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MATEMÁTICAS TECNOLOGÍA EN GESTIÓN PÚBLICA AMBIENTAL

JUAN DOMINGO MENESES

ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA

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ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA

Director HONORIO MIGUEL HENRIQUEZ PINEDO

Subdirector académico CARLOS ROBERTO CUBIDES OLARTE

Decano de pregrado JAIME ANTONIO QUICENO GUERRERO

Coordinador Nacional de A.P.T JOSÉ PLÁCIDO SILVA RUIZ

ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA JUAN DOMINGO MENESES

Bogotá D. C., agosto de 2008

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CONTENIDO

Del trabajo del tutor 1 ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES 1.1 Proposiciones 1.2 La negación de proposiciones 1.3 Negación de proposiciones cuantificadas 1.4 Clases o tipos de proposiciones 1.5 La conjunción 1.6 La disyunción 1.7 La disyunción exclusiva 1.8 El condicional y la implicación 1.9 Condiciones necesarias y suficientes 1.10 Recíproca y contrarecíproca de un condicional 1.11 El bicondicional y la doble implicación 1.12 Tautologías y contradicciones 1.13 Leyes del álgebra proposicional 1.14 Aplicaciones de las leyes del álgebra proposicional 2 ÁLGEBRA DE CONJUNTOS 2.1 Características de un conjunto 2.2 Determinación de conjuntos 2.3 Clases de conjuntos 2.4 Relaciones entre elementos y conjuntos 2.5 Operaciones entre conjuntos 2.6 Álgebra de conjuntos 2.7 Diagramas de Venn 2.8 Aplicaciones del álgebra de conjuntos 3 ÁLGEBRA DE NÚMEROS 3.1 Los números reales 3.2 La operación potenciación 3.3 Expresiones algebraicas 4 SISTEMAS GEOMÉTRICOS 4.1 Punto, línea, plano y espacio 4.2 Medidas angulares 4.3 Perímetros y áreas de algunas figuras planas

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4.4 Superficies y volúmenes de algunos 5 ÁLGEBRA DE FUNCIONES 5.1 Funciones 5.2 Sistemas de coordenadas rectangulares y gráficas de funciones 5.3 Funciones lineales 5.4 Funciones cuadráticas 5.5 Funciones exponenciales y logarítmicas 6 OPERACIONES SUPERIORES CON FUNCIONES: LÍMITES Y

DERIVADAS

6.1 El límite de una función

6.2 La derivada

6.3 Derivadas de funciones de forma potencial

6.4 Aplicaciones de la derivada. Análisis marginal.

6.5 Derivadas de productos y cocientes

6.6 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas

6.7 Técnicas de optimización con el uso de derivadas

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DE LOS NUCLEOS TEMÁTICOS Y PROBLEMÁTICOS

El plan de estudios del Programa de Tecnología en Gestión Pública Ambiental,

modalidad a Distancia, está estructurado en cuatro núcleos temáticos y en

contenidos complementarios. “-Los contenidos nucleares son aquellos ámbitos

del saber de la Gestión Pública Ambiental en los cuales se debe poseer

capacidad de problematización efectiva.-“. Son los contenidos básicos en los

que un Tecnólogo en Gestión Pública Ambiental debe formarse para ser

competente y así atender todos los requerimientos personales y profesionales

que exige su desempeño. Esto también exige la organización básica de la

comunidad académica de la ESAP, integrada por investigadores, docentes,

egresados y estudiantes que se integran en torno a la investigación, la

docencia y la proyección social, en un campo del saber de la gestión pública

ambiental.1

1 Tomado de la propuesta de acuerdo Por medio del cual se crean y organizan los Núcleos Académicos de la ESAP. Por El Consejo Académico Nacional de la ESAP.

Formación Humanística

y Cuantitativa

TECNOLOGÍA EN GESTIÓN

PÚBLICA AMBIENTAL

Gestión del Desarrollo Ambiental Territorial

Organizaciones Públicas y

Gestión Ambiental

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EL TRABAJO DEL TUTOR El tutor tendrá libertad de cátedra en cuanto a su posición teórica o ideológica frente a los contenidos del módulo, pero el desarrollo de los contenidos de los módulos son de obligatorio cumplimiento por parte de los tutores. Los Tutores podrán complementar los módulos con lecturas adicionales, pero lo obligatorio para el estudiante frente a la evaluación del aprendizaje son los contenidos de los módulos; es decir, la evaluación del aprendizaje deberá contemplar únicamente los contenidos de los módulos. Así mismo, la evaluación del Tutor deberá diseñarse para dar cuenta del cubrimiento de los contenidos del módulo. El Tutor debe diseñar, planear y programar con suficiente anticipación las actividades de aprendizaje y los contenidos a desarrollar en cada sesión de tutoría (incluyendo la primera), y diseñar las actividades para todas las sesiones (una sesión es de cuatro horas tutoriales). También debe diseñar las estrategias de evaluación del trabajo estudiante que le permita hacer seguimiento del proceso de autoaprendizaje del estudiante. Los módulos (asignaturas) de TGPA son de dos créditos (16 horas de tutoría grupal presencial por crédito para un total de 32 horas), tres créditos (48 horas de tutoría grupal presencial) y de 4 créditos (64 horas de tutoría grupal presencial, distribuidas así:

MÓDULO DE MATEMÁTICAS (4 créditos) No.

Créditos Horas por

crédito Total horas

Tutoría Grupal

No. de

sesiones

Horas por

sesión

No. mínimo de encuentros tutoriales*

No. max. sesiones

por encuentro

2 16 32 8 4 2 8 3 16 48 12 4 3 12 4 16 64 16 4 4 16

* El número de encuentros se programara de acuerdo con las distancias y costos de transporte de la Sede Territorial al CETAP, por ejemplo para los casos de los CETAP de Leticia, San Andrés, Mitú, Puerto Inírida y Puerto Carreño, se podrán programar un mínimo de dos encuentros para un módulo de 2 Créditos (16 horas por encuentro), tres encuentros para un módulo de 3 créditos y cuatro encuentros para un módulo de 4 créditos. Encuentro: número de veces que se desplaza un Tutor a un CETAP para desarrollar un módulo. Sesión: número de horas por cada actividad tutorial, por ejemplo: 8-12 a.m., 2-6 p.m., 6-10 p.m.

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MATEMÁTICAS

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OBJETIVOS GENERALES

• Aprehender en los estudiantes la fundamentación matemática necesaria para la toma de decisiones, planificación y solución de problemas administrativos a través del planteamiento y construcción de modelos cuantitativos y así formar al estudiante con la capacidad de resolver situaciones problemáticas de tipo ecológico, ambiental, social y cultural.

• Ofrecer al estudiante el conocimiento de las herramientas y técnicas

cuantitativas bajo el contexto matemático para su aplicación en situaciones económico - administrativas que involucren: procesos de maximización o minimización de una cantidad variable, análisis gráfico, razones de cambio, oferta, demanda y demás conceptos que sean de naturaleza esencialmente cuantitativa.

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UNIDAD I

ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES Y DE CONJUNTOS

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LECCION 1. ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

INTRODUCCIÓN: La Lógica Matemática: Para llegar a ser precisos y exactos. Para expresar ideas, el hombre a lo largo de la historia se ha valido de signos ya sean orales o escritos, que eran característicos de cada civilización o cultura, por tanto este lenguaje corriente se prestaba para varias interpretaciones y para conclusiones confusas. Este fue uno de los obstáculos con los que se encontró la matemática, y las ciencias en general, por tanto fue necesario construir un lenguaje que fuera claro, y que permitiera la exactitud en las ideas y conceptos. En el caso de la matemática ésta debe su evolución al desarrollo de la teoría de conjuntos de George Cantor, y podemos afirmar que su desarrollo se basa en dos aspectos fundamentales, un lenguaje conjuntista y una fundamentación axiomática. Por ello, es importante comprender que la lógica matemática nos permite crear un vocabulario preciso para expresarnos en nuestro propio lenguaje; en el lenguaje ordinario suelen presentarse ambigüedades, confusiones, círculos viciosos en la explicación de la interpretación de las palabras y éstas tienen a la vez varios significados. Con la ayuda de la lógica matemática se pueden construir proposiciones que nos enseñarán a razonar de manera precisa y nos permitirán evaluar el concepto de verdad para que un argumento o juicio pueda ser valorado como cierto o falso. OBJETIVOS:

• General:

El propósito de esta lección es definir una proposición como un objeto matemático y mostrar los conectores lógicos como operadores que permiten realizar la combinación de proposiciones. Explicaremos el concepto de tablas de verdad y daremos reglas para conocer la forma en que se deben asignar los valores de verdad a las proposiciones compuestas.

• Específicos: 1. Reconocer cuando un enunciado es o no una proposición. 2. Diferenciar los conceptos de proposición simple o atómica y compuesta o

molecular.

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ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

Objeto Matemático

PROPOSICION

Se clasifican

SIMPLES COMPUESTAS

CUANTIFICADAS

Valores de verdad

FALSO VERDADERO

SISTEMA MATEMÁTICO

Se realizan

Se establecen

Se reglamentan

OPERACIONESPROPIEDADES

RELACIONES

NEGACIÓN CONGUNCIÓN DISYUNCIÓN

CONDICIONAL

TABLAS DE VERDAD

LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL

RESULTADOS APLICACIONES

IMPLICACIÓN DOBLE IMPLICACIÓN

RECÍPROCA CONTRARECÍPROCA

Tales como

Que generan

Conllevan a

Nacen

Crea

Conllevan a

Conllevan a

3. Identificar los conectores lógicos y construir las tablas de verdad de las proposiciones compuestas.

IDEAS CLAVE:

Una proposición es un enunciado u oración gramatical que tiene una forma lógica y expresa un sentido completo.

Los conectores lógicos permiten armar proposiciones compuestas y definen las operaciones de la lógica proposicional.

La lógica proposicional tiene como finalidad analizar un razonamiento utilizando un lenguaje simbólico montado en el concepto de variable proposicional, utilizando conectores lógicos y fórmulas proposicionales.

Las tablas de verdad permiten hallar todos los posibles valores de verdad de una proposición compuesta.

Las tautologías son fórmulas proposicionales que son siempre verdaderas para cualquier combinación de valores de verdad de las proposiciones simples o compuestas que la conformen.

Las proposiciones satisfacen leyes e identidades y se habla entonces de álgebra de proposiciones.

MAPA CONCEPTUAL

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SITUACIÓN PROBLEMÁTICA El problema del reo: “En un determinado país donde la ejecución de un condenado a muerte solamente puede hacerse mediante la horca o la silla eléctrica, se da la situación siguiente, que permite a un cierto condenado librarse de ser ejecutado. Llega el momento de la ejecución y sus verdugos le piden que hable, y le manifiestan: "Si dices una verdad, te mataremos en la horca, y si mientes te mataremos en la silla eléctrica". El preso hace entonces una afirmación que deja a los verdugos tan perplejos que no pueden, sin contradecirse, matar al preso ni en la horca, ni en la silla eléctrica. ¿Qué es lo que dijo el reo? La canasta de los huevos: “A la señora se le cayó al suelo la cesta de los huevos, y alguien quería saber cuántos huevos había en la cesta. - ¿Cuántos huevos llevaba? - le preguntaron. - No lo sé, recuerdo que al contarlos en grupos de 2, 3, 4 y 5, sobraban 1, 2, 3 y 4 respectivamente.” El caso del preso: “A un desdichado prisionero -custodiado día y noche por dos terribles guardianes-, metido en una celda que tiene dos puertas, es informado por el alcaide de la prisión que una de esas dos puertas le conducirá a la libertad y la otra a la muerte. El alcaide le da la oportunidad de averiguarlo haciendo una única pregunta a cada uno de sus dos terribles guardianes. Y se le advierte también que de los dos guardianes hay uno, no sabe cual, que miente siempre, mientras que el otro guardián dice la verdad siempre. El prisionero, con una sola pregunta, a uno cualquiera de sus dos guardianes, podrá saber con seguridad cuál es la puerta que le llevará a la libertad.” ¿Qué pregunta podría hacer para saber con seguridad cual es la puerta que no le llevará a la muerte? Un caso de políticos “Cierta convención reunía a cien políticos. Cada político era o bien deshonesto o bien honesto. Se dan los datos: a) Al menos uno de los políticos era honesto. b) Dado cualquier par de políticos, al menos uno de los dos era deshonesto.”

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¿Puede determinarse partiendo de estos dos datos cuántos políticos eran honestos y cuántos deshonestos?

Los diferentes tipos de Lógica

“Podemos clasificar los tipos de lógica desde dos puntos de vista, la lógica clásica y la moderna. Sin embargo dicha clasificación sólo sirve para efectos históricos, de ahí que mejor proponemos dividir, los distintos tipos de lógica, respecto a los objetos que trata. La Lógica Formal es conocida también como lógica clásica o aristotélica. Se imputa al filósofo ARISTÓTELES ser el creador de la misma, aunque ya existían antecedentes en PARMÉNIDES y ZELEO.. Así mismo con el paso del tiempo, con la evolución de algunas corrientes matemáticas, específicamente las aportaciones realizadas por los matemáticos EULER y BOOLE al álgebra, se da inicio a la Lógica Moderna, Matemática, Simbólica o Logística. De esta lógica moderna, se desprende la semiótica, lógica deóntica, modal, cuantificacional y proposicional. La Semiótica es la lógica de los símbolos y se divide en tres partes: sintaxis, semántica y pragmática. La primera trata de las relaciones de los símbolos entre si, prescindiendo de su contenido. La segunda trata de las relaciones entre el símbolo y lo que significa. La tercera trata de las relaciones entre el símbolo y el sujeto que lo utiliza. La lógica deóntica se formaliza a través de conceptos relacionados con el deber. Este tipo de lógica se utiliza en el Derecho, infiriéndose del mismo, la denominada lógica de las normas. La lógica modal lo hace en los conceptos de necesidad y posibilidad. La lógica de clases relaciona conceptos con propiedades (sujeto y predicado), estudia además las implicaciones de unas clases con otras, las cuales suelen ser representadas gráficamente mediante círculos (mejor conocidos como diagramas de Venn) empleando la denominada “álgebra booleana”. La lógica cuantificacional que estudia de manera más detallada los predicados a través del uso de cuantificadores que expresan cantidad (todos ∀ o algunos ∃ ). La lógica proposicional analiza los razonamientos formalmente válidos partiendo de proposiciones y conectivas proposicionales (operadores lógicos). Esta lógica simbólica, de la que nos estamos refiriendo, emplea un lenguaje artificial en la que simboliza las proposiciones generalmente con las letras p, q, r, s, t utilizando de operadores lógicos, también llamados conectores, para poder construir fórmulas operando sobre las variables proposicionales y las proposiciones complejas.

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Finalmente existe otro tipo de lógica que es la dialéctica, aunque ésta no la podemos considerar como integrante de la lógica moderna, toda vez que la misma no tiene un contenido formal, sino ideológico; ni es “pasiva” como la lógica formal, sino que es activa, al obtener principios racionales a través de la interpretación de la historia, utilizando como su estructura en su discurso, la tesis, seguida de la antítesis y su respectiva conclusión denominada síntesis; teniendo sus antecedentes desde los griegos con SÓCRATES y PLATÓN quienes la concibieron como una técnica de discusión y de obtención de conclusiones, siendo la misma también estudiada y empleada por algunos filósofos como KANT, HEGEL, MARX, entre otros más.”

Tomado de la página WEB: www.tuobra.unam.mx DESARROLLO DE CONTENIDOS 1.1 Proposiciones: Las Proposiciones desde el Lenguaje Cotidiano Una proposición es un enunciado con sentido completo al que solamente se le puede asignar un valor de verdad, que puede ser verdadero o falso, pero no los dos a la vez, es decir una proposición es un enunciado que carece de ambigüedad. Falso o Verdadero se denominan valores de verdad y son los que se le asignan a una proposición. Es decir, cada proposición tiene un único valor de verdad, o es falsa o es verdadera. Ejemplos: 1. Hoy es domingo. 2. 2 es par y primo. 3. 2 es irracional. 4. Existe una cantidad infinita de números primos. 5. García Márquez es latinoamericano. Son enunciados que claramente se pueden calificar de verdaderos o falsos según sea el caso. Por el contrario los enunciados: 1. La filosofía es una ciencia amarilla. 2. Un cuadrado está formado por cuatro líneas y cuatro ángulos. 3. .206 =+x Son enunciados sin sentido completo, a los que no se les puede asignar con certeza un valor de verdad y por tanto no son proposiciones. Como en el lenguaje común las proposiciones pueden ser cortas o extensas, es conveniente utilizar símbolos para representarlas y así evitar las dificultades que se presentan en su manipulación. Utilizaremos las letras minúsculas, más

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comúnmente p, q, r y s, pero puede utilizarse cualquier otra letra para representar las proposiciones. Actividad: Diga si los siguientes enunciados son proposiones matemáticas: 1. La ecuación 123 =x tiene exactamente una solución. 2. La ecuación 42 =x tiene exactamente tres soluciones. 3. Las personas menores de 21 años no pueden consumir alcohol. 4. Todos los hombres son mortales. 5. Para cualquier número x , se cumple que .012 >+x 6. Todas las personas aman a los demás. 7. Mañana lloverá todo el día. 8. La política es una ciencia. 9. En un círculo, la longitud de la circunferencia es π el diámetro. 10. xyyx +=+ 1.2 La Negación de Proposiciones: Negar una proposición significa cambiarle su valor de verdad original para darle un sentido contrario, es decir; por la negación de la proposición p entendemos una proposición, escrita a veces “no p”, que es falsa si p es cierta, y que es verdadera si p es falsa. Cuando una proposición es falsa la simbolizaremos con la letra F y si es verdadera con la letra V. Para negar una proposición se usa el símbolo “⌐” antes de la proposición. Ejemplo: - Sea p: 19 es múltiplo de 6, es falsa. ⌐ p: 19 no es múltiplo de 6, es verdadera. - Sea q: 12 es divisor de 24, es verdadera.

⌐ q: 12 no es divisor de 24, es falsa. - Sea r: El problema social ya está resuelto. ⌐ r: es falso que el problema social ya esté resuelto. - Sea t: El calentamiento global afecta el equilibrio ecológico.

⌐ t: No es cierto que el calentamiento global afecte el equilibrio ecológico.

Tabla de verdad para la negación:

Importante: Una tabla de verdad es un método que nos permite hallar todos los posibles valores de verdad de una combinación de proposiciones o de una proposición simple, para ello se colocan todas las posibilidades de certeza o falsedad a manera de tabla. A continuación vemos la tabla de verdad para la negación de una proposición simple:

p ⌐ p

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V F F V

Definición de importancia: Una variable es un símbolo, generalmente una letra del alfabeto, que se puede remplazar o sustituir por cualquier elemento de un conjunto dado. Un ejemplo es el caso del juego de parqués. Cuando hacemos el lanzamiento de los dos dados, no sabemos exactamente cuál número va a salir pero sí conocemos el conjunto de números que pueden salir, el conjunto de números naturales del 2 hasta el 12. Si estamos jugando parqués y queremos expresarnos en lenguaje matemático, diremos: “sea x el número que salga en el siguiente lanzamiento”. Una fórmula es una expresión que está conformada por un número contable de variables conectadas o enlazadas por medio de operaciones y relaciones. Para el caso de la lógica matemática, las variables representan una proposición matemática cualquiera y las operaciones son los conectores lógicos: conjunción, disyunción, negación y condicional. La fórmula la llamaremos fórmula proposicional y esta se convierte en proposición cuando se sustituyen las variables por proposiciones específicas. En las fórmulas proposicionales, las proposiciones se simbolizan como ),(xp ),(xq )(xr , etc. Cuantificadores Cuando la frase es abierta, es decir, si no podemos determinar en su valor de verdad, se antepone un cuantificador que la convierte en proposición. Un cuantificador es una constante que indica la cantidad de elementos de una determinada categoría que son afectados por la expresión. Hay dos clases de cuantificadores: el universal y el existencial, que corresponden a anteponer a la frase abierta: Para todo (conocido como cuantificador universal), se simboliza por ∀ y se lee: para todos, todos o cualquiera. Expresa que la proposición es verdadera para todos los valores de la variable.

Existe un… tal que… (conocido como cuantificador existencial). Se simboliza por∃ y se lee: existe, algún o hay. Expresa que la proposición es verdadera para al menos un valor de la variable Ejemplos: Si denotamos P al conjunto de todos los números primos, la proposición “todos los números primos son impares”, se escribe simbólicamente:

• “ ∈∀x P, x es número impar”, o, )(, xpx∀ Igualmente, la proposición “existe un número primo par”

• “ ∈∃x P, x es un número par”, o, )(, xpx∃

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1.3 Negación de Proposiciones Cuantificadas: Negar que para todo x se cumple p(x) es equivalente a decir que existe un x que no cumple p(x):

))(,())(,( xpxxpx ¬∃⇔∀¬ Negar que exista un x que cumple p(x) es equivalente a decir que para todo x no se cumple p(x):

))(,())(,( xpxxpx ¬∀⇔∃¬ Ejemplo:

45 =+x No es una proposición porque no está claro su valor de verdad; sin embargo, “existe un x tal que 45 =+x ” si es una proposición. Las proposiciones que están enunciadas con un cuantificador, se niegan utilizando otro cuantificador. Así: p: Todos los números racionales son enteros (F) ⌐ p: Existe al menos un número racional que no es entero. (V) q: Algún número par es divisible por 3 (V) ⌐q: Ningún número par es no divisible por 3 (F) Nos damos cuenta que cuando la proposición se enuncia con el cuantificador universal se niega con el existencial, y cuando se afirma con el existencial se niega con el universal, pero se utiliza “ningún” en lugar de “todos no”, ya que ésta última no tiene un significado preciso. Actividad: 1. Diga cuál es la proposición verdadera: a) ∀ número real x , .3 xx = b) ∃ un número real x , tal que .3 xx = 2. Identifique los siguientes enunciados como proposiciones universales,

existenciales o ninguna. a) Existe un ave x , tal que x no puede volar. b) Para todo río y de Suramérica, y desemboca en el río Amazonas. c) Bogotá es la ciudad capital de Colombia. 3. La siguiente proposición es verdadera: ∀ número m y n ,

.2)( 222 nmnmnm ++=+ Compruebe el resultado asumiendo que 12=m y 8=n .

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4. Encuentre un caso o ejemplo que muestre que la siguiente proposición es falsa: ∀ todo número real x , .23 xx >

5. Considere la expresión 22 xx > . Encuentre al menos dos valores para x que

hagan que el enunciado sea verdadero y al menos dos valores que hagan que el enunciado sea falso.

6. Identifique una propiedad que sea verdadera para todos los estudiantes de su

clase y escríbala en forma de proposición universal. 7. Identifique una propiedad que sea verdadera para algunos estudiantes de su

clase y escríbala en forma de proposición existencial. 8. Considere el siguiente enunciado: Existe un número par que es primo. Escriba

el enunciado en cada una de las siguientes formas: a) ∃ _______ x tal que _______ b) Algún ______________ es ______________ c) Al menos un __________ es _______________ 9. Considere el siguiente enunciado: Para todo cuadrado Q, q es un rectángulo.

Escriba el enunciado en cada una de las siguientes formas: a) ∀ ___________ Q, ____________ b) Todo __________ es __________ c) Cada ___________ es un ________ 10. Encuentre un caso o ejemplo que muestre que el siguiente enunciado es falso:

Para todo número real a existe otro número real b , tal que .1* =ba Ejercicios para resolver como autoevaluación: 1. Escriba la negación de las siguientes proposiciones y establezca su valor de verdad: a) Gané el examen. b) No gané el examen. c) No es cierto que hoy es miércoles. d) Julián está en quinto semestre. e) Cuatro es menor que 6. f) Existe un número natural tal que 21 −=+x g) Todos los paralelogramos son cuadriláteros. h) Para todo número real se cumple que 12)1( 22 ++=+ xxx i) Todos los perros son cachorros. j) Algún perro es cachorro. k) Ningún perro es cachorro. l) Algún libro es bueno. m) Ningún libro es bueno. n) Toda persona puede conducir un carro. o) Toda persona mayor de 18 años puede legalmente consumir alcohol. p) Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto.

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2. Escriba en forma simbólica dando el valor de verdad respectivo para: a) Todos los días llueve. b) Nunca hace calor. c) Todo número natural es positivo. d) Algunos números son negativos. e) Existe un número neutro. 1.4 Clases o Tipos de Proposiciones:

En matemáticas se consideran dos tipos de proposiciones, las proposiciones simples o atómicas y las proposiciones compuestas o moleculares. A continuación encontrará una lista de proposiciones, trate de determinar cuáles son simples, cuáles son compuestas y asígneles su valor de verdad.

Actividad: 1. El calentamiento global incide en las catástrofes actuales. 2. Colombia es un país democrático. 3. Los niños de Colombia reciben buena educación y excelente alimentación. 4. Si estudio una carrera entonces puedo tener un buen empleo. 5. Hoy puedo ir a camping o puedo ir a bailar. 6. O estudio para el examen o pierdo el semestre. 7. Los países de Suramérica son muy desarrollados. 8. Si llueve entonces se congestiona el tránsito de la ciudad.

Es muy probable que haya respondido que las proposiciones 1, 2 y 7 son proposiciones simples, mientras que las proposiciones 3, 4, 5, 6 y 8 son compuestas.

Piensa un minuto: ¿cuál es la diferencia entre las unas y las otras? Podemos formar proposiciones compuestas a partir de dos proposiciones simples así: Proposiciones simples:

- Voy a presentar examen de admisión en la Universidad Nacional. - Voy a aplicar para la Universidad de los Andes.

Proposición Compuesta:

- Voy a presentar examen de admisión en la Universidad Nacional o en la Universidad de los Andes.

Proposiciones simples:

- Voy a estudiar danza moderna. - Quiero pertenecer a un ballet de talla internacional.

Proposición Compuesta:

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- Si estudio danza moderna entonces puedo pertenecer a un ballet de talla internacional. Proposiciones simples:

- Hoy quiero comer en Monserrate. - Hoy quiero asistir a misa.

Proposición Compuesta:

- Hoy quiero asistir a misa y comer en Monserrate. Son proposiciones simples o atómicas, en el sentido de que son las más elementales o básicas. Por tanto, podemos definir proposición compuesta como aquella que está formada por dos o más proposiciones simples, ligadas mediante un conector o partícula de enlace. Se utilizan generalmente como términos de enlace o conectores lógicos las palabras “ y ”, “o ”, y “si…, entonces…”

Recomendación: Antes de comenzar a estudiar detalladamente las proposiciones compuestas, recordemos lo siguiente:

1. Para determinar las proposiciones, usualmente se utilizan las letras p, q, r, s, t,…

2. Para determinar el valor de verdad de una proposición se utiliza V o F

según sean verdaderas o falsas.

3. Para una proposición simple p, sólo hay dos posibilidades: (1) p: V; (2) p: F; es decir 21 posibilidades lógicas.

4. Si la proposición es compuesta, ésta se analiza de acuerdo al número de

proposiciones simples que la conforman. Para entenderlo mejor, vamos a estudiar los siguientes ejemplos y al final hacemos una generalización:

• Si son dos las proposiciones, por ejemplo p y q, las posibilidades

lógicas serían: p q V V V F F V F F

Es decir: 22 = 4 posibilidades lógicas. • Si son tres las proposiciones, por ejemplo p, q, y r, las posibilidades

lógicas: p q r

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V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

Es decir: 23 = 8 posibilidades lógicas.

• En forma general, si el número de proposiciones simples que

intervienen en una proposición compuesta es “n”, entonces el número de posibilidades lógicas está dado por 2n.

5. Los símbolos empleados en el lenguaje corriente para relacionar o conectar

proposiciones son:

Lenguaje Gramatical Símbolo Lógico y Λ O V

O exclusiva v Condicional → Implicación ⇒

Bicondicional ↔ Equivalencia ⇔

1.5 La Conjunción: Sean p y q dos proposiciones. Por su conjunción entendemos la proposición “p Λ q”. La conjunción “p y q” es verdadera si y solamente si las proposiciones p y q son simultáneamente verdaderas.

Conclusión: La conjunción es una proposición compuesta formada por dos proposiciones simples unidas mediante el conector lógico Λ, que solamente es verdadera cuando las dos proposiciones simples que la forman son simultáneamente verdaderas. Vamos analizar por medio de ejemplos diferentes casos para construir una tabla de valores para la conjunción. - Sean p: 10 es múltiplo de 2 y q: 10 es múltiplo de 5, dos proposiciones. La conjunción p Λ q: 10 es múltiplo de 2 y 10 es múltiplo de 5, es verdadera puesto que simultáneamente las dos proposiciones son verdaderas. Si p: V y q: V La conjunción p Λ q: V - Sean p: 10 no es múltiplo de 2 y q: 10 es múltiplo de 5, dos proposiciones.

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La conjunción p Λ q: 10 no es múltiplo de 2 y 10 es múltiplo de 5 es falsa, ya que al considerarlas las dos proposiciones simultáneamente, una de ellas no es verdadera. Si p: F y q: V La conjunción p Λ q: F Es decir que independientemente del orden de las proposiciones, si una de las dos no es verdadera, al considerarlas simultáneamente la conjunción es falsa. - Sean p: 10 no es múltiplo de 2 y q: 10 no es múltiplo de 5, dos proposiciones. La conjunción p Λ q: 10 no es múltiplo de 2 y 10 no es múltiplo de 5 es falsa, ya que ninguna de las dos proposiciones es verdadera. Si p: F y q: F La conjunción p Λ q: F Por lo tanto la tabla de verdad para la conjunción es:

p q p Λ q V V V V F F F V F F F F

Ejercicios para resolver como autoevaluación:

1. Escribir los siguientes enunciados en forma simbólica, determinando cuáles de ellos son proposiciones simples, cuáles compuestas y cuáles no son proposiciones. a) París está en Inglaterra. b) 2 + 3 = 7 c) ¡Qué calor! d) Voy a cine o voy a caminar e) 2 es un número primo y 2 es par f) 2 es primo o es impar g) Si haces las tareas entonces puedes ir a cine h) 15 es múltiplo de 10 o de 5. i) Picasso era español y García Márquez es venezolano. j) 7 es divisor de 56.

2. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) p: 3 es divisor de 24. b) q: 3 es un número primo. c) r: Las rectas paralelas se intersecan. d) s: 5 es múltiplo de 10. e) t: La suma de los ángulos internos de un triángulo es 1900. f) u: El teorema de Pitágoras se aplica a todo triángulo.

3. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:

a) 3 es divisor de 24 y las rectas paralelas se intersecan. b) 3 es primo y 4 es divisor de 10. c) 7 es divisor de 56 y 10 es múltiplo de 4. d) 5 no es múltiplo de 4 y 3 es primo.

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e) La suma de los ángulos internos de un triángulo es 1800 y 2 no es múltiplo de 4.

4. Hallar el valor de verdad de las conjunciones que se forman con las

proposiciones del punto 2 a) p Λ ⌐q b) r Λ s c) ⌐t Λ u d) p Λ ⌐t e) ⌐u Λ ⌐q

1.6 La Disyunción: Sean p y q dos proposiciones. Por su disyunción entendemos la proposición “p V q”. La disyunción “p o q” es verdadera si por lo menos una de las dos proposiciones p o q es verdadera. Este conector se utiliza cuando se pueden considerar aisladamente las dos proposiciones, lo cual incide en la determinación del valor de verdad de una disyunción. Consideremos situaciones con diferentes ejemplos, para construir la tabla de verdad, al igual que lo hicimos con la conjunción. - Sean p: 3 es un número primo y q: 2 es un número primo par, dos proposiciones. La disyunción p V q: 3 es un número primo o 2 es un número primo par, es verdadera puesto que las dos proposiciones son verdaderas. Si p: V y q: V la disyunción p V q: V - Sean p: 3 no es un número primo y q: 2 es un número primo par, dos proposiciones. La disyunción p V q: 3 no es un número primo o 2 es un número primo par, es verdadera puesto que una de las dos proposiciones es verdadera. Si p: F y q: V la disyunción p V q: V

Conclusión: El orden en que se tomen las proposiciones es independiente para establecer el valor de la disyunción, basta con que una de las dos proporciones sea verdadera para que al considerar el valor de verdad de la disyunción esta sea verdadera. - Sean p: 3 no es un número primo y q: 2 no es un número primo par, dos proposiciones. La disyunción p V q: 3 no es un número primo o 2 no es un número primo par, es falsa puesto que las dos proposiciones a escoger son falsas. Si p: F y q: F la disyunción p V q: F Por tanto la tabla de verdad para la disyunción es:

p q p V q V V V V F V

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F V V F F F

Ejercicios para resolver como autoevaluación: 1. Asignar el valor de verdad a las siguientes proposiciones: a) 3 es primo o 5 es múltiplo de 2. b) El sol es un planeta o la luna un satélite. c) Todo número racional es entero o todo entero es real. d) 10 es divisor de 20 o 5 es múltiplo de 10. e) 24 es el cuadrado 12 o 27 es el cubo de 3. 2. Asignar el valor de verdad a las siguientes proposiciones: a) p: 3 es divisor de 15. b) q: 25 es el cuadrado de -5. c) r: Todo primo es par. d) s: 7 es múltiplo de 3. e) t: 4 es divisor 36. f) u: 12 es múltiplo de 6. 3. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones, construidas con las proposiciones del punto anterior: a) p V r. b) t V q. c) ⌐ r V t d) s V t. e) u V ⌐ p. f) ⌐ t V ⌐ u. 1.7 La Disyunción Exclusiva: Veamos algunos ejemplos que nos permitan establecer el uso de este conector lógico cuyo símbolo es: v Ejemplo:

- Sea p: Este diciembre iré a Canadá q: Este diciembre estudiaré en Bogotá. p v q: Este diciembre o iré a Canadá o estudiaré en Bogotá.

Podemos concluir que es imposible estar en las dos ciudades a la vez, lo que nos sugiere que la disyunción exclusiva es verdadera solamente cuando las dos proposiciones tienen valores contrarios; ya que el cumplimiento de una de ellas excluye la veracidad de la otra, por tanto su tabla de verdad será:

p q p v q V V F V F V F V V F F F

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1.8 El Condicional y la Implicación: Con mucha frecuencia nos encontramos con proposiciones de la siguiente forma:

1. Si estudias, entonces irás a la fiesta. 2. Si x + 3 = 5, entonces x = 2. 3. Si ABC es un triángulo entonces, 0180=∠+∠+∠ CBA

4. Si ha llovido entonces, las calles están mojadas. 5. Si el mar es dulce entonces, 3 es un número impar.

Cada uno de estos enunciados recibe el nombre de condicional. Definimos como condicional cualquier enunciado de la forma “si p entonces q”, y se simboliza p → q. Toda proposición condicional, p → q consta de dos partes; la primera p: es la condición o hipótesis y la segunda q: es la conclusión o tesis.

Importante: Cuando la conclusión o tesis es consecuencia lógica de la hipótesis, es decir cuando las proposiciones están lógicamente relacionadas, como en los cuatro primeros ejemplos, y además el condicional es verdadero como lo veremos a continuación, entonces el condicional recibe el nombre de implicación y lo simbolizamos así: p⇒ q. En adelante sólo trabajaremos con condicionales que sean implicaciones. Para determinar el valor de verdad de la implicación, vamos a considerar los siguientes casos:

- Sean p: 2 es un número par. V y q: 2 no es divisible por 2. F, dos proposiciones. La implicación p⇒ q: si 2 es un número par entonces, no es divisible por 2, es falsa ya que en este caso la proposición p es condición suficiente para que se cumpla q, y q es la consecuencia de p, está aseverando una falsedad. Por tanto es falso que de hipótesis verdaderas de obtengan conclusiones falsas. Así: si p: V y q: F, la implicación p⇒ q: es F - Las otras posibilidades de valor de verdad para las proposiciones que conforman una implicación son siempre verdaderas. Una proposición verdadera es antecedente suficiente para otra proposición verdadera. Por tanto cuando se tiene la certeza de que las hipótesis son verdaderas, es lógico que las conclusiones que se obtengan sean también verdaderas. Así: si p: V y q: V, la implicación p⇒ q: es V. - En el caso de que una condición sea falsa se puede concluir una proposición verdadera o falsa. Por tanto la implicación es verdadera. La historia nos ha demostrado que muchos de los grandes descubrimientos se realizaron a partir de hipótesis falsas, y también es cierto que si partimos de hipótesis falsas las conclusiones que obtengamos también sean falsas.

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Hipótesis falsa: 5 = 4 Entonces 4 = 5 Conclusión verdadera: 9 = 9 Hipótesis falsa: 5 = 4 Entonces 2 = 5 Conclusión falsa: 7 = 9

Así: si p es F y q es V, o si p es F y q es F, la implicación p⇒ q: es V. Por tanto la tabla de verdad para la implicación será:

p q p ⇒ q V V V V F F F V V F F V

Importante: Un enunciado condicional se puede escribir sin utilizar las palabras “si…, entonces”. Un enunciado de la forma p → q es equivalente a ⌐ p V q; lo comprobaremos con una tabla de verdad.

p q ⌐p p → q ⌐p V qV V F V VV F F F FF V V V VF F V V V

Actividad: Considere las proposiciones p : n es un número primo y q : n es un número impar. Determine la veracidad o falsedad de los siguientes enunciados: 1. ∀ entero positivo n, .qp ⇒ 2. ∀ entero positivo n, .pq ⇒ La tabla a continuación muestra la negación equivalente de las proposiciones compuestas hasta ahora estudiadas, también se indica la comprobación de algunas de ellas por medio de tablas de verdad:

Operación Cuantificador

Fórmula Proposicional Negación Negación

Equivalente Conjunción p V q ⌐ (p V q) ⌐ p Λ ⌐ q Disyunción p Λ q ⌐ (p Λ q) ⌐ p V ⌐ q Condicional p → q ⌐ (p → q) p Λ ⌐ q Universal x∀ )(xp ⌐ ( x∀ )(xp ) x∃ ⌐ )(xp Existencial x∃ )(xp ⌐ ( x∃ )(xp ) x∀ ⌐ )(xp

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Tabla de verdad para la equivalencia de la negación de una conjunción.

p q p Λ q ⌐ (p Λ q) ⌐ p ⌐ q ⌐ p V ⌐ qV V V F F F FV F F V F V VF V F V V F VF F F V V V V

Tabla de verdad para la equivalencia de la negación de una disyunción.

p q p V q ⌐ (p V q) ⌐ p ⌐ q ⌐ p Λ ⌐ qV V V F F F FV F V F F V FF V V F V F FF F F V V V V

Tabla de verdad para la equivalencia de la negación de un condicional.

p q ⌐q p → q ⌐(p → q) p Λ ⌐qV V F V F FV F V F V VF V F V F FF F V V F F

Precaución: La negación de un enunciado condicional no es otro enunciado condicional, es una conjunción. Actividad: 1. ¿Para qué valores de p y q una conjunción es siempre verdadera? 2. ¿Para qué valores de p y q una disyunción es siempre verdadera? 3. ¿Para qué valores de p y q un condicional es siempre verdadero? 4. Responda verdadero o falso: a) En lógica matemática, la palabra “o” es siempre utilizada en el sentido excluyente. b) La negación de una conjunción es una disyunción donde cada proposición simple está negada.

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c) La negación de una disyunción es una conjunción donde cada proposición simple no está negada. d) La negación de un condicional es una conjunción. e) ∀ rectángulo R, R es un cuadrado. f) ∃ un rectángulo R tal que R es un cuadrado. 5. Escriba la negación de las siguientes proposiciones:

a) ∀ entero n ∃ enteros p y q tal que .qpn =

b) Si Juliana está en el equipo de natación, ella nada todos los días. c) Si llueve hoy, entonces no lloverá mañana. d) Para todo número real x se cumple que .0 xx =+ 6. Reescriba el siguiente enunciado en la forma “si … entonces …”: Cuando un ciudadano ha sido condenado por un delito no tiene derecho a ocupar cargos públicos. 1.9 Condiciones Necesarias y Suficientes: La expresión p⇒ q se interpreta de las siguientes maneras:

• q es necesaria para p. • q es consecuencia de p. • p es condición suficiente para q.

Veamos los siguientes ejemplos: - Sean p: Luis es colombiano. q: Luis es suramericano. p ⇒ q: Si Luis es colombiano entonces es suramericano. Observamos que basta que Luis sea colombiano para que sea suramericano: es decir, p es una condición suficiente para q. Pero, es indispensable que Luis sea suramericano para que sea colombiano: q es una condición necesaria para p. - Sean: p: las rectas L1 y L2 son paralelas y diferentes. q: L1 I L2 = Φ . p ⇒ q: si las rectas L1 y L2 son paralelas entonces L1 I L2 = Φ . Nos damos cuenta que p es una condición suficiente para q, porque basta que las rectas L1 y L2 son paralelas para que L1 I L2 = Φ . A su vez es indispensable que L1 I L2 = Φ para que L1 y L2 sean paralelas: q es una condición necesaria para p. Por tanto definimos:

1. p es una condición suficiente para q, si en presencia de p el acontecimiento q debe ocurrir. Y el enunciado “p es condición suficiente para q” se simboliza:

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p ⇒ q

2. q es una condición necesaria para p, si la ocurrencia de q es indispensable para que se produzca p. El enunciado “q es condición necesaria para p” se simboliza:

p ⇒ q

Ejercicios para resolver como autoevaluación: 1. Indicar cuáles de las siguientes proposiciones son implicaciones y cuáles solo condicionales. Escribir las hipótesis y las tesis. a) Si un triángulo es equilátero entonces es isósceles. b) Si x + 5 = 12 entonces 3 es primo. c) Si 2log10 =x entonces 100=x . d) Si 4 es divisor de 20 entonces todo impar es primo. e) Si 23 −=x entonces 8−=x . f) Si 4 es múltiplo de 2 entonces es múltiplo de 6. 2. Determinar el valor de verdad de las siguientes implicaciones y condicionales: a) Si 2x es un número par entonces x es par. b) Si un triángulo es equilátero entonces es equiángulo. c) Si un número es múltiplo de 2 entonces es múltiplo de 4. d) Si 4±=x entonces 16=x . e) Si 2 es primo entonces 2 es par. f) Si 3log10 =x entonces 000.1=x . 3. Escribir las siguientes proposiciones en el lenguaje “condición suficiente para” y luego en el lenguaje “condición necesaria para”. Determine el valor de verdad de cada una. a) Si 2=x entonces 42 =x . b) Si x es múltiplo de 9, entonces x es divisible por 3. c) Si Pedro es colombiano entonces nació en Bogotá. d) Si 2=x entonces 164 =x . e) Si dos rectas son perpendiculares entonces forman ángulos de 90 grados. f) Si las calles están mojadas es porque ha llovido. 1.10 Recíproca y Contra Recíproca de un Condicional: A partir del condicional p → q podemos obtener dos condicionales que se utilizan cuando se trabajan con teoremas. Estos dos condicionales son: 1. q → p, denominada la recíproca de p → q. 2. ⌐ q → ⌐ p, denominada la contra recíproca de p → q. Vamos a analizar sus valores de verdad y a compararlo con el valor de p → q:

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p q ⌐ p ⌐ q p → q q → p ⌐ q → ⌐ p V V F F V V V V F F V F V F F V V F V F V F F V V V V V

Conclusión: 1. Al comparar los valores de verdad de p → q con los de q → p encontramos que los valores de verdad de las dos columnas son diferentes en algunos de sus valores, esto nos permite concluir que el valor de verdad de q → p no es necesariamente igual al valor de verdad de p → q. 2. Al comparar p → q con ⌐ q → ⌐ p los valores de verdad coinciden, lo cual nos permite concluir que la proposición p → q y su contra recíproca ⌐ q → ⌐ p tienen el mismo valor de verdad. Ejemplo:

- Sea p → q: “Si 8 es par entonces 8 es divisible por 3” el valor de verdad es falso ya que: p: V, q: F y por tanto V → F = F.

Observemos ahora el valor de verdad de q → p: - q → p: “Si 8 es divisible por 3 entonces 8 es par: el valor de verdad es

verdadero ya que: q: F, p: V y por tanto F → V = V. Por último veamos el valor de verdad de: ⌐ q → ⌐ p: - ⌐ q → ⌐ p: “Si 8 no es divisible por 3 entonces 8 no es par” el valor de verdad es falso puesto que: ⌐ q: V, ⌐ p: F y por tanto F → V= F. En efecto: p → q y ⌐ q → ⌐ p tienen los mismos valores de verdad.

Actividad: 1. Dado un condicional de la forma p → q, se llama conversa al condicional de la forma q → p y se llama inversa al condicional de la forma ⌐ p → ⌐ q. Demuestre con la ayuda de una tabla de verdad que la conversa y la inversa tienen los mismos valores de verdad. 2. Escriba los siguientes enunciados de la forma “si … entonces …”: a) Un satélite está en órbita alrededor de la tierra sólo si está a menos de 321 Km. de distancia. b) La forma n2 para cualquier entero n , es condición suficiente para que el número sea un entero par. c) Tener una calificación de al menos 3.0, es condición suficiente para pasar la materia. 3. Escriba la contra recíproca de los siguientes enunciados: a) Si 2x es par, entonces x es par. b) Si yx AA = , entonces .yx =

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c) Si hoy llueve, entonces no iré al parque. 4. Complete el siguiente enunciado: si 1624 = , entonces __________. 5. Escriba la conversa, la inversa y la contra recíproca del siguiente enunciado: Si la temperatura ambiente es menor a 0 °C, el agua se congelará. Ejercicios para resolver como autoevaluación: Dadas las siguientes proposiciones, escribirlas de la forma “si p entonces q”, determinar su valor de verdad. Luego escribir su recíproca y su contra recíproca y determinar el valor de verdad o falsedad de cada una de ellas. 1. Los tubérculos son plantas. 2. Solamente las rectas paralelas no se intersecan. 3. En Colombia todo individuo mayor de 18 años puede votar. 4. Si 5=x entonces .252 −=x 5. Un triángulo isósceles tiene dos de sus lados iguales. 1.11 El Bicondicional y la Doble Implicación: Consideremos los siguientes enunciados: 1. x es un número par si y sólo si x es múltiplo de 2. 2. Un triángulo es equilátero si y sólo si es equiángulo 3. Las flores son rojas si y sólo si 2x = 25. 4. 2m = 36 si y sólo si m = 6 o m = -6. Cada uno de los enunciados anteriores se denomina bicondicional. El Bicondicional o Doble Implicación: es una proposición que se obtiene al unir dos proposiciones simples mediante el conectivo “si y sólo si” y se representa así:

p ↔ q

Todo bicondicional puede descomponerse en dos condicionales así: En la proposición: “ 2m = 36 si y sólo si m = 6 o m = -6, la podemos escribir: - “Si 2m = 36 entonces m = 6 o m = -6” y “si m = 6 o m = -6 entonces 2m = 36” - Simbólicamente tenemos: “(p → q) Λ (q → p)”. - Para expresar esta doble condición, se usa la expresión: CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE, y así la proposición anterior nos queda: - “La condición necesaria y suficiente para que 2m = 36 es que: m = 6 o m = -6.

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Si observamos con atención en los ejemplos anteriores 1, 2, y 4 las proposiciones están lógicamente relacionadas, entonces decimos que el bicondicional es una doble implicación y se simboliza p ⇔ q. Para determinar el valor de verdad del bicondicional o doble implicación, vamos a utilizar los resultados del condicional así: Si determinamos el valor de verdad de )()( pqqp ⇒Λ⇒ , entonces tendremos la tabla de p ⇔ q. p q p ⇒ q q ⇒ p (p ⇒ q) Λ (q ⇒ p) p ⇔ q V V V V V V V F F V F F F V V F F F F F V V V V

Conclusión: El Bicondicional o Doble Implicación: sólo es verdadero cuando las dos proposiciones que lo forman tiene el mismo valor de verdad, es decir, cuando las dos proposiciones que la forman son ambas verdaderas o ambas falsas. En caso contrario el bicondicional es falso. “Cuando el bicondicional es verdadero se acostumbra a decir que las proposiciones que intervienen son lógicamente equivalentes”. Ejemplo: La proposición p → q y su recíproca q → p, no son lógicamente equivalentes ya que no tienen el mismo valor de verdad. Pero: p → q es lógicamente equivalente con su contra recíproca ⌐ q → ⌐ p. La tabla resumida del bicondicional o doble implicación es: Actividad: Responda verdadero o falso 1. Un condicional y su conversa son lógicamente equivalentes. 2. La negación de un enunciado de la forma “si …, entonces …” es de la misma forma. 3. qp ∨ es falsa solamente cuando tanto p como q son falsas. 4. La negación de un enunciado existencial es otro enunciado existencial.

p q p ⇔ q V V V V F F F V F F F V

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5. Un condicional es lógicamente equivalente a su contra recíproca. 6. El cuadrado de un número impar es otro número impar. Ejercicios para resolver como autoevaluación: 1. Determinar el valor de verdad para las siguientes proposiciones: a) 22 2)( yxyxyx n ++=+ si y sólo si 2=x b) Dos rectas L1 y L2 son perpendiculares si y sólo si forman ángulos de 900. c) 333)( baba +=+ si y sólo si .3 primoes d) 5log3 =y si y sólo si .243=y 2. Comprobar cuáles de las siguientes proposiciones son lógicamente equivalentes: a) )()( qpyqp ∨¬→ b) ( ) ( )qpyqp ∨∧ c) )()( qpyqp ¬∨¬∧¬ d) )()( qpyqp ¬∧→¬ e) )( qyq ¬¬

Observación: Es importante tener en cuenta que para trabajar con proposiciones compuestas es necesario hacer uso de los signos de agrupación, estos hacen las veces de los signos de puntuación en las oraciones gramaticales. Veamos su utilización para determinar el valor de verdad de algunas proposiciones compuestas, así mismo vamos a establecer en proposiciones compuestas cuál de los conectores es el principal. Ejemplos: 1. En la proposición compuesta p Λ (q V r) el conector principal es la conjunción,

lo que implica que primero se resuelve la operación indicada por el paréntesis y luego con este resultado se resuelve la conjunción.

2. En la proposición (p V q), el conector principal es V. 3. En la proposición compuesta p ⇒ (q V r), el conector principal es: ⇒ 4. En la proposición compuesta (p ⇒ q) ⇔ (r Λ p), el conector principal es ⇔ 5. En la proposición compuesta ( ) ( )[ ]trqp ∨⇔⇒ , el conector principal es ⇔ Observando con cuidado los ejemplos podemos ver que el signo de agrupación es clave para identificar cuál es el conector dominante en una proposición compuesta. Ejemplos: Dadas las siguientes proposiciones, escribirlas en forma simbólica:

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1. ”2 es primo y 36 es múltiplo de 9, o 4 es la segunda potencia de 2.” p : 2 es primo. q : 36 es múltiplo de 9 r : 4 es la segunda potencia de 2 Por tanto toda la proposición será: rqp ∨∧ )( 2. “Si la raíz cúbica de - 8 es -2 entonces 4 es par o múltiplo de 2” s : 283 −=− t : 4 es par u : 4 es múltiplo de 2 Y toda la proposición: )( uts ∨⇒ 3. Determinar el conector dominante en la siguiente proposición compuesta:

( )[ ]qsrp ⇒∨⇔

En orden se resuelve primero la disyunción, luego este resultado con la implicación y finalmente este resultado con el conector dominante que es el bicondicional. Actividad: Repita el procedimiento con las proposiciones: (p → q) Λ r (p V q) → r p → (q Λ r)

4. Determinar el valor de verdad de la siguiente proposición:

)()( rpqp ¬→↔∧¬ Como son 3 proposiciones entonces hay 823 = posibilidades lógicas. Construyamos la tabla para determinar el valor de verdad: p q r p¬ qp ∧¬ r¬ rp ¬→ )()( rpqp ¬→↔∧¬ V V V F F F F V V V F F F V V F V F V F F F F V V F F F F V V F F V V V V F V V F V F V V V V V F F V V F F V F F F F V F V V F Actividad:

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Una expresión de la forma” ni p ni q” recibe el nombre de negación conjunta y se representa por el símbolo ↓ , así: .qp ↓ 1. Construir una tabla de verdad para .qp ↓ 2. Con la ayuda de tablas de verdad, demostrar la equivalencia de las proposiciones planteadas a continuación. a) .ppp ¬≡↓ b) ).()( qqppqp ↓↓↓≡∧ c) ).()( qpqpqp ↓↓↓≡∨ 1.12 Tautologías y Contradicciones: Se define como Tautología una proposición compuesta cuyos resultados son todos verdaderos sin importar el valor de verdad de las proposiciones simples o compuestas que la conformen. Cuando se encuentran proposiciones compuestas cuyo valor de verdad es falso, sin importar el valor de verdad de sus proposiciones componentes, se denomina Contradicción. Pero cuando la tabla de verdad muestra valores verdaderos y falsos entonces se dice que es una indeterminación. Ejemplos:

• Determinar si las siguientes proposiciones son tautologías o contradicciones.

1. )()( pqqp ∨↔∨

Es Tautología. 2. [ ] )()()( rprqqp →→→∧→ p q r qp → rq → )()( rqqp →∧→ rp → [ ] )()()( rprqqp →→→∧→ V V V V V V V V V V F V F F F V V F V F V F V V V F F F V F F V F V V V V V V V F V F V F F V V F F V V V V V V F F F V V V V V

p q )( qp ∨ )( pq ∨ )()( pqqp ∨↔∨ V V V V V V F V V V F V V V V F F F F V

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Es tautología. 3. )( pp ¬∧ p p¬ ( pp ¬∧ ) V F F F V F Es Contradicción. Ejercicios para resolver como autoevaluación: 1. Comprobar mediante tablas de verdad si las siguientes proposiciones compuestas son tautologías, contradicciones o indeterminaciones: a. )()( pqqp ¬→¬↔→ b. )()( qpqp ∧↔¬→¬ c. rrr ∨¬∧ )( d. )( rqp ∧→ e. )()( qpqp ∨→¬∧¬ 2. En las proposiciones siguientes indicar cuál es el conector dominante: a. [ ] srqp ¬∧∨⇒ )( b. )()( srnm ∨¬⇔⇒¬ c. [ ])( srqp ∨⇒⇔ d. )( mqp ¬∨∧¬

1.13 Leyes del Álgebra Proposicional:

Como ya se estableció, aquellas fórmulas lógicas que resultan ser siempre verdaderas no importan la combinación de los valores de sus componentes, son tautologías o leyes lógicas. En el álgebra proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber:

1. Ley de idempotencia

a) (p ∧ p) ⇔ p

b) (p ∨ p) ⇔ p

2. Ley conmutativa

a) (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)

b) (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)

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3. Ley Asociativa

a) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

b) (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)

4. Ley Distributiva

a) [p ∧( q ∨ r )] ⇔ [(p ∧ q ) ∨ (p ∧ r)]

b) [p ∨ (q ∧ r)] ⇔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)]

5. Ley de De Morgan

a) ⌐(p ∧ q) ⇔ ⌐p ∨ ⌐q

b) ⌐ (p ∨ q) ⇔ ⌐p ∧ ⌐q

6. Principio de contradicción

a) p ∧ ⌐p ⇔ F (falacia)

7. Ley del tercero excluido

a) p ∨ ⌐p ⇔ V (verdad)

8. Negación de la negación o involución

a) ⌐(⌐p) ⇔ p

9. Leyes de identidad

a) p ∨ F ⇔ p

b) p ∨ V ⇔ V

c) p ∧ V ⇔ p

d) p ∧ F ⇔ F

10. Definición Alterna del Condicional

a) (p → q) ⇔ (⌐p ∨ q)

1.14 Aplicaciones de las Leyes del Álgebra Proposicional:

• Probar que: [ ]))( qpqp ¬∧⇔→¬

1. [ ]))()( qpqp ∨¬¬⇔→¬ Ley de Morgan (5, b).

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2. [ ] [ ])()()( qpqp ¬∧¬¬⇔∨¬¬ Definición alterna del condicional (10).

3. [ ] )()()( qpqp ¬∧⇔¬∧¬¬ Negación de negación (8).

Por tanto: [ ]))( qpqp ¬∧⇔→¬

• Probar que la proposición pqp →∧ )( es una tautología:

1. pqppqp ∨∧¬⇔→∧ )()( Definición alterna del condicional. (10)

2. pqpqqp ∨¬∨¬⇔∨∧¬ )()()( Por ley de Morgan (5, a).

3. )()()()( qpppqp ¬∨∨¬⇔∨¬∨¬ Propiedad asociativa de la disyunción.

4. vqvqpp ⇔¬∨⇔¬∨∨¬ )()()( Ley del tercero excluido y de identidad.

Por lo tanto al ser pqp →∧ )( = V queda probado que es tautología.

Actividad: Siguiendo las Leyes de Morgan, escribir una forma proposicional equivalente a las fórmulas dadas: a) ⌐ (p V ⌐ q) b) ⌐ (⌐ p Λ q) c) ⌐ (⌐ p V ⌐ q) d) ⌐ (⌐ p Λ ⌐ q)

Ejercicios para resolver como autoevaluación:

Resolver los siguientes ejercicios aplicando las leyes del álgebra proposicional:

1. Probar que son tautologías:

a) [ ] )()( pqpp ¬→→∧¬ b) [ ] [ ]rqprqp →∧→→→ )()( c) )( qpp ∨→ d) [ ] qqpp →∨∧¬ )(

2. Simplificar aplicando las leyes del álgebra proposicional:

a) )( qpp ¬∧→ b) [ ])()( srsr →¬→∧¬ c) )( stt ¬→¬∧¬

3. Escribir en lenguaje corriente una forma equivalente para los siguientes enunciados, siguiendo las leyes de Morgan.

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a) No es cierto que su novio sea francés y su mejor amiga inglesa. b) No ocurre que estudie química pero no biología. c) No es verdad que los precios suban y las ventas disminuyan. d) No es verdad que no estemos en invierno o haga frío. e) Su novio no es francés o su mejor amiga no es inglesa. f) No estudia química o estudia biología. g) Los precios bajan o las ventas aumentan. h) Estamos en invierno y no hace frío.

RESUMEN Una proposición es un enunciado o juicio al que se le puede asignar con certeza uno y sólo uno de los términos falso o verdadero. Falso o Verdadero se denominan valores de verdad y son los que se le asignan a una proposición simple o compuesta. Es decir, cada proposición tiene un único valor de verdad, o es falsa o es verdadera. En la lógica elemental, las proposiciones se acostumbran a clasificar de dos maneras: Proposiciones simples o atómicas, en el sentido de que son las más elementales o básicas.

Proposiciones compuestas o moleculares, resultan de la combinación o unión de proposiciones atómicas por medio de conectores lógicos o términos de enlace.

Se utilizan como términos de enlace o conectores lógicos las palabras “y”, “o”, “no” y “si…, entonces…”, “si y sólo si”. Una proposición compuesta o molecular tiene un nombre de acuerdo al conector lógico utilizado: conjunción, disyunción, condicional o bicondicional. Entonces, el término de enlace utilizado define la forma de la proposición compuesta. Por tanto, la forma de una proposición compuesta no depende del contenido de la proposición ni de las proposiciones simples que la conformen. Se utilizan las letras minúsculas para representar las proposiciones, más comúnmente p, q, r y s, pero puede utilizarse cualquier otra letra. Para los conectores lógicos se usan símbolos: La conjunción se representa por Λ, la disyunción V, la negación ⌐, el condicional por → y el bicondicional por ↔ .

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Se debe tener especial cuidado en determinar cuál conector lógico es el que define la forma de la proposición, este término de enlace se llama dominante. Cambiar la forma de la proposición cuando se tienen dos o más términos de enlace, cambia el sentido de la proposición compuesta. Cuando la frase es abierta, es decir, si no podemos determinar en su valor de verdad, se antepone un cuantificador que la convierte en proposición. Un cuantificador es una constante que indica la cantidad de elementos de una determinada categoría que son afectados por la expresión. Hay dos clases de cuantificadores: el universal y el existencial, que corresponden a anteponer a la frase abierta: Para todo (Conocido como cuantificador universal), se simboliza por ∀ y se lee: para todos, todos o cualquiera. Expresa que la proposición es verdadera para todos los valores de la variable. Existe un… tal que… (Conocido como cuantificador existencial). Se simboliza por ∃ y se lee: existe, algún, o hay. Expresa que la proposición es verdadera para al menos un valor de la variable Una tabla de verdad es un método que nos permite hallar todos los posibles valores de verdad de una proposición compuesta, para ello se colocan todas las posibilidades de certeza o falsedad a manera de tabla. Tabla de verdad para la expresión (p Λ q) V ⌐ ( p V q).

p q p Λ q p V q ⌐ (p V q) (p Λ q) Λ ⌐ (p V q)V V V V F FV F F V F FF V F V F FF F F F V F

Una variable es un símbolo, generalmente una letra del alfabeto, que se puede remplazar o sustituir por cualquier elemento de un conjunto dado. Una fórmula es una expresión que está conformada por un número contable de variables conectadas o enlazadas por medio de operaciones y relaciones. Para el caso de la lógica matemática, las variables representan una proposición matemática cualquiera y las operaciones son los conectores lógicos: conjunción, disyunción, negación y condicional. La fórmula se le llama fórmula proposicional y ésta se convierte en proposición cuando se sustituyen las variables por proposiciones específicas. Una proposición se llama tautología cuando al sustituir las variables por todas las combinaciones posibles de sus valores de verdad, la fórmula se convierte en una proposición verdadera.

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Similarmente, una fórmula proposicional se llama contradicción cuando al sustituir las variables por todas las combinaciones posibles de sus valores de verdad, la fórmula se convierte en una proposición falsa. En consecuencia, la negación de una tautología es una contradicción y la negación de una contradicción es una tautología. Dos fórmulas proposicionales que tengan tablas de verdad idénticas se dice que son lógicamente equivalentes o iguales. Quiere decir, que tienen el mismo significado.

LECCIÓN 2. ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

INTRODUCCIÓN: Aplicaciones Matemáticas a la Gestión. La enseñanza de la teoría de conjuntos y la lógica matemática, en un comienzo, se consideró útil para que el estudiante tuviese un fácil acceso a las matemáticas superiores, buscando con ello profundizar en estructuras abstractas y en el rigor lógico. Con este enfoque se descuida la aplicación que pueden tener estas áreas de la matemática a ciencias como la administración, la economía y la contabilidad. Por tanto estudiaremos el álgebra de conjuntos desde una perspectiva sistémica, para comprender los conjuntos como un objeto o ente matemático con estructuras, elementos, relaciones y operaciones; siendo enfáticos en la propuesta de situaciones problemáticas interesantes. La terminología de la teoría de conjuntos tiene mucha aplicación en las diferentes ramas de la matemática, por ello la importancia de aprender Álgebra de Conjuntos. OBJETIVOS

General

El propósito de esta unidad consiste en formalizar las definiciones de elemento y de conjunto, identificar sus relaciones y realizar operaciones entre ellos.

Específicos: 1. Comprender los conjuntos como objetos matemáticos, nombrarlos y establecer relaciones entre ellos.

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ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

Objeto Matemático

EL CONJUNTO

Se clasifican

UNIVERSAL VACÍO

FINITOS INFINITOS

Formado por

ELEMENTOS

SISTEMA MATEMÁTICO

Se realizan

Se establecen

Se reglamentan

OPERACIONES PROPIEDADES

RELACIONES

COMPLEMENTOUNIÓN

INTERSECCIÓN

DIFERENCIAS

PERTENENCIACONTENENCIA

IGUALDAD

LEYES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

RESULTADOSAPLICACIONES

DIAGRAMAS DE VENN

Tales como

Tales como

Nacen

Se representan con

Conllevan a

2. Identificar las diferentes clases de conjuntos y realizar operaciones entre ellos. 3. Diagramar unión, intersección, complemento, diferencia y diferencia simétrica entre conjuntos. 4. Determinar el número de elementos de un conjunto finito dado y aplicar este concepto en la solución de problemas.

IDEAS CLAVES:

Entre los elementos que conforman un conjunto y el propio conjunto existe una relación de pertenencia. Entre conjuntos se da la relación de contenencia.

Existen diferentes clases de conjuntos: universal, vacío, unitario, finito, infinito. Los conjuntos se combinan entre si a través de operaciones para dar origen a

otros conjuntos. Los conjuntos satisfacen leyes e identidades y se habla entonces de Álgebra

de Conjuntos. Los diagramas de Venn permiten representar de manera práctica y útil las

relaciones y operaciones entre conjuntos. Además dejan visualizar una partición del conjunto universal.

Los conjuntos, como sistema matemático, permiten avanzar en el análisis y solución de cierto tipo de situaciones problemáticas de la administración.

MAPA CONCEPTUAL

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SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Una empresa administradora de fondo de pensiones reporta que tiene 3.000 afiliados al fondo de cesantías, 8.000 al fondo de pensiones obligatorias y 2.000 al fondo de pensiones voluntarias. Se quiere conocer entonces la siguiente información: ¿Cuántas personas estarían afiliadas simultáneamente a los tres fondos? ¿Cuántas personas están afiliadas únicamente a cesantías y pensiones obligatorias? ¿Cuántas personas estarían afiliadas al fondo de cesantías únicamente? ¿Cuántas personas estarían afiliadas al fondo de pensiones obligatorias únicamente? ¿Es posible responder tales inquietudes y similares a partir de la información suministrada? Explique sus razones. DESARROLLO DE CONTENIDOS: La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el siglo XIX. Antes de comenzar su estudio iniciaremos estableciendo la idea de conjunto como objeto matemático. 2.1 Características de un Conjunto La palabra Conjunto lo podemos interpretar en el lenguaje cotidiano como la agrupación de varios objetos que se consideran como uno sólo. Desde lo matemático, la idea de conjunto se considera simple, intuitiva o primitiva; quiere decir que no se puede definir, esto es, no se puede expresar a partir de conceptos más sencillos. Un conjunto lo debemos pensar como una agrupación de objetos con una característica común. Los objetos individuales que forman el conjunto son llamados elementos del conjunto. El término elemento se considera también una idea primitiva.

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Importante: La característica que define los elementos de un conjunto no debe presentar ambigüedades, con absoluta certeza se debe responder si un elemento o no pertenece a un conjunto. Cuando esto ocurre decimos que el conjunto está bien definido. Cada elemento de un conjunto se considera único, no puede darse el caso de dos o más elementos iguales dentro del mismo conjunto. Notación Para denominar un conjunto utilizaremos letras mayúsculas y las minúsculas para llamar a sus elementos. Los elementos se escriben separados por comas y encerrados entre dos llaves. Ejemplos: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…, n,…} es el conjunto de los número naturales D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} es el conjunto de los números dígitos B = {a, e, i, o, u} es el conjunto de las vocales del alfabeto. 2.2 Determinación de Conjuntos Para definir un conjunto se utilizan comúnmente dos métodos, uno llamado por extensión y el otro por comprensión. Definir un conjunto por extensión significa que se listan en forma explícita los elementos. Ejemplos:

• I = {π, e} S = {hombre, mujer} A = {a} P = {0, 2, 4, 6, 8} Definir un conjunto por comprensión significa explicar la característica común de los elementos que debe permitirnos determinar si un elemento pertenece o no a un conjunto. El criterio de pertenencia es una proposición matemática. Se escribe D = { x / )(xp } y se lee, D es el conjunto formado por los elementos x que satisfacen la propiedad )(xp . Ejemplos:

• M = { x / x es un número primo}, )(xp es la proposición “ x es un número primo”

• F = { x / x es un número natural menor que 9}, )(xp es la proposición “ x es un número natural menor que 9”

• R = { y / y es una consonante del alfabeto}, )(yp es la proposición “ y es una consonante del alfabeto.

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El conjunto formado por los elementos que hacen que la proposición que define el criterio de pertenencia sea verdadera se llama conjunto solución. Para los ejemplos anteriores estos conjuntos son respectivamente:

• M = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,…} • F = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} • R = {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, ñ, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z}

En muchos casos el conjunto solución no se puede escribir por extensión, por ejemplo para el conjunto:

• H = { x / x es colombiano mayor de edad}, en este caso no es posible listar cómodamente sus elementos.

Ejercicios para resolver como autoevaluación: 1. Para cada palabra dada a continuación, escriba el conjunto de las letras que la forman: Barranquilla, Aracataca, Araracuara, murciélago, elefante. 2. Un bono pensional recibió las siguientes ofertas para su venta en 10 comisionistas de bolsa. $120’000.000; $115’000.000; $100’000.000; $105’000.000; $110’000.000; $100’.000.000; $115’000.000; $120’000.000; $120’000.000 y $105’000.000. Escribir el conjunto de ofertas recibidas. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto? 3. Escribir el conjunto solución de:

F = { x / 062 =−x } G = { x / 012 =−x } H = { x / 0)1( 2 =−x } K = { x / )81)8( 2 =+x } M = { x / 25)8( 2 =+−x } Q = { x / es un número real y 012 =+x } T = { x / x es número negativo y 1002 =x } P = { x / x = - x }

4. Escribir 5 conjuntos definidos por comprensión. 2.3 Clases de Conjuntos Los conjuntos se clasifican en ocasiones de acuerdo al número de elementos que contenga, por ello es importante saber el número de elementos que lo integran. El número de elementos de un conjunto A lo vamos a simbolizar como )(An y lo llamaremos cardinal del conjunto A.

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Si un conjunto no contiene elementos, su cardinal es cero, se denomina conjunto vacío y se simboliza { } o también φ .

Importante: El conjunto vacío es un conjunto muy típico en las matemáticas. V = { x / x es entero y 72 =x }, es un conjunto vacío y decimos que 0)( =Vn , no tiene elementos. Un conjunto que contiene sólo un elemento se llama conjunto unitario. Ejemplo:

• A = {0}, B = {a}, C = {1}, {c}, etc. Vemos que 1)()()( === CnBnAn . Si el número de elementos de un conjunto es de exactamente n elementos diferentes, siendo n cualquier entero positivo se dice que el conjunto es finito. De otra forma se dice que el conjunto es infinito. Los conjuntos de números Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales, Reales y Complejos, son conjuntos infinitos. El conjunto de rectas que pasa por un punto es un conjunto infinito. El conjunto de puntos contenidos en una línea recta es también un conjunto infinito. Podemos definir conjuntos cuyo número de elementos es muy grande, pero que resultan siendo finitos, solo que físicamente resulta imposible contar el número de sus elementos. Ejemplos, el conjunto de insectos de América, el conjunto de estrellas del universo conocido, el conjunto de granos de arena de una playa, etc. En Álgebra de Conjuntos se define un conjunto muy especial, denominado Conjunto Universal. Este conjunto puede tener diferentes significados, dependiendo de la situación de un contexto; puede ser finito o infinito. No es el conjunto de todos los conjuntos, simplemente es un conjunto que permite representar o agrupar todos los elementos que se refieren a una situación en un contexto dado. En un estudio de población, el conjunto universal puede ser la población mundial, la población de un continente, la población de un país o la población de una región. En el conjunto Q = { x / x es un número real y 012 >+x }, se considera que el conjunto universal es el conjunto de los números reales. Mientras que en el conjunto V = { x / x es entero y 82 =x }, el conjunto universal es el conjunto de los números enteros. Si H = { x / x es colombiano mayor de edad}, aquí el conjunto universal es la población de Colombia.

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El conjunto universal lo simbolizaremos por la letra U. Existen conjuntos cuyos elementos son otros conjuntos; los conjuntos son objetos matemáticos y por ello pueden formar parte de otro conjunto como elemento. Este tipo de conjuntos son llamados familia, clase o colección. Ejemplos:

• A = {φ }; B = {{2}, {3}}; C = {{1}, {1,2}, {1,2, 3}}; D = {{5}, {10}, {5,10}}. El cardinal de cada uno de los conjuntos es: n(A) = 1; n(B) = 2; n(C) = 3; n(D) = 3 y n(φ ) = 0.

Actividad: 1. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto M, donde M = { x / x es un

número real y x 2 < 0} 2. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto N, donde =N = { x / x es un

número real y x 2 ≤ 0} 3. El conjunto de los números fraccionarios entre 0 y 1, ¿es un conjunto

finito o infinito? Cite ejemplos para su respuesta.

Ejercicios para resolver como autoevaluación: 1. De los conjuntos listados a continuación, determine si son conjuntos finitos o infinitos. Explique. a) El conjunto de palabras del idioma español. b) El conjunto de árboles de la selva amazónica. c) El conjunto de circunferencias que tienen un mismo centro. d) El conjunto de rectas perpendiculares a otra recta dada. e) El conjunto de números primos pares. f) El conjunto de números divisibles por 11. 2. Escriba uno o más conjuntos universales para los conjuntos dados. a) El conjunto de los números impares. b) El conjunto de animales mamíferos. c) El conjunto de los rectángulos. d) El conjunto de los números primos. 3. Para los conjuntos listados a continuación establezca cuántos elementos tiene cada uno de ellos. F = { x / 062 =−x }, n(F) = ? G = { x / 012 =−x }, n(G) = ?

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H = { x / 0)1( 2 =−x }, n(H) = ? K = { x / )81)8( 2 =+x }, n(K) = ? M = { x / 25)8( 2 =+−x }, n(M) = ? Q = { x / x es un número real y 012 =+x }, n(Q) = ? T = { x / x es número negativo y 1002 =x }, n(T) = ? P = { x / x = - x }, n(P) = ? 2.4 Relaciones Establecer Relaciones o Correspondencias entre los Elementos de los Conjuntos Ahora podemos empezar a jugar con los conjuntos estableciendo relaciones entre los elementos de un mismo conjunto o con los elementos de otro conjunto. Relación de Pertenencia Como un conjunto está compuesto por objetos llamados elementos, se dice que cualquiera de ellos pertenece al conjunto y estamos estableciendo la relación de pertenencia entre el conjunto y sus elementos. Si B = {a, e, i, o, u}, entonces “a es un elemento de B”, “e es un elemento de B” y así sucesivamente. La relación de pertenencia se simboliza a∈B y se lee “a pertenece a B”. La negación de: a∈B, se simboliza a ∉B y se lee “a no pertenece a B” Relación de Igualdad Decimos que dos conjuntos D y E son iguales o idénticos si tiene exactamente los mismos elementos; se simboliza D = E. Utilizando el lenguaje de la lógica matemática la igualdad entre dos conjuntos D y E se escribe: D = E, si y sólo si, para todo a, a∈D entonces a∈E, y, para todo b, b∈E entonces b∈D. En lenguaje simbólico: D = E ⇔ a∈D ↔ a∈E Si uno de los dos conjuntos contiene al menos un elemento que no pertenezca al otro conjunto se dice los conjuntos son distintos o diferentes; se simboliza D ≠ E. Utilizando el lenguaje de la lógica matemática, para indicar que dos conjuntos D y E son distintos, se escribe: D ≠ E, si y sólo si, existe al menos un elemento a, a∈D y a∉E, o existe al menos un elemento b, b∈E y b∉D.

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Si los conjuntos D y E están definidos por comprensión, D = { x / )(xp } E = { x / )(xq } La igualdad entre los conjuntos D y E implica que las fórmulas proposicionales

)(xp y )(xq son lógicamente equivalentes: )(xp ↔ )(xq Ejemplos:

• Sea D = {a} y E = {a, a}. Los conjuntos D y E son iguales puesto a∈D y también a∈E. Por esta razón al listar los elementos de un conjunto ninguno se puede repetir, como habíamos dicho antes, cada elemento es único.

• Sea F = {2, 3, 5} y G = {5, 2, 3}. Los conjuntos F y G son iguales puesto

que: 2∈F y 2∈G, 3∈F y 3∈G, 5∈F y 5∈G. El orden en que se escriban los elementos de un conjunto no cambia al conjunto como tal.

• Sea H = {0, 2, 4, 6, 8, 10,…,2n,…} y J = { x / x es un número divisible por

dos}. Los conjuntos H y J son iguales.

• Sea K = {x x / 01272 =++ xx } y L = {-3, -4}. Los conjuntos K y L son iguales, tienen los mismos elementos.

Relación de Contenencia Dado un conjunto, a partir del mismo, se pueden formar otros conjuntos. Estos conjuntos los llamaremos subconjuntos del conjunto dado. Ejemplo: • Sea D = { x / x es número natural menor que 100} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,…, 98,

99} Sea E = { x / x es número natural menor que 100 y x es divisible por diez} E = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90}

Notamos que los elementos del conjunto E, pertenecen al conjunto D, pero existen elementos en D que no pertenecen a E. Decimos entonces que un conjunto E es subconjunto de otro conjunto D, si cada elemento de E pertenece a D. Los simbolizaremos: .DE ⊆ Y se lee “E es subconjunto de D”, también “E está contenido en D”, o, “D contiene a E”. Utilizando el lenguaje de la lógica matemática la contenencia entre dos conjuntos D y E se define:

DE ⊆ , si y sólo si, para todo a, a∈E entonces a∈D.

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En lenguaje simbólico: DE ⊆ ⇔ a∈E → a∈D En la relación DE ⊆ , existe la posibilidad de que ED ⊆ . Si se tienen las dos relaciones si DE ⊆ y ED ⊆ , es porque D y E tienen los mismos elementos. Es decir:

DE = , si y sólo si, DE ⊆ y ED ⊆ Ahora, cuando E es un subconjunto de D pero E y D son conjuntos diferentes, no existe la posibilidad de que sean iguales, decimos en este caso que E es un subconjunto propio de D y lo simbolizamos DE ⊂ . Si los conjuntos D y E están definidos por comprensión, D = { x / )(xp } E = { x / )(xq } Si además DE ⊆ , para las fórmulas proposicionales )(xp y )(xq ocurre que:

)(xp → )(xq . Ejemplo: Sea R = { x / x es un número natural múltiplo de 10} = {10, 20, 30, 40, 50,…} Sea T = { x / x es un número natural múltiplo de 5} = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35,...} Observamos que TR ⊆ , esto equivale a decir: “Si x es múltiplo de 10, entonces es múltiplo de 5” Cuando dos conjuntos no tienen ningún elemento en común, decimos que son conjuntos disjuntos. Ejemplos

• P = { x / x es número par}, I = { y / y es un número impar}.

Los conjuntos P e I son conjuntos disjuntos.

• R = { x / x es número positivo} S = { y / y es un número negativo}.

Los conjuntos R y S son conjuntos disjuntos.

Importante: En las matemáticas es conveniente en algunas ocasiones introducir algunos conceptos a manera de definición, es decir, se aceptan porque se consideran necesarios y no conllevan a ninguna contradicción; solamente se justifica su necesidad. Si el concepto implica contradicciones no se acepta.

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De esta manera, el conjunto vacío,φ , se considera subconjunto de cualquier conjunto, φ T⊆ ; igual, es subconjunto de si mismo, φ ⊆ φ . Conviene definir también, que el conjunto vacío es subconjunto propio de cualquier conjunto pero no de si mismo. Actividad: 1. Arme dos conjuntos C y D de tal manera que se satisfagan las siguientes relaciones: ,DC ∈ DC ⊆ y .DC ⊂ 2. Determine cuál enunciado es verdadero y cuál es falso: a) { } { }a d, ,c d, , ca = ; b) { } { }c b, ,b c, b, a, c, , aa = ; c){ } { }xyx ,y x,y, y, , = ; d) { }{ }0⊆φ ; e) { } { }{ }00 ∈ ; f) { } { }{ }00 ⊆ ; g) { } { }{ }00 ⊂ ; h) Todo subconjunto de un conjunto infinito es infinito. i) Todo subconjunto de un conjunto infinito es finito. j) Todo subconjunto de un conjunto finito es infinito. k) Todo subconjunto de un conjunto finito es finito. 3. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son iguales entre si? a) { }LuisJoséPedro , , ; b) { }10 100, ,1 ; c) { }$10 $100, ,1$ , d) { }100 1, ,10 ; e) { }JoséPedroLuis , , ; f) { }1552/ =+xx ; g) { }25/ 2 =kk ; h) { }100 ,1000 ,10 ; i){ }0 ; j) { }; k) { }φ ; L) φ . Ejercicios para resolver como autoevaluación: 1. Sean F = {5} y G = {5,7}. Para los siguientes enunciados, determinar si son verdaderos o falsos dando razones del por qué. a) GF ⊆ b) GF ⊂ c) GF ∈ d) F∈5 e) F⊆5 f) G⊂5 g) G∈7 h) F⊂7 i) G⊆7 2. Resolver el ejercicio 1, si F = {5} y G = {{5}, 7} 3. Sean P = {4}, Q = {3, 4}, R = {1, 2, 3}, S = {1, 2}, T = {1, 2, 4}. Para los siguientes enunciados, determinar si son verdaderos o falsos dando razones del por qué a) RS ⊂ b) TQ ≠ c) TP ⊂ d) RP ⊆

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e) RQ = f) SQ ⊂ 4. Sean X = {a, b}, Y = {{a}, {b}}, Z = {{a}, {a, b}}, W = {{a}, {b}, {a, b}}. Para los siguientes enunciados, determinar si son verdaderos o falsos dando razones del por qué. a) YX = b) YX ⊂ c) ZX ⊆ d) ZX ∈ e) WX ⊆ f) ZY ⊂ g) WY ⊂ h) WX ∈ i) WY ∈ 5. Para los conjuntos del ejercicio 4, responda. n(X) = ?, n(Y) = ?, n(Z) = ?, n(W) = ?. 6. ¿El conjunto vacío es un conjunto disjunto consigo mismo? Explique. 7. Construya dos conjuntos D y E de tal forma que se cumpla .ED ⊆ Subconjuntos de un Conjunto Para la solución de algunas situaciones problemáticas es relevante conocer que dado un conjunto de m elementos, se pueden generar m2 subconjuntos del conjunto dado. El conjunto formado por los m2 subconjuntos, una familia de conjuntos, se denomina conjunto potencia. Ejemplos:

• Sea A = {0}. Como A es un conjunto unitario, su único elemento es el número cero, tiene entonces 221 = subconjuntos: { }01 =A y φ=2A . Recordemos que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.

• Sea B = {2, 3}. Como el conjunto B está formado por dos elementos,

tiene 422 = subconjuntos. ,1 φ=A },2{2 =A },3{3 =A 3} {2,4 =A El conjunto potencia de un conjunto cualquiera B se simboliza P(B), para el ejemplo anterior, P(B) = { ,φ },2{ },3{ 3} {2, } Ejercicios para resolver como autoevaluación: 1. Escribir el conjunto potencia para el conjunto C = {x, y, z}

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2. Escribir el conjunto potencia para el conjunto D = {2, 3, 5, 7} 3. Escribir el conjunto potencia para el conjunto E = {1, 2, 3, 5, 8} 4. Escribir el conjunto potencia para el conjunto vacío. 2.5 Operaciones entre Conjuntos Los Conjuntos como un Sistema Matemático Con las operaciones entre conjuntos aprenderemos a construir conjuntos nuevos a partir de conjuntos previamente conocidos utilizando para ello operaciones y propiedades. Complemento de un Conjunto Sea un conjunto universal U y sea A un subconjunto de U. Definimos el complemento del conjunto A, respecto al universal U, como el conjunto de los elementos del universal que no pertenecen al conjunto A. Se simboliza cA .

}/{ AxUxxAc ∉∧∈= Si A es un conjunto definido por comprensión

)(/{ xpxA = }, Entonces p(x)} / { ¬= xAc Ejemplos • Sea } / { alfabetoletra del unaesxxU = y sea } / { consonanteunaesxxA = ,

entonces } / { vocalunaesxxAc = Sea U el conjunto de los números naturales, U = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…, n,…} y sea P el conjunto de los números pares, P = {0, 2, 4, 6, 8, 10,…, 2n,…}. El complemento de P es el conjunto de los números impares, I = {1, 3, 5, 7,…, 2n + 1,…} La operación complemento de un conjunto es equivalente a la operación negación de una proposición de la lógica matemática. Propiedades del Complemento Para cualquier conjunto A y B se cumple que, 1. AA cc =)( , de otro modo, p(x)} / {)( ¬¬== xAA cc 2. φ=cU y Uc =φ 3. cc BA = , si y sólo si, BA =

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4. Si BA ⊂ , entonces cc AB ⊆ . Esta propiedad es equivalente en lógica matemática a la contrarrecíproca de un condicional: ).( )( )( xpxqq(x)xp ¬→¬⇔→ Intersección de Conjuntos La intersección de dos conjuntos D y E, simbolizada ,EDI es el conjunto de los elementos que pertenecen tanto D como a E; es el conjunto de los elementos comunes a D y E.

E} x D x/{ ∈∧∈= xEDI Si los conjuntos D y E están definidos por comprensión,

D = { x / )(xp } E = { x / )(xq } La intersección de los conjuntos D y E, en el lenguaje de la lógica matemática queda:

q(x)} p(x) /{ ∧= xED I

Importante: La operación intersección de conjuntos es equivalente a la operación conjunción de proposiciones de la lógica matemática. Dos conjuntos D y E son disjuntos si φ=EDI . Si φ≠EDI , se dice que los conjuntos D y E son intersecantes. Sea P el conjunto de los números pares, P = {0, 2, 4, 6, 8, 10,…, 2n,…} y sea I el conjunto de los números impares, I = {1, 3, 5, 7,…, 2n + 1,…}. La intersección de estos dos conjuntos es el conjunto vacío. Propiedades de la Intersección Para cualesquiera conjuntos A, B y C se cumple que, 1. φφ =IA 2. φ=cAAI . Ley del Medio Excluido. 3. AAA =I . Ley de Idempotencia 4. AUA =I 5. ABBA II = . Ley Conmutativa 6. BCACBACBACBA IIIIIIII )()()( === . Ley Asociativa Unión de Conjuntos

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La unión de dos conjuntos D y E, simbolizada ,EDU es el conjunto de los elementos que pertenecen a D o E, o también, es el conjunto de los elementos que pertenecen a por lo menos uno de los dos conjuntos D y E.

E} x D x/{ ∈∨∈= xEDU La unión de los conjuntos D y E, ,EDU tiene como elementos: Los elementos que pertenecen a D pero que no pertenecen a E, .cED I Los elementos que no pertenecen a D pero que pertenecen a E, .EDc I Los elementos comunes a D y E, .ED I Si los conjuntos D y E están definidos por comprensión,

D = { x / )(xp } E = { x / )(xq } La unión de los conjuntos D y E, en el lenguaje de la lógica matemática queda:

q(x)} p(x) /{ ∨= xEDU

Importante: La operación unión de conjuntos es equivalente a la operación disyunción de proposiciones de la lógica matemática. Sea P el conjunto de los números pares, P = {0, 2, 4, 6, 8, 10,…, 2n,…} y sea I el conjunto de los números impares, I = {1, 3, 5, 7,…, 2n + 1,…}. La unión de estos dos conjuntos es el conjunto de los números naturales. Propiedades de la Unión Para cualquier conjunto A, B y C se cumple que: 1. AA =φU 2. UAA c =U . Ley del Medio Excluido. 3. AAA =U . Ley de Idempotencia 4. UUA =U 5. ABBA UU = . Ley Conmutativa 6. BCACBACBACBA UUUUUUUU )()()( === . Ley Asociativa. Diferencia de Conjuntos La diferencia de dos conjuntos D y E, simbolizada ,ED − es el conjunto de los elementos que pertenecen a D pero no pertenecen a E.

E} x D x/{ ∉∧∈=− xED La diferencia de los conjuntos D y E, ,ED − se puede expresar de otras maneras:

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ccc EDEDED )( UI ==− Si los conjuntos D y E están definidos por comprensión,

D = { x / )(xp } E = { x / )(xq } La diferencia de los conjuntos D y E, en el lenguaje de la lógica matemática queda:

q(x)} p(x) /{ ¬∧=− xED

Importante: La operación diferencia de conjuntos es equivalente a la operación negación de un condicional de proposiciones de la lógica matemática. Sea U el conjunto de los números naturales, U = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…, n,…} y sea P el conjunto de los números pares, P = {0, 2, 4, 6, 8, 10,…, 2n,…}. La diferencia entre los conjuntos, U – P, es el conjunto de los números impares, I = {1, 3, 5, 7,…, 2n + 1,…} Diferencia Simétrica de Conjuntos La diferencia simétrica de dos conjuntos D y E, simbolizada ED ∆ , es el conjunto de los que pertenecen a la unión entre D y E, pero no pertenecen a su intersección.

)}() /({ ExDxEDxxED ∈∧∉∨∉∧∈=∆ ⇔ { )()/( EDxEDxx ∩∉∧∪∈ La diferencia simétrica de los conjuntos D y E, ED ∆ se puede expresar de otras maneras:

)()()()( DEEDEDEDED −−=−=∆ UIU Si los conjuntos D y E están definidos por comprensión,

D = { x / )(xp } E = { x / )(xq } La diferencia simétrica de los conjuntos D y E, en el lenguaje de la lógica matemática queda:

)]}q( )( [)]( )([ / { xxpxqxpxED ∧¬∨¬∧=∆

Importante: La operación diferencia simétrica de conjuntos es equivalente a la operación disyunción excluyente de proposiciones de la lógica matemática.

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Sea P el conjunto de los números pares, P = {0, 2, 4, 6, 8, 10,…, 2n,…} y sea I el conjunto de los números impares, I = {1, 3, 5, 7,…, 2n + 1,…}. La diferencia simétrica de estos dos conjuntos es el conjunto de los números naturales. Actividad: Determine los elementos de los conjuntos F y G si: a) { }hgfedcbaU ,,,,,,,= ; { }gecbF c ,,,= ; { }gdaG c ,,= . b) { }40,30,20,10=cF ; { }10,80,70,60,50=∪ GF ; { }80,70=∩ GF ¿Cuál es el conjunto Universal? c) Determine el conjunto U y los subconjuntos A, B y C si: φ=∪ CB , { }5=∩ CA ;

{ }17,7,5,13,3,2=∪ BA ; { }29,23,19,5,13,3,2=∪ CA ; { }31,29,23,31,5,2,11=CB ; { }31,23,11)( =∪∪ cCBA .

2.6 Álgebra de Conjuntos En la tabla siguiente se enumeran las leyes o identidades que son satisfechas por los conjuntos, para las operaciones de complemento, unión e intersección. LEYES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS Leyes Idempotentes

AAA =I AAA =U Leyes Asociativas

)()( CBACBA IIII = )()( CBACBA UUUU = Leyes Conmutativas

ABBA II = ABBA UU = Leyes Distributivas

)()()( CABACBA IUIUI = )()()( CABACBA UIUIU = Leyes de Identidad

φφ =IA AA =φU AUA =I UUA =U

Leyes de Complementación φ=cAAI UAA c =U

φ=cU ; Uc =φ AA cc =)(

Leyes de Morgan ccc BABA UI =)( ccc BABA IU =)(

Para reflexionar: Es el momento de definir lo que es un “Sistema Matemático”: Un Sistema Matemático es un conjunto de propiedades y leyes que permiten realizar operaciones y establecer relaciones con un objeto o ente matemático.

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Así, un sistema matemático está compuesto por objetos o entes matemáticos, relaciones, operaciones, propiedades y leyes. El concepto de conjunto satisface las condiciones que distinguen a un sistema matemático: Entre el conjunto y sus elementos se establecen relaciones y operaciones reglamentadas por un grupo de propiedades y leyes. Al sistema se le llama Álgebra de Conjuntos. También, el concepto de proposición matemática satisface las condiciones que distinguen a un sistema matemático: Entre las proposiciones matemáticas se establecen relaciones y operaciones reglamentadas por un grupo de propiedades y leyes. Al sistema se le llama Álgebra de Proposiciones. Si comparamos el conjunto de propiedades y leyes del Álgebra de Conjuntos con el del Álgebra de Proposiciones, notamos que son las mismas; por esto, estas dos álgebras son comparables o equivalentes y es posible hacer analogías entre las relaciones, operaciones, leyes y propiedades de ambos sistemas. Existen otros sistemas matemáticos análogos con los conjuntos y las proposiciones, como son el álgebra de circuitos y el álgebra binaria; pero todas ellas hacen parte de un sistema más amplio y abstracto con propiedades diferentes llamado Álgebra de Boole. Más adelante entraremos a trabajar con el sistema matemático de los números, el más conocido, y aprenderemos que dicho sistema no es análogo a los sistemas matemáticos de tipo Booleano, el conjunto de propiedades y leyes es diferente y las relaciones y operaciones no son del todo comparables. Un error común en los estudiantes en el aprendizaje de las matemáticas es creer que “las matemáticas son sólo números” y pretenden resolver todo con las propiedades y leyes del álgebra de números. Es relevante reconocer a las matemáticas como sistemas y que cada sistema lo define un objeto o ente matemático; dicho objeto matemático se trabaja a través de un grupo de propiedades, leyes, operaciones y relaciones propias de tal objeto. Ejercicios para resolver como autoevaluación: 1. Sea U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, X = {2, 3, 5, 7}, Y = {1, 3, 5, 8}, Z = {0, 2, 4, 6, 8} y W = {1, 3, 5, 7, 9}. Encontrar: a) cccc WyZYX , ,

b) ZX I y WY I

c) cYX )( U y

cWZ )( U d) YX − e) YX ∆ f) cU , WU I , ZU U 2. Sea U el conjunto de los números naturales, U = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…, n,…}.

59

Sea A = { x / x es un número natural mayor que 10} Sea B = { x / x es un número natural menor o igual que 20} Encontrar: a) cA y cB b) BAI c) BAU d) BA − e) BA ∆ 3. Para los conjuntos A y B del ejercicio anterior, encontrar. a) cc BA I b) cc BA U c) cc AB − d) cc AB ∆ e) cc BU U 4. Sea U el conjunto de los números naturales, U = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…, n,…}. Sea A = { x / x es un número natural menor o igual que 10} Sea B = { x / x es un número natural menor o igual que 20} Encontrar: a) cA y cB b) BAI c) BAU d) BA − e) BA ∆ 5. Para los conjuntos A y B del ejercicio anterior, encontrar: a) cc BA I b) cc BA U c) cc AB − d) cc AB ∆ e) cc BU U 6. Escribir en lenguaje de conjuntos las siguientes equivalencias. a) qpqp ) ( ¬∨¬↔∧¬ b) pp ↔¬¬ c) rqprqp ∧∧↔∧∧ )()( d) ppp ↔∨ )( e) pvp ↔∧ . La letra v simboliza a una proposición que siempre es verdadera. 7. Escribir en lenguaje de conjuntos las siguientes equivalencias.

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a) qpqp ) ( ¬∧¬↔∨¬ b) rqprqp ¬∨↔∨∨ )()( c) ppp ↔∧ )( d) pfp ↔∧ . La letra f simboliza a una proposición que siempre es falsa. 8. Escribir en lenguaje de lógica matemática las siguientes operaciones entre conjuntos. a) )()()( CABACBA IUIUI = b) )()()( CABACBA UIUIU = 2.7 Diagramas de Venn La Representación Gráfica de los Conjuntos Las relaciones y operaciones entre conjuntos se representan de una manera práctica y útil a través de un sistema gráfico denominado Diagramas de Venn, que consiste en representar un conjunto de elementos por el conjunto de puntos de una región cerrada del plano. Por ejemplo, el conjunto universal se acostumbra a representar por el conjunto de puntos interiores de un rectángulo, naturalmente se puede utilizar cualquier otra figura. Cualquier subconjunto del conjunto Universal se representa por regiones cerradas en el interior del rectángulo. Es común utilizar círculos para representar los subconjuntos del conjunto universal. Ejemplos • El conjunto universal U y un subconjunto A:

U

A

• El conjunto universal U y dos subconjuntos A y B. En este caso se presentan

cuatro situaciones diferentes.

61

U U

A B BA

Los conjuntos A y B son disjuntos El conjunto A es subconjunto de B

Los conjuntos A y B tienen El conjunto B es subconjunto de A elementos comunes Para el caso del conjunto universal y tres subconjuntos A, B y C, se presentan diversas combinaciones. Mientras no se diga otra cosa, supondremos que los tres conjuntos son intersecantes.

U

B

CA

Para el caso del conjunto universal y cuatro o más subconjuntos, los diagramas hasta ahora mostrados no son útiles. A continuación vemos un diseño para el caso del conjunto universal y cuatro subconjuntos.

A BB

A

U U

62

U

A B

C

D

Las operaciones fundamentales entre conjuntos se pueden ilustrar a través de los diagramas de Venn. Unión: BA ∪

Intersección: BA ∩

Complemento: CA

BAU

UA B

UA B

UA

B

UA

B

UA B

A

U

CA

63

Diferencia: A- B y Diferencia:

Diferencia Simétrica:

Actividad:

Utilice diagramas de Venn para mostrar la validez o falsedad de las siguientes relaciones entre operaciones de conjuntos: 1. ( ) ccc EDED IU = 2. ( ) ccc EDED UI = 3. ( ) ( ) ( )FDEDFED −−=− IU 4. ( ) ( ) ( )EDFDFED −−−=−I 5. ¿Cuál es el conjunto D, si ( ) ( )cBABAD UIU= ? 6. ¿Cuál es el conjunto D, si ( ) ( )BABAD ccc UIU= ? Ejercicios para resolver como autoevaluación: Represente en diagramas de Venn las operaciones indicadas 1. )()( CABA IUI

U

U

64

A B

R1

R2 R4

R3

2. cCBA )( UU 3. CBA cc II 4. CBA I)( − 5. CBA ) ( ∆∆ 6. )( CBA IU 7. )()( CABA UIU . Compare el resultado con el ejercicio anterior. 8. )( CBA UI 9. )()( CABA IUI . Compare el resultado con el ejercicio anterior. 10. )()( BABA c III Partición del Conjunto Universal con Diagramas de Venn Una característica importante de los diagramas de Venn, es que permiten visualizar una partición del conjunto universal, es decir, dividirlo en regiones disjuntas entre si. El número total de regiones se obtiene de la fórmula m2 , donde m es el número de subconjuntos del conjunto universal. Como primer caso miremos el conjunto universal y un subconjunto A, se generan

221 = regiones como se indica en la gráfica: A y cA ; los elementos que pertenecen al conjunto A y los elementos que no pertenecen al conjunto A.

U

A

cA

Como segundo caso, el conjunto universal y dos subconjuntos A y B, se generan 422 = regiones:

R4 = ,BAI los elementos que pertenecen tanto al conjunto A como al conjunto B. R3 = ,BAc I Los elementos que no pertenecen al conjunto A pero pertenecen a B. R2 = ,cBAI Los elementos que pertenecen al conjunto A pero no pertenecen a B. R1= ,cc BA I los elementos que no pertenecen ni al conjunto A ni al conjunto B.

65

En el tercer caso, el conjunto universal y tres subconjuntos A, B y C, se generan

823 = regiones:

,CBA II los elementos que pertenecen tanto a A, como B y C. ,CBAc II los elementos que no pertenecen a A pero pertenecen a B y C. ,CBA c II los elementos que no pertenecen a B pero pertenecen a A y C. ,cCBA II los elementos que no pertenecen a C pero pertenecen a A y B. ,CBA cc II los elementos que no pertenecen ni a A ni a B, pero pertenecen a C. ,cc CBA II los elementos que no pertenecen ni a A ni a C, pero pertenecen a B. ,cc CBA II los elementos que no pertenecen ni a B ni a C, pero pertenecen a A. ,ccc CBA II los elementos que no pertenecen ni a A, ni a B, ni a C.

Actividad: Ubique las regiones anteriores en un diagrama de Venn con tres conjuntos intersecantes. Ejercicios para resolver como autoevaluación: 1. Escribir las regiones para el universal y cuatro subconjuntos A, B, C y D. Hacer un gráfico indicando cada una de las regiones. 2. Escribir las regiones para el universal y cinco subconjuntos A, B, C, D y E. 2.8 Aplicaciones del Álgebra de Conjuntos Obtener Información de las regiones disjuntas de un conjunto universal y su utilización para el análisis y la toma de decisiones. Para la partición que se genera con el conjunto universal y un subconjunto A , A y

cA , por la Ley de Complementación se cumple que φ=cAAI , .UAA c =U Por lo tanto se cumple también que ).()()( AnAnUn c += De este modo, el cardinal del universal es el cardinal del conjunto A más el cardinal del conjunto complemento de A . La expresión, ),()()( AnAnUn c += la podemos considerar como una fórmula donde el cardinal de cada conjunto es una variable. Esto quiere decir que si conocemos el número de elementos del conjunto A y del conjunto complemento de A , podemos calcular el número de elementos del conjunto universal; si conocemos el número de elementos del conjunto universal y del conjunto A , podemos calcular el número de elementos del conjunto complemento de A . Finalmente, si conocemos el número de elementos del conjunto universal y del conjunto complemento de A , podemos calcular el número de elementos del conjunto A .

66

Ejemplo: • Un colegio mixto tiene 1.155 estudiantes, de los cuales 556 son mujeres.

¿Cuántos estudiantes son hombres? Llamaremos U al conjunto de estudiantes de colegio, es decir, el conjunto universal, M el conjunto de estudiantes mujeres y H al conjunto de estudiantes hombres. Información suministrada: ,155.1)( =Un .556)( =Mn Información por conocer: ).(Hn Si reemplazamos los valores conocidos en sus correspondientes variables de la fórmula ),()()( HnMnUn += obtenemos )(556155.1 Hn+= . Resolviendo esta fórmula encontramos que el colegio tiene 599 estudiantes varones. Ahora, consideremos la unión de dos conjuntos intersecantes A y B, ,BAU el número de elementos de la unión, ),( BAn U es igual al número de elementos del conjunto A, más el número de elementos del conjunto B, menos el número de elementos de la intersección.

Importante: Se resta el número de elementos de la intersección, puesto que al sumar los elementos de A y los elementos de B, se están sumando dos veces los elementos de la intersección.

)()()()( BAnBnAnBAn IU −+= Si los conjuntos A y B son disjuntos, la intersección de los dos conjuntos es vacía y su número de elementos es cero, entonces:

)()()( BnAnBAn +=U Apoyados en los anteriores conceptos y recurriendo a las leyes del Álgebra de Conjuntos, vemos que se pueden obtener fórmulas que permiten conocer información de una región del conjunto universal a partir de una información previamente conocida de otras regiones del mismo. De esta manera, la fórmula se puede generalizar para tres o más conjuntos intersecantes, veamos el caso para tres conjuntos:

)()()()()()()()( CBAnCBnCAnBAnCnBnAnCBAn IIIIIUU +−−−++= Actividad: 1. Escribir la fórmula para el número de elementos de la unión de cuatro conjuntos A, B, C y D.

67

2. Escribir la fórmula para el número de elementos de la unión de cinco conjuntos A, B, C, D y E. Ejemplo • Sea D = { x / x es un número natural par menor que 60}

Sea E = {1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55} Observamos que ,30)( =Dn ,9)( =En 3)( =EDn I . Entonces:

363930)()()()( =−+=−+= EDnEnDnEDn IU Ejemplo • De un grupo de empleados de una empresa al recibir el pago de la prima, 250

compraron ropa, 100 compraron electrodomésticos y 50 compraron ropa y electrodomésticos. ¿Cuál es el tamaño del grupo de empleados?

Sean: U el conjunto universal R = { x / x compra ropa} E = { x / x compra electrodoméstico}

,250)( =Rn 100)( =En y .50)( =ERn I Entonces:

.30050100250)()()()( =−+=−+= ERnEnRnERn IU Acerca del problema anterior, podemos hacernos algunas preguntas adicionales como son: ¿Cuántas personas compraron ropa y no compraron electrodomésticos? ¿Cuántas personas compraron electrodomésticos y no compraron ropa? ¿Algunas personas no compraron ni ropa, ni electrodomésticos? ¿Cuántas personas no compraron ropa? ¿Cuántas personas no compraron electrodomésticos? En lenguaje de conjuntos, las anteriores preguntas se escriben:

),( cERn I ),( cREn I ),( cc ERn I ),( cRn ),( cEn respectivamente. Vemos en el anterior ejemplo que la información se puede clasificar en dos grupos: Una información que se obtiene desde el conteo directo de los elementos de algunas regiones del conjunto universal y otra información que se obtiene por cálculo con la ayuda de fórmulas, a partir de la información que se cuenta directamente. La información obtenida por conteo directo se denomina información básica y la información hallada por cálculo se llama información derivada. Así que para los dos conjuntos intersecantes R y E, la información básica es

),(Un ),(Rn )(En y ).( ERn I Este tipo de información se llama información de

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atributos positivos, en el sentido que no contiene información que haga referencia al complemento de algún conjunto. Veamos a continuación las fórmulas que permiten calcular información derivada.

).()()( AnUnAn c −= ).()()( BnUnBn c −= Por la Ley de Complementación.

).()()( BAnAnBAn c II −= ).()()( BAnBnBAn c II −= Puesto que φ=)()( BABA c III

ccc BAnBAn )()( UI = Por la Ley de Morgan

)()( BAnUn U−= Por la Ley de Complementación. )]()()([)( BAnBnAnUn I−+−= Cardinal de la unión de dos conjuntos

).()()()()( BAnBnAnUnBAn c II +−−= Resta de dos o más términos. Las anteriores fórmulas se pueden generalizar para tres o más subconjuntos intersecantes de un conjunto universal. Ejemplos: • En una encuesta a 10.500 personas que comúnmente invierten sus ahorros,

sea en renta fija o renta variable, se obtuvo la siguiente información básica: 4.500 personas invierten en renta fija, 2.500 personas invierten en renta variable y 500 personas invierten en ambas modalidades.

Calcular: a) ¿Cuántas personas no invierten en renta fija? b) ¿Cuántas personas no invierten en renta variable? c) ¿Cuántas personas invierten únicamente en renta fija? d) ¿Cuántas personas invierten únicamente en renta variable? e) ¿Cuántas personas invierten al menos en una de las dos modalidades? f) ¿Cuántas personas no invierten en ninguna de las dos modalidades? Solución Sean: U el conjunto universal F = { x / x invierte en renta fija} V = { x / x x invierte en renta variable} Información suministrada: ;500.10)( =Un ;500.4)( =Fn ;500.2)( =Vn .500)( =VF I Información por conocer: ),( cFn ),( cVn ),( cVFn I ),( VFn c I ),( VFn U ).( cc VFn I a) .000.6500.4500.10)()()( =−=−= FnUnFn c b) .000.8500.2500.10)()()( =−=−= VnUnVn c c) .000.4500500.4)()()( =−=−= VFnFnVFn c II

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d) .000.2500500.2)()()( =−=−= VFnVnVFn c II e) .500.6500500.2500.4)()()()( =−+=−+= VFnVnFnVFn IU f) .000.4500500.2500.4500.10)()()()()( =+−−=+−−= VFnVnFnUnVFn cc II En el siguiente ejemplo la información básica o de conteo directo se refiere al cardinal de cada una de las cuatro regiones disjuntas que se generan en el conjunto universal con dos subconjuntos. • En una universidad se encontraron los siguientes resultados respecto al

número de estudiantes matriculados en las electivas de idiomas: 250 estudiantes están matriculados en inglés y francés, 400 únicamente en inglés, 700 solamente en francés y 800 no se encuentran matriculados en los dos idiomas.

Calcular: a) ¿Cuántos estudiantes tiene la universidad? b) ¿Cuántos estudian inglés? c) ¿Cuántos estudian francés? d) ¿Cuántos no estudian inglés? e) ¿Cuántos no estudian francés? f) ¿Cuántos estudian por lo menos uno de los dos idiomas? Solución Sean: U el conjunto universal I = { x / x estudia inglés} F = { x / x x estudia francés} Información suministrada o información básica: ,250)( =FIn I ,400)( =cFIn I

,700)( =FIn c I .800)( =cc FIn I Información por conocer: ),(Un ),(In ),(Fn ),( cIn )( cFn y ).( FIn U a) 150.2800700400250)()()()()( =+++=+++= cccc FInFInFInFInUn IIII b) 650400250)()()( =+=+= cFInFInIn II c) 950700250)()()( =+=+= FInFInFn c II d) 1500800700)()()( =+=+= cccc FInFInIn II e) 1200800400)()()( =+=+= cccc FInFInFn II f) 1350250950650)()()()( =−+=−+= FInFnInFIn IU . Esta última información también se puede calcular de la siguiente manera:

350.1250700400)()()()( =++=++= FInFInFInFIn cc IIIU

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Resolveremos ahora un caso donde el conjunto universal contiene tres subconjuntos intersecantes y la partición ocho regiones disjuntas entre si. • En una población se encuestó a sus habitantes acerca del tipo de revistas de

opinión que compran: economía, deportes o farándula. Se encontraron los siguientes resultados: 100 personas compran los tres tipos de revistas; 1.000 personas compran únicamente revistas de economía y deportes; 4.000 personas compran exclusivamente revistas de economía; 500 personas compran revistas de economía y farándula, pero no de deportes; 1.000 personas compran solamente revistas de farándula; 300 personas no compran revistas de economía, pero si de deportes y farándula; 2.000 sólo compran revistas deportivas y 3.000 personas no compran estos tres tipos de revistas.

Responder toda la información que se derive de los datos suministrados. Solución Sean: U el conjunto universal

E = { x / x compra revistas de economía} D = { x / x compra revistas de deportes} F = { x / x compra revistas de farándula}

Información suministrada o información básica:

,100)( =FDEn II ,000.1)( =cFDEn II ,000.4)( =cc FDEn II

,500)( =FDEn c II ,000.1)( =FDEn cc II ,300)( =FDEn c II

,000.2)( =cc FDEn II .000.3)( =ccc FDEn II ¿Cuántas personas se encuestaron?

900.11000.3000.2300000.1500000.4000.1100)( =+++++++=Un ¿Cuál es el total de personas que compran revistas de economía?

=+++= )()()()()( FDEnFDEnFDEnFDEnEn cccc IIIIIIII 600.5500000.4000.1100 =+++

¿Cuál es el total de personas que compran revistas de deportes?

=+++= )()()()()( FDEnFDEnFDEnFDEnDn cccc IIIIIIII 400.3300000.2000.1100 =+++

¿Cuál es el total de personas que compran revistas de farándula?

=+++= )()()()()( FDEnFDEnFDEnFDEnFn cccc IIIIIIII 900.1300000.1500100 =+++

¿Cuál es el total de personas que no compran revistas de economía?

=+++= )()()()()( ccccccccc FDEnFDEnFDEnFDEnEn IIIIIIII 300.6000.3000.1300000.2 =+++

¿Cuál es el total de personas que no compran revistas de deportes?

71

=+++= )()()()()( ccccccccc FDEnFDEnFDEnFDEnDn IIIIIIII 500.8000.3000.1500000.4 =+++

¿Cuál es el total de personas que no compran revistas de farándula?

=+++= )()()()()( ccccccccc FDEnFDEnFDEnFDEnFn IIIIIIII 000.10000.3000.2000.1000.4 =+++

¿Cuál es el total de personas que compran revistas de economía y deportes?

100.1100000.1)()()( =+=+= FDEnFDEnDEn c IIIII ¿Cuál es el total de personas que compran revistas de economía, pero no de deportes?

500.4500000.4)()()( =+=+= FDEnFDEnDEn cccc IIIII ¿Cuál es el total de personas que no compran revistas de economía, pero si de deportes?

300.2300000.2)()()( =+=+= FDEnFDEnDEn cccc IIIII ¿Cuál es el total de personas que no compran revistas de economía, ni de deportes?

000.4000.3000.1)()()( =+=+= ccccccc FDEnFDEnDEn IIIII ¿Cuál es el total de personas que compran revistas de economía y farándula?

600100500)()()( =+=+= FDEnFDEnFEn c IIIII ¿Cuál es el total de personas que compran revistas de economía, pero no de farándula?

000.5000.1000.4)()()( =+=+= cccc FDEnFDEnFEn IIIII ¿Cuál es el total de personas que no compran revistas de economía, pero si de farándula?

300.1300000.1)()()( =+=+= FDEnFDEnFEn cccc IIIII ¿Cuál es el total de personas que no compran revistas de economía, ni de farándula?

000.5000.3000.2)()()( =+=+= ccccccc FDEnFDEnFEn IIIII ¿Cuál es el total de personas que compran revistas de deportes y farándula?

400100300)()()( =+=+= FDEnFDEnFDn c IIIII ¿Cuál es el total de personas que compran revistas de deportes, pero no de farándula?

000.3000.1000.2)()()( =+=+= cccc FDEnFDEnFDn IIIII ¿Cuál es el total de personas que no compran revistas de deportes, pero si de farándula?

72

500.1500000.1)()()( =+=+= FDEnFDEnFDn cccc IIIII ¿Cuál es el total de personas que no compran revistas de deportes, ni de farándula?

000.7000.3000.4)()()( =+=+= ccccccc FDEnFDEnFDn IIIII ¿Cuál es el total de personas que compran por lo menos una de las tres revistas?

)()()()()( ccc FDEnFDEnFDEnFDEnFDEn IIIIIIIIUU +++= )()()( cccccc FDEnFDEnFDEn IIIIII +++ 900.8000.4000.2000.1000.1500300100 =++++++= En el siguiente ejemplo veremos cómo resolver una situación problemática en la cual la información básica suministrada contiene sólo datos con atributos positivos, esto es: ),(Un ),(Pn ),(Qn ),(Rn ),( QPn I ),( RPn I )( RQn I y

).( RQPn II La información derivada se calcula con las fórmulas a continuación:

)()()( PnUnPn c −= )()()( QnUnQn c −= )()()( RnUnRn c −=

)()()( QPnPnQPn c II −= )()()( QPnQnQPn c II −=

)()()()()( QPnQnPnUnQPn cc II +−−= )()()( RPnPnRPn c II −= )()()( RPnRnRPn c II −=

)()()()()( RPnRnPnUnRPn cc II +−−= )()()( RQnQnRQn c II −= )()()( RQnRnRQn c II −=

)()()()()( RQnRnQnUnRQn cc II +−−= )()()( RQPnQPnRQPn c IIIII −= )()()( RQPnRPnRQPn c IIIII −= )()()( RQPnRQnRQPn c IIIII −=

)()()()()( RQPnRQnRPnRnRQPn cc IIIIII +−−= )()()()()( RQPnRQnQPnQnRQPn cc IIIIII +−−= )()()()()( RQPnRPnQPnPnRQPn cc IIIIII +−−=

)()()()()()()()()( RQPnRQnRPnQPnRnQnPnUnRQPn ccc IIIIIII −+++−−−=)()()()()()()()( RQPnRQnRPnQPnRnQnPnRQPn IIIIIUU +−−−++=

Ejercicios para resolver como autoevaluación:

73

1. Aplicando las fórmulas anteriores calcular toda la información derivada para la siguiente información básica: Una empresa tiene 3.500 empleados de los cuales 2.350 están afiliados a pensiones; 1.850 a cesantías; 1.350 a ahorro programado; 950 a pensiones y cesantías; 550 a pensiones y ahorro programado; 450 a cesantías y ahorro programado; 150 están afiliados a pensiones, cesantías y ahorro programado. 2. La secretaría de movilidad realizó una encuesta a 5.000 personas para conocer el modo de transporte de los ciudadanos del Distrito Capital y encontró los siguientes resultados: 1.500 personas se transportan únicamente en auto particular. 3.600 personas se transportan únicamente en trasporte urbano. 850 personas se transportan únicamente en taxi. 3.500 personas se transportan únicamente en Transmilenio. 500 personas se transportan únicamente en particular, urbano y taxi. 650 personas se transportan únicamente en particular, urbano y Transmilenio. 700 personas se transportan únicamente en particular, taxi y Transmilenio. 1.200 personas se transportan únicamente en urbano, taxi y Transmilenio. 950 personas se transportan únicamente en particular y urbano. 1.150 personas se transportan únicamente en particular y Transmilenio. 1.650 personas se transportan únicamente en particular y taxi. 3.000 personas se transportan únicamente en urbano y Transmilenio. 1.800 personas se transportan en urbano y taxi. 1.100 personas se transportan únicamente en taxi y Transmilenio. 400 personas no utilizan ninguno de los mencionados medios de transporte. 1.750 personas utilizan los cuatro medios de transporte. Vemos que la información básica se refiere al cardinal de cada una de las regiones disjuntas que se generan en el conjunto universal con cuatro subconjuntos intersecantes. Este tipo de información es conveniente resumirlo en una tabla de doble entrada, como se muestra a continuación. Sea U el conjunto de personas que se transportan en bus urbano, P el conjunto de personas que se transporta en auto particular, T el conjunto de personas que se transporta en taxi y M el conjunto de personas que utiliza el Transmilenio como medio de trasporte.

U U ' U U 'T 1.750 700 1.200 1.100T ' 650 1.150 3.000 3.500T 500 1.650 1.800 850T ' 950 1.500 3.600 400

M

M '

P P 'MOVI LIDAD

74

a) Escribir en lenguaje de conjuntos cada una de la información básica suministrada. b) ¿Cuántas personas se transportan en auto particular? c) ¿Cuántas personas se transportan en Transmilenio? d) ¿Cuántas personas se transportan en taxi? e) ¿Cuántas personas se transportan en urbano? f) ¿Cuántas personas se transportan en particular y taxi? g) ¿Cuánta personas se transportan en particular y Transmilenio? h) ¿Cuántas personas se transportan en particular y urbano? i) ¿Cuántas personas se transportan Transmilenio y taxi? j) ¿Cuántas personas se transportan en Transmilenio y urbano? h) ¿Cuántas personas se transportan en taxi y urbano? 3. En una ciudad se investigó acerca de los problemas de alimentación, salud y aprendizaje de una población escolar y se encontraron los siguientes resultados: 256 niños tienen los tres tipos de problemas; 183 tienen problemas de salud y de aprendizaje solamente; 615 tiene únicamente problemas de salud; 243 tienen problemas de salud y de alimentación exclusivamente; 1.000 tienen exclusivamente problemas de alimentación; 505 tienen problemas de alimentación y aprendizaje exclusivamente; 912 sólo tienen problemas de aprendizaje y 1.587 no tienen ningún tipo de los mencionados problemas. Hallar toda la información que se deriva de estos datos. 4. En la población rural de un departamento se hizo un censo sobre los servicios públicos básicos como teléfono, agua y energía eléctrica y se encontraron los siguientes resultados: 245 viviendas tienen agua, energía y teléfono; 85 viviendas solamente tienen agua y teléfono; 1.232 viviendas únicamente tienen agua; 301 viviendas tienen agua y energía, pero no teléfono; 57 viviendas tienen únicamente energía; 12 viviendas tienen energía y teléfono solamente; 36 viviendas tienen exclusivamente teléfono y 457 viviendas no tienen ni agua, ni energía, ni teléfono. Completar toda la información que se deriva de estos datos 5. El fondo de empleados de una empresa realizó una encuesta entre sus afiliados para definir prioridades en la asignación de préstamos. El número de afiliados al fondo es de 2.000. Se encontraron los siguientes resultados: 610 afiliados son casados; 470 afiliados habitan en vivienda arrendada; 800 afiliados tienen salario inferior a 4 salarios mínimos; 450 afiliados son casados, no habitan en vivienda arrendada y el salario es superior a 4 salarios mínimos; 100 afiliados son casados y habitan en vivienda arrendada; 370 afiliados son solteros, habitan en vivienda arrendada y tienen salario inferior a 4 salarios mínimos; 80 afiliados son casados y el salario es inferior a 4 salarios mínimos. Se quiere saber: a) ¿Cuántos afiliados son solteros, tienen vivienda propia y ganan más de 4 salarios mínimos? b) ¿Cuántos afiliados son casados, habitan en vivienda arrendada y ganan menos de 4 salarios mínimos? c) ¿Cuántos afiliados son casados, habitan en vivienda arrendada y ganan más de 4 salarios mínimos? d) ¿Cuántos afiliados son solteros, ganan menos de 4 salarios mínimos y habitan en vivienda arrendada?

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e) ¿Cuántos afiliados son solteros, habitan en vivienda arrendada y ganan más de cuatro salarios mínimos 6. Del 100% de los municipios de una provincia se encontró que el 50% está ubicado en zonas inundables; el 52% tiene buenas vías de acceso; el 40% tiene planteles de educación con bachillerato completo; 22% está ubicado en zonas inundables y tienen buenas vías de acceso; el 17% tienen buenas vías de acceso y planteles de educación con bachillerato completo; el 20% está ubicado en zonas inundables y tienen planteles de educación con bachillerato completo y el 12% está ubicado en zonas inundables, tienen buenas vías de acceso y planteles de educación con bachillerato completo. Calcular toda la información que se deriva de la información básica suministrada.

RESUMEN La palabra Conjunto se interpreta en el lenguaje cotidiano como la agrupación de varios objetos que se consideran como uno solo. Desde lo matemático, la idea de conjunto se considera simple, intuitiva o primitiva; quiere decir que no se puede definir, esto es, no se puede expresar a partir de conceptos más sencillos. Un conjunto se debe pensar como una agrupación de objetos con una característica común. Los objetos individuales que forman el conjunto son llamados elementos del conjunto. El término elemento se considera también una idea primitiva. Para denominar un conjunto se utilizan letras mayúsculas, las minúsculas se usan para llamar a sus elementos. Los elementos se escriben separados por comas y encerrados entre dos llaves.

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Para definir un conjunto se utilizan comúnmente dos métodos, uno llamado por extensión y el otro por comprensión. Definir un conjunto por extensión significa que se listan en forma explicita los elementos. Definir un conjunto por comprensión significa explicar la característica común de los elementos que permite determinar si un elemento pertenece o no a un conjunto. El criterio de pertenencia es una proposición matemática. El conjunto formado por los elementos que hacen que la proposición que define el criterio de pertenencia se verdadera se llama conjunto solución. Los conjuntos se clasifican en ocasiones de acuerdo al número de elementos que contenga, por ello es importante saber el número de elementos que lo integran. El número de elementos de un conjunto A se simboliza )(An y se llama cardinal del conjunto A. Si un conjunto no contiene elementos, su cardinal es cero, se denomina conjunto vacío y se simboliza { } o también φ . Este es un conjunto muy típico en las matemáticas. Un conjunto que contiene sólo un elemento se llama conjunto unitario. En Álgebra de Conjuntos se define un conjunto muy especial, denominado Conjunto Universal. No es el conjunto de todos los conjuntos, simplemente es un conjunto que permite representar o agrupar todos los elementos que se refieren a una situación en un contexto dado. Si el número de elementos de un conjunto es de exactamente n elementos diferentes, siendo n cualquier entero positivo se dice que el conjunto es finito. De otra forma se dice que el conjunto es infinito. Los conjuntos son objetos matemáticos y por ellos pueden formar parte de otro conjunto como elemento. Este tipo de conjuntos son llamados familia, clase o colección. Como un conjunto está compuesto por objetos llamados elementos, se dice que cualquiera de ellos pertenece al conjunto y se establece la relación de pertenencia entre el conjunto y sus elementos. La relación de pertenencia se simboliza a∈B y se lee “a pertenece a B”. La negación de a∈B, se simboliza a ∉B y se lee “a no pertenece a B” Se dice que dos conjuntos D y E son iguales o idénticos si tiene exactamente los mismos elementos; se simboliza D = E. Un conjunto E es subconjunto de otro conjunto D, si cada elemento de E pertenece a D. Los simbolizaremos: .DE ⊆ Se lee “E es subconjunto de D”, también “E está contenido en D”, o, “D contiene a E”.

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Cuando E es un subconjunto de D pero E y D son conjuntos diferentes, no existe la posibilidad de que sean iguales, decimos en este caso que E es un subconjunto propio de D y se simboliza DE ⊂ . El conjunto vacío,φ , se considera subconjunto de cualquier conjunto, φ T⊆ ; igual, es subconjunto de si mismo, φ ⊆ φ . Se define que el conjunto vacío es subconjunto propio de cualquier conjunto pero no de si mismo. Dado un conjunto de m elementos, se pueden generar m2 subconjuntos del conjunto dado. El conjunto formado por los m2 subconjuntos, una familia de conjuntos, se denomina conjunto potencia. Con las operaciones entre conjuntos se aprende a construir conjuntos nuevos a partir de conjuntos previamente conocidos utilizando para ello operaciones y propiedades. Si U es el conjunto universal y A un subconjunto de U. Se define el complemento del conjunto A, respecto al universal U, como el conjunto de los elementos del universal que no pertenecen al conjunto A. Se simboliza cA .

}/{ AxUxxAc ∉∧∈= La intersección de dos conjuntos D y E, simbolizada ,EDI es el conjunto de los elementos que pertenecen tanto D como a E; es el conjunto de los elementos comunes a D y E.

E} x D x/{ ∈∧∈= xED I La unión de dos conjuntos D y E, simbolizada ,EDU es el conjunto de los elementos que pertenecen a D o E, o también, es el conjunto de los elementos que pertenecen a por lo menos uno de los dos conjuntos D y E.

E} x D x/{ ∈∨∈= xED U La diferencia de dos conjuntos D y E, simbolizada ,ED − es el conjunto de los elementos que pertenecen a D pero no pertenecen a E.

E} x D x/{ ∉∧∈=− xED La diferencia simétrica de dos conjuntos D y E, simbolizada ED ∆ , es el conjunto de los que pertenecen a la unión entre D y E, pero no pertenecen a su intersección.

)}() /({ ExDxEDxxED ∈∧∉∨∉∧∈=∆ ⇔ { )()/( EDxEDxx ∩∉∧∪∈ Las relaciones y operaciones entre conjuntos se representan de una manera práctica y útil a través de un sistema gráfico denominado Diagramas de Venn, que consiste en representar un conjunto de elementos por el conjunto de puntos de una región cerrada del plano.

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Una característica importante de los diagramas de Venn, es que permiten visualizar una partición del conjunto universal, es decir, dividirlo en regiones disjuntas entre si. El número total de regiones se obtiene de la fórmula m2 , donde m es el número de subconjuntos del conjunto universal. Se pueden obtener fórmulas que permiten conocer información de una región del conjunto universal a partir de una información previamente conocida de otras regiones del mismo. Para el caso de tres para tres conjuntos intersecantes se tiene la siguiente fórmula:

)()()()()()()()( CBAnCBnCAnBAnCnBnAnCBAn IIIIIUU +−−−++= La información se puede clasificar en dos grupos: Una información que se obtiene desde el conteo directo de los elementos de algunas regiones del conjunto universal y otra información que se obtiene por cálculo con la ayuda de fórmulas, a partir de la información que se cuenta directamente. La información obtenida por conteo directo se denomina información básica y la información hallada por cálculo se llama información derivada.

GLOSARIO

Conectores: Relación de enlace entre proposiciones matemáticas simples para formar proposiciones compuestas. Conjunto: Lo debemos pensar como una agrupación de objetos con una característica común. Los objetos individuales que forman el conjunto son llamados elementos del conjunto. El término elemento se considera una idea primitiva. Conjunto Solución: Se llama al conjunto formado por los elementos que hacen que la proposición que define el criterio de pertenencia sea verdadera. Conjunto Universal: Es un conjunto que permite representar o agrupar todos los elementos que se refieren a una situación en un contexto dado.

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Contradicción: Son fórmulas proposicionales que son siempre falsas para cualquier combinación de valores de verdad de las proposiciones simples o compuestas que la conformen. Cuantificadores: Es una constante que indica la cantidad de elementos de una determinada categoría que son afectados por la expresión. Hay dos clases de cuantificadores: el universal y el existencial. Diagrama: Gráfico que permite representar mediante un dibujo de tipo geométrico una ley o fenómeno, o para demostrar una proposición o resolver una situación problemática. Fórmula: Es una expresión que está conformada por un número contable de variables conectadas o enlazadas por medio de operaciones y relaciones. Notación: Forma de representar o expresar a través de signos convencionales conceptos de las ciencias. Partición: Es una subdivisión de un conjunto D en subconjuntos disjuntos y cuya unión es el conjunto D, Proposición: Es un enunciado con sentido completo al que solamente se le puede asignar un valor de verdad, que puede ser verdadero o falso, pero no los dos a la vez, es decir una proposición es un enunciado que carece de ambigüedad. Tautologías: Son fórmulas proposicionales que son siempre verdaderas para cualquier combinación de valores de verdad de las proposiciones simples o compuestas que la conformen. Variable: Es un símbolo, generalmente una letra del alfabeto, que se puede remplazar o sustituir por cualquier elemento de un conjunto dado.

BIBLIOGRAFIA ALLENDOERFER, CARL B. OAKLEY, CLETUS O. (1991). Matemáticas Universitarias. México: McGrauw-Hill. APOSTOL, TOM M. (1997). Cálculos, Volumen I. España: Reverté. CARDOZO, CLAUDIA. ELEJALDE, ROCIO. LÓPEZ, GUILLERMO. (2001). De la Lógica a las Funciones. Medellín: Editorial UPB. HERNANDEZ H, FERNANDO. (1998). Teoría de conjuntos. México. Sociedad Matemática Mexicana. JONSONBAUGF, RICHARD. (2005). Matemáticas Discretas. México. Pearson Educación.

80

KATTSOFF, LOUIS O. SIMONE, ALBERT J. (1979). Matemática finita con aplicaciones a las ciencias administrativas. México: Trillas KLEIMAN, ARIEL. DE KLEIMAN, ELENA. (2001). Conjuntos, Aplicaciones a la Administración. México: Limusa. KOVACIC, MICHALE L. (1989) Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Económico-Administrativas. México: Addison-Wesley Iberoamericana. LEITHOLD LOUIS. (1996). Matemáticas Previas al Cálculo. México: Prentice Hall, MORALES, ALFONSO. (1988). Matemáticas II. Bogotá: Publicaciones ESAP. PINZON, ALVARO. (2004). Conjuntos y Estructuras. México: Harla. SUPPES, PATRICK. HILL, SHIRLEY (1993). Shirley Hill. Introducción a la Lógica Matemática. Bogotá: Reverté.

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UNIDAD II

ÁLGEBRA DE NÚMEROS Y

SISTEMAS GEOMÉTRICOS

LECCIÓN 3. ÁLGEBRA DE NÚMEROS

INTRODUCCIÓN: UNA INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS NUMÉRICOS PARA ESTUDIANTES DE GESTIÓN Y SU UTILIZACIÓN EN LOS NEGOCIOS Comenzamos aquí, el estudio del objeto matemático más conocido, el número. En la cotidianidad se tiende a pensar que las matemáticas son sólo números; ya hemos estudiado dos objetos matemáticos, proposiciones matemáticas y conjuntos, y no son precisamente números. Existen más objetos o entes matemáticos que generan otros sistemas matemáticos, como son las funciones, vectores, matrices, determinantes, etc. Cada uno de ellos con su grupo de

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propiedades y leyes que reglamentan las relaciones y operaciones establecidas entre el objeto. Como estudiantes debemos estar atentos a comprender con suficiencia las propiedades y leyes, relaciones y operaciones que corresponden al objeto matemático en cuestión. De esta manera aprenderemos con seguridad el álgebra del objeto matemático propuesto y desarrollaremos la habilidad para hacer cálculos y resolver situaciones problemáticas aplicadas a los negocios. El sistema matemático de los números es mucho más amplio que los dos sistemas hasta ahora estudiados, no se pretende hacer un estudio completo del álgebra de números; haremos un estudio de las propiedades más relevantes del sistema de números y así lograr una base de apoyo suficiente para el aprendizaje del álgebra de funciones. El álgebra de funciones, como sistema matemático, nos permite hacer mejores análisis de una situación problema y por tanto tomar las mejores decisiones en la solución de problemas aplicados a la administración y economía. OBJETIVOS:

• General:

El propósito de esta lección es definir el concepto de número como un objeto matemático y definir las relaciones y operaciones que se realizan con el objeto matemático número y sus propiedades. Comprender el concepto de variable y generalizar el concepto de número.

• Específicos:

1. Distinguir con suficiencia las características de los números reales. 2. Realizar hábilmente las operaciones fundamentales con los números reales

y aplicar correctamente sus propiedades. 3. Comprender los números reales como un conjunto ordenado. 4. Comprender la potenciación como una abreviación de la multiplicación y su

importancia en los procesos de cálculos. 5. Comprender la generalización del concepto número a través del concepto

variable IDEAS CLAVE:

Los números reales están presentes en cualquier actividad el hombre. Con los números reales se realizan cinco operaciones básicas o

fundamentales, todas ellas binarias, que son: Suma, Resta, Multiplicación, División y Potenciación. Entre los números reales se establecen también relaciones.

La potenciación se utiliza en al manejo de cantidades grandes y pequeñas. Comprender la esencia de las propiedades y relaciones de los números reales

permite realizar correctamente las operaciones fundamentales. Una variable es un símbolo, generalmente una letra del alfabeto, que se puede

remplazar o sustituir por cualquier elemento de un conjunto dado. En los

83

Objeto Matemático

EL NÚMEROREAL

Se dividen en

NATURALES ENTEROS

RACIONALES IRRACIONALES

Definido por la forma

DECIMAL

SISTEMA MATEMATICO

Se realizan

Se establecen

Se reglamentan

OPERACIONESPROPIEDADES

RELACIONES

LEYES DEL Á G Ú OS

Tales como

Tales como

Nacen

Se representan por

ÁLGEBRA DE NÚMEROS

números reales las variables representan un número cualquiera del conjunto o un subconjunto dado de números reales.

Cuando se representan los números reales a través de variables, se realizan con ellas las mismas operaciones y se satisfacen las mismas propiedades de los números como tales.

La factorización es un proceso muy útil en las innumerables aplicaciones de la matemática, consiste en escribir un polinomio como el producto entre otros polinomios.

MAPA CONCEPTUAL

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SITUACIÓN PROBLEMÁTICA La leyenda de la creación del juego del ajedrez La leyenda sobre el origen del juego de ajedrez cuenta que un joven pobre y modesto inventó el juego con el fin de curar la tristeza del príncipe de una provincia hindú que había perdido su hijo en una batalla. El príncipe, luego de comprender lo interesante y lo instructivo del juego, decidió recompensar al joven por el maravilloso regalo. El joven solicitó el pago en granos de trigo de la siguiente manera: Me dará un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta y así sucesivamente hasta llegar a la última casilla del tablero. ¿Cuántos granos de trigo recibirá el joven por el regalo hecho al príncipe? Si 1.000 granos de trigo pesan alrededor de 32 gramos, ¿cuál es el peso del trigo que ha de recibir el joven por el premio? Exprese el peso en toneladas.

Tomado de: (1999) El hombre que calculaba: Editorial Panamericana, Malba Tahan. DESARROLLO DE CONTENIDOS

3.1 LOS NÚMEROS REALES. Para aprender a calcular

85

3.1.1 Breves “Antes de que surgieran los números el hombre se las ingenió para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena. Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, por los griegos y romanos. Los griegos emplearon simplemente las letras de su alfabeto, mientras que los romanos además de las letras utilizaron algunos símbolos. En cada actividad humana sea técnica, científica o simplemente práctica los números han jugado un papel muy importante. Los números siempre están presentes y gobiernan todas las cosas.”

Tomado de: (1995) Gran enciclopedia ilustrada para niños Colombia: Educar Cultura Recreativa, S.A. 3.1.2 Los Número Reales Los números reales tienen aplicación en todos los campos de la matemática, de las ciencias, en la cotidianidad y donde sea necesario calcular. Podemos decir que todos estamos familiarizados con símbolos como:

etc. 256,325;- ;10 5/9,- 12/7; ...;0,23555555 ,9 1.000; 1,0002356; 56;- e; ; ;2 5;- ;2 33π Todos estos números son reales. Definiremos un número real como un número que se puede escribir en forma decimal, en lenguaje de conjuntos:

R = { x / x se puede escribir en forma decimal} El conjunto de los números reales está formado por diferentes subconjuntos de números: Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales. Los números naturales, N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…, n,…}, que pueden obtenerse sumando el número 1 al primer número y así sucesivamente. Los números enteros están formados por los enteros positivos {1, 2, 3, 4,…, 5,…, n,…}, por los enteros negativos {…, -n,…, -5, -4, -3, -2, -1} y el número cero {0}. Recordemos algunas características de los números enteros: Si a, b y c son números enteros tales que a = b*c, entonces b y c se llaman factores o divisores de a.

86

Un número natural, p, es primo si sus únicos factores o divisores son los números 1 y p. Si el número tiene más de dos factores o divisores se dice que es un número compuesto. Cualquier número compuesto se puede expresar como el producto de números primos y la forma de expresarlo es de modo único, salvo el orden de los factores. Ejemplo: • Descomponer en factores primos los números 56, 25.200, 450 y 1.500. 56 2 25200 2 450 2 1500 228 2 12600 2 225 3 750 214 2 6300 2 75 3 375 37 7 3150 2 25 5 125 51 1575 5 5 5 25 5

315 5 1 5 563 3 121 37 71

Así, .7*256 3= .7*3*5*2200.25 224= .5*3*2450 22= .5*3*2500.1 32=

Los números racionales son los que se pueden escribir de la forma ba , con la

condición de que a y b son números enteros y b ≠ 0. Podemos decir que los números racionales están conformados por la unión de los números enteros y los números fraccionarios, estos últimos, en el sentido de que no se pueden expresar como números enteros.

Importante: No está definida la división por el número cero, ejemplo 05 no

existe, no está definida esta operación; sin embargo ,050

= en este caso no se

está dividiendo por cero sino por cinco. Cuando un número racional se expresa en forma decimal, la parte decimal, o tiene un número finito de dígitos o tiene infinitos dígitos pero con una fracción periódica. Ejemplos: • Los siguientes números son racionales, el número de cifras decimales es finito:

3,2510325; -2,32659845; 0,0000001; 2,1234654789; -0,25; 100, 895654; 5; -6. • Los siguientes números son racionales, el número de cifras decimales es

infinito pero tienen un grupo de cifras dígitos decimales que se repite indefinidamente:

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1,666666666….., el dígito 6 se repite indefinidamente. -23,659432323232323232…, 32 se repite indefinidamente. 2,01234545454545454545…, 45 se repite indefinidamente.

Todos estos números, al ser racionales, se pueden expresar en forma fraccionaria. Los números decimales con infinitos dígitos, pero que no presentan una fracción periódica, se les llama números Irracionales; en el sentido de que no se pueden escribir como la división de dos números enteros, simplemente no son racionales. Ejemplos: • 25,12345678910111213…, si se continúa infinitamente la secuencia el número

es irracional. • Los números π, aproximadamente 3,141592 y е, aproximadamente 2,718281,

son números irracionales y son de mucha importancia en las matemáticas

• Las raíces de números naturales que no son naturales o exactas generan números irracionales, se les llama irracionales radicales.

Importante: Así se puede decir que .Re esIrracionalRacionalesales U= Actividad: Hacer un diagrama de Venn que represente a los números reales y sus subconjuntos. Actividad: En las preguntas del 1 al 10, clasifique los enunciados como falsos o verdaderos. Para las respuestas falsas dé una explicación. 1. -10 es un número natural. 2. 100 es un número natural. 3. 0 es un número entero. 4. 0 es un número racional. 5. 36 es un número entero.

6. 50 es número entero y a la vez racional.

7. 32 es un número irracional.

8. π es un número racional. 9. Todo número real es un número racional 10. Todo número irracional es un número real. 11. ¿Cuántos números enteros positivos del 1 al 100 contienen el dígito 8? 3.1.3 Propiedades y Operaciones Básicas o Fundamentales

88

Las operaciones de suma y multiplicación son cerradas o clausurativas en el conjunto de los números reales. Esto significa que al sumar o multiplicar cualquier par de números reales el resultado es otro número real La suma y la multiplicación cumplen además las siguientes propiedades. Para a, b, c, cualesquiera números reales se tiene:

SUMA MULTIPLICACIÓNPROPIEDADES CONMUTATIVAS a+b = b+a a*b = b*a

PROPIEDADES ASOCIATIVAS a+(b+c) = (a+b)+c a*(b*c) = (a*b)*cPROPIEDADES MODULATIVAS a+0 = 0+a = a a*1 = 1*a = a

PROPIEDADES INVERSAS a+(-a) = (-a)+a = 0 a*(1/a) = (1/a)*a = 1PROPIEDAD DISTRIBUTIVA a(b+c)=(b+c)a=a*b+a*c

Los números 0 y 1 se acostumbran a llamar módulo aditivo y multiplicativo respectivamente. El número real -a, que llamaremos negativo a, es el inverso aditivo.

Importante: Para el inverso aditivo se cumple que 0)()( =+−=−+ aaaa El número real 1/a, siempre y cuando a sea diferente de cero, es el inverso multiplicativo o recíproco de a. El número 1/a se simboliza más comúnmente como

.1−a Así.

.0 ,11 ≠=− asia

a

Importante: Para el inverso multiplicativo se cumple que .1** 11 == −− aaaa El número cero no tiene inverso multiplicativo ¿Por qué? A continuación daremos algunos principios, teoremas o propiedades fundamentales de los números reales: Principio de sustitución: si a = b, entonces a + c = b + c. Si a = b, entonces a*c = b*c. Teorema: Para todo número real a, se cumple que a*0 = 0. Si a*b = 0, entonces a = 0, o, b = 0. Si a ≠ 0 y b ≠ 0, entonces a*b ≠ 0. Multiplicación con números negativos: (-a)*b = a*(-b) = -(a*b) (-a)*(-b) = a*b

89

(-1)*a = -a -(-a) = a. La operación resta o sustracción de números reales se define como la operación inversa de la suma en el sentido de que se suma el inverso aditivo del número que resta, así:

a – b = a + (-b) La operación división de números reales se define como la operación inversa de la multiplicación en el sentido de que se multiplica por inverso multiplicativo del número que divide, así:

a/b = a*(1/b) = a*b 1− , b ≠ 0.

De la definición de división, se deduce que si a = 1, entonces 1/b = b 1− . Para la división de números reales se cumplen las siguientes propiedades:

1. dc

ba

= , si y sólo si, a*d = b*c.

2. dbda

ba

**

= 3. ba

ba

ba

−=−

=−

4. b

cabc

ba +

=+ 5. db

bcdadc

ba

** +

=+

6. dbca

dc

ba

*** = 7.

cbda

cd

ba

dc

ba

*** ==÷

Ejemplos:

• .248

435

43

45

==+

=+

• .6

136

8213*2

4*23*734

27

=−

=−

=−

• .6577

5*137*11

57*

1311

==

• 635

37*

25

73

25

==÷

• .3673

364528

4*95*94*7

45

97

=+

=−−

=−

−

90

• .8815

883348

8*113*118*6

83

116 −

=+−

=−−−

=−

−−

• .4528

4528

9*57*4

97*

54

=−−

=−

−=

−−

En los números racionales no es posible encontrar un número x , tal que 2* =xx , escrito también x 2 = 2. En los números irracionales existe el número 2 , de tal forma que ( 2 ) 2 = 2. Definiremos entonces la raíz cuadrada de un número real no negativo a, simbolizada como a , como el número real no negativo b tal que b 2 = a.

,ba = si y solo si, .2 ab =

Advertencia: se cumple que 24 = y 24 −= , porque 2*2=4 y de la misma manera (-2)*(-2)=4. La raíz positiva se le llama raíz principal.

Así por ejemplo: ,636 = ,32

94

= .39 = Las raíces cuadradas ,2 ,3 ,11

,72 son números irracionales.

Actividad: 1. .2 xx = ¿Es verdadero? ¿Es falso? Explique su respuesta. 2. Encuentre el error en la siguiente demostración: Sea 2=x y .2=y Entonces .22 xyyx +=+ Así .22 yxyx −=− Así ( )( ) ( ).yxyxyx −=+− Así .1=+ yx Pero como ,2== yx entonces .4=+ yx Por lo tanto .14 = 3. Responda falso o verdadero, justificando la respuesta: La igualdad no altera al multiplicar a ambos lados sus miembros por un número: a) positivo b) negativo. Una característica importante de los números reales es que se puede establecer una relación biunívoca o una a uno, entre cada número real con y cada punto de la recta. Esto es, a cada número real le corresponde un único punto de la recta y a cada punto de la recta le corresponde un único número real.

91

-5,0 -4,5 -4,0 -3,5 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

3.1.4 Relación de Desigualdad entre Números Reales Entre los números reales se establece la relación de desigualdad, así: Para dos números reales a y b, una y solo una de las siguientes proposiciones es verdadera:

a = b, a > b, a < b. Los símbolos > y <, se leen “mayor que” y “menor que” respectivamente. Como consecuencia:

Si a = b, a – b = 0; si a > b, a – b es positivo; si a < b, a – b es negativo.

Importante: Es relevante que tengamos en cuenta que a > b es lo mismo que b < a. De la misma manera a < b es lo mismo que b > a. Ejemplos: • 10 > 7, porque 10 – 7 = 3 es positivo. • -8 < -1, porque -1 – (-8) = -1 +8 = 7 es positivo. • 0 > -2, porque 0 – (-2) = 0 + 2 = 2 es positivo. • π > 3 Porque π - 3 es positivo. Si escribimos a ≥ b, que se lee “a es mayor o igual que b”, representa el hecho de que a > b o a = b. Si escribimos a ≤ b, que se lee “a es menor o igual que b”, representa el hecho de que a < b o a = b. Lo anterior aplica en la siguiente proposición: Para todo número real a se cumple que a 2 ≥ 0. Si a es igual a cero, se cumple que a 2 es cero; pero si a es diferente de cero, se cumple que a 2 es mayor que cero. En desigualdades se utilizan expresiones de la forma a < b < c, esto significa que a < b y que b < c. En otras palabras, que b está entre a y c.

2e

3 π

314

3−π− e− - 2

92

De igual manera, una expresión de la forma a > b > c, esto significa que a > b y que b >c. En otras palabras que b está entre a y c. Ejemplos: • -5 < -1 < 0, -1 es un número entre -5 y 0. • -5/3 < -3/2 < -1, -3/2 es un número entre -5/3 y -1. • 4 > -2 > -8, -2 es un número entre 4 y -8. Actividad: 1. Si m y n son número enteros con 0≠m y nm −= , ¿cuál de las siguiente desigualdades es la verdadera? a) .nm < b) .nm > c) .0<+ nm d) .0<− nm e) .0<mn 2. Si un número es 3 veces mayor que otro número y la suma de los dos es -12. ¿Cuál es el menor de los dos números? a) -2. b) -3. c) -5 d) -7. e) -7.

3. ¿Qué se puede decir de los números a y b , siba11

< ?

4. ¿Para cuáles números enteros positivos n la expresión 5

43 +n da como

resultado un número entero? 5. 5. Responda falso o verdadero, justificando la respuesta: una desigualdad se altera al multiplicar a ambos lados sus miembros por un número: a) positivo b) negativo. 3.1.5 Valor Absoluto Se define la distancia entre un número real a y el número cero, como el valor absoluto del número a, simbolizado a . De esta forma decimos que el valor absoluto del número 6, es 6 porque es la distancia entre 6 y 0; el valor absoluto de -6, es 6 porque es la distancia entre -6 y 0. Se define el valor absoluto del número a de la siguiente manera:

⎩⎨⎧

<−≥

=0 ,

0 ,asia

asiaa

Es de observar que aa −= . Ejemplos: • 55 = , porque 5 es mayor o igual que cero.

93

• 5)5(5 =−−=− , porque -5 es menor que cero. • ππ −=− ee , porque π−e es mayor que cero. • 23)32(32 −=−−=− , porque 32 − es menor que cero.

Para finalizar esta lección definiremos las distancia entre dos números reales A y B, que simbolizaremos como ),( BAd .

),( BAd = ABBA −=− Ejemplos: • Sean A = -10, B = 3, C = -2 y D = 8. Hallar d(A, B), d(A, C), d(A, D), d(B, C),

d(B, D), d(D, C). a) d(A, B) = .13)13(13310 =−−=−=−− b) d(A, C) = . 8)8(8210)2(10 =−−=−=+−=−−− c) d(A, D) = 18)18(18810 =−−=−=−− . d) d(B, C) = 5523)2(3 ==+=−− . e) d(B, D) = 5)5(583 =−−=−=− . f) d(D, C) = 101028)2(8 ==+=−− . Actividad: 1. Si 225)5( =−+x , de los siguientes valores, ¿cuál indica el valor de x ? a) 21. b) 15. c) 20. d) 17 e) 22. 2. Si ,1532 =+ yx ¿Cuál es el valor de xy 46 + ? 3. Juan compró 3 esferos y un borrador por $1.750 y Pedro compró 2 esferos y un borrador por $1.250. De los siguientes valores, ¿cuál indica el precio de un borrador? a) $100. b) $150. c) $250. d) $500. e) $600.

4. Si r

qp2

= y ,0≠r entonces ?12 =

q De las siguientes expresiones, ¿cuál

representa a 2

1q

? a) p*r . b) p/r. c) r/p. d) 1/(p*r). e) p+1/r

94

5. Si un número x es dividido por 9 y el residuo es 5, de los siguientes valores, ¿cuál indica el valor del residuo si se divide a x3 por 9? a) 4. b) 5. c) 6. d) 7. e) 8. 6. Si ,72=xyz siendo yx , y z números enteros mayores que 1. De los siguientes valores, ¿cuál indica el mayor valor posible que puede tomar x ? a) 12. b) 18. c) 24. d) 36. e) 72. 7. Si nm += 7 y 424 +−= nm . De los siguientes valores, ¿cuál indica el valor de m? a) -4. b) -4/3. c) -1/6. d) 10/3. e) 10. 8. De los siguientes valores, ¿Cuál indica qué porcentajes es 4 de 5? a) 75%. b) 90%. c) 120%. d) 140%. e) 160% 9. Una persona tiene un sueldo de k$ y tiene dos ofertas de nuevos empleos. En uno le proponen un incremento del 400% del salario actual y en el otro le proponen 5 veces el salario actual. ¿Cuál propuesta es más alta? Ejercicios para resolver como autoevaluación: 1. Realizar las operaciones indicadas y cuando sea posible simplificar los resultados.

a) .113*

89*

213*

57

−−

b) .4*3*91*11*

125*

78

−−

c) .25

52

−

d) .21747

523 −++−

e) .73

52 −

+−

f) .59

58

75

45

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

g) .5

8977*

45

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−÷+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

h) .2711*3

25

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ÷

i) .23

211 +−

j) ( ) )6(5*2432)5(9 −+−−++−− 2. Sean p y q números reales de tal forma que p > 0 y q < 0. Determine si las siguientes expresiones son positivas, negativas o si no se puede definir. a) p*q .2

95

b) p 2 *q. c) p/q + q. d) p/q + p. e) p – q. f) q – p. g) (p – q)/(p*q). h) (q – p)/(p*q). 3. En los ejercicios a continuación, reemplace el rectángulo por >, < o =. a) -9 -15 b) -10 -5 c) 9 -1 d) -9 11 e) 5+3 15 – 7 f) 1/4 0, 25 g) 2/3 0, 66 h) 0,33 0,333 i) -9 -15 j) π 22/7 k) 355/113 π l) 2 3 m) e π n) 3/4 + 5/3 31/12 4. Resolver las operaciones indicadas. a) 85 −

b) 78 −+−

c) 78 −−

d) 875

−

e) 3

10325,5 −

f) 77 −−−

g) 5 - 8

h) 7−π

i) 63

−−

j) 5

4*6−

−

5. Encontrar la distancia entre cada par de números reales de los siguientes ejercicios.

96

a) -5, -13 y 25. b) 8, -2 y -19. c) 3/4, 5/3 y 7/2. d) -5/7, -1/2 y 3/2. e) -5, -9 y 7. 6. En los ejercicios a continuación, reemplace el rectángulo por los símbolos = o ≠, para todos los números reales , yx y z , según sea el caso y justificando la respuesta.

a) x

zxyx ** + zxy *+

b) x

zxyx ** + zy +

c) z

yx + zy

zx

+

d) yx

z+

yz

xz

+

e) zyx ÷÷ )( )( zyx ÷÷ f) zyx −− )( )( zyx −− g) 1)*( −yx 11 * yx− h) 1)( −+ yx 11 yx +−

i) xyyx

−− -1

j) )( yx +− yx +− k) )5(5 x− )5( xx − Ejercicios para resolver como autoevaluación: Resolver los siguientes problemas. 1. La suma de dos números naturales es 5.184 y su cociente es 15. Hallar los dos números. 2. Dos autos salen en el mismo momento de dos ciudades A y B, distantes entre si 1.000 Km. El que sale de A viaja a 80 Km. y el que sale de B viaja a 100 Km. ¿A qué distancia se encuentran los dos autos luego de 6 horas de recorrido, si marchan el uno hacia el otro? 3. Resolver el problema 2 si los autos se alejan el uno del otro. 4. Resolver el problema 2 si los autos viajan de A hacia B. 5. Resolver el problema 2 si los autos viajan de B hacia A. 6. Una ciudad tiene 6’450.000 habitantes de los cuales el 65% son personas adultas, 45% son hombres, 15% son ancianos y el 10% son menores de 10 años.

97

a) ¿Cuántas personas son adultas y cuántas no son adultas? b) ¿Cuántos son hombres y cuántos son mujeres? c) ¿Cuántas personas son ancianas y cuántas no son ancianas? d) ¿Cuántas personas son menores de 10 años y cuántas mayores de 10 años? 7. El presupuesto de una institución es de $2.325’465.000 y se repartirá de la siguiente manera: 35% para el pago de salarios, 10% para el pago de pensiones, 25% para inversión social y 30% para obras de infraestructura. Determinar la cuantía de cada uno de las partes. 8. Cinco personas hicieron una sociedad y aportaron $25’000.000, 35’000.000, $48’000.000, $52’000.000 y $37’000.000. Determinar cuánto le corresponde a cada socio de una utilidad de $940’350.563, 56. 9. Por testamento se va a repartir una herencia de $1.200’156.256,45 inversamente proporcional a las edades de 6 herederos que son 10, 18, 25, 29 y 32 años. Determinar cuánto le corresponde a cada persona. 10. De un capital se gasta inicialmente 3/7, luego 5/9 del saldo, después 4/3 del sobrante y el saldo final es de $6’546.520,75. ¿De cuánto era el capital? 11. Un CDT por valor de $65’165.426 a la fecha de vencimiento es negociado anticipadamente por el 88,95% del valor de vencimiento. El comisionista se gana el 0,05% del valor de negociación, ¿Cuál es el valor de la comisión? 12. Un televisor tipo plasma vale $2’990.000. Se rebaja el 8% si el pago es en efectivo, 5% por comprarlo en el día del padre y el 0,5% por no solicitar trasporte. ¿Cuánto se paga por el electrodoméstico si se toman todos los descuentos ofrecidos? 3.2 LA OPERACIÓN POTENCIACIÓN. Para el manejo de números grandes y pequeñitos. 3.2.1 Potenciación La operación potenciación de números reales se define como un caso especial de la multiplicación, así:

444444 3444444 21 veces

*...*********n

n xxxxxxxxxxx =

Por ser la potenciación un caso especial de la multiplicación, es una operación que satisface la propiedad clausurativa en el conjunto de los números naturales. Ejemplos: • 322*2*2*2*225 == • 322*2*2*2*2)2( 5 −=−−−−−=−

98

• 813*3*3*334 == • 813*3*3*3)3( 4 =−−−−=−

• 827

23*

23*

23

23 3

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

• ( ) ( ) ( ) 93*3333*3*3*33224

==== Dada la definición de potenciación, esta operación satisface las siguientes proposiciones o propiedades: 1. .* mnmn xxx += Multiplicación de potencias con bases iguales.

2. .1mn

nmn

mnm

xx

xxxx −

− ===÷ División de potencias con bases iguales.

3. .*)*( nnn yxyx = Potencia de un producto.

4. n

nn

yx

yx

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛. Potencia de un cociente.

5. ( ) .*nmnm xx = Potencia de una potencia.

6. n

n

n

n

xy

yx

=−

−

y nn

xy

yx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

. Potencia negativas

Advertencia: Estas propiedades están definidas para las operaciones multiplicación y división, vale decir, no para operaciones de suma y resta. Así por ejemplo, ,)( 222 yxyx ±≠± (Salvo que x e y sean iguales a cero); pero si

222)( yxxy = o .3

33

yx

yx

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

7. nyx )( ± . Potencia de la suma o resta de dos números.

Advertencia: Es demasiado importante distinguir que en este caso el resultado es diferente para cada valor de la potencia n. Si n es entero no negativo, el resultado tiene n+1 términos. Si n = 0, 1)( 0 =+ yx Si n = 1, .)( 1 yxyx +=+ Si n = 2, .*2)( 222 yyxxyx ++=+ Si n = 3, .33)( 32233 yxyyxxyx +++=+

99

Si n = 4, .464)( 4322344 yxyyxyxxyx ++++=+ De manera general.

nnnnnnn yyxnnnnyxnnnyxnnynxxyx ++−−−

+−−

+−

++=+ −−−− ...4*3*2*1

)3)(2)(1(3*2*1

)2)(1(2*1

)1()( 4433221

Ejemplos: • Realizar las operaciones indicadas

7942554325543 12)4)(3()4)(3( zyxzzyxyxzxyzyx −=−=−

1224843464244362 16)()()(2)2( pnmpnmpnm ==

3

22

31

6

8

18

15

2

3

182

8

6

1532

9

43

2

5 21222

22

22

pqq

pqq

pp

pq

qp

pq

qp

===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

( ) 12

8128432

bababa == −−−

16

8

9

5

7

3

5

9

7

3

75

93 248

48

48

yx

yx

yx

xy

yx

yxyx

=== −

−

−

−

10

55

2

52 3222 u

wuw

wu

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

3223455 )3()2(

3*2*13*4*5)3()2(

2*14*5)3()2(5)2()32( yxyxyxxyx −+−+−+=−

504 )3()2(5*4*3*2*11*2*3*4*5)3)(2(

4*3*2*12*3*4*5 yxyx −+−+

54322345 243810080.189200.132 yxyyxyxyxx −+−+−=

Para pensar: ?)( 3 =+ −ba ?)( 21

=+ ba ¿Cuántos términos se obtienen en cada caso? 3.2.2 Radicación Ahora definiremos la radicación de números reales de manera general:

ban = , si y sólo si abn = . Siempre y cuando, tanto a como b sean números reales no negativos y n un número entero positivo. También si, tanto a como b sean números reales negativos y n un número entero positivo impar.

100

En la expresión n a , el número a lo llamaremos radicando, n el índice del radical,

símbolo radical y n a simplemente radical.

Observación: Cuando el índice del radical es 2, se acostumbra no escribirlo en el radical, esto es: .2 aa = Ejemplos: • 283 = , porque 823 = . • 283 −=− , porque 8)2( 3 −=− . • 416 ±= , porque 1642 = y 16)4( 2 =− .

Recordar: La raíz positiva se llama raíz principal. • Se deduce que ( ) .aaa n nnn == Así: ,2 zz = ,5 5 ww = ( ) .

33 yy

La radicación satisface las siguientes propiedades:

1. nnn baba ** =

2. n

nn

ba

ba

=

3. nmm n aa *=

Se deduce que nnn nn n bababa *** == Ejemplos:

• 262362*3672 ===

• 33333 7*27*87*856 −=−=−=−

• 555*5*55*5*55*5*55625.15 3 333 2223 2223 63 ====== • 555 55 55 3*23*23*296 === • 3 2323 23 3323 23323 596 3*23*)2()3()2(24 wwvuwwvuwwvuwvu ===

101

• )3()4()3)(16(48163 24488893554 mnmmnmnmnmnm ===

mnmmnm 343)4( 44244 == Hasta ahora hemos trabajado la potenciación con potencias enteras, definiremos entones la potenciación con potencias fraccionarias. Si m/n es un número racional y n entero positivo, y si a es número real tal que n a existe, entonces:

( ) n mmnnm

aaa ==

Observación: Lo anterior no se cumple cuando 0=a y 0<m .

Si m = 1 se deduce que nn aa =1

.

Importante: Para efectos de cálculo, es más fácil calcular con la expresión

de la forma ( )mn a que con la forma n ma . Veamos: ( ) .625125)125( 4433/4 =5==

Mientras que .625625.140'244125 33 4 == Ejemplos: • Realizar las operaciones indicadas:

( )812

8*8116

21*

32

21

32

41

278

41

278

41

278

3

3

4

43434

3

334

32

33

4

==−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222233

23323

23 164646464 mmmmm =−=−=−=−

( )( ) 15 191519

53

32

53

325 33 2 *24*24*24*3*8*3*8 aaaaaaa ===⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=

+

5

1021

3

512

2

292

23

563

32

23

10842723yx

yx

yx

y

x

y

x=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−

Actividad:

1. Si x es un número entero no negativo y 2xz = , ¿Cuál es el valor de x si

5=z ?

102

2. Si 4abx = y 3cdb = ¿Cuál expresión indica correctamente el valor de x en términos de , ca y d ? a) 12acd . b) 74dac . c) 124dac . d) 744 dca . e) 1244 dca . 3. Si x es un número entero, ¿cuál de las siguientes expresiones no puede ser igual a 3x ? a) -8. b) 0. c) 1. d) 10. e) 27. 4. Si 644 1 =+z . De los siguientes valores ¿cuál indica el valor de x ? a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6. 5. Compruebe para diferentes valores de n , que 1154 −+ nn es divisible por 9 si n es un entero positivo. Para los siguientes ejercicios se debe justificar la respuesta. 6. ¿Es siempre válida la igualdad xyyx = ? 7. ¿Es siempre válida la igualdad yxyx =2 ? 8. ¿Es siempre válida la igualdad yxyx +=+ 22 ? 3.2.3 Notación Científica Para finalizar la lección, mostraremos el uso de la potenciación en el manejo de cantidades grandes y pequeñas, muy útil para la ciencia. Se dice por ejemplo que la masa de una molécula de oxígeno es de 5,3x10 23− gr., la distancia de la Tierra al sol es de 1,49x10 8 Km., el volumen de la Tierra es de 1,087x10 21 m 3 . La manera de expresar estas cantidades se llama notación científica y tiene la forma m,abcdefx10 n . Aquí, m es la parte entera de un número decimal, abcdef cifras decimales significativas y n un número entero. Ejemplos:

.1045,5545 2x= .105756,2756.25 4x= .1025,3500.32 4x= 81045,5000.000'545 x= 510356,200002356,0 −= x .103564,223564,0 1−= x .100003,20020003,0 3−= x

Si la potencia de la base 10 es positiva, significa que debe desplazarse ese número de veces la coma decimal hacia la derecha y si la potencia de la base 10 es negativa, significa que debe desplazarse ese número de veces la coma decimal hacia la izquierda. Ejercicios para resolver como autoevaluación: Resolver los siguientes problemas

103

1. La luz viaja a la velocidad de 2,9979x10 8 m/s y la distancia de la Tierra al sol es de 1,49x10 11 m. ¿Cuánto tiempo se demora la luz del sol en llegar a la tierra? 2. El volumen del planeta Tierra es 1,087x10 21 m 3 . El volumen del planeta Marte es 0,15 veces el de la tierra. ¿Cuál es el volumen en metros cúbicos del planeta Marte? 3. La masa del planeta Tierra es de 5,983x10 24 Kg., la masa del planeta Júpiter es 318,3 veces la de la tierra. ¿Cuál es la masa del planeta Júpiter en Kilogramos? 4. Una unidad de distancia utilizada en astronomía es el año luz, que equivale a la distancia que recorre la luz en un año. ¿Cuánto es en kilómetros esta distancia? 5. Si una galaxia esta a 5,2536 años luz de la tierra, ¿a qué distancia está en kilómetros? 6. Un pez maduro puede poner alrededor de 2,65 millones de huevos, se estima que sólo el 0,00375% llega a la edad adulta. Calcular, ¿cuántos llegan a la edad adulta? 7. Una galaxia puede tener alrededor de 155 millones de estrellas, expresar esta cantidad en notación científica. 8. El diámetro de la Vía Láctea es aproximadamente de 100.000 años luz, expresar esta cantidad en kilómetros utilizando la notación científica. 3.3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Las cantidades aritméticas expresadas como variables 3.3.1 Conceptos Para iniciar el trabajo con expresiones algebraicas, repasaremos primero algunos conceptos y definiciones. Una variable es un símbolo, generalmente una letra del alfabeto, que se puede remplazar o sustituir por cualquier elemento de un conjunto dado. Una fórmula es una expresión que está conformada por un número contable de variables y números propiamente conectados o enlazadas por medio de las operaciones fundamentales. Para el caso de los sistemas numéricos, las variables representan un número cualquiera del conjunto dado y las operaciones son las fundamentales: suma, resta, multiplicación, división y potenciación. Las fórmulas las llamaremos expresión algebraica y ésta se convierte en valores numéricos cuando se sustituyen las variables por cualquier número de un conjunto dado. Ejemplos:

104

1. .23 52 −+ xx 2. .17

35+

−+x

xx 3. .6535 3 zyxxz

xyxzyx +++++

+

4. .1

8+yx 5. 3)6(8 −+

Las expresiones algebraicas reciben nombres especiales dependiendo de la forma que tengan, hay muchas clases. Aquí estudiaremos las más prácticas y útiles. Llamaremos términos o combinación de términos a expresiones algebraicas unidas exclusivamente por las operaciones de suma o resta.

.5373 32 xzxzyxyx −+− Es una expresión algebraica con cuatro términos.

.9 25qp− Es una expresión algebraica de un término.

Una expresión algebraica de un sólo término se le llama monomio; de dos términos binomio y así sucesivamente.

Una expresión de la forma nax la llamaremos expresión potencial. El número a es un número real y la potencia n un número real positivo. El número real a que

multiplica a la potencia nx se le llama coeficiente.

Importante: Es momento de comenzar a distinguir entre una expresión

potencial, ,nax y una expresión exponencial, .xan Desde el punto de vista del álgebra de números puede que no sea relevante mostrar una diferencia, pero si lo es desde el punto de vista del álgebra de funciones. Por lo pronto diremos que en una expresión potencial la base es variable; en una expresión exponencial, la variable hace las veces de exponente. Ejemplos:

• Son expresiones potenciales: 3x 5 , -π x 2 , ,65 ,2

3x ,2 10x ,5 πx− .3 ex

• Expresiones exponenciales: 3*5 x , ,21*12

x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− ,

35*

65 x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ,* xeπ ,10*5 2x ( ) .0256.1 3x

Definiremos ahora una expresión algebraica muy importante en las matemáticas y aplicaciones a las demás ciencias, un polinomio en una variable. Un polinomio en x es una combinación finita de términos de forma potencial, de la siguiente manera:

,... 11

22

33

11 o

nn

nn axaxaxaxaxa ++++++ −

−

105

Con la condición que n sea un entero no negativo y los coeficientes ,na ,1−na …, ,3a ,2a 1a y 0a son números reales.

El coeficiente na de la potencia más alta de la variable x se llama coeficiente principal del polinomio. La potencia n más alta del polinomio define el grado del polinomio, se dice que el polinomio tiene grado n. Dos polinomios son iguales si y sólo si son del mismo grado y los coeficientes correspondientes son iguales. Ejemplos:

• 45

3212523 2345 +−++− xxxxx . Es un polinomio de grado 5. ,55 =a ,24 −=a

,53 =a ,122 =a ,32

1 −=a .45

0 =a

• .55 28 xxx −−π Es un polinomio de grado 8. ,8 π=a ,034567 ===== aaaaa

,52 −=a ,51 −=a .00 =a • .52 2 +x Es un polinomio de grado 2. ,22 =a ,01 =a .50 =a • 10. Es un polinomio de grado cero. .100 =a

Importante: Es relevante comentar que las expresiones algebraicas que contengan división entre variables o expresiones radicales no se consideran polinomios, simplemente porque no satisfacen las condiciones de la definición. En términos generales una expresión que sea una combinación de términos cualesquiera se le llama multinomio y no se debe confundir con un polinomio, ya que éste cumple unas condiciones específicas. Ejemplos:

• ,11

2

2

−+

+x

xx ,1

8332

2

++−

xxx ,536 23

53 −+++ xxx no son polinomios.

3.3.2 Suma y Resta de Expresiones Algebraicas Para sumar o restar términos es necesario que estos sean semejantes. Los términos son semejantes si tiene las mismas variables y cada variable con la misma potencia. La expresión algebraica yzx 325 es semejante con yzx 323 y la suma es: yzx 325 +

yzx 323 = yzx 328 . La resta: yzx 325 - yzx 323 = yzx 322 .

106

La expresión algebraica yzx 325 no es semejante a .5 232 yzx La suma o resta de términos no semejantes se dejan indicadas: yzx 325 + 2325 yzx , yzx 325 - 2325 yzx . Ejemplos: • Hallar la suma de los polinomios 8323 23 −+− xxx y 965 23 ++− xx . Aplicando las propiedades de los números reales que hemos estudiado, tenemos:

( 8323 23 −+− xxx )+( 965 23 ++− xx ) = 8323 23 −+− xxx + 965 23 −+− xx = )98()03()62()53( 3 +−++++−+− xx = 1342 23 +++− xxx . • Restar 8323 23 −+− xxx de 965 23 ++− xx .

( 965 23 ++− xx ) - ( 8323 23 −+− xxx ) = 965 23 ++− xx - 8323 23 +−+ xxx = )89()03()26()35( 23 +++−+++−+− xx = 17388 23 +−+− xxx . Ejercicios para resolver como autoevaluación: Realizar las operaciones indicadas. 1. .106267 nmnmnm +−−+−− 2. .101592512862 222 −++++−+− xxxxxx 3. .1212285 3342244 pqqppqpqp ++++−− 4. .131217171054463 −+−−+−++ abbaba 5. .1124825 −++−+−++ fghjdffghjhjdffg 6. .12218967312 322332233 yyxxyxyxyyxyx −−+++−+++ 7. .1001184251952172 2222233 zwwzwzwzzwzw ++−−+−+ 8. .86542 42423423 zyzyxzyx −+−−+++ 9. .18134102125186 −+++−−+− mxnxmxnxmxnx 10. .110312461615215 34223322433 ++−++−−+−++− xyyyxxyyxyxxxyyx 11. ).5555()8228( 2323 −−−−+−++ xxxxxx 12. )151020668()252616( 234535 −+−++−++−− zzzzzzzz 13. )544()544( 42 −+−−+− zzzw . 14. )8666()666( 246357 +−+−−−+− yyyyyyy 15. .)1()1( 22 −++ xx 3.33 Multiplicación y División de Expresiones Algebraicas Para multiplicar y dividir expresiones algebraicas se aplican principalmente las propiedades que estudiamos con la operación potenciación y las propiedades para producto y cociente.

107

En la multiplicación de polinomios extenderemos la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma, así:

dbcbdacadcba ****))(( +++=++ En la división solamente trabajaremos el caso de un polinomio dividido por un monomio. Ejemplos: • Multiplicar los polinomios 452 −+ xx y 263 3 −+ xx

45( 2 −+ xx )( 263 3 −+ xx ) = )263(4)263(5)263( 3332 −+−−++−+ xxxxxxxx = 82412103015263 324235 +−−−++−+ xxxxxxxx = 834152863 4235 +−++− xxxxx = 834286153 2345 +−+−+ xxxxx • Multiplicar los polinomios 42 532 +zyx y 42 532 −zyx ( )( )4242 532532 −+ zyxzyx = ( )( ) ( ) 4*42242 532532532 +−+ zyxzyxzyx = 16884 5325321064 −−+ zyxzyxzyx = 164 1064 −zyx • Dividir el polinomio xyyxyx 8412 6642 +− entre xy4 .

2348

44

412

48412 552

66426642

+−=+−=+− yxxy

xyxy

xyyx

xyyx

xyxyyxyx

Actividad: En los ejercicios del 1 al 7, reemplace el rectángulo por los símbolos =, ≠, < o >, de acuerdo a la condición dada y justificando la respuesta. 1. Si yx > y ,zy = entonces x z .

2. Si m y n son enteros positivos, entonces nm

m+ m

nm + .

3. Si el costo de una docena de huevos es de x$ , entonces el costo de 60 huevos $ .6x

4. Si ,qpr = entonces r q .

5. El primer número de una secuencia de 10 números es 3, entonces la suma de los 10 primeros números de la secuencia 30. 6. Si ,4>z entonces ( )z−44 ( ).4 zz −

7. Si ,101 ba =+ entonces 1−b .1−a

108

8. La suma de h y 1+h es mayor que 9, pero menor que 17. Si h es número entero, ¿cuál es el posible valor de h ? 9. Escriba las siguientes frases en forma de ecuación: a) 30 menos un número es igual a negativo 10. b) Tres veces un número menos nueve es igual a 54. c) La edad de una persona dentro de 25 años será de 70. d) La temperatura se incrementó en 15°C y ahora está en 27°C. e) La mitad del precio de una herramienta es igual al precio de la herramienta disminuido en $25.000. f) Las tres quintas partes de un número son iguales a treinta. g) La diferencia entre tres veces un número y el número cuatro es negativo ocho. i) La octava parte de un número aumentado en quince es diez. Ejercicios para resolver como autoevaluación: Realizar las operaciones indicadas 1. 32 2*3* aaa . 2. .5**4*3 232 zyxyxyx 3. ).38(2 22 yyx + 4. ).85(4 32232 yxyyxxx +++ 5. ).896(3 22343 +++ xwxwwwx 6. )4)(( ++ pqp 7. ).25)(7( 22 yxyx −+ 8. ).5)(13( 23 +++ xxx 9. ).52)(1( 22 ++++ xxxx 10. ).)(3)(1(2 bbb ++ 11. ).53)(6)(4( −++ mmmm 12. ).2)(1)(12(3 2 +−+− xxxxx 13. ).2(5)1(3)4(6 222 −+++− xxx

14. 33

5433

31527qp

qpqp −

15. 2

2242233

10)5(1020

mnnmnmnm −+

3.3.4 Productos Notables y Factorización de Expresiones Algebraicas En el álgebra de números se dan algunas multiplicaciones entre polinomios que se pueden efectuar sin la necesidad de multiplicar completamente, es decir, la multiplicación se realiza de manera abreviada. Dada la importancia de estos productos, se les llaman productos notables; veremos a continuación un listado de algunos de ellos.

109

1. 22))(( yxyxyx −=−+ 2. bdxbcadxacdcxbax +++=++ )()())(( 2 3. 222 2)( yxyxyx ++=+ 4. 222 2)( yxyxyx +−=− 5. 32233 33)( yxyyxxyx +++=+ 6. 32233 33)( yxyyxxyx −+−=− 7. 3322 ))(( yxyxyxyx +=+−+ 8. 3322 ))(( yxyxyxyx −=++− Las letras a, b y c significan números reales propiamente y las letras x e y representan variables en el sentido estricto de la definición. Ejemplos: • Multiplicar:

.4)()2()2)(2( 622333 xyxyxyxy −=−=+− Se utilizó la fórmula 1.

.9124)3()3)(2(2)2()32( 224364232232232 yxyxyxxyxyyxyxxyyx ++=++=+ Se utilizó la fórmula 3.

.33)())((3)()(3)()( 32

31

31

3233

1231

31

3123

1331

31

31

bbabaabbabaaba −+−=−+−=− Se utilizó la fórmula 6. Ejercicios para resolver como autoevaluación 1. Verificar la validez de cada una de los productos notables antes indicados realizando la correspondiente multiplicación. 2. Realizar las multiplicaciones indicadas con ayuda de los productos notables definidos. a) )12)(3( −+ xx b) )74)(53( −+ xx c) )64)(64( wzxywzxy −+ d) 223 )75( xx − e) 2)1110( ppq + f) 323 )23( yx − g) 33 )()( baba −+ Si las ocho fórmulas de los productos notables las escribimos de izquierda a derecha, estamos escribiendo un polinomio como el producto entre otros polinomios. Este proceso es muy útil en las innumerables aplicaciones de la matemática. Se llama factorización.

110

1. ))((22 yxyxyx −+=− 2. ))(()()( 2 dcxbaxbdxbcadxac ++=+++ 3. 222 )(2 yxyxyx +=++ 4. 222 )(2 yxyxyx −=+− 5. 33223 )(33 yxyxyyxx +=+++ 6. 33223 )(33 yxyxyyxx −=−+− 7. ))(( 2233 yxyxyxyx +−+=+ 8. ))(( 2233 yxyxyxyx ++−=− No siempre resulta fácil factorizar un polinomio. Estudiaremos algunas reglas que permiten factorizar polinomios sencillos; trabajaremos polinomios con coeficientes enteros, en este caso los factores deben ser polinomios con coeficientes enteros. Comenzaremos con la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Bien sabemos que:

a(b+c) = ab +ac, es lo mismo que, ab + ac = a(b +c) Así por ejemplo, podemos factorizar la expresión yxz 164 + en la forma )4(4 yxz + . Es decir, yxz 164 + = )4(4 yxz + . También, )871(972639 53222754322 baabbabababa +−=+− Esto es, )53(52515 22453663455 yzxzyxzyxzyx +−=−− Esta forma de factorización se le llama factorización por factor común.

Observación: Cualquier expresión algebraica )(xQ se puede factorizar siempre como ),(*)1( xQ−− veamos: ).263)(1(263 22 +−−=−+− xxxx La comprobación de una factorización se lleva a cabo realizando la multiplicación de los factores. La expresión ))((22 yxyxyx −+=− se le llama diferencia de dos cuadrados y permite factorizar casos como en los siguientes ejemplos:

)96)(96()9()6(8136 3232232264 yxyxyxyx −+=−=− )5)(5()()5(25 4422428 qpqpqpqp −+=−=−

)4)(4()()4(16 2222242 qpnmqpnmqpnmpqmn −+=−=− ))4(7))(4(7()4()7()4(49 3322326 yxzyxzyxzyxz −−−+=−−=−−

)47)(47( 33 yxzyxz +−−+=

111

A las expresiones ))(( 2233 yxyxyxyx +−+=+ y ))(( 2233 yxyxyxyx ++−=− se les llama suma o diferencia de dos cubos respectivamente y permiten factorizar los casos como en los siguientes ejemplos:

)164)(4())4()4()(4()4()(64 22223333 yxyxyxyyxxyxyxyx ++−=++−=−=− ))2()2)(3()3)((23()2()3(827 2222233236 bbaabababa +−+=+=+

)469)(23( 2242 bbaaba +−+= Las expresiones de los casos 2, 3 y 4 se generalizan en uno sólo y se dice que es un polinomio de la forma: ,2 cbxax ++ es decir, un polinomio de grado 2 con a, b y c números enteros. Como lo muestra la expresión 2, la factorización es de la forma:

qsxqrpsxprsrxqpxcbxax +++=++=++ )()())(( 22 Por comparación de términos se deduce que: .y , qscqrpsbpra =+== Para factorizar expresiones de la forma cbxax ++2 existen diferentes métodos. Estudiaremos uno que es bastante general, es decir, permite solucionar muchos casos con la misma aplicación. Veamos algunos ejemplos: Ejemplos: • Factorizar: 654 2 −+ xx Notamos que a = 4, b = 5 y c = -6. Multiplicamos a*c = 4*-6 = -24. Entonces, buscamos dos números que multiplicados den -24 y que sumados den 5. Estos números son: 8 y -3, porque 8*-3 = -24 y 8 + (-3) = 5. Escribimos ahora la expresión a factorizar de la siguiente forma:

.6384654 22 −−+=−+ xxxxx El término 5 x lo hemos expresado como .38 xx − Factorizamos ahora la expresión resultante asociando los dos primeros términos y luego los dos últimos.

).2(3)2(4.6384654 22 +−+=−−+=−+ xxxxxxxx La expresión está ahora formada por dos términos, factorizamos en estos dos términos el factor común )2( +x .

).34)(2()2(3)2(4.6384654 22 −+=+−+=−−+=−+ xxxxxxxxxx Así: ).34)(2(654 2 −+=−+ xxxx

112

• Factorizar: 1544 2 −− xx Entonces a = 4, b = -4, c = -15. Multiplicamos a*c = 4*(-15) = -60. Buscamos dos números que multiplicados den -60 y sumados -4. Estos números son: -10 y 6, porque -10*4 = -60 y -10 + 4 = -6. Reescribimos la expresión a factorizar como:

.1561041544 22 −+−=−− xxxxx Factorizamos ahora la expresión resultante asociando los dos primeros términos y luego los dos últimos: )52(3)52(21561041544 22 −+−=−+−=−− xxxxxxxx La expresión está ahora formada por dos términos, factorizamos en estos dos términos el factor común )52( −x :

).32)(52()52(3)52(21561041544 22 +−=−+−=−+−=−− xxxxxxxxxx Así: ).32)(52(1544 2 +−=−− xxxx • Factorizar: 872 −+ zz En este caso a = 1, b = 7 y c = -8. Como a = 1, el proceso resulta ser más sencillo, a*c = 1*c = c. Se requieren simplemente dos números que la multiplicación sea c y la suma sea b, es decir, dos números que la multiplicación sea -8 y la suma sea 7. Los números son 8 y -1, porque 8*(-1) = -8 y 8 + (-1) = 7. Reescribimos la expresión a factorizar como:

).1)(8(872 −+=−+ zzzz Actividad: Encuentre el error en las siguientes dos demostraciones: 1. Sea .42 =+x Así .42 22 −=−− xxx Así ).2)(2()2)(1( −+=−+ xxxx Así .21 +=+ xx Entonces .21 = 2. Sea .03 =+x

113

Así .345 −=− xx Así .3465 +=+ xx Así .3465 22 ++=++ xxxx Así ).3)(2()1)(3( ++=++ xxxx Así .21 +=+ xx Por lo tanto .21 = 3. Si 0>m y )4(4916 22 mzpzz +=++ para cualquier valor de z . ¿Cuál es el valor de p y de m ? Ejercicios para resolver como autoevaluación: Factorizar las expresiones dadas. 1. 122 ++ xx . 2. 24 945 zz − . 3. 432 −− ww . 4. 38 y+ . 5. 26 2 −− mm . 6. 2142 ++ nn . 7. 202 +−− tt . 8. 9642 −+ xx . 9. 15148 2 −− kk . 10. 44 16ba − . 11. 2142 −− pp . 12. 2076 2 −+ qq . 13. 43224 24186 bababa +− . 14. zvzuvu 48612 −−+ . 15. 827 6 −z . 16. 3652 −− rr . 17. 4129 2 +− ss . 18. 6135 2 −+ yy . 19. 84 925 yx − . 20. 252 2 ++ uu .

114

RESUMEN Se define un número real como un número que se puede escribir en forma decimal, en lenguaje de conjuntos:

R = { x / x se puede escribir en forma decimal} El conjunto de los números reales está formado por diferentes subconjuntos de números: Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales. Los números naturales, N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…, n,…}, que pueden obtenerse sumando el número 1 al primer número y así sucesivamente. Los números enteros están formados por los enteros positivos {1, 2, 3, 4,…, 5,…, n,…}, por los enteros negativos {…, -n,…, -5, -4, -3, -2, -1} y el número cero {0}.

115

Los números racionales son los que se pueden escribir de la forma ba , con la

condición de que a y b son números enteros y b ≠ 0. Podemos decir que los números racionales están conformados por la unión de los números enteros y los números fraccionarios, estos últimos, en el sentido de que no se pueden expresar como números enteros propiamente. Cuando un número racional se expresa en forma decimal, la parte decimal, o tiene un número finito de dígitos o tiene infinitos dígitos pero con una fracción periódica. Los números decimales con infinitos dígitos, pero que no presentan una fracción periódica, se les llama números Irracionales; en el sentido de que no se pueden escribir como la división de dos números enteros, simplemente no son racionales. Las operaciones de suma y multiplicación son cerradas o clausurativas en el conjunto de los números reales. Esto significa que al sumar o multiplicar cualquier par de números reales el resultado es otro número real La suma y la multiplicación cumplen además las siguientes propiedades. Para a, b, c, cualesquiera números reales se tiene:

SUMA MULTIPLICACIONPROPIEDADES CONMUTATIVAS a+b = b+a a*b =b*a

PROPIEDADES ASOCIATIVAS a+(b+c) = (a+b)+c a*(b*c )=(a*b)*cPROPIEDADES MODULATIVAS a+0 = 0+a = a a*1 = 1*a = a

PROPIEDADES INVERSAS a+(-a) = (-a)+a = 0 a*(1/a) =(1/a)*a =1PROPIEDAD DISTRIBUTIVA a(b+c) =(b+c)a = a*b+a*c

Los números 0 y 1 se acostumbran a llamar módulo aditivo y multiplicativo respectivamente. El número real -a, que llamaremos negativo a, es el inverso aditivo. El número real 1/a, siempre y cuando a sea diferente de cero, es el inverso multiplicativo o recíproco de a. El número 1/a se simboliza más comúnmente como

.1−a Así.

.0 ,11 ≠=− asia

a

Se define la raíz cuadrada de un número real no negativo a, simbolizada como

a , como el número real no negativo b tal que b 2 = a.

,ba = si y solo si, .2 ab = Entre los números reales se establece la relación de desigualdad, así:

116

Para dos números reales a y b, una y sólo una de las siguientes proposiciones es verdadera:

a = b, a > b, a < b.

Los símbolos > y <, se leen “mayor que” y “menor que” respectivamente. Como consecuencia:

Si a = b, a – b = 0; si a > b, a – b es positivo; si a < b, a – b es negativo. Se define la distancia entre un número real a y el número cero, como el valor absoluto del número a, simbolizado a . Se define el valor absoluto del número a de la siguiente manera:

⎩⎨⎧

<−≥

=0 ,

0 ,asia

asiaa

Es de observar que aa −= . La operación potenciación de números reales se define como un caso especial de la multiplicación, así:

444444 3444444 21 veces

*...*********n

n xxxxxxxxxxx =

Por ser la potenciación un caso especial de la multiplicación, es una operación que satisface la propiedad clausurativa en el conjunto de los números naturales. La operación potenciación satisface las siguientes propiedades: 1. .* mnmn xxx += Multiplicación de potencias con bases iguales.

2. .1mn

nmn

mnm

xx

xxxx −

− ===÷ División de potencias con bases iguales.

3. .*)*( nnn yxyx = Potencia de un producto.

4. n

nn

yx

yx

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛. Potencia de un cociente.

5. ( ) .*nmnm xx = Potencia de una potencia.

117

6. n

n

n

n

xy

yx

=−

−

y nn

xy

yx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

. Potencia negativas

7. nnnnnnn yyxnnnnyxnnnyxnnynxxyx ++

−−−+

−−+

−++=+ −−−− ...

4*3*2*1)3)(2)(1(

3*2*1)2)(1(

2*1)1()( 4433221

Potencia de una suma o resta de dos números. Se define la radicación de números reales de manera general en la siguiente forma:

ban = , si y sólo si abn = . Siempre y cuando, tanto a como b sean números reales no negativos y n un número entero positivo. También si, tanto a como b sean números reales negativos y n un número entero positivo impar. En la expresión n a , el número a lo llamaremos radicando, n el índice del radical,

símbolo radical y n a simplemente radical. Si m/n es un número racional y n entero positivo, y si a es número real tal que n a existe, entonces:

( ) n mmnnm

aaa == , excepto cuando 0=a y 0<m . Se llama términos o combinación de términos a expresiones algebraicas unidas exclusivamente por las operaciones de suma o resta. Una expresión algebraica de un sólo término se le llama monomio; de dos términos binomio y así sucesivamente. Una expresión de la forma nax la llamaremos expresión potencial. El número a es un número real y la potencia n un número real positivo. El número real a que

multiplica a la potencia nx se le llama coeficiente. Un polinomio en la variable x es una combinación finita de términos de forma potencial, de la siguiente manera:

,... 11

22

33

11 o

nn

nn axaxaxaxaxa ++++++ −

− Con la condición que n sea un entero no negativo y los coeficientes ,na ,1−na …,

,3a ,2a 1a y 0a son números reales. El coeficiente na de la potencia más alta de la variable x se llama coeficiente principal del polinomio. La potencia n más alta del polinomio define el grado del polinomio, se dice que el polinomio tiene grado n.

118

Para sumar o restar términos es necesario que estos sean semejantes. Los términos son semejantes si tienen las mismas variables y cada variable con la misma potencia. Para multiplicar y dividir expresiones algebraicas se aplican principalmente las propiedades de la operación potenciación y las propiedades para producto y cociente. En el álgebra de números se dan algunas multiplicaciones entre polinomios que se pueden efectuar sin la necesidad de realizar la multiplicación completamente, es decir, la multiplicación se realiza de manera abreviada. Dada la importancia de estos productos, se les llaman productos notables; a continuación un listado de algunos de ellos. 1. 22))(( yxyxyx −=−+ 2. bdxbcadxacdcxbax +++=++ )()())(( 2 3. 222 2)( yxyxyx ++=+ 4. 222 2)( yxyxyx +−=− 5. 32233 33)( yxyyxxyx +++=+ 6. 32233 33)( yxyyxxyx −+−=− 7. 3322 ))(( yxyxyxyx +=+−+ 8. 3322 ))(( yxyxyxyx −=++− Si las ocho fórmulas de los productos notables anteriores se escriben de izquierda a derecha, se está escribiendo un polinomio como el producto entre otros polinomios. Este proceso es muy útil en las innumerables aplicaciones de la matemática. Se llama factorización.

LECCIÓN 4. SISTEMAS GEOMÉTRICOS INTRODUCCIÓN: La Geometría con fines de Medición. El estudio de la geometría tiene sentido práctico cuando se relacionan los conceptos geométricos con la cotidianidad del mundo que nos rodea y este mundo es esencialmente espacial. Buscaremos el desarrollo del pensamiento espacial que es importante para resolver problemas de ubicación, orientación, distribución y modelación de espacios, y evolución del pensamiento científico. Con un buen conocimiento geométrico el mundo físico resulta más comprensible. Las formas geométricas están presentes en el mundo natural y el hombre con su poder de observación y curiosidad, a través del tiempo pudo clasificarlas, darles nombres, definirlas y describirlas.

119

Se definen conceptos básicos

PUNTO, LÍNEAPLANO

ESPACIO

Se crean dimensiones

Se establecen

Se definen los conceptos

LONGITUD ANCHO ALTO

LONGITUD O PERÍMETROÁREA DE SUPERFICIE

ÁNGULO VOLUMEN

RELACIONES

Entre

SISTEMAS GEOMÉTRICOS

Naturalmente no pretendemos un curso teórico de geometría, queremos relacionar los conceptos básicos con aplicaciones de nuestro mundo inmediato. A nivel de manufacturas, por ejemplo, los productos se presentan de alguna manera en forma geométrica, ocupan un espacio, están envueltos en una superficie y tienen contornos que determinan un perímetro. OBJETIVOS:

• General:

El propósito de esta lección es proporcionar técnicas útiles en la solución de problemas en el contexto geométrico, definir los conceptos básicos de la geometría y aplicarlos en la solución de situaciones que involucren los conceptos de longitud, área y volumen.

• Específicos:

1. Comprender con suficiencia los conceptos de punto, línea, plano y espacio. 2. Realizar correctamente conversiones de medidas angulares. 3. Definir algunas figuras planas básicas y calcular perímetros y áreas. 4. Definir algunas figuras sólidas básicas y calcular áreas y volúmenes. IDEAS CLAVE:

Los conceptos básicos de la geometría son: línea, plano y espacio. Son conceptos abstractos, son de existencia teórica.

La línea tiene una dimensión: Largo. El plano tiene dos dimensiones: Largo y Ancho, que definen una superficie. El espacio tiene tres dimensiones: Largo, Ancho y Alto, que definen un volumen o capacidad.

En geometría existen figuras planas y sólidas En las figuras planas se define perímetro y área; en los sólidos se define

perímetro o contorno, área de superficie y volumen. MAPA CONCEPTUAL

120

SITUACIÓN PROBLEMÁTICA El propietario de una finca planea hacer un pozo séptico con una capacidad de 8 m 3 . Un constructor le propone que le cobrará $50.000 por metro cuadrado de pared construida y con dimensiones de 4 m de largo, 2 m de ancho y 1 m de profundidad. Un segundo constructor le propone el mismo precio por metro cuadrado pero hará el pozo de forma cúbica con 2 m de lado. Un tercero propone el mismo precio por área pero lo construirá en formas cilíndrica dándole una profundidad de 2 m. Aparece una cuarta propuesta con el mismo precio por área construida, con forma cilíndrica pero con 1 m de profundidad y finalmente llega una propuesta para construir el pozo en forma esférica y el mismo costo por área. ¿El costo de construcción por cada propuesta es el mismo? De no ser así, ¿cuál es la propuesta más económica? ¿Cuál la más costosa? Explique sus respuestas. DESARROLLO DE CONTENIDOS

4.1 Punto, Línea, Plano y Espacio.

121

Los conceptos básicos El punto es una idea abstracta que no podemos definir, se deja como concepto intuitivo. Sin embargo, debemos decir que el punto geométrico carece de dimensión: ni largo, ni ancho, ni alto. Se acepta como postulado que existen infinitos puntos. Un punto se representa haciendo una pequeña marca sobre el papel y se designan con letras mayúsculas: punto A, punto B, etc. La línea es también un concepto abstracto pero podemos decir que es un conjunto especial de puntos o una sucesión continua de puntos alineados en cierto sentido y dirección, es decir, podemos hablar de diferentes tipos de líneas. Una línea es la imagen que nos formamos al ver por ejemplo el riel en la carrilera del ferrocarril, el borde de una cinta métrica, la propagación de un rayo de luz, la carretera que une dos ciudades, etc. Una línea recta se extiende sin límites en sentidos opuestos y en una sola dirección, no tiene comienzo ni tiene fin. Una recta se representa por dos puntos cualesquiera de ella, por ejemplo, los

puntos A y B, y se habla de la recta AB, se utiliza también AB o se nombra la recta con una letra minúscula y se dice simplemente recta l .

Una línea curva es cuando los puntos que la conforman no están alineados en una misma dirección. Una curva cerrada es aquella que inicia y termina en un mismo punto.

Se aceptan como postulados que:

• Una línea tiene una sola dimensión, LONGITUD. • Por dos puntos cualesquiera pasa una y sólo una recta. • La intersección de dos rectas diferentes es un conjunto de un sólo punto.

Un segmento de recta, .AB es el conjunto de todos los puntos que están entre A y B, incluidos A y B.

A B

A B

122

M

A

B

C

Una semirecta o rayo, AB , es el conjunto de puntos formado por el punto A y todos los puntos que le siguen. El punto A se llama origen de la semirrecta o extremo.

El plano es un concepto también abstracto, es decir, de existencia teórica. Es la imagen que nos formamos al ver por ejemplo una lámina de metal, un ventanal en vidrio, una pared, el piso, etc. Un plano se considera un conjunto infinito de puntos, significa que su extensión es ilimitada. Un plano se simboliza por una letra o nombrando tres puntos que pertenezcan al plano y no estén en una misma recta. Así, se dice plano M o plano ABC. Se aceptan como postulados que:

• Tres puntos que no estén en una misma recta determina un y sólo un plano.

• Si una recta tiene dos puntos comunes con un plano, el plano contiene a la recta.

• Un plano tiene dos dimensiones: LONGITUD y ANCHO. De manera abstracta se considera que un plano no tiene espesor, la extensión de un plano se denomina superficie y es expresable por las dos dimensiones, largo y ancho. Una recta contenida en un plano divide al plano en dos regiones y cada región se denomina semiplano. El espacio es simplemente nuestro alrededor físico, de manera convencional se dice que tiene tres dimensiones: LONGITUD, ALTURA y ESPESOR o PROFUNDIDAD. Cuando un objeto posee estas tres dimensiones se dice que es tridimensional. Son figuras tridimensionales los prismas, pirámides, cubos, cilindros, esferas, etc.

A B

123

B

A

C

El espacio ocupado por la extensión de un cuerpo tridimensional se denomina volumen y es expresable por las tres dimensiones, largo, ancho y altura. Relaciones entre Puntos, Rectas y Planos Se denominan puntos colineales a puntos que están contenidos en una misma recta. Se denominan puntos coplanares a puntos que se están contenidos en un mismo plano. Se llaman rectas intersecantes a dos rectas que tienen un punto en común. Se llaman rectas paralelas a rectas que están en un mismo plano y no son intersecantes. Se llaman rectas concurrentes a más de dos rectas coplanares que tienen un mismo punto en común. Un ángulo es la unión de dos rayos no colinelaes que tienen el mismo extremo.

Z

124

A

B

C

A

B

D

C

El punto B de la intersección de los dos rayos se llama vértice y AB y BC se denominan lados del ángulo. El ángulo de simboliza ABC∠ . Un triángulo es la unión de tres segmentos de rectas, que se intersecan sólo en sus extremos, y definidos por tres puntos no colinelaes.

Los puntos A, B y C se llaman vértices y AB , BC y AC son los lados del triángulo. El triángulo de simboliza ABC∆ . Un cuadrilátero es la unión de cuatro segmentos de recta, que se intersecan sólo en sus extremos, definidos por cuatro puntos que están en el mismo plano y al menos tres de ellos no colinelaes.

Los puntos A, B, C y D se llaman vértices y AB , BC y CD AD son los lados del cuadrilátero. El cuadrilátero de simboliza □ABCD. Una circunferencia es el conjunto de los puntos de un plano que está a igual distancia de otro punto llamado centro. La distancia entre un punto de la circunferencia y el centro se llama radio. Una circunferencia divide al plano en dos regiones, una región exterior y otra región interior. Los puntos exteriores están a una distancia mayor que el radio y los puntos interiores están a una distancia menor. La unión del conjunto de puntos de la circunferencia y del conjunto de puntos de su interior se llama círculo.

125

A A

Observación: Una circunferencia tiene definida una longitud o perímetro, mientras que el círculo tiene definida una extensión o superficie. Un polígono es la unión de varios segmentos de recta que se intersecan sólo en sus extremos, con la condición que cada segmento se interseca exactamente con otos dos y como máximo dos segmentos se intersecan en un punto. Un polígono regular es aquel que tiene todos sus lados iguales y también sus ángulos. A continuación se muestra a la izquierda un polígono simple de cinco lados y a la derecha un polígono regular de seis lados.

Los polígonos

tienen nombr

es según el número de lados: Número de lados y nombre del polígono: 3 Triángulo 4 Cuadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono

8 Octágono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Endecágono 12 Dodecágono

4.2 Medidas Angulares. Podemos decir también que un ángulo es la abertura formada por dos rayos o semirrectas cuyos extremos se intersecan en un punto llamado vértice.

CIRCUNFERENCIA

CÍRCULOO

Radio

126

La bisectriz de un ángulo es una semirrecta que se origina en el vértice del ángulo y lo divide en dos ángulos iguales. La abertura de un ángulo se mide en grados sexagesimales. Si se divide la circunferencia en 360 ángulos iguales con sus vértices en el centro de la circunferencia, una división es un grado sexagesimal. Se dice que la circunferencia tiene 360 grados. Un grado se divide en 60 partes iguales y cada parte se llama minuto. Un minuto se divide en 60 partes iguales y cada parte se llama segundo. Estas magnitudes se simbolizan: Grado °, Minuto ‘ y Segundo “. Así por ejemplo: 35 grados, 28 minutos y 57 segundos se escribe 35°28’25”. En ocasiones los ángulos se miden en grados centesimales. Un grado centesimal resulta de la división de la circunferencia en 400 ángulos iguales y una división se llama grado centesimal. Un grado se divide en 100 minutos centesimales y un minuto se dividen en 60 segundos centesimales. Se utiliza también el sistema circular para la medida de un ángulo, consiste en tomar una abertura cuya longitud de arco tenga una longitud igual al radio de la circunferencia y la medida se llama radian. Un radian equivale a 57°18’. Como el radio de una circunferencia cabe π2 veces en su longitud, 360° equivalen a π2 radianes y por lo tanto, así, 180° equivalen a π radianes.

r

r

r

127

Un ángulo se dice que es positivo cuando se mide la abertura en sentido contrario a las manecillas del reloj y es negativo cuando la abertura se mide en el sentido de las manecillas del reloj. Para hacer conversiones entre las unidades de magnitud angulares simplemente se aplican los conceptos de proporcionalidad. Ejemplos: • Expresar 57°18’ en forma decimal. Solución. Como 1 grado equivale a 60 minutos, 18 minutos ¿a cuántos grados equivalen?

°=°

= 3,0'60

'18*1x . Entonces 57°18’ = 57,3°.

• Expresar 35,6247° en grados minutos y segundos. Solución. Primero convertimos la parte decimal en minutos. Si un grado equivale a 60 minutos, 0,6247 grados ¿a cuántos minutos equivalen?

'482,3716247,0'*60

=°

°=x

Luego convertimos la parte decimal de los minutos a segundos. Si un minuto equivale a 60”, ¿a cuántos segundos equivalen 0,482 minutos?

"29"92,28'1

'482,0"*60≈==x

Entonces: 35,6247° = 35°37’29”. • ¿Un ángulo de 6 radianes a cuántos grados sexagesimales equivale?

Solución. "29 '46 3437746,343180*6°=°=

°=

πx

Actividad: 1. Si los ángulos internos de un triángulo miden 180°, ¿Cuál es el valor del ángulo x en la siguiente figura?

128

2.

En la figura anterior, ¿Cuál es el valor de x° +y° +z°? 3. Para la siguiente figura, ¿el ángulo x es igual, mayor o menor de 40°?:

4.3 Perímetros y Áreas de algunas figuras planas. El perímetro (“perí”, alrededor. “metron”, medida) es la medida o longitud del contorno de una figura. El área es la medida de la extensión de una superficie, el área mide el tamaño de una superficie. Una región poligonal es un subconjunto de un plano acotado por un polígono o por varios. A cada región poligonal se le puede asignar un número positivo único que representa el área de la región. El Rectángulo

x°

45°

35°

40°

80° y° z° x°

140° x°

129

Altura h

Lado b

El perímetro es la suma los valores de los cuatros lados: .22 hbP += El área es igual al producto de su base por la altura: .* hbA = O simplemente lado*lado, .* llA = Si el rectángulo es un cuadrado, .* 2lllA == El área de un paralelogramo es también el producto de la base por la altura.

.* hbA =

El Triángulo

El perímetro es la suma los valores de los tres lados: .cbaP ++=

El área es igual a la mitad del producto de su base por la altura: .2* hbA =

El área de un triángulo se puede expresar en función del valor de sus lados, de acuerdo a la fórmula de HERON:

))()(( cqbqaqqA −−−= , en donde 2

cbaq ++=

Se deduce que la altura de un triángulo en función de los valores de los lados es:

))()((2 cqbqaqqb

h −−−=

ÁREA

Altura h

Lado b

Lado c Lado a

Altura h

Lado b

130

Si el triangulo es equilátero de lado l , entonces .4

3*2lA = puesto que 23lq =

El Rombo

El área de un rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales: .

2* dDA =

Se deduce que el área de un cuadrado en función de la diagonal es .2

2DA =

El Trapecio

El área de un trapecio es igual a la mitad de la suma de sus bases, multiplicada

por la altura: .2

*)( hbBA +=

La Circunferencia y el Círculo

Diagonal d

Diagonal D

Base b

Altura h

Base B

Radio

131

El perímetro o longitud de la circunferencia e igual a π2 veces el radio, es decir,

rP *2π= o también π veces el diámetro: .DP π= El área del círculo es π veces el cuadrado del radio: 2.* rA π= Actividad: 1. La longitud de un rectángulo es 5 veces su ancho. Si el perímetro del rectángulo es 60, ¿Cuál de los siguiente valores indica el ancho? a) 6. b) 5. c) 10. d) 4. d) 15. 2. Un cuadrado C y un triángulo equilátero T tienen áreas iguales. ¿Es mayor la longitud del lado del cuadrado o la longitud del lado del triángulo? 3. Los vértices de un polígono equilátero PQRST están sobre una circunferencia. ¿Es mayor, menor o igual la longitud del arco PQR que la longitud del arco RST? Explique su respuesta. 4. ¿Cuál es el área de un triángulo recto cuyos lados miden ,x 3+x y 6+x , el perímetro del triángulo es 45? 5. Tres lotes A, B y C de forma rectangular tienen perímetros iguales, 400 metros.

En el lote A uno de sus lados mide 80 m, en el lote B uno de sus lados mide 90 m y en lote C uno de sus lados mide 100 m. ¿Cuál es el área de cada lote? ¿Son iguales las tres áreas? Justifique la respuesta.

6. Se quiere cercar un área rectangular de 900 m 2 con una maya de 200 m de

longitud. ¿Cuáles son las dimensiones de los lados de rectángulo? Ejercicios para resolver como autoevaluación: 1. Convertir las siguientes medidas de ángulos a grados sexagesimales: a) 7,85 radianes b) 3 radianes

c) 15,7 radianes d) 34,55 radianes

2. Convertir los siguientes ángulos en grados sexagesimales a radianes a) 720° b) 36°

c) 157° d) 80°

Diámetro

132

3. Expresar los valores de los ángulos dados en grados, minutos y segundos. a) 25,356° b) 45,8569°

c) 165,12° d) 255,8°

4. Expresar los valores de los ángulos dados en valores decimales. a) 25°25’45” b) 45°15’28”

c) 16°5’12” d) 2°55’8”

5. Las longitudes de los lados de dos cuadrados son 5 y 10, respectivamente. ¿Cuál es la razón entre sus perímetros? ¿Cuál es la razón entre sus áreas? 6. Una lámina en forma de rectángulo se enrolla y se forma un tubo de 50 cm de

largo y 5 cm de radio. ¿Cuál es el área de la lámina? 7. Si un galón de pintura alcanza para cubrir 22 m 2 ¿Cuántos galones se

necesitan para pintar un muro de 55 metros de largo 5 de alto? 8. Mientras se construye un edificio en forma circular y que tiene un diámetro de

60 metros se quiere proteger la obra por una malla colocada a 8 metros de la construcción. ¿Cuál debe ser la longitud de la malla?

9. Un rectángulo tiene 100 m 2 de área y 58 m de perímetro. ¿Cuánto mide cada

uno de sus lados? 10. Hallar el área de un cuadrado que su diagonal mide 25 cm. 11. La base de un rectángulo es el doble de su altura y tiene un área de 450 cm 2

¿Cuánto mide cada uno de sus lados? 12. ¿Cuánto es el área de un triángulo equilátero de 12 cm de lado? 13. Los lados de un triángulo miden 3 cm, 6 cm y 9 cm, ¿Cuál es su área? 14. Una cometa en forma de rombo tiene diagonales de longitud 80 cm. y 40 cm.

¿Cuál es el área de la cometa? 15. El área de un triángulo es de 25 cm 2 y su base mide 2 cm. ¿Cuánto mide su

altura? 16. Un trapecio tiene bases de 12 y 15 cm y una altura de 5cm ¿Cuál es el área? 17. Hallar el perímetro y el área de la figura a continuación.

133

6

7 25

20 35

10

48 4.4 Superficies y Volúmenes de algunos Sólidos. Poliedros Un poliedro es un polígono en tres dimensiones o simplemente un cuerpo u objeto tridimensional limitado por varios polígonos que se llaman caras.

Una pirámide es un poliedro en el cual una cara o polígono es la base de la pirámide y las demás caras tienen un vértice común que se llama vértice de la pirámide.

Un prisma es un poliedro con dos caras iguales y paralelas entre si, las caras restantes son paralelogramos.

134

Áreas de Prismas y Pirámides El área de la superficie de prismas y pirámides es la suma de las áreas de las caras laterales, más el área de las bases. Si un prisma tiene caras laterales rectangulares y una altura h y la base tiene área B y perímetro P , entonces el área de la superficie del prisma se puede calcular con la expresión .2* BhPA += Si una pirámide regular tiene una altura inclinada l (distancia, tomada perpendicularmente a la base, entre la base y el vértice de cualquier cara lateral de la pirámide), la base un área B y perímetro P , entonces el área de la

superficie de la pirámide se puede calcular con la expresión PlBA *21

+= .

Volúmenes de Prismas y Pirámides El volumen de un cuerpo es su extensión en el espacio tridimensional, es la cantidad de espacio que ocupa su forma. El volumen es expresable por las tres dimensiones: Largo, Ancho, Alto o Espesor. A cada sólido se le puede asignar un número positivo único que representa su volumen. Un sólido rectangular es un prisma con bases rectangulares cuyos lados laterales son perpendiculares a las bases.

El volumen de un prisma rectangular es igual al producto de la longitud de la base, la longitud del ancho y la longitud de la altura o espesor: .** cbaV = Si las tres dimensiones son iguales, ,l el prisma se le llama cubo y su volumen es

3lV = . El volumen de un prisma cualquiera es el producto del área de la base por la longitud de la altura o espesor: .* hBV = Una pirámide con una base de área b y altura h , el volumen se puede calcular

por la expresión .*31 hBV =

135

Áreas y Volúmenes de Cilindros Un cilindro es como una especie de prisma puesto que sus bases circulares (aunque pueden ser elípticas) son iguales y paralelas entre si. Un cilindro tiene un eje que es la línea que une los centros de las caras circulares, la altura del cilindro es la longitud del eje. Si el eje es perpendicular a las bases se dice que es un cilindro recto.

Sea un cilindro circular recto de altura h y la base tiene longitud de circunferencia

rC *2π= y área B , entonces el área de la superficie del cilindro viene dada por la expresión

2222* rrhBhCA ππ +=+=

El volumen de un cilindro circular recto esta dado por la expresión:

2*** hrhBV π== La figura muestra las secciones de un cilindro recto.

Longitud de la circunferencia

Radio

Altura

Radio

A=C*h

A=π*r²

A=π*r²

136

Áreas y Volúmenes de Conos A un cono se le llama en geometría un sólido de revolución, porque se obtiene de hacer girar un triangulo rectángulo alrededor de uno de los catetos. El otro cateto en su rotación forma la base del cono. La figura muestra las secciones de un cono recto.

Dado un cono recto rectangular con altura inclinada l , con base de área B y longitud de circunferencia C , entonces el área de la superficie está dada por la expresión

2**21 rrlBlCA ππ +=+=

El volumen de un cono circular recto de altura h y con una base de área B viene dado por la expresión

hrhBV **31*

31 2π==

Vértice

Radio

Recta Generatriz o altura inclinada L

A=π*r²

137

Áreas y Volúmenes de Esferas Una esfera es también un sólido de revolución, porque se obtiene de hacer girar una semicircunferencia alrededor del diámetro. Es un cuerpo sólido limitado por una superficie cuyo conjunto puntos está a igual distancia de otro punto llamado centro.

Dada un esfera de radio r el área de su superficie está dada por la fórmula

2*4 rA π= y el volumen por 3*34 rV π= .

Actividad: 1. Un sólido rectangular tiene dos caras cuadradas y del mismo tamaño y la longitud de sus lados es de 5. Las otras cuatro caras son rectangulares y las dimensiones de sus lados son 5 y 10. ¿Cuál es el volumen del sólido? 2. Una panadería fabrica una galleta en forma cilíndrica con un pequeño agujero en el centro. Las dimensiones de la galleta son: La altura o grosor es de 10 milímetros, el diámetro de la galleta es de 80 milímetros y el agujero interno tiene un radio 10 milímetros. ¿Cuál es el volumen de la galleta? 3. Debido al incremento en los costos de los materiales la panadería del ejercicio anterior desea reducir el volumen de la galleta para mantener el precio de venta, para ello quiere disminuir en un 15% el volumen de la galleta incrementando el radio del agujero interior. ¿Cuál ha de ser el nuevo radio del agujero interno? 4. Una barra de jabón tiene 10 cm de longitud, 6 cm de ancho y 3 cm de altura o grosor. Debido al aumento de los costos de producción se quiere disminuir el volumen en un 15%, manteniendo el grosor y disminuyendo la longitud y el ancho en la misma cantidad, ¿cuáles serán las nuevas dimensiones de la nueva barra de jabón?

138

Ejercicios para resolver como autoevaluación: 1. Se va a construir una piscina de 35 m de largo, 15 m de ancho, 3 m de

profundidad en uno de sus extremos y un metro de profundidad en el otro ¿Cuál es el área de la superficie de las paredes de la piscina? ¿Cuál es el volumen de la piscina?

2. Hallar el área de la superficie de una caja sin tapa que tiene 20 cm de largo, 15

cm de ancho y 10 cm de altura. 3. La superficie de un prisma de base cuadrada es de 400 cm 2 , la altura es la

mitad del ancho. ¿cuales son las dimensiones del prisma? 4. Si las longitudes de los lados de un cubo se duplican ¿Cuánto aumenta su

volumen? 5. Un recipiente en forma cilíndrica mide 30 cm de alto y su radio es 5 cm. Hallar

el área de la superficie y el volumen. 6. Si la altura y el radio de un cilindro se duplican ¿Cómo cambia el área de su

superficie y su volumen? 7. Un fabricante de dulces produce un chupetín de chocolate en forma de cono

con altura 5 cm y 1 cm de diámetro. ¿Cuál es el volumen del chocolate necesario para el chupetín? ¿Cuánto papel se requiere para cubrir su superficie?

8. Un finquero necesita construir una canal en forma semicircular con una lámina

de 600 cm de largo y 100 cm de ancho. ¿Cuál el volumen de la canal? 9. Si en el problema anterior la canal se construye en forma rectangular con un

ancho de 50 cm y altura de 25 cm, ¿cuál es el volumen? 10. Se quiere construir un pozo séptico en forma cilíndrica de volumen 8 m 3 y una

profundidad de 1 m. ¿Qué dimensiones debe tener el diámetro? 11. Bajo el supuesto de que la tierra es una esfera perfecta y que su radio es

aproximadamente 6.400 Km. ¿Calcular el área de la superficie del planeta y su volumen?

12. Resolver la situación problemática planteada al inicio de la lección.

139

RESUMEN

El punto es una idea abstracta que no se puede definir, se deja como concepto intuitivo. Sin embargo, se dice que el punto geométrico carece de dimensión: ni largo, ni ancho, ni alto. Se acepta como postulado que existen infinitos puntos. La línea es un concepto abstracto pero se dice que es un conjunto especial de puntos o una sucesión continua de puntos alineados en cierto sentido y dirección, es decir, se habla de diferentes tipos de líneas. Una línea es la imagen que se forma al ver por ejemplo el riel en la carrilera del ferrocarril, el borde de una cinta métrica, la propagación de un rayo de luz, la carretera que une dos ciudades, etc. Una línea recta se extiende sin límites en sentidos opuestos y en una sola dirección, no tiene comienzo ni tiene fin. Una línea curva es cuando los puntos que la conforman no están alineados en una misma dirección. Una curva cerrada es aquella que inicia y termina en un mismo punto. El plano es un concepto abstracto, es decir, de existencia teórica. Es la imagen que se forma al ver por ejemplo una lámina de metal, un ventanal en vidrio, una pared, el piso, etc. Un plano se considera un conjunto infinito de puntos, significa que su extensión es ilimitada. De manera abstracta se considera que un plano no tiene espesor, la extensión de un plano se denomina superficie y es expresable por las dos dimensiones, largo y ancho. El espacio es simplemente nuestro alrededor físico, de manera convencional se dice que tiene tres dimensiones: LONGITUD, ALTURA y ESPESOR o PROFUNDIDAD. El espacio ocupado por la extensión de un cuerpo tridimensional se denomina volumen y es expresable por las tres dimensiones: largo, ancho y altura. Se denominan puntos colineales a puntos que están contenidos en una misma recta. Se denominan puntos coplanares a puntos que se están contenidos en un mismo plano. Se llaman rectas intersecantes a dos rectas que tienen un punto en común. Se llaman rectas paralelas a rectas que están en un mismo plano y no son intersecantes. Se llaman rectas concurrentes a más de dos rectas coplanares que tienen un mismo punto en común.

140

Un ángulo es la unión de dos rayos no colinelaes que tienen el mismo extremo. Un triángulo es la unión de tres segmentos de rectas, que se intersecan sólo en sus extremos, y definidos por tres puntos no colinelaes. Un cuadrilátero es la unión de cuatro segmentos de recta, que se intersecan sólo en sus extremos, definidos por cuatro puntos que están en el mismo plano y al menos tres de ellos no colinelaes. Una circunferencia es el conjunto de los puntos de un plano que está a igual distancia de otro punto llamado centro. La distancia entre un punto de la circunferencia y el centro se llama radio. La unión del conjunto de puntos de la circunferencia y del conjunto de puntos de su interior se llama círculo. Un polígono es la unión de varios segmentos de recta que se intersecan sólo en sus extremos, con la condición que cada segmento se interseca exactamente con otos dos y como máximo dos segmentos se intersecan en un punto. Un polígono regular es aquel que tiene todos sus lados iguales y también sus ángulos. La bisectriz de un ángulo es una semirrecta que se origina en el vértice del ángulo y lo divide en dos ángulos iguales. La abertura de un ángulo se mide en grados sexagesimales. Se dice que la circunferencia tiene 360 grados. Un grado se divide en 60 partes iguales y cada parte se llama minuto. Un minuto se divide en 60 partes iguales y cada parte se llama segundo. Estas magnitudes se simbolizan: Grado °, Minuto ‘ y Segundo “. Se utiliza también el sistema circular para la medida de un ángulo, consiste en tomar una abertura cuya longitud de arco tenga una longitud igual al radio de la circunferencia y la medida se llama radian. Un radian equivale a 57°18’. Como el radio de una circunferencia cabe π2 veces en su longitud, 360° equivalen a π2 radianes y por lo tanto, así, 180° equivalen a π radianes. Un ángulo se dice que es positivo cuando se mide la abertura en sentido contrario a las manecillas del reloj y es negativo cuando la abertura se mide en el sentido de las manecillas del reloj. El perímetro (“perí”, alrededor. “metron”, medida) es la medida o longitud del contorno de una figura. El área es la medida de la extensión de una superficie, el área mide el tamaño de una superficie.

141

Una región poligonal es un subconjunto de un plano acotado por un polígono o por varios. A cada región poligonal se le puede asignar un número positivo único que representa el área de la región. El perímetro de un rectángulo es la suma los valores de los cuatros lados:

.22 hbP += El área de un rectángulo es igual al producto de su base por la altura: .* hbA = O simplemente lado*lado, .* llA = Si el rectángulo es un cuadrado, .* 2lllA == El área de un paralelogramo es también el producto de la base por la altura.

.* hbA =

El perímetro de un triángulo es la suma los valores de los tres lados: .cbaP ++= El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base por la altura:

.2* hbA =

El área de un triángulo se puede expresar en función del valor de sus lados, de acuerdo a la fórmula de HERON:

))()(( cqbqaqqA −−−= , en donde 2

cbaq ++=

Se deduce que la altura de un triángulo en función de los valores de los lados es:

))()((2 cqbqaqqb

h −−−=

Si el triangulo es equilátero de lado l , entonces .4

3*2lA = puesto que 23lq =

El área de un rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales: .2* dDA =

Se deduce que el área de un cuadrado en función de la diagonal es .2

2DA =

El área de un trapecio es igual a la mitad de la suma de sus bases, multiplicada

por la altura: .2

*)( hbBA +=

El perímetro o longitud de la circunferencia es igual a π2 veces el radio, es decir, rP *2π= o también π veces el diámetro: .DP π=

El área del círculo es π veces el cuadrado del radio: 2.* rA π= Un poliedro es un polígono en tres dimensiones o simplemente un cuerpo u objeto tridimensional limitado por varios polígonos que se llaman caras.

142

Una pirámide es un poliedro en el cual una cara o polígono es la base de la pirámide y las demás caras tienen un vértice común que se llama vértice de la pirámide.

Un prisma es un poliedro con dos caras iguales y paralelas entre si, las caras restantes son paralelogramos. El área de la superficie de prismas y pirámides es la suma de las áreas de las caras laterales, más el área de las bases. A cada sólido se le puede asignar un número positivo único que representa su volumen. Un sólido rectangular es un prisma con bases rectangulares cuyos lados laterales son perpendiculares a las bases. El volumen de un prisma rectangular es igual al producto de la longitud de la base, la longitud del ancho y la longitud de la altura o espesor: .** cbaV = Si las tres dimensiones son iguales, ,l el prisma se le llama cubo y su volumen es

3lV = . El volumen de un prisma cualquiera es el producto del área de la base por la longitud de la altura o espesor: .* hBV = Una pirámide con una base de área b y altura h , el volumen se puede calcular

por la expresión .*31 hBV =

Un cilindro es como una especie de prisma puesto que sus bases circulares (aunque pueden ser elípticas) son iguales y paralelas entre si. Un cilindro tiene un eje que es la línea que une los centros de las caras circulares, la altura del cilindro es la longitud del eje. Si el eje es perpendicular a las bases se dice que es un cilindro recto. A un cono se le llama en geometría un sólido de revolución, porque se obtiene de hacer girar un triangulo rectángulo alrededor de uno de los catetos. El otro cateto en su rotación forma la base del cono. Una esfera es también un sólido de revolución, porque se obtiene de hacer girar una semicircunferencia alrededor del diámetro. Es un cuerpo sólido limitado por una superficie cuyo conjunto puntos está a igual distancia de otro punto llamado centro.

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GLOSARIO

Base: En álgebra de números significa la cantidad que ha tomarse como factor las n veces que índica un índice en una potencia. En un sistema de numeración, es el número de símbolos utilizados para formar un sistema completo de numeración, por ejemplo, nuestro sistema decimal de numeración es en base 10, puesto que se apoya en 10 símbolos diferentes para montar el sistema. Circunferencia: Conjunto de puntos en forma de curva cerrada que equidistan de otro punto situado en el interior y en el mismo plano que se llama centro. Círculo: Porción de la superficie al interior de una circunferencia. Cociente: Resultado que se obtiene al dividir una cantidad numérica por otra. Diagrama: Gráfico que permite representar mediante un dibujo de tipo geométrico una ley o fenómeno, o para demostrar una proposición o resolver una situación problemática. Diámetro: Recta que une dos puntos de la circunferencia pasando por su centro. La longitud del diámetro es 2 veces la del radio. Ecuación: Es una relación de igualdad entre dos expresiones algebraicas o fórmulas. Espacio: Es simplemente nuestro alrededor físico, de manera convencional se dice que tiene tres dimensiones: LONGITUD, ALTURA y ESPESOR o PROFUNDIDAD. Fórmula: Es una expresión que está conformada por un número contable de variables conectadas o enlazadas por medio de operaciones y relaciones. Índice: Número que indica el grado de una radicación. También es un indicador de la relación o cociente entre dos cantidades con la que se expresa la variación de una cantidad respecto a la otra. Inverso: Hace referencia a dos cantidades o expresiones que multiplicadas entre si dan como resultado uno (1) o que sumadas entre si da como resultado cero (0). Se dice que cantidad es la inversa de la otra. Línea: Es un concepto abstracto pero podemos decir que es un conjunto especial de puntos o una sucesión continua de puntos alineados en cierto sentido y dirección, es decir, podemos hablar de diferentes tipos de líneas. Una línea es la imagen que nos formamos al ver por ejemplo el riel en la carrilera

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del ferrocarril, el borde de una cinta métrica, la propagación de un rayo de luz, la carretera que une dos ciudades, etc. Notación: Forma de representar o expresar a través de signos convencionales conceptos de las ciencias. Plano: Es un concepto abstracto, es decir, de existencia teórica. Es la imagen que nos formamos al ver por ejemplo una lámina de metal, un ventanal en vidrio, una pared, el piso, etc. Un plano se considera un conjunto infinito de puntos, significa que su extensión es ilimitada. Poliedro: Es un polígono en tres dimensiones o simplemente un cuerpo u objeto tridimensional limitado por varios polígonos que se llaman caras. Radio: Es la distancia entre un punto de la circunferencia y su centro. Secante: Línea que corta un arco de circunferencia en dos puntos. A medida que los dos puntos de corte se acercan infinitesimalmente entre si de tal manera que se “forme” un sólo punto, a la línea que corta al arco de circunferencia en dicho punto, se le llama tangente. Tangente: Línea que tiene sólo un punto en común con un arco de circunferencia. Al punto común se le llama punto de tangencia. Variable: Es un símbolo, generalmente una letra del alfabeto, que se puede remplazar o sustituir por cualquier elemento de un conjunto dado. Vértice: Punto en que se cortan los lados de un ángulo, en el caso de una curva es el punto en que ella se corta con su eje.

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BIBLIOGRAFIA

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JUAN DOMINGO MENESES

juandmeneses@hotmail.com