Sistemas Dinámicos - Semana 13a

SISTEMAS DINÁMICOS: CAPITULO 3: MODELOS DE SISTEMAS FÍSICOS.

Ing. Gerardo Becerra. M.Sc.

Modelos de sistemas físicos

1. Preparar y ejecutar el plan de acción para formular y resolver un modelo. (CDIO 2.1.1.4)

2. Obtener modelos conceptuales y cualitativos de diversos sistemas físicos. (CDIO 2.1.2.2)

3. Establecer las conexiones entre los fenómenos físicos y el modelo. (CDIO 2.1.2.3)

4. Usar modelos cuantitativos y soluciones. (CDIO 2.1.2.4)

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Modelos de sistemas físicos

5. Generalizar suposiciones para simplificar ambientes y sistemas complejos (CDIO 2.1.2.1)

6. Discutir una aproximación desde varias disciplinas para asegurar que el sistema se entienda desde todas las perspectivas relevantes. (CDIO 2.3.1.2)

7. Establecer prioridades dentro de las metas generales (CDIO 2.1.1.3)

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Clase 13

• Contenido 1. Describir la identificación de sistemas.

2. Encontrar experimentalmente los parámetros más significativos para la representación de un sistema.

3. Obtener información que facilita el desarrollo del modelo

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Temas para repasar

• Solución ecuaciones algebraicas (Algebra Lineal)

• Respuesta de frecuencia (Circuitos en frecuencia).

• Respuesta en el tiempo (Circuitos en frecuencia).

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Identificación

• Un buen diseño requiere un buen modelo.

• Método uno: a partir de los principios fundamentales: • Fidelidad implica complejidad

• No todos los parámetros y constantes estan disponibles

• Dispendiosos de desarrollar

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Identificación

• Método 2: obtener un modelo a partir de los datos experimentales. • Orientado a la aplicación específica

• No paramétricos: a partir de respuesta en tiempo o respuesta en frecuencia describir al sistema por una función de transferencia

• Paramétricos: empleando la estadística y los procesos estocásticos obtener los coeficientes de una ecuación diferencia o diferencial

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Identificación

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Diseño experimento

• Definición y descripción del punto o condiciones de operación

• Definición de la perturbación a aplicar

• Definición de las variables a medir,

• Definición de la duración estimada del experimento.

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Experimento

• Se debe desarrollar en estado estable

• Se debe minimizar, hasta donde sea posible, la presencia de disturbios externos.

• Si no es posible, se deben medir los disturbios más significativos

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Estructura del modelo

• Del conocimiento a priori del proceso se plantea la estructura del modelo.

• Estructura: lineal, no lineal, variables de estado etc.

• Objetivos de la identificación: verificación de parámetros, control, optimización.

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Estimación de parámetros

• Técnica gráfica: • Curva de reacción o respuesta paso. • Curvas de magnitud y fase vs. Frecuencia.

• Técnica estadística: • Aproximación de datos experimentales por

medio de regresión lineal. • Solución de ecuaciones con parámetros

desconocidos

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Evaluación

• Comparar los resultados predichos por el modelo con los datos medidos.

• Comparar con la literatura técnica

• Sopesar efecto de las suposiciones hechas.

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Verificación

• Comparar los resultados predichos por el modelo con datos no usados en el proceso de identificación.

• Se debe usar un conjunto de datos nuevo, tomado en días diferentes: esto tiene en cuenta los efectos operacionales y ambientales.

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Ecuaciones lineales

• La estructura asumida es lineal y estática

• En general se hacen m mediciones y se tienen n incógnitas o variables independientes:

mnmnmm

nn

nn

yxaxaxa

yxaxaxa

yxaxaxa

2211

22222121

11212111

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Ecuaciones algebraicas lineales

En notación matricial :

mnmnmm

n

n

y

y

y

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211

Preguntas: ¿Existe solución?

¿Cuantas soluciones existen?

¿ Que se puede hacer si no existe solución?

YAX

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• La primera pregunta se resuelve evaluando el rango de la matriz expandida:

• Si y es dependiente de las columnas de A, entonces el rango de A es igual al rango de W: (A) = (W) y y R(A).

y]|[AW

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• Si y es independiente de las columnas de A, entonces el rango de W es igual al rango de A mas uno:

(W) = (A) + 1.

(A) = (W) Existe por lo menos un solución para Ax = y.

(W) = (A) + 1 No existe solución para Ax = y.

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• Cuando los rangos son iguales puede existir una solución o un número infinito de soluciones. Todo depende de la relación entre (A) y la dimensión del espacio n o sea n.

• Si (A) = n la solución del sistema Ax = y es única: Las columnas de la matriz A son LI y A tiene inversa:

𝐴𝑋 = 𝑌 𝑋 = 𝐴−1𝑌


• Si (A) < n, menos de n columnas de A son LI: existen más columnas que las necesarias para formar una base del espacio solución y existen infinitas soluciones.

• En el planteamiento de las mediciones de un experimento, cada vez que se repite el ensayo se adiciona una ecuación lineal al sistema.

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• Los datos de un experimento se pueden tabular como:

• Cualquier error de medición o ruido hace que ρ(A) ≠ρ(W)

mmm

mmm

y

y

y

x

x

aa

aa

aa

Ax

yxaxa

yxaxa

yxaxa

2

1

2

1

21

2221

1211

2211

2222121

1212111

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• Para determinar dicha solución se define el error:

• Se buscará una solución x que minimice la mitad de la norma de e, esto es

• Hallar x tal que ½ eTe sea mínima y si existe una solución el error deberá ser cero.

Axye

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Ax)(yAx)(yeeTT

2

1

2

1

Ax))(yAx(yTTT

2

1

Ax)AxAxyyAxy(yTTTTTT

2

1

El mínimo error cuadrático:

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• Los términos centrales son iguales dado que:

• De donde:

escalaresson ademásy ( Axyy)AxTTTT

Ax)AxyA2xy(y2

1ee

TTTTTT 2

1

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El mínimo error cuadrático sería

0)22(2

1)

2

1(

AxAyAee

TTT

x

Para lo cual se necesita:

AxAyATT

y por lo tanto

yAAAxTT

opt

1)(

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• Para una resistencia lineal se obtienen la tabla siguientes en el laboratorio.

• Encontrar R: • Promedio

• Regresión lineal

Ejemplo 32

v (V) i (A) R(Ω) Error

Error cuadratico

medio

5 0,048 104,17 0,0350 1,227E-03

10 0,103 97,09 -0,0353 1,247E-03

15 0,149 100,67 0,0003 8,541E-08

100,64 1,237E-03

..\Soporte\Ejemplos\Excel\Capitulo 3 Ejemplo 32.xlsx

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../Soporte/Ejemplos/Excel/Capitulo 3 Ejemplo 32.xlsx














Ejemplo 32

• Empleando Matlab:

• Funciones polyfit y corrcoef: • p = 0.0101 -0.0010

• m = 0.0101 y b = -0.0010

• R = 0.9987

• Error cuadrático medio: 6.7500e-006

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Ejemplo 32

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16Ley de Ohm

V

Curr

ent

(mA

)

..\Soporte\Ejemplos\word\Clase 13 Ejemplo 32.doc

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../Soporte/Ejemplos/word/Clase 13 Ejemplo 32.doc














Ejemplo 32

• Evaluando matriz seudo inversa

Error cuadrático medio: 6.7500e-006

..\Soporte\Ejemplos\word\Clase 13 Ejemplo 32bis.doc

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../Soporte/Ejemplos/word/Clase 13 Ejemplo 32bis.doc














Sistemas dinámicos

• El método anterior es útil para sistemas descritos por ecuaciones algebraicas.

• Para sistemas dinámicos es necesario evaluar los parámetros de la respuesta en el dominio del tiempo o de la frecuencia.

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Curva de reacción

• La estructura es de primer orden mas tiempo muerto (FOPDT):

• Dejar que el sistema alcance el punto estable de operación.

• Introducir un cambio tipo paso en la variable de entrada al proceso.

sP deades

KsG

1)(1

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Curva de reacción

• Registrar o almacenar la salida y(t) con la suficiente resolución en amplitud y en tiempo. Se debe registrar hasta que la variable llegue a un nuevo punto estable.

• Sólo sirve para procesos auto-regulatorios: aquellos que en malla abierta alcanzan un nuevo valor estable.

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Curva de reacción: aproximación 14

U

YK ss

p

No se usa: los errores son significativos

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)1)]((1][[)()(

deadt

deadCp etUKty


Reduce el error pero depende de la pendiente en el punto de inflexión

)632.0]([)( UKY pdead

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ssdead

ssdead

yyty

yyty

|632,0)()(

|283,0)3

()(

2

1

212

21

);(2

3

;3

ttt

tt

dead

deaddead

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Ejemplo 33

Calcular el modelo 3 y evaluar el error resultante

Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ude

0 50 100 150 200 250 300 3500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

System: funcion1

Time (seconds): 23

Amplitude: 0.232

System: funcion1

Time (seconds): 45.3

Amplitude: 0.509

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Ejemplo 33

..\Soporte\Ejemplos\Puntom\Clase_13_Ejemplo_33.m

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../Soporte/Ejemplos/Puntom/Clase_13_Ejemplo_18.m










Ejemplo 33

0 50 100 150 200 250 300 3500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Respuestas paso: azul exacta - roja aprox

Time (seconds)

Am

plit

ude

Transfer function: 0.8 exp(-11.4*s) * ----------- 33.75 s + 1

Aproximada: roja – Exacta: azul

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Ejemplo 33

0 50 100 150 200 250 300-100

-80

-60

-40

-20

0

20Error cuadrático medio

mse =

4.8808e+004

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Curva de reacción

• SEGUNDO ORDEN + TIEMPO MUERTO (SOPDT)

• La prueba con entrada paso no produce suficiente información y por lo tanto se necesita una prueba tipo impulso (mayor contenido de frecuencia).

st

st

ess

KsG

ess

KsG

0

0

1)()(

)1)(1()(

21

2

21

1

21

1

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Curva de reacción

40 T

2.0p

in

Proceso debe llegar al estado estable, por lo menos

Paso casi perfecto:

CARACTERÍSTICA CONDICIONES

Magnitud de entrada Suficiente para obtener relación señal ruido > 5. Debe mantener el sistema en su rango lineal

Duración del experimento

Tipo de cambio

Estructura del Modelo Primer orden más tiempo muerto. Sirve para procesos sobre-amortiguados, autorregulados

Exactitud Altamente degradada por disturbios externos.

Diagnóstico Graficar las dos respuestas y evaluar error

Verificación Retornar la entrada al valor original y correr el experimento con otra entrada y en otro tiempo

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Método de respuesta en frecuencia5

• La función de transferencia G(s) de un sistema estable, polos del sistema con parte real negativa, o función con polo sencillo en s = 0, se puede obtener experimentalmente.

• Primera aproximación: los polos y ceros de la función de transferencia ocurren en las intersecciones de las asíntotas.

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Método de respuesta en frecuencia

• El diagrama de fase se emplea para corroborar la función de transferencia identificada a partir de las gráficas de magnitud.

• Se hacen iteraciones para refinar los parámetros.

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20

40

0

-20

1 0,1 10 100 1000 rps

dB

m= -20dB/dec

m= 0dB/dec m = -20dB/dec

Asíntota de baja frecuencia: -20dB/dec: polo en s=0 Asíntota de alta frecuencia: -20dB/dec : polo en s=100 Asíntota de media frecuencia: -20dB/dec : cero en s=1

Ejemplo 34 - Ideal

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• Función de transferencia.

• La ganancia en

)100(

)1()(

ss

sKsG

1.0

dBjj

jKjG

dB20

)100(

)1(log20)(

1.0

20log K +20-40=20 log K=2, K=100;

)100(

)1(100)(

ss

ssG

Ejemplo 34

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Ejemplo 35

Plantear una función de transferencia aproximada. En la frecuencia para la cual la magnitud es cero, el error de fase no debe ser mayor de 5º

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Ejemplo 35

26,7

20)1.022log(20)1.03,3log(20log20

20 1.0

21

2221

22

K

dBK

dBdeesmagnitudPara

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Ejemplo 35

Azul: original, Roja: estimada

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Ejemplo 35

• Para una frecuencia dada el corrimiento de fase de la función estimada es menor que el de la función original: el segundo polo se debe desplazar hacia la izquierda, por ejemplo a 18 rps.

• Es necesario recalcular la ganancia

)18)(3.3(

94.5)(

sssG

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Ejemplo 35


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Ejemplo 35

• Todavía es necesario desplazar hacia la izquierda los polos, incluyendo el de baja frecuencia.

• Ensayando con polos en 3.1 y 16.5 la nueva función de transferencia es:

)5.16)(1.3(

12.5)(

sssG

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Ejemplo 35


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Ejemplo 36

• Montaje experimental para obtener la respuesta de frecuencia.

• Generar tabla en excel.

• ..\Soporte\Ejemplos\Excel\Capitulo 3 Ejemplo 36.xls

• Leer los datos en matlab:

• [W] = xlsread('E:\Sistemas Dinamicos\Revision 2014 02\Capitulo 3\Soporte\Ejemplos\Excel\Capitulo 3 Ejemplo 36','A11:A148');

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../Soporte/Ejemplos/Excel/Capitulo 3 Ejemplo 36.xls










Ejemplo 36

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10-2

10-1

100

101

102

103

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20Bode Amplitud

10-2

10-1

100

101

102

103

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0Bode de fase

Ejemplo 36

GJB-Abr-2015 55

10-2

10-1

100

101

102

103

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20Comparacion magnitud

Rojo: aproximación, Azul: curva experimental. Correr hacia la izquierda los polos de la aproximación

Ejemplo 36

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10-2

10-1

100

101

102

103

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

X: 11Y: -180.3

Comparacion fase

Ejemplo 36

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10-2

10-1

100

101

102

103

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

X: 11Y: -22.66

Comparacion magnitud

..\Soporte\Ejemplos\Puntom\Clase_13_Ejemplo_36.m










Referencias

1. Mark L. Fowler. MATLAB Functions. 2001 2. MathWorks Inc. MATLAB Function reference

manual. 3. Devries University. Using Simulink Tutorial.

..\..\..\..\..\matlab_Doc\Simulink\Using_Matlab_Simulink.pdf.

4. SMITH Carlos A. and CORRIPIO Armando. Principles and practice of Automatic Process control 2nd Edition. New York: John Wiley and sons. 1997.

5. DORSEY John. Continuous and Discrete Control Systems. Boston: McGraw Hill. 2002.

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../../../../../matlab_Doc/Simulink/Using_Matlab_Simulink.pdf
















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