SISTEMAS DINÁMICOS: CAPITULO 4- PROPIEDADES DE SISTEMAS.

Ing. Gerardo Becerra B. M.Sc.

Propiedades de sistemas.

1. Explicar las propiedades funcionales y de comportamiento (intencional y no intencional) que surgen de un sistema. (CDIO 2.3.2.2)

2. Clasificar las interacciones externas al sistema y el impacto en el comportamiento del mismo (CDIO 2.3.1.4)

3. Explicar el sistema por su comportamiento y efectos (CDIO 2.3.1.1)

4. Identificar los factores generadores del comportamiento del sistema (CDIO 2.3.3.3)

2 GJB-May-2015

Clase 14

Contenido:

1. Definir las propiedades de controlabilidad y observabilidad.

2. Evaluar la sensibilidad de un sistema. 3. Evaluar efectos de la realimentación negativa.

3 GJB-May-2015

Temas para repasar

• Descripción de sistemas en el dominio del tiempo y la frecuencia (Circuitos en frecuencia)

• Representación matricial de transformaciones lineales; valores y vectores propios (Algebra Lineal)

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Controlabilidad y Observabilidad

• Controlabilidad y observabilidad sirven para describir la interacción entre el mundo externo (entradas y salidas) y las variables internas del sistema (estados).

5 GJB-May-2015

Controlabilidad

• La controlabilidad tiene que ver con la posibilidad de llevar al sistema de cualquier estado inicial a cualquier estado final en tiempo finito, no importando qué trayectoria se siga, o qué entrada se use.

Sistema No Controlable

6 GJB-May-2015

Controlabilidad

• Como la controlabilidad relaciona las entradas y los estados del sistema, la ecuación de salida es irrelevante y por lo tanto se habla de la controlabilidad del par (A,B)

7 GJB-May-2015

Controlabilidad

• “La ecuación de estado de un sistema es completamente controlable si existe una entrada U(t), que pueda transferir cualquier estado inicial a cualquier estado final en un tiempo finito, en caso contrario no es controlable”

• Sistema controlable si y sólo si rango C = n,

)BAABB( 1n C

8 GJB-May-2015

Observabilidad

• El concepto de observabilidad es dual al de controlabilidad, e investiga la posibilidad de estimar el estado del sistema a partir del conocimiento de la entrada y la salida.

9 GJB-May-2015

Observabilidad

• “Un sistema es completamente observable si y solo si existe un tiempo finito t, tal que el estado inicial se puede determinar a partir de las salidas y de las entradas .”

• Sistema observable si y sólo si rango Ô = n

1nCA

CA

C

O

10 GJB-May-2015

Ejemplo 4

• Evaluar controlabilidad y observabilidad:

X

XX

)24(y

u1

1

2/12/1

4/14/3

11 GJB-May-2015

Función de transferencia

• Si un sistema esta completamente caracterizado por su función de transferencia la descripción por variables de estado es controlable y observable.

• Si el sistema es controlable y observable está completamente caracterizado por G(s) y esta se puede emplear para análisis y diseño.

12 GJB-May-2015

Ejemplo 5

a

L

a

m

aa

m

m

m

t

a

E

a

a

a

iy

T

e

J

Li

J

B

J

K

L

K

L

R

i

10

10

01

• El motor DC controlado por armadura está descrito por el modelo de estado anexo: • Es controlable?

• Es observable?

• Cual es H(s)

GJB-May-2015 13

Función de Sensibilidad

• Diferentes sistemas pueden tener la misma función de sistema.

• Una realización específica puede ser mas o menos sensible a la variación de parámetros.

• La función de sensibilidad mide el impacto que tiene la variación en un parámetro del sistema sobre la función de transferencia total.

• Dependiendo del parámetro que se varíe se pueden evaluar diferentes funciones de sensibilidad.

GJB-May-2015 14

Función de Sensibilidad

GJB-May-2015 15

00

00

00

;TT

0

0

0

0

;TT

T

;TT

T

d

dT

d

TdT

TTS

S

T

parametro del porcentual Cambio

T de porcentual Cambio

Ejemplo 6

GJB-May-2015 16

Realizaciones LP:

Función de transferencia:

2

0o2

2

0

Qss

)s(T

Pasiva Activa, ganancia K

Activa, ganancia ∞

Ejemplo 6

GJB-May-2015 17

2

1s 0

elementotodo

Realimentación negativa

• Modifica significativamente: • Las características del sistema en malla

abierta.

• La respuesta en el tiempo.

• La sensibilidad a cambio de parámetros.

• El rechazo de disturbios.

• El error en estado estable.

• La respuesta en frecuencia.

• La estabilidad.

• La ganancia.

GJB-May-2015 18

Realimentación negativa y “BELL TELEPHONE”

• Telefonía usaba amplificadores a tubos, limitados por bajo ancho de banda, distorsión y ruido

• H.S. Black (1927): amplificador con realimentación negativa

• H. Nyquist (1932): teoría de estabilidad a partir de la respuesta de frecuencia

• H. Bode: establece las relaciones entre magnitud, fase y estabilidad.

19 GJB-May-2015

Análisis de sistemas realimentados

)()(1

)()(

sGsH

sGsT

( )

( )1 ( ) ( )

R sE s

G s H s

20 GJB-May-2015

La realimentación negativa reduce la ganancia

Análisis de sistemas realimentados

• En un sistema en malla cerrada con realimentación negativa, H(s) transmite el cambio que experimenta Y(s), se modifica la señal de error E(s), y se compensa la variación original de Y(s).

• La realimentación negativa reduce las variaciones en la salida Y(s) debidas a cambios en G(s).

)()(1

)(

)()(1

)(

)())()(1(

)(

)(

2

sHsG

sR

sHsG

sG

sRsHsG

sG

sY

21 GJB-May-2015

Sensibilidad: malla abierta

• Para el sistema en malla abierta T(s) = G(s):

• Todo cambio en G(s) afecta a T(s) directamente: los sistemas en malla abierta NO se pueden emplear en aplicaciones críticas.

GJB-May-2015 22

1

GG

TT

ST

G

Sensibilidad: malla cerrada • Para el sistema en malla cerrada:

• La realimentación negativa reduce la sensibilidad del sistema en malla cerrada por un factor de 1+G(s)H(S)

GJB-May-2015 23

GH1

1

]1[

])1[(2

GH

GHGH

T

G

G

T

T

GST

G

Sensibilidad

• Para cambios en el elemento de realimentación H(s):

• Cualquier cambio en los elementos de la red de realimentación H(s) afecta directamente a la función de transferencia del sistema en malla cerrada.

• Los elementos de la red de realimentación deben ser de alta calidad y estables respecto a variaciones en el ambiente, envejecimiento, temperatura, etc.

1

1

1

T

H

T

H

S

HGSi

GH

GH

H

T

T

HS

24 GJB-May-2015

Sensibilidad

• El efecto reductor de la sensibilidad producido por la realimentación negativa permite trabajar con funciones de transferencia en malla abierta G(s) construidas con componentes físicos, determinadas experimentalmente y dependiente de varios parámetros externos y reducir las variaciones de la función de transferencia en malla cerrada T(s) por medio de la realimentación negativa.

25 GJB-May-2015

Ejemplo 7

• Evaluar H (β);

• Si A=104 calcular y R2 / R1 para que la ganancia de malla cerrada sea 10.

• Si A cambia 20%() Cual es el cambio en AF

• Amplificador operacional

26 GJB-May-2015

Ubicación de polos

• Al emplear la realimentación se modifica la ubicación de los polos:

• Malla abierta • S = -1/τ

• Malla cerrada: • S = -2/τ

2

1

1

11

1

1

s

s

s

R

Y

27 GJB-May-2015

Ubicación de polos

d2,1

2

002,1

2

0o

2

2

00

2

2

0

Js

1s

0s)2(s

s)2(s)s(G

d

28 GJB-May-2015

Respuesta en el tiempo • La respuesta paso para:

30 GJB-May-2015

Al emplear la realimentación la forma de la respuesta paso se mantiene pero la velocidad de cambio aumenta y la amplitud final de y(t) se reduce.

Ubicación de polos

• Para ξ = 1 Raíces reales negativa e iguales. . Caso con amortiguamiento critico, corresponde a 2 sistemas de primer orden iguales conectados en cascada.

• Para ξ >1 Raíces reales negativa diferentes . Caso sobreamortiguado, dos sistemas de primer orden diferentes conectados en cascada.

31 GJB-May-2015

Ubicación de polos

• Para ξ = 0 Raíces imaginarias conjugadas, no hay amortiguación. Caso sin perdidas. (Oscilador).

• Para 0< ξ <1 Raíces complejas conjugadas. . Caso sub amortiguado.

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Respuesta en el tiempo: sobre amortiguado (ζ > 1) • Respuesta paso:

• Si ζ >> 1 𝑠1 ≫ 𝑠2 la exponencial decreciente asociada con s1 cae mucho más rápido que la asociada con s2 .

• s2 determina la respuesta y se considera el dominante.

• Como 𝑠2 ≈1

𝜏2 la constante

de tiempo más grande determinará la velocidad de respuesta.

)1(

)1(

2

2

2

1

nn

nn

wws

wws

33 GJB-May-2015

Respuesta en el tiempo: sub amortiguado: 0 < ζ < 1

• Respuesta paso:

2

2,1 1 nn jwws

21 nd ww

dn jwws 2,1

][cos1)1(1

11)( 2

2tsentetwsenety d

d

d

t

n

tn

34 GJB-May-2015

Respuesta en el tiempo: sub amortiguado: 0 < ζ < 1 • Tiempo de subida:

• Definición entre 10% al 90% se puede aproximar como:

• Definición entre 0 y 100%.

0.8 0.3 6.016.2

n

rt

2

21

1

1(tan

n

r

wt

35 GJB-May-2015

Respuesta en el tiempo: sub amortiguado: 0 < ζ < 1

• La respuesta excede a la entrada durante los primeros ciclos, y la medida de este sobrepaso esta dada por el “Porcentaje de sobrepaso” (overshoot):

• Tiempo para alcanzar el máximo:

• Valor máximo:

• Porcentaje de sobrepaso:

%100

F

Fp

V

VMPO

21 2

d

dn

p

Tt

epM 211

%10021

ePO

36 GJB-May-2015

Respuesta en el tiempo: sub amortiguado: 0 < ζ < 1 • El tiempo de establecimiento se toma como 4 veces la

constante de tiempo de las raíces dominantes de la ecuación característica:

• Cuando la banda del error se toma como ± 1% el tiempo de establecimiento es:

414

n

st

n

st

6.4

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Oscilatorio: ζ = 0

• Polos imaginarios conjugados

• El sistema no tiene pérdida y su respuesta es una señal seno de amplitud máxima constante y frecuencia ω0 (frecuencia natural de oscilación del sistema)

38 GJB-May-2015

Ejemplo 9

• Determinar el valor de K para que ξ = 0.5.

• Para este valor de ξ graficar la respuesta paso unitaria.

• Determinar el tiempo de subida tr , el valor máximo Mp, y el tiempo de establecimiento ts para error menor del 2% .

39 GJB-May-2015

Ejemplo 9

GJB-May-2015 40

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: GCLTime (seconds): 0.239Amplitude: 0.993

System: GCLTime (seconds): 0.359Amplitude: 1.16

System: GCLTime (seconds): 0.811Amplitude: 0.98

Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ude

Ejemplo 10

• Reducir el sistema completo a un esquema con realimentación unitaria mostrado .

• Cuál es la función de sensibilidad ? Graficar la respuesta de frecuencia. Cuál es la magnitud de la función para frecuencia cero? Qué significa?

• Evaluar la relación de amortiguamiento (ξ) y la frecuencia natural de la respuesta en malla cerrada (ωn )

41 GJB-May-2015

Ejemplo 10

GJB-May-2015 42

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10Respuesta de frecuencia Sensibilidad

a=1

a=0.5

Respuesta de frecuencia

• 1er orden, MA:

• La frecuencia de potencia media:

• En MC, con ganancia K y realimentación unitaria

1)()(

2

kjG

1)( 2

3 esdB

2)(

133

kjG dBdB

)1(

)()1(

)()1()(

3

2

3

2

22

K

Ky

K

KjG

dB

dB

))(1( 33 AbiertaMalladBdB K

43 GJB-May-2015

Respuesta de frecuencia

• Este aumento en el ancho de banda va unido a una reducción en la ganancia en baja frecuencia.

K

KjG

K

K

jG dB

1)(:lim

1)(

0

2

2

3

)1log(20log20]1

log[20: KKK

KdB

44 GJB-May-2015

Ejemplo 11

• Obtener los diagramas de BODE de magnitud y fase en MA y MC.

• El amplificador es:

rpsaKas

KA 100106

KZKZ 910100 21

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Ejemplo 11

GJB-May-2015 46

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

System: PTime (seconds): 0.00995Amplitude: 6.3e+03

Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6

x 10-5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

System: closedTime (seconds): 9.98e-06Amplitude: 6.31

Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ude

47 GJB-May-2015

Ejemplo 11

100

101

102

103

104

105

106

107

-90

-45

0

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

-20

0

20

40

60

80

System: PFrequency (rad/s): 99.1Magnitude (dB): 77

System: closedFrequency (rad/s): 1.01e+05Magnitude (dB): 17

Magnitu

de (

dB

)

Temas para el futuro

• Demostración y aplicaciones de Controlabilidad y observabilidad: Controles y Sistemas Lineales

• Aplicaciones realimentación: Controles y Electrónica

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Referencias 1. CLOSE Charles, FREDERICK Dean and NEWELL Jonathan.

Modeling and Analysis of Dynamic Systems. 3rd Edition. New York: John Wiley & Sons. 2002.

2. DORF Richard and BISHOP Robert. Modern Control Systems. 10th Edition. Upper Saddle River: Pearson Prentice Hall. 2005.

3. FRANKLIN J.D; POWELL J.D, and ENAMI-NAEINI A. Feedback control of dynamic systems. 4th ed. Upper Saddle River, New Jersey : Prentice Hall, 2002.

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