Matemáticas financieras: Tasa de Interés

Ing. Narciso Arméstar Bruno2012

Interés Simple

• Es una tasa directamente proporcional al tiempo.

• Si el interés es 10% al año y me prestan S/. 1,000– En un año acumulo por interés S/.100– En dos años acumulo S/. 200– En tres años acumulo S/. 300, etc. etc.

Representamos una operación financiera en el siguiente esquema de tiempo: VF i = interés por periodo

N periodos VA

Interés Sinple

Entonces para un interés simple usamos la siguienteRelación, para hallar el valor futuro :

VF = VA + VA x i x N

El VF de S/. 1000 en tres años al 10 % anual será:

VF = 1000 + 1000 x 0.10 x 3

VF = 1000 + 300

VF = 1300

Interés Simple

INTERÉS SIMPLE

Periodos

Valor Futuro

1,000

1 3

1,300

1,100

INTERES COMPUESTO

• Se llama interés compuesto, aquel que al final del periodo capitaliza los intereses devengados en el periodo inmediatamente anterior.

• Se habla de intereses sobre intereses porque los intereses obtenidos en un periodo ganan intereses en el periodo siguiente.

INTERES COMPUESTO

• Se deposita S/. 50,000 por 4 periodos al 6% por periodo

Periodo Intereses Total 0 0 50,000.0

1 50,000 (0.06)=3000 53,000.0 2 53,000 (0.06)=3180 56,180.0 3 56,180 (0.06)=3370.8 59,550.8 4 59,550.8 (0.06)=3573 63,123.8

INTERES COMPUESTO• Obtenemos el mismo resultado si aplicamos la siguiente fórmula:

VF = VA x ( 1+ i )N

VF = 50,000 x ( 1+ 0.06 )4

VF = 63,123.8

INTERES NOMINAL

• Es la tasa que expresada anualmente puede capitalizar varias veces en el año

• Siempre se especifica cómo capitaliza• Ejemplo:

– 21 % anual nominal capitalizable trimestral– 21 % capitalizable trimestral– 21 % anual trimestre vencido

INTERES EFECTIVO

• Es la tasa que realmente se aplica en el periodo de capitalización sobre el capital para calcular los intereses

• Ejemplo:– 9 % trimestral– 25 % efectiva anual– 9 % trimestre vencido

• Todas las operaciones financieras se calculan al interés efectivo

INTERES EFECTIVO• Formula usada es la siguiente:

1 + TEA = ( 1 + TNA / m ) n

Donde “m” es el número de periodos en quese divide el año y “n” es el número de

periodos que se quiere capitalizar

INTERES EFECTIVO• Cuando menor es el periodo de

capitalización, mayor es la tasa efectiva anual

TNA : 10%Capitalización TEAsemestral 10.25%cuatrimestral 10.34%trimestral 10.38%bimestral 10.43%mensual 10.47%diario 10.52%

INTERES EFECTIVO

Capitalización

TEAei-1

TASA VENCIDA

Cuando el periodo de pago o cobro de los intereses coincide con el periodo de capitalización

1,000

1 año

Interés: 10 % anual vencido1,100

TASA ADELANTADA

Cuando el periodo de pago o cobro de los intereses se anticipa al periodo de capitalización

1,000

1 año

Interés: 10 % anual adelantado1,000

100

TASA ADELANTADA

El flujo de efectivo queda así :

900

1 año

Interés: 10 % anual adelantado1,000

El interés efectivo queda como:( 1000 / 900 ) –1 = 0.1111 ó 11.11 %

TASA ADELANTADA

La formula para el interés adelantado es la siguiente:

Interés efectivo Interés vencidoAdelantado = -------------------------- 1 – Interés vencido

Repitiendo el cálculo anterior

IEA = 0.10 / ( 1 – 0.10 ) = 0.10 / 0.90 = 0.1111

TASA ADELANTADA vs VENCIDA

Capitalización

TEA

Interés vencido

Interés adelantado

ei-1

TASA EQUIVALENTE

• Se dice que dos tasas son equivalentes cuando ambas, operando en condiciones diferentes dan el mismo resultado efectivo

• Ejemplo : ¿Qué tasa trimestral es equivalente a 3 % mensual?

TET = ( 1+ 0.03 ) 3 - 1 = 0.0927 TET = 9.27%

TASA EQUIVALENTE

• Ejemplo : ¿Qué tasa nominal anual capitalizable trimestralmente es equivalente al 18% efectivo semestral ?

TES = ( 1+ TNA / 4 ) 2 - 1 0.18 = ( 1 + TNA/ 4 )2 –11.18 = ( 1 + TNA/ 4 )2

1.18 ½ = ( 1 + TNA / 4 )1.0863 = ( 1 + TNA / 4 )0.0863 = TNA / 48.63 %= TNA / 4

TNA = 34.51 %

TASA EQUIVALENTE• Ejemplo : ¿Qué tasa mensual es

equivalente a al 34 % nominal semestral?TES = ( 1+ TNA / 12 ) 6 - 1 0.17 = ( 1 + TNA / 12 )6 –11.17 = ( 1 + TNA / 12 )6

1.17 1/6 = ( 1 + TNA / 12 )1.0265 = ( 1 + TNA /12 )0.0265 = TNA / 12 2.65 % = TNA / 12 TM = 2.65 %

TASA EQUIVALENTE• Ejemplo : ¿Qué tasa nominal trimestral es

equivalente al 33 % nominal mensual ?

( 1+ TNA/12)12 = ( 1 + TNA/4)4

( 1+ 0.33/12)12 = ( 1 + TNA/4)4

( 1+ 0.0275)3 = ( 1 + TNA/4) 1.0847895 = ( 1 + TNA/4)0.0847895 = TNA/40.3391 = TNA TNA = 33.91 %

TASA REAL

TASA CORRIENTE - INFLACION

TASA REAL = ------------------------------------

1 + INFLACION

TASA DE DEVALUACIÓN

• Es la medida de la perdida de valor de la unidad monetaria nacional frente a otra moneda extranjera

• Se tiene en cuenta cuando queremos saber el costo en moneda nacional de un crédito en moneda extranjeraInterés Soles = ( 1+ Interés Dólares) x ( 1+Devaluación) -1

¿Cómo calculamos la devaluación?• Supongamos el siguiente

comportamiento del tipo de cambio:

Enero 3.43Febrero 3.45Marzo 3.48Abril 3.51Mayo 3.515Junio 3.50Julio 3.47Agosto 3.46Setiembre 3.455Octubre 3.45Noviembre 3.44Diciembre 3.49

3.38

3.4

3.42

3.44

3.46

3.48

3.5

3.52

ene may set

TipoCambio

• Para saber el nivel de devaluación necesitamos saber solamente el valor final y el inicial del tiempo en análisis.

• D.A = (3.49/3.43) –1• D.A = 1.75 %

MATEMATICAS FINANCIERAS : FACTORES

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¿Qué es un factor?

• Este tema surge de la idea de equivalencia del valor del dinero en el tiempo.

• ¿A que es equivalente 1,000 soles de hoy en diciembre de este año?

¿Qué puede determinar la equivalencia?

Hoy Noviembre 2011

Noviembre 2012

S/.1,000 ?

¿Qué puede determinar la equivalencia?

• ¿Será la Inflación?– Supongamos que la inflación es cero

• ¿Será la Devaluación?– Suponemos que el tipo de cambio no

varía en el año• ¿Será la oportunidad que tengo hoy

de ganar algo con ese dinero?– Parece ser una razón sustentable

¿Qué oportunidades tengo hoy con el dinero?

• Invertir en Bolsa• Comprar un bien• Depositar en Ahorros• Comprar dólares• etc. etc. etc.

Recuperar la oportunidad perdida hace la equivalencia

• Esa oportunidad perdida está representada en una tasa de interés.

• Si la oportunidad perdida fuera de 10%

• Los S/. 1,000 de hoy equivalen a S/. 1,100 en diciembre 2004

Hay dos formas de equivalencia

• Si se busca una equivalencia hacia el futuro se dice que el factor es de CAPITALIZACIÓN

• Si se busca una equivalencia hacia el pasado se dice que el factor es de ACTUALIZACION

• Se estudiará distintos factores dependiendo del flujo de dinero que se analice

Convención de fin de Periodo

Ingreso ( + )

Egreso ( - )Se supone que todo ocurre al fin del periodo

5 8

Factor de actualización de un Pago Simple

P = ?

F

n

“i” por periodo

Dado como dato “F”, “n”, yel interés por periodo “i” sepide hallar el equivalente en elpresente “P”

F P = ------------- ( 1 + I )n

1( P/F , i , n ) = -------------- ( 1+ I )n

Factor de capitalización de un Pago Simple

P

F =??

n

I periodo

Dado como dato “F”, “n”, yel interés por periodo “i” sepide hallar el equivalente en elpresente “P”

F = P ( 1 + I )n

( F/P , i , n ) = ( 1+ I )n

Factor de actualización de una serie de Pagos Uniformes

P= ??

F

nI periodo

A

(1+I)n - 1

P = A ----------- (1+I)n x I

1+I)n - 1( P/A , i , n ) = -------------- (1+I)n x I

Factor de capitalización de una serie de Pagos Uniformes

P

F =??

nI periodo

A

(1+I)n - 1

F = A ----------- I

(1+I)n - 1( F/A , i , n ) = -------------- I

Serie de pagos en crecimiento Aritmético

AAA AAA A A

0 1 2 3 4 5 6 ………. N

G 2G 3G 4G 5G …………… (N-1)G

Factor de Actualización de una Serie de pagos en crecimiento

Aritmético

0 1 2 3 4 5 6 ........................... nG 2G 3G 4G 5G …………… ( N-1 ) G

P = ??

Dado el valor del gradiente aritmético “G”, la tasa de interés I y número de periodos N, hallamos su equivalente en el presente

(1 + i )N – 1 N 1P = G ------------------- - --------------- x ------- ( 1 + i )N i ( 1 + i ) N i

Factor de Capitalización de una Serie de pagos en crecimiento

Aritmético

0 1 2 3 4 5 6 ........................... n

G

P

F = ???

2G 3G

4G 5G

(N – 1)G

Dado el valor del gradiente aritmético “G”, la tasa de interés I y número de periodos N, hallamos su equivalente en el presente

(1 + I)N – 1 1F = G ------------------- - N x ------- I I

Transformar un Flujo de pagos Uniformes en pagos crecientes.

1 NA = G ------- - ----------- I (1+I)N -1

A G

0 N 0 N

1 N A = G ------- - ----------- i (1+i)N -1

Ejemplos Diversos

EJERCICIOS DE MATEMATICAS FINANCIERAS : FACTORES

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Encontrar “P” en la gráfica :

P

30

40

4 51 2 3

Si la tasa de interes por periodo es 10%

Solución 1

P = 30 ( P/F,10%,4) + 40 ( P/F,10%,5)

30 40P = --------------- + ----------------- ( 1 + 0.1 )4 ( 1 + 0.1 )5

P = 45.32

Solución 2: llevar todo al periodo 3 y de allí toda al periodo cero

P = 30 ( P/F,10%,1) + 40 ( P/F,10%,2) P = 45.32

(P/F,10%,3)

Solución 3: llevar todo al periodo 5 y de allí todo al periodo cero

P = 30 ( F/P,10%,1) + 40 P = 45.32

(P/F,10%,5)

Calcular “B” en el siguiente flujo, si i= 8%

B 30 30 30 40 40 40 B

B

Respuesta : B = - 190

Solución :B = 30(F/A,8%,3)(F/P,8%,1) + 40(P/A,8%,3) + B(F/P,8%,4) + B(P/F,8%,3)

B = 30(3.506112) + 40(2.577097) + 1.360489 B +

0.7350298 B

B = 208.2673 + 2.0955 B

- 1.09552 B = 208.2673 => B = - 190.108

Calcular “C” si i=12%

500

C C2 C

3 C

4 C

1 2 3 4 5

Respuesta: C = 68.6

Solución

500 = C (P/F,12%,1) + C (P/G,12%,5)500 = 0.892857 C + 6.397016 C500 = 7.289873 C68.588 = C

Resolver:

Durante 11 años se hicieron depósitos cada fin de año de US $ 750, menos el año 5, es decir se hacen 10 pagos efectivos. Si la tasa de interés involucrada en esta operación es de 5%. ¿Cuál es el valor presente de esta serie de pagos?

Solución 1

P = 750 (P/A,5%,11) – 750 (P/F,5%,5)P = 750 (8.306414) – 750

(0.78352617)P = 5642.17

Solución 2

P = 750 (P/A,5%,4) + 750 (P/A,5%,6)(P/F,5%,5)P = 750 (3.5459505) – 750

(5.07569207) (0.78352617)P = 2659.46 + 2982.70P = 5642.17

Resolver:

El exclusivo club deportivo FALSASO, ofrece dos opciones a quien quiere ser socio: un solo pago de US$10,000 que le da derecho a una membresía por 10 años, o pagos anuales al inicio de cada año. En el primer pago se abonará US$1200 y se aumentara cada año 100. A un interés del 12%.¿QUÉ CONVIENE?

Solución:

G = 100

1200

0 9-1-2

2100

P

Solución :Vamos a hallar el presente de los pagos anuales:

P = 100 (P/G, 12%,10) (F/P, 12%, 1) + 1200 (P/A,12%,10) (F/P,12%,1)P = 100 ( 20.2540889 ) ( 1.12 ) + 1200 ( 5.65022303) ( 1.12 )P = 2268.45795 + 7593.89975P = 9862.3577 Se ahorra entonces : 10,000 -9862.3577 = 137.64

Resolver :Una persona compró un TV en US$ 750 y acordó pagarlo en 24 mensualidades iguales, comenzando un mes después de la compra. El Contrato también estipula que el comprador deberá pagar en el mes de diciembre de ambos años anualidades equivalentes a 3 pagos mensuales. Si el televisor lo compró el 1 de enero de 2004, deberá pagar en diciembre de 2004 y diciembre de 2005 cuatro mensualidades, una normal y 3 extras. Si el interés mensual es de 1 %. ¿cuánto es la cuota mensual?

Solución:750 = A (P/A,1%,24) + 3A (P/F,1%,12) + 3A (P/F,1%,24)750 = A (21.2433873)+ 3A (0.88744923) + 3A (0.78756613 )750 = 21.2433873 A + 2.66234768 A + 2.36269838 A750 = 26.2684333 A28.55 = A

Resolver:

En el mismo problema anterior se decide pagar además de las cuotas uniformes, un solo pago de US$ 200 en diciembre de 2004. Es decir en el mes 12 sólo se paga los US$200. ¿A cuanto asciende las mensualidades si el interés mensual es el mismo?

Solución:750 = A (P/A,1%,11) + 200

(P/F,1%,12) + A (P/A,1%,12) (P/F,1%,12)750 = 10.3676282 A + 200

(0.88744923) + (11.2550775)(0.88744923) A750 = 20.355938 A + 177.489845572.510155 = 20.355938 A28.12 = A

Resolver:

Se depositan US$12,222 en un banco que paga un interés del 15% anual capitalizado cada mes. Si se estima que será necesario retirar US$1,800 cada tres meses, ¿cuántos retiros de 1,800 se podrán hacer hasta extinguir totalmente el depósito?

Respuesta : 8 retiros

Solución:Cada periodo es de tres meses, por lo que necesitamos la tasa efectiva trimestral:

Imes = 15%/12 = 1.25%I trimestre = ( 1.0125 ) 3 –1 = 3.797% 1.03797 n -1 12,222 = 1800 ( -------------------------- ) 1.03797 n 0.03797 6.79 (1.03797n) 0.03797 = 1.03797 n –1 1.34738399 = 1.03797 n log (1.34738399) = n log(1.03797) 0.12949138 = 0.0161851 n 8.00 = n

Resolver:

Si un usurero presta US$ 1,000 a cambio de recibir US$ 1,100 al cabo de una semana y se supone que esta practica la realiza en forma continua durante todo un año. ¿cuál es la tasa efectiva de interés anual que habrá ganado?

Respuesta : 14,299 %

El interés por 7 días es 10%

El interés por un año será:

(365/7)( 1.10 ) - 1 = 14,299%

Resolver :

Se depositan US$2500 en un banco que paga un interés del 14% anual capitalizado cada semana. Seis meses después del primer depósito se retiran US$1,000. Al cabo de un año del depósito inicial, vuelven a depositarse los US$1,000. Si en lo sucesivo ya no hay movimientos de dinero, ¿cuánto se tendrá acumulado después de 18.5 meses de haber iniciado las operaciones?

Respuesta : 3,016.85

Solución:

2,500

1,000

1,000

6 12 18.5

El interés semanal es 14% /52 = 0.2692 %El interés mensual es (1.002692)^(30/7) –1 = 1.1588%Llevando todo al periodo 18.5

Solución :

F (18.5) = 2500 (1.011588)18.5 – 1000 (1.011588)12.5 + 1000 (1.011588) 6.5

F (18.5 ) = 3,016.85

¿Preguntas?

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