Sistemas Dinámicos - Semana 8

Introduccion Leyes de Elementos Leyes de Interconexion Ejemplos Referencias

Sistemas DinamicosCapıtulo 3 - Modelos de Sistemas Fısicos

Semana 8

Ing. Gerardo Becerra B, M.Sc.

Pontificia Universidad Javeriana

Marzo 10, 2015


Objetivos

1 Preparar y ejecutar el plan de accion para formular y resolverun modelo. (CDIO 2.1.1.4)

2 Calcular ordenes de magnitud, lımites y tendencias (CDIO2.1.3.1)

3 Obtener modelos conceptuales y cualitativos de diversossistemas fısicos. (CDIO 2.1.2.2)

4 Establecer las conexiones entre los fenomenos fısicos y elmodelo. (CDIO 2.1.2.3)

5 Usar modelos cuantitativos y soluciones. (CDIO 2.1.2.4)


Objetivos

6 Generalizar suposiciones para simplificar ambientes y sistemascomplejos (CDIO 2.1.2.1)

7 Discutir una aproximacion desde varias disciplinas paraasegurar que el sistema se entienda desde todas lasperspectivas relevantes. (CDIO 2.3.1.2)

8 Establecer prioridades dentro de las metas generales (CDIO2.1.1.3)

9 Identificar sistemas propios y sistemas con interaccion entreareas (CDIO 2.3.2.4)


Agenda

1 Introduccion

2 Leyes de ElementosInerciaFriccionRigidezTransformador

3 Leyes de InterconexionLeyes1Leyes2

4 EjemplosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3

5 Referencias


Modelos de Sistemas Mecanicos de Rotacion

Objetivos

Definir la estrategia para plantear y solucionar modelos desistemas mecanicos de rotacion.

Definir las variables y los componentes utilizados en lossistemas mecanicos de rotacion.

Definir y emplear las leyes de interconexion que describen alos sistemas mecanicos de rotacion.

Desarrollar modelos de sistemas mecanicos de rotacion.


Variables y unidades de rotacion

Variable mecanica de rotacion Unidades SI

Desplazamiento Angular, θ Radianes: [rad ]Velocidad angular, ω Radianes por segundo: [rad/s]

Aceleracion angular, α Radianes por segundo por segundo: [rad/s2]Torque, τ Newton metro: [Nm]Energıa, w Joules: [J] = [Nm]Potencia, p Watts: [W ] = [J/s]


Marco de referencia

1rpm = 1rev

min

2πrad

1rev

1min

60s= 0.105rad/s

θ = θ0 +

∫ t

0ω(t ′)dt ′, α =

dω

dt

p(t) = ω(t)τ(t)

w(t) = w(t0) +

∫ t

t0

p(λ)dλ

Siempre se asume la direccionpositiva de θ, ω, α en la mismadireccion.


Agenda

1 Introduccion




5 Referencias


Momento de inercia

Inercia: Medida de la resistencia u oposicion al cambio.

d

dt(Jω) = τ

Considerando sistemas no relativistas y momentos constantes:

Jω = τ

Energıa cinetica:

wk =1

2Jω2

Energıa potencial:wp = Mgh

Si el eje de rotacion es vertical, no hay cambio en la energıapotencial cuando el cuerpo rota.


Momento de inercia

Cilindro

Prisma regular


Momento de inercia

Disco

Esfera


Friccion

En el elemento friccion las variables de torque y velocidadangular relativa entre dos superficies estan relacionadas poruna funcion estatica

Friccion viscosa: se desarrolla entre capas de fluidos que semueven a diferentes velocidades, basica en el analisis de flujode fluidos y mecanismos lubricados.

Relacion lineal:

τ = B(ω2 − ω2) = B∆ω


Amortiguador rotacional


Rigidez

Todo elemento mecanico que se deforme cuando se somete auna fuerza externa se puede modelar por el elemento rigidez.

Se establece una relacion estatica entre una variable deesfuerzo y un desplazamiento

τ = K∆θ

Existe almacenamiento de energıa

Entrega energıa sin disipacion

Rigidez rotacional → se asocia con un resorte de torsion o conun eje flexible


Rigidez

La variable de esfuerzo es funciondel desplazamiento

θ es la posicion angulardefinida respecto a laposicion cuando el torqueaplicado es igual a cero:

τ = Ktθ

Si los dos extremos del ejese pueden mover entonces:

τ = Kt(θ2 − θ1)


Rigidez

Cuando se asume que elmomento de inercia del eje oresorte de torsion es despreciable,el torque ejercido sobre los dosextremos del elemento debe serde igual magnitud y sentidoopuesto.


Resorte

Energıa almacenada:

wp =1

2K (∆θ)2


Resorte

Se require una variable de estado para describir el estado de laenergıa en el elemento

Para determinar la respuesta dinamica se debe conocer laposicion inicial θ(t0)


Engranajes

Son el equivalente rotacional de la palanca

Se asumen engranajes ideales, J = 0, B = 0, sin energıainicial almacenada y un perfecto acople con los dientes

La relacion de engranajes es

N2

N1=

r2r1

= N


Engranajes

Las longitudes de los arcos deben ser iguales

PA′ = PB ′

θ1r1 = θ2r2

θ1

θ2=

r2r1

= N

Las direcciones positivas de los engranajes son opuestas. Delo contrario aparecerıa un signo negativo en la relacion.


Engranajes

Asumiendo J = 0:

−τ1 + r1fc = 0

τ2 + r2fc = 0τ2

τ1= − r2

r1= −N

El signo menos aparece porque los momentos se asumieron ambosexternos: valores positivos tienden a mover los engranajes en ladireccion positiva.


Engranajes

Tipo Spur

Puede tener una o masetapas

Cada etapa conformada pordos ruedas dentadas

Empleados para bajostorques

Alta eficiencia

Bajo ruido


Pinon y cremallera

Transforma movimientorotatorio y traslacional

x1 = θ2r2

Para el caso ideal (sindisipacion de energıa)

fx = τθ

τ2 = f1r2


Agenda

1 Introduccion




5 Referencias


Interconexion

Para una lamina rıgida de masa m que se mueve bajo laaccion de varias fuerzas externas contenidas en el mismoplano de la lamina, se plantean dos conjuntos de ecuaciones:una para el movimiento del centro de masa G respecto aO(x , y , z) dada por: ∑

F = ma

Otra para el movimiento de rotacion respecto a G :∑MG = HG

En el diagrama de cuerpo libre las fuerzas individuales sepueden representar por ma y Hg


Interconexion

Para cuerpos que estan rotando alrededor del mismo eje,cualquier momento o torque ejercido por un elemento sobreotro esta acompanado por un torque de reaccion de igualmagnitud y direccion opuesta.

Para cuerpos que no rotan sobre el mismo eje la magnitud delos dos torques no es necesariamente igual, como es el caso dela caja de engranajes


Ley de desplazamientos angulares

En un sistema rotatorio se pueden expresar los movimientosde algunos de los elementos en terminos de los movimientosde los otros

La suma algebraica de las diferencias de desplazamientoangular alrededor de cualquier trayectoria cerrada es cero:∑

i

∆θi = 0


Agenda

1 Introduccion




5 Referencias


Ejemplo 1

Obtener las ecuaciones de estado para el sistema de la figura.La salida es θ2.

Evaluar la funcion de transferencia θs(s)θa(s)


Ejemplo 2

La masa M esta suspendida del torno de radio R por medio de uncable flexible con una constante K2. Plantear el modelo devariables de estado. Las entradas son la fuerza externa y la masadel bloque. La variable de salida es la posicion de la masa M.


Ejemplo 3

Una bascula de gramos opera mediante un sistema de engranajes depinon y cremallera. La cremallera esta unida a la plataforma de pesado yel indicador esta unido al pinon. El movimiento de la cremallera estalimitado por guıas verticales. Se emplea un resorte para devolver laplataforma a su posicion original. Plantear el modelo de estado delsistema. Tomar como salida el angulo de giro del indicador. Asumir quela masa a pesar M1 no cambia durante el experimento.


Agenda

1 Introduccion




5 Referencias


Referencias I

[1] Matlab documentation center.http://www.mathworks.com/help/matlab/.Accessed: 2014-02-10.

[2] System Dynamics: Modeling and Simulation of MechatronicSystems.John Wiley & Sons, 2000.

[3] C. Chen.Linear System Theory and Design.Oxford series in electrical and computer engineering. OxfordUniversity Press, 1984.

[4] C. Close, D. Frederick, and J. Newell.Modeling and Analysis of Dynamic Systems.Wiley, 2001.

http://www.mathworks.com/help/matlab/


Referencias II

[5] C. Desoer and E. Kuh.Basic Circuit Theory.McGraw-Hill Education (India) Pvt Limited, 2009.

[6] R. Dorf and R. Bishop.Modern Control Systems.Pearson, 2011.

[7] C. Smith and A. Corripio.Principles and practice of automatic process control.Wiley, 2006.

[8] S. Zak.Systems and Control.Engineering & Technology. Oxford University Press, 2003.

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