Tema 11 Métodos Dinámicos de Selección de Inversiones

Administracin de Empresas. 11 Mtodos dinmicos de evaluacin de inversiones 11.1

Diego J. Pedregal - Universidad de Castilla-La Mancha

TEMA 11: MTODOS DINMICOS DE SELECCIN DE INVERSIONES

ESQUEMA DEL TEMA: 11.1. Valor actualizado neto. 11.2. Tasa interna de rentabilidad o retorno. 11.3. Plazo de recuperacin con descuento. 11.4. Tasa de valor actual. 11.5. ndice de rentabilidad. 11.6. Evaluacin en ambientes de riesgo e incertidumbre. 11.7. Combinaciones de mtodos.



11.1. VALOR ACTUALIZADO NETO.

El valor actual neto (VAN) de una inversin en la que se realiza un desembolso en un perodo inicial ( 0c ) y genera una serie de flujos de caja en perodos sucesivos ( tc ) descontados a una serie de tasas de descuento diferentes en cada perodo ( tk ) se define como:

( ) ( )( ) ( ) +++

+++

++=

=

n

tt

n

k

c

kk

c

k

ccVA

1

21

2

1

10

1111L



Si las tasas de descuento son la misma en todos los perodos la frmula se simplifica:

( ) ( ) ( ) ( )nn

k

c

k

c

k

cckVA

+++

++

++=

1112

210 L

La generalizacin a proyectos de inversin en los que se producen desembolsos en diversos perodos es inmediata, de hecho se puede considerar directamente incluidos en las ecuaciones anteriores si se considera que tc son los flujos de caja netos, es decir, la diferencia entre los cobros y los pagos del perodo.



Si el VAN de un proyecto de inversin es positivo se lleva a cabo la inversin. Si es exactamente cero sera indiferente llevarlo a cabo. Si es negativo no debe llevarse a cabo, puesto que sera ms rentable invertir los fondos en un activo libre de riesgo.

EJEMPLO: los VAN de los siguientes proyectos de inversin considerando la tasa de descuento en el 5% sern

AOS 0 1 2 3 4 PROYECTO A -1.000 700 200 100 200 PROYECTO B -1.000 100 200 700 200 PROYECTO C -700 100 200 200 1.200

99,9805,1

200

05,1

100

05,1

200

05,1

7001000

432=++++=AVA

87,45=BVA 65,736=CVA



Un anlisis interesante de los proyectos de inversin puede ser calcular los VAN para un continuo de tasas de descuento posibles y representarlas grficamente

Figura 11.1: VAN para distintas tasas de descuento

0 5 10 15 20 25 30 35 40-500

0

500

1000

k (%)

V

A

(

k

)

Proyecto AProyecto B

Proyecto C



Las curvas consideradas cortarn al eje vertical en =

n

ttc

0

,

puesto que en ese punto la tasa de descuento es cero.

Por otro lado, a medida que la tasa de descuento tiende a infinito, el VAN tiende a 0c . En la figura 11.1. se observa cmo el proyecto C es el mejor con independencia de la tasa de descuento, mientras que el B es el peor segn este criterio, tambin sin necesidad de tener en cuenta la tasa de descuento.



Por supuesto pueden existir situaciones ms complejas, en las que un proyecto es preferible a otro en una banda de tasas de descuento, pero la preferencia se invierte en otro rango de valores de dicha tasa.

El VAN proporciona una medida de rentabilidad absoluta, puesto que no tiene en cuenta que el esfuerzo realizado por el desembolso inicial.

Es decir, desde el punto de vista de este criterio dos inversiones seran indiferentes si obtienen el mismo VAN, aunque la inversin inicial sea mayor en uno que en otro. Esta limitacin se intenta superar con los criterios siguientes.



10.2. TASA INTERNA DE RENTABILIDAD O RETORNO. La tasa interna de rentabilidad o retorno (TIR) es el tipo de descuento que hace el valor actual neto de la inversin igual a 0. Es decir, es el valor de r tal que

( ) ( ) ( ) 0111 221

0 =

+++

++

++

n

n

r

c

r

c

r

cc L

Esta expresin se puede re-escribir de la siguiente forma: ( ) ( ) ( ) ( ) nnnnn crcrcrcrc +++++++=+ 1111 122110 L

en la que tenemos en el lado izquierdo de la igualdad el valor final de la inversin realizada si se invirtiera a una tasa de descuento igual a la TIR. En otras palabras, ese sera el valor que tendramos al final de una inversin consistente en colocar el



importe del desembolso inicial a un tipo de inters igual a la TIR. En el lado derecho tenemos el valor final de los flujos de caja, o dicho de otro modo el dinero que tendramos al final si realizamos el proyecto de inversin y vamos reinvirtiendo los flujos de caja a la tasa TIR. En otras palabras, la TIR, como su nombre indica, nos proporciona la rentabilidad (relativa) de la inversin. Los valores de la TIR para los tres proyectos de inversin considerados se pueden ver grficamente en la figura 11.1. Son los valores para los que las tres curvas cortan al eje de abscisas.



El clculo es el siguiente,

( ) ( ) ( ) ( ) 01200

1

100

1

200

1

7001000

432=

++

++

++

++

AAAA TIRTIRTIRTIR

%86.10=ATIR

%7,6=BTIR %37,30=CTIR

De acuerdo con este criterio, una inversin ser efectuable cuando su rentabilidad sea superior que la rentabilidad requerida de la misma (a menudo el coste de capital), no lo ser cuando sea inferior y ser indiferente cuando ambas coincidan. Al seleccionar entre varios proyectos se elegir el que tenga mayor tasa de rentabilidad.



11.3. PLAZO DE RECUPERACIN CON DESCUENTO. Los dos criterios expuestos hasta ahora (VAN y TIR) son los ms utilizados en la prctica. Sin embargo, puede ser de gran utilidad en determinadas ocasiones considerar otros criterios, que son en realidad una versin dinmica de los criterios estticos vistos en el tema anterior. El primero de estos criterios es el plazo de recuperacin con descuento. Se trata de calcular el plazo de recuperacin pero utilizando no los flujos de caja nominales, sino los mismos actualizados por la tasa de descuento pertinente. Por supuesto se selecciona el proyecto con menor plazo de recuperacin.

EJEMPLO: los flujos actualizados de los tres proyectos de inversin considerados hasta el momento con una tasa de descuento del 10% son



AOS 0 1 2 3 4 Plazo de recuperacin

PROYECTO A -1.000 636,3 165,3 75,1 136,6 3 aos y 11 meses

PROYECTO B -1.000 90,9 165,3 525,9 136,6 > 4 aos PROYECTO C -700 90,9 165,3 150,3 819,6 3 aos y 5

meses

Obviamente el plazo de recuperacin es ahora mayor de lo que era sin descuento en todos los casos. Sin embargo la decisin, en este caso, es completamente diferente a la que se llega con el mismo criterio sin descuento, C es el mejor proyecto. Este criterio, an con el descuento adolece de ciertos problemas, como son que prima la liquidez sobre la rentabilidad y que no tiene en cuenta los flujos generados con posterioridad al propio plazo de recuperacin.



11.4. TASA DE VALOR ACTUAL. La tasa de valor actual (T) es el valor actual neto que se obtiene con la inversin por cada unidad monetaria comprometida:

0c

VAT =

Una inversin ser efectuable cuando su tasa sea positiva (puesto que el VAN ser positivo). Se elegir el proyecto con mayor tasa. Cuando dos proyectos tengan el mismo VAN ser preferible aquel que se consiga con la menor cantidad de fondos comprometidos o el que rinde una mayor tasa de valor actual. Sin embargo, si lo que se quiere es una medida relativa de rentabilidad el criterio a utilizar debe ser la TIR.



11.5. NDICE DE RENTABILIDAD. Otra versin dinmica ms refinada del ratio beneficio-coste es el ndice de rentabilidad, que es el cociente entre el valor actual de todos los cobros generados por el proyecto y todos los pagos que requiere, incluyendo el desembolso inicial. Es decir, si separamos los flujos de caja en cobros actualizados ( tc ) y pagos actualizados ( tp ) el ndice de rentabilidad se define como

===

n

tt

n

tt pcIR

01

Este ratio, sin embargo, no aporta gran informacin respecto a los anteriores, puesto que si el VAN es mayor que cero, el IR ser mayor que uno y viceversa.



EJEMPLO: decidir cul de los siguientes proyectos de inversin son efectuables y cul de ellos es preferible, segn todos los criterios vistos hasta el momento (k= 10%):

AOS 0 1 2 3 4 5 TOTAL (1 a 5)

PROYECTO A -1.500 600 500 400 300 400 2.200 PROYECTO B -1.000 320 320 320 320 320 1.600

La misma tabla con los flujos de caja actualizados es: AOS 0 1 2 3 4 5 TOTAL

(1 a 5) PROYECTO A -1.500 545,5 413,2 300,5 204,9 248,4 1.712,5 PROYECTO B -1.000 290,9 264,5 240,4 218,6 198,7 1.213,1



Los criterios resultantes son los siguientes: CRITERIO Proyecto A Proyecto B Mejor P.

Plazo de recuperacin Plazo de recuperacin

con descuento

3 aos 4 aos y 2

meses

3 aos y 2 m. 4 aos

A B

Ratio coste-beneficio ndice de rentabilidad

22/15 = 1,47 1,14

16/10 = 1,6 1,21

B B

VAN Tasa de valor actual

212,5 14,17%

213,1 21,31%

B B

Tasa Interna de Rentabilidad (TIR)

16,04% 18,3% B



Puesto que en el segundo proyecto los flujos de caja positivos son constantes durante los cinco aos que dura el proyecto, el clculo del VAN y la TIR es ms sencillo de lo habitual,

( )1,213

1,0

1,1132010003201000

1,11,11,11,11,13201000

1,1

320

1,1

320

1,1

320

1,1

320

1,1

3201000

5

1,05

54321

5432

=

+=+=

=+++++=

=+++++=

a

VAB

Siguiendo el mismo razonamiento, la TIR ser ( )TIR

TIRa

TIR

5

(%)5

11320100032010000

++=+=



Figura 11.2: VAN frente a tasa de descuento

0 5 10 15 20 25 30 35 40-400

-200

0

200

400

600

800

k (%)

V

A

(

k

)

Proyecto A

Proyecto B



En la figura 11.2 se observa cmo segn el criterio del VAN ambos proyectos son indistinguibles a una tasa de descuento del 10% puesto que ambas curvas se cortan en el punto conocido como interseccin de Fisher. Si la tasa de descuento hubiera sido superior al 10% el proyecto preferido habra sido el B, mientras que el A sera el elegido si la tasa fuera inferior al 10%. De la misma forma se observa que la TIR es superior para el segundo proyecto, por lo que segn este ltimo criterio la eleccin es unvoca. Este problema surge porque ambos criterios miden la rentabilidad de forma diferente, el VAN, es una medida de rentabilidad absoluta que no tiene en cuenta el desembolso realizado, mientras que la TIR es una medida de rentabilidad relativa.



En estos casos la solucin del dilema puede venir de la mano de los dems criterios.

En efecto, hemos comprobado como casi todos los criterios se decantan por el proyecto B, por lo que se puede seleccionar, en principio este proyecto sin ningn problema.

No obstante, todos los criterios dinmicos estn considerando que la tasa de descuento es el 10%, por lo que grficos alternativos en los que se vea la dependencia de dichos criterios respecto a la tasa de descuento pueden ser de gran utilidad, como se muestra en la figura 11.3.



Figura 11.3: La tasa de VAN y el ndice de Rentabilidad frente a k.

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.5

0

0.5

1

k (%)

T

a

s

a

d

e

V

A

(

k

) Proyecto AProyecto B

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

2

k (%)

I

R

(

k

)

Proyecto A

Proyecto B



11.6. EVALUACIN EN AMBIENTES DE RIESGO E INCERTIDUMBRE.

La evaluacin de inversiones es en general un proceso complicado porque se efecta sobre medidas que en realidad hay que predecir. Es imposible conocer con exactitud cul ser la tasa de descuento o los flujos de caja exactos que generar un proyecto durante su duracin. Se suelen distinguir dos tipos de ambientes:

Riesgo: las medidas que se quieren realizar son inciertas, pero es posible el clculo de probabilidades sobre dichas ocurrencias.

Incertidumbre: no es posible calcular probabilidades.



Existe un abanico de mtodos para analizar estos casos, entre los que cabe destacar el clculo de distintas medidas que tienen en cuenta dichas probabilidades. Otra posibilidad es el anlisis de sensibilidad, que a su vez se puede ver de dos formas, al menos:

Anlisis multidimensional: Este consiste en proponer distintos escenarios en los que se analiza qu sucede con el VAN cuando se modifica una o ms variables susceptibles de cambio.

Anlisis unidimensional: determinar la variacin mxima que puede resistir el valor de una variable relevante para que el proyecto siga siendo atractivo para el inversionista. Si la variable es la tasa de descuento, esto es exactamente lo que se ha planteado en las figuras 11.1, 11.2 y 11.3.



11.7. COMBINACIONES DE MTODOS. Como hemos visto hasta el momento, existe un gran nmero de criterios para evaluar cualquier proyecto de inversin. En situaciones en las que existe conflicto entre ellos la decisin final pude ser complicada. Nos situamos de lleno, por tanto, en el terreno de la teora de la decisin. La cantidad de criterios que nos permiten combinar de alguna forma la informacin cuantitativa suministrada por los ratios vistos es inmensa. En esta seccin se citan tres. Supongamos que existen cuatro objetivos que la empresa pretende alcanzar simultneamente ( 321 ,, ZZZ y 4Z , estos seran los criterios utilizados para evaluar cada uno de los proyectos de inversin).



Para alcanzar estos objetivos existen cinco alternativas y el decisor debe elegir una de ellas ( 4321 ,,, XXXX y 5X , estos son los proyectos de inversin). Supongamos que se puede construir la siguiente matriz, que nos da el valor que alcanza cada uno de los objetivos cuando se elige cada una de las alternativas:

1X 2X 3X 4X 5X

1Z 10 5 7 9 6 2Z 15 25 16 18 20 3Z 5 10 15 7 8 4Z 10 4 5 6 3

Todos los objetivos deben maximizarse, excepto el primero, que debe ser mnimo. En este caso es necesario cambiar el signo al objetivo que se quiere minimizar, es decir



1X 2X 3X 4X 5X

1Z -10 -5 -7 -9 -6 2Z 15 25 16 18 20 3Z 5 10 15 7 8 4Z 10 4 5 6 3

Hay una alternativa ( 5X ) que no es eficiente y est dominada por otra ( 2X ), ya que todos los objetivos alcanzan valores mejores. Sea cual sea el criterio utilizado, en ningn caso puede salir 5X elegida.



11.6. 1. PONDERACIN DE OBJETIVOS. En este caso algn decisor da un peso especfico distinto a cada uno de los objetivos hallando la media ponderada de los valores obtenidos con cada alternativa. Se elige la que sea mayor. Por ejemplo, si las ponderaciones son 0,4; 0,3; 0,1; 0,2:

1X 2X 3X 4X 5X

1Z -4.0 -2.0 -2.8 -3.6 -2.4 2Z 4.5 7.5 4.8 5.4 6.0 3Z 0.5 1.0 1.5 0.7 0.8 4Z 2.0 0.8 1.0 1.2 0.6

Media ponderada

3.0 7.3 4.5 3.7 5.0

La opcin seleccionada es, por tanto, 2X .



11.6.2. GOAL-PROGRAMMING.

En este caso se busca la alternativa que se encuentre lo ms prxima posible al conjunto de objetivos fijados. Para ello se calcula la diferencia en valor absoluto entre cada valor de la tabla y el mximo de cada fila. De esta forma se est calculando cunto dista cada caso de la opcin que mejor se comporta para cada objetivo. Se elegir la alternativa que d una menor suma por columnas, lo que implica que dicha opcin est ms prxima de todos los objetivos simultneamente.



ptimo 1X 2X 3X 4X 5X 1Z -5 5 0 2 4 1 2Z 25 10 0 9 7 5 3Z 15 10 5 0 8 7 4Z 10 0 6 5 4 7

Sumas 25 11 16 24 20

De nuevo la opcin seleccionada es 2X .



11.6.3. CRITERIO DE KRTH. Segn este criterio debe optarse por la opcin que garantice el mayor grado posible de cumplimiento, en trminos relativos, de cualquier objetivo. Esto implica que se calculan los cocientes entre cada uno de los elementos de la tabla y los mximos por filas (en el caso de los objetivos que se minimizan este cociente hay que invertirlo). Se eligen todos los mnimos por columnas y se selecciona el mximo de los mnimos como mejor opcin. De esta forma, se est eligiendo la opcin que nos garantiza el mejor cumplimiento de los objetivos que peor se comportan.



ptimo 1X 2X 3X 4X 5X 1Z -5 50 100 71 55 83 2Z 25 60 100 64 72 80 3Z 15 33 66 100 46 53 4Z 10 100 40 50 60 30

Los mnimos por filas estn marcados en texto negrita en casillas sombreados.

El mximo de todos ellos es el correspondiente a la opcin 3X , que sera opcin seleccionada.

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