1.- FLUJO LAMINAR

Índice

1.1.- Flujo Laminar (Definición).....................................................................................................2

1.2.- Ley de Viscosidad de Newton (Transporte de Cantidad de Movimiento Molecular).........2

1.3.- Fluidos No Newtonianos..........................................................................................................4

1.4.- Generalización de la Ley de Viscosidad de Newton...............................................................6

1.5.- Esfuerzo Cortante en un Fluido Newtoniano.......................................................................10

1.6.- Transporte de Cantidad de Movimiento Convectivo..........................................................12

1.7.- Densidad de Flujo de Cantidad de Movimiento Combinado..............................................14

1.8.- Dependencia de la Viscosidad con Respecto a la Presión y a la Temperatura..................14

1.9.- Teoría Molecular de la Viscosidad de Gases a Baja Densidad...........................................16

1.10.- Rigurosa Teoría Cinética de Gases Monoatómicos a Baja Densidad...............................18

1.11.- Balance de Cantidad de Movimiento..................................................................................20

1.1.- Flujo Laminar (Definición)El flujo laminar, es aquel en el que el movimiento de las partículas tienen sólo el sentido y la dirección del movimiento principal del fluido. Se puede presentar en un conducto cerrado trabajando a presión (tubería), en un conducto abierto (canal) o en un conducto definido por el medio estudiado (chorros de líquido, hilos o volúmenes definidos de gases no miscibles en el medio circundante).

1.2.- Ley de Viscosidad de Newton (Transporte de Cantidad de Movimiento Molecular)Para describir la ley de la viscosidad de Newton, se muestra en la siguiente figura un par de placas paralelas largas, cada una de área A, separadas por una distancia Y. En el espacio entre ellas se encuentra un fluido (gas o líquido). Este sistema está inicialmente en reposo, pero en el tiempo t=0 la placa inferior se pone en movimiento en la dirección x positiva a una velocidad constante V.

Figura 1.2.- Formación del perfil de velocidad laminar estacionario para un fluido contenido entre dos placas. El flujo es laminar por el deslizamiento ordenado de una placa sobre otra.

Figura 1.1.- Trayectoria de las partículas en un flujo laminar.

Fluido inicialmente en reposo

Placa inferior puesta en movimiento

Formación de la velocidad en flujo no estacionario

Distribución final de velocidad para flujo estacionario

A medida que transcurre el tiempo, el fluido adquiere cantidad de movimiento y finalmente se establece el perfil de velocidad lineal en estado estacionario. Se requiere que el flujo sea laminar (ordenado).

Cuando se alcanza el estado final de movimiento en estado estacionario, para mantener el movimiento de la placa inferior se requiere una fuerza constante F. El sentido común sugiere que esta fuerza puede expresarse como sigue:

1.1

Es decir, la fuerza debe ser directamente proporcional al área y a la velocidad, e inversamente proporcional a la distancia entre las placas. La constante de proporcionalidad

es una propiedad del fluido, definida como viscosidad.

Si se sustituye F/A por el símbolo , que es la fuerza en la

dirección “x” sobre un área unitaria perpendicular a la dirección “y”, se entiende que ésta es la fuerza ejercida por el fluido de menor y sobre el fluido de mayor y. Además, si se

sustituye V/Y por . Así en términos de estos símbolos, la ecuación 1, se convierte

en:

1.2

Esta ecuación es llamada “ley de viscosidad de Newton”, y establece que la fuerza cortante por área unitaria es proporcional al negativo del gradiente de velocidad. Realmente no es una ley, es una sugerencia a modo de empirismo que relaciona el esfuerzo y el gradiente de velocidad. A pesar de ello, se ha encontrado que la resistencia a fluir de todos los gases y líquidos con peso molecular menor que 5000, está descrita por ella; a tales fluidos se les llama Newtonianos. Los líquidos poliméricos como suspensiones, pastas, lodos y otros fluidos complejos, no son descritos por dicha ecuación, y por ello se les llama No Newtonianos.

Otra manera de interpretar la ecuación 2, es como sigue: en la vecindad de la superficie sólida en movimiento en y=0, el fluido adquiere cierta cantidad de movimiento en la dirección “x”. Este fluido al mismo tiempo imparte cantidad de movimiento a la capa adyacente del líquido, provocando que permanezca en movimiento en la dirección “x”. Por tanto, la cantidad de movimiento en la dirección z se trasmite a través del fluido en la

dirección y positiva. Esto conduce a entender que es también, la densidad de flujo de

cantidad de movimiento de la dirección “x”, en la dirección “y” positiva (densidad de flujo

= flux, flujo por área unitaria). Para este caso, el gradiente de velocidad puede entenderse como una fuerza impulsora del transporte de cantidad de movimiento.

La interpretación anterior, es consistente con la representación molecular de transporte de cantidad de movimiento y con las teorías cinéticas de los gases y los líquidos.

Otra forma de representar la viscosidad, es mediante la viscosidad cinemática, la cual se expresa como:

1.3

Las viscosidades de los fluidos varían sobre muchos órdenes de magnitud, con la viscosidad del aire a 20°C igual a 1.8x10-5 Pa.s, y la del glicerol aproximadamente de 1 Pa.s, donde algunos aceites de silicón son aún más viscosos.

Regularmente para gases a baja densidad, la viscosidad aumenta con un incremento en la temperatura. En gases, la cantidad de movimiento es transportada por las moléculas en vuelo libre entre colisiones; mientras que en los líquidos el transporte principalmente es en virtud de las fuerzas intermoleculares que experimentan pares de moléculas, a medida que serpentean aleatoriamente en torno a sus vecinas.

1.3.- Fluidos No NewtonianosUn fluido no newtoniano es aquel cuya viscosidad varía con la temperatura y la tensión cortante que se le aplica. Es por ello que un fluido no newtoniano no tiene un valor de viscosidad definido y constante, a diferencia de un fluido newtoniano.

Figura 1.3.- Clasificación general de los fluidos. Relación de esfuerzo contra deformación.

Plásticos de Bingham (o ideal).- Son aquellos que se comportan como un sólido hasta que se excede un esfuerzo de deformación mínimo, exhibiendo una relación lineal entre el esfuerzo y la relación de deformación. Se dice que son independientes del tiempo porque sólo presentan dependencia con el esfuerzo que se les aplica.

Este modelo, es aplicable al comportamiento de muchos fluidos comunes tales como: plásticos, emulsiones, pinturas, lodos de perforación, sólidos en suspensión, etc.

La relación de esfuerzo cortante frente al gradiente de velocidad es lineal, pero no pasa del origen:

1.4

= tensión o esfuerzo de fluencia

= viscosidad plástica

Pseudo plásticos y dilatantes.- Son aquellos que siguen un comportamiento potencial (ley de potencia). La relación entre el esfuerzo cortante y el gradiente de velocidad, no es lineal.

1.5

1.6

Figura 1.4.- Comportamiento de fluidos: dilatante y seudoplástico.

Plásticos en general, tienen características de plásticos de Bingham:

1.7

Figura 1.5.- Comportamiento de plásticos en general.

1.4.- Generalización de la Ley de Viscosidad de NewtonPara un flujo laminar estacionario en la dirección “x”, de un fluido contenido entre dos placas (la superior inmóvil, mientras que la inferior con un movimiento estacionario), cuyas capas adyacentes a la placa móvil se deslizan una sobre otra de manera ordenada, donde la transferencia de cantidad de movimiento ocurre en la dirección “y”, definido en la sección anterior, se ha determinado la siguiente expresión:

1.8

Ésta, representa la fuerza en la dirección “x” sobre un área unitaria perpendicular a la dirección “y”. La cual, es la fuerza ejercida por el fluido de menor “y” sobre el fluido de mayor “y”. En otras palabras, la ecuación anterior se denomina Ley de viscosidad de Newton, y establece que la fuerza cortante por unidad de área es proporcional al negativo del gradiente de velocidad.

Esta ecuación además, puede interpretarse de otra manera. En la vecindad de la superficie sólida en movimiento en y=0, el fluido adquiere cierta cantidad de movimiento en la dirección “x”. Este fluido al mismo tiempo imparte cantidad de movimiento a la capa adyacente del líquido, provocando que permanezca en movimiento en la dirección “x”. Por lo tanto, la cantidad de movimiento en la dirección “x”, se trasmite a través del fluido en la

dirección “y” positiva. Por ello, , también puede interpretarse como la densidad de flujo

(flux) de cantidad de movimiento de la dirección “x” en la dirección “y” positiva.

Como se planteó anteriormente, la viscosidad y por lo tanto la ley de Newton de la viscosidad, se plantearon en términos de un flujo cortante simple en estado estacionario en

el que , es una función sólo de “y”; mientras que y , son cero. Generalmente, se

tiene interés en flujos más complicados en los que las tres componentes de la velocidad pueden depender de las tres coordenadas y quizá del tiempo. Por ello, es necesario contar con una expresión más general que la expresión (1.2), pero que pueda simplificarse a ella para flujo cortante en estado estacionario.

Dicha generalización no es sencilla, de hecho, a los matemáticos les llevó casi un siglo y medio lograrla. Es por esto que sólo se explicarán brevemente las ideas principales que condujeron al descubrimiento de la generalización requerida de la ley de viscosidad de Newton:

Se considera un patrón de flujo muy general, donde la velocidad del fluido puede ser en varias direcciones en diversos sitios y puede depender del tiempo “t”. Así las componentes de la velocidad están dadas por:

1.9

Por lo tanto, hay 9 componentes del esfuerzo (i y j, pueden asumir las

designaciones x, y, z, respectivamente). Se tiene el siguiente elemento de volumen en forma de cubo dentro del campo de

flujo, donde el área de cada cara es unitaria. Su centro, está en la posición x,y,z.

Figura 1.6.- Fuerzas de presión y viscosas que actúan sobre planos en el fluido, perpendiculares a los tres sistemas de

coordenadas.

Es posible rebanar el elemento de volumen en forma perpendicular a cada una de las tres direcciones de coordenadas.

En cada cara, ahora entendida como superficie libre (caras sombreadas), será necesario determinar la fuerza que debe aplicarse, para sustituir la fuerza que ejercía sobre ella el fluido que se ha eliminado. Habrá dos contribuciones a esta fuerza: la asociada con la presión y la asociada con las fuerzas viscosas.

*La fuerza de presión.- Ésta siempre será perpendicular a la superficie expuesta. Por

ejemplo, en (a), la fuerza por área unitaria en la superficie sombreada será un vector .

Es decir, la presión (un escalar) multiplicada por el vector unitario en la dirección x. Así

será para cada área sombreada. Las fuerzas de presión serán ejercidas cuando el fluido sea estacionario, así como cuando esté en movimiento.

*Las fuerzas viscosas.- Éstas entran en acción sólo cuando dentro del fluido hay gradientes de velocidad. Regularmente, éstas no son perpendiculares al elemento superficial, ni tampoco paralelas a éste, sino que forman algún ángulo respecto a la superficie. Por

ejemplo, en (a) se observa una fuerza por área unitaria ejercida sobre el área sombreada

(lo mismo para cada área). Cada una de estas fuerzas (vectores) tiene componentes

(escalares), por ejemplo, tiene las componentes .

Resumiendo, las fuerzas que actúan sobre las tres áreas sombreadas que son las ejercidas dentro de un fluido por la presión termodinámica y por los esfuerzos viscosos, son las que se muestran a continuación.

Figura 1.7.- Resumen de las componentes del tensor de esfuerzo molecular.

A modo de aclarar la notación para los esfuerzos presentes, se tiene lo siguiente:

, es el tensor de esfuerzo molecular

, es el tensor de esfuerzo viscoso

Los esfuerzos moleculares se definen como:

Donde:

Interpretación del esfuerzo molecular:

.- Fuerza en la dirección j sobre un área unitaria perpendicular a la dirección i, donde se

entiende que el fluido en la región de menor xi ejerce la fuerza sobre el fluido de mayor xi.

.- Densidad de flujo de cantidad de movimiento (flux) j en la dirección i positiva, es

decir, de la región de menor xi a la de mayor xi.

Los esfuerzos viscosos pueden ser combinaciones lineales de todos los gradientes de velocidad

Las 81 cantidades , son coeficientes de viscosidad.

Se plantea que las derivadas e integrales respecto al tiempo, no aparezcan en las expresiones (éstas cobran importancia para describir respuestas elásticas, por ejemplo, en fluidos viscoelásticos).

Si se considera que no está presente ninguna fuerza viscosa debido a que el fluido se

encuentra en un estado de rotación pura, se tiene que , debe ser una combinación

simétrica de los gradientes de velocidad. Entonces, si se intercambian i y j, la combinación de dichos gradientes permanece sin cambio, por lo que las únicas combinaciones lineales simétricas de los gradientes de velocidad, son:

Si el fluido es isotrópico (no tiene una dirección preferida), entonces la relación entre los términos anteriores, resulta:

Con ello, se ha reducido el número de coeficientes de actividad, de 81 a 2.

Para que la expresión anterior represente el esfuerzo cortante para un flujo simple (en el que se definió la ley de la viscosidad de Newton), es necesario que A, sea la misma que el negativo de la viscosidad.

En el caso de B, por un acuerdo común asumido por la mayoría de los especialistas

en dinámica de fluidos, ésta debería ser: . Donde κ, es la viscosidad

dilatacional.

De acuerdo a la teoría cinética, se sabe que κ es cero para gases monoatómicos a baja densidad.

Finalmente, se tiene que la generalización requerida de la ley de viscosidad de Newton, es el conjunto de 9 relaciones, de las cuales 6 son independientes (esto ya

que , y se conocen con los nombres de Navier Poisson y Stokes:

1.10

En la notación vector-tensor, resulta:

1.11

1.5.- Esfuerzo Cortante en un Fluido NewtonianoLa base de la relación de viscosidad de Stokes para el flujo laminar tridimensional es:

1.12

Esfuerzo cortante

El esfuerzo cortante es una cantidad tensorial que requiere magnitud, dirección y orientación con respecto a un plano para su identificación. La identificación del esfuerzo

cortante involucra a un subíndice doble, como ; donde es la magnitud, el primer

subíndice indica la dirección de los ejes respecto a los cuales es normal el plano de acción

del esfuerzo cortante y el segundo subíndice es la dirección de acción del esfuerzo cortante.

Así actúa sobre un plano normal al eje x (el plano yz) y actúa en la dirección y.

Además del subíndice doble, se requiere un sentido. Un componente del esfuerzo cortante es positivo cuando tanto el vector normal a la superficie de acción como el esfuerzo cortante actúan en la misma dirección (ambos positivos o ambos negativos). Por lo que

puede decirse que , al igual que en la mecánica de los sólidos.

Rapidez de deformación cortante

La rapidez de la deformación cortante en un elemento tridimensional puede evaluarse determinando la rapidez de deformación cortante en los planos xy, yz y xz. Como se muestra en la figura.

Figura 1.8.- Deformación Cortante en el Plano xy.

En el plano xy, la rapidez de deformación cortante es , sin embargo, el elemento puede

deformarse tanto en la dirección x como en la dirección y.

Por lo tanto, a medida que el elemento se mueve de la posición 1 a la posición 2 en el

tiempo ,

1.13

En el límite, . De manera similar, la rapidez de deformación cortante en

los planos yz y xz son:

1.14

Relación de Stokes para la viscosidad

A. Esfuerzo cortante. Al utilizar la ecuación 1.13, se tiene que los esfuerzos cortantes en coordenadas rectangulares son:

1.15

B. Esfuerzo normal. En el esfuerzo normal es más difícil de expresar la rapidez de deformación cortante, por lo que la deducción del esfuerzo normal se realiza en base a la ley de Hooke generalizada para un medio elástico. El esfuerzo normal en coordenadas rectangulares para un fluido newtoniano está representado por:

1.16

La suma de las tres ecuaciones da como resultado el esfuerzo aparente , el

cual es el valor negativo de la presión .

1.6.- Transporte de Cantidad de Movimiento ConvectivoAdemás del transporte molecular, la cantidad de movimiento puede ser mediante el flujo volumétrico del fluido. Este transporte se conoce como transporte convectivo.

Para ello, se considera una región cúbica en el espacio a través de la cual circula el fluido. En el centro del cubo (ubicado en x,y,z) el vector de velocidad del fluido es v.

Se consideran tres planos mutuamente perpendiculares (los planos sombreados) que pasan por el punto x,y,z, y se determinará cuánta cantidad de movimiento pasa a través de cada uno de ellos. Cada plano es de área unitaria.

Figura 1.9.- Densidades de flujo de cantidad de movimiento convectivo a través de planos de área unitaria perpendiculares a las direcciones de coordenadas.

El caudal volumétrico a través del área unitaria sombreada, por ejemplo, en (a) es

. Este fluido, lleva consigo una cantidad de movimiento ρv por volumen unitario.

Por tanto, la densidad de flujo de cantidad de movimiento (flux) a través del área

sombreada es . Este flux es transferido desde la región de menor x hacia la

región de mayor x. Este mismo análisis se realiza para cada cara sombreada. Los tres vectores:

Describen la densidad de flujo de cantidad de movimiento a través de las tres áreas perpendiculares a los ejes respectivos. La disposición de los mismos es como sigue:

, es el tensor de segundo orden denominado tensor de densidad de flujo de cantidad de

movimiento convectivo.

Figura 1.10.- Resumen de las componentes de la densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo.

1.7.- Densidad de Flujo de Cantidad de Movimiento CombinadoSe define como la suma de la densidad de flujo de cantidad de movimiento molecular y la convectiva:

1.17

Todas la cantidades anteriores, son tensores de segundo orden.

= Densidad de flujo combinado de cantidad de movimiento en la dirección y,

que pasa a través de una superficie perpendicular a la dirección x, por mecanismos moleculares y convectivos.

El segundo índice proporciona la componente de cantidad de movimiento que se está transportando; mientras que el primero, da la dirección del transporte.

1.8.- Dependencia de la Viscosidad con Respecto a la Presión y a la TemperaturaExisten en la literatura muchos datos sobre viscosidades de gases y líquidos puros, pero cuando se carece de ellos y no se tiene el tiempo para obtenerlos, es posible estimarlos mediante métodos empíricos, utilizando otros datos sobre la sustancia dada.

Una forma simple que facilita tales estimaciones, es mediante “el principio de los estados correspondientes”. Éste tiene una sólida base científica y se utiliza bastante para correlacionar datos de la ecuación de estado y termodinámicos.

El siguiente gráfico, muestra la visión global de la dependencia de la viscosidad con

respecto a la presión y la temperatura. En este caso, la viscosidad reducida se

graficó contra la temperatura reducida para varios valores de la presión

reducida .

Una cantidad “reducida”, es aquella que se ha hecho adimensional dividiéndola entre la cantidad correspondiente en el punto crítico.

De acuerdo con el diagrama, la viscosidad de un gas tiende a un límite (límite a baja densidad) a medida que la presión se hace más pequeña. Para la mayor parte de los gases, este límite se alcanza 1 atm de presión. La viscosidad de un gas a baja densidad aumenta con un incremento en la temperatura, mientras que

la viscosidad de un líquido disminuye con un incremento en la temperatura. Para la viscosidad crítica:

1.- Puede obtenerse como , siempre que se conozca un valor de la viscosidad a

una presión y temperatura reducidas dadas (de preferencia en condiciones cercanas a las de interés).

2.- Si se cuenta con datos de p-V-T críticos, entonces , puede determinarse mediante las

siguientes correlaciones empíricas:

1.18

Para mezclas, la figura anterior puede utilizarse para obtener una estimación no tan mala de viscosidades de mezclas. Para una mezcla de N componentes se utilizan las propiedades “seudocríticas”, esto a pesar de que el diagrama se usa exactamente para fluidos puros. Lo anterior funciona bien a menos de que en la mezcla haya sustancias químicamente distintas o las propiedades críticas de los componentes difieran bastante entre sí.

1.19

1.9.- Teoría Molecular de la Viscosidad de Gases a Baja DensidadA modo de adquirir mejor comprensión del concepto de transporte de cantidad de movimiento molecular, se analizará este mecanismo desde el punto de vista de una teoría cinética elemental de los gases. Para ello:

Figura 1.11.- Viscosidad reducida

como una función

de la temperatura

reducida para varios valores de la presión reducida.

Se considera un gas puro compuesto de moléculas esféricas rígidas que no se atraen entre sí, de diámetro “d” y masa “m”, considerando que el número de densidad (número de moléculas por volumen unitario), se toma como “n”. Se supone que la concentración de las moléculas del gas es tan pequeña, que la distancia media entre moléculas es muchas veces su diámetro “d”. En un gas en equilibrio, las velocidades moleculares están dirigidas aleatoriamente y

tienen una magnitud media, dada por:

1.20

Donde: k-> constante de Boltzmann.

La frecuencia de bombardeo molecular por área unitaria sobre uno de los lados de cualquier superficie estacionaria expuesta al gas, es:

1.21

La distancia libre media recorrida por una molécula entre colisiones sucesivas, es la trayectoria libre media. Este concepto sólo tiene sentido cuando dicha trayectoria es grande en comparación con la amplitud de las fuerzas intermoleculares y bajo el criterio de esferas rígidas:1.22

En promedio, las moléculas que llegan a un plano habrán experimentado su última colisión a una distancia “a” del plano, donde “a” está dada de manera muy aproximada por:1.23

Para determinar la viscosidad de un gas en términos de los parámetros del modelo molecular, se considera el comportamiento del gas cuando fluye paralelo al plano xz con un

gradiente de velocidad . Se supone que las ecuaciones anteriores siguen siendo

válidas en esta condición de no equilibrio, en el supuesto de que todas las velocidades moleculares se calculen con respecto a la velocidad media v, en la región en la que la molécula dada tuvo su última colisión.

La densidad de flujo de cantidad de movimiento =en la dirección x a través de cualquier plano con “y” constante, se encuentra al sumar las cantidades de movimiento “x” de las moléculas que cruzan en la dirección “y” positiva, y restar las cantidades de movimiento “x” de aquellas que cruzan en la dirección opuesta.

Lo anterior se representa en la siguiente figura:

Figura 1.12.- Transporte molecular de cantidad de movimiento en la dirección “x” desde el plano en (y-a) hasta el plano en y.

De acuerdo con el balance planteado para este sistema e introduciendo la ley de Newton de la viscosidad, se obtuvo una expresión para la viscosidad. Ésta fue obtenida por Maxwell en 1860. Esta ecuación, proporciona una imagen cualitativamente correcta de la transferencia de cantidad de movimiento en un gas a baja densidad.

1.24

Esta ecuación predice que es independiente de la presión, lo cual concuerda con datos experimentales hasta aproximadamente 10 atm a temperaturas por arriba de la temperatura crítica. La dependencia con respecto a la temperatura, es menos satisfactoria. Los datos para varios gases indican que , aumenta más rápido que .

Para describir mejor la dependencia de respecto a la temperatura, es necesario reemplazar el modelo de esferas rígidas por uno que retrate de manera más precisa las fuerzas de atracción y de repulsión. Además, es necesario abandonar las teorías de trayectoria libre media y usar la ecuación de Boltzmann para obtener de manera más exacta la distribución molecular de velocidad en sistemas que no están en equilibrio.1.10.- Rigurosa Teoría Cinética de Gases Monoatómicos a Baja DensidadÉsta fue desarrollada a principios del siglo XX por Chapman en Inglaterra y de manera independiente por Enskog en Suecia.

La teoría de Chapman-Enskog, proporciona expresiones para las propiedades del transporte

en términos de la energía potencial intermolecular , donde r, es la distancia entre un

par de moléculas que están experimentando una colisión.

De este modo, la fuerza intermolecular está dada por . La forma funcional

exacta de no se conoce; sin embargo, para moléculas no polares, una expresión

empírica satisfactoria, es el potencial de Lennard-Jones, dado por:

1.25

, es un diámetro característico de las moléculas llamado diámetro de colisión;

, es una energía característica, es la máxima energía de atracción entre un par de

moléculas.

La ecuación anterior, presenta los rasgos característicos de las fuerzas intermoleculares: atracciones débiles a separaciones grandes, y repulsiones fuertes a separaciones pequeñas. Se conocen valores de los parámetros para muchas sustancias. Cuando se desconocen, es posible estimarlas a partir de las propiedades del fluido en el punto crítico del líquido en el punto de ebullición normal, o del sólido en el punto de fusión, por medio de las siguientes relaciones empíricas:

1.26

La viscosidad de un gas monoatómico puro de peso molecular M, puede escribirse en términos de los parámetros de Lennard-Jones, como:

1.27

, es la integral de colisión para la viscosidad. Explica los detalles de las trayectorias que

siguen las moléculas durante una colisión binaria. Si el gas estuviera compuesto por esferas rígidas, en vez de por moléculas reales con fuerzas de atracción y repulsión, la integral de colisión sería igual a la unidad. Por lo que, puede interpretarse como si describiese la desviación respecto al comportamiento de las esferas rígidas.

Para una mezcla de gases, puede utilizarse la extensión para varios componentes de la teoría de Chapman-Enskog, mediante las siguientes relaciones:1.28

1.29

N, es el número de especies químicas en la mezcla

, es la fracción molar de la especie

, es la viscosidad de la especie pura , a la temperatura y presión del sistema

, es el peso molecular de la especie

La ecuación anterior reproduce valores medidos de las viscosidades de mezclas dentro de una desviación aproximada del 2%. La dependencia de la viscosidad de la mezcla respecto a la composición, es extremadamente no lineal para algunas mezclas, en especial aquellas de gases ligeros y pesados.

**Todas las ecuaciones correspondientes a esta sección, son confiables para el cálculo de viscosidades de gases no polares y de mezclas de gases a baja densidad a partir de valores tabulados de los parámetros de Chapman-Enskog.

No proporcionan resultados confiables para gases que constan de moléculas polares o bastante alargadas, debido a los campos de fuerza dependientes del ángulo que existe entre estas moléculas.

1.11.- Balance de Cantidad de MovimientoRegularmente, los problemas asociados con transporte de cantidades tales como: movimiento, masa y calor; son resueltos planteando balances de las cantidades sobre envolturas del fluido en estudio. Para esto, se selecciona una envoltura delgada del fluido que tenga la misma geometría que el objeto sobre el cual se hace el balance.

Para flujo estacionario, el balance de cantidad de movimiento es:

1.30

Procedimiento para la resolución de un problema1.- Escribir el balance de cantidad de movimiento para una envoltura de espesor finito.

2.- Se hace tender a cero utilizando la definición matemática de la primera derivada, con el fin de obtener la ecuación diferencial que describe la distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento.

3.- Se introduce la expresión newtoniana de la densidad de flujo de cantidad de movimiento, para obtener una ecuación diferencial para la distribución de velocidad.

4.- Se resuelve la ecuación para obtener las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de movimiento y de velocidad en el sistema.

5.- Se evalúan las constantes de integración utilizando las condiciones límites del sistema.

Condiciones límite (postulados acerca de la velocidad o el esfuerzo en los límites del sistema)Las condiciones límite de mayor uso, son las siguientes:

A. En interfaces sólido-fluido, la velocidad del fluido es igual a la velocidad con que se mueve la superficie sólida. Esta afirmación se aplica tanto a la componente tangencial como a la componente normal del vector velocidad. La igualdad de las componentes tangenciales se denomina: condición sin deslizamiento.

B. En un plano interfacial líquido-líquido de x constante, las componentes tangenciales de velocidad vy y vz son continuas a través de la interface (la condición sin deslizamiento) así como también lo son las componentes del tensor esfuerzo

molecular: p+ .

C. En un plano interfacial líquido-gas de x constante, las componentes del tensor de

esfuerzo se toman como iguales a cero, siempre que el gradiente de

velocidad del lado del gas no sea demasiado grande. Esto posible ya que las viscosidades de los gases, son mucho menores que las de los líquidos.

En todas las condiciones límite anteriores, se supone que a través de la interface no pasa ningún material, es decir, que en la superficie entre las dos fases no hay adsorción, absorción, disolución, evaporación, fusión o reacción química.

Bibliografía:

1.- Bird- Byron, R. Stewart-E., Warren. Lightfoot.N., Edwin. Fenómenos de Transporte. Segunda Edición. Limusa Wiley. Págs.: 11-64.

2.- Bird- Byron, R. Stewart-E., Warren. Lightfoot.N., Edwin. Fenómenos de Transporte. Primera Edición. Limusa Wiley. Págs.: 2.- 1-3 – 2-25.

3.- Ordorica-Morales. María Guadalupe. Fenómenos de Transporte. Unidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología. Instituto Politécnico Nacional. 2008.

4.- Welty. J.R. Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa. 2° Edición. Flujo Laminar. Limusa Wiley.

5.- S/A. Plásticos de Bingham. Fluidos No-Newtonianos. http://www.slideshare.net/nriverapazos/plsticos-bingham

6.- S/A. Dinámica de Fluidos. http://tesis.uson.mx/digital/tesis/docs/2496/Capitulo3.pdf