Sistemas Dinámicos - Semana 11

SISTEMAS DINÁMICOS - CAPITULO 3: MODELOS DE SISTEMAS FISICOS. HIDRAULICA

Ing. Gerardo Becerra B. M.Sc.

Modelos de sistemas físicos

1. Preparar y ejecutar el plan de acción para formular y resolver un modelo. (CDIO 2.1.1.4)

2. Obtener modelos conceptuales y cualitativos de diversos sistemas físicos. (CDIO 2.1.2.2)

3. Establecer las conexiones entre los fenómenos físicos y el modelo. (CDIO 2.1.2.3)

4. Usar modelos cuantitativos y soluciones. (CDIO 2.1.2.4)

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Modelos de sistemas físicos

5. Generalizar suposiciones para simplificar ambientes y sistemas complejos (CDIO 2.1.2.1)

6. Discutir una aproximación desde varias disciplinas para asegurar que el sistema se entienda desde todas las perspectivas relevantes. (CDIO 2.3.1.2)

7. Establecer prioridades dentro de las metas generales (CDIO 2.1.1.3)

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Clase 11

Contenido 1. Definir las variables que describen a los

sistemas hidráulicos.

2. Definir las leyes de interconexión de los sistemas hidráulicos.

3. Modelar y linealizar sistemas hidráulicos.

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Sistemas hidráulicos

• Mayor “densidad” de potencia que sistemas electromecánicos.

• Electromecánicos hasta 200 psi

• Hidráulicos: hasta 8000 psi

• Menor inercia: mayor velocidad de respuesta.

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• Fluidos: no soportan el “stress” de cizallamiento.

• Se deforman continuamente cuando se someten a “stress”.

• Sólidos: fuerzas intermoleculares grandes

• Fluidos: fuerzas intermoleculares débiles

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• Líquidos: tienden a ocupar un volumen definido.

• Gases: ocupan todo el volumen disponible. • Líquidos: densidad es aproximadamente

constante respecto a presión: incompresible

• Gases: densidad depende de presión: compresible.

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• Se desarrollará modelo Concentrado.

• Fluidos incompresibles

• Tubería cerrada

• Variables: • Presión

• Flujo

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• Múltiples unidades: psi, “Hg, “ H2O; Pa, bar….

• Múltiples referencias: • Absoluta

• Manométrica

• Diferencial

• Vacío

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Presión

P = F/A =ma/A

Unidades: [MASA][LONGITUD]-1[TIEMPO]-2

P = ρgh

Unidades: [MASA][LONGITUD]-1[TIEMPO]-2

Las dos definiciones tienen las mismas unidades

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Presión

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Presión absoluta

• Cero absoluto: no existe fuerza sobre las

paredes internas de una cámara totalmente

evacuada, condición de cero presión.

• Presión absoluta: presión medida respecto al

cero absoluto.

• Siempre positiva

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Presión atmosférica

• Fuerza ejercida por la columna de aire sobre una

superficie de área unitaria

• Depende de la densidad del aire

• Depende de la temperatura

• Disminuye con la altitud respecto al nivel del mar

• Al nivel del mar es aproximadamente igual a 105 pa

(1000 mbar) o 14,69 psia

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Presión manométrica

• Diferencia entre la presión absoluta y la presión atmosférica.

Presión Absoluta = Presión Manométrica + Presión

Atmosférica

• En un cuerpo evacuado será negativa (vacío)

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Presión diferencial

• Diferencia entre las presiones de dos cuerpos o dos

puntos de un sistema.

Presión Diferencial = Presión 1 - Presión 2

• En un cuerpo evacuado será negativa (vacío)

• Las dos medidas deben ser respecto a la misma

referencia

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Unidades y conversiones

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Ejemplo 19

• Agua + Aire + vapor • Cuál será la lectura de un manómetro calibrado en psig y conectado en un punto situado 4.5 pies por debajo de la superficie libre del líquido ?

psigP

psigpsigP

psig

ft

inxft

ft

lbP

54.9

)5.11(96.1

)5.11(

144

1)5.4)(4.62)(1(

1

1

2

231

psigP

psigPpsigP

m

am

5.117.142.3

)7.14()(

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Ejemplo 19

• Diagrama presiones • En Si:

kPaxpsiaPm 07.22psia 0.145

kPa 1 )2.3(

psiakPa

psiakPaxP

kPaP

kPakPaP

kPaft

mftxx

s

mx

m

kgghP

15.51

145.025.35

52.35

07.2245,13

07.22305.0

5.48.91000

1

1

1

231

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Flujo

• Volumétrico

• Principal: q = tasa de flujo volumétrico Integral: V = volumen

• Másico

• Principal: 𝑚 = tasa de flujo másico

Integral: m = masa

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Velocidad

Velocidad

• A mayor Δp mayor velocidad v y por lo tanto más volumen de producto que pasa a través de una sección de ducto de área transversal A:

Avm

Avq

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Fricción

Fricción:

• La fricción entre el fluido y la pared interna del tubo reduce la velocidad y afecta el perfil del flujo: la fricción es mayor en las capas cercanas a la pared del tubo que en el centro del mismo.

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Densidad

Densidad (ρ)

• A mayor densidad se requiere una mayor presión para mantener la tasa de flujo deseada. En fluidos compresibles, como gases y vapores, o líquidos con aire o gas atrapado, un cambio en la presión produce un cambio en la densidad y por lo tanto en la tasa de flujo.

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Viscosidad

Viscosidad:

• Capacidad de un liquido para resistir fuerzas de desplazamiento, depende de las fricciones internas en el liquido.

• Viscosidad dinámica o absoluta: relación entre la tensión de cizallamiento (shear stress) y un gradiente de velocidad:

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Viscosidad1

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..\Soporte\Imagenes\Hidraulicos\Cool Science Trick.mp4

../Soporte/Imagenes/Hidraulicos/Cool Science Trick.mp4













Viscosidad

La capa superior se mueve mas rápido que la capa inferior y la empuja con una fuerza f.

La capa inferior trata de retener a la capa superior con la misma fuerza.

Cuando el liquido se empuja con esta fuerza f a través de un área a la tensión de cizallamiento se calcula como:

Pa

m

N

A

F2

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Viscosidad dinámica

• La viscosidad dinámica o absoluta es la relación entre τ y la diferencia de velocidad entre las capas:

• A mayor fuerza requerida para mover las capas entre si mayor viscosidad.

Unidad: Pa-s P(Poise) = 100 cP (centipoise) 1 Pa-s = 1000 cP Agua A 20° C : 1 cP

)( sPa

dydv

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Viscosidad dinámica1

•RELACION DE CIZALLAMIENTO (SHEAR RATE) :

Es el gradiente de velocidad dv/dy empleado para el calculo de la viscosidad dinámica.

•Dos grupos reológicos:

•Newtonianos,

•No - Newtonianos

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Líquido newtoniano2

• Viscosidad es independiente del stress de cizallamiento aplicado.

• Ejemplo: la miel es un material Newtoniano. Mantiene su espesor bajo condiciones de bajo y alto stress.

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Líquido no-newtoniano2

• Liquido no - newtoniano: viscosidad variable con el flujo o con la rata de cizallamiento.

• Fuerzas diferentes hacen que un fluido no – newtoniano se comporte de diferentes maneras.

• Perfiles no – newtonianos: • Seudoplastico • Dilatante • Sixotropico

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..\Soporte\Imagenes\Hidraulicos\Non-Newtonian Fluid on a Speaker Cone.mp4

../Soporte/Imagenes/Hidraulicos/Non-Newtonian Fluid on a Speaker Cone.mp4












Coeficientes viscosidad dinámica

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Coeficientes viscosidad dinámica

• Viscosidad no es constante : puede cambiar en función de la temperatura, presión y velocidad: un aumento en temperatura normalmente produce una caída en la viscosidad de los líquidos, en los gases aumenta.

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Viscosidad cinemática3

• Viscosidad cinemática: relación entre la viscosidad dinámica de un liquido y su densidad:

Unidad: m²/s 1 Stoke (St) = 100 cSt 1 m²/s = 1000000 cSt 1 cSt =

s

m

mkg

sPa 2

3

s

mm2

1

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Número de Reynolds

• Número adimensional que relaciona los factores que afectan al flujo.

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DvvDRe

)s

ft(- )

s

m( cinemática viscosidad

)(s)-(Pa dinámica o absoluta viscosidad

)()m

kg( densidad

(ft) - (m) ducto del interno diametro

)()(

22

33

sft

lbo

ft

lb

D

s

ft

s

mvelocidadv

Numero de Reynolds

• Re < 2000: flujo laminar

• Re > 4000: flujo turbulento

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Número de Reynolds4

Flujo laminar: flujo suave, en capas, común a bajas velocidades

Flujo turbulento: flujo en remolinos, aparece a grandes velocidades

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Ejemplo 20

• Calcular el número de Reynolds para la siguiente aplicación:

Flujo de vapor: 24.000 lb/h

Diámetro tubería: 5,761”

• El vapor se encuentra a una presión de 204 psia y una temperatura de 460 °F.

• Densidad: 0.395407 lbm/ft3

• Viscosidad dinámica: 1.17134 E-05 lbm/ft-s

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Ejemplo 20

Unidades US

• Diametro: 0.48 ft

• Área: 0.181 ft2

• Velocidad : 93.15 ft/s

• 𝑅𝑒 = 0.48𝑥93.15𝑥0.395407

1.17134𝑥10−5

• Re = 1.51 x 106

Unidades US

• Flujo másico: 3.03 kg/s

• Diámetro: 0.146 m

• Área: 0.0167 m2

• 𝑣 =𝑚

𝐴𝜌= 28.65

𝑚

𝑠

• 𝑅𝑒 =𝐷𝑣𝜌

𝜇

• 𝑅𝑒 =0.146𝑥28.65𝑥6.33381

1.74314𝑥10−5

• Re = 1.51 x 106

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Capacidad hidráulica

apghp

• El reciproco de la pendiente de la grafica p-V se denomina capacidad hidráulica C (h) y depende del punto de operación.

• Se asume densidad del fluido constante

hdhAV

h

0

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• La capacidad hidráulica NO es el volumen del tanque, es la capacidad de almacenar energía potencial.

𝐶 ℎ =1

𝑑𝑝𝑑𝑉

=𝑑𝑉

𝑑𝑝=

𝑑𝑉

𝑑ℎ

𝑑ℎ

𝑑𝑝

𝑑𝑉

𝑑ℎ=𝑑 𝐴 ℎ′ 𝑑ℎ´

ℎ

0

𝑑ℎ= 𝐴(ℎ)

𝑑𝑝

𝑑ℎ= 𝜌𝑔

𝐶 ℎ =𝐴(ℎ)

𝜌𝑔

aa pVC

pA

Vgp

1

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• Si la densidad no cambia en el tanque

sistemaelen

masadenacumulació

deTasa

sistemad

saliente

masadeFlujo

sistemaal

entrante

masadeFlujo

el

)()( tmtm

dt

tdmoutin

tftftVdt

doutoutinin

tftftVdt

doutin

tdtftfVtV outin

t

0

0

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• Para un tanque de sección variable el volumen estará dado por:

• Cuando el área es variable

con h el sistema es no lineal.

• Como el cambio en la altura esta asociado a un cambio en la presión:

• variable de estado se puede seleccionar h, p o V

V (t)=A (h) h (t)

hA

dh

dV

dt

dh

dh

dV

dt

tdV

;

tftfhAdt

tdhoutin

)(

1)(

dt

dhg

dt

dp

tftfhC

tftfhA

gp outinoutin 1

)(

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Ejemplo 21

• Tanque cilíndrico • Horizontal:

g

hAhC

g

RhC

2

tftfR

h outin

2

1

222 RhRd

2222 22)( RhR

g

LhCLRhRhA

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Resistencia hidráulica

• Cuando un fluido pasa a través de un tubo hay una caída de presión a lo largo de este, de la misma forma que en una restricción fija (como la platina de orificio) o una restricción variable (como una válvula).

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• La ecuación de continuidad o conservación de masa:

• En la vena contracta

constante2211 AvAvf

2

3

m ansversalsección tr área:

:

flujo de tasa:

A

s

mvelocidadv

s

mf

VC

VCVCVCA

AvvvAAv 1

111

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• La ecuación de energía (Bernoulli) aplicada aguas arriba de la vena contracta:

Constante

fluidoelpor

hechoTrabajo

fluidodel

térmicaEnergía

fluidodel

mecánicaEnergía

Constante2

2

WUqgzP

v

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• Planteando la ecuación de la energía mecánica con:

• Lejos de la vena contracta el trabajo mecánico es cero:

• Como las velocidades son iguales:

0gz

VCVC P

vP

v

22

2

1

2

1

12

2

21

2

1

22Hp

vp

v

121 Hpp

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• H1 es proporcional al cuadrado de la velocidad y a la densidad e incluye todas las pérdidas de energía debida a los efectos térmicos, ruido etc.

• K1 coeficiente de pérdida de presión.

2

2

11

vKH

1

212

2

2121

2

2 K

ppV

VKpp

1

21222

2

K

ppAvAf

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• Usando la definición de la gravedad específica:

• la ecuación característica flujo - presión de una restricción es :

• La relación q – Δp es no lineal y puede tener diferentes coeficientes.

w

G

G

pp

KAf

w

21

1

2

2

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• Para una tubería:

2Gfkp L

23

sm

PafriccióndeecoeficientkL

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• Para una válvula, líquidos:

• KV es el coeficiente de flujo de la válvula : flujo de agua (m3 /h) que pasa a través de la válvula totalmente abierta cuando la caída de presión es de 1 bar. (105 Pa)

G

pKf V

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Válvulas

• Dos restricciones importantes: • Aplica a flujo turbulento Numero de

Reynolds > 5000 • No es crítico para viscosidad cinemática menor

de 40 cS. y Cv mayor de 0.1

• No en condición de flujo chocado: • En Flujo chocado, el flujo no depende de la

diferencial de presión

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Ejemplo 22

2Gfkp LL

2VC

f

v Gp

2

2

1Gfk

Cppp L

V

LVo

G

p

Ck

Cf

VL

V 0

21

Obtener una ecuación para el flujo total a través de la conexión serie de dos resistencias hidráulicas. La presión total Δpo se mantiene constante

independiente del flujo.

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Bomba centrífuga

• Transforma energía mecánica en hidráulica.

• Bomba centrífuga: convierte la velocidad de rotación en presión de salida.

• Energía potencial de salida es aproximadamente igual a la energía cinética

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Bomba centrífuga

• La característica Δp vs. Q de una bomba centrífuga es no lineal, y depende de las revoluciones ω del propulsor.

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Bomba centrífuga

• Alrededor punto operación:

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QKp ˆˆ

pK

f ˆ1ˆ

fppd

df

K,

1

Ejemplo 23

En un tanque de sección transversal constante entra líquido a una tasa qin (t) y sale a través de una válvula descrita por la relación no lineal dada . El área de la sección transversal del tanque es A y la densidad del liquido es ρ . Plantear la ecuación para el nivel de producto en el tanque, linealizar y obtener la función de transferencia

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Ejemplo 24: no interactuante

• Plantear la función de transferencia para el nivel en el segundo tanque en función del flujo entrante Qin (s) y del disturbio Qd (s) presente en el primer tanque.

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Ejemplo 25: interactuante

• Para los dos tanques interactuantes obtener el diagrama de bloques y la función de transferencia linealizada.

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Comparación

No interactuante Interactuante

sq

ssq

ss

KKsH din

ˆ1

1ˆ

1

1

1 112

122

sqsq

sK

sK

K

KK

sH dinˆˆ

111

1ˆ

5

542

5

54

5

54

2

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Referencias

1. CLOSE Charles, FREDERICK Dean and NEWELL Jonathan. Modelling and Analysis of Dynamic Systems. 3rd Edition. New York: John Wiley & Sons. 2002.

2. SMITH Carlos A. and CORRIPIO Armando. Principles and practice of Automatic Process Control. 2nd Edition. New York: John Wiley and Sons. 1997.

3. Endress + Hauser. Medición de Caudal. 2005.

4. © 2009 Haukur Herbertsson. Sin royalties: esta imagen está disponible para uso comercial. # Creative: 149270744.

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Sistemas Dinámicos - Semana 11

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