TEMA 1 TRIGONOMETRíA

Objetivo:

Reforzar los conceptos de trigonometría para lograr una mejor

comprensión del algebra

La trigonometría fue inventada hace mas de 2000 años por los griegos

quienes necesitaban métodos mas precisos para medir ángulos y lados de

triángulos.

La palabra trigonometría se deriva de las palabras griegas trigon

(triangulo) y metria (medición).

Tarea: Definiciones

Ángulo

Ángulo llano

Ángulo agudo

Ángulo obtuso

Ángulos complementarios

Ángulos suplementarios

Radián

Funciones trigonométricas de ángulosSon razones de los lados de un triángulo rectángulo

y dependen de un ángulo (𝜃), no del tamaño o

posición del triángulo

𝑠𝑒𝑛 𝛽 =𝐶. 𝑂

𝐻𝑖𝑝cos 𝛽 =

𝐶. 𝐴

𝐻𝑖𝑝tan 𝛽 =

𝐶. 𝑂

𝐶. 𝐴

csc 𝛽 =𝐻𝑖𝑝

𝐶. 𝑂sec 𝛽 =

𝐻𝑖𝑝

𝐶. 𝐴.cot 𝛽 =

𝐶. 𝐴.

𝐶. 𝑂

Determine las funciones trigonométricas de los

ángulos a y b𝑠𝑒𝑛 𝛽 =

𝐶. 𝑂

𝐻𝑖𝑝cos 𝛽 =

𝐶. 𝐴

𝐻𝑖𝑝tan 𝛽 =

𝐶. 𝑂

𝐶. 𝐴

csc 𝛽 =𝐻𝑖𝑝

𝐶. 𝑂sec 𝛽 =

𝐻𝑖𝑝

𝐶. 𝐴.cot 𝛽 =

𝐶. 𝐴.

𝐶. 𝑂

El monte Fuji, en Japón, mide

aproximadamente 1200ft de

altura. Un estudiante de

trigonometría, que esta a varias

millas de distancia de esta

montaña, observa que el ángulo

entre el nivel del suelo y la

cima es de 30°. Calcula la

distancia desde el estudiante

hasta un punto al nivel del

suelo, directamente debajo del

pico de la montaña.

Definición de las funciones

trigonométricas de cualquier ángulo

Sea un ángulo 𝛽 en posición estándar en un sistema de coordenadas

rectangulares, y sea P(x,y) cualquier punto fuera del origen en el lado

terminal de 𝛽.

𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2

𝑠𝑒𝑛 𝛽 =𝑦

𝑟cos 𝛽 =

𝑥

𝑟tan 𝛽 =

𝑦

𝑥𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0

csc 𝛽 =𝑟

𝑦sec 𝛽 =

𝑟

𝑥cot 𝛽 =

𝑥

𝑦𝑠𝑖 𝑦 ≠ 0

Si 𝜃 = 3𝜋2, encuentre los valores de las funciones

trigonométricas de 𝜃

P(0,-1)

𝑟 = 02 + (−1)2= 1

Signos de las funciones trigonométricas

(Tarea)

Cuadrante

que

contiene 𝜽

Funciones

positivas

Funciones

negativas

I

II

III

IV

Funciones trigométricas de

ángulos de 60°, 30°, 45° y sus

múltiplos

(1)Identidades recíprocas

csc 𝜃 =1

𝑠𝑒𝑛 𝜃sec 𝜃 =

1

cos 𝜃cot 𝜃 =

1

tan 𝜃

(1)Identidades tangente y cotangente

tan 𝜃 =𝑠𝑒𝑛 𝜃

cos 𝜃cot 𝜃 =

cos 𝜃

𝑠𝑒𝑛 𝜃

(1)Identidades pitagóricas

𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 1 + 𝑡𝑎𝑛2𝜃 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃 1 + 𝑐𝑜𝑡2𝜃 = 𝑐𝑠𝑐2𝜃

Las identidades fundamentales suelen utilizarse en la simplificación de

expresiones que comprenden funciones trigonométricas.

IDENTIDADES FUNDAMENTALES DE TRIGONOMETRÍA

Demuestra que la ecuación que sigue es una

identidad, transformando el lado izquierdo en el

lado derecho

(sec 𝜃 + tan 𝜃) 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = cos 𝜃

LI LD

Teorema del seno:Los lados de un triangulo son proporcionales a los

senos de los ángulos opuestos𝑎

𝑠𝑒𝑛 ∝=

𝑏

𝑠𝑒𝑛 𝛽=

𝑐

𝑠𝑒𝑛 𝛾

Teorema del coseno:

El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 ∗ cos 𝛼𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 ∗ cos 𝛽𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 ∗ cos 𝛾

ProblemaEn un momento dado, cuando un globo aerostático estaba directamente

arriba de una carretera recta que une a dos pueblos, los ángulos de

elevación con respecto a estos puntos eran 21.2° y 12.3°.

a) Determina las distancias del globo a cada uno de los pueblos en dicho

instante, considerando una separación de 8.45km entre los puntos

representativos de los pueblos.

b) Determina la altitud del vuelo del globo en ese momento.

Problema

Las diagonales de un paralelogramo se cortan en los

puntos medios respectivamente. Una de las diagonales

mide 8cm y la otra mide 6cm, el ángulo que se forma

entre ellos es de 50°. Encuentra la medida de los lados

del paralelogramo

Gráficas trigonométricas