SISTEMAS DINÁMICOS: CAPITULO 3: MODELOS DE SISTEMAS FÍSICOS.
Ing. Gerardo Becerra. M.Sc.
Modelos de sistemas físicos
1. Preparar y ejecutar el plan de acción para formular y resolver un modelo. (CDIO 2.1.1.4)
2. Obtener modelos conceptuales y cualitativos de diversos sistemas físicos. (CDIO 2.1.2.2)
3. Establecer las conexiones entre los fenómenos físicos y el modelo. (CDIO 2.1.2.3)
4. Usar modelos cuantitativos y soluciones. (CDIO 2.1.2.4)
GJB-Abr-2015 2
Modelos de sistemas físicos
5. Generalizar suposiciones para simplificar ambientes y sistemas complejos (CDIO 2.1.2.1)
6. Discutir una aproximación desde varias disciplinas para asegurar que el sistema se entienda desde todas las perspectivas relevantes. (CDIO 2.3.1.2)
7. Establecer prioridades dentro de las metas generales (CDIO 2.1.1.3)
GJB-Abr-2015 3
Clase 13
• Contenido 1. Describir la identificación de sistemas.
2. Encontrar experimentalmente los parámetros más significativos para la representación de un sistema.
3. Obtener información que facilita el desarrollo del modelo
GJB-Abr-2015 4
Temas para repasar
• Solución ecuaciones algebraicas (Algebra Lineal)
• Respuesta de frecuencia (Circuitos en frecuencia).
• Respuesta en el tiempo (Circuitos en frecuencia).
GJB-Abr-2015 5
Identificación
• Un buen diseño requiere un buen modelo.
• Método uno: a partir de los principios fundamentales: • Fidelidad implica complejidad
• No todos los parámetros y constantes estan disponibles
• Dispendiosos de desarrollar
GJB-Abr-2015 6
Identificación
• Método 2: obtener un modelo a partir de los datos experimentales. • Orientado a la aplicación específica
• No paramétricos: a partir de respuesta en tiempo o respuesta en frecuencia describir al sistema por una función de transferencia
• Paramétricos: empleando la estadística y los procesos estocásticos obtener los coeficientes de una ecuación diferencia o diferencial
GJB-Abr-2015 7
Identificación
GJB-Abr-2015 8
Diseño experimento
• Definición y descripción del punto o condiciones de operación
• Definición de la perturbación a aplicar
• Definición de las variables a medir,
• Definición de la duración estimada del experimento.
GJB-Abr-2015 9
Experimento
• Se debe desarrollar en estado estable
• Se debe minimizar, hasta donde sea posible, la presencia de disturbios externos.
• Si no es posible, se deben medir los disturbios más significativos
GJB-Abr-2015 10
Estructura del modelo
• Del conocimiento a priori del proceso se plantea la estructura del modelo.
• Estructura: lineal, no lineal, variables de estado etc.
• Objetivos de la identificación: verificación de parámetros, control, optimización.
GJB-Abr-2015 11
Estimación de parámetros
• Técnica gráfica: • Curva de reacción o respuesta paso. • Curvas de magnitud y fase vs. Frecuencia.
• Técnica estadística: • Aproximación de datos experimentales por
medio de regresión lineal. • Solución de ecuaciones con parámetros
desconocidos
GJB-Abr-2015 12
Evaluación
• Comparar los resultados predichos por el modelo con los datos medidos.
• Comparar con la literatura técnica
• Sopesar efecto de las suposiciones hechas.
GJB-Abr-2015 13
Verificación
• Comparar los resultados predichos por el modelo con datos no usados en el proceso de identificación.
• Se debe usar un conjunto de datos nuevo, tomado en días diferentes: esto tiene en cuenta los efectos operacionales y ambientales.
GJB-Abr-2015 14
Ecuaciones lineales
• La estructura asumida es lineal y estática
• En general se hacen m mediciones y se tienen n incógnitas o variables independientes:
mnmnmm
nn
nn
yxaxaxa
yxaxaxa
yxaxaxa
2211
22222121
11212111
GJB-Abr-2015 15
Ecuaciones algebraicas lineales
En notación matricial :
mnmnmm
n
n
y
y
y
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
Preguntas: ¿Existe solución?
¿Cuantas soluciones existen?
¿ Que se puede hacer si no existe solución?
YAX
GJB-Abr-2015 16
Ecuaciones algebraicas lineales
• La primera pregunta se resuelve evaluando el rango de la matriz expandida:
• Si y es dependiente de las columnas de A, entonces el rango de A es igual al rango de W: (A) = (W) y y R(A).
y]|[AW
GJB-Abr-2015 17
Ecuaciones algebraicas lineales
• Si y es independiente de las columnas de A, entonces el rango de W es igual al rango de A mas uno:
(W) = (A) + 1.
(A) = (W) Existe por lo menos un solución para Ax = y.
(W) = (A) + 1 No existe solución para Ax = y.
GJB-Abr-2015 18
Ecuaciones algebraicas lineales
GJB-Abr-2015 19
• Cuando los rangos son iguales puede existir una solución o un número infinito de soluciones. Todo depende de la relación entre (A) y la dimensión del espacio n o sea n.
• Si (A) = n la solución del sistema Ax = y es única: Las columnas de la matriz A son LI y A tiene inversa:
𝐴𝑋 = 𝑌 𝑋 = 𝐴−1𝑌
Ecuaciones algebraicas lineales
• Si (A) < n, menos de n columnas de A son LI: existen más columnas que las necesarias para formar una base del espacio solución y existen infinitas soluciones.
• En el planteamiento de las mediciones de un experimento, cada vez que se repite el ensayo se adiciona una ecuación lineal al sistema.
GJB-Abr-2015 20
Ecuaciones algebraicas lineales
• Los datos de un experimento se pueden tabular como:
• Cualquier error de medición o ruido hace que ρ(A) ≠ρ(W)
mmm
mmm
y
y
y
x
x
aa
aa
aa
Ax
yxaxa
yxaxa
yxaxa
2
1
2
1
21
2221
1211
2211
2222121
1212111
GJB-Abr-2015 21
Ecuaciones algebraicas lineales
• Para determinar dicha solución se define el error:
• Se buscará una solución x que minimice la mitad de la norma de e, esto es
• Hallar x tal que ½ eTe sea mínima y si existe una solución el error deberá ser cero.
Axye
GJB-Abr-2015 22
Ecuaciones algebraicas lineales
Ax)(yAx)(yeeTT
2
1
2
1
Ax))(yAx(yTTT
2
1
Ax)AxAxyyAxy(yTTTTTT
2
1
El mínimo error cuadrático:
GJB-Abr-2015 23
Ecuaciones algebraicas lineales
• Los términos centrales son iguales dado que:
• De donde:
escalaresson ademásy ( Axyy)AxTTTT
Ax)AxyA2xy(y2
1ee
TTTTTT 2
1
GJB-Abr-2015 24
Ecuaciones algebraicas lineales
El mínimo error cuadrático sería
0)22(2
1)
2
1(
AxAyAee
TTT
x
Para lo cual se necesita:
AxAyATT
y por lo tanto
yAAAxTT
opt
1)(
GJB-Abr-2015 25
• Para una resistencia lineal se obtienen la tabla siguientes en el laboratorio.
• Encontrar R: • Promedio
• Regresión lineal
Ejemplo 32
v (V) i (A) R(Ω) Error
Error cuadratico
medio
5 0,048 104,17 0,0350 1,227E-03
10 0,103 97,09 -0,0353 1,247E-03
15 0,149 100,67 0,0003 8,541E-08
100,64 1,237E-03
..\Soporte\Ejemplos\Excel\Capitulo 3 Ejemplo 32.xlsx
GJB-Abr-2015 26
Ejemplo 32
• Empleando Matlab:
• Funciones polyfit y corrcoef: • p = 0.0101 -0.0010
• m = 0.0101 y b = -0.0010
• R = 0.9987
• Error cuadrático medio: 6.7500e-006
GJB-Abr-2015 27
Ejemplo 32
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16Ley de Ohm
V
Curr
ent
(mA
)
..\Soporte\Ejemplos\word\Clase 13 Ejemplo 32.doc
GJB-Abr-2015 28
Ejemplo 32
• Evaluando matriz seudo inversa
Error cuadrático medio: 6.7500e-006
..\Soporte\Ejemplos\word\Clase 13 Ejemplo 32bis.doc
GJB-Abr-2015 29
Sistemas dinámicos
• El método anterior es útil para sistemas descritos por ecuaciones algebraicas.
• Para sistemas dinámicos es necesario evaluar los parámetros de la respuesta en el dominio del tiempo o de la frecuencia.
GJB-Abr-2015 30
Curva de reacción
• La estructura es de primer orden mas tiempo muerto (FOPDT):
• Dejar que el sistema alcance el punto estable de operación.
• Introducir un cambio tipo paso en la variable de entrada al proceso.
sP deades
KsG
1)(1
GJB-Abr-2015 31
Curva de reacción
• Registrar o almacenar la salida y(t) con la suficiente resolución en amplitud y en tiempo. Se debe registrar hasta que la variable llegue a un nuevo punto estable.
• Sólo sirve para procesos auto-regulatorios: aquellos que en malla abierta alcanzan un nuevo valor estable.
GJB-Abr-2015 32
Curva de reacción: aproximación 14
U
YK ss
p
No se usa: los errores son significativos
GJB-Abr-2015 33
)1)]((1][[)()(
deadt
deadCp etUKty
Curva de reacción: aproximación 24
Reduce el error pero depende de la pendiente en el punto de inflexión
)632.0]([)( UKY pdead
GJB-Abr-2015 34
Curva de reacción: aproximación 34
ssdead
ssdead
yyty
yyty
|632,0)()(
|283,0)3
()(
2
1
212
21
);(2
3
;3
ttt
tt
dead
deaddead
GJB-Abr-2015 35
Ejemplo 33
Calcular el modelo 3 y evaluar el error resultante
Step Response
Time (seconds)
Am
plit
ude
0 50 100 150 200 250 300 3500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
System: funcion1
Time (seconds): 23
Amplitude: 0.232
System: funcion1
Time (seconds): 45.3
Amplitude: 0.509
GJB-Abr-2015 36
Ejemplo 33
..\Soporte\Ejemplos\Puntom\Clase_13_Ejemplo_33.m
GJB-Abr-2015 37
Ejemplo 33
0 50 100 150 200 250 300 3500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Respuestas paso: azul exacta - roja aprox
Time (seconds)
Am
plit
ude
Transfer function: 0.8 exp(-11.4*s) * ----------- 33.75 s + 1
Aproximada: roja – Exacta: azul
GJB-Abr-2015 38
Ejemplo 33
0 50 100 150 200 250 300-100
-80
-60
-40
-20
0
20Error cuadrático medio
mse =
4.8808e+004
GJB-Abr-2015 39
Curva de reacción
• SEGUNDO ORDEN + TIEMPO MUERTO (SOPDT)
• La prueba con entrada paso no produce suficiente información y por lo tanto se necesita una prueba tipo impulso (mayor contenido de frecuencia).
st
st
ess
KsG
ess
KsG
0
0
1)()(
)1)(1()(
21
2
21
1
21
1
GJB-Abr-2015 40
Curva de reacción
40 T
2.0p
in
Proceso debe llegar al estado estable, por lo menos
Paso casi perfecto:
CARACTERÍSTICA CONDICIONES
Magnitud de entrada Suficiente para obtener relación señal ruido > 5. Debe mantener el sistema en su rango lineal
Duración del experimento
Tipo de cambio
Estructura del Modelo Primer orden más tiempo muerto. Sirve para procesos sobre-amortiguados, autorregulados
Exactitud Altamente degradada por disturbios externos.
Diagnóstico Graficar las dos respuestas y evaluar error
Verificación Retornar la entrada al valor original y correr el experimento con otra entrada y en otro tiempo
GJB-Abr-2015 41
Método de respuesta en frecuencia5
• La función de transferencia G(s) de un sistema estable, polos del sistema con parte real negativa, o función con polo sencillo en s = 0, se puede obtener experimentalmente.
• Primera aproximación: los polos y ceros de la función de transferencia ocurren en las intersecciones de las asíntotas.
GJB-Abr-2015 42
Método de respuesta en frecuencia
• El diagrama de fase se emplea para corroborar la función de transferencia identificada a partir de las gráficas de magnitud.
• Se hacen iteraciones para refinar los parámetros.
GJB-Abr-2015 43
20
40
0
-20
1 0,1 10 100 1000 rps
dB
m= -20dB/dec
m= 0dB/dec m = -20dB/dec
Asíntota de baja frecuencia: -20dB/dec: polo en s=0 Asíntota de alta frecuencia: -20dB/dec : polo en s=100 Asíntota de media frecuencia: -20dB/dec : cero en s=1
Ejemplo 34 - Ideal
GJB-Abr-2015 44
• Función de transferencia.
• La ganancia en
)100(
)1()(
ss
sKsG
1.0
dBjj
jKjG
dB20
)100(
)1(log20)(
1.0
20log K +20-40=20 log K=2, K=100;
)100(
)1(100)(
ss
ssG
Ejemplo 34
GJB-Abr-2015 45
Ejemplo 35
Plantear una función de transferencia aproximada. En la frecuencia para la cual la magnitud es cero, el error de fase no debe ser mayor de 5º
GJB-Abr-2015 46
Ejemplo 35
26,7
20)1.022log(20)1.03,3log(20log20
20 1.0
21
2221
22
K
dBK
dBdeesmagnitudPara
GJB-Abr-2015 47
Ejemplo 35
Azul: original, Roja: estimada
GJB-Abr-2015 48
Ejemplo 35
• Para una frecuencia dada el corrimiento de fase de la función estimada es menor que el de la función original: el segundo polo se debe desplazar hacia la izquierda, por ejemplo a 18 rps.
• Es necesario recalcular la ganancia
)18)(3.3(
94.5)(
sssG
GJB-Abr-2015 49
Ejemplo 35
Azul: original, Roja: estimada
GJB-Abr-2015 50
Ejemplo 35
• Todavía es necesario desplazar hacia la izquierda los polos, incluyendo el de baja frecuencia.
• Ensayando con polos en 3.1 y 16.5 la nueva función de transferencia es:
)5.16)(1.3(
12.5)(
sssG
GJB-Abr-2015 51
Ejemplo 35
Azul: original, Roja: estimada
GJB-Abr-2015 52
Ejemplo 36
• Montaje experimental para obtener la respuesta de frecuencia.
• Generar tabla en excel.
• ..\Soporte\Ejemplos\Excel\Capitulo 3 Ejemplo 36.xls
• Leer los datos en matlab:
• [W] = xlsread('E:\Sistemas Dinamicos\Revision 2014 02\Capitulo 3\Soporte\Ejemplos\Excel\Capitulo 3 Ejemplo 36','A11:A148');
GJB-Abr-2015 53
Ejemplo 36
GJB-Abr-2015 54
10-2
10-1
100
101
102
103
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20Bode Amplitud
10-2
10-1
100
101
102
103
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0Bode de fase
Ejemplo 36
GJB-Abr-2015 55
10-2
10-1
100
101
102
103
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20Comparacion magnitud
Rojo: aproximación, Azul: curva experimental. Correr hacia la izquierda los polos de la aproximación
Ejemplo 36
GJB-Abr-2015 56
10-2
10-1
100
101
102
103
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
X: 11Y: -180.3
Comparacion fase
Ejemplo 36
GJB-Abr-2015 57
10-2
10-1
100
101
102
103
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
X: 11Y: -22.66
Comparacion magnitud
..\Soporte\Ejemplos\Puntom\Clase_13_Ejemplo_36.m
Referencias
1. Mark L. Fowler. MATLAB Functions. 2001 2. MathWorks Inc. MATLAB Function reference
manual. 3. Devries University. Using Simulink Tutorial.
..\..\..\..\..\matlab_Doc\Simulink\Using_Matlab_Simulink.pdf.
4. SMITH Carlos A. and CORRIPIO Armando. Principles and practice of Automatic Process control 2nd Edition. New York: John Wiley and sons. 1997.
5. DORSEY John. Continuous and Discrete Control Systems. Boston: McGraw Hill. 2002.
GJB-Abr-2015 58