TAREA de Espacios Vectoriales Folleto

ESPACIOS VECTORIALES Y TRANSFORMACIONES LINEALES

Elaborado : ROGER ALBERTO GARCIA GUEVARA Página 1

El espacio Rn. Def. Si n es un entero positivo, entonces, una n-upla o n-ada ordenada es una sucesión de números reales ),...,,( 21 nuuu . El conjunto de las n-uplas ordenadas se conoce como

espacio n-dimensional y se denota por Rn.

De igual forma que en R2 y R3 ),,(),( 32121 uuuyuu se utilizaban para representar un punto

o un vector con punto inicial en el origen de coordenadas, la n-upla ordenada ),...,,( 21 nuuu se puede concebir como un punto generalizado o un vector generalizado.

Así, por ejemplo (-2, 1, 0, 4) se puede ver como un punto en R4 o un vector en R4.

Def. Dos vectores ),...,,( 21 nuuuu y ),...,,( 21 nvvvv en Rn son iguales si y sólo si

nn vuvuvu ,...,, 2211 .

Las operaciones con vectores en Rn son similares a las operaciones con vectores en R2 y R3, así:

),...,,( 2211 nn vuvuvuvu , ),...,,( 21 nukukukuk donde k es un escalar.

Estas operaciones son denominadas operaciones estándar en Rn. El vector cero en Rn se

define como )0...,,0,0(0 y el negativo del vector u se define como

),...,,( 21 nuuuu . La diferencia de dos vectores se define como

),...,,( 2211 nn vuvuvuvu . Las propiedades de estas operaciones son similares a

las propiedades de las operaciones con vectores en R2 y R3.

También puede generalizarse el concepto de magnitud y de producto punto.

De esta manera:

222

21 ... nuuuu y nn vuvuvuvu .... 2211 siendo ),...,,( 21 nuuuu y

),...,,( 21 nvvvv . De igual manera que la suma y el producto escalar-vector, las

propiedades de la magnitud y el producto punto son similares a las de la magnitud y producto punto en el plano y el espacio.

Por ejemplo, el ángulo entre vectores está dado por : cos. vuvu

Ejemplo. Dados los vectores de R4 )0,7,4,5()7,5,3,1( vyu , hallar:

a) vu 32 , b) el ángulo entre vyu .

Solución. a) Primeramente multiplicamos por los escalares

)0,21,12,15(3)14,10,6,2(2 vyu .

Realizando la diferencia tenemos que:



)14,11,18,17()0,21,12,15()14,10,6,2(32 vu

Extrayendo magnitud, se tiene que:

vu 32 2222 14)11(18)17( 5.30930

b) Extraemos primeramente el producto punto:

2035123)0)(7()7)(5()4()3()3)(1()0,7,4,5(.)7,5,3,1(. vu

Ahora calculamos la magnitud de cada uno de los vectores:

84753)1( 2222 u y 9007)4(5 2222 v

De esta forma; 23.09084

20cos y 01 7.76)23.0(cos

ESPACIOS VECTORIALES GENERALES.

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos llamados vectores, junto con dos operaciones llamadas suma de vectores y producto de un vector por un escalar que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

Si Vwvu ,, y escalares Rlk , :

i) Vvu

ii) uvvu

iii) wvuwvu )()(

iv) uuuVutodoparaquetalV 00,0

v) 0)(; uuuuquetalVuVu

vi) Vuk

vii) ulukulk )(

viii) vkukvuk )(

ix) ulkulk )()(

x) uu 1

Ejemplos de espacios vectoriales.

1) El conjunto de vectores en Rn con las operaciones suma de vectores en Rn y el producto de un vector en Rn por un escalar.

2) El conjunto de matrices de orden m x n Mmxn con las operaciones suma de matrices y producto de una matriz por un escalar.



3) El conjunto de polinomios de grado menor o igual a n, Pn, con las operaciones suma de polinomios y producto de un polinomio por un número.

4) El conjunto de funciones de variable real con las operaciones suma de funciones y producto de una función por un número real.

Ejemplo de un espacio trivial. El conjunto que contiene solamente al vector cero o nulo,

es decir, }0{V . Este espacio recibe el nombre de espacio trivial o espacio cero.

Ejemplo. Todo plano en R3 que pasa por el origen es un espacio vectorial con las operaciones suma de vectores y producto de un escalar por un vector en R3.

Solución. Ya que los vectores del plano son vectores de R3 las propiedades asociativas, conmutativas son obvias, por lo tanto, bastará probar los axiomas; i, iv, v y vi.

i) Como todo plano que pasa por el origen tiene ecuación 0 czbyax todo

vector del plano debe satisfacer dicha ecuación. Sean ),,( 321 uuuu y

),,( 321 vvvv vectores del plano dado, entonces, 0321 cubuau y

0321 cvbvav , sumando las dos igualdades anteriores y sacando factor

común se tiene que: 0)()()( 332211 vucvubvua y de esta forma se

tiene que vuvuvuvu ),,( 332211 satisface la ecuación, por lo que

existe cerradura con respecto a la suma.

iv) El vector )0,0,0(0 satisface la ecuación 0 czbyax , así que, todo plano que pasa por el origen contiene al vector cero.

v) Si ),,( 321 uuuu está en el plano, entonces, 0321 cubuau , lo que es

equivalente a la ecuación 0)()()( 321 ucubua y de esta forma el vector

),,( 321 uuuu también está en el plano, así que el plano que pasa por el

origen cumple con la ley del vector opuesto.vi) Si ),,( 321 uuuu está en el plano, entonces, 0321 cubuau , lo que es

equivalente a la ecuación 0321 cukbukauk que también puede escribirse

como 0)()()( 321 kuckubkua y por lo tanto, el vector

),,( 321 kukukuuk también está en el plano.

Así vemos pues, que se cumplen todos los axiomas, y por lo tanto todo plano del espacio R3 que pasa por el origen forma un espacio vectorial con las operaciones ya definidas.

Ejemplo. Dé una razón por la cual el conjunto }0,0/),({ yxyxW no es un espacio vectorial con las operaciones en R2.

Solución: No se cumple el axioma del opuesto, puesto que el conjunto dado solamente contiene los vectores de R2 situados en el primer cuadrante, desde el punto de vista geométrico, así que, los opuestos de estos vectores estarán en el tercer cuadrante, lo cual no forma parte del conjunto.



De otra forma: Si ,),( 21 Wuuu entonces, Wuuu ),( 21 .

Teorema 1. Sea V un espacio vectorial, entonces:

i. 00 k para todo escalar k

ii. 00 v para todo Vv

iii. Si 0vk entonces, 0k ó 0v ( o ambos)

iv. uu )1(

Ejercicios propuestos.

1. En los siguientes ejercicios se da un conjunto de objetos con las operaciones adición y multiplicación por un escalar. Determinar cuales de ellos son espacios vectoriales bajo las operaciones dadas:

a) El conjunto de todas las ternas de números reales (x,y,z ) con las operaciones (x,y,z) +(x´, y´, z´) = (x + x´, y + y´, z+ z´) y k(x, y, z) = (kx, ky,kz)

b) El conjunto de todas las parejas de números reales de la forma (x, y) donde x 0, con las operaciones estándar en R2.

c) El conjunto de las matrices de orden 2 x 2 cuyos elementos en la diagonal secundaria son 1, con la adición matricial y la multiplicación por un escalar.

d) El conjunto de las funciones de valor real definidas en todo punto de la recta tal que f(1) = 0 con las operaciones con funciones tradicionales.

e) El conjunto de los polinomios de la forma P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an xn

2. .Demostrar el teorema 1.

3. Mostrar que para todo escalar k y vectores vyu , vkukvuk )(

4. Demostrar que toda recta en R2 que pasa por el origen es un espacio vectorial con las operaciones suma de vectores y producto de un vector por un escalar en R2.

5. Repita el ejercicio 4 para una recta que pasa por el origen en R3.

6. Puede un espacio vectorial componerse: 1) de un solo vector; 2) de dos vectores diferentes?

7. A partir de un espacio vectorial ha sido eliminado el vector x. ¿Puede el conjunto de los vectores obtenido después de esta eliminación quedarse como espacio vectorial?

8. Cada día llegan a Peñas Blancas (frontera CR-Nicaragua) camiones de diferente tipo: furgones de carga, coches de tercera, segunda y primera clase, a partir de los cuales se forman diariamente y salen buses de pasajeros ordinarios y rápidos. Sean

54321 ,,,, los incrementos diarios del número de camiones respectivos. ¿Es el conjunto de los números ( 54321 ,,,, ) un espacio vectorial?



9. Demostrar que el conjunto de todas las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales

homogéneas

0

0

222

111

zcybxa

zcybxa forma un espacio vectorial.

SUBESPACIOS VECTORIALES.

Un subconjunto W de un espacio vectorial V es un subespacio de V, si W es a sí mismo un espacio vectorial bajo la adición y producto escalar definidos sobre V .

Ejemplos. Las rectas y planos que pasan por el origen en R3 son subespacios vectoriales de R3.

Teorema 2: Si W es un conjunto de uno o más vectores de V , entonces, W es un subespacio de V si y sólo si se cumplen las condiciones siguientes:

i) Si WvuWvu ,,

ii) Si k es un escalar cualquiera y ,Wu entonces, Wuk

Ejemplo. Sea W el conjunto de las matrices de la forma

0

0

21

12

a

a. Determinar si W es

un subespacio del espacio de matrices M 2 x 2 .

Sean WBA , , entonces,

0

0

0

0

21

12

21

12

b

bBy

a

aA , así:

i. Wba

ba

ba

baBA

0

0

00

00

2121

1212

2121

1212

ii. Sea Wak

ak

a

akAkRk

0

0

0

0;

21

12

21

12

Por lo tanto, se cumplen ambas condiciones del teorema 2, así que el conjunto W es un subespacio del espacio M2 x 2 .

Nota: Todo espacio vectorial tiene al menos dos subespacios, el espacio propio y el espacio cero.

Ejemplo. Demostrar que el conjunto de las funciones continuas en todo R es un subespacio de F, el espacio de las funciones de variable real.

Solución. Sean Wxgxf )(),( , donde W es el conjunto de las funciones continuas en toda la recta numérica. De esta forma, por las propiedades de las funciones continuas, se tiene que:



i. Wxgxfxgf )()()()( ya que la suma de dos funciones continuas en toda la recta numérica también es continua.

ii. Sea k un escalar cualquiera, entonces, también por las propiedades de las funciones continuas )()()( xfkxfk también es continua.

Por lo tanto el conjunto de las funciones continuas de variable real es un subespacio de las funciones de variable real.


1. Cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios de R3?a) todos los vectores de la forma (a, 0, 0)b) todos los vectores de la forma (a, 1, 1)c) todos los vectores de la forma (a, b, c) con b = a + c + a

2. Cuáles de los siguientes subconjuntos de M 2 x 2 son subespacios de M 2 x 2?a) las matrices cuyos elementos son números enterosb) las matrices cuyos elementos en la diagonal principal suman ceroc) las matrices simétricasd) las matrices antisimétricase) las matrices diagonalesf) las matrices singulares

3. Cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios de los polinomios de grado menor o igual a 3, P3?

a) los polinomios cuyo término independiente es cerob) los polinomios cuya suma de sus coeficientes sea cero

4. Sea A X = 0, un sistema homogéneo de ecuaciones donde A es una matriz de orden m x n, X es un vector en Rn y B un vector de Rm. Determinar si el conjunto de soluciones de este sistema es un subespacio de Rn. Es válida la conclusión anterior si el sistema admite solamente la solución trivial? Explique su respuesta.

5. Investigue si el conjunto }2:),,,({ 4 dbaRdcbaS es un subespacio de R4.6. Determine cuales de los conjuntos son cerrados bajo las operaciones indicadas.

a. El conjunto de todas las matrices diagonales n x n respecto a la suma de matrices y la multiplicación por escalar.

b. El conjunto de todas las matrices triangulares superiores de n x n con respecto a la adición y la multiplicación por escalar.

c. El conjunto S de todas las matrices de la forma

ab

ba, en donde a y b son

números reales, con la operación de adición de matrices y multiplicación por un escalar.

d. El conjunto de vectores en R3 de la forma (x, x, x).e. El conjunto de matrices simétricas de n x n bajo la suma y multiplicación por

escalar.



f. El conjunto de matrices 2 x 2 que tienen la forma

0

0

b

abajo la suma y

multiplicación por un escalar.g. El conjunto de puntos en R3 que estén sobre la recta x = t + 1, y = 2t, z = t – 1.

7. Determine si el subconjunto dado H del espacio vectorial V es un subespacio de V.a. V = R2 ; H = {(x, y)\ x = y}.b. V = R2; H = { (x, y )\ x2 + y2 1}c. V = Mn x n; H = {T Mn x n, T es superior}d. V = Mnn; H = { S Mnn ; S es simétrica}e. V = Mnn; H ={ A Mnn; aij = 0}

f. V = M22; H = { A M22; A =

cb

ba}

g. V = M22; H = {A M22; A =

00

1 aa}

h. V = Pn ; H = {P Pn : p(0) = 1}

i. Sea V = M22; H1 = {A M22; a11 = 0} H2 = {A M22; A =

ba

ab}.

Demuestre que H1 H2 son subespacios.j. Sea H = {(x, y, z, w)\ ax + by + cz + dw = 0}, donde a, b, c, d , no todos

cero. Demuestre que H es un subespacio propio de R4. H se llama hiperplano en R4, que pasa por el origen.

k. Sea H = {(x1, x2,…,xn)\ a1x1 + a2x2 +… +anxn = 0} donde a1, a2,…,an , no todos ceros. Demuestre que H es un subespacio propio de Rn, H se llama hiperplano en Rn.

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES.

Un vector w de un espacio vectorial V es combinación lineal de los vectores

Vvvv r ,...,, 21 si se puede expresar en la forma rr vkvkvkw ...2211

donde rkkk ,...,, 21 son escalares.

Ejemplo. Sean )2,4,6()1,2,1( vyu , expresar los vectores

)8,1,4()7,2,9( zyw como combinación lineal de los vectores vyu .

Solución.

Primeramente, escribimos la combinación lineal como que ésta existe y formamos un sistema de ecuaciones lineales donde las incógnitas son los escalares.

(9, 2, 7) = k1 (1, 2, -1) + k2 (6, 4, 2)



(9, 2, 7) = (k1 + 6k2 , 2k1 + 4 k2 , k1 + 2k2 ). De esta forma se tiene el sistema de ecuaciones siguiente:

k1 + 6k2 = 9 2k1 + 4 k2 = 2 k1 + 2k2 = 7

Haciendo uso de la eliminación Gaussiana, tenemos que:

000

1680

961

1680

1680

961

721

242

961

de donde se obtiene el sistema

equivalente: k1 + 6k2 = 9 8 k2 = - 16 de donde resulta k1 = -3 y k2 = 2.

Por lo tanto, la combinación lineal es: vuw 23 .

Al siguiente vector aplicamos la misma situación, o sea:

vcucz 21 lo cual nos conduce al siguiente sistema de ecuaciones:

c1 + 6c2 = 42c1 + 4 c2 = - 1

c1 + 2c2 = 7 el cual el es un sistema incompatible y por lo tanto el vector z

no puede expresarse como combinación lineal de los vectores vyu .


1. Expresar los polinomios dados como combinación lineal de los p = 2 + x + 4x2, q = 1- x + 3x2 , r = 3 + 2x + 5x2 :

a) 5 + 9x + 5x2 b) 2 + 6x2 c) 2 + 2x + 3x2

2. Dadas las siguientes matrices:

20

24

42

10

31

21CBA . Cuáles de

las siguientes matrices son combinación lineal de las matrices A, B y C.

a)

00

00)

15

71)

80

36cb

3. Demostrar que cualquier vector del subespacio vectorial }0:),,({ 3 aRcbaSes una combinación lineal del conjunto })1,3,0(,)0,1,0({A subconjunto de R3.



4. Haciendo uso de las combinaciones lineales, balancear las siguientes ecuaciones químicas:

a) 342423 HNOSONaSOHNONa b) OHNOHIOHNOI 22332

GENERADOR Y ESPACIO GENERADO.

Si rvvv ,...,, 21 son vectores de un espacio vectorial V y si todo vector en V es

expresable como una combinación lineal de los vectores rvvv ,...,, 21 , entonces, se dice

que estos vectores generan al espacio vectorial V .

Ejemplo. Los vectores )1,0,0()0,1,0(),0,0,1( kyji generan a R3 ya que todo

vector ),,( cba en R3 puede expresarse como: kcjbiacba ),,(

Ejemplo. Los polinomios 1, x, x2, ... , xn genera al espacio de polinomios de grado “n” Pn

ya que: a0 + a1x + a2 x2 + ... + an xn = a0 (1) + a1 (x) + a2 (x2) + … + an (xn)

Ejemplo. Determine si los vectores )3,1,2()1,0,1(,)2,1,1( 321 vyvv generan a R3.

Solución. Se debe probar que cualquier vector de R3 ),,( cbau debe expresarse como combinación lineal de los vectores dados inicialmente.

De esta manera:

)3,1,2()1,0,1()2,1,1(),,( 321 kkkcba lo cual nos conlleva al siguiente sistema de

ecuaciones:

ckkk

bkk

akkk

321

31

321

32

2

. La matriz de coeficientes de este sistema de ecuaciones tiene

determinante igual a cero, lo cual indica que el sistema tiene infinitas soluciones o es incompatible.

abc

ab

a

ac

ab

a

c

b

a

000

110

211

2110

110

211

312

101

211

Esto indica que el sistema es compatible si y sólo si c – b- a = 0 para que los rangos de la matriz de coeficientes y la matriz ampliada del sistema sean iguales. En este caso dicho rango es igual a 2.



Por lo tanto, los vectores dados no generan al espacio R3.

En general, un conjunto de vectores de un espacio vectorial determinado puede o no generar al espacio dado. Si no lo genera, entonces, genera a un subespacio de éste. Dicho subespacio es el conjunto de las combinaciones lineales de los vectores dados y se llama espacio generado que se denota por lin(S) donde S es el conjunto que contiene a los vectores.

Pregunta para el estudiante: ¿Qué diferencia hay entre generador y espacio generado? Explique.


1. Determine que conjunto de vectores generan a R3:a) (1, 1, 1), (2, 2, 0), (3, 0, 0)b) (2, -1, 3), (4, 1, 2), (8, -1, 8)c) (1, 3, 3), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (6, 2, 1)

2. Determine si los polinomios p = 1 + 2x – x2, q = 3 + x2, generan a los polinomios de grado 2.

3. Cuáles de las siguientes funciones están en el espacio que genera las funciones f(x) = cos2 x, g(x) = sen 2x.

a) cos 2x b) 3 + x2 c) 1 d) sen x

4. Demuestre que el conjunto de vectores })0,9,5(),2,5,3(),1,2,1({ T no genera a R3 y determinar el subespacio de R3 que genera dicho conjunto.

5. En M22 ;

13

00;

00

13;

12

00;

00

12

6. En M22;

31

67;

53

97;

88

72

7. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos constituyen una base para R4?

8.

2

3

4

4

,

1

2

5

5

,

0

1

3

3

,

2

0

1

1

2.

1

0

2

0

,

5

3

2

1

,

0

1

1

2

,

3

2

1

3

3.

3

1

2

0

,

0

0

1

4

,

0

0

0

0

,

5

3

1

1

9. Demuestre que los polinomios, 1, 1 + x, 1 + x + x2, ... , 1 + x + x2 + ... + xn generan al espacio de polinomios de grado n.

10. Demuestre que si vyu están en },...,,{ 21 kvvvlin entonces, ukyvu están

en },...,,{ 21 kvvvlin .

DEPENDENCIA E INDEPENCIA LINEAL.



Sea },...,,{ 21 rvvvS un conjunto de vectores de un espacio vectorial, la ecuación

vectorial 0...2211 rr vkvkvk tiene al menos una solución a saber,

0...21 rkkk . Si ésta es la única solución , entonces, se dice que el conjunto S es linealmente independiente, (L. I.) . Si hay otras soluciones, se dice que el conjunto es linealmente dependiente (L. D.).

Ejemplo. El conjunto })8,5,1,7(),1,5,2,1(),3,0,1,2({ 321 vvvS es

linealmente dependiente ya que 03 321 vvv .

Ejemplo. Los polinomios 22 31,235,1 xxrxxqxp forman un conjunto

linealmente dependiente ya que 023 rqp

Ejemplo. Los vectores en R3, kji ,, forman un conjunto linealmente independiente ya

que )0,0,0()1,0,0()0,1,0()0,0,1( 321 kkk implica que :

0)0,0,0(),,( 321321 kkkkkk

Ejemplo. Determinar si los vectores )1,2,3(),1,6,5(),3,2,1( 321 vvv son

linealmente dependientes o linealmente independientes.

Solución. Primeramente planteamos una combinación lineal de los vectores dados y se iguala al vector cero, esto nos conduce a un sistema de ecuaciones homogéneo, el cual se analiza si solamente admite la solución trivial o tiene otras soluciones:

)0,0,0()1,2,3()16,5()3,2,1( 321 kkk , el sistema de ecuaciones respectivo es:

03

0262

035̀

321

321

321

kkk

kkk

kkk

000

8160

351

8160

8160

351

113

262

351

El sistema equivalente es:

0816

035

32

321

kk

kkk

De aquí se deduce que: 3132 2

1

2

1kkykk , así que el sistema admite infinitas

soluciones y por lo tanto, los vectores dados son linealmente dependientes.

Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, se tiene que:



0...2211 rr vkvkvk rr v

k

kv

k

kv

k

kv

13

1

32

1

21 ...

En efecto, para un conjunto de vectores linealmente dependiente, cualquiera de los vectores puede expresarse como combinación lineal de los vectores restantes.

Anteriormente, se expresó el vector 1v como combinación lineal de los vectores

rvvv ,...,, 32 .

Para el caso particular de dos vectores se tiene que 02211 vkvk o sea que

21

21 v

k

kv , esto es , dos vectores de un espacio vectorial son linealmente

dependientes si y sólo si, uno de ellos es múltiplo escalar del otro. En caso contrario son linealmente independientes.

Teorema: Sea },...,,{ 21 rvvvS un conjunto de vectores en Rn. Si r > n entonces, el

conjunto S es linealmente dependiente.

Para el caso de funciones, se puede probar la dependencia lineal a través del determinante denominado Wronskiano. Sean nfff ,...,, 21 un conjunto de funciones, entonces, el

conjunto de funciones es linealmente dependiente si:

0

....

..........

´...´´

....

)...,,(

)1()1(2

)1(1

21

21

21

nn

nn

n

n

n

fff

fff

fff

fffW , en caso contrario, el conjunto es LI.

Ejemplo. El conjunto },{ 2xx eeS es linealmente independiente ya que:

022

),( 33

2

22 xx

xx

xxxx ee

ee

eeeeW


2v

1v

Linealmente dependientes

2v

1v

Linealmente independientes



1. Investigar si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes o linealmente independientes.

a) A = { (2, 1, 0, 1), (2, 3, 0, 1), (1, 0, 0, 1)}b) B = { (1,4), (0, 1), (3, 3), (4, 7)}c) C = { 1, 0, 4), (0, 1, 3), (1, -1, 2)}d) F = { x2 – 3x + 2, x2 – 4x + 3, x2 – 5x + 4}

e)}

00

42,

10

02,

12

10,

20

11{

L

T = { f(x)= 2x2 + x –1 , g(x) = x – 2, h(x) = 3 }

f) R = { f(x) = 1, g(x) = cos x, h(x) = sen x}

2. Para qué valores de “k” los vectores que siguen forman un conjunto linealmente dependiente? (k, -1/2, -1/2), (-1/2, k, -1/2) , (-1/2, -1/2, k).

Determinar el número máximo de vectores L. I de los siguientes subconjuntos

3.

0

1,

2

4,

1

1 2.

1

1

3

,

2

4

2

,

1

3

1

3.

0

4

1

2

,

1

1

0

1

,

0

1

1

0

,

1

3

1

1

3. Sea },...,,{ 21 nvvvS un conjunto de vectores de un espacio vectorial V, Demostrar

que si uno de los vectores es el vector cero, Entonces, S es linealmente dependiente.

4. Sean vyu dos vectores linealmente independientes y sea },{ vulinw ,

entonces, },,{ wvu es linealmente independiente.

5. Se tiene un conjunto de 4 vectores linealmente independientes. Entonces un conjunto formado por tres de estos vectores es L. I.? Explique. Si al conjunto de los 4 vectores LI se le agrega otro vector arbitrario, este nuevo conjunto es LI? Explique.

BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL.

Si V es cualquier espacio vectorial y },...,,{ 21 nvvvS es un conjunto de vectores en

V , entonces, S es una base para V si :i) S es L. I. ii) S genera a V .

Ejemplo. El conjunto de vectores })1,0,0(),0,1,0(),0,0,1({S es una base para el espacio vectorial R3 ya que se demostró anteriormente que este conjunto genera a R3 y además se puede probar que este conjunto es linealmente independiente. Esta base es la llamada base canónica para R3.

Ejemplo. El conjunto {1, x, x2, ... , xn } es la base canónica para el espacio de polinomios de grado menor o igual a “n”.



Ejemplo. Las matrices

10

00,

01

00,

00

10,

00

01 forman la base canónica para el

espacio de matrices de orden 2 x 2, M2x2.

Ejemplo. Demostrar que el conjunto })4,3,3(),0,9,2(),1,2,1({S es una base para R3.

Solución. Se probarán las dos condiciones de base, primeramente veamos si el conjunto genera a R3.

)4,3,3()0,9,2()1,2,1(),,( 321 kkkcba el cual nos conduce al sistema de ecuaciones

siguientes:

ckk

bkkk

akkk

31

321

321

4

392

32

Calculando el determinante del sistema se tiene que:

01

401

392

321

, lo que indica que el sistema tiene una única solución

independientemente de los valores de cyba, . Así que los vectores generan a R3.

Ahora veamos si el conjunto de vectores es linealmente independiente:

)4,3,3()0,9,2()1,2,1()0,0,0( 321 ccc lo cual conduce al sistema homogéneo de

ecuaciones siguientes:

04

0392

032

31

321

321

cc

ccc

ccc

El determinante del sistema es el mismo del sistema anterior, por lo tanto, el sistema solamente admite la solución trivial, así que los vectores son linealmente independientes. Así que el conjunto dado es una base para R3.

Teorema. Si },...,,{ 21 nvvvS es una base para un espacio vectorial V , entonces, todo

conjunto de más de n vectores, es linealmente dependiente.

Ejemplo. El conjunto de vectores{ (1,2,-1), (3,5,2), (-7, 9, 0), (8, -2, 4)} es linealmente dependiente ya que la base canónica para R3 tiene solamente tres vectores.

Teorema. Dos bases cualesquiera tienen el mismo número de vectores.

Ejemplo. Para R3 la base canónica y la base {(1,2,1), (2,9,0),(3,3,4)} tienen tres vectores cada una.

Un espacio vectorial es de dimensión finita si tiene un conjunto finito de vectores que forman una base.



La dimensión de un espacio vectorial },...,,{ 21 nvvvS se define como el número de

vectores en una base para V . Además, por definición, el espacio vectorial cero tiene dimensión cero.

Así por ejemplo, se tiene que:

dim Rn = n, dim Pn = n + 1, dim Mm xn = m x n, d.im F = .

Teorema.

a) Si },...,,{ 21 nvvvS es un conjunto de n vectores que genera un espacio V de

dimensión “n”, entonces, S es una base para V .

b) Si },...,,{ 21 nvvvS es un conjunto de n vectores linealmente independientes en

un espacio V de dimensión “n”, entonces, S es una base para V .

c) Si },...,,{ 21 rvvvS es un conjunto de vectores linealmente independientes en un espacio V de dimensión “n”, y r < n, entonces, se puede agrandar S hasta

formar una base para V , es decir, existen los vectores nr vv ,...,1 tal que

}...,,,...,,,{ 121 nrr vvvvv es una base para V .

Teorema. Sean VyU dos espacios vectoriales tal que VU , entonces, VU dimdim .

Ejemplo. Determinar si los vectores )5,5()7,3( vyu forman una base para R2.

Solución. Los vectores son linealmente independientes ya que ninguno de ellos es múltiplo escalar del otro y como son dos vectores y dim R2 = 2, entonces, el conjuntos formado por

los vectores )5,5()7,3( vyu forman una base para R2.


1. Determinar si cada uno de los siguientes conjuntos de vectores forman o no una base para el espacio vectorial especificado:

a) {(2, 1), (-3,5)} para R2

b) {(2, 4, -3), (0, 1, 1), (0, 1, -1)} para R3

c) { }15

71,

75

42,

51

11,

24

31

para M2x2

2. Dé una explicación por qué los conjuntos siguientes de vectores no son bases para los espacios vectoriales que se indican (resolver por simple inspección)

a) {(1,2), (0,3), (2,7)} para R2

b) { (-1, 3 2), (6,1,1)} para R3

c){ 1 + x + x2, x – 1} para P2

3. Sea V el espacio generado por los vectores f(x) = cos2 x, g(x) = sen2 x, h(x) = cos 2x: a) Demostrar que estos vectores no forman una base para V

b) Hallar una base para V



4. Determine las dimensiones de los siguientes subespacios de R4:a) todos los vectores de la forma (a, b, c, 0)b) todos los vectores de la forma (a,b,c,d) con a = b = c = d

5. Determine la dimensión del subespacio del espacio de los polinomios de orden 3 que consta de los polinomios cuyo término independiente es igual a cero.

6. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos constituyen una base para R4?

2

3

4

4

,

1

2

5

5

,

0

1

3

3

,

2

0

1

1

2.

1

0

2

0

,

5

3

2

1

,

0

1

1

2

,

3

2

1

3

3.

3

1

2

0

,

0

0

1

4

,

0

0

0

0

,

5

3

1

1

7. Hallar una base y la dimensión del espacio solución de cada sistema homogéneo:

a)

0853

05

023

zyx

zyx

zyx

b)

024242

05242

0432

tszyx

tszyx

tszyx

8. En Rn un hiperplano que contiene a o es un subespacio de dimensión n – 1. Si H es un hiperplano en Rn que contiene a o, demuestre que:

H = {(x1, x2,…,xn): a1x1+ a2x2+…+ anxn = 0} donde a1, a2,…,an son números reales , no todos ceros.

ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERNO.

Sea V un espacio vectorial cualquiera, a cada par de vectores Vvu , se le asigna un

número real denominado producto interno o producto interior de vyu que se denota por

vu , que cumple las siguientes propiedades:

i. uvvu ,,

ii. wuvuwvu ,,,

iii. vukvuk ,, para algún escalar k .

iv. 00,0, uuuyuu

Todo espacio vectorial que se define un producto interno, se denomina espacio con producto interno.

Ejemplo. En R2 y R3 el producto interno conocido es el producto punto ya que cumple con las cuatro propiedades anteriormente.



Ejemplo. Para los vectores ),,(),,( 321321 vvvvyuuuu en R3 puede definirse el

siguiente producto interno: 332211 32, vuvuvuvu . Se deja al alumno que

demuestre que se cumplen las cuatro propiedades.

También en el espacio de matrices, de polinomios y de funciones se pueden definir productos interiores.

Sean

2221

1211

2221

1211 ,vv

vvV

uu

uuU , entonces: 2222212112121111, vuvuvuvuVU

es un producto interno para M2x2.

Si 2210

2210 , xbxbbqxaxaap , un producto interno para el espacio de

polinomios de segundo grado es: 221100, bababaqp .

En el espacio de las funciones continuas en el intervalo ba, , el producto interno para dos

funciones en particular )(),( xgxf está dado por: b

a

dxxgxfgf )()(, .

El producto interior permite definir la norma de un vector, que de manera general está dada

por uuu , . Esto significa que de acuerdo al producto interior que se utilice, la

norma va a variar. Esta norma no tiene ningún significado geométrico excepto en el caso de R2 y R3 cuando se considera como producto interior el producto punto o escalar de vectores en el cual, esta norma se interpreta como el módulo o tamaño de un vector.

Si vyu son dos vectores cualesquiera de un espacio vectorial, se define la distancia entre

los vectores vyu como vuvud ),( . Un espacio que tiene definida una norma y

una distancia se denomina espacio métrico y normado.

La norma también es utilizada para determinar el ángulo entre dos vectores, si vyu son

dos vectores cualesquiera de un espacio vectorial, el ángulo entre vyu se determina

por: vu

vu

,cos . Si el ángulo entre dos vectores es 90 grados, dichos vectores se

dice que son ortogonales.

Un vector unitario es un vector de norma uno. Se puede normalizar un vector no nulo

dividiéndolo entre su norma. En efecto: u

u.

Ejemplo. Encontrar el ángulo entre los vectores )3,2,1,2()2,1,3,4( vyu .



Solución.

El producto interno es 9)3)(2()2)(1()1)(3()2)(4(, vu

Las normas de los vectores son: 1830 vyu

Así que: 078.1121830

9cos

BASES OROTONORMALES.

Se dice que un conjunto de vectores en un espacio de productos interiores es un conjunto ortogonal si todas las parejas de vectores distintos en el conjunto son ortogonales. Un conjunto ortogonal en el que cada vector tiene norma uno se conoce como ortonormal.

Ejemplo. El conjunto formado por los vectores )2

1,0,

2

1(),0,1,0( vu y

)2

1,0,

2

1( w es ortonormal ya que cada uno de los vectores es unitario y son

ortogonales con el producto interno tradicional.

Una base ortonormal es un conjunto de vectores ortonormales que forman una base para un espacio determinado.

Teorema. Si },...,,{ 21 nvvvS es una base ortonormal para un espacio de productos

interiores V y si u es un vector cualquiera de V entonces:

nn vvuvvuvvuu ,...,, 2211 . O sea, un vector se puede expresar

como combinación lineal de los vectores de una base ortonormal, y los coeficientes de dicha combinación lineal está en términos de productos interiores.

Teorema. Todo conjunto ortonormal de vectores es linealmente independiente.

Ejemplo. Dados los vectores )5

4,0,

5

3(),

5

3,0,

5

4(),0,1,0( 321 vvv , demostrar que

estos vectores forman una base ortonormal para R3 y expresar )1,1,1(w como combinación lineal de los vectores dados.

Solución. Se puede observar que los tres vectores son unitarios, y además los productos internos de cada para de vectores distintos es cero. Por lo tanto como los vectores son ortonormales, entonces, son linealmente independientes, además como la cantidad de vectores coincide con la dimensión del espacio, entonces, estos tres vectores forman una base y esta base es ortonormal.



Luego,

5

7)

5

4,0,

5

3(),1,1,1(,

5

1)

5

3,0,

5

4(),1,1,1(,

1)0,1,0(),1,1,1(,

2

2

1

vu

vu

vu

Así que: 221 5

7

5

1vvvu

Proceso de Gram-Schmidt:

Todo espacio vectorial de productos interiores distinto del espacio nulo y de dimensión finita tiene una base ortonormal.

Se puede tener una base inicial },...,,,{ 321 nuuuuB y pasar por dicho proceso a otra base

que es ortonormal },...,,,{´ 321 nvvvvB con los siguientes pasos:

1. Se normaliza el primer vector de la base inicial para obtener 1

11

u

uv

2. Se encuentra un vector ortogonal al encontrado en el paso anterior y luego se normaliza así:

1122

11222

,

,

vvuu

vvuuv

3. Se encuentra un tercer vector ortogonal a los dos vectores del paso anterior y se normaliza así:

2231133

22311332

,,

,,

vvuvvuu

vvuvvuuv

El proceso continúa de igual manera hasta llegar al vector n-ésimo.

Ejemplo. Dada la base de R3 )}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1({ 1 uB . Ortonormalizar dicha base usando el proceso de Gram’ Schmidt.

Solución.

1. Se normaliza el primer vector )3

1,

3

1,

3

1(1 v

2. Se encuentra un vector ortogonal al anterior

)3

1,

3

1,

3

1()

3

1,

3

1,

3

1(),0,1,1()0,1,1(2 w

= )3

2,

3

1,

3

1()

3

1,

3

1,

3

1(

3

2)0,1,1(



)6

2,

6

1,

6

1(

9

4

9

1

9

1

)3

2,

3

1,

3

1(

2

v

3. Se encuentra un vector ortogonal a los dos anteriores.

)6

2,

6

1,

6

1()

6

2,

6

1,

6

1(),0,0,1()

3

1,

3

1,

3

1()

3

1,

3

1,

3

1(),0,0,1()0,0,1(3 w

)0,2

1,

2

1()

3

1,

6

1,

6

1()

3

1,

3

1,

3

1()0,0,1(3 w

Y normalizando este resultado obtenemos: )0,2

1,

2

1(

04

1

4

1

)0,2

1,

2

1(

3

v

Así pues, la base ortonormal es })0,2

1,

2

1(),

6

2,

6

1,

6

1(),

3

1,

3

1,

3

1({´ B

CAMBIO DE BASE.Todo punto en un sistema de coordenadas puede representarse como combinación lineal de

los vectores de una base. Así, dadas dos bases },{´},{ 2121 vvByuuB se desea pasar la combinación lineal de la primera a la combinación lineal en la segunda base.

Sea }...,,,{ 21 nvvvB una base cualquiera de un espacio vectorial, entonces, todo vector u

de dicho espacio puede expresarse como nn vcvcvcu ...2211 , entonces, los

escalares nccc ,...,, 21 se denominan coordenadas relativas de u respecto a la base B . El

vector de coordenadas para u en dicha base es ),...,,()( 21 nB cccu y la matriz de

coordenadas de u respecto a la base B está dada por:

n

B

c

c

c

u

.

.2

1

Veamos para R2 como se haría el cambio de una base },{ 21 uuB a otra base },{' 21 vvB . Expresamos los vectores de la base inicial como combinación lineal de los vectores de la

base final: 212211 , vdvcuvbvau . Sea w 2Rw con matriz de coordenadas

respecto a la base inicial

2

1

k

kw B . De esta forma se tiene que:

2211212122112211 )()()()( vdkbkvckakvdvckvbvakukukw



Así la matriz de coordenadas de w con respecto a la base 'B está dada por:

BB wPk

k

db

ca

dkbk

ckakw

2

1

21

21'

A la matriz

db

caP se le denomina matriz de transición de B hacia B´.

En general, la matriz de transición se construye usando como columnas las matrices de coordenadas de los vectores de la base inicial con respecto a la base final.

Observe que:

d

cuy

b

au BB '2'1

Esta matriz de transición es una matriz no singular, o sea, que posee inversa 1P y esta inversa es la matriz de transición de B´hacia B.

Si las bases B y B´ son bases ortonormales la matriz de transición P es una matriz ortogonal, es decir, TPP 1 .

Ejemplo. Sea B = {(1,0), (0,1)} y B´ = { (1,1), (2,1)}. a) Hallar la matriz de transición de B

hacia B´ , b) Hallar )2,7(' wsiw B .

Solución.

a) Expresamos primero los vectores de la base inicial como combinación lineal de los vectores de la base final. De esta manera:

)1,2()1,1()0,1( 21 cc , de donde se obtiene que 11 21 cyc

)1,2()1,1()1,0( 21 kk , de lo que resulta 12 21 kyk

Ahora encontramos las matrices de coordenadas de cada uno de estos vectores en términos de la base B´:

1

1)0,1( 'B y

1

2)1,0( 'B y

11

21P

b)

2

7Bw , en este caso, la matriz de coordenadas coincide con las componentes del

vector por que la base inicial B es la base canónica..De esta manera:

5

3

2

7

11

21'Bv y la combinación lineal en términos de la base B´ es:

)1,2(5)1,1(3 v




1. Con el producto interno 2211 32, vuvuvu donde ),(),( 2121 vvvyuuu , calcular dicho producto para cada par de vectores dados:

a) (2, 1) , (-1, 3) b) (0,0), (7,2) c) (3,1), (-2,9)

2. Sean ),,(),,( 321321 vvvvyuuuu determine cuales de las siguientes expresiones

son productos interiores para R3:

a) 3311, vuvuvu

b) 23

23

22

22

21

21, vuvuvuvu

c) 332211 42, vuvuvuvu

3.

hg

feVy

dc

baUSean . Determinar si dhcfbgaeVU , es un

producto interior sobre el espacio M2x2. Si no lo es, indicar que propiedad o propiedades de producto interno no cumple.

4. Suponga el producto interno en R3 definido como 332211 32, vuvuvuvu .

Use dicho producto para determinar en cada caso el valor de k para que los vectores dados sean ortogonales.a) (2, 1, 3) y (1, 7, k) b) (k, k, 1) y (k, 5, 6)

5. Con el producto interior en R3 (producto escalar) , use el proceso de Gram-Schmidt para transformar las bases dadas en una base ortonormal:

a) (1, 1, 1), (-1, 1, 0), (1, 2, 1)b) (1, 0, 0), (3, 7, -2), (0, 4, 1)

6. Repita el procedimiento del ejercicio anterior usando el producto interior del ejercicio 4.

7. Con el producto escalar tradicional en R4 , ortonormalizar la base dada por los vectores (0, 2, 1,0), (1, -1, 0, 0), (1, 2, 0, -1), (1, 0, 0, 1).

8. Considere las bases B = {(1,0), (0,1)} y B´ = { (2,1), (-3,4)} :a) Hallar la matriz de transición de B a B´

b) Calcular la matriz de coordenadas 'Bw siendo )5,3( w

c) Hallar la matriz de transición de B´ a B

9. Repita el ejercicio 8 con B = { (-3, 0, -3), (-3,2,-1), (1,6,-1)} y B´ = {(-6,-6,0), (2,-6,4),

(-2,-3, 7)} y )5,8,5( w .10. Repita las instrucciones del ejercicio 8 con B = {6 + 3x, 10+2x} y B´={2, 3+2x} y w =

-4 + x11. Dado el conjunto de vectores {(0, 3/5, 4/5), (-1, 0, 0), (0, -4/5, 3/5)} demostrar que

estos vectores forman una base ortonormal y expresar los vectores (1, 1, 1), (2, 5, -7) como combinación lineal de los vectores del conjunto haciendo uso de producto interno.



12. Construya una base ortonormal para el espacio o subespacio vectorial dadoa) = {(x, y, z): 2x – y – z = 0}b) = {(x, y, z): 3x – 2y + 6z = 0}

c) = {(x, y, z): 432

zyx }

d) = {(x, y, z): ax + by + cz = 0}

e) H es el espacio de soluciones de :

0584

0322

03

zyx

zyx

zyx

13. Encuentre ProyHV

a) { 2Ry

x

: ax + by = 0} v =

b

a { 3R

z

y

x

: ax + by + cz = 0} v =

c

b

a

b) { 3R

z

y

x

: 3x – 2y + 6z = 0} v =

4

1

3

c) { 4R

w

z

y

x

: 2x – y + 3z – w = 0} v =

3

2

1

1

d) { 4R

w

z

y

x

: x = 3y w = 3y} v =

1

3

2

1

14. En los ejercicios siguientes exprese x en términos de B2.

a) Sea (x)B1=

1

2; Sea B1=

1

2,

4

5y B2=

1

0,

0

1

b) Sea (x)B1=

1

2; Sea B1=

1

1,

2

3y B2=

1

2,

1

3

c) Sea (x)B1=

2

3; Sea B1=

0

24,

6

12y B2=

0

6,

0

6

d) Sea (x)B1=

1

2

4

; Sea B1=

50

22

10

,

14

2

6

,

10

2

2

y B2=

0

4

0

,

2

2

2

,

10

2

2



e) Sea (x)B1=

3

5

7

; Sea B1=

46

51

25

,

23

21

13

,

10

6

8

y B2=

0

3

0

,

1

3

1

,

11

9

7

f) Sea (x)B1=

4

2

5

; Sea B1=

0

0

26

,

2

9

48

,

1

5

7

y B2=

0

3

2

,

0

1

8

,

1

5

7

TRANSFORMACIONES LINEALES.

Sean WyV dos espacios vectoriales y T una función que asocia un vector único en W con cada vector en V , se dice que T aplica WenV . Es decir, a cada vector Vv se le

asocia como imagen bajo T un vector Ww .

Ejemplo. Sea T: R2 R3 dada por T(x,y) = (x, x + y, x – y). En este caso un vector del espacio R2 se transforma mediante T a un vector en R3. Así, T(1,1) = (1, 1+1, 1-1) = (1, 2, 0).

Una transformación WVT : es una transformación lineal si para cada Vvu , se cumple que:

i. )()()( vTuTvuT

ii. )()( uTkukT para algún escalar k

Ejemplo. Sea T: R2 R3 dada por T(x,y) = (x, x + y, x – y). Determinar si T es o no es lineal.

Sean ,, 2Rvu entonces, ),(),,(),,( 22112121 vuvuvuvvvuuu , de esta forma:

i. ),,(),()( 22112211112211 vuvuvuvuvuvuvuTvuT

= )()(),,(),,( 2121121211 vTuTvvvvvuuuuu

ii. )(),,(),,(),()( 212112121121 uTkuuuuukkukukukukukukuTukT

Por lo tanto, se cumplen las dos condiciones, y T es lineal.

Sea WVT : una transformación lineal, entonces, para Vvv 21 , y para escalares

21 kyk se cumple que )()()( 22112211 vTkvTkvkvkT .

De igual forma, si nvvv ...,,, 21 son vectores en V y si nkkk ,...,, 21 son escalares y la

transformación WVT : es lineal, entonces:

)(...)()()...( 22112211 nnnn vTkvTkvTkvkvkvkT .



Ejemplos de algunas transformaciones lineales:

1. mn RRT : dado por xAxT )( donde A es una matriz de orden m x n.

2. La transformación cero, WVT : donde VvvT ,0)( .

3. La transformación identidad, VVT : con VvvvT )( .

4. Dilatación o contracción de un vector, VVT : con VvvkvT )( y algún escalar k .

5. La transformación derivada y la transformación integral en el espacio de funciones son transformaciones lineales. O sea:

FFT : dada por ´)( ffT y dxxfFIconFFI )()(:

son transformaciones lineales según las propiedades de la derivada y de la integral.

Teorema. Sea WVT : una transformación lineal, entonces:

i. 0)0( T

ii. )()( vTvT

iii. )()()( wTvTwvT

Demostración (ii).

Sea Vv y sea WVT : una transformación lineal, entonces:

)()()1())1(()( vTvTvTvT Se deja la demostración (i) y (iii) al estudiante.

NÚCLEO Y RECORRIDO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL.

Si WVT : es una transformación lineal, entonces, el conjunto de vectores en V que

aplica hacia W0 se conoce como núcleo o Kernel o espacio nulo de T y se denota por Ker(T). El conjunto de todos los vectores en W que son imágenes bajo T de al menos un vector en V se conoce como recorrido de T y se denota por R(T).

Ejemplo. En el caso de la transformación cero WVT : , VTKer )( puesto que todos

los vectores aplican hacia el cero y }0{)( TR puesto que es el único elemento al cual llegan todos los vectores de V .



Ejemplo. Sea mn RRT : la transformación que multiplica

nx

x

x

.2

1

por la matriz

nnnn

n

aaa

aaa

A

...

...

21

11211

. El núcleo de esta transformación consiste en todos los vectores x

que son solución del sistema homogéneo 0xA , o sea:

0...

0...

0...

2211

2222121

1212111

nnnnn

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

El recorrido de T consiste de todos los vectores

nb

b

b

b.

2

1

tal que el sistema bxA es un

sistema compatible.

Ejemplo. Sea 24: RRT dada por ),(),,,( cbbadcbaT .Hallar el núcleo y recorrido de la transformación.

Solución. El núcleo es el conjunto de vectores de R4 que aplican al cero en R2, de esta forma se tiene que:

},),,,({},),,,({}0,0),,,({)( RdadaaacbabdcbacbbadcbaTKer

El recorrido consiste de aquellos vectores en R2 tal que cbybax ,

},,),({)( RcbacbbaTR

Teorema. Sea WVT : una transformación lineal, entonces:

i. )(TKer es un subespacio de Vii. )(TR es un subespacio de W

Demostración.

Sean )(, 21 TKervv , entonces, 000)()()( 2121 vTvTvvT , de esta forma, se cumple con la propiedad de cerradura con respecto a la suma, o sea,

)()( 21 TKervv .



Además, sea k un escalar, entonces, 00.)()( 11 kvTkvkT , por lo tanto, se cumple

la cerradura respecto al producto escalar-vector, o sea, )(1 TKervk

.

Así, )(TKer es un subespacio de V .

Se deja al estudiante la demostración del inciso (ii).

Supongamos que un conjunto de vectores },...,,{ 21 nvvv es una base para un espacio

vectorial V y WVT : una transformación lineal . Si se conocen las imágenes

)(,...),(),( 21

nvTvTvT , entonces, se puede obtener la imagen de

v expresando previamente

v como combinación lineal de los vectores de la base, es decir,

nn vkvkvkv ...2211 y luego )(...)()()( 2211 nn vTkvTkvTkvT . O sea, una

transformación lineal está completamente determinada por sus valores en una base.

Ejemplo. Sea la base de R3 {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} con T(1, 1,1) = (1, 0), T(1, 1, 0) = (2, -1) y T(1, 0, 0) = (4, 3). Determinar T(2, -3, 5).

Solución.

Primeramente se expresa (2, -3, 5) como combinación lineal de los vectores de la base. De esta forma se tiene que (2, -3, 5) = 5(1, 1,1)- 8(1, 1, 0) + 5(1, 0, 0). Aplicando la propiedad antes mencionada, se obtiene:

T(2, -3, 5) = 5 T(1, 1, 1) – 8 T(1, 1,0) + 5 T(1, 0, 0) = 5 (1, 0) – 8 (2, -1) + 5 (4, 3)

= ( 9, 23).

Si WVT : es una transformación lineal, la dimensión del recorrido de T se conoce como rango de T y la dimensión del núcleo se denomina nulidad de T. Además, si

nV dim entonces, se tiene que: (rango T) + (nulidad de T) = n.


1. Para cada función F : R2 R2 , determinar si F es lineal: a) F(x, y) = (2x, y) b) F(x, y) = (x, y+1) c) F(x, y) = (y, y)

2. Repetir el ejercicio 1 para cada función F: R3 R2 : a) F(x, y, z) = (x, x + y + z) b) F(x, y, z) = (1, 1) c) F(x, y, z) = (0, 0)

3. Determine si H: P2 P2 es lineal:a) H(a0 + a1 x + a2 x2 ) = a0 + (a1 + a2) x + (2 a0 - 3 a1)x

2

b) H(a0 + a1 x + a2 x2 ) = a0 + a1 (x +1)+ a2 (x + 1)2

c) H(a0 + a1 x + a2 x2 ) = (a0 + 1) + a1x + a2 x2

4. Determine si G es lineal con G: M2 x 2 R :



a) dadc

baG

b)

dc

ba

dc

baG det

c) 22 dadc

baG

d) dcba

dc

baG

32

5. Sea B una matriz fija de orden 2 x 3. Demuestre que la función T: M2x2 M2x3

definida por T(A) = A B es una transformación lineal.

6. Sea },...,,{ 21 nvvv una base para un espacio vectorial V y supóngase que WVT : es

una transformación lineal. Demuestre que si 0)(...)()( 21 nvTvTvT , entonces, T

es la transformación cero.

7. Sea },...,,{ 21 nvvv una base para un espacio vectorial V y supóngase que VVT : es

un operador lineal. Demuestre que si 11 )( vvT , 22 )( vvT , ..., nn vvT )( , entonces,

T es la transformación identidad sobre V.

8. Sea T: R2 R2 la multiplicación por

48

12

i. Cuáles de las siguientes matrices están en el recorrido de T:

4

1

0

5

12

3

ii. Cuáles de las siguientes matrices están en )(TKer ?

10

5

2

3

1

1

9. Repetir el ejercicio 8 ahora con 34: RRT y

9906

4112

3214

i)

6

0

0

1

4

2

0

3

1

ii)

0

1

4

0

1

0

0

0

0

2

8

3

10. Igual que 8 con T : P2 P2 y T(p(x)) = x p(x):

i) x + x2 , 1 + x , 3 – x2

ii) x2 , 0 , 1 + x11.Sea V cualquier espacio vectorial y supóngase que T : V V está definida por

vvT 3)( . Cuál es el núcleo de T? Cuál es el recorrido de T?

MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL. MATRICES SEMEJANTES.



Sea WVT : una transformación lineal y sean B y B´ bases para WyVrespectivamente. Además se conoce que mWynV dimdim , entonces, para cada

Vx la matriz de coordenadas Bx es un vector de Rn y la matriz de coordenadas

')( BxT es un vector de Rm. Se desea encontrar una matriz nxmA tal que

')( BB xTxA .

Sean },...,,{'},...,,{ 2121 mn vvvByuuuB .

Si

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

...

...

21

22221

11211

, entonces, sucede que:

'121

11

1 )( B

mn

b uT

a

a

a

uA

De igual forma

nj

j

j

Bj

a

a

a

uA2

1

y así nxmBnBB uTuTuTA ''2'1 )(...)()(

Ejemplo. Sea 12: PPT la transformación lineal definida por )())(( xpxxpT . Encontrar la matriz asociada a T con respecto a las bases B ={1, x} y B’ = {1, x, x2}.

Solución. Primeramente se encuentran las transformaciones de los vectores de la base inicial, así, T(1) = x.1 = x y T(x) = x. x = x2. Luego se expresan los vectores transformados de la base inicial como combinación lineal de los vectores de la base final y así T(1) = x = 0(1) + 1(x) + 0(x2) y T(x) = x2 = 0(1) + 0(1) +1(x2)

De esta forma se tiene que:

10

01

00

1

0

0

)(

0

1

0

)1( '' AasíyxTyT BB

La matriz asociada a una Transformación lineal se puede utilizar para encontrar la transformación de cualquier vector del espacio vectorial de partida. Por ejemplo,

22)21()21( xxxxxT . Haciendo uso de la matriz asociada obtenemos que:



i.

2

121 Bx

ii. BB vAvT ')( . Por lo tanto, se tiene que

2

1

0

2

1

10

01

00

)21( 'BxT

iii. 22 2)(2)(1)1(0)21( xxxxxT

Si la transformación lineal está en el mismo espacio, es decir, VVT : entonces, se puede tomar B = B’ y la matriz resultante se conoce como matriz de T con respecto a la base B’ . Si la dimensión del espacio es n, entonces, la matriz obtenida es una matriz cuadrada de orden n.

Ejemplo 1. Si },...,,{ 21 nuuuB es cualquier base para un espacio vectorial V de

dimensión finita y si VVI : es el operador identidad sobre V , entonces, se cumple que

nn uuIuuIuuI )(,...,)(,)( 2211 y de esta forma los vectores asociados son los

vectores canónicos, y la matriz asociada es la matriz identidad nI .

Ejemplo 2. Sea 22: RRT el operador lineal definido como

yx

yx

y

xT

42.

Encontrar la matriz asociada a T con respecto a la base }2

1,

1

1{

B .

Solución.

)2,1(3)6,3()2,1()1,1(2)2,2()1,1( TyT .De esta forma, la matriz asociada a T está

dada por

30

02A .

Teorema. Sea VVT : una transformación lineal sobre un espacio vectorial de dimensión finita. Si A es la matriz de transición de T con respecto a una base B y A’ es la matriz de T con respecto a una base B’ entonces , PAPA 1' donde P es la matriz de transición de B’ hacia B.

Ejemplo. En el ejercicio anterior, sea B = {(1, 0), (0, 1)} y B´= {(1, 1), (1,2)}, entonces,

30

02'A . Ahora bien, T(1,0) = (1, -2) y T(0, 1) = (1,4). Así,

42

11A .

La matriz de transición de B’ hacia B es

21

11P . Puede demostrarse que :

30

02

21

11

42

11

21

12' 1 PAPA .



Si A y B son dos matrices cuadradas, se dice que A es semejante a B si existe una matriz inversible P tal que PAPB 1 . En el ejemplo anterior, las matrices A y A’ son semejantes. Además, puede demostrarse que si B es semejante a A, entonces, también, A es semejante a B. (Se deja esta última demostración al estudiante).

VALORES Y VECTORES PROPIOS.

Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces, se dice que un vector diferente de cero nRx es un vector propio (o eigenvector o vector característico) de la matriz A si

xxA para algún escalar . El valor se denomina valor propio ( o eigenvalor o

valor característico) de A y se dice que x es un vector propio correspondiente al valor propio .

Ejemplo. El vector

2

1x es un eigenvector para la matriz

18

03A correspondiente

al eigenvalor = 3 porque:

xxA 36

3

2

1

18

03

.

Para encontrar los eigenvalores de una matriz A escribimos:

0)( xIAxIxAxxA .Para que sea un eigenvalor debe haber una solución distinta de la trivial de esta ecuación, o sea, 0)(det IA .

Esta ecuación se conoce como ecuación característica de A, los escalares que satisfacen esta ecuación son los eigenvalores de A. Cuando se desarrolla este determinante nos queda un polinomio en de grado n conocido como polinomio característico de A.

Ejemplo. Hallar los valores y vectores propios de la matriz

01

23A .

Solución.

Planteamos inicialmente la ecuación característica:

2,10)1)(2(02301

23)det( 2

IA

Para encontrar los vectores propios sustituimos los valores propios en la ecuación

0)( xIA .

Si = 1, se obtiene el sistema de ecuaciones:



2121

21

2

1

0

022

0

0

11

22xx

xx

xx

x

x

Esto significa que

1

12

2

2 xx

xx . O sea, que los vectores propios correspondientes al

valor propio =1, son múltiplos escalares o combinación lineal del vector

1

1.

Para 2121

21

2

1 202

02

0

0

21

21;2 yy

yy

yy

y

y

Por lo tanto, se tiene que

1

222

2

2 yy

yy . Esto es, todo vector propio correspondiente a

= 2, es combinación lineal del vector

1

2.

Los eigenvalores correspondientes al eigenvalor son vectores no nulos del espacio de

soluciones de 0)( xIA . A este espacio de soluciones se le conoce como eigenespacio (o espacio propio o espacio característico) de A correspondiente a . Los valores y vectores propios se pueden tanto para operadores lineales como para matrices. Si T es una transformación lineal en un espacio vectorial V y A es la matriz asociada a T con respecto a una base B dada, los valores y vectores propios correspondientes a la matriz A son los mismos valores y vectores propios correspondientes a la transformación lineal T definida inicialmente.

Ejemplo. Hallar los eigenvalores y bases para los eigenespacios del operador lineal

22: PPT definido por 22 )5()32()23()( xcxbabacbxaxT con la base

},,1{ 2xxB .

Solución. .Primero debe encontrarse la matriz correspondiente a la base dada. Dicha matriz

es la siguiente:

500

032

023

A

La ecuación característica está dada por 0

500

032

023

O sea: 1;5032

235 321

.

Si = 5, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:



libreiablexxxxx

xx

x

x

x

var022

022

0

0

0

000

022

022

32121

21

3

2

1

De esta forma, un valor propio para el valor propio = 5 está dado por el vector:

1

0

0

0

1

1

32

3

2

2

xx

x

x

x

X . O sea, X es combinación lineal de los vectores (-1, 1, 0) y

(0, 0, 1). Esto implica que esos vectores forman la base para el espacio propio formado por el valor propio = 5.

Si = 1, el sistema formado está dado por:

0,

04

022

022

0

0

0

400

022

022

321

3

21

21

3

2

1

yyy

y

yy

yy

y

y

y

Así, el vector propio asociado al valor propio = 1 es:

0

1

1

022

2

yy

y

Y . Entonces, la base para el espacio propio correspondiente al valor propio

= 1 está compuesta por el vector (1,1,0).


1. Sea 12: PPT la transformación lineal dada por

)32()()( 21102

210 xaaaaxaxaaT , halle la matriz de T con respecto a las

bases estándar para P2 y P1.

2. Sea 32: RRT dada por )0,,2(),( xyxyxT . Hallar la matriz asociada a T con respecto a las bases B = { (1, 3), (-2, 4)} y B’ = {(1,1,1), (2, 2,0), (3, 0, 0)}.

3. Sea )}4,1(),3,1({ 21 vvB y suponga

52

31A la matriz de la

transformación en R2 con respecto a la base B:

a) Hallar BB vTyvT )()( 21

b) Encuentre )()( 21 vTyvTc) Halle T(1, 1).

4. Sea 42: PPT la transformación lineal definida por )())(( 2 xpxxpT :



a) Halle la matriz de T con respecto a las bases B = {1 + x2, 1+ 2x + 3x2, 4 + 5x + x2 } y B’ la base estándar de P2.

b) Use la matriz obtenida en (a) para calcular T(-3 + 5x – 2x2).

5. Sea

426

502

131

A la matriz de 22: PPT con respecto a la base B = { 3x + 3x2,

-1 + 3x + 2x2, 3 + 7x + 2x2 }.a) Hallar BBB xxTxxTxxT )273(,)231(,)33( 222 b) Encuentre T(3x+ 3x2), T(1 + 3x + 2x2), T(3 + 7x + 2x2)c) Halle T(1 + x2)

6. Demuestre que si WVT : es la transformación cero, entonces, la matriz de T con respecto a cualquier base para WyV es una matriz cero.

7. Sea 22: PPD el operador de derivación D(p) = p’ . En los incisos (a) y (b) halle la matriz de D con respecto a las base B = { p, q, r } :

a) p = 1, q = x, r = x2

b) p = 2, q = 2 – 2x, r = 2 – 3x +8x2

c) Use la matriz que encontró en (a) para calcular D(6 –6x +24x2)d) Repita el inciso ( c ) usando la matriz hallada en (b)

8. Halle la matriz A con respecto a B, calcular la matriz A’ de T con respecto a B’ usando A’ = P –1 A P donde P es la matriz de transición de B’ a B:a) 22: RRT con T(x, y) = (x – 2y, -y) con B = { (1, 0), (0, 1) } y B’ = {(2, 1), (-3, 4) }b) 33: RRT con T(x, y, z) = (x + 2y –z, -y, x + 7z) con B = {(1,0,0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y B’ = { (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}

c) 11: PPT con T(a + bx) = a + b(x+1) con B = { 6+ 3x, 10 + 2x} y B’ = { 2, 3 + 2x}

9. Probar que si A y B son matrices semejantes entonces, det(A) = det(B) .

10. Probar que si A y B son matrices semejantes, entonces, A2 y B2 son semejantes, y de modo más general Ak y Bk son también semejantes donde k es un entero positivo.

11. Para cada matriz dada, encontrar la ecuación característica, los eigenvalores y las bases para los eigenespacios correspondientes.



a)

18

03 b)

24

910 c)

102

012

104

d)

211

015

1

503

12. .Sea 22: PPT dado por T(a + bx + cx2) = (5a + 6b + 2c) – ( b + 8c)x + (a –2c)x2. Hallar los eigenvalores de T y las bases para los eigenespacios de T.

13. Encuentre la matriz asociada a la transformación lineal dada.

a) T: R2R2 ; T

y

yx

y

x b) T: R2R3 ; T

yx

y

yx

y

x2

c) T: R3R2 ; T

zy

yx

z

y

x

d) T: R3R3 ; T

z

zy

zyx

z

y

x

42

14. Determine Ker (T) y Nul (T).a) T : R2R3 ; T (x, y) = (x + y, 3x, 2y)b) T : R2R2 ; T (x, y) = (5x – y, x + 2y)c) T : R5R3 ; T(x, y, z, u, w) = (x- y + 6w, z + 5u – w, x - y + 4w + 2z + 10u)d) T:R2R4; T (x, y) = (2x + 3y, x – y, 2x, 5x – 4y)e) T: R3R2; T(x, y, z) = (2x – y – 2z, x + 6y – z)

15. En los siguientes ejercicios encuentre AT, Ker(T), Img(T), Rng(T), Nul(T).

a) T: R2R3; T

yx

yx

yx

y

x

32

b) T: R3R3; T

zyx

zyx

zyx

z

y

x

85

43

2

c) T: R3R3; T

zyx

zyx

zyx

z

y

x

363

242

2

d) T: R4R3; T

wzx

wzy

wzyx

w

z

y

x

66

34

32

b) En los siguientes ejercicios encuentre AT, Ker(T), Img(T), Rng(T), Nul(T).

a) T: R2R2; T

yx

yx

y

x

23

4 B1= B2 =

3

4,

1

1

b) T: R2R3; T

y

yx

yx

y

x2 B1=

2

1,

1

2 B2=

5

2

0

,

0

2

0

,

0

1

1



c) T: R2R2; T

yx

x

y

x 2 B1=

1

3,

2

4B2=

1

5,

1

6

d) T: R3R2; T

x

zy

z

y

x

2 B1=

3

5

2

,

1

4

2

,

0

1

0

B2=

1

1,

2

3

e) T: R3R2; T

y

x

z

y

x

3

2 B1=

1

6

0

,

2

1

0

,

3

1

2

B2=

2

5,

1

3

f) T: R2R3; T

0

2

yxx

x

y

x B1=

2

3,

4

1 B2=

2

1

3

,

5

3

2

,

0

0

1

Diagonalización de matrices.

Se plantean los siguientes problemas:

1. Dado un operador lineal VVT : sobre un espacio vectorial V de dimensión finita, ¿existe una base para V respecto a la cual la matriz de T sea diagonal?

2. Dado un operador lineal VVT : sobre un espacio de productos interiores de dimensión finita , ¿ hay una base ortonormal para V con respecto a la cual la matriz de T sea diagonal?

O sea, dada una matriz cuadrada A, ¿existe una matriz inversible P tal que P-1 A P sea diagonal?

Dada una matriz cuadrada A, ¿hay una matriz ortogonal P tal que P-1 A P = PT A P sea diagonal?

Se dice que una matriz cuadrada A es diagonalizable si existe una matriz inversible P tal que P-1AP sea diagonal, en este caso, se dice que la matriz P diagonaliza a A.

Teorema: Si A es una matriz cuadrada de orden n , entonces, las proposiciones que siguen son equivalentes:

i. A es diagonalizableii. A tiene n eigenvectores linealmente independientes

El procedimiento para diagonal izar una matriz A es el siguiente:

a) Se hallan n eigenvectores linealmente independientes de A, nppp ,...,, 21



b) Se forma una matriz P que tenga a nppp ,...,, 21 como sus vectores columnas

c) Entonces P-1AP será diagonal con n ,...,, 21 como sus elementos sucesivos en la

diagonal, en donde i es el eigenvalor correspondiente a ip , i = 1, 2, ... , n.

Ejemplo. Halle una matriz P que diagonalice a la matriz

500

032

023

A .

Solución. Primeramente se encuentran los eigenvalores que son 5 y 1 y los eigenvectores

que son

1

0

0

,

0

1

1

21 pp para 5 y

0

1

1

3p para 1

De esta forma, hay tres vectores propios linealmente independientes y por lo tanto la matriz

A es diagonalizable y la matriz que la diagonaliza es

010

101

101

P .

Ahora

100

050

005

010

101

101

500

032

023

02

1

2

1

100

02

1

2

1

1 APP .

Ejemplo. Probar que la matriz

12

23A no es diagonalizable.

Solución. La ecuación característica es 012

23

. Desarrollando este

determinante se tiene que: 10)1(0433 22 .

Si

0

0

22

22,1

2

1

x

x , de esta forma, 21 xx y un vector propio para 1 es:

1

12

2

2 xx

xx y por lo tanto una base para el espacio solamente contiene al vector (1,

1). Como solamente hay un vector propio linealmente independiente y la matriz dada es de orden dos, entonces, la matriz no es diagonalizable.



Teorema. Si nvvv ,...,, 21 son eigenvectores de una matriz A correspondientes a

eigenvalores distintos n ,...,, 21 entonces el conjunto de los vectores { nvvv ,...,, 21 } es

linealmente independiente.

Teorema. Si una matriz A de orden n tiene n eigenvalores distintos, entonces, es diagonalizable.

Nota: El recíproco del teorema es falso, es decir, una matriz A de orden n puede ser diagonalizable aún cuando no tenga n eigenvalores distintos.

Ejemplo. La matriz

30

03A solamente tiene un eigenvalor 3 , sin embargo, es

diagonalizable, tomando P = I, P-1 = I, y así, P-1 A P = I A I = A.Diagonalización ortogonal de matrices.

Se dice que una matriz cuadrada A es ortogonalmente diagonalizable si existe una matriz ortogonal P tal que P-1 A P = PT A P sea diagonal, en este caso se dice que P diagonaliza ortogonalmente a la matriz A.

Teorema: Sea A una matriz cuadrada de orden n, las proposiciones siguientes son equivalentes: i) A es ortogonalmente diagonalizable, ii) A tiene un conjunto ortonormal de n vectores propios.

Teorema: Una matriz de orden n es ortogonalmente diagonalizable si y sólo si A es simétrica. En efecto, nótese que si DAPP 1 , donde D es una matriz diagonal, entonces:

APDPPDPAPDPAPDPAPDPAPDAP TTTTTTTTT 11 )()(

De esta manera, se comprueba que A es una matriz simétrica.

El procedimiento para diagonalizar ortogonalmente una matriz simétrica es el siguiente:

i. Hallar una base para cada espacio propio de Aii. Aplicar el proceso de Gram-Schmidt a cada una de estas bases a fin de obtener una

base ortonormal para cada espacio propio.iii. Fórmese la matriz P cuyas columnas sean los vectores bases construidos en el paso

anterior, esta matriz diagonaliza ortogonalmente a la matriz A.

Ejemplo. Hallar una matriz ortogonal P que diagonal ice a

422

242

224

A .

Solución. Primero determinamos los valores propios:



0)8()2(

422

242

2242

. Así, los valores propios son 8,2

Si 321321

3

2

1

0222

0

0

0

222

222

222

:,2 xxxxxx

x

x

x

tienese

.

De esta forma, una base para este espacio propio, la componen los vectores (-1, 1, 0) y (-1, 0, 1) y ortonormalizando esta base nos queda:

)6

2,

6

1,

6

1()0,

2

1,

2

1( y .

Si

0

0

0

422

242

224

:,8

3

2

1

y

y

y

tienese

Ejercicios Propuestos

1. Hallar los valores y vectores propios de T

yx

yx

y

x

2

2

2. Diagonalizar T

zyx

zyx

zyx

z

y

x

466

353

33

3. Diagonalizar

1001

1000

0110

0002

4. Hallar valores y vectores característicos T

zy

zy

yx

y

x

42

2

200

041

040



EXAMEN

I. Completación

1. Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.

a) El conjunto de puntos sobre la recta y = 2 x + 1 para x , representa un espacio vectorial:__________________________________________

b) Si H 1 y H 2 son subespacios de un espacio vectorial V. Entonces H 1 + H 2 es un subespacio de V:___________________________________

c) La condición para que los vectores

d

cy

b

a sean linealmente dependiente

es: ad - bc = 0 para a, b, c y d números reales:_______________________

d) Los vectores

1

0

0

;

1

1

0

;

1

1

1

generan al espacio vectorial V = 3:____

II. En las proposiciones siguientes marque la repuesta correcta.

1. Dado un espacio vectorial E si E y B = {b1, b2, b3, b4} E y se cumple que para 1,

2, 3, 4 son únicos y distintos de cero. = 1b1+ 2b2 + 3b3 + 4b4 entonces:

a) {b1, b2, b3, b4} es L.Ib) {b1, b2, b3, b4} es L.Dc) {b1, b2, b3 } es L.Id) {b1, b2, b3, b4, a} es L.D

2. Una base para el subespacio vectorial, T = {(a, b, c, d) R4 | a = c = 0} es el conjunto.

a) {(0, 1, 0, 1), (0, 2, 0, 2)}b) {(0, 0, 0, 1), (0, 2, 0, 0)}c) {(0, 2, 0, -1), (0, 1, 0, 3), (0, 1, 0, 1)}



d) {(0, 1, 0, 1)}

3. El núcleo de una T. Lineal f: E F es:

a) N = {x E | f(x) = 0 , 0 F}b) N = {x E | f(x) = 0, 0 E}c) N = {x E | f(x) F}d) N = {x F | f(x) = 0 , 0 F}

4. Dado dim E = n, dim F = p y T: E F lineal, si dim N = q y dim f (E) = k, entonces se cumple la relación.

a) q = n – pb) k = q + p c) q = n – kd) q = n + k

5. es un valor propio de una T. L f de E, si existen en E vectores x tales que:

a) f(x) = x ; para todo xb) f(x) = f(x)c) f(x) = f(E)d) f(x) = x ; x 0

III. Encuentre una base ortonormal utilizando el proceso de Gram – Schmidt para el conjunto de vectores en el plano:

02: zyx

z

y

x

IV. Sea T una transformación Lineal de 2 3 tal que

4

2

5

0

4

5

3

3

2

1

3

1TencuentreTyT

V. Sea T: 3 3 definida por

zyx

zyx

zyx

z

y

x

T

936

624

32

Halle A T ; Ker ( T ) : Img ( T ) ; NuL ( T ) ; Rang. ( T )



VI. Diagonalizar T

zyx

zyx

zyx

z

y

x

466

353

33

VII. Determine si la matriz

33

24A es diagonalizable. Si lo es encuentre una matriz

C tal que D = C – 1 A C

VIII. Dada la matriz A =

222

254

245

verifique si A es ortogonalmente diagonalizable. Si lo es

encontrar la matriz C y verificar que D = CT A C.

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