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  • TEMA 2: LMITES, CONTINUIDAD Y DERIVACIN EN UNA VARIABLE Y APLICACIONES DE LA DERIVADA

    (Clculo diferencial en una variable)

    FMIBII

    Biomedical engineering degree

    Cristina Snchez Lpez de Pablo

    Universidad San Pablo CEU

    Madrid

  • ndice de contenidos

    TEMA 2: LMITES, CONTINUIDAD, DERIVACIN EN UNA VARIABLE Y APLICACIONES DE

    LA DERIVADA

    1. Una mirada previa al clculo

    Qu es el clculo?

    El problema de la recta tangente

    El problema del rea

    2. Clculo de lmites de manera grfica y numrica

    Introduccin a los lmites

    Lmites que no existen

    Definicin formal de lmite

    3. Clculo analtico de lmites

    Propiedades de los lmites

    Tcnicas analticas para calcular lmites

    2

  • ndice de contenidos II

    TEMA 2: LMITES, CONTINUIDAD, DERIVACIN EN UNA VARIABLE Y APLICACIONES DE

    LA DERIVADA

    4. Continuidad y lmites laterales o unilaterales

    Continuidad en un punto y en un intervalo abierto

    Lmites laterales y continuidad en un intervalo cerrado

    Propiedades de la continuidad

    Teorema del valor intermedio

    5. Lmites infinitos

    Introduccin a los lmites infinitos

    Asntotas verticales

    6. La derivada

    La derivada y el problema de la recta tangente

    Derivada de una funcin

    Derivabilidad y continuidad

    3

  • ndice de contenidos III

    TEMA 2: LMITES, CONTINUIDAD, DERIVACIN EN UNA VARIABLE Y APLICACIONES DE

    LA DERIVADA

    7. Reglas bsicas de derivacin y razn de cambio

    La regla de la constante

    La regla de la potencia

    Las reglas de suma y diferencia

    La regla del mltiplo constante

    Derivadas de las funciones seno y coseno

    Razn de cambio

    8. Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior

    La regla del producto

    La regla del cociente

    Derivadas de las funciones trigonomtricas

    Derivadas de orden superior

    4

  • ndice de contenidos IV

    TEMA 2: LMITES, CONTINUIDAD, DERIVACIN EN UNA VARIABLE Y APLICACIONES DE

    LA DERIVADA

    9. La regla de la cadena

    Introduccin a la regla de la cadena

    La regla general de la potencia

    Simplificacin de derivadas

    Funciones trigonomtricas y regla de la cadena

    10. Derivacin implcita

    Funciones explcitas e implcitas

    Estrategias para la derivacin implcita

    11. Razones de cambio relacionadas

    Clculo de razones de cambio relacionadas

    Solucin de problemas con razones de cambio relacionadas

    5

  • ndice de contenidos V

    TEMA 2: LMITES, CONTINUIDAD, DERIVACIN EN UNA VARIABLE Y APLICACIONES DE

    LA DERIVADA

    12. Derivacin de funciones trascendentes

    Funcin logaritmo natural

    Funciones inversas

    Funciones exponenciales y otras bases distintas de e

    Funciones trigonomtricas inversas

    Funciones hiperblicas

    13. Formas indeterminadas y la regla de LHpital

    14. Extremos de un intervalo

    Extremos de una funcin

    Extremos relativos y puntos o nmeros crticos

    Determinacin de extremos en un intervalo cerrado

    6

  • ndice de contenidos VI

    TEMA 2: LMITES, CONTINUIDAD, DERIVACIN EN UNA VARIABLE Y APLICACIONES DE

    LA DERIVADA

    15. El teorema de Rolle y el teorema del valor medio

    Teorema de Rolle

    Teorema del valor medio

    16. Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada

    Funciones crecientes y decrecientes

    Criterio de la primera derivada

    17. Concavidad y el criterio de la segunda derivada

    Concavidad

    Puntos de inflexin

    Criterio de la segunda derivada

    7

  • ndice de contenidos VII

    TEMA 2: LMITES, CONTINUIDAD, DERIVACIN EN UNA VARIABLE Y APLICACIONES DE

    LA DERIVADA

    18. Lmites al infinito

    Lmites en el infinito

    Asntotas horizontales

    Lmites infinitos al infinito

    19. Anlisis de grficas

    20. Problemas de optimizacin

    21. Diferenciales

    Aproximaciones por recta tangente

    Definicin de diferenciales

    Propagacin del error

    Clculo de diferenciales

    8

  • Una mirada previa al clculo:Qu es el clculo?

    El clculo es

    La matemtica de los cambios: velocidades y aceleraciones

    El desarrollo de modelos que permite entender situaciones de la vida real conceptos:

    rectas tangentes, pendientes, reas, volmenes, curvaturas

    Estrategia:

    Pasar de las matemticas previas al clculo (estticas) al clculo (dinmico) reformulacin a

    travs de un proceso de lmite

    9

  • Una mirada previa al clculo:Qu es el clculo? II

    Ejemplo: qu podemos hacer con clculo diferencial?

    10

  • Una mirada previa al clculo:Qu es el clculo? III

    Ejemplo: qu podemos hacer con clculo integral?

    11

  • Una mirada previa al clculo:El problema de la recta tangente

    A partir de una funcin f y de un punto P de su grfica, encontrar la ecuacin de la

    recta tangente a la grfica en el punto P

    Calcular la pendiente de una recta secante que pase por P y por otro punto Q de la curva

    Si Q tiende a P, la pendiente de la recta secante de aproxima a la de la tangente la

    pendiente de la recta tangente es el lmite de la pendiente de la recta secante

    12

  • Una mirada previa al clculo:El problema del rea

    Determinar el rea de una regin plana delimitada por grficas de funciones

    Estimar el rea bajo la curva utilizando varios rectngulos

    La aproximacin mejora al aumentar el nmero de rectngulos

    El rea de la regin puede calcularse entonces como el lmite de la suma de las reas de los

    rectngulos cuando el nmero de stos crece sin fin

    13

  • Descripcin informal de lmite:

    Si f(x) se acerca arbitrariamente a un nmero L cuando x se aproxima a c por cualquiera de los

    dos lados, entonces:

    Ejemplo: estimacin del lmite de una funcin de manera grfica

    y numrica

    Clculo de lmites de manera grfica y numrica:Introduccin a los lmites

    14

  • Clculo de lmites de manera grfica y numrica:Lmites que no existen

    Cundo decimos que un lmite no existe?

    Ejemplo: Analizar la existencia del lmite

    15

  • Clculo de lmites de manera grfica y numrica:Definicin formal de lmite

    NOTA:

    Algunas funciones carecen de lmite cuando x c, pero las

    que lo poseen no pueden tener dos lmites diferentes

    Si el lmite de una funcin existe, entonces es nico

    16

  • Clculo de lmites de manera grfica y numrica:Definicin formal de lmite II

    Ejemplo:

    Utilizar la definicin formal de lmite para demostrar que:

    Solucin:

    Probar que para todo > 0 existe un > 0 tal que

    |(3x 2) 4| < siempre que 0 < |x 2| <

    Puesto que la eleccin de depende de es

    necesario establecer una relacin entre los valores

    absolutos |(3x 2) 4| y |x 2|

    |(3x 2) 4| = |3x 6| = 3|x 2|

    Si = /3 entonces 0 < |x 2| < = /3, lo que

    implica que |(3x 2) 4| = 3|x 2| < 3 (/3) =

    17

  • Clculo analtico de lmites:Propiedades de los lmites

    Demostracin de la propiedad 2:

    Para todo todo > 0 existe un > 0 tal que |x c| < siempre que 0 < |x c| <

    Si elegimos = , entonces la segunda desigualdad lleva implcita la primera, por lo que

    queda demostrada la propiedad

    NOTA: En las funciones que son continuas en c, se puede evaluar el lmite por sustitucin directa

    18

  • Clculo analtico de lmites:Propiedades de los lmites II

    19

  • Clculo analtico de lmites:Propiedades de los lmites III

    Ejemplo: Lmite de un polinomio

    Se observa que el lmite de la funcin polinomiales simplemente el valor de dicha funcin en x =2

    Esta propiedad de sustitucin directa es vlidapara todas las funciones polinomiales yracionales cuyos denominadores no se anulenen el punto considerado

    20

  • Clculo analtico de lmites:Propiedades de los lmites IV

    21

  • Clculo analtico de lmites:Propiedades de los lmites V

    Ejemplo: Lmites de funciones trigonomtricas

    22

  • Clculo analtico de lmites:Tcnicas analticas para calcular lmites

    Estrategia para el clculo de lmites:

    Si el lmite de f(x) cuando x se aproxima a c no se puede evaluar por sustitucin directa, es

    necesario encontrar una funcin g que coincida con f para todo x distinto de x = c

    El lmite de g se debe poder evaluar por medio de sustitucin directa para poder concluir

    de manera analtica que:

    23

  • Ejemplo: Tcnica de cancelacin

    Encontrar el lmite:

    No se puede realizar una sustitucin directa puesto que el lmite del numerador y del

    denominador son 0 0/0 = indeterminacin

    Si factorizamos el numerador veremos cul es su factor

    comn con el denominador

    Por tanto, aplicando el Teorema de las funciones que

    coinciden salvo en un punto tenemos que:

    Clculo analtico de lmites:Tcnicas analticas para calcular lmites II

    24

  • Clculo analtico de lmites:Tcnicas analticas para calcular lmites III

    Ejemplo: Tcnica de racionalizacin

    Encontrar el lmite:

    Si realizamos sustitucin directa llegamos a la indeterminacin 0/0

    En este caso, se puede reescribir la fraccin racionalizando el numerador para encontrar el

    factor comn

    Y finalmente evaluar el lmite:

    25

  • Clculo analtico de lmites:Tcnicas analticas para calcular lmites IV

    Ejemplo: Tcnica del encaje y lmites trigonomtricos especiales

    NOTA: El teorema del encaje nos servir para demostrar los lm