Tema 2- Flujo Transitorio

INGENIERA TRMICA TEMA 2

Universidad de Jan. rea de Mquinas y Motores Trmicos Jos Manuel Palomar Carnicero ; Fernando Cruz Peragn ; Vicente Montoro Montoro

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TEMA 2

FLUJO TRANSITORIO

2.1.- ANLISIS DE FLUJO TRANSITORIO.- En los procesos de flujo permanente no se consideran cambios con el tiempo en

ninguna de las propiedades del sistema, dentro del volumen de control. Sin embargo, existen procesos, como el llenado de un tanque rgido desde una lnea de alimentacin (fig.2.1) que implican cambios dentro del volumen de control, con el tiempo. A estos procesos se les llama de flujo no permanente o de flujo transitorio. Cuando se analiza un proceso de flujo transitorio habr que tener en cuenta el contenido de masa y energa del volumen de control, en cada instante, y las interacciones de energa a travs de la frontera.

Los procesos de flujo transitorio comienzan y terminan a lo largo de un perodo de tiempo finito. En algunos aspectos un proceso de flujo transitorio es similar a un sistema cerrado, excepto en que la masa dentro de las fronteras del sistema no permanece constante durante un proceso.

Otra diferencia entre sistemas de flujo permanente y transitorio es que los primeros estn fijos en el espacio, en tamao y forma; mientras que los sistemas de flujo transitorio no lo estn, pues estos suelen ser uniformes (estar fijos en el espacio) pero pueden incluir fronteras mviles y, por ello, trabajo de la frontera (fig.2.2). Algunos ejemplos de procesos de flujo transitorio son la carga de depsitos rgidos a travs de lneas de alimentacin; la descarga de un fluido en un recipiente a

presin; el accionamiento de una turbina de gas con el aire presurizado almacenado en un gran contenedor, el inflado de cmaras o balones e incluso cocinar con una olla a presin. 2.1.1.- Conservacin de la masa.-

En este tipo de procesos la cantidad de masa cambia con el tiempo, y el grado de cambio depender de la cantidad de masa que entra y sale del volumen de control durante el proceso.

Consideremos un recipiente con agua a la mitad de su capacidad (fig.2.3). En

este instante, la masa de agua total en el depsito es m1 = 200 kg. Tomamos como volumen de control el volumen ocupado por el agua. La frontera superior (superficie libre del lquido) se desplazar hacia arriba o hacia abajo dependiendo de la cantidad de agua que haya en el recipiente en cada instante.

V.C.

Fig.2.1

Fig.2.2

V.C.



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Ahora se abren las vlvulas de entrada y salida, dejando que fluya masa hacia el depsito y desde el depsito; el nivel de agua ascender o descender dependiendo de cual sea la corriente dominante.

Transcurrido un tiempo t, ambas vlvulas se

cierran, siendo la masa de agua que entr me = 75 Kg y la masa de agua evacuada m s = 50 Kg.

Despreciando prdidas por evaporacin, la

cantidad de agua m2 que hay al final del proceso en el recipiente se obtendr aplicando el principio de conservacin de la masa, que puede expresarse como: el aumento en la masa de agua en el depsito es igual al flujo de masa neto dentro del depsito, es decir:

KgmKgmKgKgmmmm se 2252005075 2212 ===

Por tanto, el principio de conservacin de la masa para un volumen de control (V.C.) sometido a cualquier proceso de flujo transitorio en un intervalo de tiempo t puede expresarse como:

)()( 12 Kgmmmmmmm vcsevcse == (2.1)

=s

Kgdt

dmmm vcse && (2.2)

En el caso particular de tratarse de un flujo permanente (dmvc /dt = 0). Teniendo en cuenta que el flujo de masa m& de un fluido que circula por una

tubera es proporcional al rea de la seccin transversal A, a la densidad y a la componente normal de la velocidad del fluido cn , tendremos:

== sKgdAcmdAcmd A nn && (2.3) Teniendo en cuenta la ec.2.3, la ec.2.2 se transforma en:

=

VsAn

eAn dVdt

ddAcdAc (2.4)

2.1.2.- Conservacin de la energa.- En un proceso de flujo transitorio, el contenido de energa de un V.C. cambia con el tiempo. El grado de cambio depender de la cantidad de transferencia de energa (calor y/o trabajo) a travs de las fronteras del sistema, as como de la cantidad de energa transportada (hacia dentro y hacia fuera del V.C.) mediante la masa durante

Fig.2.3

ms = 50 kg

.

me = 75 kg

mvc = me - m s = = 25 Kg



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el proceso. Por tanto, al analizar un proceso de flujo transitorio deberemos seguir de cerca el contenido de energa del V.C., as como las energas de las corrientes entrantes y salientes.

Para aclarar las diversas formas de interacciones de energa consideremos la fig.2.4, y supongamos que:

El contenido de energa del agua presente al

principio en el recipiente es E1 = 600 kJ. El calor liberado al exterior es Q = - 60 kJ. Se eleva el nivel del agua y, por tanto, el trabajo

realizado por la frontera contra el exterior es Wb = 10 kJ. Tambin podrn existir otras formas de trabajo (de paletas, de resistencias elctricas, etc.).

La energa transportada con la masa se cuantifica en Ee = 350 kJ y Es = 150 kJ.

Descartando cualquier prdida de energa por evaporacin, el contenido de energa del agua que hay en el recipiente al final del proceso (E2) se determina con el principio de conservacin de la energa, que dice: el aumento en el contenido de energa del recipiente es igual al flujo neto de energa hacia el recipiente

( )kJEkJEkJkJkJkJ

EEEEWQ VCse7306001503501060 22

12

==+=+

As pues, el principio de conservacin de la energa para un V.C. sometido a un

proceso de flujo no permanente durante un intervalo de tiempo t, puede expresarse como:

=

+

tduranteCVdelenergala

ennetoCambio

tduranteCVdelfuerahacia

masalapordatransporta

totalEnerga

tduranteCVdeldentrohacia

masalapordatransporta

totalEnerga

tdurantetrabajooycalor

fronteralacruzaquetotalEnerga

..

....

)/(

)(kJEEEWQ VCse =+ (2.5) )(kW

dtdE

EEWQ VCse =+ &&&& (2.6) En la ec.2.5, los valores de Q y W pueden obtenerse por mediciones externas,

y los valores de E1 y E2 pueden establecerse fcilmente al medir las propiedades ms relevantes de la sustancia en esos estados. Ahora bien, no es fcil determinar la energa total transportada por la masa hacia dentro o hacia fuera del V.C. (Ee y Es), ya que las propiedades de la masa en cada entrada o salida pueden cambiar con el tiempo, as como en la seccin transversal. As pues, para determinar el transporte de energa que acompaa al flujo de masa tendremos que considerar masas diferenciales (dm) con propiedades uniformes y sumar sus energas totales.

Fig.2.4

Es = 150 kJ

.

Ee = 350 kJ

Evc = (Q - W) + Ee - E s = = 130 KJ

Wb = 10 kJ

Q = - 60 kJ



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La energa total de un fluido de masa dm es: e dm , donde e = h + ec + ep es la energa total del fluido por unidad de masa. En este caso, la energa total transportada por la masa a travs de la entrada o salida (Ee o Es) , se obtiene por integracin:

++==

eee

ee

eee dmzg

chdmeE

2

2

(2.7)

o en forma finita:

++= eeeee zgchmE 2

2

&& (2.8)

Procediendo de igual forma para cada entrada y salida y sustituyendo en las

ecs. 2.5 y 2.6, se obtiene:

VCe

eee

es

sss

s Edmzgc

hdmzgc

hWQ +

++

++= 22

22

(2.9)

dtdE

zgc

hmzgc

hmWQ VCeeeessss +

++

++=

22

22

&&&& (2.10)

Para resolver la ec.2.9 ser necesario conocer la forma en que cambian las

propiedades de la masa en las entradas y en las salidas durante el proceso. Obsrvese que cuando EVC es constante, la ec.2.10, se reduce a la ecuacin de la energa para flujo permanente.

2.1.3.- Caso especial: Procesos de flujo uniforme.- Los procesos de flujo transitorio son difciles de analizar debido a la complejidad a la hora de integrar la ec.2.9. Sin embargo, algunos procesos de flujo transitorio pueden representarse con bastante aproximacin mediante un modelo simplificado que es el proceso de flujo uniforme. Este modelo considera dos idealizaciones:

a) Durante el proceso, en cualquier instante, el estado del volumen de control es uniforme (el mismo en todas las partes). El estado del VC puede cambiar con el tiempo, pero lo har de modo uniforme (fig.2.5). En consecuencia, el estado de la masa que sale del VC en cualquier instante es el mismo que el estado de la masa en el VC en ese instante. Esta suposicin contrasta con la de flujo permanente que requiere que el estado de VC cambie con la posicin pero no con el tiempo.

b) Las propiedades del fluido pueden diferir de una entrada o salida a otra,

aunque el flujo del fluido en una entrada o salida sea uniforme y permanente. Es decir, las propiedades no cambian con el tiempo o la posicin sobre la seccin transversal de una entrada o salida; y si cambian, sern promediadas y tratadas como constantes para todo el proceso.



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Bajo estas idealizaciones, las integraciones de la ec.2.9 se realizan con facilidad y la ecuacin de la conservacin de la energa para un proceso de flujo uniforme se transforma en:

( )VCeeeessss ememzgchmzgchmWQ 112222

22+

++

++= (2.11)

Cuando los cambios de la energa cintica y potencial asociados con el volumen

de control y con las corrientes del fluido sean despreciables, la ec.2.11, se reduce a: ( ) )(1122 kJumumhmhmWQ VCeess += (2.12)

Observar que si no entra ni sale masa al o del VC (me = ms = 0) los dos primeros trminos del lado derecho de la ec.2.12 se anulan y la ecuacin se reduce a la del primer principio para sistemas cerrados. 2.2.- SEGUNDO PRINCIPIO EN SISTEMAS DE FLUJO TRANSITORIO.- Supondremos, en primer lugar, flujo uniforme, que considera que las propiedades del fluido en cualquier entrada o salida permanecen constantes. A continuacin dejaremos que las propiedades del fluido varen con el tiempo, as como con la posicin, en las entradas y salidas y estaremos haciendo un anlisis general de flujo transitorio. 2.2.1.- Procesos de flujo uniforme.-

Consideremos un VC estacionario que experimenta un proceso de flujo uniforme del estado 1 al estado 2 (fig.2.6). El VC implica mltiples entradas y salidas y puede intercambiar calor con el medio exterior (Po , T0). El primer y segundo principio para este proceso de flujo uniforme nos dan:

instante t

20 C

20 C

20 C

20 C

20 C

20 C

40 C

instante t + dt

30 C

30 C

30 C

30 C

30 C

40 C

30 C

Fig.2.5

Po , To

VC

me

Fig.1.6

Q



6

( )VCeeeessss UUzgchmzgchmWQ 1222

22+

++

++= (2.13)

o

eessVCg TQ

smsmSSS += )( 12 (2.14) Despejando Q de la ec.2.14 y sustituyendo en la ec.2.13, se obtiene el trabajo real efectuado durante el proceso, que viene dado por:

( ) ( )[ ] goVCosos

ssseoe

eee

STSSTUU

sTzgc

hmsTzgc

hmW

++

++

++=

2121

22

22 (2.15)

Un sistema de flujo uniforme, en general,

puede incluir fronteras mviles y por ello trabajo de los alrededores ( )12 VVpW oaire = , como se muestra en la fig.2.7 El trabajo reversible, que es el mximo trabajo til posible, se obtiene al restar aireW en la ec.2.15 e igualar a cero el trmino de la generacin de entropa ( gS ); as:

( ) ( ) ( )[ ] )(22 21212122

kJVVpSSTUU

sTzgc

hmsTzgc

hmW

VCoo

soss

sseoee

eerev

+++

++

++=

(2.16)

Si tenemos en cuenta las definiciones de disponibilidad de sistema cerrado y disponibilidad de un flujo, es decir: ( ) ( ) ( ) ( )kgkJvvpssTuue ooooodSC /+=

( ) ( ) ( )kgkJzgcssThhe oood flujo /22

++= podremos expresar el trabajo reversible (ec.2.16) de la siguiente forma: ( ) )(21 kJeeememW VCSCdSCdflujodsflujoderev se += (2.17) siendo los subndices 1 y 2 los estados inicial y final, respectivamente, del volumen de control y los subndices e y s, los estados de entrada y salida, respectivamente.

Po , To

VC

me

Fig.2.7

Frontera mvil



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La disponibilidad de un sistema de flujo uniforme coincide con el mximo trabajo disponible ( max,revW ) que puede obtenerse del mismo, al hacerlo evolucionar hasta llegar a las condiciones de equilibrio con el medio ambiente; esto es, llegando al estado final con disponibilidad cero ( 0=

sflujode y 02 =SCde ). Luego de la ec.2.17, se tiene:

)(1max, kJeemWidadDisponibil SCdflujoderev e +== (2.18)

La irreversibilidad ( ) asociada con un proceso de flujo uniforme es la diferencia entre el trabajo reversible y el trabajo til:

)(kJSTWW gourev == (2.19) 2.2.2.- Procesos generales de flujo no permanente.- Si las propiedades de un flujo, que entra o sale de un volumen de control, varan considerablemente con el tiempo, no podremos suponer flujo uniforme. En estos casos, la variacin de las propiedades del fluido durante un proceso deben explicarse apropiadamente, por lo que es necesario sustituir la cantidad finita

msTzgch o

++

2

2

, por la suma (integral) de cantidades diferenciales como

dmsTzgch o

++2

1

2

2, donde dtdAcdm n= , es la masa diferencial que entra o

sale del volumen de control y los lmites de integracin 1 y 2 son los estados inicial y final, respectivamente, del proceso. Con este procedimiento, las relaciones de trabajo reversible para un VC que intercambia calor solo con los alrededores (ec.2.16 y 2.17) puede expresarse en el caso general como:

( ) ( ) ( )[ ] )( 22 2121212

1

22

1

2

kJVVpSSTUU

dmsTzgchdmsTzgchW

VCoo

ssoss

seeoee

erev

+++

++

++= (2.20)

o bien: ( ) )(212121 kJeedmedmeW VCSCdSCdsflujodeflujodrev se += (2.21) Para realizar las integraciones ser necesario conocer como varan las propiedades con el tiempo as como con la posicin. El trabajo reversible tambin puede expresarse como sigue, si dividimos cada trmino de la ec.2.20 por t:



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( ))(

22

22

kJdt

STVpEd

mdsTzgc

hmdsTzgc

hW

VCoo

sA soss

seA eoee

erevse

+

++

++= &&&

(2.22)

Las ecs.2.20 y 2.22 pueden emplearse para obtener las transferencias de calor del sistema con otros cuerpos que se encuentren a temperatura Tk , restando

= ko

k

kk T

TQ 1

1

de la ec.2.20

= ko

k

kk T

TQ 1

1

& de la ec.2.22.

Aqu el signo de kk QQ & se determina respecto de otros cuerpos y no respecto del sistema. La irreversibilidad asociada al proceso puede determinarse con la ec.2.19.

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