Alonso Fernández Galián

- 1 -

TEMA 7: DETERMINANTES

El determinante de una matriz cuadrada es cierto número que se calcula a partir de ella y que

contiene información significativa sobre la matriz.

7.1 DETERMINANTES DE ORDEN 2 Y 3

El cálculo de determinantes es recursivo. Es decir, un determinante de orden 3 se calcula a partir

de determinantes de orden 2, un determinante de orden 4 se calcula a partir de determinantes de

orden 3… Así, debemos empezar definiendo los determinantes de orden 2.

Determinantes de orden 2. Dada una matriz cuadrada de orden 2,

2221

1211

aa

aaA

su determinante es el número A obtenido al multiplicar en cruz y restar:

21122211

2221

1211aaaa

aa

aaA

Veamos algún otro ejemplo.

Determinantes de orden 3. Dada una matriz cuadrada de orden 3,

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

su determinante es el número A que se calcula mediante la siguiente expresión:

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11

333231

232221

131211

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

Ejemplo: Calcular los siguientes determinantes de orden 2:

(a) 30330

21

(b) 54)42(12

46

73

Ejemplo: Calcular el determinante de la siguiente matriz:

63

54A

Debemos multiplicar en cruz y restar:

91524356463

54A

Matemáticas II

- 2 -

Observamos que los distintos sumandos son los elementos de la primera fila de A multiplicados

por el determinante de la matriz que resulta de eliminar la fila y la columna en la que está el

elemento (además, el segundo sumando tiene signo negativo):

3231

222113

3331

232112

3332

232211

333231

232221

131211

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

Veamos un ejemplo:

La regla de Sarrus. Si desarrollamos completamente la fórmula del determinante de orden 3

llegamos a una expresión que podemos aplicar directamente:

322311332112312213322113312312332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

Para memorizar esta fórmula se usa el siguiente esquema, conocido como regla de Sarrus:

signo más signo menos

Ejemplo: Calcular el determinante de la siguiente matriz:

605

241

532

A

Debemos desarrollar por la primera fila:

64)20(54324205

415

65

213

60

242

605

241

532

El determinante de la matriz A es, por tanto:

64A

Ejemplo: Calcular los siguientes determinantes mediante la regla de Sarrus.

(a) 39)12()5(0)8(030

534

231

012

(b) 4210000032

850

240

031

Tema 7: Determinantes

- 3 -

7.2 DETERMINANTES DE CUALQUIER ORDEN

Los determinantes de orden superior a 3 se definen de la misma forma que el determinante de

orden 3. Antes de verlo, conviene introducir algo de terminología.

Matriz complementaria de un elemento. Sea A una matriz cuadrada de orden n y sea ija un

elemento suyo. Se denomina matriz complementaria de ija a la matriz de orden 1n que

resulta de eliminar la fila y la columna en las que se encuentra ija (es decir, la fila i y la

columna j). La matriz complementaria de ija se denota por ijM .

Adjunto de un elemento. Se denomina adjunto del elemento ija al determinante de su matriz

complementaria precedido de un signo + ó – según la suma ji sea par (signo positivo) o

impar (signo negativo). El adjunto del elemento ija se denota por ijA . Podemos resumir lo

anterior simplemente como:

ij

ji

ij MA

1

Ejemplo: Consideremos una matriz de orden 4:

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

La matriz complementaria del elemento 23a es aquella que resulta de eliminar la fila 2 y la

columna 3. Es decir:

444241

343231

141211

23

aaa

aaa

aaa

M

Ejemplo: Consideremos una matriz de orden 4:

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A .

Los adjuntos de los elementos de la primera fila son:

444342

343332

242322

11

aaa

aaa

aaa

A

444341

343331

242321

12

aaa

aaa

aaa

A

444241

343231

242221

13

aaa

aaa

aaa

A

434241

333231

232221

14

aaa

aaa

aaa

A

Matemáticas II

- 4 -

Para determinar el signo de los adjuntos podemos usar el siguiente esquema:

...............

...

...

...

...

Definición de determinante. Sea A una matriz de orden 2n . Su determinante es igual a la

suma de los productos de cada elemento de la primera fila por su adjunto. Es decir:

nn

nnnnn

n

n

n

AaAaAaAa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A 11131312121111

321

3333231

2232221

1131211

...

...

............

...

...

...

El determinante de la matriz A también se denota a veces por Adet .

Ejemplo: Calcular el determinante de la siguiente matriz:

2120

3014

1260

3152

A

Debemos multiplicar los elementos de la primera fila por sus adjuntos y sumar:

14131211 31)5(2 AAAAA

Calculemos primero los adjuntos correspondientes:

27

212

301

126

11

A 12)12(

210

304

120

12 A

56

220

314

160

13

A 40)40(

120

014

260

14

A

Así, el determinante de la matriz A es:

58403)56(112)5(272

2120

3014

1260

3152

Tema 7: Determinantes

- 5 -

7.3 DESARROLLO POR CUALQUIER FILA O COLUMNA

Se puede demostrar que, de hecho, para calcular un determinante no es necesario desarrollar por

los elementos de la primera fila, sino que podemos desarrollar por los elementos de cualquier

otra fila o columna. Es decir:

El determinante de una matriz es igual a la suma de los productos de los elementos de

cualquier fila o columna por sus respectivos adjuntos.

Así, para hacer menos cálculos, conviene desarrollar por la fila o columna que tenga más ceros.

Determinante de una matriz triangular. Es fácil ver que el determinante de una matriz

triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal (pues el resto de

sumandos son nulos).

Ejemplo: Calcular los siguientes determinantes:

(a)

2302

1142

0200

1231

(b)

2305

6110

1270

3023

(a) Desarrollemos por la segunda fila, con lo que todos los sumandos serán nulos excepto

uno. Además, el adjunto correspondiente es negativo. Así:

36128682

202

142

131

2

2302

1142

0200

1231

(b) Desarrollemos por la primera columna, con lo que habrá dos sumandos no nulos:

578)49(51113

611

127

302

5

230

611

127

3

2305

6110

1270

3023

Ejemplo: Calcular los siguientes determinantes.

(a) 70)1(572

1000

5500

0270

6282

(b) 6035)1(2)2(

31309

05831

00160

00023

00002

Matemáticas II

- 6 -

7.4 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

El cálculo de un determinante de orden alto desarrollando por alguna fila o columna es muy

pesado. Sus propiedades nos permitirán simplificarlo.

Casos de determinante nulo. Veamos en qué casos el determinante de una matriz es nulo:

(1) Si todos los elementos de una fila o columna son ceros, el determinante es cero.

(2) Si una fila o columna es combinación lineal de otras, su determinante es cero.

(3) Si dos filas o columnas son iguales, el determinante es cero.

Transformaciones en filas y columnas. Veamos cómo afectan al determinante las

transformaciones que efectuemos en sus filas o columnas.

(1) Si intercambiamos dos filas o columnas, el determinante cambia de signo. Por ejemplo:

ihg

cba

fed

ihg

fed

cba

(2) Si sumamos o restamos a una fila o columna por una combinación lineal de otras, el

determinante no varía. Por ejemplo:

ihg

cfbead

cba

ihg

fed

cba

222

(3) Si multiplicamos una fila o columna por un número, el determinante queda multiplicado por

dicho número. Por ejemplo:

ihg

fed

cba

ihg

fed

cba

3

333

Ejemplo: Calcular los siguientes determinantes:

(a) 0

1825

2431

0000

7049

(b) 0

5323

2020

3676

5212

(c) 0

0625

7240

12963

4321

(d) 0

7460

5133

5312

0241

Pues:

(a) La segunda fila es nula.

(b) Las columnas primera y tercera son iguales.

(c) La segunda fila es el triple de la primera.

(d) La tercera fila es la suma de las dos primeras.

Tema 7: Determinantes

- 7 -

Aplicación de las propiedades al cálculo de determinantes. Las propiedades anteriores

permiten simplificar el cálculo de determinantes haciendo 0´s en el mayor número posible de

posiciones de una fila o columna.

Descomposición de un determinante en suma de dos. Si una fila o columna está expresada

como una suma, podemos descomponer el determinante en suma de dos: uno para cada una de

las filas o columnas. Por ejemplo:

ihg

fed

cba

ihg

fed

cba

ihg

fed

ccbbaa

Veamos por último dos propiedades de carácter más teórico.

El determinante de la matriz traspuesta. El determinante de una matriz coincide con el de su

matriz traspuesta:

AAt

El determinante de un producto. El determinante de un producto de matrices es igual al

producto de los determinantes:

BABA

Ejemplo: Calcular el siguiente determinante:

532

321

321 aaa

La primera fila puede descomponerse como suma de dos:

aaaa

aaaaaa

31

21

312

211

001

532

321

111

532

321

532

321

321

532

321

321

0

Ejemplo: Calcular el siguiente determinante:

8620202

105

213

422

1050

2130

4220

0241

1211

2130

42102

0241

*)*(*(**)(*)

Hemos hecho:

(*) Sustituimos 2F por 12 2FF , y sustituimos 4F por 14 FF .

(**) Desarrollamos por la primera columna.

(***) Al llegar a un determinante de orden 3, hemos aplicado la regla de Sarrus (también

podíamos haber seguido haciendo 0´s para llegar a un determinante de orden 2).

Matemáticas II

- 8 -

7.5 EJEMPLOS

Veamos más ejemplos de cálculo de determinantes:

Hagamos un ejemplo más complicado.

El determinante de Vandermonde. Se llama determinante de Vandermonde a aquél en el que

cada columna está formada por las potencias sucesivas de cierto número: 1, a, 2a ,

3a ,…

Ejemplo: Calcular los siguientes determinantes:

(a) 5...

210

310

331

7103

972

331

71003

9702

3301

0214

7817

9702

3513

0214

(b) 2)1()1)(1(

100

110

11

1

11

11

1

1

aaaaa

a

aa

a

a

aa

a

a

a

aaa

aa

aa

Ejemplo: Calcular el determinante de Vandermonde de orden 3,

222

111

cba

cba

Hagamos 0´s en la primera columna:

)()(

0

0

111111

22

22

(*)

222 accabb

acab

accabb

acab

accabb

acab

cba

cba

))()((11

))(( bcacabcb

acab

(En el paso (*) hemos sustituido 3F por 23 aFF y 2F por 12 aFF )

Ejemplo: Calcular el siguiente determinante:

3(**)(*)

)1)(3(

1000

0100

0010

1113

1001

0101

0011

111

111

111

111

111

xx

x

x

x

x

xx

xx

xx

x

x

x

x

x

Hemos hecho:

(*) Restamos la primera fila a las restantes.

(**) Sumamos a la primera columna todas las restantes.

Tema 7: Determinantes

- 9 -

7.6 CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ

Recordamos que el rango de una matriz se define como el número de filas o columnas

linealmente independientes que tiene la matriz. Para simplificar la exposición, nos referiremos

únicamente de las columnas (aunque lo que digamos será igualmente válido para las filas).

Menores de una matriz. Sea A una matriz cualquiera (no necesariamente cuadrada). Se

denomina menor de A al determinante de cualquier matriz cuadrada que resulte de eliminar

ciertas filas y columnas de A.

Menores y dependencia lineal. Si una matriz tiene un menor no nulo de orden k, ninguna de las

columnas correspondientes puede ser combinación lineal del resto. Es decir, son linealmente

independientes (l.i.). Escribámoslo con más detalle:

mnmm

n

n

n

aaa

aaa

aaa

A

CCC

...

.........

...

...

...

21

22221

11211

21

-Si existe un menor no nulo de orden 2, las dos columnas correspondientes son linealmente

independientes. Por ejemplo:

02221

1211

aa

aa1C y 2C son l.i.

-Si existe un menor no nulo de orden 3, las tres columnas correspondientes son linealmente

independientes. Por ejemplo:

0

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

1C , 2C y 3C son l.i.

…

Recíprocamente, si los menores que podamos formar a partir ciertas columnas son nulos,

entonces estas columnas son linealmente dependientes.

Cálculo del rango usando determinantes. Según lo dicho, para calcular el rango de una matriz

debemos partir de dos columnas linealmente independientes e ir añadiendo otras una a una de

modo que den lugar a menores no nulos. Cuando no podamos añadir columnas con las que

formar menores no nulos, es que ya habremos alcanzado el rango de la matriz.

Ejemplo: El menor resultante de eliminar la segunda fila y las dos últimas columnas de una

matriz de orden 43 es:

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

A 3231

1211

aa

aa

Matemáticas II

- 10 -

Condición de rango máximo para matrices cuadradas. De acuerdo con lo que hemos visto, si

A es una matriz cuadrada de orden n su rango será exactamente n si y sólo si 0A .

0 AnAr

Ejemplo: Calcular el rango de la siguiente matriz:

11915

3330

0421

A

(i) Las columnas 1C y 2C son linealmente independientes, pues:

0330

21

(ii) La columna 3C es combinación lineal de 1C y 2C , pues:

03603027

915

330

421

,,det 321

CCC

(iii) La columna 4C es combinación lineal de 1C y 2C , pues:

033033

1115

330

021

,,det 421

CCC

Así, concluimos que A tiene dos columnas linealmente independientes. Por lo tanto:

2Ar

Ejemplo: Determinar el rango de la siguiente matriz según los valores del parámetro a.

421

82

21

a

a

A

El determinante de A es:

24 aA

Veamos en primer lugar para qué valores se anula el determinante de A:

40402

aaA

Así, si 4a el determinante no se anula y la matriz tiene rango 3. Por otro lado se

comprueba que para 4a la matriz resultante tiene rango 1. Recapitulando:

34 Ara

14 Ara

Tema 7: Determinantes

- 11 -

7.7 CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA

Finalmente, veamos una fórmula para calcular la inversa de una matriz. Antes debemos

introducir un nuevo concepto: el de matriz adjunta.

La matriz adjunta. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se denomina adjunta de A a la matriz

que tiene por elementos los adjuntos de los elementos correspondientes de A. Por ejemplo, si A

es una matriz de orden 3, su adjunta es:

333231

232221

131211

333231

232221

131211

Adj

AAA

AAA

AAA

A

aaa

aaa

aaa

A

La matriz inversa. Sea A una matriz cuadrada. A es invertible únicamente si su determinante es

distinto de cero 0A . En tal caso, su matriz inversa es:

tAA

A Adj11

Ejemplo: Calcular la matriz adjunta de:

201

120

311

A

Los adjuntos de A son:

411 A 112 A 213 A

221 A 522 A 123 A

731 A 132 A 233 A

Por tanto, la matriz adjunta es:

217

152

214

Adj A

Ejemplo: Calcular la inversa de la siguiente matriz:

101

422

013

A

El determinante de A es:

4A

La matriz adjunta de A es:

8124

131

222

Adj A

[...]

Matemáticas II

- 12 -

Veamos la inversa de una matriz de orden 2:

Ecuaciones con matrices. Una ecuación con matrices se resuelve de forma similar a una

ecuación numérica, pero recordando que para despejar una incógnita que está multiplicando a

una matriz debemos multiplicar por la matriz inversa de dicha matriz:

Caso 1: BAX BAAXA 11 BAX 1

Caso 2: BXA 11 BAXAA 1 BAX

* En ocasiones no podemos multiplicar por la inversa para despejar la incógnita. Por ejemplo en

la ecuación XAAX . En tal caso, no nos queda más remedio que plantear un sistema de

ecuaciones con los elementos de la matriz X como incógnitas.

[…]

Por lo tanto, la matriz inversa de A es:

24/12/1

34/32/1

14/12/1

812

1232

412

4

1 Adj

11 tA

AA

Ejemplo: Calcular la inversa de la siguiente matriz:

54

32A

El determinante de A es 2A . Calculemos la matriz adjunta:

23

45 Adj A

(El determinante de una matriz de orden 1 es igual a su único elemento). Por lo tanto, la

matriz inversa de A es:

12

2/32/5

24

35

2

1 Adj

11 tA

AA

Ejemplo: Resolver la ecuación XBAX , siendo

31

32A y

12

01B .

(i) Despejamos X:

BIAXBXIABXAXXBAXIXX

1

(ii) La inversa de IA es:

11

321IA .

(iii) Así:

11

34

12

01

11

321BIAX

Tema 7: Determinantes

- 13 -

ANEXO: DEFINICIÓN DE DETERMINANTE USANDO PERMUTACIONES

Veamos una manera alternativa de definir el determinante de una matriz.

Permutaciones. Una permutación de n elementos es una reordenación de los n primeros enteros

positivos (1, 2, 3,…, n). Por ejemplo, las permutaciones de 3 elementos son:

1,2,3 1,3,2 2,1,3 2,3,1 3,1,2 3,2,1

Se denomina permutación identidad a aquella en la que los elementos están en su orden natural:

1,2,3,…,n

* Es fácil probar que el número de permutaciones de n elementos es:

nn ...432!

Por ejemplo, el número de permutaciones de 4 elementos es 24432!4 .

Trasposiciones. Se denomina trasposición al intercambio de dos elementos de una permutación.

Por ejemplo, al aplicar la trasposición “intercambiar los elementos primero y tercero” a la

permutación 4,2,3,1 obtenemos 3,2,4,1. Esquemáticamente:

1,4,2,31,3,2,4º3º1

Signo de una permutación. Las permutaciones tienen signo positivo o negativo dependiendo

del número de trasposiciones que hay que aplicarles para obtener la permutación identidad:

-Si se necesita un número par de trasposiciones para obtener la permutación identidad se dice

que la permutación tiene signo positivo.

-Si se necesita un número impar de trasposiciones para obtener la permutación identidad se

dice que la permutación tiene signo negativo.

Ejemplo: Determinar el signo de las siguientes permutaciones de 5 elementos:

(a) 3,4,5,1,2.

5,4,3,2,14,5,3,2,14,3,5,2,12,3,5,4,12,1,5,4,3º5º4º4º3º5º2º4º1

Hemos necesitado cuatro trasposiciones (un número par): la permutación es positiva.

(b) 1,5,4,2,3.

5,4,3,2,15,3,4,2,15,2,4,3,13,2,4,5,1º4º3º4º2º5º2

Hemos necesitado tres trasposiciones (un número impar): la permutación es negativa.

Ejemplo: Escribir todas las permutaciones de 4 elementos.

1,2,3,4 2,1,3,4 3,1,2,4 4,1,2,3

1,2,4,3 2,1,4,3 3,1,4,2 4,1,3,2

1,3,2,4 2,3,1,4 3,2,1,4 4,2,1,3

1,3,4,2 2,3,4,1 3,2,4,1 4,2,3,1

1,4,2,3 2,4,1,3 3,4,1,2 4,3,1,2

1,4,3,2 2,4,3,1 3,4,2,1 4,3,2,1

Matemáticas II

- 14 -

Dada una permutación, hay varias series distintas de trasposiciones que nos conducen a la

permutación identidad, pero todas ellas tienen la misma paridad.

Definición de determinantes usando permutaciones. Dada una matriz cuadrada de orden n,

ijaA , su determinante es el número que se obtiene mediante la adición de varios sumandos,

cada uno de los cuales:

(i) Es el producto de n factores, de modo que haya un único elemento de cada fila y de cada

columna.

(ii) Si en cada sumando ordenamos los factores por orden ascendente de filas, el signo del

sumando corresponde al signo de la permutación de los índices de las columnas.

El determinante de la matriz A se representa por A o por Adet :

......det 2211

21

22221

11211

nn

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

AA

* El desarrollo de un determinante de orden n estará formado por !n sumandos, uno por cada

permutación. Así, por ejemplo, el desarrollo de un determinante de orden 4 tiene 24 sumandos,

y el de un determinante de orden 5 tiene 120 sumandos.

Ejemplo: Sea A una matriz de orden 3:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Escribamos los sumandos que aparecen en el desarrollo del determinante junto con su signo

(cada sumando debe estar ordenado en orden ascendente de filas, kji aaa 321 ):

1,2,3

2,1,3

1,3,2

3,1,2

2,3,1

3,2,1

312213

322113

312312

332112

322311

332211

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

Signocolumnaslasde

nPermutacióSumando

Tenemos así la regla de Sarrus para el cálculo de determinantes de orden 3:

322311332112312213322113312312332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

Tema 7: Determinantes

- 15 -

Cálculo de determinantes

1. Calcula los determinantes de las siguientes matrices:

71

53A

42

63B

15

57C

40

96D

2. Calcula los determinantes de las siguientes matrices aplicando la definición (es decir,

desarrollando por los elementos de la primera fila):

087

654

321

A

322

645

131

B

122

052

131

C

3. Calcula los determinantes de las siguientes matrices de orden 3 mediante la regla de Sarrus:

146

132

312

A

315

432

211

B

150

431

012

C

8130

1016

321

D

4. Calcula el siguiente determinante de orden 4 aplicando la definición:

1122

3024

3220

4321

5. Calcula los siguientes determinantes desarrollando por la fila o columna más conveniente.

(a)

4014

2010

0321

1052

(b)

0111

1012

0101

1101

6. Calcula el siguiente determinante:

x

x

x

x

001

100

010

001

Propiedades de los determinantes

7. Los siguientes determinantes son todos iguales a 0. Indica por qué:

(a)

363

252

141

(b)

504

826

413

(c)

4105

173

532

EJERCICIOS DEL TEMA 7

Matemáticas II

- 16 -

8. Calcula mentalmente:

(a)

4000

8100

9320

3173

(b)

3021

7012

3068

2034

9. Calcula los siguientes determinantes haciendo 0´s en alguna fila o columna:

(a)

1012

2231

1211

2101

(b)

8259

3313

7104

4226

10. Calcula los siguientes determinantes:

(a)

1121

2401

3212

1131

(b)

0116

1210

1110

2001

11. Calcula los siguientes determinantes:

(a)

3

3

3

3

xxx

xxx

xxx

xxx

(b)

abcm

bbcm

cccm

mmmm

12. Usa las propiedades de los determinantes para comprobar que los siguientes determinantes

son nulos.

(a)

321

111

321 aaa

(b)

6352

4332

2312

xxx

xxx

xxx

13. Sabiendo que 6

17

10

13

z

y

x

, calcula los siguientes determinantes:

(a)

332/

32/

372/

xx

yy

zz

(b)

2060

217

210

213

z

y

x

14. Resuelve las siguientes ecuaciones:

(a) 0

201

1

12 xx

xx

(b) 0

011

111

11

011

x

x

xx

x

Tema 7: Determinantes

- 17 -

Calculo del rango de una matriz

15. Calcula el rango de las siguientes matrices usando determinantes:

3103

2112

1015

A

77440

23121

54321

B

16. Calcula el rango de las siguientes matrices usando determinantes:

072

645

132

A

01313

4814

0212

2301

B

17. Discute el rango de la matriz

a

a

a

A

11

11

11

para los distintos valores del parámetro a.

18. Calcula el rango de la matriz

211

221

01

A en función del parámetro ℝ.

19. Calcula el rango de la matriz

0121

10

112

A en función del parámetro ℝ.

20. Discute el rango de la siguiente matriz para los distintos valores del parámetro k.

1

10

321

654

kkk

kk

k

k

A

21. Se consideran las siguientes matrices:

24

11A y

14

01B

Determina los valores de c tales que la matriz cBA no tenga rango 2.

22. Consideremos las matrices:

221

211A y

2

1

k

B

Se pide:

(a) La matriz AABBM tt .

(b) Determina el rango de la matriz M en función del parámetro k ℝ.

Matemáticas II

- 18 -

La matriz inversa

23. Calcula la inversa de las siguientes matrices:

73

21A

41

23B

55

13C

24. Calcula la inversa de las siguientes matrices:

223

012

222

A

100

212

111

B

867

015

432

C

25. Estudia para qué valores de m la siguiente matriz tiene inversa y, en caso de ser posible,

halla su inversa para 1m .

mm

m

0

110

10

26. Dada la matriz

100

011

001

A se pide:

(a) Encuentra la expresión para la potencia n-ésima de A. Es decir, calcula nA .

(b) Razona que la matriz nA tiene inversa para cualquier n ℕ, 1n , y calcula dicha inversa.

Ecuaciones con matrices

27. Resuelve la ecuación matricial 0 CBAX , donde:

01

14A ,

0112

1021B y

0301

1210C

28. Sean las matrices Resuelve la ecuación matricial BXAX , donde X es una matriz de

orden 22 y A y B son:

42

20A y

12

11B

29. Resuelve la ecuación matricial BXXA , donde:

12

11A y

20

11B

30. Resuelve la ecuación matricial IBXAC , donde las matrices A, B y C son:

21

43A

10

11B

11

01C .

Tema 7: Determinantes

- 19 -

31. Resuelve la ecuación IAAX 2 , siendo X una matriz cuadrada de orden 3, I la matriz

identidad de orden 3, y A la siguiente matriz:

102

010

011

A

32. Resuelve la ecuación matricial 222

IAXXAX , siendo 2I la matriz identidad

de orden 2 y

01

11A .

Selección de Ejercicios de PAEG

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Matemáticas II

- 20 -

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