Tarea # 2 Encontrar la solución a la siguiente ecuación diferencial usando la transformada de...
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Tarea # 2
• Encontrar la solución a la siguiente ecuación diferencial usando la transformada de Laplace:
con las siguientes condiciones iniciales:
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2
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Tarea # 2
• Graficar la solución obtenida mediante Laplace (t=0..2).
• Simular la ecuación diferencial en Simulink (t=0..2) y comparar la gráfica obtenida con el método de Laplace con la de Simulink.
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
• Modelos matemáticos. Es un conjunto de ecuaciones que representan la dinámica del sistema. Pueden adoptar muchas formas distintas, dependiendo del sistema y de las circunstancias especificas. Por ejemplo en problemas de control óptimo, sería útil una representación de estados y para los análisis de respuesta transitoria o en frecuencia de sistemas lineales SISO, una representación adecuada es la función de transferencia.
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
• Sistemas lineales. Es el que cumple con el principio de superposición, es decir, si se establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de 2 funciones diferentes es la suma de las dos respuestas individuales y que la entrada y salida son proporcionales, se dice que el sistema es lineal.
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
• Sistemas lineales e invariantes con el tiempo. Una ecuación diferencial lineal es invariante en el tiempo si sus coeficientes son constantes o funciones de la variable independiente. Estos sistemas se denominan por sus siglas en inglés como sistemas LTI (Linear Time Invariant).
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
• Función de transferencia. La función de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial LTI se define como la razón entre la transformada de Laplace de la salida (respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (excitación). Bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero.
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Sistema mecánico
Sea el siguiente sistema de resorte, masa, amortiguador, donde m es la masa, b es el coeficiente de fricción viscosa y k es la constante del resorte.
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Sistema mecánico
Considerese la entrada a la fuerza u(t) y como la salida al desplazamiento y(t) de la masa. Se supone que la fuerza en el amortiguador es proporcional a y’(t) y que la fuerza del resorte es proporcional a y(t).
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Sistema mecánico
Aplicando la segunda ley de Newton.
fma
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2
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Sistema mecánico
Tomando la transformada de Laplace de la ecuación diferencial
kbsmssUsY
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2
2
2
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Sistema eléctrico
Ecuación integro-diferencial
Transformada de Laplace
dttiC
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11
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)()(
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2
RCsLCssVsV
sCsI
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i
o
o
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Sistema eléctrico
Encontrar la función de transferencia del siguiente circuito RLC en paralelo, tomando a la salida como la corriente de carga y la entrada la fuente de corriente.
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Sistema hidráulico
La variable q representa el flujo de liquido, h el nivel del liquido, C la capacidad del tanque y R la resistencia al flujo del liquido.
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Sistema hidráulico
Obtener la función de transferencia tomando a la salida como la altura y la entrada el flujo q1.
Rth
tq
thdtd
Ctqtq
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)()()(
2
21
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Sistema hidráulico
RsH
sQ
sCsHsQsQ
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2
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1
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R
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Analogía eléctrica
q -> i (corriente)
C -> C (capacitancia)
h -> V (voltaje)
R -> R (resistencia)
RtV
tI
tVdtd
CtItI
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2
21
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Obtener el equivalente eléctrico del siguiente sistema hidráulico
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Diagrama de bloques
Para representar un sistema en un diagrama a bloques se hace a partir de su modelo matemático expresado en Laplace
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Diagrama de bloques
Punto suma
Puede tener un máximo de tres entradas y una salida.
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Diagrama de bloques
Bloque
Contiene la función de transferencia que multiplica la señal que entrada para obtener la salida.
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Diagrama de bloques
Puntos de ramificación o bifurcación
Se mantiene presente la señal en los puntos desprendiendose de el ramificaciones.
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Diagrama de bloques
Si Q1 es una entrada impulso unitario, cuya transformada de Laplace es 1, entonces la salida es G(s), es decir; la función de transferencia de cualquier sistema es la respuesta al impulso unitario.
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Diagrama de bloques
Diagrama a bloques en un sistema de lazo cerrado
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Diagrama de bloques
Función de transferencia en lazo abierto
Función de transferencia de la trayectoria directa
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sHsGsEsB
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sGsEsC
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Diagrama de bloques
Función de transferencia en lazo cerrado
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)()()(
)()()(
sHsGsG
sRsC
sCsHsRsGsC
sCsHsRsE
sBsRsE
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Obtener el diagrama a bloques y su función de transferencia a partir del diagrama y de las ecuaciones.
2
23
2232
1
12
1121
)()(_.4
)()()(_.3
)()(_.2
)()()(_.1
R
sHsQ
ssHCsQsQ
R
sHsQ
ssHCsQsQ
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Algebra de bloques
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Algebra de bloques
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Algebra de bloques
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Algebra de bloques
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Algebra de bloques
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Algebra de bloques
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Algebra de bloques
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Algebra de bloques
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Algebra de bloques
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Ejemplo
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Cont...
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Modelos matemáticos de sistemas físicos
Obtener la función de transferencia mediante el uso del álgebra de bloques