Sistemas Dinámicos - Semana 15

SISTEMAS DINÁMICOS: CAPITULO 4- PROPIEDADES DE SISTEMAS.

Ing. Gerardo Becerra B. M.Sc.

Propiedades de sistemas.

Objetivos: 1. Explicar el sistema por su comportamiento y efectos (CDIO 2.3.1.1)

2. Clasificar las interacciones externas al sistema y el impacto en el comportamiento del mismo (CDIO 2.3.1.4)

3. Explicar las propiedades funcionales y de comportamiento (intencional y no intencional) que surgen de un sistema. (CDIO 2.3.2.2)

4. Clasificar los factores críticos, efectos colaterales, métricas y variables adicionales que complementan el modelo propuesto. (CDIO 2.3.3.2)

5. Identificar los factores generadores del comportamiento del sistema (CDIO 2.3.3.3)

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Clase 15

Contenido: 1. Definir estabilidad

2. Definir y evaluar estabilidad BIBO

3. Definir estabilidad en el sentido de Lyapunov.

4. Definir y evaluar estabilidad absoluta Routh – Hurwitz.

5. Definir y evaluar estabilidad de sistemas discretos.

6. Definir y evaluar estabilidad relativa .

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Temas para repasar

• Polos y ceros(Circuitos en frecuencia)

• Valores y vectores propios (Algebra lineal)

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Estabilidad1

• “The property of a body that causes it when disturbed from a condition of equilibrium or steady motion to develop forces or moments that restore the original condition”: • The country's political and economic stability

• Test the platform for stability before using it.

• There are some questions about the applicant's mental stability.

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Estabilidad4

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Estabilidad

• Puntos de equilibrio estable: ..\..\Soporte\Imagenes\Stable Equilibria.mp4

• Puntos de equilibrio neutral: ..\..\Soporte\Imagenes\LLN neutral equilibrium.mp4

• Puntos de equilibrio inestable: ..\..\Soporte\Imagenes\NXT Ballbot _ Self-Balancing Robot On A Ball.mp4

• ..\..\Soporte\Imagenes\NXT Standalone - kabellose Version.mp4

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../../Soporte/Imagenes/Stable Equilibria.mp4











../../Soporte/Imagenes/LLN neutral equilibrium.mp4










../../Soporte/Imagenes/NXT Ballbot _ Self-Balancing Robot On A Ball.mp4














../../Soporte/Imagenes/NXT Standalone - kabellose Version.mp4
















Estabilidad

• Punto de equilibrio

• Puntos de equilibrio inestables

• Puntos de equilibrio estable

• Punto neutralmente estable

• Estabilidad local

• Estabilidad global

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Estabilidad BIBO

• ESTABILIDAD BIBO – EXTERNA O ENTRADA / SALIDA:

• La respuesta en estado cero de un sistema es BIBO estable (Bounded Input Bounded Output) si para toda entrada limitada la salida también es limitada.

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..\..\Soporte\Imagenes\Andreas Thorkildsen 91.28m Zürich 2009.mp4

https://youtu.be/3mclp9QmCGs?t=65

../../Soporte/Imagenes/Andreas Thorkildsen 91.28m Zürich 2009.mp4















https://youtu.be/3mclp9QmCGs?t=65

Estabilidad BIBO

• Teorema: Un sistema LIT es BIBO estable si y solo si existe un número finito k tal que:

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kdtth

0

)(

Estabilidad BIBO

Teorema: Un sistema LIT descrito por una función de transferencia propia racional G(s) es BIBO estable si y solo si todos los polos de G(s) tienen parte real negativa, o, equivalente, si todos sus polos están en la parte izquierda del plano complejo, sin incluir el eje imaginario.

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Estabilidad en el sentido de Lyapunov4

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En un sistema ESL un disturbio en la condición inicial menor de δ produce un vector de estado x(t) confinado a una distancia máxima ε de xe: para estabilidad el estado debe permanecer en las vecindades del punto de equilibrio.

Asintótico Marginal Inestable

Aleksandr M. Lyapunov (1857-1918)

• Alumno de Chebyshev

• Tesis Doctoral en 1892: The general problem of the stability of motion.

• Traducido al ingles en 1992.

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Estabilidad en el sentido de Lyapunov

• La respuesta a entrada cero, es decir la solución de:

Es marginalmente estable o estable en el sentido de Lyapunov si todo estado inicial finito genera una respuesta limitada.

Es asintóticamente estable si todo estado inicial finito genera una respuesta limitada que tiende a cero cuando t tiende a infinito.

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XX A


Teorema: • El sistema descrito por la ecuación

• Es marginalmente estable si y solo si todos los valores propios de la matriz A tienen parte real cero o negativa (parte real no positiva). Si tienen parte real cero, deben ser sencillos.

• ..\..\Soporte\Imagenes\Pendulum Waves.mp4

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AXX

../../Soporte/Imagenes/Pendulum Waves.mp4












Teorema: • El sistema descrito por la ecuación

• Es asintóticamente estable si y solo si todos los valores propios de A tienen parte real estrictamente negativa.

• ..\..\Soporte\Imagenes\Geomag_oscillator_-_KendinCos.mp4

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AXX

../../Soporte/Imagenes/Geomag_oscillator_-_KendinCos.mp4











Ejemplo 12

Para el oscilador :

• Estabilidad ESL

• Estabilidad BIBO.

• Respuesta para una entrada seno.

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Estabilidad BIBO - ESL

• ¿Qué relación existe entre la estabilidad BIBO (Externa) y la estabilidad Asintótica?

• La estabilidad BIBO se determina por los polos de G(S) mientras que la estabilidad interna se determina por los valores propios de la matriz A.

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• Función de transferencia:

• La ecuación característica de G(S) es

D(s)=det(SI-A)=0

• Si N(S) y D(S) son coprimos, todas las raíces de la ecuación característica son polos de G(S)

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dBASIAdjCASI

dBASICSD

sNsG

)(

)det(

1)(

)(

)()( 1


• Los valores propios de la matriz A son las soluciones de la ecuación característica:

det(λI-A)=0

• Como existe la posibilidad de cancelación de los términos comunes entre N(s) y D(S) los polos de G(s) están incluidos en el conjunto de raíces de det(sI-A)=0.

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• El conjunto de los polos de G(s) está contenido o es un subconjunto del conjunto de valores propios de A:

• De lo anterior se concluye que si todos los valores propios de A tienen parte real negativa todos los polos de G(S) tienen la parte real negativa.

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AdepropiosValoresSGdePolos )(


• Por lo tanto si el sistema es asintóticamente estable entonces es BIBO estable.

• En el sentido inverso si todos los polos tienen parte real negativa no necesariamente todos los valores propios tienen parte real negativa: estabilidad BIBO no implica estabilidad asintótica.

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• Cuando un sistema no es asintóticamente estable no se puede hacer afirmación alguna sobre la estabilidad BIBO

• Un sistema puede ser marginalmente estable (o estable en el sentido de Lyapunov) y no ser asintóticamente estable.

• Otra forma de enunciar el punto a es: Un sistema BIBO estable no necesariamente es asintóticamente estable.

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• La estabilidad BIBO se determina por la ubicación de los polos de G(S).

• La estabilidad asintótica por las raíces de la ecuación característica de la matriz A.

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Ejemplo 13

• Analizar estabilidad BIBO y ESL.

• ..\Soporte\Punto_m\Clase_14_Ejemplo_6.m

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XY

UXX

010

1

1

0

301

010

200

../Soporte/Punto_m/Clase_14_Ejemplo_6.m







Estabilidad Absoluta

• Estabilidad Absoluta: solamente se debe saber si existen raíces de la ecuación característica en la parte derecha del plano complejo.

• Criterio de Routh - Hurwitz: condición necesaria y suficiente para estabilidad absoluta.

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Edward Routh (1831-1907)

• Compañero de universidad de J.C. Maxwell. Graduados de Cambridge en 1854.

• En 1877 gano el premio Adams por su “Treatise on the stability of a given state of motion, particularly steady motion”

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Adolf Hurwitz (1859-1919)

• Alumno de Weierstrass y Kronecker.

• Profesor de Hilbert y Minkowski.

• ¿Cuándo un polinomio de grado n con coeficientes reales tiene solo raíces con parte real negativa?

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• Criterio de Routh - Hurwitz permite verificar si todas las raíces de un polinomio con coeficientes reales tienen parte real negativa.

Condiciones necesarias:

• Todos los coeficientes deben ser diferentes de cero.

• Todos los coeficientes deben tener el mismo signo.

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0...)( 01

1

1

asasasasD n

n

n

n

Ejemplo 14

• Determinar estabilidad BIBO de:

• Raíces con parte real positiva

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8s2ss)s(D 23

Roots = 0.5000 + 1.3229i 0.5000 - 1.3229i -1.3333 + 0.0000i


Criterio de Routh - Hurwitz :

Un sistema LIT es estable si y solo si todos los elementos de la primera columna del

arreglo de Routh son del mismo signo.

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Criterio de Routh - Hurwitz

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1n

0

5n3n1n

3n

5n3n1n

2n

5n3n1n

1n

4n2nn

n

01

2n

2n

1n

1n

n

n

hs

cccs

bbbs

aaas

aaas

0asasasasa

31

31

1

1

71

6

1

5

51

4

1

3

31

2

11

3211

1

1;

1

1)())((

nn

nn

n

n

nn

nn

n

n

nn

nn

n

n

nn

nn

nn

nnnnn

bb

aa

bc

aa

aa

ab

aa

aa

ab

aa

aa

aa

aaaab


• Existe un cero en la primera columna pero los otros elementos de la misma fila no son nulos.

• Se reemplaza el elemento nulo por un positivo pequeño, se continúa con el arreglo y después se toma el límite cuando:

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.0


• Todos los elementos de una fila son cero, o el único elemento de la fila es nulo.

• Con los coeficientes de la fila inmediatamente superior se construye la ecuación auxiliar A(s), siempre de orden par, porque sus raíces corresponden a los pares simétricos.

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• Raíces imaginarias repetidas.

• Cuando las raíces imaginarias son sencillas el sistema es marginalmente estable. Cuando hay raíces imaginarias repetidas, la respuesta del sistema contiene un término de la forma t[sen(wt+φ)] creciente con el tiempo: el sistema es inestable. En este caso el criterio no revela esta forma de inestabilidad.

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Ejemplo 15

• Determinar estabilidad BIBO de:

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1011422)( 2345 ssssssD 1ss2s2ss)s(D 2345

roots = 0.8950 + 1.4561i 0.8950 - 1.4561i -1.2407 + 1.0375i -1.2407 - 1.0375i -1.3087 + 0.0000i

roots = -1.0000 + 0.0000i 0.0000 + 1.0000i 0.0000 - 1.0000i -0.0000 + 1.0000i -0.0000 - 1.0000i

Ejemplo 16

• Para el polinomio D(s) la ganancia k es variable y mayor que cero.

• Determinar el rango de valores de K para que el sistema sea estable.

• Determinar la ganancia para la cual las raíces son imaginarias conjugadas (llamada Ku) y la frecuencia de oscilación w0 ( o wu).

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KssssD 42)( 23


• Como la estabilidad de sistemas descritos por medio de variables de estado se evalúa también a partir de la ecuación característica , el criterio de Routh-Hurwitz se puede emplear para determinar la estabilidad asintótica y marginal del sistema.

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Ejemplo 17

• Determinar estabilidad marginal y asintótica de:

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0/00

1000

0/00

0010

lg

MmgA

Estabilidad sistemas discretos

• Un sistema descrito por su secuencia impulso h(k) es BIBO estable si y sólo si:

• Como la secuencia impulso es de la forma:

• Es necesario que la magnitud de todas las raíces:

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0

)(k

kh

k

nn

kkzczczckh ...)( 2211

izi 1

Ejemplo 18

• Sea un sistema discreto estacionario con respuesta al impulso g[k] = 1/k, para k 1, y g[0] = 0. Es g[k] absolutamente sumable:

• La secuencia de la respuesta al impulso es acotada pero no

sumable, por lo tanto el sistema no es estable BIBO.

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• Las definiciones de estabilidad en el sentido de Lyapunov y asintótica son las mismas para sistemas en tiempo discreto:

• Teorema (Estabilidad Lyapunov para Sistemas Discretos).

• El sistema x[k + 1] = Ax[k] es:

• estable en el sentido de Lyapunov si y sólo si todos los valores propios de A tienen magnitud no mayor que 1, y aquellos con magnitud igual a 1 son raíces simples del polinomio característico de A.

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• Asintóticamente estable si y sólo si todos los valores propios de A tienen magnitud menor que 1.

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• Para sistemas discretos el punto de equilibrio es el vector xe

tal que:

• Puntos de equilibrio:

• Cuando la matriz (A - I) es no singular, el único equilibrio posible es el origen, xe = [0 0]T.

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exkxkx )()1(

0I)x(A

Axx

e

ee

Ejemplo 19

• Para el sistema discreto:

• Puntos de equilibrio:

• Como la matriz (A - I) es no singular, el único equilibrio posible es el origen, xe = [0 0]T.

• Los valores propios de la matriz A son λ1 = ½ y λ2 = 2. El sistema no es estable en el sentido de Lyapunov

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0I)x(A

Axx

e

ee

Estabilidad relativa

• Para un buen diseño es necesario verificar la estabilidad relativa del sistema: ¿cuál es el factor de amortiguamiento asociado a las raíces del polinomio característico?

• Un par de raíces r2, ubicadas más a la izquierda es relativamente más estable que r1: su factor de amortiguamiento es mayor y el transitorio asociado

decae más rápidamente.

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Estabilidad relativa4

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• Al analizar la respuesta en frecuencia se puede obtener parámetros importantes como el ancho de banda, y definir la estabilidad relativa por medio del margen de fase y el margen de ganancia.

• GRÁFICAS DE MAGNITUD Y FASE:

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)()(|)( jGjGsG js


• Grafica polar:

• Diagramas de magnitud y fase directos:

• Diagrama de Bode

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Ejemplo 20

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)1()(

SS

KsG

Gráfica polar


• Si corta el eje real en un valor más a la izquierda de -1+j0 el sistema es inestable, y si corta el eje real entre 0 y -1 el sistema es asintóticamente estable.

• Por lo tanto la distancia entre el punto de cruce sobre el eje real y el punto crítico -1+j0 es un indicativo de la estabilidad relativa de un sistema.

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Temas para el futuro

• Controlabilidad y Observabilidad y Controles y Sistemas Lineales

• Realizaciones: Sistemas Lineales

• Estabilidad: Controles y Sistemas Lineales

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Referencias

1. merriam-webster dictionary

2. FRANKLIN J.D; POWELL J.D, and ENAMI-NAEINI A. Feedback control of dynamic systems. 4th ed. Upper Saddle River, New Jersey : Prentice Hall, 2002.

3. DORF Richard and BISHOP Robert. Modern Control Systems. 10th Edition. Upper Saddle River: Pearson Prentice Hall. 2005.

4. SMITH Carlos A. and CORRIPIO Armando. Principles and practice of Automatic Process control 2nd Edition. New York: John Wiley and sons. 1997.

5. ZAK. S. Systems and Control. New York. Oxford University Press. 2003

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Sistemas Dinámicos - Semana 15

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