TEMA 4. TRIGONOMETRÍA.

4.1. Semejanza.

- Criterios de semejanza de triángulos.

- Teorema del cateto.

- Teorema de la altura.

4.2. Razones trigonométricas.

- Razones trigonométricas de un ángulo agudo.

- Relación entre las razones trigonométricas.

- Razones trigonométricas de 30°, 45° y 60°.

- Razones trigonométricas con la calculadora.

4.3. Resolución de triángulos rectángulos.

4.4 Medida de ángulos.

- Grados y radianes.

- Ángulos positivos y negativos.

- Ángulos mayores que 360º.

4.5. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.

- La circunferencia goniométrica.

- Reducción al primer cuadrante.

4.6. Resolución de triángulos cualesquiera.

- Teorema del seno.

- Teorema del coseno.

- Resolución de triángulos.

4.1. Semejanza.

Una definición informal de semejanza es: “dos figuras son semejantes cuando tienen la misma

forma”.

Siendo más rigurosos: dos figuras son semejantes cuando sus ángulos correspondientes son

iguales y sus segmentos correspondientes son proporcionales.

A la relación entre sus segmentos correspondientes (que son proporcionales) se le llama razón

de semejanza.

En este caso la razón de semejanza

entre los dos triángulos será:

Una razón de semejanza muy usada es la escala, que es el cociente entre la longitud de la

reproducción (plano, mapa, maqueta,…) y la correspondiente longitud en la realidad.

Criterios de semejanza de triángulos

Primer criterio. Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de ángulos respectivamente

iguales.

Segundo criterio. Dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales.

Tercer criterio. Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo

forman son proporcionales.

1. ¿Son semejantes las siguientes parejas de triángulos? ¿Qué criterio aplicas para

deducirlo?

2. Haz lo mismo que en el ejercicio anterior para los triángulos:

3. ¿Cuánto miden a y b? ¿Cuál es su razón de semejanza?

4. Si MC = 4,8 cm y CB = 8,4 cm, halla las longitudes de AM y MN

5. ¿Son semejantes los siguientes triángulos rectángulos?

6. Si la razón de semejanza entre dos figuras es k, entonces la razón entre sus perímetros

es _____________. Razona la respuesta.

7. Los lados de un rectángulo miden 3 y 5 cm. Halla las medidas de otro rectángulo

semejante al anterior y que tiene 40 cm de perímetro.

8. Si la razón de semejanza entre dos figuras es k, entonces la razón entre sus áreas es

_____________. Razona la respuesta.

9. Los lados de un rectángulo miden 3 y 5 cm. Halla las medidas de otro rectángulo

semejante al anterior y que tiene 21,6 cm² de superficie.

10. ¿Por qué son semejantes los triángulos APQ y ABC? Calcula x

11. Sabiendo que AB y CD son paralelos, ¿son semejantes los triángulos OAB y OCD?

Calcula x e y.

12. Si un árbol que mide 5 m de altura a una determinada hora del día proyecta una

sombra de 6m y la sombra de un edificio a esa misma hora es de 10, ¿cuál es la altura

del edificio?

13. Halla el valor de x:

14. Las distancia entre dos ciudades es de 420 km. Halla la distancia que las separa en un

mapa realizado a escala 1 : 1500000.

15. En un mapa a escala 1 : 500000 la distancia entre dos puntos es de 6 cm, ¿Cuál es su

distancia real?

16. En un triángulo ABC el ángulo = 90° y AC = AB = 3 cm. En otro triángulo A’B’C’ se

tiene que y cm. ¿Son semejantes? ¿Por qué´?

17. ¿Son semejantes los triángulos interior y exterior de un cartabón? Razona la respuesta.

Teorema de Pitágoras.

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados

de los catetos.

Teorema del cateto.

El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho

cateto sobre la hipotenusa.

Teorema de la altura.

El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los

catetos sobre la hipotenusa.

18. En un triángulo rectángulo las proyecciones de los cateos sobre la hipotenusa miden

12,8 y 7,2 cm, respectivamente. Halla la medida de la altura sobre la hipotenusa y las

medidas de los catetos.

19. En un triángulo rectángulo un cateto mide 7,5 cm y su proyección sobre la hipotenusa

mide 2,4 cm. Halla la longitud de la hipotenusa.

20. Si los catetos de un triángulo miden 27 y 36 cm, respectivamente, halla las medidas de

la hipotenusa, de las proyecciones de los catetos sobre ella y de la altura trazada sobre

dicha hipotenusa.

21. Si en un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 40 cm y un cateto 24 cm, halla el otro

cateto, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa y la altura sobre ella.

22. Halla los lados desconocidos:

23. Halla x e y en los siguientes triángulos:

24. Halla el área y el perímetro de :

4.2. Razones trigonométricas.

Razones trigonométricas de un ángulo agudo.

Dado un triángulo rectángulo, se definen las razones trigonométricas (seno, coseno y

tangente) para sus ángulos agudos de la siguiente manera:

1. Completa:

2. A partir del triángulo calcula el seno, el coseno y la tangente de los dos ángulos

agudos:

3. A partir del siguiente triángulo, completa:

4. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los siguientes triángulos

rectángulos:

Relación entre las razones trigonométricas.

5. Demuestra las dos igualdades anteriores.

Se definen también las siguientes razones trigonométricas:

Y las siguientes fórmulas trigonométricas:

Razones trigonométricas de 30°, 45° y 60°

6. a) Define las razones trigonométricas de 45° a partir de un triángulo rectángulo isósceles.

b) Define las razones trigonométricas de 30° y 60° a partir de un triángulo equilátero.

7. Completa la siguiente tabla:

30° 45° 60°

Seno

Coseno

Tangente

Razones trigonométricas con la calculadora.

Para hallar el seno de 34° tecleamos sin 34 =0.559192903

Para hallar el ángulo cuyo coseno es 0,32 se teclea SHIFT cos 0.32 = 71.33707 = 71°20’ 13’’

Para escribir los ángulos en forma compleja e incompleja se usa la tecla

Por ejemplo: para escribir 71°20’ 13’’ se teclea 71 20 13 , y para que nos

aparezca en forma incompleja teclea SHIFT

8. Halla con la calculadora el valor de las siguientes razones trigonométricas:

a. 53sen d. 56sen g. 60sen j. 22,5sen

b. 53 cos e. 57 cos h. '1230 cos k. 72,4 cos

c. 53 tg f. ''23'1298 tg

i. ''43'565 tg l. 12 tg

9. Halla con la calculadora el ángulo agudo que cumple:

a. 2

2sen d. 35.0sen g.

2

2cos j. 85.0sen

b. 2

1cos e. 7.0cos h.

2

3cos k. 75.0cos

c. 1tg f. 5,1tg i. 2,4tg l. 5,3tg

10. a) Si es un ángulo agudo y cos =0,4, ¿cuánto valen seno y tangente?

b) Si a es un ángulo agudo y tg a = 0,4, ¿cuánto valen seno y coseno?

c) Si es un ángulo agudo y 2.0sen , ¿cuánto valen coseno y tangente?

d) Si es un ángulo agudo y 5tg , ¿cuánto valen seno y coseno?

e) Si es un ángulo agudo y 3

1cos ¿cuánto valen seno y tangente?

f) Sabiendo que 5

21sen y que 900 , halla su coseno y su tangente.

g) Sabiendo que 3

4tgα , calcula su seno y su tangente.

11. a) Si el coseno de un ángulo vale 0,72, ¿De qué ángulo se trata? ¿Cuánto vales su seno

y su tangente?

b) Si el seno de un ángulo vale 0,72, ¿De qué ángulo se trata? ¿Cuánto vales su coseno

y su tangente?

c) Si la cotangente de un ángulo vale 9, halla las demás razones trigonométricas.

12. ¿Existe algún ángulo tal que

y

?

13. ¿Existe algún ángulo cuyo seno sea 2? ¿Y cuyo coseno sea 1,25? Razona las respuestas.

14. Calcula el seno y el coseno de un ángulo agudo cuya tangente vale 0,75.

15. Calcula el seno y la tangente de un ángulo agudo cuyo coseno vale 0,552.

4.3. Resolución de triángulos rectángulos.

1er caso: Dados los dos catetos.

Por Pitágoras:

Aplicando la definición de tangente, sabemos

que

B=90°-36,86° = 53,14°

2º caso: Dado un cateto y la hipotenusa.

Por Pitágoras:

Aplicando la definición de seno, sabemos que

C=90°- 41,81° = 48,19°

3er caso: Dados un ángulo agudo y un cateto.

B = 90° - 40° = 50 °

Aplicando la definición de coseno, sabemos que

Por Pitágoras:

4º caso: Dados un ángulo agudo y la hipotenusa.

B = 90° - 30° = 60 °

Aplicando la definición de seno, sabemos que

Por Pitágoras:

Resuelve los siguientes triángulos rectángulos:

1. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41°. Resolver el triángulo. (El

ángulo recto es C)

2. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54°. Resolver el triángulo. (El

ángulo recto es C)

3. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo. (El

ángulo recto es C)

4. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo. (El

ángulo recto es C)

5. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 4,8 cm y el ángulo opuesto a este

cateto mide 54°. Halla la medida del resto de los lados y de los ángulos del triángulo.

6. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 20 cm y sus ángulos iguales 35°

¿Cuál es su área?

7. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 cm y uno de los catetos mide 12 cm.

Calcula la longitud del otro cateto y la medida de sus ángulos.

8. Las diagonales de un rombo miden 10 y 14 cm, respectivamente. Calcula el lado del

rombo y sus ángulos.

9. Queremos fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el extremo

superior del poste al suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de

40°. ¿A qué distancia del poste sujetaremos el cable? ¿Cuál es la longitud del cable?

10. Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo

de elevación del sol en ese momento.

11. El diámetro de una moneda de 2 € es de 2,5 cm. Halla el ángulo que forman sus

tangentes trazadas desde una distancia de 4,8 cm del centro.

12. Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto

más alto de la torre bajo un ángulo de 60°. Nos acercamos 5 metros a la torre en línea

recta y el ángulo es de 80°. Halla la altura de la torre.

13. Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su

copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.

14. Halla la altura de la montaña:

15. Halla la altura del edificio

16. Sabiendo que HC = 650 m., A = 24° y B = 36°, halla AB.

17. Halla PQ, si QR=15 m.

P

50° R

30 °

Q

18. Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de de 40°, y si se

retrocede 4 metros se ve bajo un ángulo de 28 m. Halla la anchura del río y al altura

del árbol.

19. La diagonal mayor de un rombo mide 8 cm y forma con cada lado contiguo yb ángulo

de 26°. ¿Cuánto mide el lado del rombo?

20. Halla la el área de un triángulo equilátero de 12 cm de lado.

21. Halla la altura del triángulo:

22. Una persona situada a 1,33 m del extremo de un pozo de 9 metros de hondo ve su

punto más profundo y alejado con un ángulo de depresión de 52° como se ve en la

figura. Calcula la anchura del pozo.

23. Halla el área de los siguientes triángulos:

4.4 Medida de ángulos.

Grados y radianes.

Se define un radián como la medida del ángulo “cuyo arco es igual a su radio”.

Mediante una sencilla regla de tres que nos relacione la longitud de

la circunferencia con su amplitud se demuestra que

Y además:

1. Pasa a radianes los siguientes ángulos:

30°, 45°, 60°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270° y 360°.

2. Pasa a grados los siguientes ángulos:

,

, y 3 rad.

Ángulos positivos y negativos.

Se considera un ángulo positivo cuando se mide en sentido antihorario; y un ángulo se dirá por

tanto que es negativo cuando está medido en sentido horario.

Si los ángulos se miden en una circunferencia, siempre se hace desde el semieje positivo de

abscisas, con lo que

Cualquier ángulo negativo puede expresarse como un ángulo positivo sin más que sumarle

360°, como se aprecia en el ejemplo siguiente:

3. ¿Con qué ángulos positivos se corresponden cada uno de estos ángulos negativos?

-45°, -60°, -90°, -135°, -120°, -150°.

Ángulos mayores que 360º.

Si un ángulo es mayor que 360° se puede reducir a un ángulo comprendido entre 0° y 360° sin

más que restarle 360° las veces que sea necesario.

4. ¿Con qué ángulos menores que 360° se corresponden los siguientes ángulos?

450°, 390°, 765°, 585°, 1140°, 500°, 1200° y 420°.

4.5. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. La circunferencia goniométrica.

En un sistema de coordenadas, con centro en el origen se traza una circunferencia de radio 1.

Cada punto P(x,y) de la circunferencia define un ángulo

trazando la semirrecta que parte de O y pasa por P.

Además se puede trazar triángulo rectángulo OQP que tiene

un ángulo agudo .

En este triángulo, usando las definiciones se tiene que:

Es decir, puedo definir el coseno del ángulo , como la

proyección del punto P(x,y) sobre el eje de abscisas y el seno de ángulo como su proyección

sobre el eje de ordenadas.

Por tanto las coordenadas del punto P son .

Hasta ahora solo se han definido las razones trigonométricas para ángulos agudos, pero con la

definición anterior se puede generalizar para cualquier ángulo.

1. A partir de la circunferencia goniométrica halla el seno, el coseno y la tangente de 0°, 90,

180, 270° y 360°.

Reducción al primer cuadrante

Hallemos las razones trigonométricas de un ángulo del segundo cuadrante.

Para ello comparamos con un ángulo del primer cuadrante, en

nuestro caso como se ve en el gráfico es 180°- .

Por tanto estos dos ángulos tienen el mismo seno y sus cosenos son

números opuestos.

2. Halla seno, coseno y tangente de 135°, 120° y 150°. , 225°, 240°, 300°, 210°, 315° y 330°

comparándolos con un ángulo del primer cuadrante.

3. Sabiendo que

y que

. Calcula su coseno y su tangente.

Veamos qué ocurre si el ángulo está en el tercer cuadrante.

Para ello comparamos con un ángulo del primer cuadrante, en

nuestro caso como se ve en el gráfico es 180°+ .

Por tanto, como se ve en el gráfico el seno y el coseno de estos dos

ángulos son números opuestos.

4. Halla seno, coseno y tangente de 225°, 240° y 210°.

5. Sabiendo que

y que

. Calcula su seno y su tangente.

Igualase procede si el ángulo está en el cuarto cuadrante:

En este caso los ángulos y – , tienen el mismo coseno y el seno

cambia de signo.

4. Halla seno, coseno y tangente de 300°, 315° y 330°

5. Sabiendo que

y que

. Calcula su seno y su tangente.

6. Halla los ángulos que cumplen las siguientes condiciones:

1. sen ( ) = 0,35, y 90

2. cos ( ) = 0,25 y 360270 ,

3. tg ( ) = -1,4 y 18090

4. sen ( ) = 0,43 y 18090

5. tg ( ) = 2 y 270180

6. tg( ) = -3 y 360270

7. cos( ) = -0,5 y 270180

8. tg( ) = 4.5 y 270180

9. sen ( ) = -0,21 y er3 cuadrante

4.6. Resolución de triángulos cualesquiera.

Teorema del seno.

En un triángulo de lados a, b y c y ángulos se verifica que:

Teorema del coseno.

En un triángulo de lados a, b y c y ángulos se verifica que:

Resolución de triángulos.

Resuelve los siguientes triángulos:

Resuelve los siguientes triángulos no rectángulos:

1. En dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 50 km, son recibidas señales que manda un barco, B. Si consideramos el triángulo de vértices A, B y C, el ángulo en A es de 65° y el ángulo en C es de 80°. ¿A qué distancia se encuentra el barco de cada una de las dos estaciones de radio?

2. Dos de los lados, a y b, de una finca de forma triangular miden 20 m y 15 m, respectivamente. El ángulo comprendido entre estos dos lados es de 70°.Si deseáramos vallar la finca, ¿cuántos metros de valla necesitaríamos?

3. Dos barcos salen de un puerto a la misma hora con rumbos distintos, formando un ángulo de 110°. Al cabo de 2 horas, el primer barco está a 34 km del punto inicial y el segundo barco, a 52 km de dicho punto. En ese mismo instante, ¿a qué distancia se encuentra un barco del otro?

4. Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.

5. Un compás tiene dos patas de 10 cm de largo. ¿Qué ángulo forman si al abrirlo se traza una circunferencia de 10 cm de diámetro?

6. Se desea unir tres puntos, A, B y C, mediante caminos rectos que unan A con B, B con C y C con A. La distancia de AB es de 100 metros, el ángulo correspondiente a B es de 50°, y el ángulo en A es de 75°. ¿Cuál es la distancia entre B y C ? ¿Y entre A y C?

7. Una rampa de 40 m. de longitud y 10° de inclinación conduce al pie de una estatua. Calcula la altura de ésta sabiendo que en el inicio de la rampa el ángulo de elevación del punto más alto de la estatua es de 15°.

8. ¿A qué altura se encuentra el OVNI?

9. ¿Cuál será la altura máxima del puente?

10. Entre los puntos A y B de la figura hay un barranco. Se sabe que AP=114 m , BP=100m y APB=50°. Halla la distancia entre A y B

11. Si AB=700 m, halla la distancia entre el pico I y el pico II.

12. ACD=80°, BCD=43°, BDC=32° y ADC=23°. Halla AB.

13. Halla la altura de la torre si OPA=67°, OQA=70°, OQB=66° y PQ=12,5 m.

14. La torre de Pisa forma un ángulo de 8,3° con la vertical. El ángulo de elevación desde el punto A hasta la parte superior de la torre es de 42° cuando la sombra proyectada es de 28 m. Halla al altura de la torre y la distancia BC, que es su longitud.

15. Las diagonales de un rectángulo se cortan formando un ángulo de 60°. Uno de sus lados mide 6 cm. Halla la longitud del otro.

16. Las diagonales de un paralelogramo miden 6 cm y 14 cm respectivamente, y forman un ángulo de 75°. Halla las longitudes de los lados y los ángulos del paralelogramo,

17. 18.