ANÁLISIS I: CÁLCULO DIFERENCIAL (Límites y...

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ANÁLISIS I: CÁLCULO DIFERENCIAL

(Límites y continuidad, derivadas, estudio y representación de funciones)

Curso 2009-2010

-Enunciados: pg. 2.

-Soluciones: pg 3.

Curso 2010-2011

-Enunciados: pg. 5.

-Soluciones: pg 6.

Curso 2011-2012

-Enunciados: pg. 8.

-Soluciones: pg 9.

Curso 2012-2013

-Enunciados: pg. 11.

-Soluciones: pg 12.

Curso 2013-2014 A partir del curso 2013-2014 dejaron de

publicarse los exámenes de reserva.


-Soluciones: pg. 14.

Curso 2014-2015



Curso 2015-2016



Este compendio se hizo, en parte, en colaboración con el grupo de segundo de bachillerato de ciencias del

IES Guadalerzas de la promoción 2014-2015. Mi reconocimiento.

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2009-2010 Enunciados

Junio 2009-2010

Septiembre 2009-2010

Reserva I 2009-2010

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Reserva II 2009-2010

2009-2010 SOLUCIONES

Junio 2009-2010

1A a) Teorema de Bolzano: …

b) El teorema no es aplicable a la función f ya que, aunque es continua, es siempre positiva y por lo

tanto no cambia de signo.

c) Consideramos la función )()()( xgxfxh .

i) Es continua por serlo f y g .

ii) 0)0( h , 0)1( h .

Luego por el teorema de Bolzano existe un 1,0c tal que 0)( ch . Por tanto, las funciones se cortan

en c. Veamos:

)()(0)()(0)( cgcfcgcfch

1B a) La velocidad máxima se alcanza en 2t s.

b) 02

lim22

lim2

lim2lim''2

2

tt

HopL

tt

HopL

tt

t

t ee

t

e

ttett .

A la larga la velocidad tiende a 0. Es decir, el móvil va frenando de forma que va quedándose parado.

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1A a) Definición de derivada en un punto: La derivada de la función f en el punto 0xx es:

h

xfhxfxf

xx

000

0

lim

b) 4/3,4/1,2/1 cba .

1B a) 1183 23 xxxf .

b) Punto de inflexión: 49,2 P .

Convexa (“cóncava hacia arriba”, ) en el intervalo ),2( .

Cóncava (“cóncava hacia abajo”, ) en el intervalo )2,( .

Reserva I 2009-2010

1A a) Máximo relativo en 50,22 Maxx .

Mínimo relativo en 46,22 Minx .

b) Teorema de Lagrange: …

La tesis del teorema se verifica para 3

41 c y

3

42 c , ambos del intervalo 2,2 .

1B a) 6,8,2 CBA .

b) 2...6)1(ln82

lim'

2

2

HopL

t t

tt.


1A a) 12

1

xxxf .

b) La pendiente de la recta tangente, m, es igual a la derivada de la función en el punto dado y, como

ésta no se anula en ningún punto, la recta tangente no puede ser horizontal.

1B a) 1,6,3 cba .

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2010-2011 ENUNCIADOS

Junio 2010-2011


Reserva I 2010-2011

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Junio 2010-2011

1A a) Asíntota vertical: 0x .

Asíntota oblicua: 2

32 xy .

b) Máximo relativo en 2/5,11 Maxx .

Mínimo relativo en 2/11,11 Minx .

1B La cantidad mínima se alcanza en 3t s, y es 89,429/3863 C litros.


1A a) 1a . El mínimo relativo es absoluto porque no hay más extremos relativos, de manera que la

función va decreciendo hasta 0x y crece a partir de ahí (“luego en 0x debe estar el punto más

bajo”).

b) eP /2,1

1B a) Teoremas de Bolzano y de Role: …

b) Se considera la función 7)( xexf x y se aplica el teorema de Bolzano, por ejemplo, en el

intervalo 0,1 .

c) Si la función se anulara dos veces, digamos en 1x y en 2x , según el teorema de Rolle debería existir

algún punto del intervalo 21 , xx en el que su derivada valiera 0. Sin embargo, la derivada es

67)( xexf x , que nunca vale 0 porque es siempre positiva.

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Reserva I 2010-2011

1A a) Una función es continua en el punto 0xx si en dicho punto el valor del límite coincide con el valor

de la función.

b) 36/1a .

1B a) 33/1 ee .

b) 6/1 .


1A El área es 222

12

a

aa

a

a

aA . El área mínima se alcanza en 2a .

1B a) La función es creciente en )4,2()2,0( , y decreciente en ),4()0,( .

b) Asíntota vertical: 2x .

Asíntota oblicua: 2 xy .

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Junio 2011-2012


Reserva I 2011-2012


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Junio 2011-2012

1A 16,12,3 cba .

1B a) La derivada de tN es:

221

120

t

t

e

etN

.

Está expresión no se anula, por lo que tiene siempre el mismo signo: es siempre positiva. Por tanto,

tN es siempre creciente.

Además, si siempre es creciente, toma su valor mínimo “al principio”, en 0t . Por tanto, la

concentración mínima es 200 N .

b) 6001

60

21

60

21

60

21

60

21

60limlim

e

eetN

ttt.


1A a) Teoremas de Bolzano y de Role: …

b) Nota: A las soluciones de una ecuación se les llama también raíces de la ecuación.

Consideremos la función 35)( 5 xxxf . Como la función es continua, basta aplicar el Teorema

de Bolzano a tres intervalos distintos en los que la función cambie de signo. Por ejemplo 1,2 ,

1,0 y 2,1 .

c) A partir del teorema de Rolle, se observa que entre cada dos puntos en los que se anula una función,

debe existir un punto en el que se anula la derivada.

Así, como la derivada de la función f sólo se anula dos veces (en 1 ), la función no puede anularse 4

veces, pues en ese caso la derivada debería haberse anulado tres veces, no dos.

1B 0,4 ba .

Reserva I 2011-2012

1A a) Teorema de Lagrange:…

Interpretación geométrica: Bajo las hipótesis del teorema, dados dos puntos de la gráfica de la

función, existe un punto intermedio en el que la recta tangente a la gráfica es paralela al segmento

que une los dos puntos.

x

b) 1x .

1B 0,2 ba . Además, el punto dado es un máx. relativo porque en él la función pasa de ↗ a ↘.


1A a) La derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto (hacer dibujo).

b) La pendiente viene dada por la derivada, 3036244 23 xxxxf . Por tanto hay que calcular

dónde se alcanzan los valores mínimo y máximo de la derivada, para lo que habrá que usar la derivada

de la derivada (la segunda derivada), 364812 2 xxxf .

El mínimo se alcanza en 3x y el máximo en 1x .

1B

2

1

...)log'(2coslim

lim1...11

lim21

2/

0

1

11

00

2

aee

estomandox

eex

xx

a

axa

x

x

xx

xx

xi


Junio 2012-2013


Reserva I 2012-2013

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Junio 2012-2013

1A a) Teorema de Bolzano: …

b) Consideramos la función )()()( xgxfxh , que es continua por serlo f y g . Además 0)1( h

y , 0)0( h . Por tanto, por el Teorema de Bolzano, existe un punto )0,1(c …

c) Los candidatos a puntos de inflexión son 0x y 1x . De ellos, sólo hay un punto de inflexión en

0x , donde pasa de ser cóncava a convexa (mientras que en 1x no hay punto de inflexión porque

en él no cambia la curvatura: es convexa tanto antes como después).

1B a) 5,2 ba .

b) La recta tangente en 0x es xy 5 .


1A a) 2a .

b) 3...12

72lim)(lim e

x

xxf

x

xx

1B a) La derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto (hacer dibujo).

b) La pendiente viene dada por la derivada, xxxf 63 2 . Por tanto hay que calcular dónde se

alcanza el mínimo de la derivada, para lo que habrá que usar la derivada de la derivada (la segunda

derivada), 66 xxf .

El mínimo se alcanza en 1x .

Reserva I 2012-2013

1A a) Teorema de Rolle...

b) La función está bajo las hipótesis del teorema de Rolle, ya que es continua y derivable en toda la

recta real, por ser un polinomio, y 0)2(,0)1( ff . Por tanto, existe un 2,1c con 0)( cf .

Como la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto, se concluye que la

tangente en el punto c del intervalo debe tener pendiente nula.

1B a) 2a .

b) 1.

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1A (La función a minimizar es 2yx , o también se puede utilizar yx 2 , teniendo la relación 242

yx

).

Los números son 16 y 32.

1B a) Teorema del valor medio de Lagrange: …

b) En 0x .

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Junio 2013-2014



Junio 2013-2014

1A a) 2,1 ba .

b) 12 xy .

1B a) La función es creciente en )1,0()1,( y decreciente en ),0()0,1( .

Tiene dos máximos relativos,

eMax

11,11 y

eMax

11,12 , y un mínimo, 1,0Min .

b) La función no tiene asíntota vertical (su dominio es ℝ).

La asíntota horizontal, por los dos lados, es 1y .

Por tener asíntotas horizontales, la función no tiene asíntotas oblicuas.


1A a) La función es convexa, , en )1,( y cóncava, , en ),1( . No tiene ptos de inflexión.

b) Cuando 0x y 2x . Es decir, en los puntos de la gráfica 2/1,0 P y 2/3,2Q .

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1B a) La función es decreciente en )2/1,( y creciente en ),2/1( . Min. relativo:

2

3,

2

1Min .

b) La asíntota oblicua cuando x (es decir, a la dcha.) es 2

1 xy .

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Junio 2014-2015



Junio 2014-2015

1A a) 1,1 ba .

b) Para dichos valores la función tiene un mínimo local en el punto de abscisa 0x .

1B a) Función 𝑓: Dominio: 𝐷(𝑓) = ℝ+ − {2} = [0,2) ∪ (2, ∞).

Asíntotas: Horizontales: 𝑦 = −1. Verticales: no tiene. Obliculas: No tiene.

a) Función 𝑔: Dominio: 𝐷(𝑓) = ℝ − {2}.

Asíntotas: Horizontales: No tiene. Verticales: 𝑥 = 2. Obliculas: 𝑦 = 𝑥 + 4.


1A 2/1sen

1

0sen 0)tan1(lim,2

)21(lnlim ex

xe

xxx

xxx

.

1B a) Se divide a 72 cm de uno de los extremos (y, por tanto, a 18 cm del otro), de modo que el

semicírculo tenga un diámetro de 72 cm y el triángulo una base de 18 cm.

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Junio 2015-2016



Junio 2015-2016

1A a) El punto de inflexión está en 𝑥 = −1. Si queremos que en tal punto se satisfaga que la condición

impuesta debe cumplirse que 𝑎 = 0.

b) La función es creciente en (−∞, −2) ∪ (0, ∞) y decreciente en (−2, 0).

Tiene un máximo relativo en 𝑀𝑎𝑥(−2, −2) y un mínimo relativo en 𝑀𝑖𝑛(0, −6).

1B a) Teorema de Bolzano: …

Teorema de Rolle: …

b) Consideremos la función 𝑓(𝑥) = 2𝑒𝑥 + 𝑥5, que es continua en toda la recta real. Se cumple además

que 𝑓(−1) < 0 y que 𝑓(0) > 0, luego podemos aplicar el Teorema de Bolzano en el intervalo [−1, 0] par concluir que existe un punto 𝑐 ∈ (−1, 0) tal que 𝑓(𝑐) = 0. Este punto es solución de la ecuación.

c) Consideremos como antes la función 𝑓(𝑥) = 2𝑒𝑥 + 𝑥5. Si la ecuación 𝑓(𝑥) = 0 tuviera otra

solución más, 𝑑, podríamos aplicar el Teorema de Rolle a la función 𝑓 en el intervalo dado por las dos

soluciones [𝑐, 𝑑], pues 𝑓(𝑐) = 𝑓(𝑑) por ser iguales a 0. Sin embargo, 𝑓′(𝑥) = 2𝑒𝑥 + 5𝑥4 > 0 y, como

la derivada no se anula no se cumple la tesis del Teorema de Rolle. Por tanto, no la ecuación no puede

tener dos o más soluciones.

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1A Las dimensiones son 10 𝑐𝑚 × 10 𝑐𝑚 × 10 𝑐𝑚. Es decir, se trata de un cubo.

Para esas dimensiones, el precio del depósito será de 60000 €.

1B a) Por la derecha: lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 0. la recta 𝑦 = 0 es una asíntota horizontal por la dcha.

Por la izquierda: lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = −∞ no hay asíntota horizontal por la izquierda.

b) Punto de inflexión en 𝑥 = 2. 𝑃(2, 4𝑒−1).

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