JOHNY QUINTERO Tema 2. Límites 1 Límites 1.Índice 2.¿Qué es el Cálculo? 3.El problema del...

JOHNY QUINTERO Tema 2. Límites 1

Límites1. Índice

2. ¿Qué es el Cálculo?

3. El problema del área

4. Introducción a los límites

5. Límites que no existen

6. Definición formal de límite

7. Cálculo analítico de límites

8. Continuidad en un punto

9. Definición de continuidad

10. Discontinuidades

Límites

11. Límites laterales

12. Continuidad en un intervalo

13. Propiedades de la continuidad

14. Teorema del valor intermedio

15. Límites infinitos

16. Asíntotas verticales

17. Propiedades de los límites infinitos

18. Concepto de límite infinito

19. Definición de límites en el infinito

20. Propiedades de los límites en el infinito

21. Formas indeterminadas 0/0 , /

22. Formas indeterminadas 0. , -

23. Formas indeterminadas 1 , 0 , 00

24. Asíntotas horizontales

25. Asíntotas oblicuas

26. Ejemplo

¿Qué es el Cálculo?

Tema 1. Preliminares de Cálculo 2Tema 2. Límites

El Cálculo es la matemática de los cambios, velocidades y aceleraciones.

Se estudian las rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco,... y una gran variedad de conceptos para crear modelos para las situaciones de la vida real.

tasa de variación mediat=a t=b

tasa de variación instantánea ent=c

Describe un objeto que se mueve con velocidad constante

Describe la velocidad de un objeto que se mueve aceleradamente

Describe la pendiente de una recta

Describe la pendiente de una curva

Describe el área de un réctángulo

Describe el área bajo una curva

Dx Dydx dy

Matemáticas previas al CálculoEstáticas

CálculoDinámico

JOHNY QUINTERO

Se puede estimar su área usando varios rectángulos

Y=f(x)

El problema del área


El objetivo es determinar el límite de la suma de las áreas de los rectángulos

cuando su número crece sin tope

Consideremos la región limitada por la gráfica de la función y=f(x) , el eje x y las rectas verticales x=a y x=b

Y=f(x)

Al hacer crecer el nºde rectángulos la aproximación va mejorando cada vez más

Y=f(x)

x=a x=b

JOHNY QUINTERO

Introducción a los límites


Supongamos que necesitamos dibujar la gráfica de la función

1 , 11

)(3

x

xx

xf

Con los procedimientos usuales para x 1 obtenemos

-

-

-----

1

2

-2 -1

3

(1,3))(xf

¿Qué sucede en las proximidades de x=1?

x tiende a 1 por la izquierda

f(x) tiende a 3

x tiende a 1 por la derecha

f(x) tiende3

x 0,75 09 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1 1,25

f(x) 2,313 2,710 2,970 2,997 ? 3,003 3,030 3,310 3,813

A pesar de que x no puede ser igual a 1, podemos acercarnos arbitrariamente a 1, y como resultado, f(x) se acerca arbitrariamente a 3.

3)(lim1

xfx Esto se lee

“el límite de

f(x) cuando x

tiende a 1 es

3JOHNY QUINTERO

Límites que no existen


Comportamientos típicos asociados a la no existencia de un límite

f(x) tiende a números diferentes según x tienda a c por la derecha o por la izquierda

lim0 x

xx

0 1,

0 1,

xx

x

xx

x

f(x)=-1

f(x)=1

-------

f(x) oscila entre dos valores fijos cuando x tiende a c.

1

lim0 x

senx

2

3

2

5

2

7

2

9

2

11

2

0x

1x

sen

x

1 -1 1 -1 1 -1 El límite no existe

------

f(x) crece o decrece sin cota cuando x tiende a c.

1lim 20 xx

000.000.11

)(000.11

0

1001

)(101

0

2

2

xxfx

xxfx

-------

JOHNY QUINTERO

Definición formal de límite


A part

ir

de los

ejem

plo

s

Si f(x) se acerca arbitrariamente a un número L cuando x tiende a c por cualquiera de sus dos lados, decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es L, y escribimos

L(x)lim

fcx

Form

alment

e

Sean f una función definida en un intervalo abierto que contiene a c (salvo, posiblemente, en c) y L un número real. La afirmación

significa que para todo e 0 existe un d 0 tal que si

L(x)lim

fcx

Lxf x-c )( entonces ,0

Si el límite de una función existe, entonces es único

JOHNY QUINTERO

Cálculo analítico de límites


1. Límites básicos

2. Propiedades de los límites

3. Límites de funciones polinómicas y racionales

4. Límite de una función radical

5. Límite de una función compuesta

6. Límites de funciones trigonométricas

7. Técnicas de cancelación y racionalización

8. Regla del Sandwich

9. Límites trigonométricos especiales

JOHNY QUINTERO

Continuidad en un punto


Una función es continua en x=c si no hay interrupción de la gráfica de f en c

No hay “saltos”, “agujeros” ni “aberturas”

Condiciones para que el gráfico de f no sea continuo en x=c

f (c) no está definida en x=c

No existe límite de f (x) en x=c

El límite de f (x) en x=c existe, pero no es igual a f (c)

a c b a c b a c b

JOHNY QUINTERO

Definición de Continuidad


Decimos que una función f es continua en x=c si se satisfacen las tres condiciones siguientes

f (c) está definida.

f(x)cx

lim existe

f(c)f(x)cx

lim

Continuid

a

d en u

n

punto

Decimos que una función f es continua en un intervalo abierto (a,b) si es continua en cada punto del intervalo.

Una función que es continua en toda la recta real (-

, ) se llama continua en todas partes

Continuid

a

d en u

n

inte

rvalo

abiert

o

JOHNY QUINTERO

Discontinuidades


Sea I un intervalo abierto que continene un número real c. Si una función f está definida en I (salvo, posiblemente,

en c) y no es continua en c se dice que f tiene una discontinuidad en c

discontinuidades evitables

discontinuidades inevitables

f se puede hacer continua definiendo (o redefiniendo)

apropiadamente f (c)

f no se puede redefinir para evitar la discontinuidad

11

)(2

xx

xf

Discontinuidad evitable en x=1------

-------

xxf

1)(

1 2 3

-3 -2 -1

-1

-2

1

2

1

12

Discontinuidad inevitable en x=1

JOHNY QUINTERO

Límites laterales


cLímite por la derecha

Lf(x)cx

lim

x

x tiende a c para valores superiores a c

Límite por la izquierda

Lf(x)cx

lim

xx tiende a c para valores inferiores a c

Ejem

plo xxf )(

1 2 3

-3 -2 -1

-1

-2

1

2Función parte entera

0 lim

1lim

0

0

x

x

x

x

Existencia de límiteSean f una función y sean L y c números reales.El límite de f(x) cuando x tiende a c es L si y solo si

f(x)cx

lim Lf(x)cx

lim

JOHNY QUINTERO

Continuidad en un intervalo


Decimos que una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] si es continua en el intervalo abierto (a,b) yContin

uida

d en u

n

inte

rvalo

cerr

ado )(limy )(lim bff(x)aff(x)bxax

La función es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b

[a

]b

JOHNY QUINTERO

Propiedades de la continuidad


Si b es un número real y f , g son continuas en x=c, entonces las siguientes funciones también son continuas

Múltiplo escalar: bf Producto: fg Suma y diferencia: g f

Cociente: g(c)gf

0 si ,

Las funciones de los tipos siguientes son continuas en sus dominios

Funciones polinómicas:

Funciones racionales:

Funciones radicales:

Funciones trigonométricas:

011

1)( axaxaxaxaxf ii

nn

nn

0)( , )()(

)( xqxqxp

xf

n xxf )(

ecxxctgxtgxxsenx cos ,sec , , ,cos ,

Muchas funciones elementales son continuas en sus dominios

Si g es continua en x=c y f es continua en g(c), la función compuesta (f o g)(x)=f(g(x)) es continua en c

JOHNY QUINTERO

Teorema del valor intermedio


[ ]a c1 c2 c3 b

f(a) -

k -

f(b) -

Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y k es cualquier número entre f(a) y f(b), existe al menos un número c en tal que f(c)=k

Útil para localizar ceros de una función continua en un intervalo cerrado

Si f es continua en [a,b] y f(a) y f(b) difieren de signo, entonces existe al menos un cero de f en [a,b] (Teorema de Bolzano)

Ejem

plo

12)( 3 xxxfTiene un cero en el invervalo [0,1]f es continua en [0,1]

1)1(

0)0(

f

f0)(: existe cfc

(c,0)

(1,2)

1 0

(0,-1)

JOHNY QUINTERO

Límites infinitos


Análogamente la expresión

f(x) cx

limexiste un >d 0 tal que f(x) < N siempre que 0 < l x-c l < d.

significa que para todo N < 0

Sea f una función definida en todo número real de un intervalo abierto que contiene a c, salvo, posiblemente, en el propio c. La expresiónsignifica que para todo M >0 existe un >d 0 tal que f(x) > M siempre que 0 < l x-c l < d.

f(x) cx

limM

c

dd

x

y

Para definir el límite infinito por la izquierda, basta sustituir 0 < l x-c l < d por c- < d x < c.

Para definir el límite infinito por la derecha, basta sustituir 0 < l x-c l < d por c < x < c + .d

2

3)(

xxf

f decrece sin cota cuando x tiende a 2 por la izquierda

f crece sin cota cuando x tiende a 2 por la

derecha

Ejemplo

- 2

3lim

2 xx

2

3lim

2 xx

2

JOHNY QUINTERO

Asíntotas verticales


Si f(x) tiende a infinito (o menos infinito) cuando x tiende a c por la derecha o por la izquierda, se dice que la recta x =c es una asíntota vertical de la gráfica de f

Observación

Si una función f posee una asíntota vertical en x =c ,

entonces f no es contínua en c

Ejemplos

)1(2

1)(

xxf

Asíntota en x=-1

-1

11

)( 2

2

xx

xf

Asíntotas en x=-1 , x=1

-1 1

JOHNY QUINTERO

Propiedades de los límites infinitos


Sean c y L números reales, y sean f y g funciones tales que

Lg(x) f(x) cxcx

limy lim

g(x)f(x) cx

limSuma o diferencia

0 ,lim

L f(x)g(x)cx

0 ,lim

L f(x)g(x)cx

Producto

0lim

f(x)g(x)

cx

Cociente

Propiedades análogas son válidas para límites laterales y para funciones cuyo límite cuando x tiende a c es -

JOHNY QUINTERO

Concepto de límite en el infinito


Supongamos que necesitamos dibujar la gráfica de la función

1

3)( 2

2

xx

xf

Gráficamente los valores de f(x) parecen aproximarse a 3 cuando x crece sin tope

-

-

-

----

1

2

-2 -1

3

)(xf

x decrece sin tope

f(x) se acerca a 3

x crece sin tope

f(x) se acerca 3

x - -100 -10 -1 0 1 10 100 f(x) 3 2,999 2,97 1,5 0 1,5 2,97 2,999 3

Límite en -

3)(lim 3)(lim

xfxfxx

Límite en +

JOHNY QUINTERO

Definición de Límites en el infinito


La expresión

significa que para todo e >0 existe un M >0 tal que l f(x) - L l < e siempre que x >M

Lf(x) x

lim

M

ee

x

y

Sea L un número real.

La expresión

significa que para todo e >0 existe un N < 0 tal que l f(x) - L l < e siempre que x < N

Lf(x) x

lim

L

JOHNY QUINTERO

Propiedades de los límites en el infinito


Si g(x)f(x)xx limy lim

g(x)f(x) g(x)f(x) xxx

limlimlimSuma

g(x)f(x) f(x)g(x)xxx

limlimlimProducto

Propiedades análogas son válidas para límites en -

existen ambos

0lim

xc

rx

CocienteSi r es un número racional positivo y c es cualquier número real, entonces

0lim

xc

rx

Además, si xr está definida para x< 0 , entonces

JOHNY QUINTERO

Formas indeterminadas ,


Sea p un número real, + o -

g(x)

f(x)g(x)f(x)

pxpxpx

lim0lim lim

00 es del tipo

00

00 no es el resultado de ningún límite

Los límites de este tipo pueden tener resultados diversosEs un tipo de indeterminación

Si f y g son polinomios, descomponer en factores y simplicarpuede ayudar a resolver la indeterminación

Para resolver la indeterminación se puede intentar

dividir todos los términos por x elevado a la potencia más alta

00

JOHNY QUINTERO

Formas indeterminadas ,


0Es fácil transformar esta indeterminación en otra del tipo

ya que )(

1)(

)(

xf

xgxgf

cuando pxpx

gf , 0

Se puede resolver multiplicando y dividiendo por la conjugada

baba

bababa

ba

22

También se puede transformar en

baab

ba

11

0

0

JOHNY QUINTERO

Formas indeterminadas


1e

xx

11lim

Para resolver la indeterminación se hace uso del número e

0

0

0

Para resolver la indeterminación usualmente el límite se transforma (tomando logaritmos) en otro del tipo ,y éste, a su vez, en otro del tipo

0

También es habitual el uso de la Regla de L´Hôpital (Tema 3)

1 0 00

JOHNY QUINTERO

Asíntotas horizontales


x

y

LLy

)(xfy La gráfica de f(x) tiende hacia la recta y=L cuando x crece sin cota

La recta y = L es asíntota horizontal de la gráfica de f si lim Lf(x)x

lim Lf(x)x

o bien

Ejemplos

1

12)(

x

xxf

Asíntota vertical en x=-1

-1

y=2 asíntota horizontal

2

12

23)(

2

x

xxf asíntota horizontal

por la derecha

2

3y

asíntota horizontalpor la izquierda

2

3y

JOHNY QUINTERO

Asíntotas oblícuas


La función f(x) se va aproximando a la asíntota oblícua cuando x tiende a - o a +

n mx y

xf(x)

mx

lim mxxfnx

)(lim

Ejemplo

2

42)(

2

xxx

xf

2

2

Asíntota oblícua y = x

Asíntota vertical en x=2

JOHNY QUINTERO

Ejemplo de aplicación de los límites


Supongamos que f(t) mide el nivel de oxígeno en un estanque, donde f(t)=1 corresponde al nivel normal (sin polución) y el tiempo t se mide en semanas.Cuando t =0, se vierten resíduos orgánicos en el estanque y, con la oxidación de ese material, el nivel de oxígeno pasa a ser

¿Qué porcentaje del nivel normal de oxígeno hay en el estanque 1 semana después? ¿Y 2 semanas? ¿Y 10 semanas? ¿Y una vez transcurrido “suficiente” tiempo?

1

1)( 2

2

t

tttf

semanas 10 %1,9010191

11011010

)10(

semanas 2 %60 53

12122

)2(

semana 1 %50 21

11111

)1(

2

2

2

2

2

2

f

f

f

100% 11

1)(lim 2

2

t

tttf

t

l l l l 2 4 6 8

1 -0,75 -

0,5 -0,25 -

El nivel de oxígeno en el estanque tiende al nivel normal 1 cuando t tiende a

JOHNY QUINTERO

Bibliografía


Cálculo y Geometría AnalíticaLarson, Hostetler, Eduards. Volumen 1, 1999 (6ª edición), Ed. McGraw-Hill

JOHNY QUINTERO

JOHNY QUINTERO Tema 2. Límites 1 Límites 1.Índice 2.¿Qué es el Cálculo? 3.El problema del...

Documents

Transcript of JOHNY QUINTERO Tema 2. Límites 1 Límites 1.Índice 2.¿Qué es el Cálculo? 3.El problema del...