Taller 2 Cálculo Dif-Límites

8/19/2019 Taller 2 Cálculo Dif-Límites

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INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANOFACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y APLICADAS

JEFATURA DE EDUCACIÓN Y CIENCIAS BÁSICAS

TALLER 2 CÁLCULO DIFERENCIAL

EJE TEMÁTICO 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD1

OBJETIVO

Comprender y aplicar el concepto de límite, sus operaciones y propiedades para darsolución a situaciones en distintos contextos.

1. Aplicando las propiedades, evalúe el límite indicado, si existe

A. lim→2 8 B. lim→3 5 2 C.

lim→− √ 2

D. lim→ E. lim→− +−− F. lim→− √ G. lim→ ++

H. lim→√ (2√ 5 ) I. lim→3 5 J.

lim→−

11 2

K. lim→ 4 L. lim→ 3 M. lim→4 l o g N. lim→

2. Si lim→ = − lim→ = 1 y limℎ =→

determine el valor de:

A. lim→ 4 B. lim→ ℎ

1 Ejercicios seleccionados por Sergio Alarcón Vasco y María Cristina González Mazuelo,profesores de la Facultad de Artes y Humanidades del ITM.

C. lim→[ ℎ] D. lim→


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2

E. lim→[2ℎ] F. lim→ ℎ

G. lim→[ ] H. lim→ ℎ

3. Evalúe los siguientes límites:

A. lim→ − B. lim→ −−7+ C. lim→ −− D. lim→ − E. lim→ −−− F. lim→ −−+ G. lim→ −− H. lim→ √ −− I. lim→ −−

J. lim→ −√ −− K. lim

→−

+−

−−

L. lim→ −− M. lim→ −− N. lim→ √ −−√

O. lim→ − − P. lim→ √ +−√ Q. lim→ −√ + R. lim→

− − S. lim→ +− T. lim→ √ + U. lim→ √ +−√ V. lim→

− W. lim→ − X. lim→ ++ Y. lim→

−− Z. lim→ ++

AA. lim→− −+−−− BB.lim→ −+−

4. Determine los siguientes límites trigonométricos.

A. lim→ B. lim→ C. lim→ − − D. lim→ − −

E. lim→ F. lim→ −

G. lim→ H. lim→


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3

I. lim→ − J. lim→ +− K. lim

→

L. lim→ − M. lim→ N. lim→ +− O. lim→ −√

P. lim→ − Q. lim→ −+ R. lim→ − S. lim→ T. lim→ −

5. Determine los siguientes límites trigonométricos, usando una sustitución idónea en cada

caso.

A. lim→ − B. lim→ − C. lim→ + D. lim→ − E. lim→ −−

F. lim→ − − G. lim→ −ta H. lim→ ⁄ − I. lim→ ⁄ −

6. Dadas las siguientes gráficas de funciones, determine los límites laterales en el puntoindicado y analice la existencia del límite.

A. B.

2en x

y

2 x

9

6

5en x

x5

y

4


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4

C. D.

E. F.

G. H.

6 xen

6

3

y

x

2

x

3en x

3

2

y

5

y

2en x

2 x

1en x

1

y

x

1

2en x

x2

y y

x x

y

3en x


5/13

5

I. J.

7. Dadas las siguientes funciones, evalúe la existencia del límite en el punto indicado

A.

33

32 2

x si x

x si x x x g en 3 x

B.

12

11

1

2 x si x x

x si x xh en 1 x

C.

22

21

x si

x si x x f en = 2 y = 0

D.

342

312

x si x

x si x x g en = 3 y = 2

E. ℎ = { 5 6 ≥ 3 2 < =

F.

0cos

0

x si x

x sie x f

x

en = 0

G. = < 2 ≥ =

x

y

4en x

1

4

2

0en x

x

y

0 x


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6

H. ℎ = 3 ≥ 2− < 2 = 2

8. Dada las siguientes funciones, determine el valor de para que el límite exista en elpunto indicado.

A.

1131

14

2

2

x si x x

x si Ax

x f 1 xen

B.

320

3

x si

x sie x g

Ax

3 xen

9. Dada:

2

201

021

212

3

2

2

x si x

x si x

x si x

x si x

x f

Determinar:

A. lim→− B. lim→−

C. lim→ D. lim→

E. ¿Existe x f Lim x 0 ? Justifique su respuesta.

10. Determine los límites infinitos que se presentan a continuación:

A. lim→− ++ B. lim→ − C. lim→ − D.

lim→−

−

E. lim→ −−+ F. lim→ −−

G. lim→ −+− H. lim→ −+ I. lim→ − J. lim→

++−

K. lim→ 1 L. lim→ − −

M. lim→ − N. lim→ √−−


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7

O. lim→− − P. lim→ −− Q. lim→ √+ R.

lim→−

√−−

S. lim→ 9

T. lim→ − U.

lim→ +

−

V. lim→ −√

11. Calcule los siguientes límites al infinito:

A. lim→∞ + B. lim→∞ √ 1 C.

lim→−∞−

−

+

D. lim→−∞ +−+ E. lim→∞ −+−− F. lim→∞ −+ G. lim→∞ +++ H. lim→∞ +√+ I. lim→−∞ ++ J. lim→−∞ √+−

K. lim→−∞2 L. lim→∞ − + M.

lim→∞ +++−

N. lim→−∞ O. lim→−∞ 3 P. lim→∞ √ 3 2 Q. lim→−∞ 4 √ 16 2 R. lim→∞ √ℎ ℎ √ ℎ 9 S.

lim→∞ √

√

T. lim→∞ − U. lim→∞ −+

12. Si está representado por la siguiente gráfica:

56

2

x

1

3

y

3 2


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8

Determine

A. lim→−∞ B. lim→− C.

lim→−

D. lim→−

E. lim→− F. lim→ G.

lim→

H. lim→∞ I. ¿Existe el lim→ ? Justifique su respuesta.J. ¿Existe el lim→ ? Justifique su respuesta.K. ¿Existe el lim→ ? Justifique su respuesta.

13. Sea representada por:

A. ¿ = – 5 pertenece al dominio de ? Justifique su respuesta.B. Determine lim→− y lim→− C. ¿Existe el lim→ ?D. ¿Puede afirmarse que la recta = – 5 es una asíntota vertical para el gráfico de la

función ? Justifique su respuesta.

x5

y


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9

14. Sea ℎ representado por:

A. ¿

= 1 está en el dominio

ℎ? Justifique su respuesta.

B. Determine lim→ ℎ y lim→ ℎ C. ¿Existe el lim→ ℎ?D. ¿Puede afirmarse que en = 1 hay una asíntota vertical? Justifique su respuesta.E. Determine lim→−∞ ℎ y lim→∞ ℎ.F. ¿Puede afirmarse que la recta = – 3 es una asíntota horizontal? Justifique su

respuesta.

15. Dadas las siguientes funciones, determine la posición de las asíntotas verticales y

horizontales, si las tiene:

A. = −− B. = −++− C. ℎ = −− D. = − E.

=−

−+

F. = +−−

G. ℎ = ++−+ H. = 1 3 I. = +− J. ℎ = −+++ K.

=+

+

L. = 1

16. Proponga una gráfica para , tal que se cumplan las siguientes condiciones:

x f Lim

x, 1

2

x f Lim

x,

1

3

x

y

2


10/13

10

30

x f Lim x

,

x f Lim x 0

,

0

x f Lim x

17. Proponga la expresión analítica de una función f ( x ) que cumpla las siguientescondiciones.

x f Lim x 5

y

x f Lim x 5

18. Dadas las siguientes gráficas de funciones, analice la continuidad en el punto indicado.

4en x

5

x

y

4

1en x

x

2

1

y

4

x

y

6

5

5en x

2

x2

02en x y x

0

1

3

x

y

1eny3en x x

1

2

3

2

x

y

0en x

a. b.

c. d.

f.e.


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11

19. Analice la continuidad de las siguientes funciones en el punto indicado.

A. = 52 – 6 1 = – 2B.

= |3 | = 3

C.2

)( xTan x f en x y 4 x

D.63

12)(

x

x x f en 1 x y 2 x

= 1 2 E. = = 2 2 > 2

1 3 F. = = 3 2 4 > 3

G. )( x f 4

2

x

x 4 x 9 x

1 0 H.

=

= 0

> 0

20. En cada una de las siguientes funciones determine el valor que debe tomar para quesean continuas en el punto indicado.

– 3 < – 2

A. = = 2 3 2 2 1 – 3 < 4

B. = = 4 2 – 3 4


12/13

12

4

2

x

x 1 x

C. ℎ= 1 x −

+ 1 x

21. En cada una de las siguientes funciones determine los valores que deben tomar y , para que sean continuas en el punto indicado.

A. = 2 ≤ 1 1 < < 13 ≥ 1

B.

= 2 ≤ 0

3 0 < ≤ 23 5 > 2

C. ℎ = < 3 = 32 9 > 3

D. = < 15 = 12 > 1

22. Con base en el teorema que se presenta a continuación, encontrar el límite de lasfunciones dadas. “Teorema (Límite de una función compuesta): Si lim→ = y es continua en , entonces lim→ = lim→ =.”

A. lim→ 2

B. lim→ √ C. lim→ D.

lim→ 1

E. lim→ −−

F. lim→ + G. lim→ √ H. lim→ 42 I.

lim→− − +

++

J. lim→


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23. Con base en el teorema que se presenta a continuación, analizar la continuidad de

las funciones dadas. “Teorema (Continuidad de una función compuesta): Si escontinua en y es continua en , entonces la función compuesta ∘ = es continua en .”

A. ℎ = B. =ln1 C. ℎ = √ 2 D. =ln 1

24. Dadas las siguientes funciones, demuestre que f es continua en el intervalo indicado.

A. 216)( x x f 4,4 B.

1

1)(

x

x f

3,2

– 3 < 0 C. = [0,2]4 2 2

Bibliografía

ALARCÓN, Sergio, GONZÁLEZ, Cristina y QUINTANA, Hernando, Cálculo Diferencial.Límites y derivadas. Medellín, Colombia: ITM, 2008.

STEWART, James. Cálculo de una variable: Conceptos y contextos. Cuarta edición.México D.F.: Cengage Learning Editores, 2010.

THOMAS, George B. Cálculo de una variable. Decimosegunda edición. México: Addison-Wesley, 2010.

ZILL G., Dennis, WRIGHT, Warren S. Cálculo: Trascendentes tempranas. Cuarta edición.México: Mc Graw-Hill, 2011.

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