalla alejada proporcionando los sucesivos máximos de interferencia. El entero m especifica el orden de los máximos principales.

4.1 Conservación de la energía y la intensidad.

El principio de superposición nos ha permitido escribir que el valor máximo de la intensidad toma el valor:

Figura 35.34. Esquema de una red de difracción. Para un ángulo θ, la diferencia de caminos entre rayos de rendijas adiacentes es θsind


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02

max INI =

resultado que concuerda con el obtenido en el caso de la interferencia por doble rendija ( 0máx I4I = ), en que pusimos de manifiesto la conservación de la energía. Si ahora la intensidad crece de forma tan marcada como el factor 2N indica, el espacio en el que se desarrolla el máximo interferencial ha de ser mucho menor. Supongamos que los máximos principales tienen una anchura θ∆ . Definimos la anchura θ∆ como la extensión angular en que la intensidad es mayor o igual que 2/Imáx . La conservación de la energía nos permite escribir:

N

1

I

NINII

máx

00máx ==θ∆⇒≈θ∆

lo que significa que la agudeza de visibilidad del máximo aumenta sustancialmente.

En conclusión: • Al aumentar el número de rendijas de difracción, la altura de los

máximos principales aumenta como 2N , y en consecuencia: • Disminuye la anchura de los máximos, es decir, los máximos

principales se vuelven más agudos, en función de N/1 .

5.- Difracción de rayos X. Ley de Bragg.

Las redes de difracción funcionan porque las aberturas (u obstáculos) operan como dispersores situados regularmente en el espacio, de manera que generan interferencias constructivas.

Los átomos de un sólido cristalino funcionan admirablemente bien como red de difracción, dado que constituyen un conjunto de obstáculos espaciados regularmente, aunque en tres dimensiones.

La condición de que la longitud de onda de la radiación sea del orden del espaciado de la red (de átomos en este caso), la cumplen los rayos X descubiertos por Roentgen en 1895. Hoy sabemos que los rayos X son radiación electromagnética susceptible de penetrar en los objetos por su pequeña longitud de onda de 0.1 nm.

En 1912 Max Von Laue tuvo la idea de dispersar los rayos X por sólidos con la finalidad de encontrar una herramienta que le permitiera:

• Medir con exactitud la longitud de onda de los rayos X. • Tener una herramienta para la exploración de los sólidos cristalinos.


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Como los centros de dispersión en el sólido (sus átomos) son puntuales y en tres dimensiones la figura de difracción de un sólido cristalino está constituida por un conjunto de manchas y no por líneas.(ver figura 39.24).

Este resultado se puede comprender si imaginamos el conjunto de puntos dispersores como el análogo de una doble red de difracción cruzada y superpuesta.2

Bragg explicó de forma sencilla la relación existente entre la estructura cristalina y la posición de las manchas: en todo cristal se pueden trazar muchos conjuntos de planos paralelos, denominados planos de Bragg, que tienen la propiedad de pasar por los átomos con distancias características de separación entre ellos, denominadas espaciamientos de Bragg.(figura 39.23).

2 Ver P. Fishbane pg 1150.

Figura 39.24 a. Esquema del experimento de Von Laue de la difracción de rayos X, b) Los puntos observados por Von Laue en uno de los patrones de difracción de rayos X. El punto grueso corresponde a la radiación X no difractada.

Figura 39.25. En todo sólido cristalino se pueden definir muchos planos de Bragg, paralelos entre sí.


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La ventaja de este método radica en que podemos imaginar que cada familia de planos paralelos es una red de difracción tipo rendija para los rayos X. La figura 39.24 muestra dos rayos dispersados por dos planos paralelos dentro del cristal

Como se observa en la figura, la condición de interferencia constructiva para los frentes de onda dispersos por los átomos es que:

aggrBdeLey,...3,2,1nsiendo;nsind2 =λ=θ

Lectura recomendada: Holografía. P. Tipler pg 1173. P. Fishbane pg 1153.

Figura 39.27. Esquema de la difracción de rayos X por dos planos de Bragg adiacentes, definidos en el sólido.

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