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Walter Orlando Gonzales Caicedo

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TEMA:

OPERACIONES CON MATRICES

Gonzales Caicedo Walter Orlando

CHICLAYO – PERÚ



CAPÍTULO I

MATRICES

1.1 Introducción

Un empresario tiene tres máquinas que son empleadas en la fabricación de cuatro productos diferentes. El número de horas que cada máquina es usada en la producción de una unidad de cada uno de los cuatro productos está dado por:

Así, por ejemplo, en la producción de una unidad del producto 1 la maquinaria 1 se usa 1 hora y la máquina 2 se usa 2 horas.

A este arreglo de la información en filas y columnas se le denomina matriz y para designarlas se utilizan letras mayúsculas (A, B, C,…). Si al arreglo anterior le llamamos matriz A, tendríamos:

0321

1102

2121

A

Siendo A una matriz de 3 filas (horizontales) y 4 columnas (verticales).

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853 En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...

Prod 1 Prod 2 Prod 3 Prod 4

Maq 1 Maq 2 Maq 3

1 2 1 2

2 0 1 1

1 2 3 0



La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos, etc...

1.2 Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de números en filas y columnas, encerrados entre corchetes o paréntesis.

1.3 Orden de una Matriz: Dada una matriz se denomina orden de la matriz al producto indicado del número de filas por el número de columnas. Considerando la matriz anterior esta sería de orden 43 (3 filas por 4 columnas).

1.4 Matriz cuadrada: Se llama así a la matriz que tiene el mismo número de filas y columnas. Así,

151

312

221

B

es una matriz cuadrada de orden 33 o simplemente diremos que tiene orden 3.

1.5 Elementos de una matriz: De manera general un elemento cualquiera de la

matriz A se representa mediante la notación ija donde los subíndices i, j nos indica la

fila y la columna donde está ubicado el elemento en cuestión. Así el elemento de la fila 2 y columna 4 de la matriz A, sería:

124a

De igual manera, se tiene que

0

3

34

33

a

a

¿Cuál será el elemento ubicado en la fila 3 y columna 2 de la matriz B?

32b

1.6 Forma general de una matriz: Generalizando la notación de una matriz A de orden nm será:

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

321

3333231

2232221

1131211

A

Considerándose el elemento genérico ija esta representación se podría abreviar así:



nmija )( A

si el número de filas y columnas está sobrentendido o no tiene importancia se escribe

simplemente . )(A ija

1.7 igualdad de matrices: Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y los

elementos correspondientes iguales. Por ejemplo, las matrices 1/43-0

-54A y

1/43-0

-54B son iguales, pues:

1) Son de igual orden 32

2) Sus elementos correspondientes son iguales:

4/1 3 0

5 4

232322222121

131312121111

bababa

bababa

Ejercicio: Sean las matrices

1/83.149

27-4-

532

A y

3.141/89

274-

532

B ¿Es A=B?

Explique su respuesta.

Solución: Las matrices no son iguales, pues aunque tienen el mismo orden no todos

sus elementos correspondientes son iguales, por ejemplo, 2222 ba .

1.8 Algunos tipos de matrices Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma o sus

elementos reciben nombres diferentes:

1.8.1 Matriz transpuesta Dada una matriz A, se llama transpuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando

ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por tA .

Ejemplo.

Sea a)743

521A , entonces

75

42

31tA

b)

723

124

861

B , entonces

718

226

341tB



1.8.3 Matriz nula. Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por

nm0 .

Por ejemplo, la matriz 430 sería la matriz:

0000

0000

0000

1.8.4 Matriz identidad. Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se le denomina matriz unidad y normalmente se le representa por la letra I, así tenemos que la matriz identidad de

orden 33 se escribe de la siguiente forma:

100

010

001

I

1.8.5 Matriz escalar. Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales. Por ejemplo, la siguiente matriz es una matriz escalar:

700

070

007

A

1.8.6 Matriz triangular superior. En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. Son de la forma:

ji si0

...00

............

0

...

222

11211

ij

mn

n

n

a

a

aa

aaa

A

Ejemplo. 100

610

425

A



1.8.7 Matriz triangular inferior. En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. Son de la forma:

ji si0

...

............

0

0...0

21

2221

11

ij

mnmm

a

aaa

aa

a

A

Ejemplo:

149

023

002

A

CAPÍTULO II

OPERACIONES CON MATRICES

2.1. Introducción. Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850,

introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría de matrices se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, administración, en la teoría de las comunicaciones, etc... La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos.

2.1.1 Multiplicación de una matriz por un escalar: Sea un escalar y )(A ija una

matriz de orden nm . El producto del escalar por la matriz A (denotado como A )

es la matriz que se obtiene al multiplicar cada uno de los elementos de A por el escalar . Ejemplo: Sea la matriz:

54

31-A

Entonces el producto de la matriz A por el escalar 3 será:



1512

93-A3

2.1.2 Adición de matrices:

Sean )(By )(A ijij ba dos matrices de orden nm . Entonces la suma de A y B,

denotada como BA , es la matriz de orden nm que se obtiene al sumar los

elementos correspondientes de A y B.

Ejemplo 1 Calcular la matriz C=A+B, si

223-

54-2By

367

354A

Solución:

584

816C

23263-7

534-524C

223

542

367

354C

Nota: La suma de dos matrices es posible sólo si ambas matrices tienen el mismo orden. Por ejemplo, no es posible sumar las matrices

963

654y

13

45

07

ya que no tienen el mismo orden.

Ejemplo 2. Sea; A =

2357

98

1012

x

y B =

2356

89

1511

x

. Calcular A + B y A - B.

Solución:

A + B =

2357

98

1012

x

+

2356

89

1511

x

A – B =

2357

98

1012

x

-

2356

89

1511

x

A + B =

235567

8998

15101112

x

A – B =

235567

8998

15101112

x



A + B =

231013

1717

2523

x

A – B =

2301

11

51

x

Ejemplo 3. Si A =

33812

1153

422

xyx

yx

yx

y B =

338127

11517

4112

x

¿Qué valor toma x+y; si la matriz, A + B es una matriz nula?

Solución:

A + B =

33812

1153

4322

xyx

yx

yx

+

338127

11517

4112

x

=

33007

00173

011320

xyx

yx

yx

=

33000

000

000

x

= 0. De donde:

07

0173

01132

yx

yx

yx

Solucionando el sistema anterior, se obtiene: x = 2, y = 5; por lo que: x + y = 7.

Ejemplo 4. Dadas matrices A =

2365

43

21

x

y B =

2334

51

23

x

; hallar:

D =

23xut

sr

qp

de manera que A + B – D = 0

Solución:



A + B – D =

2365

43

21

x

+

2334

51

23

x

-

23xut

sr

qp

=

233645

5413

2231

xut

sr

qp

=

2399

14

2

xvt

sr

qp

=

2300

00

00

x

De la definición de matrices iguales, se tiene:

09

09

01

04

0

02

v

t

s

r

q

p

de donde:

9

9

1

4

0

2

v

t

s

r

q

p

. En consecuencia: D =

2399

14

02

x

Ejemplo Práctico. (Matriz de Costos de Suministros) Un contratista calcula que los Costos en dólares) de adquirir y transportar unidades determinadas de concreto, madera y acero desde tres diferentes localidades están dados por las siguientes Tablas.

Tabla 01.

Localidad A Concreto Madera Acero

Costos de material 20 35 25

Costos de transporte

22 10 6

Tabla 02.

Localidad B Concreto Madera Acero





9 9 8

Tabla 03.

Localidad C Concreto Madera Acero



11 8 5

a. Determinar las matrices de Costos de Suministros de las localidades A,

B y C. b. Escriba la matriz que representa los Costos Totales de material y de

transporte por unidades de concreto, madera y acero desde cada una de las tres localidades.

Solución: a.- Matriz de Costos de Suministros de la localidad A.

A =

3261022

253520

x

Matriz de Costos de Suministros de la localidad B.

B =

32899

243622

x

Matriz de Costos de Suministros de la localidad C.

C =

325810

263218

x

b. La matriz que representa los Costos Totales es la matriz suma A + B +

C.

A + B + C =

3261022

253520

x

+

32899

243622

x

+

325810

263218

x

=

32586891010922

262425323635182220

x

=

32192742

7510360

x

2.1.3 Propiedades de la suma de matrices.



Sean A, B y C matrices del mismo orden y un escalar cualquiera. Entonces se

cumplen las siguientes propiedades:

a) ABBA (Propiedad conmutativa de la adición matricial) b) CB)(AC)(BA (Propiedad asociativa de la adición matricial)

c) BA)BA( (Propiedad distributiva de la adición por un escalar)

2.1.4 Producto de dos matrices.

Sean rnnm )(By )(A ijij ba , el producto BA es otra matriz rm)(C ijc donde el

elemento ijc se obtiene aplicando la siguiente fórmula:

njinjijiij bababac 2211

donde inii aaa , , 21 son los elementos de la fila i de la matriz A y los njjj bbb , , , 21

son los elementos de la columna j de la matriz B

mrmjmm

irijii

rj

rj

nrnjnn

rj

rj

mnmm

inii

n

n

cccc

cccc

cccc

cccc

bbbb

bbbb

bbbb

aaa

aaa

aaa

aaa

21

21

222221

111211

21

222221

111211

21

21

22221

11211

Un procedimiento mecánico para calcular ijc consiste en usar un dedo de la mano

izquierda para señalar los elementos de la fila i de A y usar un dedo de la mano

derecha para recorrer los correspondientes elementos de la j ésima columna de B, y

así calcular la suma de los productos a medida que se avanza por la fila i de A y la

columna j de B.

Ejemplo: Sean, hallar la matriz producto C=AB si 32

23

142

81110B ,

12

43

34

A

Solución:

333231

232221

131211

142

81110

12

43

34

C

ccc

ccc

ccc



B de columna 3ªpor A de fila 1ª

35

1384


56

43114


46

23104

donde

13

13

2312131113

12

12

2212121112

11

11

1212111111

c

c

babac

c

c

babac

c

c

babac

y nuestra matriz producto va quedando así:

Luego, para obtener los elementos de la 2ª fila de la matriz C, se trabaja la 2ª fila de A con cada una de las columnas de B, es decir:

B de columna 1ªA de fila 2ª

38

24103

21

21

2122112121

c

c

babac

333231

232238

355646

C

ccc

cc

Luego sigue “2ª fila de A por 2ª columna de B” y “2ª fila de A por 3ª columna de B” así hasta obtener todos los elementos de la matriz producto C:

172622

284938

355646

C

Nota: Dadas dos matrices A y B, el producto sólo se puede efectuar si el número de columnas de A es igual al número de filas de B. En este caso se dice que las matrices son conformes para la multiplicación.

333231

232221

355646

C

ccc

ccc



Ejemplo 1: Si 124

031A y

6

5

4

B . Calcular BA

Solución: Verificamos que el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B, luego, las matrices son conformes para la multiplicación, entonces

12

12

13

32

34

19

815244

805341

6

5

4

124

031BA

Ejemplo 2. Sean las matrices A =

32143

234

x

y B =

138

11

10

x

. Calcular A.B

Solución:

A.B =

32143

234

x

.

138

11

10

x

=

1281114103

82113104

xxxx

xxx

=

1284430

163340

x

=

1282

89

x

Ejemplo 3. Si A =

134

2

2

x

y B =

)633( ; calcular el producto A.B



Resolución. A.B =

134

2

2

x

. 31)633( x

=

33)6(4)3(4)3(4

)6)(2()3)(2()3)(2(

)6(2)3(2)3(2

x

=

33241212

1266

1266

x

2.1.5 Propiedades del producto de matrices

Sean )(A ija una matriz de orden mn , )(B ijb una matriz de pm y )(C ijc

una matriz de qp , entonces se cumplen las siguientes propiedades:

a) )asociativa (Propiedad (AB)CA(BC)

b) va)distributi (Propiedad ACABC)A(B

c) va)distributi (Propiedad BCACC)BA(


136

8

10

x

y B = 31)1086( x . Calcular A.B y B.A y

compruebe que A.B es diferente a B.A. Solución:

A.B =

136

8

10

x

31)1086( x B.A = 31)1086( x

136

8

10

x

=

331068666

1088868

1010810610

xxxx

xxx

xxx

= 11)61088106( xxxx

=

33604836

806448

1008060

x

= 11)184( x

Conclusión. Las matrices A.B y B.A no son iguales; primero porque tiene diferente orden y segundo porque no tienen elementos iguales.




33012

123

111

x

y B =

33321

642

321

x

Compruebe que A.B = 0; con lo que se observaría que A.B = 0, no implica que A = 0, o B = 0. Solución:

A.B =

33012

123

111

x 33321

642

321

x

=

3061)3)(2(2041)2)(2(2041)1)(2(

3)1(62)3)(3()2)(1(42)2)(3()1)(1(22)1)(3(

31)6)(1(3121)4)(1(2111)2)(1(11

xxxxxx

xxx

xxxxxx

=

33066044042

3129286143

363242121

x

=

33000

000

000

x

= 0

A.B = 0; sin embargo A 0, y B 0.

Ejemplo 3. Dadas las matrices: A =

33134

312

231

x

,

B =

432121

1112

0141

x

, y C =

430152

1123

2112

x

Compruebe que A.B = A.C; pero B C. Solución:

A.B =

33134

312

231

x 432121

1112

0141

x



=

4350153

50151

1033

x

A.C =

33134

312

231

x 430152

1123

2112

x

=

4350153

50151

1033

x

2.1.6 Aplicaciones de la multiplicación de matrices Análisis de precios de comestibles. Suponga que se quiere comparar el costo total de ciertos comestibles. La siguiente tabla que puede ser vista como una matriz, da el costo en soles de un kilo de cada uno do los productos en tres supermercados.

Supermercado 1

Supermercado 2

Supermercado 3

Si se compran 5 kilos de carne, 3 kilos de pan, 10 kilos de papas, 4 kilos de manzanas y 2 kilos de café, podremos representar las cantidades compradas por la matriz

2

4

10

3

5

B

El costo total está dado por el producto

139.1

137.1

138

2

4

10

3

5

32.531.24.27.5

312.813.88.5

3331.347

AB

Vemos que el costo total en el supermercado 2 es S/.0.90 más bajo que en el supermercado 1 y S/.2.00 menor que en el supermercado 3. Aunque este problema se puede resolver sin matrices, estas brindan una forma conveniente y resumida de enunciar y resolver el problema.

Carne pan papas manzanas café

7 4 1.3 3 33 8.5 3.8 1 2.8 31

7.5 4.2 1.2 3 32.5



Interés compuesto anualmente. Supóngase que queremos calcular la cantidad de dinero que se tiene al cabo de n años si invertimos $100 a un interés compuesto anual del 5, 6, y 7%. Si colocamos $P durante un año a un interés r, entonces el valor que se obtiene al final del año es:

)1( final Capital rPrPP

El producto:

107

106

105

100

100

100

07.100

01.060

001.05

AB

da la cantidad que se tiene al invertir US$100 por un año a los intereses de 5, 6 y 7%

respectivamente. En general, el monto al final de n años está dado por B.An El

proceso de calcular BA , (AB),A BA AB, n2 es un proceso iterativo que puede

programarse en un computador.

Ejemplo Práctico. (Comercio Internacional) El Comercio entre tres países I, II y III durante 1 986 (en millones de dólares

Estadounidenses) está dado por la matriz A = 33)( xija ; en donde el elemento

ija representa las exportaciones del país i hacia el país j.

A =

3301421

18017

19160

x

El comercio entre estos tres mismos países durante el año 1 987 (en millones de dólares estadounidenses) está dado por la matriz B.

B =

3301624

20018

19170

x

a. Explique el significado de los 0 de las matrices A y B. b. Escriba una matriz que represente el Comercio Total entre los países en el

período de los años, 1 986 y 1 987. c. Si en 1 986 y 1 987, 1 dólar estadounidense equivalía a 5 dólares de Hong

Kong, escriba la matriz que representa el comercio total durante los 2 años en dólares de Hong Kong.

Solución:

a. Los 0 de la matriz A, corresponden a los elementos: a11, a22 y a33. cuyos significados son: a11 significa; exportación del país I hacia el país I (absurdo, ningún país exporta hacia su mismo país), de igual manera para los elementos a 22 y a33. Análoga explicación merecen los elementos 0 de la matriz B.

b. La matriz que representa el Comercio Internacional total en los años, 1 986 y

1 987 es la matriz suma A+B.



A + B =

3301421

18017

19160

x

+

3301624

20018

19170

x

=

3303045

38035

39330

x

c. La matriz que representa el Comercio total durante los dos años 1 986 y 1

987 en dólares Hong Kong, es la matriz 5.(A + B).

5.(A + B) = 5.

3303045

38035

39330

x

=

330)30(5)45(5

)38(50)35(5

)39(5)33(50

x

=

330150135

1900105

1951560

x

Ejemplo Práctico. (Gasto en compras) La señora Pepita ha realizado 4 compras en el mercado Modelo de Chiclayo, las

cuales se detallan en la siguiente tabla 04.

Tabla 04.

Productos Cantidad Costo por unidad en soles

Naranjas 4 Kgrs. 0,70

Arroz 5 Kgrs. 1,80

Leche 7 tarros 2,10

Pollo 2 Kgrs. 4,30

a. Escriba las cantidades en una matriz de orden 1x4. b. Escriba los Costos de las unidades en una matriz B de orden 4x1. c. Compruebe que el gasto realizado por la señora Pepita es el producto de las

matrices; A y B, cuyo orden es 1x1.

Solución:

a. La matriz de las cantidades es la matriz, A = 41)2 754( x



b. La matriz de los Costos de las unidades, es la matriz, B =

1430,4

10,2

80,1

70,0

x

c. El gasto realizado por la señora Pepita será el producto de la matriz A por la matriz B.

Veamos:

A.B = 41)2754( x .

1430,4

10,2

80,1

70,0

x 11)40,4210,2780,1570,04( xxxxx

= (35,10)1x1

El gasto efectuado por la señora Pepita es S/. 35,10

Autoevaluación 02

I. Responde con V o F, según sea el caso.

( ) Para sumar dos matrices, estas deben tener el mismo orden. ( ) La suma de matrices es conmutativa. ( ) La suma de matrices es asociativa. ( ) Para multiplicar dos matrices, A y B el número de columnas de la

primera matriz (A), debe ser igual al número de filas de la segunda matriz (B).

( ) La multiplicación de matrices es asociativa. ( ) Si, A.B = 0, entonces A = 0, ó B = 0. ( ) La multiplicación de matrices es conmutativa. ( ) En matrices siempre se cumple: Si, A.B = A.C, entonces B = C.

II. Efectúa las operaciones que se indican a continuación.

2.1. 5.32

01

2.2. -4. 71110

81011



2.3. 020

541 +

200

231

2.4. 020

541 -

200

231

2.5. 2. 200

231 + 4.

71110

81011

2.6. 2. 200

231 - 4.

71110

81011

2.7. 5. 71110

81011 + 7.

200

231

III. Calcular el valor de las variables, para que las igualdades se cumplan.

3.1.

150

325

172

2

43

11

31

12

43

w

v

yu

x

t

z

y

x

3.2.

1 2 3 3 1 2 6 2 7

4 1 2 2 1 2 3 1 5 7

1 2 4 1 0 7 0

x u

z v

y w

3.3.

127 1

22 4

12

2

11

0 2

2

2 1

3 2 0

1 1

3

x

yvw

vw

vu

z

t

y

x

3.4.

tw

zyu

zv

v

u

z

y

x

114

717

2278

130

321

21

3

21

120

011

2

IV. (Matrices de Producción) Una empresa produce tres tamaños de cintas

magnetofónicas en dos calidades diferentes. La producción (en miles de cintas) en su planta de Chilapito está dada por la siguiente tabla.

Tabla Nº 05

Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3

Calidad 1 27 36 30

Calidad 2 18 26 21



La producción (en miles de cintas) en su planta ubicada en la carretera a Lambayeque, está dada por la siguiente tabla.

Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3

Calidad 1 32 40 35

Calidad 2 25 38 30

a. Determine las matrices de producción de cintas magnetofónicas para cada

una de las plantas de esta empresa. b. Escriba una matriz que represente la producción total de cintas en ambas

plantas. c. El dueño de la empresa planea abrir una tercera planta en la ciudad de Piura,

la cual tendría una vez y media la capacidad de la planta de la que está ubicada en la carretera a Lambayeque. Escriba la matriz que representaría la producción de esta nueva planta.

d. ¿Cuál será la producción total de las tres plantas? V. (Matrices de producción) Un fabricante de zapatos, los produce en color

negro, blanco y café, para niños, damas y caballeros. La capacidad de producción (en miles de pares) en la planta de El Porvenir, está dada por la siguiente tabla.

Hombres Mujeres Niños

Negro 30 34 20

Gris 45 20 16

Café 14 26 25

La producción en la planta de Río Seco, está dada por la siguiente tabla.

Hombres Mujeres Niños

Negro 35 30 26

Gris 52 25 18

Café 23 24 32

a. Determine las matrices de producción para cada una de las plantas. b. Calcule la matriz de producción total de las dos plantas. c. Si la producción de El Porvenir se incrementa en un 50% y la de Río seco en

un 25%, ¿Cuál es la matriz de producción de la nueva producción total? VI. (Ecología) En un ecosistema, ciertas especies proveen de comida a otras. El

elemento Cij de la matriz de consumo es igual al número de unidades de la especie j consumidas diariamente por un individuo de la especie i. Construya la matriz C = (Cij) para el siguiente ecosistema simple que consiste en tres especies. a. Cada especie consume en promedio 1 unidad de cada una de las otras

especies. b. La especie 1 consume una unidad de la especie 2; la especie 2 consume

½ unidad de cada una de las especies 1 y 3; la especie 3 consume 2 unidades de la especie 1.

c. La especie 1 consume 2 unidades de la especie 3; la especie 2 consume 1 unidad de la especie 1; la especie 3 no consume de ninguna de las otras especies.



VII. Si A es una matriz de orden 3x4, B es de orden 4x3; C es de orden 2x3 y D es de orden 4x5; calcule los órdenes de los siguientes productos de matrices.

7.1. A.B 7.2. B.A 7.3. C.A 7.4. A.D 7.5. C.A.D 7.6. C.B.A

VIII. Realizar las operaciones que a continuación se indican.

8.1. 12

4)510( 8.2.

20

02

20

)301(

8.3.

4

3

2

201

102 8.4.

50

40

32

100

210

321

8.5.

550

440

312

100

210

321

8.6.

0

0

2

100

210

321

8.7. 0

2

00

10

21

8.8.

0150

1040

0132

210

321

8.9. 1010

0

0

2

100

210

321

8.10. 201

102

50

40

32

100

210

321

8.11. 40

323

40

32

10

21

32

IX. Escriba una matriz de orden 2x2, y calcule: A2 + 2.A – 3.I, donde I = 10

01.

X. Escriba una matriz de orden 3x3, y calcule: A2 - 5.A + 2.I, donde I =

100

010

001

.

XI. Escriba una matriz de orden 2x2, y compruebe si: A2 + 2.A + B2 = (A + B)2. XII. Escriba una matriz de orden 2x2, y compruebe si: A2 - B2 = (A + B).(A – B).



XIII. Sean las matrices; A = 1

1

q

p, B =

12

11. Calcular p y q para que:

a) (A+B)2 = A2 + 2.A.B + B2 b) A2 - B2 = (A + B).(A – B)

Ejercicios Propuestos 1

1) Si las matrices son iguales determine . e yx

a) 52

32

5

2

y

x b)

815

524

81

51 x

y

xy

2) Sean 169-

75B ;

1-3

42A . Calcular a) A+B, b) A-B

3) Sean las matrices:

1-4

52A ,

47

9-5B ,

10

01I

Halle las matrices

a) A+B

b) 3A-2B

c) A+2B+3I

4) Sean las matrices

4-13

6-5

82-

Cy

31

58

64

B ,

53

65

97

A

Comprobar que:

a) A+B=B+A

b) A+(B+C)=(A+B)+C

5) Si 65

2-3By

42-

31A

Calcule AB y BA. De acuerdo al resultado ¿que se puede decir del producto de matrices con respecto a la ley conmutativa?

6) Sean

3213-

4-052

741-7

By 514

3-02A . Calcule AB. ¿Está definido el

producto BA? Explique su respuesta.

7) Efectúe el cálculo que se indica:



a) 60

14

21

32 b)

31

65

41

23 c)

53-2

417

32

40

61

8) Halle una matriz dc

baA tal que

10

01

21

32A

9) Verifique la ley asociativa de la multiplicación con las matrices:

50

42-

61

Cy

02-3

21-2

101

B , 601

41-2A

10) La siguiente tabla da el costo en centavos de una lata de vegetales en tres diferentes supermercados.

Si un comprador compra 6 latas de alverjas, 4 de fríjol y 5 de maíz encuentre el costo total en cada uno de los supermercados por medio de multiplicación de matrices.

11) Arriba, en el ejemplo de “interés compuesto anualmente” encuentre el monto al final del tercero y cuarto año de una inversión de $100 al interés de 5, 6, y 7%, respectivamente.

Respuesta a los ejercicios propuestos 1:

1) a) 3x 2y b) 1x 5y

2) a)156

1110BA b)

1712

33BA

3) a) 311

47 b)

112

334 c)

611

410

5) 2814

1618AB

397-

17BA . Como se puede observar BAAB , por tanto la

multiplicación de matrices no es conmutativa.

6) 3926615

525-23AB , el producto BA no está definido pues el número de

columnas de B no es igual al número de filas de A.

alverjas fríjol maíz

Supermercado 1

Supermercado 2

Supermercado 3

3.3 2.5 4.2

3.4 2.3 4.0

3.6 2.8 3.5



8) 2a , 3b , 1c , 2d

9) 7143

4426)BC(AC)AB(

10) Los costos en cada uno de los 3 supermercados son los siguientes:

Supermercado 1: 50.80



11) a) monto al final del tercer año:

50.122

10.119

115.76

b) monto al final del cuarto año:

08.131

25.126

55.121

CAPÍTULO III

DETERMINANATES E INVERSA DE UNA MATRIZ

3.1 Determinante de una matriz El determinante es una función que aplicada a una matriz cuadrada asigna a esta un valor numérico. Dada una matriz cuadrada su determinante se denota como:

A ó det(A)

y se lee “determinante de A”.

Por ejemplo: a) Sea 10det(A) 43

2-1A , esto es, el determinante de la matriz A

es igual a 10.

b) Sea 15B

121

31-2

2-21

B , esto es, el determinante de la matriz

B es igual a -15.

Como se puede ver en los ejemplos anteriores el determinante de una matriz es un valor numérico único asociado a esa matriz.



3.1.1 Determinante de una matriz de orden 2

Sea la matriz 2221

1211A

aa

aa, entonces:

Ejemplo: Calcular el determinante de 43

2-1A .

Solución.

10

64

234143

21

Luego, det(A)=10.

Nota: Observe la diferencia de las notaciones, para denotar la matriz se emplean corchetes o paréntesis; mientras que para denotar su determinante se emplean barras.

3.1.2 Determinante de una matriz de orden 3

Sea la matriz

333231

232221

131211

A

aaa

aaa

aaa

, entonces

3231

2221

13

3331

2321

12

3232

2322

11Aaa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

Ejemplo. Sea B calcule ,

121

31-2

2-21

B .

Solución.

15-

10-2-7

1)2(4-3)-2(2-6)-1(-1

21

12)2(

11

322

12

311

121

312

221

Luego:

15B .

12212211

2221

1211A aaaa

aa

aa



A continuación se muestra un artificio par evaluar determinantes de matrices de orden 33

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

1º Sumar los productos indicados por las flechas que se inician con círculos blancos (flechas descendentes) 2º Restar los productos indicados por las flechas que se inician con círculos negros.

Ejemplo. Halle el determinante de

512-

401-

321

A usando el artificio.

Solución. De acuerdo al artificio

-13

4-1003-16-0

)141()521()302()113()242()501(A

Luego, 13A

3.2 Determinante de una matriz de orden n Antes de pasar a definir los determinantes de orden nn es necesario estudiar los conceptos de menores y cofactores de una matriz.

3.2.1 Menor complementario Considérese la matriz de orden 33

436

510

412

A

A la matriz cuadrada se orden 22 que se obtiene de eliminar la fila 1 y la columna 1

de A se le llama menor del elemento 211a y se denota como 11M , así

43

51M11

de igual forma se obtienen los menores complementarios correspondientes a los

elementos 112a y 413a

36

10M ,

46

50M 1312

Obsérvese que 12M se obtiene al eliminar la 1ª fila y la 2ª columna de la matriz A y

que 13M se obtiene eliminando la 1ª fila y 3ª columna de A.



Definición. Sean A una matriz de orden nn y ijM la matriz de orden (n-1) obtenida

al eliminar de A su ésimai fila y ésimaj columna. A ijM se le llamará menor del

elemento ija de la matriz A.

3.2.2 Cofactores

El cofactor del elemento ija de la matriz A, el cual se denota por ijA se define como

ijji M)1(A ij

es decir, el cofactor del elemento ija de la matriz A se obtiene calculando el

determinante de ijM y multiplicándolo por ji)1( . Obsérvese que ijA es positivo si

ji es par y es negativo en caso contrario.

Ejemplo. Calcular 13 1211, Ay A A de la matriz A del ejemplo anterior.

Solución

19- 43

51)1(A 11

11 30 46

50)1(A 21

12

6- 36

10(-1) A 31

13

3.3 Cálculo de determinantes por cofactores. El determinante de una matriz A es igual a la suma de los productos obtenidos de multiplicar los elementos de cualquier fila por sus respectivos cofactores. Es decir,

inini33i22i11 AAAA det(A) aaaa iii

a la expresión que aparece al lado derecho del signo igual se le llama desarrollo mediante cofactores.

Ejemplo. Calcular el determinante por expansión a lo largo de la primera fila de

4-36

510

41-2

A

Solución.

131312121111 AAA A aaa

1331

31221

121111

11 M(-1)M(-1)M(-1) A aaa

36

104

46

50)1(

36

102 A



92- A

24-30-38- A

4(-6)(-30)2(-19) A

Ejemplo. Calcule el determinante de la matriz A, si

8423

6912

431-0

2531

A

Solución:

Desarrollando a lo largo de la 2ª fila,

160 A

4(48)3(4)-20-0 A

423

912

531

4

823

612

231

3

843

692

251

1

842

691

253

0 A

AAAA A 2424232322222121 aaaa

Obsérvese que al seleccionar filas con el mayor número de ceros se ahorra trabajo ya que hay que calcular menos determinantes.

3.4 Inversas y Determinantes

3.4.1 Matriz inversa

Sea A una matriz cuadrada, se define a la matriz inversa de A y la denotamos por -1A

a la matriz cuadrada del mismo orden tal que I AA -1 .

Ejemplo. Sea

682

1-43

52-1

A y sea

0.06580.0789-0.1053

0.10530.0263-0.1316-

0.1184-0.34210.2105

A 1- , entonces se

cumple que

100

010

001

0.06580.0789-0.1053

0.10530.0263-0.1316-

0.1184-0.34210.2105

682

1-43

52-1

AA 1-



Es decir:

3-1 I AA

Donde: 3I es la matriz identidad de orden 3.

Una matriz cuadrada tiene inversa, es decir es invertible, sí y sólo sí su determinante es diferente de cero. Es decir, si una matriz cuadrada A es invertible, entonces

0 det(A) .

Antes de empezar a calcular inversas mediante determinantes, es necesario definir la adjunta de una matriz.

3.4.2 Adjunta de una matriz. Sea A una matriz cuadrada de orden n y sea B la matriz de cofactores de A, entonces

nnn2n1

2n2221

1n1211

AAA

AAA

AAA

B

(Recuérdese que un cofactor es un número.)

Se llama adjunta de la matriz A, y se denota por A adj , a la transpuesta de su matriz

de cofactores B; es decir

nnn21n

n22212

n12111

t

AAA

AAA

AAA

B A adj

(Recuérdese que la matriz transpuesta de A se obtiene intercambiando todas las filas por las columnas).

Ejemplo. Calcule la adjunta de la matriz

753

1-10

342

A

Solución:

1275

11A11 3

73

10A12 3

53

10A13

1375

34A 21 5

73

32A 22

53

42A 23

711

34A31 2

10

32A32 2

10

42A33



Por tanto, la matriz de cofactores B será:

227-

2513-

3-3-12

B

y transponiendo B, se obtiene la adjunta de la matriz A:

223

253

71312

BA adj t

3.4.3 Cálculo de la inversa de una matriz Método de adjuntos:

Sea A una matriz invertible, entonces la matriz inversa -1A está dada por:

A adjdet(A)

1A1-

Ejemplo.

Sea

753

1-10

342

A , determine si A es invertible y calcule su inversa, si existe.

Solución:

Como 3A , es decir su determinante es diferente de cero, entonces A es invertible.

Del ejemplo anterior, se tiene que la matriz de cofactores B es igual a:

227-

2513-

3-3-12

B

de donde:

3/23/21

3/23/51

3/73/134

A

223-

253-

7-13-12

3

1A

1-

1-

Comprobación, se debe cumplir que IAA-1 , en efecto:



I

100

010

001

2/32/31-

2/35/31-

7/3-13/3-4

753

110

342

AA1-

Método de Gauss: Este método consiste en realizar operaciones elementales, es decir:

1

OE

An

In

In

A

Veamos un ejemplo.

Ejemplo: Calcular la inversa de 210

121

011

A

Solución:

Lo haremos primero por el método clásico o método de adjuntos, el que viene indicado por la definición: la traspuesta de la adjunta dividida por el determinante. Primero, calculamos el determinante; si el determinante es nulo, no existe matriz inversa; si no es nulo, seguimos:

1210004

210

121

011

A

Calculamos ahora la matriz adjunta, sustituyendo cada elemento por su adjunto;

calculamos primero los adjuntos:

112

21

11

1)01(10

01101

12

011)01(

10

11202

20

01

2)02(21

01101

10

212)02(

20

11314

21

12

33

32312322

21131211

A

AAAA

AAAA

Luego: formamos la matriz adjunta:

111

122

123

adA

Y finalmente hacemos la inversa, trasponiendo la matriz adjunta y dividida por el

determinante:

A

AA

tad1

111

122

123

111

122

123

1

11A

Ahora lo hacemos por el método de Gauss:



Tenemos:

111100

122010

123001

111100

122010

001011

111100

011110

001011

100210

011110

001011

100210

010121

001011

Es conveniente, se haga por el método que se haga, comprobar la inversa (multiplicada por la directa tiene que dar la identidad). Es decir:

nIAA 1.

Entonces:

100

010

001

210

121

011

111

122

123

Autoevaluación 03

I. Responde con V o F, según sea el caso.

( ) El determinante de una matriz cuadrada es un número. ( ) El número de cofactores o adjuntos de una matriz de orden n, es igual a

n2. ( ) Una matriz cuadrada tiene inversa sólo cuando su determinante es igual

a 0. ( ) Si A es una matriz cuadrada que posee inversa entonces se cumple la

condición siguiente: A-1A = Identidad.

( ) La matriz A =

1 0 2

2 0 3

1 0 3

no tiene inversa; porque su determinante

es igual a 0.

( ) El elemento 23 se ubica en la segunda columna y en la tercera fila.

( ) Si una matriz tiene 3 filas y 3 columnas, entonces tiene 9 cofactores ij .

II. Determinar los valores de los siguientes determinantes.

2.1. 2 2

3 3

2.2. 2 12

3 8

2.2.

2 0

3 3



2.3. 7 2

3 3

2.4.

1 2 3

2 0 2

3 6 9

2.5.

1 2 3

2 0 2

3 6 8

2.6.

1 2 3

2 1 2

3 6 1

III. Calcular las inversas de las siguientes matrices, si las tuvieran.

3.1. A = 1 1

2 2

3.2. A = 1 1

2 0

3.3. A = 1 1

2 2

3.3. A =

1 1 0

2 2 1

1 1 2

3.4. A =

2 1 1

1 2 1

1 1 2

3.5. A =

3 1 2

2 2 1

3 1 1

IV. Responde con V o F, según sea el caso.



( ) Una matriz de orden mxn, tiene m filas y n columnas. ( ) El elemento aij se encuentra ubicado en la columna i y en la fila j.

( ) La matriz A = 1 3 4 5

2 3 3 0 es de orden 4x2.

( ) Si la matriz A =

22 2

1 0

x x y B =

2 1

1 0 son iguales, entonces el

valor de x es 1 ( ) Una matriz de orden nxn se llama cuadrada. ( ) La matriz nula es aquella que tiene m.n elementos diferentes de 0. ( ) Si, A, B y D son del mismo orden, entonces siempre es posible

determinar una matriz D, tal que : A + D = B.

V. Determina la matriz A = 32)( xija ; cuyos elementos aij = 0;

1;

cuando i j

cuando i j.

VI. Busca un ejemplo de dos matrices A y B de orden 2x2 que poseen

inversa; pero su suma: A + B no posea. VII. Efectúa las siguientes operaciones indicadas.

7.1. 1 0 3 3

22 3 5 1

7.2.

21 2 3

13 23 0 1

1

7.3.

2 0 2

1 0 2 0 2 2

0 1 2 2 2 0

x y z

VIII. Si, A = 1 0

2 3 y B =

3 3

5 1, analiza si se cumple la diferencia de

cuadrados. Es decir: (A – B)(A + B) = A2 – B2; donde: A2 = A.A y B2 = B.B

XI. Si, A = 1 0

2 3 y B =

3 3

5 1, verifica que se cumple: (AB)-1 = B-1A-1



XI. Determinar la matriz de los adjuntos de las siguientes matrices.

11.1. A = 1 0

2 3 11.2. A =

2 0 2

0 2 2

2 2 0

11.3. A = 3 3

5 1 11.4. A =

3 1 2

2 2 1

3 1 1

11.5 A = 2 1

1 0 11.6. A =

1 1 0

2 2 1

1 1 2

XII. Calcular las matrices inversas de las matrices del ejercicio XI anterior. XIII. (Valoración de Inventarios) Un comerciante de televisores a color tiene 5

televisores de 26 pulgadas, 8 de 20, 4 de 18 y 10 de 12. Los televisores de 26 pulgadas se venden en US$ 650 cada uno, los de 20 en US$ 350 cada uno, los de 18 en US$ 270 cada uno y los de 12 se venden en US$ 175 cada uno. Exprese el precio de venta total de su existencia de televisores como el producto de matrices.

4. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

4.1 Sistema de ecuaciones con dos variables Considérese el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales:

22221

11211

byaxa

byaxa

la representación matricial de este sistema es BAX donde:

ficientesriz de coe es la mataa

aa,A

2221

1211



.constantes las de matriz la es ,B

variableslas de matriz la es ,X

2

1

b

b

y

x

Si 0det(A) , entonces, el valor de la variable xse obtiene así:

2221

1211

222

121

aa

aa

ab

ab

xs

x

Obsérvese que x (determinante con respecto a x ) se obtiene reemplazando la

primera columna de la matriz A por la matriz B, y det(A)s es el determinante del

sistema.

Para calcular el valor de la variable y se obtiene primero el determinante con respecto

a y ( y ) remplazando la segunda columna de la matriz de coeficientes por la matriz B.

Luego se divide este determinante entre el determinante del sistema:

2221

1211

221

111

aa

aa

ba

ba

ys

y

Ejemplo: Resolver el sistema

Solución:

La representación matricial del sistema es:

13

9

34

56

y

x

Entonces:

138

38

2018

6527

34

56

313

59

x

1334

956

yx

yx



338

114

2018

3678

34

56

134

96

y

Luego, .3 , 1 yx

4.2 Sistema de ecuaciones con tres variables

Consideremos el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:

423

24654

18642

zyx

zyx

zyx

Este sistema se escribe en forma matricial como sigue:

de donde: 46

24

213

654

642

214

6524

6418

s

xx , 26

12

213

654

642

243

6244

6182

s

yy

36

18

213

654

642

413

2454

1842

s

zz

Luego .3 , 2 , 4 zyx Observe que zyx , , se obtienen reemplazando

sucesivamente la 1ª, 2ª y 3ª columna de la matriz de coeficientes por la matriz de las

constantes:

4

24

18

4

24

18

213

654

642

z

y

x



Ejercicios Propuestos 2

1) Calcule el determinante que se indica

a) 62

53 b)

30

14 c)

60

41

d) 54

31 e)

25

04 f)

47

53

2) Calcule los siguientes determinantes de una matriz de orden 3.

a)

012

410

301

b)

651

412

011

c)

612

536

413

d)

321

420

601

e)

120

564

132

3) Una matriz cuadrada en la cual todas las componentes que están por encima de la diagonal principal son ceros se llama matriz triangular inferior.

a) Demuestre que el determinante de la matriz triangular inferior

fed

cb

a

0

00

de

orden 3 es el producto de los elementos de su diagonal principal.

b) Aplique el resultado anterior para calcular el determinante de la matriz triangular inferior

654

032

001

A

4) Una matriz cuadrada en la cual todos los elementos que quedan por debajo de la diagonal principal son ceros se llama matriz triangular superior.

a) Muestre que el determinante de una matriz de una matriz triangular superior

f

ed

cba

00

0 de orden 3 es el producto de los elementos de su diagonal principal.

b) Aplicando el resultado de la parte a), encuentre el determinante de la matriz triangular superior



600

540

321

B

5) Calcule los determinantes de las siguientes matrices, aplicando desarrollo mediante cofactores. (Recuerde que lo más recomendable es trabajar con la fila que contenga la mayor cantidad posible de ceros)

a)

1597

034

123

A b)

203-4

2-11-3

02-01

3221

B

c)

04-3-2-1-

503-2-1-

5402-1-

54301-

50000

C d)

01010

00112

2-1020

021-10

32001

D

6) En los problemas que siguen determine si la matriz dada es invertible. En caso afirmativo calcule la inversa.

a) 21

23 b)

84

63 c)

100

110

111

d)

3719

501

412

e)

3161

52102

62123

2031

7) ¿Para qué valores de la matriz no es invertible?

8) ¿Qué valores de hacen que la matriz no tenga inversa?

9) En los problemas siguientes exprese el sistema en la forma AX=B.

a) 74

32

yx

yx b)

1032

44

113

zyx

zyx

zyx



c)

523

2

7

yx

zx

zy

d)

0937

024

032

zyx

zyx

zyx

10) En los problemas siguientes resuelva el sistema usando determinantes

a) 4747

1 3 2

yx

yx b)

524

03

yx

yx

c)

11528

5323

6 2

zyx

zyx

zyx

d)

02 3

2 4

8

zyx

zy

zyx

e)

13

02

722

zyx

zyx

zyx

f)

15

2

42

zy

zx

zyx

f) 523

3 2

yx

yx g)

1 4

032

53 2

zyx

zyx

zyx

Respuesta a los ejercicios propuestos 2.

1) a) 28 c) -6 e) -8

2) a) 0 c) 47 e) 4

3) b) 18A

4) b) 24B

5) a) 30 b) -131 c) 120 d) -2

6) a) 75.025.0

5.05.0 b) no es invertible c)

100

110

011

d) no es invertible

e)

2322

3310

2211

2010

7) Para y

8) No existe inversa si es cualquier número real.



Bibliografía

Espinoza Ramos. (2 002). Vectores y Matrices. Editorial Servicios Gráficos JJ. Perú.

Francis G. Florey. (1 979). Fundamentos de Algebra Lineal y Aplicaciones. Editorial Prentice Hall. México.

Frank Ayres. (1 990). Matrices y Determinantes. Editorial Mc - Graw - Hill. México.

Howard A. (1 998). Introducción al Álgebra Lineal. Editorial Limusa. México.

Honh f. (1 992). Álgebra de Matrices. Editorial Trillas. México.

Kurosh A. G. (1976). Algebra Superior. Editorial Mir. Moscú.

Maltsev A. I. (1972). Fundamentos de Algebra Lineal. Editorial Mir. Moscú.

Saal R. César. Matrices. Editorial Gómez. Perú.

Stanley I. Grossman. (1 992). Algebra Lineal. Editorial Mc - Graw – Hill. México.

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