Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones...

Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones

1

1

1.1 LÍMITE EN UN PUNTO 1.2 LÍMITES LATERALES 1.3 TEOREMAS SOBRE LÍMITES 1.4 CÁLCULO DE LÍMITES 1.5 LÍMITES AL INFINITO 1.6 LÍMITES INFINITOS 1.7 OTROS LÍMITES

OBJETIVOS:

• Definir Límites. • Realizar demostraciones formales de límites. • Describir gráficamente los límites. • Calcular límites.


2

2 11.90 4.801.95 4.901.99 4.98

2.01 5.022.05 5.102.10 5.20

x y x= +

1.1 LÍMITE EN UN PUNTO El Cálculo, básicamente está fundamentado en los límites, por tanto este

tema es trascendental para nuestro estudio. De hecho, veremos más adelante que los dos conceptos principales del Calculo, la Derivada y la Integral Definida, están basados en límites.

Conceptualizar límites determinando el comportamiento de una función e interpretarlo en su gráfica, ayudará bastante en el inicio de nuestro estudio.

1.1.1 DEFINICIÓN INTUITIVA

Ciertas funciones de variable real presentan un comportamiento un tanto singular en la cercanía de un punto, precisar sus características es nuestra intención y el estudio de los límites va a permitir esto.

Empecemos analizando ejemplos sencillos; en los que podamos por simple inspección concluir y tener una idea del concepto de límite.

Ejemplo 1

Veamos como se comporta la función f con regla de correspondencia 12)( += xxf en la cercanía de 2=x . Evaluando la función para algunos valores de x , próximos (acercándose) a 2 :

En la tabla de valores se han ubicado unas flechas para dar a entender que tomamos a la x aproximándose a 2 en ambas direcciones y se observa que los valores de y se van acercando a 5. Aunque son sólo seis valores, por ahora sin ponernos exigentes vamos a concluir diciendo que la función se aproxima a 5 cada vez que su variable independiente x se aproxima a 2. Este comportamiento lo escribiremos de la siguiente forma:

( ) 512lím2

=+→

xx

Lo anterior se puede ilustrar desde la gráfica, observe la figura 1.1:

Fig. 1.1


3

2 5 61

0.90 6.900.95 6.950.99 6.99

1.01 7.011.05 7.051.10 7.10

x xx yx+ −

=−

Ejemplo 2

Ahora veamos el comportamiento de esta otra función f con regla de correspondencia

165)(

2

−−+

=x

xxxf , en la cercanía de 1=x .

Evaluando la función para ciertos valores de x , cada vez más próximos a 1, tenemos:

Parece ser que esta función se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la variable independiente x

se aproxima a tomar el valor de 1, es decir 71

65lím2

1=

−−+

→ xxx

x.

Note que no es necesario que la función esté definida en el punto de aproximación.

Por otro lado, la regla de correspondencia 1

65)(2

−−+

=x

xxxf es equivalente a

1;6)( ≠+= xxxf (¿POR QUÉ?).

Este comportamiento se lo puede visualizar desde su gráfica, observe la figura 1.2:

De lo expuesto en los dos ejemplos anteriores, sin ser tan riguroso todavía, podemos emitir la siguiente definición:

Fig. 1.2


4

Una función f tiene límite L en un punto 0x , si f se aproxima a tomar el valor L

cada vez que su variable x se aproxima a tomar el valor 0x . Esto se denota como:

0

lím ( )x x

f x L→

=

Para los dos ejemplos anteriores el comportamiento de las funciones se puede determinar analizando sus gráficas; pero esto podría ser no tan sencillo; es más, suponga que se necesite bosquejar la gráfica teniendo características de su comportamiento. De ahí la necesidad del estudio de límite de funciones.

1.1.2 DEFINICIÓN FORMAL

Suponga que se plantea el problema de demostrar que 2

lím2 1 5x

x→

+ = o que 2

1

5 6lím 71x

x xx→

+ −=

−. Para esto, debemos garantizar formalmente el

acercamiento que tiene la función a su correspondiente valor cada vez que su variable independiente se aproxime al valor especificado. Ya la tabla de valores no nos sirve, el hecho que se cumpla para algunos valores no indica que se cumpla para todos los valores próximos al punto. La demostración consistirá en escribir matemáticamente, lenguaje formal, la metodología del proceso, lo cual nos lleva a la necesidad de tener una definición formal de límite y no sólo para estos dos ejemplos, sino para cualquier función.

Antes, de llegar a la definición requerida, precisemos lo siguiente:

PRIMERO, para un lenguaje formal, decir que x toma valores próximos a un punto 0x (que x está en torno a 0x ), bastará con considerarla perteneciente a

un intervalo o vecindad, centrado en 0x , de semiamplitud muy pequeña, la

cual denotaremos con la letra griega ∂ (delta). Es decir:

0 0x x x− ∂ < < +∂

Transformando la expresión anterior tenemos:

δ<−

δ<−<δ−−∂+<−<−∂−

∂+<<∂−

0

0

00000

00

xxxx

xxxxxxxxx

Restando " 0x "

Empleando la definición de valor absoluto


5

Y, para que x no sea 0x , bastará con proponer que 00 x x< − < ∂ ¿POR

QUÉ?.

SEGUNDO, para decir que f está próxima a L (en torno a L ), podemos expresar que pertenece a un intervalo o vecindad, centrado en L de semiamplitud muy pequeña, la cual denotaremos con la letra griega ε (épsilon). Es decir:

( )L f x Lε ε− < < +

Transformando la expresión anterior tenemos:

εεεεε

<−

+<−<−+<<−

LxfLxf

LxfL

)()(

)(

Con todo lo anterior, definimos formalmente límite de una función en un punto, de la siguiente manera:

Sea f una función de variable real y sean ε y ∂ cantidades positivas muy pequeñas. Suponga que f se aproxima a L cuando x se aproxima a 0x , denotado como

0

lím ( )x x

f x L→

= , esto

significa que para toda proximidad que se desee estar con f en torno a L , deberá poderse definir un intervalo en torno a 0x en el cual tomar x , sin que necesariamente 0x x= , que nos garantice el acercamiento. Es decir: ( )

00lím ( ) 0, 0 0 ( )

x xf x L tal que x x f x Lε δ δ ε

→= ≡ ∀ > ∃ > < − < ⇒ − <

La definición indica que para asegurar que una función tiene límite deberíamos establecer una relación entre ∂ y ε .

Una manera de interpretar gráficamente lo mencionado es:

Restando " L "

Aplicando la definición de valor absoluto


6

Con esta definición, ya podemos realizar demostraciones formales.

Ejemplo 1 Demostrar formalmente que ( ) 512lím

2=+

→x

x.

SOLUCIÓN: Cuando hicimos la tabla de valores, sólo para seis valores percibimos que el límite de esta función era 5, se trata ahora de demostrarlo. Debemos garantizar que cuando tomemos a la x como cualquier número cercano a 2 el valor de y correspondiente es un número cercano a 5, y mientras la x esté más cerca de 2 la y estará más cerca de 5; esto quiere decir que la diferencia entre los valores que resultan en 2 1x + con 5 deberán ser cantidades muy pequeñas, menores que cualquiera tolerancia ε que nos fijemos.

Es decir, que debemos poder estar tan cerca de 5 con 12 += xy , tanto como nos propusiéramos estar (para todo ε ). Si esto es posible deberá poderse definir el correspondiente intervalo (existe ∂ ) en el cual tomar x que garantice aquello, es decir:

( ) εδδε <−+⇒<−<>∃>∀ 512200,0 xxquetal

En la implicación, vamos a transformar el antecedente hasta llevarlo a la forma del consecuente. Observe el consecuente, su forma algebraica nos guiará en el procedimiento a seguir:

( )

( )

( )

0 2 0 2 2 2

0 2 2 2

0 2 2 2

0 2 4 2

0 2 4 5 5 2

0 2 1 5 2

x x

x

x

x

x

x

δ δ

δ

δ

δ

δ

δ

< − < ⇒ < − <

⇒ < − <

⇒ < − <

⇒ < − <

⇒ < − + − <

⇒ < + − <

Ahora, podemos decir que 2εδ = sirve (puede ser un valor menor); es decir, que si tomamos

22 22 εε +<<− x nos permite asegurar lo propuesto.

Suponga que 1.0=ε ; es decir, si quisiéramos que 12 += xy esté a menos de 0.1 de 5, será posible si

tomamos a la que x , en torno a 2 a una distancia no mayor de 05.021.0==δ . Es decir para que f

esté entre 4.9 y 5.1 bastará con tomar a la x un número entre 1.95 y 2.05.

Multiplicamos por 2 (porque en el consecuente aparece 2x )

Propiedades del valor absoluto

Sumamos y restamos 5 (debido a que aparece -5 en el consecuente)

Agrupamos

Fig. 1.3


7

No olvide que proponer una relación entre ε y ∂ , garantiza que f estará tan cerca de L , como se

quiera estar. Veamos, más cerca 01.0=ε , bastará con tomar a la x a no menos de 005.0201.0

==δ

de 2. Es decir que si tomamos 005.2995.1 << x garantiza que 01.5)(99.4 << xf .

Ejemplo 2

Demostrar formalmente que 2

1

5 6lím 71x

x xx→

+ −=

−.

SOLUCIÓN:

Debemos asegurar que 1

652

−−+

=x

xxy se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la x esté

próxima de 1. Es decir, que debemos poder estar tan cerca de 7 con 1

652

−−+

=x

xxy , tanto como nos

propusiéramos estar (para todo ε ). Si esto es posible deberá poderse definir el correspondiente intervalo (existe ∂ ) en el cual tomar x que garantice aquello, es decir:

εδδε <−−

−+⇒<−<>∃>∀ 7

165100,0

2

xxxxquetal

Ahora transformamos el antecedente:

( )( )

( )( )

2

0 1 0 1 7 7

0 6 7

6 17

1

5 6 71

x x

x

x xx

x xx

δ δ

δ

< − < ⇒ < − + − <

⇒ < + − <

+ −⇒ − < ∂

−

+ −⇒ − < ∂

−

Con εδ = , aseguramos lo propuesto; es decir, tomando εε +<<− 11 x .

Ejemplo 3


2lím 4x

x→

= .

SOLUCION:

Debemos garantizar que εδδε <−⇒<−<>∃>∀ 4200,0 2xxquetal

Entonces:

( )( )( )

2

0 2 0 2 2 2

0 2 2 2

0 4 2

x x x x

x x x

x x

δ δ

δ

δ

< − < ⇒ < − + < +

⇒ < − + < +

⇒ < − < +

Ahora acotemos 2x + . Exijamonos 1∂ ≤ , esto quiere decir que la x estaría a una distancia no mayor de 1, en torno a 2, es decir 1 3x≤ ≤ , lo cual implica que:

2 2 5 2 5x x≤ + ≤ ⇒ + ≤

El último resultado implica que:

2 5x∂ + ≤ ∂

Sumamos y restamos 7 (debido a que aparece -7 en el consecuente)

Agrupamos ( )6x + y la

dividimos y multiplicamos por ( )1x − (debido a que el primer término del consecuente aparece dividido por ( )1x − )

Multiplicamos por 2x + (debido a que el consecuente tiene una diferencia de cuadrados perfectos)

Aplicamos la propiedad del producto del valor absoluto


8

Continuando con la demostración:

2 24 2 5 4 5δ− < + ≤ ∂ ⇒ − < ∂x x x

Por tanto, 5εδ = sirve; es decir, al considerar 2 2

5 5xε ε

− < < + aseguramos lo que se quiere

demostrar, siempre y cuando escojamos un ε tal que 1∂ ≤ , es decir min 1 ,5εδ ⎧ ⎫= ⎨ ⎬

⎩ ⎭ (el menor entre

1 y 5ε ).

Ejemplo 4


3lím 9x

x→−

= .

SOLUCION:

Debemos garantizar que 20, 0 0 3 9tal que x xε δ δ ε∀ > ∃ > < + < ⇒ − <

Por lo tanto:

( )( )( )

2

0 3 0 3 3 3

0 3 3 3

0 9 3

x x x x

x x x

x x

δ δ

δ

δ

< + < ⇒ < + − < −

⇒ < + − < −

⇒ < − < −

Acotamos 3−x . Si nos proponemos un 1∂ ≤ , entonces 4 2− ≤ ≤ −x , lo cual implica que:

4 3 3 2 3 7 3 5

3 7

3 7

x xx

x

− − ≤ − ≤ − − ⇒ − ≤ − ≤ −

⇒ − ≤

⇒ ∂ − ≤ ∂

Entonces:

2 29 3 7 9 7x x xδ− < − ≤ ∂ ⇒ − < ∂

Por tanto, 7ε

δ = sirve; es decir tomar 3 37 7

xε ε− − < < − + asegura lo que se quiere demostrar,

siempre y cuando escojamos un ε tal que 1∂ ≤ , es decir min 1 ,7εδ ⎧ ⎫= ⎨ ⎬

⎩ ⎭.

Ejemplo 5

Demostrar formalmente que 2lím4

=→

xx

.

SOLUCION: Debemos garantizar que εδδε <−⇒<−<>∃>∀ 2400,0 xxquetal

entonces:

( ) ( )( )( )

0 4 0 2 2

0 2 2

10 22

δ δ

δ

δ

< − < ⇒ < − + <

⇒ < − + <

⇒ < − <+

x x x

x x

xx

Factorizamos 4−x para diferencia de cuadrados

Aplicamos la propiedad del producto del valor absoluto

Despejamos

Multiplicamos por 3x − (debido a que el consecuente tiene una diferencia de cuadrados perfectos) Aplicamos la propiedad del producto del valor absoluto


9

Acotamos 12+x

. Igual a los casos anteriores, consideramos 1∂ ≤ ; es decir debemos tomar a x a

una distancia no mayor de 1 entorno a 4, entonces 3 5≤ ≤x , esto implica que:

3 5 3 2 2 5 21 1 1

3 2 2 5 21 1

3 22

3 22

x x

x

x

x

≤ ≤ ⇒ + ≤ + ≤ +

⇒ ≥ ≥+ + +

⇒ ≤++

∂ ∂⇒ ≤

++

Entonces:

12 23 2 3 22

δ ∂ ∂− < ≤ ⇒ − <

+ ++x x

x

Por lo tanto, ( )23 += εδ ; es decir, si tomamos ( ) ( )234234 ++<<+− εε x aseguramos lo que se quiere demostrar, siempre y cuando escojamos un ε tal que 1∂ ≤ , es decir

( ){ }min 1 , 3 2δ ε= +

Ejemplo 6


27lím 3x

x→

= . SOLUCION: Debemos garantizar que 30, 0 0 27 3tal que x xε δ δ ε∀ > ∃ > < − < ⇒ − <

Entonces:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

2 23 3 3 3 3 3

23 3 3

32

3 3

0 27 0 27 27 27

0 3 3 9

0 33 9

x x x x

x x x

xx x

δ δ

δ

δ

⎛ ⎞< − < ⇒ < − + + <⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⇒ < − + + <⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ < − <⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

Ahora bien, acotamos ( )2

3 3

1

3 9⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

x x. Si tomamos a x a una distancia no mayor de 1 ( )1∂ ≤ ,

en torno a 27, entonces 26 28x≤ ≤ , esto implica que:

Factorizamos ( )27x − para diferencia de cubos

Propiedad del valor absoluto

Despejamos

Primero sacamos raíz cúbica, luego multiplicamos por 3 y finalmente sumamos 9


10

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 3 3

2 2 23 3 3

2 2 23 3 3 3 3 3

2 2 23 3 3 3 3 3

22 3 33 3

22 3 33 3

3 26 9 3 9 3 28 926 28

26 28

26 3 26 9 3 9 28 3 28 9

1 1 1

26 3 26 9 3 9 28 3 28 9

1 1

26 3 26 93 9

26 3 26 93 9

⎧ + ≤ + ≤ +⎪≤ ≤ ⇒ ⎨≤ ≤⎪⎩

⇒ + + ≤ + + ≤ + +

⇒ ≥ ≥+ + + + + +

⇒ ≤+ ++ +

∂ ∂⇒ ≤

+ ++ +

xx

x

x x

x x

x x

x x

Entonces:

( )( ) ( )

( )( )

3 32 22 3 3 3 33 3

3 326 3 26 9 26 3 26 93 9

δ ∂ ∂− < ≤ ⇒ − <

⎛ ⎞ + + + ++ +⎜ ⎟⎝ ⎠

x xx x

Por lo tanto, ( )23 326 3 26 9δ ε ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠; es decir, si tomamos

( ) ( )2 23 3 3 327 26 3 26 9 27 26 3 26 9ε ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + < < + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠x aseguramos lo propuesto siempre y

cuando escojamos un ε tal que 1∂ ≤ , es decir ( ){ }23 3min 1 , 26 3 26 9δ ε⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Ejemplo 7


1 1lím1 2x

xx→

−=

−.

SOLUCION:

Debemos garantizar que 1 10, 0 0 1

1 2xtal que x

xε δ δ ε−

∀ > ∃ > < − < ⇒ − <−

La expresión algebraica del consecuente tiene una apariencia un tanto compleja, por tanto en este caso es mejor empezar analizando el consecuente, para tener referencia de los pasos a seguir para luego transformar el antecedente.

( )( )( )

( )( )( )

( )

1 11 2

1 121 1

1 121

2 1

2 1

2 12 1

xx

x

x x

x

x

x

xx

ε

ε

ε

ε

ε

−− <

−

−− <

− +

− <+

− +<

+

− −<

+

Factorizamos el denominador ( )1x − para diferencia de cuadrados

Simplificamos ( )1x −

Restamos

Propiedad distributiva

Por otro lado sacamos raíz cúbica y elevamos al cuadrado


11

( )( )( )( )( )

( )

( )( )

2

2

2

12 1

1 1

2 1 1

1

2 1

1

2 1

1 2 1

xx

x x

x x

x

x

x

x

x x

ε

ε

ε

ε

ε

−<

+

− +<

+ +

−<

+

−<

+

⎡ ⎤− < +⎢ ⎥⎣ ⎦

Ahora para transformar el antecedente, se sigue una secuencia como la anterior pero desde el final:

( )( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )

2

2

2

2

2

2

2

0 1 0 1

0 1 1

0 11

10

2 1 2 1 1

102 1 2 1

2 102 1 2 1

2 10

2 1 2 1

1202 1 2 1 2 1

1 1021 2 1

1 1021 1 2 1

1 101 2 2 1

x x

x x

xx

x

x x x

xx x

xx x

x

x x

x

x x x

x x

x

x x x

x

x x

δ δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

< − < ⇒ < − <

⇒ < − + <

⇒ < − <+

−⇒ < <

+ + +

−⇒ < <

+ +

− −⇒ < <

+ +

− +⇒ < <

+ +

+⇒ < − <

+ + +

⇒ < − <+ +

−⇒ < − <

+ − +

−⇒ < − <

− +

Acotamos ( )2

1

2 1+ x. Ahora bien, si tomamos a x a una distancia no mayor de 1, entorno a 1,

entonces 0 2x≤ ≤ , esto implica que:

Factorizamos para diferencia de cuadrados

Propiedad del valor absoluto

Despejamos

Dividimos todos los términos entre ( )2 1 x+

Transformamos el 1 en (2 – 1)

Agrupamos

Separamos en dos términos

Simplificamos

Multiplicamos por la conjugada el primer término

Resolvemos la resta del 2 con el 1

Multiplicamos y dividimos por ( )1 x+

Producto notable

Aplicamos la propiedad del cociente del valor absoluto

Despejamos


12

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

2 2

2 2

2 2

2

2

0 2 1 1 2 1

1 1 2 1

2 2 1 2 2 1

1 1 12 2 1 2 2 1

1 122 1

22 1

≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤ +

⇒ ≤ + ≤ +

⇒ ≤ + ≤ +

⇒ ≥ ≥+ +

⇒ ≤+

∂ ∂⇒ ≤

+

x x

x

x

x

x

x

Entonces:

( )

( )( )

2

1 11 11 2 2 1 2 22 1

δ− −∂ ∂− < ≤ ⇒ − <

− −+

x x

x xx

Por lo tanto, 2δ ε= sirve; es decir, si tomamos 1 2 1 2xε ε− < < + aseguramos lo propuesto, siempre y

cuando escojamos un ε tal que 1∂ ≤ , es decir { }min 1 , 2δ ε=

Ejemplo 8


4lím 42x

xx→

−=

−.

SOLUCION:

Debemos garantizar que 40, 0 0 4 42

xtal que xx

ε δ δ ε−∀ > ∃ > < − < ⇒ − <

−

Igual que en el ejemplo anterior primero vamos a analizar el consecuente:

( )( )

( )

( )( )( )

( )

4 42

2 24

2

2 4

2

2 2

2

42

4

2

4 2

xx

x x

x

x

x

x x

x

xx

x

x

x x

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

−− <

−

− +− <

−

+ − <

− <

− +<

+

−<

+

−<

+

− < +

Ahora para transformar el antecedente, se sigue una secuencia como la anterior pero desde el final:

Factorizamos el numerador ( )4x − para diferencia de cuadrados

Simplificamos ( )2x −

Restamos

Multiplicamos y dividimos por ( )2x +

Realizamos el Producto Notable

Aplicamos la propiedad del cociente del valor absoluto

Despejamos


13

( )

( )( )( )

( )

( )( )( )

( )

40 4 02 2

2 20

22

0 22

0 2 4 42

0 2 42

2 20 4

22

40 422

xxx x

x x

xx

xx

xx

xx

x x

xx

xxx

δδ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

−< − < ⇒ < <

+ +

− +⇒ < <

++

⇒ < − <+

⇒ < − + − <+

⇒ < + − <+

+ −⇒ < − <

+−

−⇒ < − <

+−

Acotamos 12+x

. Si tomamos a x a una distancia no mayor de 1, entorno a 4, entonces 3 5≤ ≤x ,

esto implica que:

3 5 3 2 2 5 21 1 1

3 2 2 5 21 1

3 22

3 22

≤ ≤ ⇒ + ≤ + ≤ +

⇒ ≥ ≥+ + +

⇒ ≤++

∂ ∂⇒ ≤

++

x x

x

x

x

Entonces:

( ) ( )4 44 4

3 2 3 222 2δ− ∂ − ∂

− < ≤ ⇒ − <+ ++− −

x xxx x

Por lo tanto, ( )3 2δ ε= + sirve; es decir, si tomamos ( ) ( )4 3 2 4 3 2xε ε− + < < + +

aseguramos lo que se quiere demostrar, siempre y cuando escojamos un ε tal que 1∂ ≤ , es decir

( ){ }min 1, 3 2δ ε= +

Factorizamos ( )4x − para diferencia de cuadrados

Dividimos todos los términos entre ( )2x +

Simplificamos ( )2x +

Sumamos y restamos 4

Agrupamos

Multiplicamos y dividimos ( )2x −

Realizamos el Producto Notable


14

Ejemplo 9


1 1lím2x x→

= .

SOLUCION:

Debemos garantizar que 1 10, 0 0 2

2tal que x

xε δ δ ε∀ > ∃ > < − < ⇒ − <

Analicemos el consecuente:

2 21 1 2

2 2 2 2x xx

x x x x− −−

− = = =

Ahora trabajando con el antecedente:

( ) 20 2 0

2 2

1 102 2

1 102 2

δδ

δ

δ

−< − < ⇒ < <

⇒ < − <

⇒ < − <

xx

x x

x x

x x

Acotamos 12x

. Considerando 1∂ ≤ ; tenemos 1 3≤ ≤x , esto implica que:

1 1 12 2 62 2 61 1

2 2

2 2

xx

x

x

≤ ≤ ⇒ ≥ ≥

⇒ ≤

∂ ∂⇒ ≤

Entonces:

1 1 1 12 2 2 2 2

δ ∂ ∂− < ≤ ⇒ − <

x x x

Por lo tanto, 2δ ε= sirve; es decir, si tomamos 2 2 2 2xε ε− < < + aseguramos lo que se quiere demostrar, siempre y cuando escojamos un ε tal que 1∂ ≤ , es decir { }min 1 , 2δ ε=

Veamos ahora como proceder si en el ejemplo anterior tenemos a x cerca

de 0 .

Ejemplo 10


1lím 1x x→

= .

SOLUCION:

Debemos garantizar que 1

0, 0 0 1 1tal que xx

ε δ δ ε∀ > ∃ > < − < ⇒ − <

Analicemos el consecuente:

Dividimos para 2x


15

1 11 11

x xxx x x x

− −−− = = =

Ahora trabajando con el antecedente:

( ) 10 1 0

10 1

10 1

δδ

δ

δ

−< − < ⇒ < <

⇒ < − <

⇒ < − <

xx

x x

x x

x x

Acotamos 1x

. Aquí si tomamos 1∂ ≤ tenemos problemas porque 0 2≤ ≤x y x no puede ser 0;

elijamos mejor 12

∂ ≤ (puede ser otro valor), ahora 1 32 2≤ ≤x , lo cual implica que:

1 2 12 2 23x x x

∂≥ ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ∂

Entonces:

1 11 2 1 2δ− < ≤ ∂ ⇒ − < ∂

x x x

Por lo tanto, 2ε

δ = sirve; es decir, si tomamos 1 12 2

xε ε− < < + aseguramos lo que se quiere

demostrar, siempre y cuando escojamos un ε tal que 12

∂ ≤ , es decir 1min ,2 2

εδ ⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

Podría no ser tan sencillo encontrar un ∂ en función de ε , eso no significa

que el límite no existe, todo depende de la regla de correspondencia de la función.

Ejercicios Propuestos 1.1 1. Demostrar formalmente utilizando la definición de límite:

a) 2

3

9lím 63x

xx→

−=

−

b) ( )2

lím 2 5 1x

x→

− = −

c) 2

6

5 6lím 76x

x xx→−

+ −= −

+

d) 51

3232lím2

23

1=

−

−−+→ x

xxxx

e) 22lím2

=→

xx

f) 1

1lím 21x

xx→

−=

−

g) 3

8lím 2x

x→

=

h) 3 3límx a

x a→

=

Dividimos para x


16

2. Determine un número “ ∂ ” para el valor de “ ε ” dado, tal que se establezca el límite de la función:

a) 2

13

9 1lím 2 , 0.013 1x

xx

ε→

−= =

−

b) 4 4

2 82 2lím 2 , 10

x a

x a ax a

ε −

→

−= =

−

c) 0

lím 2, 0.081 1x

xx

ε→

= =+ −

3. Sea ℜ→ℜ+:f tal que xxf =)( encuentre un valor de “ ∂ ” para que 01.3)(99.2 << xf

siempre que ∂<−< 90 x

4. Sea 3)( xxf = . Empleando la definición de límite, establezca un intervalo en el cual tomar " x " para que )(xf esté a menos de 0.1 de 1

1.1.3 TEOREMA DE UNICIDAD DE LÍMITE.

Sea f una función de una variable real. Si f tiene límite en 0xx = , entonces este es único. Es decir, si Lxf

xx=

→)(lím

0

y

Mxfxx

=→

)(lím0

entonces ML = .

Demostración: Por CONTRADICCIÓN. Supongamos que efectivamente f tiene dos límites L y M , entonces tenemos dos hipótesis:

:1H Lxfxx

=→

)(lím0

≡ 11011 )(00,0 εδδε <−⇒<−<>∃>∀ Lxfxxquetal

:2H Mxfxx

=→

)(lím0

≡ 22022 )(00,0 εδδε <−⇒<−<>∃>∀ Mxfxxquetal

Como se dice para todo 1ε y para todo 2ε entonces supongamos que εεε == 21 . Tomemos { }21,∂∂=∂ min para estar con x , en la vecindad de 0x .

Simultáneamente tenemos: ⎪⎩

⎪⎨⎧

<−

<−⇒<−<>∃>∀

ε

εδδε

Mxf

Lxfxxtalque

)(

)(00,0 0

lo cual quiere decir también que: εδδε 2)()(00,0

)(

0 <−+−⇒<−<>∃>∀

− xfM

MxfLxfxxtalque

Por la desigualdad triangular baba +≤+ , tenemos: baba

xfMLxfxfMLxf )()()()( −+−≤−+−

entonces como ε2)()( <−+−≤− xfMLxfLM podemos decir que ε2<− LM

Ahora bien, suponiendo que LM −=21ε se produce una contradicción porque tendríamos

( )LMLM −<− 212 lo cual no es verdad. Por lo tanto, se concluye que ML = . L.Q.Q.D


17

Ejemplo (una función que no tiene límite en un punto)

Sea ( )xsenxf 1)( =

Analicemos su comportamiento en la vecindad de “0”

( )

101

101

2

132

32

1

2

1

π

π

π

π

π

π

−

−

−

−−

= xsenyx

Se observa que la función en la vecindad de “0” tiene un comportamiento un tanto singular, sus valores son alternantes. Por tanto, se concluye que esta función no tiene límite en cero.

Veamos su gráfica.

1.2 LÍMITES LATERALES Existen funciones que por la derecha de un punto tienen un comportamiento

y por la izquierda del punto tienen otro comportamiento. Esto ocurre frecuentemente en funciones que tienen regla de correspondencia definida en intervalos y que su gráfica presenta un salto en un punto. Para expresar formalmente este comportamiento se hace necesario definir límites en un punto por una sola dirección.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xseny 1

Fig. 1.4


18

1.2.1 LÍMITE POR DERECHA

Cuando x se aproxima a tomar el valor de 0x , pero sólo por su derecha ( )∂+<< 00 xxx , f se aproxima a tomar el valor de 1L ; significa que f puede estar tan cerca de 1L , tanto como se pretenda ( ε∀ ), para lo cual deberá existir el correspondiente ∂ , que indica el intervalo en el cual tomar x que nos garantice aquello. Es decir:

0

1 0 1lím ( ) 0, 0 ( )x x

f x L tal que x x f x Lε ε+→

⎛ ⎞= ≡ ∀ > ∃∂ < − < ∂⇒ − <⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejemplo 1

Una función creciente en ( )∞,0x

Ejemplo 2

Una función decreciente en ( )∞,0x

Fig. 1.5


19

1.2.2 LÍMITE POR IZQUIERDA.

Cuando x se aproxima a tomar el valor de 0x , pero sólo por su izquierda ( )0 0x x x− ∂ < < , f se aproxima a tomar el valor de 2L ; significa que f puede estar tan cerca de 2L , tanto como se pretenda ( ε∀ ), para lo cual deberá existir el correspondiente ∂ , que indica el intervalo en el cual tomar x que nos garantice aquello. Es decir:

02 0 2lím ( ) 0, 0 ( )

x xf x L tal que x x f x Lε ε

−→

⎛ ⎞= ≡ ∀ > ∃∂ < − < ∂ ⇒ − <⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejemplo 1

Una función decreciente en ( )0,x−∞

Ejemplo 2

Una función creciente en ( )0,x−∞

Fig. 1.6

Fig. 1.7


20

Note que lo que se ha hecho es no otra cosa que separar la definición de límite en un punto que fue dada al comienzo.

De las definiciones anteriores y por el Teorema de Unicidad de Límite surge el siguiente teorema.

1.2.3 TEOREMA DE EXISTENCIA DE LÍMITE

Si f es una función con límite en 0x entonces se cumple que tanto por izquierda como por derecha f tiende al tomar el mismo valor. Es decir:

( ) LxfLxfLxf

xxxxxx=∧=≡=

−+ →→→)(lím)(lím)(lím

000

Si se da que )(lím)(lím00

xfxfxxxx −+ →→

≠ , se dice que )(lím0

xfxx→

no existe.

Ejemplo 1

Sea 22

)(−

−=

xx

xf . Hallar )(lím2

xfx→

:

SOLUCIÓN: Expresando la regla de correspondencia sin valor absoluto, resulta:

( ) ⎩⎨⎧

<−>

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<−−−

>−−

=−

−=

2;12;1

2;22

2;22

22

)(xx

xxx

xxx

xx

xf

Esto quiere decir que su gráfica es:

De la gráfica observamos que 1)(lím2

=+→

xfx

y 1)(lím2

−=−→

xfx

; entonces se concluye que

existenoxfx

)(lím2→

.

Fig. 1.8


21

Ejemplo 2

Demostrar formalmente que ( ) 6lím3

=→

xfx

si ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−=>

=3,33

3,43,2

xxxxx

xf

SOLUCIÓN: Note que la función tiene regla de correspondencia con una definición a la derecha de 3 y otra diferente a la izquierda de 3, entonces es necesario demostrar que ( ) 6lím

3=

+→xf

x y que ( ) 6lím

3=

−→xf

x.

PRIMERO, ( )3

lím 2 6 0, 0 0 3 2 6x

x tal que x xε ε+→

= ≡ ∀ > ∃∂ > < − < ∂ ⇒ − <

Ahora trabajando el antecedente:

( ) ( )0 3 0 2 3 2

0 2 6 20 2 6 2

< − < ∂ ⇒ < − < ∂

⇒ < − < ∂

⇒ < − < ∂

x xxx

Si 2ε

∂ = ; es decir, tomando 2

33 ε+<< x garantizamos la afirmación que

32 6

+→=

xlím x .

SEGUNDO,

( )( ) ( )3

lím 3 3 6 0, 0 0 3 3 3 6x

x tal que x xε ε−→

− = ≡ ∀ > ∃∂ > < − < ∂ ⇒ − − <


( ) ( )

( )( )

( )

0 3 0 3 3 30 9 3 30 6 3 3 30 3 3 6 3

0 3 3 6 3

0 3 3 6 3

< − < ∂ ⇒ < − < ∂

⇒ < − < ∂⇒ < + − < ∂

⇒ < − − + < ∂

⇒ < −⎡ − − ⎤ < ∂⎣ ⎦⇒ < − − < ∂

x xx

xx

x

x

Si 3ε

=∂ ; es decir, tomando 33

3 <<− xε garantizamos que ( )

3lím 3 3 6x

x−→

− = .

Ejemplo 3

Demostrar formalmente que ( )xfx 2lím→

no existe, si ( )⎩⎨⎧

<+≥−

=2,12,1

xxxx

xf

SOLUCIÓN: La función tiene regla de correspondencia con una definición a la derecha de 2 y otra diferente a la izquierda de 2, entonces es necesario demostrar que ambas definiciones convergen a distintos valores, es decir: ( ) ( )xfxf

xx −→+→≠

22límlím .

Note que, ( )2

lím 1 1x

x+→

− = y que ( )2

lím 1 3x

x−→

+ =

PRIMERO,

( )( ) ( )2

lím 1 1 0, 0 0 2 1 1x

x tal que x xε ε+→

− = ≡ ∀ > ∃∂ > < − < ∂ ⇒ − − <



22

( )( )( )

0 2 0 1 1

0 1 1

0 1 1

< − < ∂ ⇒ < − − < ∂

⇒ < − − < ∂

⇒ < − − < ∂

x x

x

x

Si ε=∂ ; es decir, tomando ε+<< 22 x garantizamos que ( )2

lím 1 1x

x+→

− = .

SEGUNDO,

( )( ) ( )2

lím 1 3 0, 0 0 2 1 3x

x tal que x xε ε−→

+ = ≡ ∀ > ∃∂ > < − < ∂ ⇒ + − <


( )( )( )

( )

0 2 0 3 1

0 3 1

0 1 3

0 1 3

< − < ∂ ⇒ < − − < ∂

⇒ < − + < ∂

⇒ < −⎡ + − ⎤ < ∂⎣ ⎦⇒ < + − < ∂

x x

x

x

x

Si ε=∂ ; es decir, tomando 22 <<− xε garantizamos que ( )2

lím 1 3x

x−→

+ = .

Por lo tanto, al demostrar que f converge a distintos valores en la vecindad de 2 , estamos demostrando que ( )xf

x 2lím→

no existe

Ejemplo 4

Demostrar formalmente que ( )2

lím 2 2x

x x+→

− = SOLUCIÓN:

( )( ) ( )2

lím 2 2 0, 0 0 2 2 2x

x x tal que x x xε ε+→

− = ≡ ∀ > ∃∂ > < − < ∂ ⇒ − − <

No olvide que a la derecha de 2 el entero mayor de x es igual a 2, es decir 2x = .

Trabajando el antecedente:

¨

( )

( )( )

0 2 0 2 4 20 2 2 2 2

0 2 2 2

0 2 2 2

< − < ∂ ⇒ < − < ∂

⇒ < − − < ∂

⇒ < − − < ∂

⇒ < − − < ∂

x xx

x x

x x

Si 2ε

∂ = ; es decir, tomando 2 22

x ε< < + garantizamos que ( )

2lím 2 2x

x x+→

− = .


23

Ejercicios Propuestos 1.2 1. Demostrar formalmente utilizando la definición de límites laterales:

a. 0lím0

=→

xx

b. ( ) 3lím2

−=→

xfx

; si ( )⎩⎨⎧

<−≥−

=2,452,72

xxxx

xf

c. ( ) 3lím2

=→

xfx

; si ( )⎩⎨⎧

<+≥−

=2,1

2,12xxxx

xf

d. ( )2

lím 2 3x

x x−→

− =

e. ( )3

lím 3 6x

x x+→

− =

2. Demostrar formalmente que ( )xfx 1lím→

no existe, si ( )⎩⎨⎧

<+≥−

=1,21,13

xxxx

xf

3. Trace la gráfica y determine, por inspección, el límite indicado si existe, si no existe justifique.

a. ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=−<

=1,31,11,2

xxx

xf ; ( )xfx 1lím→

b. ( )22

xf x

x+

=+

; ( )2

límx

f x→−

; ( )2

límx

f x→

c. ( )⎩⎨⎧

<−≥−

=2,452,72

xxxx

xf ; ( )xfx 2lím→

d. ( )f x x x= − ; ( )xfx −→0lím , ( )

0límx

f x+→

e. ( ) ( )( )

, 1

3 , 1 4

, 4

x x x

f x Sgn x x

x xμ

⎧ + ≤ −⎪

= − − < ≤⎨⎪ >⎩

; ( )1

límx

f x→−

( )52

, límx

f x→−

4. Bosqueje la gráfica de una función que cumpla las condiciones siguientes:

• RfDom =

• f es decreciente en ( ) ( )2,03, ∪−−∞ • f es creciente en ( ) ( )+∞∪− ,20,3

• [ ]εδδε <−⇒<−−<∀>∃>∀ 2)(30,00 xfxx

• [ ]εδδε <⇒<+<∀>∃>∀ )(30,00 xfxx

• [ ]εδδε <+⇒<−<∀>∃>∀ 1)(20,00 xfxx

• ( ) ( ) 023 ==− ff y 5)0( =f

5. Bosqueje el gráfico de una función que cumpla las condiciones siguientes:

• RfDom =

• f es creciente en ( ) ( ),0 0,3−∞ ∪

• f decreciente en ( )∞,3

• [ ]εδδε <−⇒<−<∀>∃>∀ 3)(0,00 xfxx

• [ ]εδδε <⇒<<∀>∃>∀ )(0,00 xfxx

• [ ]εδδε <−⇒<−<∀>∃>∀ 5)(30,00 xfxx

• ( ) ( ) 0)6(33 ===− fff y 2)0( =f


24

1.3 TEOREMAS SOBRE LÍMITES 1.3.1 TEOREMA PRINCIPAL SOBRE LÍMITE

Sean f y g funciones con límite en 0x ; es decir, suponga que

0

lím ( )x x

f x L→

= y

0

lím ( )x x

g x M→

= . Entonces:

1. 0

límx x

k k→

= , k R∀ ∈

2. 0

0límx x

x x→

=

3. 0 0

lím ( ) lím ( )x x x x

kf x k f x kL→ →

= = , k R∀ ∈

4. [ ]0 0 0

lím ( ) ( ) lím ( ) lím ( )x x x x x x

f x g x f x g x L M→ → →

+ = + = +

5. [ ]0 0 0


f x g x f x g x L M→ → →

− = − = −

6. [ ]0 0 0


f x g x f x g x LM→ → →

= =

7. 0

0

0

lím ( )( )lím( ) lím ( )

x x

x xx x

f xf x Lg x g x M

→

→→

⎡ ⎤= =⎢ ⎥

⎣ ⎦;siempre que

0

lím ( ) 0x x

g x→

≠

8. [ ]0 0

lím ( ) lím ( )n

n n

x x x xf x f x L

→ →

⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦, n N∀ ∈

9. 0 0

lím ( ) lím ( ) nn nx x x x

f x f x L→ →

= =

siempre que0

lím ( ) 0x x

f x→

≥ cuando n es par. Demostraciones

1. ( )0

0lím 0, 0 / 0x x

k k x x k kε ε→

= ≡ ∀ > ∃∂ > < − < ∂ ⇒ − <

El consecuente de la implicación es verdadero porque ε<0 . Por tanto, la proposición es siempre verdadera, incluso si el valor de verdad del antecedente es falso.

2. ( )0

0 0 0lím 0, 0 / 0x x

x x x x x xε ε→

= ≡ ∀ > ∃∂ > < − < ∂ ⇒ − <

Si ε=∂ la proposición es verdadera.


25

3. ( )0

0lím ( ) 0, 0 / 0 ( )x x

kf x kL x x kf x kLε ε→

= ≡ ∀ > ∃∂ > < − < ∂ ⇒ − <

Observe el consecuente, la expresión ε<− kLxkf )( es equivalente a

( ) ε<− Lxfk )( .

Por hipótesis, en la cercanía de 0x , f se aproxima a L , es decir; se cumple que:

00, 0 / 0 ( )x x f x Lε ε∀ > ∃∂ > < − < ∂ ⇒ − <

Si tomamos kε

ε = ( )f x Lkε

⇒ − <

( )k f x L ε⇒ − <

( )kf x kL ε⇒ − <

por tanto kf se aproximará a kL .

4. Debemos demostrar que si Lxf

xx=

→)(lím

0

Mxgxx

=→

)(lím0

entonces [ ] MLxgxfxx

+=+→

)()(lím0

Asegurar que Lxfxx

=→

)(lím0

significa que:

11011 )(00,0 εε <−⇒∂<−<>∃∂>∀ Lxfxxquetal Y asegurar que Mxg

xx=

→)(lím

0

significa que:

22022 )(00,0 εε <−⇒∂<−<>∃∂>∀ Mxgxxquetal

Tomemos 1 2 2ε

ε ε= = , entonces , si trabajamos con { }1 2min ,∂ = ∂ ∂ se cumple que:

0

( )20

( )2

f x Lx x

g x M

ε

ε

⎧ − <⎪⎪< − < ∂ ⇒ ⎨⎪ − <⎪⎩

Sumando término a término la desigualdad resulta: 22

)()( εε+<−+− MxgLxf

Y por la desigualdad triangular ( ) ( ) MxgLxfMxgLxf −+−≤−+− )()()()(

Por lo tanto ( ) ( ) ε<+−+ MLxgxf )()( Finalmente, se observar que: ( ) ( ) εε <+−+⇒∂<−<>∃∂>∀ MLxgxfxx )()(0/0,0 0 lo que nos asegura que [ ] MLxgxf

xx+=+

→)()(lím

0

5. Debemos demostrar que si Lxf

xx=

→)(lím

0

Mxgxx

=→

)(lím0

entonces [ ]0

lím ( ) ( )x x

f x g x LM→

=

Igual que en el anterior, tenemos dos hipótesis:

01 : lím ( )

x xH f x L

→= 1 1 0 1 10, 0 0 ( )tal que x x f x Lε ε≡ ∀ > ∃∂ > < − < ∂ ⇒ − <

02 : lím ( )

x xH g x M

→= 2 2 0 2 20, 0 0 ( )tal que x x g x Mε ε≡ ∀ > ∃∂ > < − < ∂ ⇒ − <

En la segunda hipótesis, asumamos que 2 1ε = , entonces


26

( )( )

( ) 1

1 1

1 1

g x M

g x M

M g x M

− <

− < − <

− < < +

Por la desigualdad triangular: 1 1M M+ < + ( )1 1 1M M M≡ − + < + < +

( )1 1M M+ − < + − ( )1 1 1M M M≡ − + < − < +

Como ( ) 1g x M< + y 1 1M M+ < + se concluye que ( ) 1g x M< +

Como ( )1M g x− < y ( )1 1M M− + < − se concluye que ( ) ( )1M g x− + <

Entonces: ( ) 1g x M< + y además ( ) ( )1( ) 1g x f x L Mε− < +

Bien, se observa que si trabajamos con { }1 2min ,∂ = ∂ ∂

( ) ( )1

02

( ) 10

( )

g x f x L Mx x

g x M

ε

ε

⎧ − < +⎪< − < ∂ ⇒ ⎨− <⎪⎩

Si decidimos que 1 1Mε

ε =+

y 2 Lε

ε =

Entonces

( ) ( ) ( )( ) 1

2 1

( )2

g x f x L MM

g x ML

ε

ε

⎧ − < +⎪ +⎪⎨⎪ − <⎪⎩

( ) ( )

2

( )2

g x f x L

L g x M

ε

ε

⎧ − <⎪⎪⎨⎪ − <⎪⎩

Sumando término a término:

( ) ( ) ( )g x f x L L g x M ε− + − <

Por la desigualdad triangular:

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )aa b a

g x f x L L g x M g x f x L L g x M ε− + − ≤ − + − <

( ) ( ) ( )( )f x g x Lg x Lg x LM ε− + − <

( )( )f x g x LM ε− <

Hemos concluido que:

( )00, 0 0 ( )tal que x x f x g x LMε ε∀ > ∃∂ > < − < ∂ ⇒ − <

Es decir: [ ]0

lím ( ) ( )x x

f x g x LM→

= L.Q.Q.D.


27

El resto de las demostraciones se deja como ejercicio para el lector.

Observe que el recíproco del teorema anterior es falso.

Ejemplo

Suponga que se tiene ⎩⎨⎧

≤>

=0;00;1

)(xx

xf y ⎩⎨⎧

<≥

=0;10;0

)(xx

xg

entonces ( )⎩⎨⎧

=≠

=+0;00;1

)(xx

xgf

Observe que: 0

lím ( )x

f x→

no existe y que 0

lím ( )x

g x→

tampoco existe, sin embargo ( )0

lím ( ) 1x

f g x→

+ =

(existe). Es decir, “ Si ( )gf + es una función con límite en un punto, entonces no podemos

asegurar que f y g también tienen límite en ese punto”

El teorema principal de límite permite establecer límites de ciertas funciones.

Ejemplo

Calcular ( )23lim 2

2−+

→xx

x

SOLUCIÓN:

Aplicando el teorema principal de límites, tenemos:

( )

82)2(32

)13,8(2lim3lim

)54(2lim3limlim23lim

22

2

2

22

2

2

2

2

=−+=

−+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

−+=−+

→→

→→→→

yincisoxx

yincisoxxxx

xx

xxxx

Lo último del ejemplo anterior permite concluir que con una sustitución basta.

1.3.2 TEOREMA DE SUSTITUCIÓN

Sea f una función polinomial o una función racional, entonces

00lím ( ) ( )

x xf x f x

→=

siempre que 0( )f x esté definida y que el denominador no sea cero para el caso de una función racional.


28

De principio o de final, en el cálculo de límite, se empleará el teorema de sustitución.

Ejemplo

Calcular ( )23lim 2

2−+

→xx

x

SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de sustitución, tenemos:

( ) 82)2(3223lim 22

2=−+=−+

→xx

x

Veamos el siguiente otro teorema, muy poco utilizado pero necesario en ciertas situaciones.

1.3.3 TEOREMA DEL EMPAREDADO

Sean f , g y h funciones tales que ( ) ( ) ( )g x f x h x≤ ≤ para toda x próxima a

" 0x " con la posible excepción de " 0x ". Si

0

lím ( )x x

g x L→

= y 0

lím ( )x x

h x L→

= entonces

0

lím ( )x x

f x L→

= .

DEMOSTRACIÓN. Tenemos tres hipótesis:

:1H ( )0

1 1 0 1 1lím ( ) 0, 0 / 0 ( )x x

g x L x x g x Lε ε→

= ≡ ∀ > ∃∂ > < − < ∂ ⇒ − <

:2H ( )0

2 2 0 2 2lím ( ) 0, 0 / 0 ( )x x

h x L x x h x Lε ε→

= ≡ ∀ > ∃∂ > < − < ∂ ⇒ − <

:3H )()()(0/0 303 xhxfxgxx ≤≤⇒∂<−<>∃∂ Ahora, suponiendo que εεε == 21 y tomando { }321 ,, ∂∂∂=∂ min , tenemos:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤

<−

<−

⇒∂<−<>∃∂>∀

)()()()(

)(

0/0,0 0

xhxfxgLxh

Lxg

xx ε

ε

ε

Que quiere decir que: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤+<<−+<<−

⇒∂<−<>∃∂>∀)()()(

)()(

0/0,0 0

xhxfxgLxhLLxgL

xx εεεε

ε


29

Lo cual significa que: εε +<≤≤<− LxhxfxgL )()()( , Y de manera simplificada se podría decir que: εε +<<− LxfL )( Por lo tanto εε <−⇒∂<−<>∃∂>∀ Lxfxx )(0/0,0 0 , Que no es otra cosa que Lxf

xx=

→)(lím

0

L.Q.Q.D.

Ahora veamos ejercicios donde se emplea el teorema del emparedado

Ejemplo 1

Sea 2 21 ( ) 1x f x x− ≤ ≤ + para toda x próxima a 0, excepto en 0. Hallar )(lím0

xfx→

.

SOLUCIÓN: Llamemos 21)( xxg −= y 2( ) 1h x x= + . Calculando límites tenemos:

( )2

0 0lím ( ) lím 1 1x x

g x x→ →

= − = y ( )2

0 0lím ( ) lím 1 1x x

h x x→ →

= + = .

Y como )()()( xhxfxg ≤≤ en la vecindad de 0=x , por el teorema del emparedado se concluye que: 1)(lím

0=

→xf

x

O más simplemente: ( ) ( )2 2

0 0 0lím 1 lím ( ) lím 1x x x

x f x x→ → →

− ≤ ≤ +

1)(lím10

≤≤→

xfx

por lo tanto 1)(lím0

=→

xfx

Ejemplo 2

Use el teorema del emparedado para demostrar que: 01senlím0

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→ xx

x

SOLUCIÓN:

No se puede aplicar la propiedad del producto de los límites debido a que 0

1lím senx x→

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

no existe.

También hacerlo en término de ε∂ − , sería dificilísimo, ¿Por qué? . Por tanto hay que recurrir a otro mecanismo.

La función ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xxf 1sen)( es acotada, es decir que 11sen0 ≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≤

x.

Al multiplicar por x tenemos: 11sen0 xx

xx ≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≤ ;

luego tomando límite resulta xx

xxxx 000lím1senlím0lím→→→

≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≤ , que equivale a 01senlím0

0≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≤

→ xx

x

y llegamos a lo que queríamos, es decir: 01senlím0

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→ xx

x.


30

Ejemplo 3

Hallar x

Senxx 0lím→

SOLUCIÓN: Para emplear el teorema del emparedado, acotemos la función

xSenxxf =)(

Del gráfico tenemos que: ( )2

)1(tg1

xAreaR = , ( )2

)1( 2

2

xAR = , ( )2

)(sencos3

xxAR =

Observe que 321 RRR AAA ≥≥ , entonces ( ) ( ) ( )

2sencos

21

2)1(tg 2 xxxx

≥≥

PRIMERO: Si +→ 0x . Multiplicando por 2 y dividiendo para xsen resulta:

( ) ( )x

xxx

xx

xsen2

sencos2sen22

sen2)1(tg2

≥≥

xx

xx

cossencos

1≥≥

que es lo mismo que xx

xxcos

1sencos ≤≤

tomando límite xx

xxxxx cos

1límsenlímcoslím000 +++ →→→

≤≤

1senlím10

≤≤+→ x

xx

entonces 1senlím0

=+→ x

xx

SEGUNDO: En cambio, si −→ 0x . Multiplicando por 2 y dividiendo para xsen resulta:

xx

xx

cossencos

1≤≤ (Se invierte el sentido de la desigualdad porque 0sen <x

que es lo mismo que: xx

xxcos

1sencos ≤≤

tomando límite: xx

xxxxx cos

1límsenlímcoslím000 −−− →→→

≤≤

1senlím10

≤≤−→ x

xx

entonces 1senlím0

=−→ x

xx

Finalmente 0

senlím 1x

xx→

=

Observe la gráfica:

xsen

xcos

2R

xtg

x

1

1

3R

1R

Fig. 1.9


31

Note que en su gráfica se observa la conclusión anterior.

Ejercicios Propuestos 1.3 1. Realice las demostraciones de los incisos 5, 6 y 7 del Teorema principal de límite.

2. Use el teorema del emparedado para demostrar que:

a. 01lím 240

=→ x

Senxx

b. ( ) 01

1sen1lím 2

1=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

+→ xx

x

3. Califique cada una de las siguientes proposiciones como VERDADERA O FALSA, en caso de ser verdadera demuéstrela y en caso de ser falsa dé un contraejemplo.

a. ( )( ) ( )( )0 0

lím lím 0x x x x

f x L f x L→ →

= ⇒ − =

b. Si ( )0

lím ( ) ( )x x

f x g x→

− existe, entonces también existen 0

lím ( )x x

f x→

y 0

lím ( )x x

g x→

c. Si ( ) ( )2435 xxg −≤+ , entonces ( ) 5lím4

−=→

xgx

d. Si ( )0f x no está definida, entonces el 0

lím ( )x x

f x→

no existe

e. Si ( )0f x existe, entonces 0

lím ( )x x

f x→

existe

f. Suponga que g es una función tal que 0)(lím0

=→

xgx

. Si f es una función cualquiera,

entonces ( ) 0)(lím0

=→

xfgx

g. Si )()( xgxf ≠ para toda x , entonces el 0 0

lím ( ) lím ( )x x x x

f x g x→ →

≠

sen xyx

=

Fig. 1.10


32

1.4 CALCULO DE LÍMITES En el cálculo de límites, la aplicación del teorema de sustitución puede

bastar.

Ejemplo 1

Calcular ( )1

límx

x x+→

−

SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de sustitución:

( )1

lím 1 1 1 1 0x

x x+

+

→− = − = − = (El entero mayor de números ligeramente mayores que 1 es igual a 1)

Ejemplo 2

Calcular ( )1

límx

x x−→

−

SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de sustitución

( )1

lím 1 1 1 0 1x

x x−

−

→− = − = − = (El entero mayor de números ligeramente menores que 1 es igual a 0)

Ejemplo 3

Calcular ( )( )1

lím 2 1 1x

x Sgn x−→

− + −

SOLUCIÓN: Aplicando el teorema principal de límites y el teorema de sustitución:

( )( ) ( ) ( )( )( )

( )

1 1 1lím 2 1 1 lím 2 1 lím 1

2(1 ) 1 1 1

1 0

0 11

x x xx Sng x x Sng x

sng

sng

− − −→ → →

− −

− −

− + − = − + −

= − + −

= +

= −= −

Ejercicios Propuestos 1.4 Calcular:

1. 462lím4

−−+→

xx

2. x

x

x −

−−+→ 3

14lím

3

3. ( )0

lím 2x

x Sgnx+→

−

4. 3

3lím

3x

xx+→

−−

7. ( )

( )

2

0

tanlímx

x Sgn x

xμ+→

+

8. 2

lím senx

xπ

→

9. ( )2

2

lím cosx

x π

π +→−

+


33

5. 0

1lím1x

xx+→

−+

6.

22

21lím

1x

x x

x+→

−

−

10. ( ) ( ) ( )5

lím 5 1 3x

x x xμ μ μ+→

+ + − − −⎡ ⎤⎣ ⎦

En otros casos, al calcular límites, una vez aplicado el teorema de sustitución, se requerirá un trabajo adicional si se presentan resultados de la forma:

0

0

00

010

∞

∞∞∞−∞•∞

∞

Los resultados de la forma mencionada son llamados indeterminaciones

debido a que corresponden a cualquier valor. Por ejemplo, tomemos 00

,

suponga que sea igual a una constante c , es decir 00

c= entonces 0 0c=

sería verdadera para todo c . Analice el resto de indeterminaciones.

Ejemplo 1

Calcular 2

1

5 6lím1x

x xx→

+ −−

SOLUCIÓN:

Empleando el teorema de sustitución tenemos ( )22

1

1 5 1 65 6 0lím1 1 1 0x

x xx→

+ −+ −= =

− − una

indeterminación, para destruirla vamos a simplificar la expresión, es decir factorizando:

( )( ) ( )

2

1 1 1

6 15 6lím lím lím 61 1x x x

x xx x xx x→ → →

+ −+ −= = +

− −

Y finalmente aplicando el teorema de sustitución: ( )1

lím 6 1 6 7x

x→

+ = + =


34

Ejemplo 2

Calcular 2

2

7 10lím2x

x xx→

− +−

SOLUCIÓN:

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: ( )

00

22102722

=−

+− (Indeterminación)

Para encontrar el valor de esta indeterminación, simplificamos le expresión:

( )( )

( )2

2 2 2

2 57 10lím lím lím( 5)2 2x x x


− −− += = −

− −

Aplicando el Teorema de Sustitución, resulta:

2

lím( 5) 2 5 3→

− = − = −x

x

Ejemplo 3

Calcular 4

5 14lím2x

x xx→

+ −−

SOLUCIÓN:

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 00

2414454

=−

−+ (Indeterminación)

Para encontrar el valor de esta indeterminación, simplificamos le expresión:

( )( ) ( )

4 4 2

7 25 14lím lím lím 72 2x x x


+ −+ −= = +

− −

Aplicando el Teorema de Sustitución, resulta:

( )4

lím 7 4 7 9x

x→

+ = + =

SEGUNDO METODO: Podemos hacer un Cambio de Variable: 2ux = . Este caso xu = , y cuando 4→x , 2→u

Por tanto el límite en la nueva variable sería:

2

2

5 14lím2u

u uu→

+ −−

Simplificando la expresión y aplicando en teorema de sustitución:

( ) ( ) ( )2

2 2 2

7 25 14lím lím lím 7 92 2u u u

u uu u uu u→ → →

+ −+ −= = + =

− −

Ejemplo 4

Calcular 1

1lím1x

xx→

−−

SOLUCIÓN:


1111=

−− (Indeterminación)

Racionalizando el numerador y simplificando:


35

( ) ( ) ( )1 1 1

1 1 1 1 1lím lím lím1 21 1 1 1x x x

x x xx x x x x→ → →

⎡ ⎤− + −• = = =⎢ ⎥− + − + +⎣ ⎦

Ejemplo 5

Calcular 31

1lím1x

xx→

−−

SOLUCIÓN:


1111

3=

−

− (Indeterminación)

Para encontrar el valor de esta indeterminación, podemos aplicar uno de los siguientes métodos: PRIMER METODO: Racionalizando el numerador para diferencia de cuadrados y el denominador para diferencias de cubos:

( )( )

23 3

231 3 3

11 1lím1 1 1x

x xx xx x x x→

⎡ ⎤+ +− +⎢ ⎥• •⎢ ⎥− + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )( )

( )( )( )( )

( )

2 23 33 3

1

1 1 1 1 1 3lím21 1 1 1x

x x x

x x→

− + + + += =

− + +

SEGUNDO METODO: Cambio de Variable: 6ux = . Entonces Si 11 →⇒→ ux

Reemplazando tenemos: 6 3

23 61 1

1 1lím lím11u u

u uuu→ →

− −=

−−

Y factorizando: ( )( )( )( )

( )( )

( )( )

2 2 2

1 1

1 1 1 1 1 1 3lím lím1 1 1 1 1 2u u

u u u u u

u u u→ →

− + + + + + += = =

− + + +

Ejemplo 6

Calcular 22

3 2 2lím

4x

x xx−→

− −

−

SOLUCIÓN:

Aplicando el teorema principal de límite consideramos ( ) 22 2

2lím 3 2 lím

4x x

xx

x− −→ →

⎛ − ⎞− ⎜ ⎟

−⎝ ⎠

Entonces, para el primer límite tenemos: ( )2

lím 3 2 3x

x−→

− = ¿Por qué?

Y para el segundo límite, resulta:

( )( )( )

( )( )

( ) 41

21lím

222lím

222lím

42lím

4

2lím

2

222222

−=+−

=+−

−−=

+−−

=−−

=−

−

−

−−−−

→

→→→→

x

xxx

xxx

xx

x

x

x

xxxx

Por lo tanto 22

3 2 2 1 3lím (3)4 44x

x xx−→

− − ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟− ⎝ ⎠


36


1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.

Otros límites se calculan empleando la expresión 0

senlím 1x

xx→

= que en forma

generalizada sería: 0

senlím 1; ( )u

u donde u u xu→

= =

Ejemplo 1

Calcular ( )0

senlímx

kxx→

SOLUCIÓN:

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: ( )( )sen 0 0

0 0=

k (Indeterminación)

Para encontrar el valor de esta indeterminación, multiplicamos y dividimos por k , y luego aplicamos el teorema principal de límites:

( )0 0

1

sensenlím lím (1)x x

kxkxk k k kkx kx→ →

= = =

Se podría decir que ( )

0

senlímu

k uk

u→= ; k∈

1. 39lím

2

3 −−

→ xx

x

2. 4

2lím 22 −

−→ x

xx

3. 28lím

3

2 −−

→ xx

x

4. 2

24

9 20lim3 4x

x xx x→

− +− −

5. 2

22

3 10lim5 14x

x xx x→

− −+ −

6. 3 2

3 21

5 3lim2 7 4x

x x xx x x→

+ − ++ − +

7. 3 2

3 22

2 10lim2 2 4x

x x xx x x→−

+ − ++ − −

8. 42lím

4 −−

→ xx

x

9. 2

1 1lim2x

xx→

− −−

10. 82lím

3

8 −−

→ xx

x

11. 2

1lím 2

3

1 −+−

→ xxx

x

12. ( )

11lím

2

1 −++−

→ xaxax

x

13. ( ) ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+−→ 2

33 2

1 112

xxxlim

x

14. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−→ 31 12

13lím

xxx

15. 8

37lím3

8 −−+

→ xx

x

16. 22

3 2 2lím

4x

x xx+→

− −−


37

Ejemplo 2

Calcular 0

sen 3límsen 5x

xx→

SOLUCIÓN:

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: ( )( )( )( )

sen 3 0 0sen 5 0 0

= (Indeterminación)

Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación dividimos el numerador y el denominador entre x , y luego aplicamos el teorema principal de límites y la formula anterior:

3

0

0 0

0

5

sen3 sen3límsen3 3lím lím sen5 sen5sen5 5lím

→

→ →

→

= = =x

x x

x

x xx x x

x xxx x

Ejemplo 3

Calcular 20

1 coslímx

xx→

−

SOLUCIÓN:

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

1

2

1 cos0 00 0

−= (Indeterminación)

Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación hacemos lo siguiente:

( )

2sen

2

2 20 0

1 cos 1 cos 1 coslím lím1 cos 1 cos→ →

− + −⎡ ⎤• =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

x

x x

x x xx x x x

2 2

2 20 0 0

2

0

sen 1lím lím lím(1 cos ) 1 cos

sen 1 1lím2 2

→ → →

→

⎛ ⎞⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x x x

x

x sen xx x x x

xx

Ejemplo 4

Calcular ( )20

1 coslímx

kxx→

−

SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

( ) ( )2

1 cos 0 1 cos 0 1 1 00 0 0 0

− − −= = =

k(Indeterminación)

Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación hacemos lo siguiente:

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

2sen

2

2 20 0

1 cos 1 cos 1 coslím lím

1 cos 1 cos→ →

⎡ ⎤− + −• =⎢ ⎥

+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

kx

x x

kx kx kxx kx x kx

( )( )

( )( )

( )

2 2

2 20 0 0

2 2

0

sen 1lím lím lím(1 cos ) 1 cos

sen 1lím2 2

→ → →

→

⎛ ⎞⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

x x x

x

k

kx sen kxx kx x kx

kx kx


38

Se puede decir que ( ) 2

20

1 coslím

2u

k u ku→

−=

Ejemplo 5

Calcular 0

1 coslímx

xx→

−

SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 1 cos0 0

0 0−

= (Indeterminación)

Multiplicando por el conjugado y aplicando propiedades:

( )2

0 0

1 cos 1 cos 1 coslím lím1 cos 1 cos→ →

− + −⎡ ⎤• =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦x x

x x xx x x x

2

0 0 0

0

0

11

sen sen senlím lím lím(1 cos ) 1 cos

sen sen 0 0lím 01 cos0 2

→ → →

→

= =+ +

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

x x x

x

x x xx x x x

xx

Se puede decir que ( )0

1 coslím 0u

k uu→

−=

Ejemplo 6

Calcular sen senlímx a

x ax a→

−−

SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: sen sen 0

0−

=−

a aa a

(Indeterminación)

PRIMER MÉTODO: Cambiando variable axu −= . Entonces si x a→ , 0u → y además aux += Reemplazando y simplificando tenemos:

( ) ( )( )

( )

( )

sen

0 0

0

0

0 0

0

1

sen sen sen cos cos sen senlím lím

sen cos cos sen senlím

sen cos cos 1 senlím

cos 1 sensen coslím lím

sencos lím sen

u a

u u

u

u

u u

u

u a a u a u a au u

u a u a au

u a u au

u au au u

ua a líu

+

→ →

→

→

→ →

→

+ − + −=

+ −=

+ −=

−= +

⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

( )0

0

cos 1

cos (1) (0)cos

u

um

u

a senaa

→

⎡ − ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

= +=

SEGUNDO MÉTODO:


39

Empleando la identidad: sen sen 2cos sen2 2

x a x ax a + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2cos sen

sen sen 2 2lím límx a x a

x a x ax ax a x a→ →

+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

− −

Al denominador lo dividimos y multiplicamos por 2, y luego separamos los límites aplicando el teorema principal de límites (el límite del producto es el producto de los límites)

1

2cos sen 2cos sen2 2 2 2lím lím lím cos

222 2

→ → →

+ − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =

− −x a x a x a

x a x a x a x a

ax a x a

Ejemplo 7

Calcular ( )( )

3221

1 senlím

1x

x

x

π

→

+

−

SOLUCIÓN:

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: ( )( )

32

2

1 sen 1 1 00 01 1

π+ −= =

−(Indeterminación)

Haciendo cambio de variable: 1u x= − entonces 1x u= + y si 1x → entonces 0u →

Reemplazando y simplificando:

( )( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )

3322

2 21 0

3 32 220

3 3 3 32 2 2 2

20

3 32 2

20

32

20

1 sen 11 senlím lím

1

1 senlím

1 sen cos cos senlím

1 sen 0 cos 1lím

1 coslím

ππ

π π

π π π π

π π

π

→ →

→

→

→

→

+ ++=

−

+ +=

+ +=

+ + −=

−=

x u

u

u

u

u

uxux

uu

u uu

u uu

uu

El último límite se lo puede calcular directamente con la formula ( ) 2

20

1 coslím

2u

k u ku→

−=

( ) 2

32 23 29

2 420

1 cos9lím

2 2 8

π

π π π→

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠ = = =

k

u

u

u

El resultado se lo puede comprobar, realizando todo el procedimiento lógico. Multiplicando por el conjugado y simplificando:

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

23 3 32 2 2

2 23 30 02 2

2 32

2 302

232

30 02

1 cos 1 cos 1 coslím lím

1 cos 1 cos

senlím

1 cos

sen 1lím lím1 cos

π π π

π π

π

π

π

π

→ →

→

→ →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ =⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=⎡ ⎤+⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

u u

u

u u

u u uu u u u

uu u

uu u


40

Multiplicando y dividiendo por 32π y obteniendo límite:

( )( )

( ) ( )

( )

23 32 2

3 30 02 2

232 23

2 30 02

32

1

2

2

sen 1lím lím1 cos

sen 1lím lím

1 cos

3 12 2

98

π π

π π

ππ

π

π

π

π

→ →

→ →

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

u u

u u

uu u

uu

u

Ejemplo 8

Calcular 0

lím1 cosx

xx−→ −

SOLUCIÓN:

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 0 0

01 cos 0

− −

=−

(Indeterminación)

Multiplicando por el conjugado del radical, simplificando y luego calculando:

20 0

20

20

0

0

1

1

1 cos 1 coslím lím1 cos 1 cos 1 cos

1 coslímsen

1 coslímsen

1 coslímsen

1 coslím sen

1 cos0

sen

2

x x

x

x

x

x

x x x xx x x

x xxx

xx

xx

xx

xx

xx

− −

−

−

−

−

→ →

→

→

→

→

+ +=

− + −

+=

+=

+=

+=

−

+=

−

= −


41

Ejercicios propuestos 1.6 Calcular:

1. 0

sen 2 tan3límx

x xx+→

+

2. x

xxx cos22

senlím0 −+→

3. ( )22

3sen1lím2 π→ −

+π x

xx

4. ( ) 21

lím 1 tanx

x xπ

→−

5. ( )

2

tanlím

2x

xxπ

→− +

6. 1

cos2lím

1x

x

x

π

→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠−

7. 3

sen3lím

1 2cosx

x

xπ

π

→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠−

8. ( )0

cot2lím

tan 2x

x

x

π

→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

9. 0

arcsenlímx

xx→

10. 0

arctan 2límsen3x

xx→

Otro tipo de límite interesante, cuyo resultado nos va ha resultar útil en el

cálculo de otros límites, es el de ( ) xxxf1

1)( += cuando x tiende a “ 0 ”.

Hagamos una tabla de valores:

( )

5937.210.065329.205.07048.201.0

7319.201.07895.205.0

86797.210.01

1

−−−

+= xxyx

Se observa que: ( )

1

0lím 1 xx

x e→

+ = ¡HAY QUE DEMOSTRARLO!

( ) xxy1

1+=e

Fig. 1.11


42

Más generalmente tenemos que ( )1

0lím 1 uu

u e→

+ = donde )(xuu = .

Ejemplo 1

Calcular ( )1

0lím 1 sen xx

x→

+ SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos ( ) ∞=+ 10sen1 0

1(Indeterminación)

Para calcular el valor de esta indeterminación utilizamos ( )

1

0lím 1 uu

u e→

+ = .

Si consideramos xu sen= , notamos que necesitamos en el exponente el recíproco de esta expresión, por tanto al exponente lo multiplicamos y dividimos por sen x :

( ) ( )

1

sensen 1

1 1sen sen0 0

lím lím 1 sen1 senx

xxx x x

x xe

x e ex⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

→ →

⎛ ⎞⎜ ⎟= + = =⎜ ⎟⎝ ⎠

+

Ejemplo 2

Calcular ( )1

0lím cos xx

x→

SOLUCIÓN:

Note que la expresión dada es una indeterminación de la forma ∞1 .

Para utilizar ( )1

0lím 1 uu

u e→

+ = primero sumemos y restemos 1 a la base, es decir vamos a tener:

( )( ) xx

x1

01cos1lím −+

→

luego consideramos 1cos −= xu y multiplicamos y dividimos al exponente por esta expresión:

( )( ) 0

0

cos 1lím

0

cos 1

cos 1

lím 1 cos 1 x

xx

xe

xx

xx

x e →

−

→

−

−⎡ ⎤⎢ ⎥+ − =⎢ ⎥⎣ ⎦

Por tanto:

( )1 0

0lím 1cos xx

ex→

= = .

Ejemplo 3

Calcular

2

21

1

2lím1

x xx x

x x

+ +

−

→

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

SOLUCIÓN:

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: ( )2

21 1 1 3

01 12 2 11 1 2

+ +

− ∞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠(Indeterminación)

Sumamos y restamos 1 a la base:


43

( )

22

22

2

2

2

2

11

1 1

1

1

1

1

2 2lím lím 1 11 1

2 1lím 1

1

1lím 11

x xx xx xx x

x x

x xx x

x

x xx x

x

x x

xx

xx

+ ++ +−−

→ →

+ +

−

→

+ +

−

→

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ − + ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞−⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠

Multiplicamos y dividimos el exponente por 1

1x

x−⎛ ⎞

⎜ ⎟+⎝ ⎠:

( )( )

2

2

2

21

2

1

2

1

1 11 1

11 11 lím

1

1

1 1lím1 1

1 1lím1

1lím 11

xu

x

x

x x xx x x

xx x xx

x x x

x

u

x x xx x x

x xx x

xx

e

e

e

→

→

→

⎛ ⎞− + +⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ −⎝ ⎠−

⎛ ⎞− + +⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ −⎝ ⎠

→

⎛ ⎞− −⎛ ⎞ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞− + +⎛ ⎞⎜⎜ ⎟⎜+⎝ ⎠⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟−⎛ ⎞⎢ ⎥+ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥+⎝ ⎠⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

=

=21 1 1 1 3

1 1 1 2e e

⎟⎟

⎛ ⎞− + +⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠= =

Ejemplo 4

Calcular tan

23lím 4xk

x k

xk

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos:

( )tan tan

2 2 tan2

3 3lím 4 4 4 3 1x kk k

x k

x kk k

π ππ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∞⎜ ⎟

⎝ ⎠→

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(Indeterminación)

Cambiemos el 4 por 1+3 y multipliquemos y dividimos el exponente por el término que necesitamos:

tan tan2 2

33 tan21

33

33 tan 2lím

3 3lím 4 lím 1 3

3lím 1 3

x xk k

x k x k

x xk k

xk

x k

e

x xk k

x k

x xk k

xk

e

π π

π

π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

→ →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−

→

−→

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎢ ⎥⎛ ⎞⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=

Dediquémonos al exponente. Hagamos el cambio de variable u x k= − de donde x u k= + y si x k→ entonces 0u → .


44

( ) ( )

( )

0

0

0

0

0

33lím 3 tan lím 3 tan2 2

3 3lím 3 tan2

3 3 3lím tan2 2

sen3 2 2lím

cos2 2

3 lím

x k u

u

u

u

u

u k u kx xk k k k

u k u kk k

k u k uk k

uu k

k uk

uk

ππ

π π

π π

π π

π π

→ →

→

→

→

→

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+⎜ ⎟−⎛ ⎞ ⎝ ⎠= ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ +⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

( )

( )

0 1

0 1

0

1

0

0

1

sen cos cos sen2 2 2 2

cos cos sen sen2 2 2 2

cos3 2lím

sen2

cos23 3 1lím

sen 222

2

u

u

u uk k

u uk k

uku

k uk

uk

uk ku kku

k uk

π π π π

π π π π

π

π

π

πππ

π

→

→

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= −⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠= = ⎜

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3 6lím 3 tan2x k

x xk k

ππ→

⎞⎟⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Finalmente: tan 623lím 4

xk

x k

x ek

π

π

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

→

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejemplo 5

Calcular 0

1límkx

x

ax→

−

SOLUCIÓN:

Sustituyendo tenemos 00

01)0(=

−ka .

Considerando 1−= kxau , entonces ( )1lnln1 += ux ak y si 0→x también 0→u

Haciendo cambio de variable, tenemos:

( ) ( ) ( )10 0 0

ln

lím lím ln ln límln 1 ln 1 ln 1u u u

k a

u u uk a k au u u→ → →

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

Multiplicando, numerador y denominador por u1 , resulta:

( )( ) ( )

1

1

10 0

1 1 1ln lím ln lím ln ln lnln 1 ln 1ln 1 u

u

u uu

e

uk a k a k a k a k a

u eu→ →

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎜ ⎟= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎡ ⎤+⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟⎝ ⎠


45

El resultado 0

1lím lnk u

u

a k au→

−= puede ser utilizado para calcular otros límites.

Ejemplo 4

Calcular 2

0

3 1límx

x x→

−

SOLUCIÓN: Empleando el resultado anterior:

2

0

3 1lím 2ln 3x

x x→

−=

Ejemplo 5

Calcular 2 4

0

3 5límx x

x x→

−

SOLUCIÓN: Primero restamos y sumamos 1 al numerador y luego separamos para calcular los límites:

( )

2 4 2 4

0 0

2 4

0

2 4

0 0

2 4

0

3 5 3 1 5 1lím lím

3 1 5 1lím

3 1 5 1lím lím

3 5lím 2ln 3 4ln 5

x x x x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x

x x

x

x x

x

→ →

→

→ →

→

− − − +=

− − −=

− −= −

−= −


1. ( )csc

0lím 1 tan x

xx

→+

2. ( )csc

2

lím 1 cos x

xx

π→

+

3. ( ) 21

0lím cos xx

x→

4. ( )tan

2

lím sen x

xx

π→

5.

2

22

2 3

3

4lím1

x xx x

x x

+ +

− −

→

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

6.

2

22 6

2

2

3lím1

x xx x

x x

+ +

− −

→

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

7. ( )tan2

1lím 4 3 x

xx

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

→−

8. x

e x

x

1lím3

0

−→

9. xee bxax

x 3senlím

0

−→

10. 2 3

0lím

tan

x x

x

e ex→

−

11. x

bxax

x

22lím0

−→

12. 0

2lím ; 0x h x h x

h

a a a ah

+ −

→

+ −>

13. ( )1

0lím x x

xx e

→+

14. ( )( )( )( )0

ln coslím

ln cosx

axbx→

Para otros tipos de límites habrá que extremarse con el uso de los recursos

algebraicos.


46

Ejemplo 1

Demuestre que 0

1 1lím

n

x

k x kx n→

+ −=

SOLUCIÓN: Por producto notable se puede decir que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 1 3 2 1

1 2

términos

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

n n n nn n n nn n n n

n nn n n

n

kx kx kx kx kx

kx kx kx

− − − −

− −

⎡ ⎤⎡ + − ⎤ = + − + + + + + + +⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= + − + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

Entonces, multiplicando por el factor racionalizante, simplificando y calculando el límite:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

1 2

1 20 0

1 20

1 20

1 20

1 1 11 11 1lím lím

1 1 1

1 1lím

1 1 1

lím1 1 1

lím1 1 1

1 0

n nn n

nn

n nx x n n

n nx n n

n nx n n

n nx n n

nn

kx kxk xk xx x kx kx

k x

x kx kx

k x

x kx kx

k

kx kx

k

k

− −

− −→ →

− −→

− −→

− −→

−

⎡ ⎤+ + + + ++ − ⎢ ⎥+ − ⎣ ⎦= •⎡ ⎤+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦+ −

=⎡ ⎤+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

=⎡ ⎤+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

=+ + + + +

=+ ( )( )1 2

0

1 0 1

1 1 1

1 1lím

nn

n veces

n

x

k

k

k x kx n

−

→

+ + + +

=+ + +

+ −=

El resultado anterior puesto de forma general 0

1 1lím

n

u

k u ku n→

⎡ ⎤+ −=⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ puede

ser utilizado para calcular rápidamente otros límites. Ejemplo 2

Calcular 3

0

27 3límx

xx→

− −

SOLUCIÓN: Aunque este límite se lo puede calcular empleando el factor racionalizante para diferencia de cubos (no deje de hacerlo), vamos a emplear el resultado que obtuvimos en el ejercicio anterior.

( ) 33 33

0 0 0

33

0 0

3

0

27 273 27 1 327 3 27 27lím lím lím

11 11 1273 1 327 27lím 3lím 3

327 3 1lím

27

→ → →

→ →

→

−− − −− −

= =

⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠+ − −⎜ ⎟ −⎝ ⎠= = =

− −= −

n

x x x

k

x x

x

x xx

x x x

xx

x xx

x


47

Ejemplo 3

Calcular 5

30

2 2lím30x

xx→

+ −−

SOLUCIÓN: Primero es necesario un cambio de variable, de modo que la nueva variable tienda a tomar el valor de cero, para poder utilizar la formula. Hagamos 30u x= − de donde 30x u= + y 0u → . Reemplazando, simplificando y calculando el límite:

( )

5 5 5

30 0 0

35 5

0 0

55

0 0

5

0

5

30

2 2 30 2 2 32 2lím lím lím30 30 30

32 32 322 32 232 32 32lím lím

11 2 1 12 1 2 3232lím lím

1 11 132 322 lím 2

5

2 2 1lím30 80

x u u

u u

u u

u

x

x u ux u u

u u

u u

uu

u u

u

u

xx

→ → →

→ →

→ →

→

→

+ − + + − + −= =

− + −

+− + −

= =

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟+ − ⎜ ⎟

⎝ ⎠= =

⎛ ⎞+ − ⎜ ⎟= = ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+ −=

−

Ejemplo 4

Calcular 4

30

1 2 1 3lim1 1x

x xx→

⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

SOLUCIÓN: Restamos y sumamos 1 al numerador, dividimos para x y luego separaramos los límites:

( )

4 4

3 30 0

4

30

4

30

4

0 0

3

0

4

30

1 2 1 3 1 2 1 1 3 1lim lim1 1 1 1

1 2 1 1 3 1lim

1 11 2 1 1 3 1

lim1 1

1 2 1 1 3 1lim lim

1 1lim

2 31 2 1 3 4 2lim 611 1

3

x x

x

x

x x

x

x

x x x xx x

x x

xx x

x xx

xx x

x xx

x

x xx

→ →

→

→

→ →

→

→

+ − − + − − − +=

− − − −

+ − − − −=

− −

+ − − −−

=− −

+ − − −−

=− −

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎛ ⎞+ − − ⎝ ⎠= = −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ −


48

Ejemplo 5

Calcular 4

31

14 2 2 4 3lim2 1x

x xx→

⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

SOLUCIÓN: Aquí 1u x= − de donde 1x u= + y 0u → .

Reemplazando, simplificando y calcular el límite:

( ) ( )( )

( )

4 4

31 0 3

4

30

4

30

4

30

4

30

4

30

14 2 1 2 4 3 114 2 2 4 3lim lim2 1 2 1 1

14 2 2 2 4 3 3lim2 1 1

16 2 2 1 3lim1 1

16 16 22 1 3

16lim1 1

2 1 2 1 38lim1 1

2 1 1 38

lim1 1

2l

x u

u

u

u

u

u

u ux xx u

u uu

u uu

uu

uu u

u

u u

u

→ →

→

→

→

→

→

+ + − − ++ − −=

− − − + −

+ + − − −=

− − −

+ − −=

− −

+− −

=− −

+ − −=

− −⎛ ⎞

+ − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

− −

=4

30

1 1 38im1 1u

u u

u→

+ − −

− −

4

30

4

30

4

0 0

3

0

4

31

1 1 1 3 182lim

1 1

1 1 1 3 18

2lim1 1

1 1 1 3 18lim lim2

1 1lim

13 1 38

14 2 2 4 3 49 1474 2 32 2lim 2 2 61 1 32 162 13 3

u

u

u u

u

x

u u

uu

uu u

uu

uu

u uu

u

x xx

→

→

→ →

→

→

+ − − − +=

− −

+ − ⎛ ⎞− −− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

− −

+ − ⎛ ⎞− −− ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠=− −

−⎛ ⎞− +⎜ ⎟+ − − ⎛ ⎞⎝ ⎠= = = − = −⎜ ⎟−− − ⎝ ⎠−


1. 33

22lím3

6 −+−−+

→ xxx

x

2. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−++−+

→ 388026 43

1 xxxlím

x

3. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−++−+

→ 29202

4

3

7 xxxlím

x

4. 3

22

3 2 3 2lím4x

x xx+→

− − +−


49

1.5 LÍMITES AL INFINITO. En ciertas ocasiones puede ser necesario estudiar el comportamiento de una

función cuando la x toma valores muy grandes, diremos cuando x tiende al infinito.

Suponga que f se aproxima a tomar un valor L cuando la variable x toma valores muy grandes, este comportamiento lo escribiremos de la siguiente manera lím ( )

xf x L

→∞=

Ejemplo 1

Formalmente sería:

Decir que lím ( )x

f x L→∞

= significa que f

puede estar tan cerca de L, tanto como se pretenda estarlo ( 0ε∀ > ), para lo cual deberá poderse determinar el intervalo en el cual tomar a x, N∃ (una número muy grande), que lo garantice. Es decir: ( )lím ( ) 0, 0 ( )

xf x L N tal que x N f x Lε ε

→∞= ≡ ∀ > ∃ > > ⇒ − <

Fig. 1.12


50

Ejemplo 2

Suponga ahora que f se aproxima a tomar un valor L cuando la x toma valores muy grandes, pero NEGATIVOS, este comportamiento lo escribiremos de la siguiente manera lím ( )

xf x L

→−∞= .

Ejemplo 1

Formalmente sería:

Decir que lím ( )x

f x L→−∞

= significa que f

puede estar tan cerca de L , tanto como se pretenda estarlo, 0>∀ε , para lo cual deberá poderse determinar el intervalo en el cual tomar a x , N∃ (una número muy grande), que lo garantice. Es decir: ( )lím ( ) 0, 0 ( )

xf x L N tal que x N f x Lε ε

→−∞= ≡ ∀ > ∃ > < − ⇒ − <

Fig. 1.13

Fig. 1.14


51

Ejemplo 2

Observe que para los casos anteriores significa que la gráfica de f tiene una asíntota horizontal y L= .

Aquí también podemos hacer demostraciones formales.

Ejemplo

Demostrar formalmente que 01lím =∞→ xx

SOLUCIÓN: Empleando la definición tenemos:

εε <−⇒>>∃>∀≡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

∞→010,001

xNxquetalN

xlímx

Transformando el antecedente:

1 1x N

x N

>

<

Se observa que tomando ε1

=N aseguraríamos el acercamiento. Siempre y cuando ε sea un número

pequeño que origine un N muy grande.

Por ejemplo si se quisiera que x

y 1= esté a menos de 01.0=ε de 0, bastaría con tomar a 1

0.01x >

es decir 100>x .

Para calcular límites al infinito, usualmente un recurso útil es dividir para x de mayor exponente si se trata de funciones racionales.

Fig. 1.15


52

Ejemplo 1

Calcular 2

2

2 3 1lím5 1x

x xx x→∞

+ −+ −

SOLUCIÓN:

Aquí se presenta la indeterminación: ∞∞

Dividiendo numerador y denominador para 2x , tenemos:

2

2 2 2 2

2

22 2 2

2 3 1 3 12 2lím lím1 1 55 1 5

x x

x xxx x x x

x xx xx x x

→∞ →∞

+ − + −= =

+ −+ − (No olvide que 0 ;k k≈ ∈

∞)

Este resultado indica que la gráfica de ( )2

22 3 15 1x xf xx x+ −

=+ −

tiene una asíntota horizontal 25

y =

Ejemplo 2

Calcular 2

1lím1x

x

x x→+∞

−

+ +

SOLUCIÓN:

Aquí se presenta la indeterminación: ∞∞

Dividiendo numerador y denominador para x :2

1

lím1x

xx

x xx

→+∞

−

+ +

Al introducir la x dentro del radical quedará como 2x :

2

22 2 2

1 11lím lím 1

1 11 1x x

xx x x

x xx xx x x

→+∞ →+∞

− −= =

+ ++ +


11

xf xx x

−=

+ + tiene una asíntota horizontal 1y = en el

infinito positivo.

Ejemplo 3

Calcular 2

1lím1x

x

x x→−∞

−

+ +

SOLUCIÓN:

Ahora se presenta la indeterminación: −∞∞

Aquí hay que dividir numerador y denominador para x− :2

1

lím1x

xx

x xx

→∞

−−+ +−


53

Al introducir la x− dentro del radical quedará como 2x :

2

22 2 2

1 11lím lím 1

1 11 1x x

xx x x

x xx xx x x

→−∞ →−∞

− − +− − = = −

+ ++ +


11

xf xx x

−=

+ + tiene una asíntota horizontal 1y = − en el

infinito negativo.

Ejemplo 4

Calcular ( )2 2lim 1 1x

x x x x→+∞

+ + − − −

SOLUCIÓN: Ahora se presenta la indeterminación: ∞−∞ . Vamos primero a racionalizarla y luego dividimos para el x con mayor exponente:

( )( ) ( ) ( )

2 22 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

1 1lim 1 11 1

1 1 2 1lim lim

1 1 1 111 12 lim 2 1

21 1 1 11 1

x

x x

x

x x x xx x x xx x x x

x x x x x

x x x x x x x x

x

x x x x

→+∞

→+∞ →+∞

→+∞

+ + + − −+ + − − − ⋅

+ + + − −

+ + − − − += =

+ + + − − + + + − −

+ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠+ + + − −

En otros ejercicios de cálculo de límite al infinito se puede requerir emplear la identidad: ( )11 u

uulím e→∞

+ = ¡DEMUÉSTRELA!

Ejemplo

Calcular ( )2lím 1 x

xx→∞+ .

Solución: Para utilizar la forma anterior, transformamos el límite:

( ) 2

2

221lím 1

x

xx

e→∞

⎡ ⎤+ =⎢ ⎥⎣ ⎦

Se puede concluir que: ( )lím 1 u kkuu

e→∞

+ =


54

Ejercicios propuestos 1.9

1. Demostrar formalmente que 01lím =−∞→ xx

2. Calcular:

1. 3 2

3

5 3 4 3lím3 1x

x x xx x→∞

− + −+ +

2. 2

3lím2 5 1x

xx x→−∞ − +

3. ( ) ( )

52332lím

5

23

+

−+∞→ x

xxx

4. ( )

332límxx

xx +

+∞→

5. límx

x

x x x→∞

+ +

6. 3 2 1lím

1x

xx→∞

++

7. ( )( )( )

3

2 3 3 5 4 6lím

3 1x

x x xx x→∞

− + −+ −

8. ( )1!senlím 2 +∞→ x

xxx

9. 2

3 3lím1x

x

x→∞

−

+

10. 5lím

2x

xx→−∞ −

11. 3 2

3

3 2 1lím8x

x x xx→∞

+ − +−

12. 2 1lím

x

xx→−∞

+

13. 22 1

3x

xlímx→−∞

−

14. 2

5

2x

xlímx→−∞

−

+

15. 2

3 1lím1x

x

x→−∞

+

−

16. 3

6

5 1lím2x

x

x→−∞

−

+

17. 2límx

x x x→∞

+ −

18. ( )xxxx

−−+∞→

1lím 2

19. ( )2 2lím 1x

x x x x→∞

+ + − −

20. ( )2 4 2lím 2x

x x x→+∞

− − +

21. ( )lím 3 2x

x x x→+∞

+ − +

22. x

x xx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

∞→ 11lím

23. 21lím

3

x

x

xx

+

→∞

−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

24. 2lím ln5x

xxx→∞

⎡ ⎤+⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦

1.6 LÍMITES INFINITOS Suponga que cuando x toma valores próximos a un punto 0x , tanto por

izquierda como por derecha, f toma valores muy grandes positivo; es decir ∞=

→)(lím

0

xfxx

. Diremos, en este caso, que f crece sin límite o que f no

tiene límite en 0x .


55

Sea M un número muy grande positivo. Entonces

0

lím ( )x x

f x→

= ∞ significa que cuando

a x está próxima a " 0x “, a una distancia no mayor de ∂ ( 00 x x< − < ∂ ), f será mayor que M. Es decir:

MxfxxquetalMxf

xx>⇒∂<−<>∃∂>∀≡⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞=

→)(00,0)(lím 0

0

Ejemplo

Puede ocurrir también que cuando la x toma valores próximos a un punto

0x , tanto por izquierda como por derecha, f toma valores muy grandes negativos; es decir −∞=

→)(lím

0

xfxx

. Diremos, en este caso, que f decrece sin

límite o que f no tiene límite en 0x . Es decir:

Sea M una cantidad muy grande positiva. Entonces:

MxfxxquetalMxfxx

−<⇒∂<−<>∃∂>∀≡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∞=

→)(00,0)(lím 0

0

Fig. 1.16


56

Ejemplo

Para otro caso, puede ocurrir que cuando la x toma valores próximos a un

punto 0x , sólo por su derecha, f toma valores muy grandes; es decir ∞=

+→)(lím

0

xfxx

. Lo cual significa:

Sea M un número muy grande positivo. Entonces:

0

lím ( )x x

f x+→

= ∞ 00, 0 0 ( )M tal que x x f x M≡ ∀ > ∃∂ > < − < ∂ ⇒ >

Ejemplo

Observe que este comportamiento significa que la gráfica tiene una asíntota vertical 0xx = .

Fig. 1.17

Fig. 1.18


57

Ejemplo 1

Calcular ( )21

1lim1x x→ −

SOLUCIÓN: Empleando el teorema de sustitución:

( ) ( )2 21

1 1 1lim01 1 1x x→

= = = +∞− −

(No existe)

La gráfica de ( )( )2

11

f xx

=−

tiene una asíntota vertical 1x = y tanto por izquierda como por derecha la grafica

crece sin límite.

Ejemplo 2

Calcular 2

3lim2x

xx+→

+−

SOLUCIÓN: Empleando el teorema de sustitución:

2

3 2 3 5lim2 2 2 0x

xx+

+ +

+ +→

+ += = = +∞

− − (No existe)

La gráfica de ( ) 32

xf xx+

=−

tiene una asíntota vertical 2x = y por su derecha la grafica crece sin límite.

PREGUNTA: ¿Qué ocurre a la izquierda?.

Se pueden describir otros comportamientos.

1.7 OTROS LÍMITES.

Para decir ∞=∞→

)(lím xfx

, f toma valores muy grandes positivos cada vez

que la x toma valores también grandes positivos; debemos asegurar que:

MxfNxquetalNM >⇒>>∃>∀ )(0,0

Ejemplo

Fig. 1.19


58

1.7.1 Asíntotas Oblicuas.

Si se observa que ( )lím ( ) 0→∞

− + =⎡ ⎤⎣ ⎦xf x mx b se dice que la gráfica de f tiene

por asíntota oblicua la recta = +y mx b .

En tal caso los siguientes límites existen:

( )lim→∞

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦x

f xm

x y ( )lim

→∞= −⎡ ⎤⎣ ⎦x

b f x mx ¿PORQUÉ?

Y sería la manera de calcular los elementos de la recta.

Ejercicios Propuestos 1.10 1. Defina formalmente y describa gráficamente:

a) −∞=+→

)(lím0

xfxx

b) ∞=−→

)(lím0

xfxx

c) −∞=−→

)(lím0

xfxx

d) −∞=∞→

)(lím xfx

e) ∞=−∞→

)(lím xfx

f) −∞=−∞→

)(lím xfx

2. Demuestre formalmente que:

a) +∞=+→ xx

1lím0

b) −∞=−→ xx

1lím0

( )=y f x

x

y

=+

ymx

b

Fig. 1.20


59

3. Calcular:

1. 1

1lim 11x x+→

⎡ ⎤+⎢ ⎥−⎣ ⎦

2. 1

lim1x

xx−→

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

3. 23

3lim9x

xx−→

+−

4. 2

27

1lim49x

xx−→−

+

−

5. 2

4

16lim4x

xx+→

−−

6. 6

5lim1x

xx→−∞ +

7. 2 3

2

6 4lim4 5 7x

x xx x→∞

− ++ −

8. lim 2x

x→∞

9. lim 1 2x

x→−∞

−

10. 51lim

x

xx→∞

+

4. Bosqueje la gráfica de una función que cumpla con lo siguiente:

• ( ) [ ] ( )+∞∪−∪−−∞= ,21,12,fDom

• 110)( −=∨=⇔= xxxf

• [ ]0, 0, 0 2 ( )∀ > ∃∂ > ∀ < − − < ∂ ⇒ >N x x f x N

• [ ]0, 0, 0 2 ( )∀ > ∃∂ > ∀ < − < ∂ ⇒ >N x x f x N

• 0, 0, ( ) 1ε ε⎡ ⎤∀ > ∃ > ∀ > ⇒ − <⎣ ⎦M x x M f x

• 0, 0 , ( ) 1ε ε⎡ ⎤∀ > ∃ > ∀ < − ⇒ − <⎣ ⎦M x x M f x

• 1)0( =f 5. Bosqueje el gráfico de una función que satisfaga las condiciones siguientes:

• [ ]εε <−⇒∂<<∀>∃∂>∀ 1)(0,00 xfxx

• 0 0, 0 ( ) 1ε ε⎡ ⎤∀ > ∃∂ > ∀ < − < ∂ ⇒ + <⎣ ⎦x x f x

• [ ]εε <⇒>∀>∃>∀ )(,00 xfNxxN

• [ ]MxfxxM >⇒∂<+<∀>∃∂>∀ )(10,00

• 0)0( =f

6. Bosqueje el gráfico de una función que satisfaga las condiciones siguientes: • 0 0, 0 ( ) 2ε ε⎡ ⎤∀ > ∃∂ > ∀ < < ∂ ⇒ − <⎣ ⎦x x f x

• [ ]0 0, 0 1 ( )∀ > ∃∂ > ∀ < + < ∂ ⇒ >N x x f x N

• [ ]0 0, 0 1 ( )∀ > ∃∂ > ∀ < − − < ∂ ⇒ < −N x x f x N

• ( )0 0, ( ) 2 1ε ε⎡ ⎤∀ > ∃ > ∀ > ⇒ − + <⎣ ⎦M x x M f x x

• 0 0, ( )ε ε⎡ ⎤∀ > ∃ > ∀ < − ⇒ <⎣ ⎦M x x M f x

7. Bosqueje el gráfico de una función que satisfaga las condiciones siguientes: • 0 0, 0 1 ( ) 3ε ε⎡ ⎤∀ > ∃∂ > ∀ < − < ∂ ⇒ − <⎣ ⎦x x f x

• [ ]0 0, 0 2 ( )∀ > ∃∂ > ∀ < − < ∂ ⇒ < −N x x f x N

• [ ]0 0, 0 2 ( )∀ > ∃∂ > ∀ < − < ∂ ⇒ >N x x f x N

• 0 0, ( ) 1ε ε⎡ ⎤∀ > ∃ > ∀ < − ⇒ + − <⎣ ⎦M x x M f x x

• 0 0, ( ) 1ε ε⎡ ⎤∀ > ∃ > ∀ > ⇒ + <⎣ ⎦M x x M f x


60

Misceláneos 1. Califique cada una de las proposiciones siguientes como verdadera o falsa. Justifique formalmente.

1. Si 32

5)(lím

2=

−−

+→ xxf

x, entonces 0)(lím

2=

+→xf

x

2. Si f y g son funciones tales que 1)(lím0

=+→

xfx

y ∞=+→

)(lím0

xgx

, entonces

1)(lím )(

0=

+→

xg

xxf

3. Sea f una función de variable real tal que )(lím xfax +→

existe y 1)(

lím =−

+→ xfax

ax. Entonces

0)(lím =+→

xfax

.

4. Sean f y g funciones tales que ∞=+→

)(lím xfax

y ∞=+→

)(lím xgax

. Entonces el

)()(lím

xgxf

ax +→ no existe.

5. Sean f y g funciones tales que exgax

=+→

)(lím y ( ))(ln)( xgxf = . Entonces

( ) 1)(lím =+→

xgfax

6. Si 1)(lím0

=+→ x

xf

x

entonces 0)(lím0

=+→

xfx

7. Si [ ])()(lím xgxfax

+→

existe, entonces existen )(lím xfax→

y ( )xgax→

lím

8. Si ( )xgxf ≠)( para toda x , entonces ( )xgxfaxax →→

≠ lím)(lím

9. Si ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡→ )(

)(lím

xgxf

ax existe y 0)(lím =

→xf

ax entonces 0)(lím =

→xg

ax

10. Si f y g son funciones definidas en IR entonces:

( )( ))(lím))((lím xgfxgfIRaaxax →→

=∈∀

11. Si ax

aaxxax −

−−−+→

22

lím existe entonces 0=a .

12. Si [ ])()(lím xgxfax→

existe y )(lím xfax→

existe entonces )(lím xgax→

existe.

13. Si +∞=→

)(lím xfax

entonces −∞=−→

)(lím xfax

14. ( )( ) ( )1

lím 3 1 2 0, 0, 0 1 3 1 2x

x x x xε ε→

⎡ ⎤− = ⇔ ∀ > ∃∂ > ∀ < − < ∂ ⇒ − − <⎣ ⎦

15. Si 0)(lím0

=+→

xfx

y ∞=+→

)(lím0

xgx

entonces 0)()(lím0

=+→

xgxfx

.

16. Existen dos funciones de variable real f y g tales que 0)(lím)(lím00

==+→+→

xgxfxx

y

exgxf

x=

+→ )()(lím

0

17. Si lím ( ) 0x

f x→∞

= y ( )lím 2( )x

f xg x→∞

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠ entonces lím ( ) 0

xg x

→∞=

18. No existen dos funciones f y g tales que 0

lím ( ) 0x

f x→

= , 0

lím ( ) 0x

g x→

= y 0

( )lím 5( )x

f xg x→

=

19. Si 3)(lím =→

xfax

, 2)(lím −=→

xgax

, entonces 1)()(

1)()(lím

3 −+

−+→ xgxf

xgxfax

=1


61

2. Empleando la definición de límite, demuestre que:

1. 22

4lím4

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+→

xx

2. 2

1

2 1lím 31x

x xx+→

− −=

−

3. 424lím

2

2−=

+−

+−→ xx

x

4. 03lím

3=−

+→x

x

5. 21lím5

=−+→

xx

3. Determine

1. 2

3lím 2x

x x+→

+

2. x

xe x

x 4sen2coslím

3

0

−+→

3. 20

3coscoslímx

xxx

−+→

4. x

x xx 3

5232lím ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−+

+∞→

5. 1

lím2

1 −−

+→ xexex

x

6. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

− π+π→ 2

2

coslímx

x

x

7. tan

4

2

3lím 42

x

x

xπ

+→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

8. 3

2arctanlím1

xx

x

e

π→∞

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎣ ⎦

9. ( )2tan 2

4

lím sen 2 x

x

xπ +

→

10. x

xe x

x 5sen3coslím

2

0

−→

11. ( ) ( )lím ln 2 1 ln 2x

x x→+∞

⎡ + − + ⎤⎣ ⎦

12. 2

lím arctan1x

xx→−∞

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟

+⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

13. ( )

xelím

x

x

++∞→

1ln

14. 1

11lím

2

2

1 −

−−−+→ x

xxx

15. ( )sec

2

lím 1 cot x

x

xπ +

→

+

16. 0

lím ( )xf x→

donde

2

1 cos3 ; 0

( ) 5 ; 0sen10 tan ; 0

sen 2

x xx

f x xx x x

x

−⎧ <⎪⎪

= =⎨⎪ −⎪ >⎩

20. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→x

xx

xsen1senlím

21. ( )2

1

arctan arctan1lím

1x

xx+→

−

−

22. 12

1lím21 −−

−→ xx

xx

23. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

→ 21

21

21

arcsenarcsenlím

xx

x

24. 0

senlímx

xx+→

25. ( )0

lím Sgn( ) 1 ( 1)x

x x xμ+→⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦

26. ( )x

xx

sensenlím0+→

27. ( )0

límx

x x→

+ −

28. ( ) ( )2lím tan x

xx

ππ

→−

29.

2

22 5

2

2

3lím1

x xx x

x x

+ +

− −

→

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

30. ( )32 3 3lím 1 1

xx x x

→+∞

⎡ ⎤+ − −⎢ ⎥⎣ ⎦

31. ( )

6

63

2

senlím

cosx

xxπ

π

→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

32. 2

2 20

1 coslímsenx

xx x→

−

33. ( )1

2lnlím 1 2 x

xx

→+∞+

34. 364

8lím4x

xx→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

35.

12

0

1 5lím1 3

x

x

xx→

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

36. ( )0

lím 1 cos cotx

x x→

−

37. 5

20

cos2 1límx

x

xe x xx

−

→

⎛ ⎞− − +⎜ ⎟⎝ ⎠

38. 3

0

cos2límsen5

x

x

e xx x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠

39. 0

lím1 1x

xx x→

⎛ ⎞⎜ ⎟− − +⎝ ⎠


62

17. 2 7

0lím

sen 2 tan9

x x

x

e ex x+→

−+

18. ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

−+→ 11

11lím

1 xxx

19. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+→ xxx

x 2cos13senlím

0

40. ( )3 3lím 1x

x x→∞

+ −

41. límx

x

x ax a→∞

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

4. Calcular )(lím0

xfx +→

si 1)(<

xxf

para 0≠x


• εε <−⇒∂<<>∃∂>∀ 3)(0:0,0 xfx

• NxfxN >⇒∂<+<>∃∂>∀ )(30:0,0

• 0, 0 : 0 3 ( )N x f x N∀ > ∃∂ > < − − < ∂ ⇒ < −

• εε <−⇒>>∃>∀ 1)(:0,0 xfMxM

• 0, 0 : ( )M x M f xε ε∀ > ∃ > < − ⇒ <


• ( ) ( ) ( )Dom , 1 1,1 1,f = −∞ − ∪ − ∪ +∞

• [ ]εε <⇒∂<<>∃∂>∀ )(00,0 xfx

• [ ]MxfxM −<⇒∂<−<>∃∂>∀ )(100,0

• [ ]MxfxM >⇒∂<−<>∃∂>∀ )(100,0

• [ ]MxfxM >⇒∂<+<>∃∂>∀ )(100,0

• [ ]εε <+⇒>>∃>∀ 1)(0,0 xfNxN

• [ ]εε <⇒−<>∃>∀ )(0,0 xfNxN

Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones

63

2

2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO 2.2 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON

FUNCIONES 2.3 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO 2.4 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO

OBJETIVOS:

• Definir formalmente continuidad de una función de una variable real en un punto y en un intervalo.

• Realizar demostraciones formales de continuidad. • Construir funciones continuas.


64

Hasta aquí nos hemos dedicado a estudiar el comportamiento de una función en la cercanía de un punto; ahora nos proponemos definir su comportamiento justamente en el punto.

2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO El término continuo aplicado a una función de variable real sugiere que su

gráfica no debe presentar saltos; es decir, que al trazar su gráfica no se requiera alzar la mano. Esto en términos formales sería:

2.1.1 DEFINICIÓN

Sea f una función de una variable real definida en un intervalo abierto ),( ba y sea ),(0 bax ∈ . Se dice que f es continua en " 0x " si

00lím ( ) ( )

x xf x f x

→= . Es decir, si

se cumplen tres cosas: 1. )( 0xf está definida 2. Lxf

xx=

→)(lím

0

(existe); y

3. )( 0xfL = Caso contrario, se dice que f es discontinua en " 0x "

Ejemplo Una función continua en un punto 0x

Como ejemplos de funciones discontinuas en un punto 0x , tenemos:

Fig. 2.1


65

Ejemplo 1 La función no es continua en 0x , debido a que

0

lím ( )x x

f x no existe→

Ejemplo 2 La función no es continua en 0x , debido a que

0

lím ( )x x

f x no existe→

Ejemplo 3 La función no es continua en 0x , debido a que )()(lím 0

0

xfxfxx

≠→

Fig. 2.2

Fig. 2.3

Fig. 2.4


66

Para el caso del ejemplo 1 y del ejemplo 2, se dice que hay una discontinuidad esencial.

Y para el caso del ejemplo 3 se dice que es una discontinuidad removible, porque sería cuestión de definir a f en el punto " 0x " con el valor de L para tener ya una función continua en ese punto. A propósito, observe que sólo en este caso el límite existe.

Ejemplo 4

1

65)(2

−−+

=x

xxxf no está definida en 1=x y su gráfica es la de 1;6)( ≠+= xxxf que

no es continua en 1=x . (tiene un hueco)

Definiéndola continua tenemos ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠−

−+=

1;7

1;1

65)(

2

x

xx

xxxf

Ejemplo 5

Determine el valor de " A ", de ser posible, para que ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠−−

=2;

2;24

)(

2

xA

xxx

xf

sea continua en 2x = . SOLUCIÓN: Para que f sea continua en 2x = será cuestión de definirla en este punto con el valor de )(lím

2xf

x→ si es

que existe; es decir, hacer que )(lím)2(2

xffAx→

== .

Calculando el límite tenemos:

( )( ) ( ) 42lím2

22lím24lím

22

2

2=+=

−+−

=−−

→→→x

xxx

xx

xxx.

Por tanto 4=A

Fig. 2.5


67

Ejemplo 6

Calcular el valor de “ A ", de ser posible, para que ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠−

=0;

0;1)(

2

xA

xx

exf

x

sea continua en 0x = . SOLUCIÓN: La función está definida para todo número real excepto 0=x . El asunto será definirla en este punto con el valor de )(lím

0xf

x→ si es que existe; es decir, )(lím)0(

0xffA

x→== .

Calculando el límite tenemos:

21lím2

0=

−→ x

e x

x. (Recuerde que

0

1lím lnkx

x

a k ax→

−= )

Por tanto 2=A

Ejercicios Propuestos 2.1 1. Grafique las funciones dadas y determine los puntos de discontinuidad.

1. 416)(

2

−−

=x

xxf

2. ( ) ( )22 ; 22 ; 2

x xf xx

⎧ + ≠ −⎪= ⎨= −⎪⎩

3.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>≤≤−

<=

1;10;

0;)(

2

xxxx

xxxf

4. 2

2 3 ; 1( ) 5

2 3 ; 1

x xf x

x x x

−⎧ ≤ −⎪= ⎨⎪ − + > −⎩

5. 21 2 ; 3

( )2 5 ; 3

x x xf x

x x⎧ + − ≤

= ⎨− >⎩

6. ( )1 ; 2

11 ; 2

xf x x

x x

⎧ ≥⎪= −⎨⎪ − <⎩

7. ( )

1 ; 01

1 ; 01

xxf x

xx

⎧ <⎪⎪ += ⎨⎪ ≥⎪ −⎩

8. ( ) ( 2) Sgn( 2)f x x xμ= − + +

9. 1( )2

= +f x x

10. ( ) = −f x x x

11. ( )( ) sen ; 2 ,2π π= ∈ −f x x x

2. Calcular el valor de " A ", de ser posible, para que f sea continua en todo R .

1. ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−

−=

3;

3;9

3)( 2

xA

xx

xxf

2. ( )2 2 ; 66

; 6

x xf x xA x

⎧ − −≠⎪= ⎨ −

⎪ =⎩

3. ( )2

3

2 3; 11

; 1

x x xf x x

A x

⎧ + −≠⎪= −⎨

⎪ =⎩

4. ( )33 2 ; 1

1; 1

x xf x xA x

⎧ + −⎪ ≠= ⎨ −⎪ =⎩

5.

sen ; 0( )

; 0

x xxf x

A x

⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩


68

2.2 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON FUNCIONES Si operamos funciones se obtienen nuevas funciones cuya continuidad se la

puede determinar haciendo uso del siguiente teorema.

2.2.1 TEOREMA

Sean f y g funciones de variable real continuas en el punto " 0x ", entonces también lo serán: k f , gf + , gf − , gf . ,

gf ( )0)( 0 ≠xg , nf , n f ( paresnsixf 0)( 0 > )

Demostración. Demostremos lo siguiente:

"Si f y g son funciones continuas en el punto " 0x " entonces gf + también es continua en " 0x "

Las hipótesis serían :1H 0

0lim ( ) ( )x x

f x f x→

= y

:2H 0

0lim ( ) ( )x x

g x g x→

=

Como [ ]0 0 0

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x x x x

f x g x f x g x→ → →

+ = + entonces

[ ]0

0 0lim ( ) ( ) ( ) ( )x x

f x g x f x g x→

+ = +

Es decir ( ) ( )

00: lim ( ) ( )

x xC f g x f g x

→+ = +⎡ ⎤⎣ ⎦

Lo cual indica que la función gf + también es continua en " 0x "

Las demostraciones del resto del teorema se la dejamos como ejercicio al lector. Se puede hacer analogía con el teorema principal de límites si surge la

interrogante de saber lo que ocurre con el recíproco del teorema, es decir, que si tenemos una función suma (u otra, resultado de las operaciones indicadas) continua, se podría decir que las funciones que la formaron son también continuas.

Para el caso de la función compuesta tenemos.


69

2.2.2 TEOREMA DEL LÍMITE DE LA COMPOSICIÓN.

Sean f y g funciones de variable real. Si g es continua en " 0x " y f continua en

)( 0xg entonces gf es continua en " 0x " Demostración. Tenemos las siguientes hipótesis:

1H : g es continua en 0x , es decir 0

0lim ( ) ( )x x

g x g x→

= , lo cual significa que

1 0ε∀ > , 1 0∃∂ > tal que, si 0 1x x− < ∂ entonces ( ) ( )0 1g x g x ε− <

2 :H f es continua en ( )0g x , es decir ( )

( )( )0

0lim ( )x g x

f x f g x→

= , lo cual significa que

2 0ε∀ > , 2 0∃∂ > tal que, si ( )0 2x g x− < ∂ entonces ( ) ( )( )0 2f x f g x ε− <

En la segunda hipótesis si hacemos ( )x g x= tenemos:

( ) ( )0 2g x g x− < ∂ ⇒ ( )( ) ( )( )0 2f g x f g x ε− <

En la primera hipótesis, el consecuente de la implicación se cumple si 1 2ε = ∂ .

Considerando las dos hipótesis juntas:

( ) ( )0 1 0 2x x g x g x⎡ ⎤− < ∂ ⇒ − < ∂⎣ ⎦ ∧ ( ) ( ) ( )( ) ( )( )0 2 0 2g x g x f g x f g x ε⎡ ⎤− < ∂ ⇒ − <⎣ ⎦

Se cumple que:

0 1x x− < ∂ ⇒ ( )( ) ( )( )0f g x f g x ε− <

O lo que es lo mismo ( )( ) ( )( )0

0limx x

f g x f g x→

= . Esto indica que f g es continua en " 0x "

En límites nos interesaba indicar si la función se aproximaba a un punto, en cambio en continuidad estamos interesados, además, en indicar si la función toma el valor correspondiente en ese punto. Esto puede ocurrir en ambas direcciones de acercamiento, como lo acabamos de definir, o en una sola dirección, como lo vamos a decir a continuación.


70

2.3 CONTINUIDAD LATERAL

2.3.1 CONTINUIDAD POR DERECHA

Sea f una función de variable real. f es continua por la derecha de " 0x " si

)()(lím 00

xfxfxx

=+→

Ejemplo

Es decir, f sólo por la derecha de 0x se aproxima y llega a ser ( )0f x .

2.3.2 CONTINUIDAD POR IZQUIERDA

Sea f una función de variable real. f es continua por la izquierda de " 0x " si

)()(lím 00

xfxfxx

=−→

Es decir, f sólo por la izquierda de 0x se aproxima y llega a ser ( )0f x . Ejemplo

Fig. 2.6

Fig. 2.7


71

En conclusión, si f es continua en 0x significa que tanto por derecha como por

izquierda f se aproxima y llegar a ser ( )0f x . Bien, lo anterior es sólo en un punto, si la función fuera continua en todo ,

bastaría con decir existe continuidad en todo punto de . Es decir:

Sea f una función de variable real. f es

continua en si 0

0 0lím ( ) ( )x x

x f x f x→

⎡ ⎤∀ ∈ =⎢ ⎥⎣ ⎦

Existen funciones que ya se han tratado en cursos anteriores que son continuas

en todo , como las funciones lineales, las funciones cuadráticas y en general todas las funciones polinomiales, las funciones trigonométricas seno y coseno.

Otras funciones en cambio son continuas sólo en intervalos, sería importante

aquí indicar lo que ocurre en los extremos del intervalo. 2.4 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO

2.4.1 CONTINUIDAD EN ( )ba,

Sea f una función de variable real. f es continua en un intervalo abierto ( )ba, si es continua en todo punto interior de ( )ba, . Es decir ( )

00 0, ; lím ( ) ( )

x xx a b f x f x

→∀ ∈ =

Ejemplo 1 Una función continua en ( )ba,

Fig. 2.8


72

Ejemplo 2 Otra función continua en ( )ba,

2.4.2 CONTINUIDAD EN [ ]ba,

Sea f una función de variable real. f es continua en un intervalo cerrado [ ]ba, si es continua en ( )ba, y además continua a la derecha de a ( )()(lím afxf

ax=

+→) y a la

izquierda de b ( )()(lím bfxfbx

=−→

).

Ejemplo

Una función continua en [ ]ba,

Fig. 2.10

Fig. 2.9


73

2.4.3 CONTINUIDAD EN [ )ba,

Sea f una función de variable real. f es continua en un intervalo semiabierto [ )ba, , si es continua en ( )ba, y además continua a la derecha de a .

Ejemplo 1

Una función continua en [ )ba, Ejemplo 2

Otra función continua en [ )ba,

Fig. 2.12

Fig. 2.11


74

2.4.4 CONTINUIDAD EN ( ]ba,

Sea f una función de variable real. f es continua en un intervalo semiabierto ( ]ba, , si es continua en ( )ba, y además continua a la izquierda de b .

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos.

Ejercicio resuelto 1

Hallar " a ", de ser posible, para que

2 2 ; 2( ) 8 ; 2

5 ; 2

⎧ − <⎪= =⎨⎪ + >⎩

x a xf x x

x a x sea continua en todo .

SOLUCIÓN:

Fig. 2.13

Fig. 2.14


75

Note que f está definida con funciones polinomiales y por tanto f será continua en los respectivos intervalos. Debemos procurar que f sea continua en 2=x , lo que significa que:

( )2

2 2lím ( 2 ) lím (5 ) 2

4 2 10 8

2

x xx a x a f

a a

a

− +→ →− = + =

− = + =

= −

Es decir, que la función

2 4 ; 2( ) 8 ; 2

5 2 ; 2

⎧ + <⎪= =⎨⎪ − >⎩

x xf x x

x x será continua en todo R .


Hallar " a ", de ser posible, para que

22 ; 1( ) 5 ; 1

3 ; 1

x a xf x x

x a x

⎧ + <⎪= =⎨⎪ − >⎩

sea continua en todo .

SOLUCIÓN: Igual que el ejercicio anterior, debemos procurar que f sea continua en 1x = , lo que significa que:

( )2

1 1lím(2 ) lím( 3 ) 1

2 1 3 5x x

x a x a f

a a− +→ →

+ = − =

+ = − =

Aquí ocurre una inconsistencia, entonces no existe valor de a para que f sea continua en . Ejercicio resuelto 3

Hallar los valores de " a " y " b ", de ser posible, para que ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−≤≤−+

−<−=

3;533;

3;2)(

xxbxbax

xaxxf

sea continua en todo . SOLUCIÓN: Aquí igual que las anteriores, f está definida con funciones lineales y por tanto será continua en los respectivos intervalos. Debemos procurar que f sea continua en 3−=x y en 3=x , lo que significa dos cosas:

1.

( )3 3

lím (2 ) lím ( ) 3

2(3) 32 6

− +→− →−− = + = −

− = +− =

x xx a ax b f

a a ba b

2.

( )3 3

lím ( ) lím( 5 ) 3

(3) 5(3)3 15

5

− +→ →+ = − =

/ /+ = −= −= −

x xax b b x f

a b baa

reemplazando el valor de a en la primera ecuación obtenida, resulta: 16

6)5(2−=

=−−bb

Es decir, que la función 2 5 ; 3

( ) 5 16 ; 3 316 5 ; 3

+ < −⎧⎪= − − − ≤ ≤⎨⎪− − >⎩

x xf x x x

x x será continua en todo R .


76


Analizar la continuidad de la función6

9)(−−

=x

xxf

SOLUCIÓN: El asunto aquí es sinónimo al de establecer el dominio natural (¿por qué?). Entonces debemos resolver la

inecuación 06

9≥

−−

xx .

Se concluye que f tendrá gráfica sólo en el intervalo ( ]6,9 , que será también su intervalo de continuidad.

Ejercicio resuelto 5 CALIFIQUE COMO VERDADERA O FALSA LA PROPOSICIÓN. Justifique formalmente su respuesta. “Si f es una función de variable real continua en y se conoce que

( ) ( )( )

3

0

1 2lim 1

3x

f x f x xsen x→

⎛ ⎞+ − + −=⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠, entonces ( ) ( )1 0 2f f= + .”

SOLUCIÓN: Primero calculemos ( ) ( )( )3

0lim 1 2x

f x f x x→

+ − + − .

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )( ) ( )( )

33

0 0

3

0 0

01

3

0

1 2lim 1 2 lim 3

3

1 2lim lim 3

3

1 0

lim 1 2 0

x x

x x

x

f x f x xf x f x x sen x

sen x

f x f x xsen x

sen x

f x f x x

→ →

→ →

→

⎛ ⎞+ − + −+ − + − = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞+ − + −

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

+ − + − =

Como f es continua, entonces:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 3

0lim 1 2 0 1 0 0 2

1 0 2x

f x f x x f f

f f→

+ − + − = + − + −

= − −

Finalmente, igualamos los dos resultados: ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 0 1 0 2f f f f− − = ⇒ = + Por tanto la proposición es VERDADERA. Ejercicio resuelto 6

Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones: 1. Dom f =

2. f es continua en ( ) ( ] ( )+∞∪−∪−−∞ ,11,22, 3. [ ]εε <−⇒−<∀>∃>∀ 2)(,0,0 xfNxxN 4. [ ]MxfxxM −<⇒∂<+<∀>∃∂>∀ )(20,0,0 5. [ ]MxfxxM >⇒∂<−<∀>∃∂>∀ )(10,0,0 6. [ ]MxfNxxNM −<⇒>∀>∃>∀ )(,0,0 7. [ ]εε <+⇒<+<∂−∀>∃∂>∀ 2)(02,0,0 xfxx

8. [ ]εε <−⇒∂<−<∀>∃∂>∀ 2)(10,0,0 xfxx 9. 1)2(,0)3(,0)1(,1)0(,1)2( ===−==− fffff


77

SOLUCIÓN: Las condiciones dadas significan: 1. Intervalos de continuidad ( ) ( ] ( )+∞∪−∪−−∞ ,11,22, 2. 2)(lím =

−∞→xf

x asíntota horizontal 2=y para x negativos.

3. −∞=+−→

)(lím2

xfx

asíntota vertical 2−=x por derecha

4. ∞=+→

)(lím1

xfx

asíntota vertical 1=x por derecha

5. −∞=∞→

)(lím xfx

6. 2)(lím2

−=−−→

xfx

límite por izquierda de 2−=x

7. 2)(lím1

=−→

xfx

límite por izquierda de 1=x

8. Puntos que pertenecen a f Por tanto la grafica sería:

Ejercicios Propuestos 2.2 1. Hallar los valores de " a " y " b " , de ser posible, para que f sea continua en R .

1.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥−<<+

≤=

4;6241;

1;)(

2

xxxbax

xxxf

2. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−<<+

≤=

4;241;

1;)(

xxxbax

xxxf

3. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥<≤+

<+=

2;321;

1;1)(

xxxbax

xxxf

4. 2 ; 1

( ) ; 1 32 3 ; 3

x a xf x ax b x

ax b x

+ < −⎧⎪= + − ≤ <⎨⎪ − ≥⎩

5.

2sen ; 2( ) cos ; 2 2

sen ; 2

π

π π

π

⎧− ≤ −⎪⎪= + − < <⎨⎪

≥⎪⎩

x x

f x a x bx x

x x

Fig. 2.15


78

2. Determine los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:

1. 1

2sen)(−

=x

xxf

2. 32

1)(2

++

=x

xxh

3. 1256

82)( 23

2

−++

−+=

xxxxxxf

4. ( )3 2

3 2

2 182 8

x x xf xx x x

+ − +=

+ − −

5. 1( )

sen 2xf x

x−

=

6. 2

2

1( ) sen1

xf xx

⎛ ⎞+= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

3. Sean las funciones: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−=>

=0;10;00;1

)(xxx

xf y 21)( xxg +=

Para que valores de " x ", es continua: a) ( )( )xgf b) ( )( )xfg

4. Determine el máximo valor de " k " para que la función: 2( ) 2f x x= − sea continua en el intervalo [ )k+3,3

5. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:

f es continua en ( ) ( ]10,22,5 ∪−

0)10()3( == ff

[ ]εε <−⇒∂<+<∀>∃∂>∀ 3)(50,0,0 xfxx

[ ]MxfxxM >⇒∂<−<∀>∃∂>∀ )(20,0,0 [ ]MxfxxM −<⇒∂<−<∀>∃∂>∀ )(20,0,0

6. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:

f es continua en ( ] ( ) ( )∞∪∪−∞ ,33,00,

[ ]εε <⇒−<∀>∃>∀ )(,0,0 xfNxxN

[ ]εε <−⇒<<∂−∀>∃∂>∀ 2)(0,0,0 xfxx

[ ]MxfxxM −<⇒∂<<∀>∃∂>∀ )(0,0,0 [ ]MxfxxM >⇒∂<−<∀>∃∂>∀ )(30,0,0

[ ]εε <⇒∂<−<∀>∃∂>∀ )(30,0,0 xfxx

[ ]εε <+⇒>∀>∃>∀ 1)(,0,0 xfNxxN

0)7(,2)5()3( === fff

2.5 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO PARA FUNCIONES CONTINUAS

Sea f una función de variable real definida en el intervalo cerrado [ ]ba, . Si f es continua en [ ]ba, entonces para toda

( ) ( )( ) ,⎡ ⎤∈ ⎣ ⎦f x f a f b existe un [ ]0 ,x a b∈ .


79

Ejemplo

Demuestre que la ecuación 0233 =−+ xx tiene una solución real entre "0" y "1". SOLUCIÓN: Definamos la función 23)( 3 −+= xxxf . Observamos que: 2)0( −=f y 2)1( =f y como f es continua en [ ]1,0 , por ser polinomial; aplicando el Teorema del Valor Intermedio, tenemos que si ( ) 0=f x existirá un x elemento de [ ]1,0 que lo satisfaga. Es decir: [ ]1,0∈∃x tal

que 023)( 3 =−+= xxxf

Ejercicios Propuestos 2.3 1. (Consulta) Enuncie y demuestre el teorema de Bolzano.

2. (Consulta) Enuncie y demuestre el teorema de Weierstrass.

3. Diga si son VERDADERAS o FALSAS las siguientes proposiciones. En caso de ser verdaderas demuéstrelas y en caso de ser falsa, dé un contraejemplo.

a) Si f es continua y no tiene ceros en [ ]ba, , entonces 0)( >xf para toda x en [ ]ba, o 0)( <xf , ∈∀x [ ]ba,

b) Si f es continua en 0x y 0)( 0 >xf , hay un intervalo ( )∂+∂− 00 , xx tal que 0)( >xf en ese intervalo.

c) El producto de dos funciones f y g es continua en " 0x " , si f es continua en " 0x " pero g no.

Fig. 2.16

Fig. 2.17


80

d) Si f es continua en " 0x " y g es discontinua en " 0x ", entonces gf + es discontinua en " 0x ".

e) Toda función continua en ( )ba, es acotada.

f) Toda función acotada en [ ]ba, es continua en [ ]ba,

g) Si f es continua e inyectiva en [ ]ba, entonces su función inversa 1−f es continua en [ ]ba,

4. Demuestre que la ecuación: 0134 35 =+−− xxx tiene una solución en el intervalo [2,3].

5. Si el peso de un niño al nacer es de 8 libras y después de un año el mismo niño tiene un peso de 16 libras, demuestre, empleando el teorema del valor intermedio para funciones continuas, que en algún instante de tiempo el niño alcanzó un peso de 11 libras.

Misceláneos 1. Diga si son VERDADERAS o FALSAS las siguientes proposiciones. En caso de ser verdaderas demuéstrelas y

en caso de ser falsa, dé un contraejemplo. a) )(lím)(lím xfxf

axax −+ →→= entonces f es continua en ax = .

b) Si f y g son funciones continuas en ax = entonces la función fg también es continua en ax = .

c) La función de variable real con regla de correspondencia ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤

>−

−+−=

2;2

2;4

22)( 2

x

xx

xxxf es

continua en 2=x . d) Si f es una función tal que IRfdom = y IRa∈∀ lím ( )

x af x

→ existe, entonces f es continua en

todo su dominio. e) Si f es una función continua en [ ]ba, tal que 0)( >af y 0)( <bf entonces existe al menos un

( )bac ,∈ tal que 0)( =cf .

f) Si f es una función de IR en IR tal que [ ]xxf sen)( = entonces f es continua en π=x .

g) Sea f una función continua en [ ]ba, tal que 0)()( >• bfaf entonces no existe un valor [ ]bac ,∈ tal que 0)( =cf .

h) Si f y g son funciones que no son continuas en ax = entonces la función gf + no es continua en ax = .

i) La función ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−

<−=

2;2

2;1)( 2 xxx

xxxf es continua en todo su domino.

j) Sea f una función de variable real con regla de correspondencia ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠−

=0;0

0;cos1)( 2

x

xx

xxf ,

entonces f es continua en todo su dominio.

2. Determine el valor de "a" para que ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−

<π

−=

π

π

2

2

;1

;cos2cot)(

xax

xxx

x

xf sea continua en 2π=x

3. Sea f una función de variable real tal que

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥

<<−−

−−+

−≤−

=

1;

11;1

1;1

)(

2

2

45

2

xx

xx

BAxBxAx

xx

xf

Determine los valores de A y B para que f sea continua en todos los reales.


81

4. Realice el bosquejo de la gráfica de una función f que satisfaga cada una de las siguientes proposiciones:

• f es continua en los intervalos ( )0,−∞ ; [ ]1,0 ; ( )+∞,1 . • 0)5()3()0( === fff 1)2()1( == ff • 1)(

0−=

−→xflim

x −∞=

−∞→)(xflim

x

• [ ]NxfxN >⇒δ<−<>δ∃>∀ )(1000

• [ ]εε <−⇒>>∃>∀ 1)(00 xfMxM

• ( ) [ ]0)(5,3 <∈∀ xfx 5. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:

( ) [ )+∞∪−∞−= ,01,Domf [ ) ( ]+∞∪= ,,1 eergf 1)0( =f

[ ]εε <−⇒>∀>∃>∀ exfNxxN )(,0,0

[ ]MxfxxM >⇒<+<−∂∀>∃∂>∀ )(01,0,0

6. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones: Dom f=IR, 0)( >xf para ( ] ( )1,01, ∪−−∞∈x 1)(0)1()0(1)1(

0=∧==∧=−

+→xflímfff

x

[ ]εε <−⇒−<∀>∃>∀ 1)(,0,0 xfNxxN

[ ]εε <+⇒>∀>∃>∀ 1)(,0,0 xfNxxN

[ ]MxfxxM >⇒∂<−<∀>∃∂>∀ )(10,0,0

[ ]MxfxxM >⇒∂<+<∀>∃∂>∀ )(10,0,0

[ ]εε <−⇒∂<−<∀>∃∂>∀ )0()(0,0,0 fxfxx

[ ]εε <⇒∂<−<∀>∃∂>∀ )(10,0,0 xfxx

Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada

83

3 3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA

TANGENTE. 3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA 3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA 3.4 FORMA ALTERNATIVA 3.5 DIFERENCIABILIDAD 3.6 DERIVACIÓN

3.6.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN 3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN 3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA 3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA 3.6.6 DERIVACIÓN POLAR 3.6.7 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS 3.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA

3.7 FUNCIONES HIPERBÓLICAS 3.7.1 FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO 3.7.2 FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO 3.7.3 FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA 3.7.4 DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS

OBJETIVOS:

• Definir derivada. • Calcular ecuaciones de rectas tangentes y rectas

normales a una curva. • Realizar demostraciones formales de derivada. • Calcular derivadas.


84

Desde la antigüedad (300 A.C.) existía el problema de la determinación de la ecuación de la recta tangente en un punto de una curva; recién en el siglo XVII fue resuelto este problema. Tratando de dar solución a lo planteado es como se da inicio al Calculo Diferencial. Este inicio se le atribuye a GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) junto con ISAAC NEWTON (1642-1727), preocupado por describir la velocidad instantánea que lleva un móvil cuando se desplaza siguiendo una trayectoria, después veremos que es el mismo problema. Empecemos primero estudiando el problema geométrico.

3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA TANGENTE. Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f , en un punto 0x , Fig. 3.1.

La ecuación de la recta tangente estaría dada por: 0 tg 0( ) ( )y f x m x x− = −

Ahora, habría que calcular la pendiente de la recta tangente. Observe la Fig. 3.2

x

y

0x

0y

( )y f x=

Fig. 3.1


85

La pendiente de la recta secante entre los puntos ( )0 0, ( )x f x y

( )0 0, ( )x h f x h+ + sería 0 0sec

( ) ( )f x h f xmh

+ −=

La pendiente de la recta tangente se obtendría haciendo que h se haga cada vez más pequeña, porque en este caso la recta secante toma la posición de la recta tangente, y resolveríamos nuestro problema; es decir:

0 0tg 0

( ) ( )límh

f x h f xmh→

+ −=

3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA Suponga que se tengan la ecuación del espacio e recorrido por un móvil, y que sea función del tiempo; es decir ( )e f t= . Suponga ahora que se quiere

determinar la velocidad media mv en un intervalo de tiempo [ ]0 0,t t h+ , esta estaría dada por:

( ) ( )0 0

0 0m

f t h f tevt t h t

+ −Δ= =Δ + −

La velocidad instantánea v sería la velocidad media calculada en intervalos de tiempo tΔ cada vez más pequeño; es decir:

x

y

0x h+

( )0f x

( )y f x=

0x

( )0f x h+

h

( ) ( )0 0f x h f x+ −

Fig. 3.2


86

( ) ( )0 0

0 0 0lim lim limmt t h

f t h f tev vt hΔ → Δ → →

+ −Δ= = =

Δ

Note que esta definición para la velocidad instantánea tiene la misma forma

que la de la pendiente de la recta tangente, por tanto el problema sería el mismo. De aquí se dará la definición de la derivada.

3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA

Sea f una función de variable real. Sea 0x un punto del dominio de f . La derivada de f en " 0x ", denotada como ( )0´f x , se define como:

hxfhxfxf

h

)()(lím)´( 00

00

−+=

→

Siempre que este límite exista.

Cuando la derivada en " 0x " existe se dice que es f es diferenciable en " 0x ". Otras notaciones que se emplean para la derivada son: ´y o xD y .

Leibniz utilizó la notación dydx

. En cualquier caso, la derivada en " x " sería:

0

( ) ( )´( ) límh

f x h f xf xh→

+ −=


87

3.4 FORMA ALTERNATIVA Presentaremos ahora una forma un tanto diferente para la derivada, que para algunos casos resulta muy útil.

En la expresión para la derivada, haciendo cambio de variable: 0h x x= −

0

0

0 0 0 0 00 0

0

0

0

( ) ( ) ( ) ( )´( ) lím lím

( ) ( )lím

h x x

x x

f x h f x f x x x f xf xh x x

f x f xx x

→ →

→

+ − + − −= =

−

−=

−

Lo anterior lo podemos observar de la pendiente de la recta tangente, Fig. 3.3. La pendiente de la recta secante entre los puntos ( ))(, 00 xfx y ( ))(, xfx sería:

0sec

0

( ) ( )f x f xmx x−

=−

. Entonces la pendiente de la recta tangente estaría dada

por:

0

0tg

0

( ) ( )límx x

f x f xmx x→

−=

−

x

y

x

( )0f x

( )y f x=

0x

( )f x

0x x−

( ) ( )0f x f x−

Fig. 3.3


88

Ejemplo 1 Empleando la definición, hallar la derivada ( ) 2 1f x x= + SOLUCIÓN:

( ) [ ]0

0

0

0

0

( ) ( )(́ ) lím

2 1 2 1lím

2 2 1 2 1lím

2lím

lím 2

(́ ) 2

h

h

h

h

h

f x h f xf xh

x h xh

x h xh

hh

f x

→

→

→

→

→

+ −=

+ + − +⎡ ⎤⎣ ⎦=

+ + − −=

=

=

=

Empleando la forma alternativa:

( ) ( )

( )( )

0

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

( ) ( )(́ ) lím

2 1 2 1lím

2 1 2 1lím

2 2lím

2lím

lím 2

(́ ) 2

x x

x x

x x

x x

x x

x x

f x f xf x

x xx x

x xx x

x xx xx xx x

x x

f x

→

→

→

→

→

→

−=

−

+ − +=

−

+ − −=

−−

=−

−=

−

=

=

Ejemplo. 2

Empleando la definición, hallar la derivada 2( )f x x= SOLUCIÓN:

( )

( )

( )xxf

hxh

hxhh

xhxhxh

xhxh

xfhxfxf

h

h

h

h

h

2)´(

2lím

2lím

2lím

lím

)()(lím)´(

0

0

222

0

22

0

0

=

+=

+=

−++=

−+=

−+=

→

→

→

→

→


89

Empleando la forma alternativa:

( )( )

( )

0

0

0

0

00

0

2 20

0

0 0

0

0

0 0

0 0

( ) ( )(́ ) lím

lím

lím

lím

(́ ) 2

x x

x x

x x

x x

f x f xf x

x x

x xx x

x x x xx x

x x

x xf x x

→

→

→

→

−=

−

−=

−

− +=

−

= +

= +=


1. Sea ( ) 2 2 1f x x x= − + .

a) Calcule el valor de (2.5) (2)

0.5f f−

b) Calcule el valor de (2.3) (2)

0.3f f−

c) Calcule el valor de (2.1) (2)

0.1f f−

d) Calcule el valor de ( )´ 2f . Explique por qué los valores anteriores son aproximados a este resultado.

2. Hallar (́3)f , considerando la gráfica: 3. Empleando la definición, determine la derivada de: a) ( ) 3 2f x x= + d) 2( ) 2 1f x x x= − + −

b) ( ) 2 1f x x= − + e) 3( ) 2f x x=

c) 2( ) 2 3f x x x= + − f) 23

1)(+

=x

xf

( )y f x=


90

3.5 DIFERENCIABILIDAD Se tratará ahora de especificar las condiciones para que la derivada de una función de una variable real exista, lo cual dará paso a decir que la función será derivable o diferenciable en un punto. La diferenciabilidad es equivalente a derivabilidad para funciones de una variable real.

3.5.1 TEOREMA DE DERIVABILIDAD.

Si f es diferenciable en " 0x ", es decir )´( 0xf existe, entonces f es continua en

" 0x "

Demostración. Expresemos lo siguiente: )()()()( 00 xfxfxfxf +−= Agrupando los dos primeros términos, dividiéndolo y multiplicándolo por ( )0xx − , suponga 0x x≠ , tenemos:

( ) )()()(

)( 000

0 xfxxxx

xfxfxf +−

−−

=

Ahora, tomando límite a todos los miembros de la ecuación, resulta:

( ) )()()(

)( 000

0

0000

xflímxxlímxx

xfxflímxflím

xxxxxxxx →→→→+−

−−

=

La expresión 0

0 )()(0 xx

xfxflím

xx −−

→ es igual )´( 0xf , debido a que de hipótesis se dice que f es

derivable en 0x . Entonces:

( )

[ ]

)()()(0

)(0)´(

)()()(

)(

0

0

00

)(

tan

0

0

0

)´(

0

0

0

0

00

0

00

xfxflímxf

xfxf

xflímxxlímxx

xfxflímxflím

xx

xf

tecons

xxxx

xf

xxxx

=+=

+=

+−−−

=

→

→→→→

Por tanto, la última expresión indica que f es continua en " 0x ". L.Q.Q.D.


91

Al analizar el teorema, se concluye que si una función es discontinua en " 0x " entonces no es diferenciable en " 0x ".

También debe entenderse que no toda función continua es diferenciable.

Ejemplo

Hallar )1´(f para 1)( −= xxf SOLUCIÓN: Empleando la forma alternativa de la derivada:

11

lím

101

lím

1)1()(lím)1´(

1

1

1

−

−=

−

−−=

−−

=

→

→

→

xx

xx

xfxff

x

x

x

El último límite se lo obtiene aplicando límites laterales, es decir:

1. 11lím11lím

11==

−−

++ →→ xx xx

2. ( ) ( ) 1111

11−=−=

−−−

−− →→ xxlím

xxlím

Como los límites laterales son diferentes, entonces 11

lím)1´(1 −

−=

→ xx

fx

no existe.

Observando la gráfica de 1−= xy , Fig. 3.4 Notamos que se puedan trazar rectas tangentes de diferentes pendientes a la derecha y a la izquierda de

1=x , en este caso se dice que la gráfica de la función no es suave en 1=x . Esta función aunque es continua en 1=x , sin embargo no es diferenciable en ese punto; por tanto la continuidad no implica diferenciabilidad.

Fig. 3.4


92

3.5.2 DERIVADAS LATERALES. Por lo anterior, como la derivada es un límite, podemos definirla

unilateralmente. 3.5.2.1 Derivada por derecha

La derivada por derecha del punto " 0x "

de una función f se define como:

hxfhxfxf

h

)()(lím)´( 00

00

−+=

+→

+ o por la forma

alternativa: 0

00

)()(lím)´(0 xx

xfxfxfxx −

−=

+→

+

3.5.2.2 Derivada por izquierda.

La derivada por izquierda del punto " 0x "

de una función f se define como:

hxfhxfxf

h

)()(lím)´( 00

00

−+=

−→

− o por la forma

alternativa: 0

00

)()(lím)´(0 xx

xfxfxfxx −

−=

−→

−

Por tanto, para que )´( 0xf exista, se requiere que las derivadas laterales

existan y sean iguales. Es decir, si )´()´( 00−+ ≠ xfxf , se dice que f no es

derivable en " 0x " y su gráfica no será suave en ese punto.

Ejemplo

Hallar )2´(f para ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−

<−=

2;1

2;12)( 2 xx

xxxf

SOLUCIÓN: Primero veamos si que es continua en 2=x . Como ( ) 312

2=−

−→xlim

x y ( ) 312

2=−

+→xlim

x entonces f si es continua en 2=x -

Segundo. Para hallar )2´(f debemos hallar las derivadas laterales debido a que f tiene diferente definición a la izquierda y la derecha de 2=x .


93

( ) ( )( ) ( ) 2

222lim

242lim

212212lim)2´(

222=

−−

=−−

=−

−−−=

−−− →→→

−

xx

xx

xxf

xxx

( ) ( ) ( )( ) 4

222lim

24lim

2121lim)2´(

2

2

2

22

2=

−−+

=−−

=−

−−−=

+++ →→→

+

xxx

xx

xxf

xxx

Por tanto, Como ( )+− ≠ 2´)2´( ff entonces )2´(f no existe

Veamos ahora, un ejemplo de una función que aunque es continua y suave, en

un punto, sin embargo no es diferenciable en ese punto.

Ejemplo

Sea 3)( xxf = hallar )0´(f SOLUCIÓN: Empleando la forma alternativa:

( )existenofx

xx

xfxff

x

x

x

∞=

=

−=

−−

=

→

→

→

)0´(

1lím

0lím

0)0()(lím)0´(

320

3

0

0

Lo que ocurre es que la recta tangente, en 0=x , es vertical (pendiente infinita); observe su gráfica. Fig 3.5

Por tanto, si una función es diferenciable en un punto " 0x " ocurren tres cosas: 1. Es continua en ese punto 2. Es suave en ese punto 3. La recta tangente no es vertical en

ese punto

Fig. 3.5


94

Un problema de diseño

Ejemplo

Sea: ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

<+=

2;

2;)( 2 xx

xbmxxf Determine "m" y "b" para que f sea diferenciable en todo su dominio.

SOLUCIÓN: Debemos considerar que para que la función sea diferenciable en todo su dominio tiene que ser continua y en todo punto su gráfica debe ser suave. Observando la regla de correspondencia que define a f , notamos que debemos centrarnos en dos cosas: 1. f debe ser continua en 2=x , es decir:

( ) ( ) ( )2

2 2lím 2 lím

2 4x x

mx b f x

m b− +→ →

+ = =

+ =

2. f debe ser suave en 2=x , es decir: )2´()2´( −+ = ff

( )( ) ( ) 422

2224

2)2()()2´(

22

2

22=+=

−+−

=−−

=−−

=++++ →→→→

+ xlímx

xxlímxxlím

xfxflímf

xxxx

( ) ( ) ( ) mxxmlím

xbmbmxlím

xbmbmxlím

xfxflímf

xxxx=

−−

=−

−−+=

−+−+

=−−

=−−−− →→→→

−22

22

22

2)2()()2´(

2222

Por tanto 4=m y al reemplazar en la primera ecuación 4)4(2 =+ b tenemos 4−=b

Ejercicios Propuestos 3.2

1. Hallar (́1)f para 2

2 1; 1( )

2 ; 1x x

f xx x+ <⎧

= ⎨+ ≥⎩

2. Hallar )3´(f para ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥+−<+−

=3;1763;10)(

2

xxxxxf

3. Hallar )2´(−f para ⎪⎩

⎪⎨⎧

−≥−

−<+=

2;7

2;12)( 2 xx

xxxf

4. Sea la función f definida por ⎪⎩

⎪⎨⎧

>+≤+=

2;2;2)(

2

xbaxxxxxf .

Determine, si es posible, los valores de a y b para que f sea derivable en 2=x


⎪⎨⎧

>+−

≤+=

1;23

1;3)( 2 xbxax

xbaxxf

Determine los valores para " a " y " b " para f que sea derivable en todo su dominio.


⎪⎨

⎧

>

≤++=

1;11;

)(

2

xx

xcbxaxxf .

Determine " a ", " b " y " c " para que )1´(f exista.


95

3.6 DERIVACIÓN El proceso de encontrar la derivada de una función puede presentarse

complicado si se lo hace aplicando la definición. Para hacer no tan engorroso este trabajo se dispone de técnicas y reglas.

3.6.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN. Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden emplear las

fórmulas siguientes:

1. RkkDx ∈∀= ;0)( 2. 1)( =xDx 3. ( )1)( −= nn

x xnxD 4. xx

x eeD =)( 5. aaaD xx

x ln)( = 6.

xxDx

1)(ln =

7. ax

xD ax ln1)(log =

8. xxDx cos)(sen = 9. xxDx sen)(cos −= 10. 2(tan ) secxD x x= 11. 2(cot ) cscxD x x= − 12. (sec ) sec tanxD x x x= 13. (csc ) csc cotxD x x x= −

Demostraciones: Las Demostraciones de algunas de las fórmulas anotadas serían:

1. Sea ( )f x k= . Hallaremos su derivada empleando la definición: 0

( ) ( )(́ ) límh

f x h f xf xh→

+ −=

00límlím)(00

==−

=→→ hh

kkkDhh

x (La derivada de una constante es cero)


96

2. Sea ( )f x x= entonces: ( )0 0

( ) lím lím 1x h h

x h x hD xh h→ →

+ −= = =

3. Sea ( ) nf x x= entonces: ( )0

( ) límn n

nx h

x h xD x

h→

+ −= . Consideraremos n∈ . Desarrollando el

binomio y simplificando:

( )( )

( )

( )

( )

11 2 2 12

0 0

11 2 2 12

0

11 2 2 12

0

11 2 220 0 00

...( ) lím lím

...lím

...lím

lím ...

n nn n n n n nn nn

x h h

n nn n n n

h

n nn n n n

h

n nn n n

h

x nx h x h nxh h xx h xD x

h hnx h x h nxh h

hh nx x h nxh h

h

nx x h nxh

−− − −

→ →

−− − −

→

−− − − −

→

−− − −

→

⎡ ⎤+ + + + + −+ − ⎣ ⎦= =

+ + + +=

⎡ ⎤/ + + + +⎣ ⎦=/

= + + +

( )

1

0

1( )

n

n nx

h

D x n x

−

−

⎡ ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

=

4. Sea ( ) xf x e= entonces:

( ) ( )

0 0 0 0

1

1 1( ) lím lím lím lím

x h hx h x x h xx x x

x h h h h

e e ee e e e eD e e eh h h h

+

→ → → →

− −− −= = = = =

6. Sea ( ) lnf x x= entonces:

( )

xxD

exh

xh

hxh

hx

hx

hxhxxD

x

xh

h

hhhhx

x

xh

1)(ln

ln1límln

1lnlím1ln

límln

límlnlnlím)(ln

11

0

1

00001

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=−+

=

→

→→→→

8. Sea ( )f x sen x= entonces:

[ ]

( ) ( )xxD

xxh

xh

x

hx

hx

hxx

hxxx

hxhxxD

x

hh

hhh

hhx

cos)(sen

)1(cos)0(sensenhlímcos)1(coshlímsen

cossenhlím)1(coshsenlímcossenh)1(coshsenlím

sencossenhcoshsenlímsen)sen(lím)(sen

00

000

00

=

+=+−

=

+−

=+−

=

−+=

−+=

→→

→→→

→→

La demostración del resto de estas fórmulas se la dejamos para el lector.


97

Ejemplo 1

Si ( ) 4f x = entonces ( )´ 0f x = (FORMULA 1)

Ejemplo 2

Si ( ) 2f x x= entonces ( ) 2 1´ 2 2f x x x−= = (FORMULA 3)

Ejemplo 3

Si ( ) ( )1

2f x x x= = entonces ( ) ( )12 11

21´

2f x x

x−= = (FORMULA 3)

Ejemplo 4

Hallar la ecuación de la recta tangente a ( ) 3f x x= en 1x = SOLUCIÓN: Observe la Fig. 3.6 La ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente está dada por:

( )00 xxmyy −=− El punto sería:

0 1x = y ( )30 0( ) 1 1y f x= = =

La pendiente sería: 2

0 1(́ ) (́1) 3 3tg x

m f x f x=

= = = =

Por tanto, la ecuación de la recta tangente sería: 1 3( 1)y x− = −

Obviamente las reglas de correspondencia de las funciones no aparecen

comúnmente en forma simple, por tanto habrá que considerar reglas para estos casos.

( ) 3f x x=Recta tangente

Fig. 3.6


98

3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN

Sean f y g funciones diferenciables y k una constante, entonces: 1. ( ( )) (́ )d kf x kf x

dx= (Múltiplo constante)

2. ( ( ) ( )) (́ ) (́ )d f x g x f x g xdx

+ = + (Suma)

3. ( ( ) ( )) (́ ) (́ )d f x g x f x g xdx

− = − (Resta)

4. ( ( ) ( )) ´( ) ( ) ( ) (́ )d f x g x f x g x f x g xdx

= + (Producto)

5. [ ]2

( ) (́ ) ( ) ( ) ´( )( ) ( )

d f x f x g x f x g xdx g x g x

⎛ ⎞ −=⎜ ⎟

⎝ ⎠ (Cociente)

Demostración

La justificación de las dos primeras de estas reglas sería: 1.

[ ]

0

0

0

( ) ( )( ( )) lím

( ) ( )lím

( ) ( )lím

(́ )

h

h

h

d kf x h kf xkf xdx h

k f x h f xh

f x h f xkh

kf x

→

→

→

+ −=

+ −=

+ −=

=

2.

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

0

0

0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( )) lím

( ) ( ) ( ) ( )lím

( ) ( ) ( ) ( )lím lím

(́ ) (́ )

h

h

h h

f x h g x h f x g xd f x g xdx h

f x h f x g x h g xh

f x h f x g x h g xh h

f x g x

→

→

→ →

+ + + − ++ =

+ − + + −=

+ − + −= +

= +

3.

[ ] [ ]0

( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( )) lím

h

f x h g x h f x g xd f x g xdx h→

+ + −=

Al numerador le sumamos y restamos ( ) ( )f x g x h+

( ) ( ) ( ) ( )0

( ) ( ) ( ) ( )límh

f x h g x h f x g x f x g x h f x g x hh→

+ + − − + + + Agrupando y aplicando propiedades de los límites:


99

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

( )

( )

0

0

0 0

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )lím

( ) ( ) ( )lím

( ) ( )lím ( ) lim

( ) ( )lím lim ( ) lim

´

h

h

h h

h h h

f x h g x h f x g x h f x g x h f x g xh

f x h f x g x h g x h g x f xh

f x h f x g x h g xg x h f x

h hf x h f x g x h g x

g x h f xh h

f x g

→

→

→ →

→ → →

+ + − + + + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ − + + + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ +

+ − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ +

( ) ( ) ( )´x f x g x+⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

La demostración del resto de estas reglas se la dejamos para el lector. Con lo anterior ya podemos obtener derivadas de funciones con reglas de

correspondencias un tanto más complejas en su forma.

Ejemplo 1 (derivada del múltiplo constante)

Si ( ) 13

3

4 4f x xx

−= = entonces ( ) ( ) ( )11 43 3 311

34´ 4 43

df x x x xdx

− −− −= = − = −

Ejemplo 2 (Derivada de suma y resta)

Si ( ) 24 3f x xx

= − + entonces

( ) ( ) ( ) ( )1 21´ 4 2 3 4 2 02

d d df x x x xdx dx dx x

− −⎛ ⎞= − + = + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Ejemplo 3 (Derivada del producto)

Si ( ) xf x xe= entonces ( ) ( ) ( ) ( )´ 1 1x x x x xd df x x e x e e xe e xdx dx⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦


Si ( ) ( ) ( )2 32 1f x x x= + + entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

2 3 2 3

3 2 2

4 4 2

4 2

´ 2 1 2 1

2 0 1 2 3 0

2 2 3 65 6 2

d df x x x x xdx dx

x x x x

x x x xx x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= + + + + +

= + + +

= + +


100

Para el caso del producto de tres funciones, la regla sería:

[ ]( ) ( ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) (́ )d f x g x h x f x g x h x f x g x h x f x g x h xdx

= + +

¡Generalícela!


Si ( ) lnxf x e senx x= entonces

( )´ ln ln ln

1ln cos ln

x x x

x x x

d d df x e senx x e senx x e senx xdx dx dx

e senx x e x x e senxx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎛ ⎞= + + ⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejemplo 6 (Derivada de cociente)

Si ( )2

3

21

xf xx+

=+

entonces

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )( )

( )

( ) ( )

2 3 2 33 2 2

2 23 3

4 4 2 4 2

2 23 3

2 1 2 1 2 1 2 3´

1 1

2 2 3 6 6 2

1 1

d dx x x x x x x xdx dxf xx x

x x x x x x x

x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =+ +

+ − − − − += =

+ +

Con lo anterior, podemos resolver otros tipos problemas.

Ejemplo 7

Determine ( ),0f ′ si ( ) ( )( ) ( )1 2 ... 100f x x x x x= + + + .

SOLUCIÓN: La derivada de f sería

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )´ 1 1 2 100 1 2 100 1 1 ... 100f x x x x x x x x x x= ⎡ + + + ⎤ + ⎡ + + ⎤ + ⎡ + + ⎤ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Ahora evaluamos la derivada en cero:

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )0 0

´ 0 1 0 1 0 2 0 100 0 1 0 2 0 100 0 0 1 1 ... 0 100

´ 0 1 2 100 100!

f

f

= ⎡ + + + ⎤ + ⎡ + + ⎤ + ⎡ + + ⎤ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= =


101

Ejemplo 8

Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto ( )2, 5− − y que son tangentes a la curva definida por la ecuación 2 4y x x= + .

SOLUCIÓN: Primeramente grafiquemos la curva y el punto. Fig. 3.7

Note que el punto ( )2, 5− − no pertenece a la curva. Buscaremos ahora el punto de tangencia (observe que hay dos).

La pendiente de la recta tangente es la derivada f evaluada en 0x x= , es decir

( )0

0 0´ 2 4 2 4tg x xm f x x x

== = + = +

La pendiente de esta recta también se la puede calcular por los puntos ( )2, 5− − y ( )0 0,x y , es decir:

( )( )

0 0

0 0

5 52 2tg

y ym

x x− − +

= =− − +

El punto ( )0 0,x y pertenece a la curva, por tanto debe satisfacer su ecuación; es decir: 20 0 04y x x= + . Al

reemplazar en la ecuación anterior, se obtiene:

2

0 0 0

0 0

5 4 52 2tg

y x xm

x x+ + +

= =+ +

Ahora igualamos las pendientes y encontramos 0x :

( )( )

20 0

00

2 20 0 0 0

20 0

0 0

0 0

4 52 4

2

2 8 8 4 5

4 3 03 1 0

3 1

x xx

x

x x x x

x xx x

x x

+ ++ =

+

+ + = + +

+ + =

+ + =

= − ∨ = −

( )2, 5− −

( )0 0,x y( )0 0,x y

( ) 2 4f x x x= +

Fig. 3.7


102

Estos valores los reemplazamos en 20 0 04y x x= + , y obtenemos los respectivos 0y :

( ) ( )20 3 4 3 9 12 3y = − + − = − = −

( ) ( )20 1 4 1 1 4 3y = − + − = − = −

Por tanto, los puntos de tangencia son ( )3, 3− − y ( )1, 3− − .

Las respectivas pendientes serían:

( )( )

2 3 4 2

2 1 4 2tg

tg

m

m

= − + = −

= − + = +

Finalmente las ecuaciones de las rectas tangentes serían:

( ) ( )( )( )

3 2 3

3 2 3

2 9

y x

y x

y x

− − = − − −

+ = − +

= − −

y

( ) ( )( )( )

3 2 1

3 2 1

2 1

y x

y x

y x

− − = − −

+ = +

= −

Ejemplo 9

Si f , g y h son funciones tales que ( ) ( )( )2 ( ) 3 ( )

f x g xh xf x g x

=+

, (1) 3f = , (1) 3g = − ,

(́1) 2f = − , (́1) 1g = . Determine (́1)h .

Solución: La derivada de h sería:

[ ][ ] [ ][ ]

[ ][ ] [ ][ ]

2

2

( ) ( )´( )2 ( ) 3 ( )

( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( )

2 ( ) 3 ( )

(́ ) ( ) ( ) (́ ) 2 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 2 ´( ) 3 (́ )

2 ( ) 3 ( )

x

x x

f x g xh x Df x g x

D f x g x f x g x f x g x D f x g x

f x g x

f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x

f x g x

⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦

+ − +=

+

+ + − +=

+

Ahora evaluando en 1:

[ ][ ] [ ][ ]

[ ][ ] [ ][ ]

[ ][ ] [ ][ ]

[ ][ ] [ ][ ]

2

2

2

2

´(1) (1) (1) (́1) 2 (1) 3 (1) (1) (1) 2 ´(1) 3 (́1)´(1)

2 (1) 3 (1)

( 2)( 3) (3)(1) 2(3) 3( 3) (3)( 3) 2( 2) 3(1)

2(3) 3( 3)

6 3 6 9 9 4 3

6 9

9 3 9 1

3369

´(1) 4

f g f g f g f g f gh

f g

h

+ + − +=

+

− − + + − − − − +=

+ −

+ − + − +=

−

− + −=

−

−=

= −


103

Ejemplo 10

Demuestre que las gráficas de ( ) 2f x senx= y ( ) 2 cosg x x= se intersecan en ángulo recto en cierto punto tal que 20 π≤≤ x SOLUCIÓN: La intersección se obtiene igualando las ecuaciones, es decir: xx cos2sen2 = , de aquí se obtiene

1tg =x , lo cual quiere decir que 4π=x

Si las curvas se intersecan en ángulo recto quiere decir que las rectas tangentes en el punto de intersección son perpendiculares, es decir 121 −=mm . Fig. 3.8

Si ( ) 2 senf x x= , entonces ( )´ 2 cosf x x= que en el punto tenemos:

1222cos2 41 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== πm

Si ( ) 2 cosg x x= , entonces ( )´ 2 seng x x= − que en el punto tenemos:

1222sen2 42 −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−= πm

Por tanto: ( )( ) 11121 −=−=mm L.Q.Q.D.


1. Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son:

a) ( ) 34 2ln 3 xf x x x e= + −

b) ( ) ( )( )3 22 1f x x x= + +

c) ( ) ( )( )cosf x x senx x x= − +

d) ( )2 1xf x

x senx+

=

e) ( )1

xxef xsenx

=+

f) ( ) 21 ln2

xf x x e x=

2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación ( ) 2 2 2f x x x= + + en el

punto ( )1,5 .

3. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función con regla de correspondencia ( ) 23 4f x x= + y que sea paralela a la recta 3 2 0x y+ + = .

Fig. 3.8


104

4. Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto ( )2,5 y que son tangentes a la curva definida

por la ecuación 24y x x= − .

5. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f definida por 3 2( ) 2 3 24f x x x x= + − y que son paralelas a la recta cuya ecuación es 0712 =+− yx .

6. Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación 2y x= . Determine el punto de la trayectoria para que la partícula se desplace ahora por la tangente de la trayectoria en ese punto y logre alcanzar el punto (4,15).

7. Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación 27 xy −= . Un observador se encuentra el punto (4,0). Encuentre la distancia cuando la persona observa la

partícula por primera vez.

8. Determine ( ),0f ′ si ( ) ( )( ) ( )50...21 −−−= xxxxxf

9. Si f , g y h son funciones tales que )(4)(3

)()()(xgxf

xgxfxh−

= , 2)3( =f , 2)3( −=g , 1)3´( −=f ,

2)3´( =g . Determine )3´(h .

Para funciones compuestas disponemos de la regla de la cadena.

3.6.2.1 Regla de la Cadena

Sea ( )y f u= y ( )u g x= . Si g es diferenciable en " 0x " y f diferenciable en " ( )0g x " entonces la función compuesta ( )( ) ( )( )f g x f g x= es diferenciable en "

0x " y

( ) [ ]0

0 0( )( ( ) (́ ) (́ )x x

g xd f g x f g xdx =

=

O lo que es lo mismo

( )u g x

dy dy dudx du dx =

=

Ejemplo 1

Si ( )202 2+= xy entonces haciendo 2)( 2 +== xxgu tenemos ( ) 20uufy == de donde

1920ududy

= y xdxdu 2= .


105

Por tanto ( )( )xudxdu

dudy

dxdy 220 19== que al reemplazar " u " resulta

( )( )( ) ( )192192 2402220 +=+= xxxxdxdy

El ejemplo anterior fue resuelto con un enfoque de cambio de variable para

observar la regla de cadena. Pero en la práctica esto no es necesario, la regla de la cadena puede ser aplicada de manera rápida.

Ejemplo 2

Si ( )u

xxseny 33 −= entonces ( ) ( ) ( )[ ][ ]333cos3´ 233 −−=−= xxxxxDsenuDy xu

Ejemplo 3

Si 30

2

23

13

u

xxxxy⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

++= entonces

( )( ) ( ) ( )( )

293 2 3 2

2 2

29 2 2 3 23 2

2 22

3 3´ 301 1

3 6 1 1 3 23301 1

xx x x x x xy D

x x

x x x x x x xx x xx x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + += ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + − − + +⎡ ⎤+ + ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ −⎣ ⎦

Para el caso de funciones de la forma ( )( ( )y f g h x= haciendo que

( )v h x= tenemos ( )( )y f g v= y ahora haciendo que ( )u g v= tenemos

( )y f u= ; entonces dy dy du dvdx du dv dx

= .

O más simplemente ( ) [ ][ ]´ ´ ( ( )) (́ ( )) (́ )y f g h x g h x h x= ⎡ ⎤⎣ ⎦

Ejemplo 4

Si ( ) ( )4

224 3cos3cos

u

v

xxy⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡== entonces:


106

( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ] ( )( )[ ] ( )[ ][ ]xxx

xDxx

xDxy

x

x

63sen3cos4

33sen3cos4

3cos3cos4´

232

2232

232

−=

−=

=

Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos:

Ejercicio Resuelto 1

Si ( ) 42 =f , ( ) 64´ =f , ( ) 22´ −=f hallar:

a) [ ]3)(xfdxd

en 2=x b) ( ) )2´(ff

SOLUCIÓN:

a) [ ] [ ] )´()(3)( 23 xfxfxfdxd

= que en 2=x sería:

[ ] ( ) ( ) 96243)2´()2(3 22 −=−=ff

b) ( ) [ ] [ ] [ ][ ] 12)2)(6()2´()4´()2´())2((́´)2(()2´(4

−=−==⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡== fffffffff


Si h

gfH = y además: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32;53;22;23;32;12 −=′=′−=′==−= gfhfgh ; determine

( )2H ′ . SOLUCIÓN:

Como h

gfxH =)( entonces:

[ ][ ]

[ ][ ]2

2

)()´())(()()´())(´(

)(

)´())(()())(()())(()´(

xhxhxgfxhxgxgf

xh

xhxgfxhxgfDxhxgfDxH x

x

−=

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

que en 2=x sería:

[ ]

[ ] [ ]

19)2´(1

)2)(2()1)(3)(5()1(

)2()3()1)(3()3´()2(

)2´())2(()2()2´())2((́

)2´(

2

2

3

=

−−−−=

−

−−−−=

−⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

=

H

ffh

hgfhggf

H


107

Ejercicio Resuelto 3 Demuestre que la derivada de una función par es una función impar SOLUCIÓN:

Sea f una función par, entonces se cumple que )()( xfxf =− . Ahora tomando derivada a ambos

miembros de la igualdad tenemos:

[ ] [ ][ ]( )

)´()´()´()´()´(1)´(

)()(

xfxfxfxfxfxf

xfDxfD xx

−=−=−−=−−=−

La última igualdad nos indica que ´f es una función impar. L.Q.Q.D

Finalmente las fórmulas de derivadas para funciones compuestas quedarían:

Sea )(xuu = , entonces: 1. ( ) ´)( 1 uunuD nn

x−=

2. ´)( ueeD uux =

3. ( ) ´ln)( uaaaD uux =

4. ´1)(ln uu

uDx =

5. ´ln1)(log u

auuD ax =

6. ( ) ´cos)(sen uuuDx = 7. ( ) ´sen)(cos uuuDx −= 8. ( )2(tan ) sec ´xD u u u= 9. ( )2(cot ) csc ´xD u u u= − 10. ( )(sec ) sec tan ´xD u u u u= 11. ( )(csc ) csc cot ´xD u u u u= −


108


1. Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son:

a) ( ) 2 2 2f x x x= − +

b) ( ) 12 3

f xx

=−

c) ( )x x

x x

e ef xe e

−

−

−=

+

d) ( )2

2

11

xf xx−

=+

e) ( )3

cos2senxf x

x⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

f) ( ) ( )2ln ln 1f x x⎡ ⎤= +⎣ ⎦

g) ( )2

2 2

1 1ln4 4 4

xf xx x

⎛ ⎞= −⎜ ⎟− −⎝ ⎠

2. Si { }IervalounenderivablefunciónunaesffV int/= . Demuestre que:

[ ])(')(')()( xfxfxfxfVf =−⇒−=−∈∀ (La derivada de una función impar es una función par)

3. Hallar ( ) ( )xgf ′ , si ( ) 2ueuf = y ( ) ( )4 2 2cos1 xxgu +==

4. Sean f, g y h funciones diferenciales para todo IRx∈ , tales que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2,,53,33,12,32,2,2 −=′=−=′=−=′=−=′= afaafffhhagag .

4)´(,)( == ahaah

En ax = determine el valor de:

a) ( )́fg b) ( )́hg c) ( )́gh

d) ( )́ghf e) ′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −fg

ghghf

5. Sea 0)0( =f y 2)0(' =f , encuentre la derivada de ))))(((( xffff en 0=x .

6. Suponga que f es derivable y que existen 2 puntos 1x y 2x tales que 21)( xxf = y 12)( xxf = . Sea

( ) ( )( )( )( )xffffxg = pruebe que )(')(' 21 xgxg =

7. Pruebe que si un polinomio )(xp es divisible entre ( )2bax + entonces )(' xp es divisible entre ( )bax + .

Sugerencia: Escriba el polinomio de la forma ( ) ( ) ( )2p x c x ax b= +⎡ ⎤⎣ ⎦ y derívelo.


109

3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR La derivada es una función por tanto se podría obtener también la derivada de

esta función y así sucesivamente. Es decir:

Sea ( )y f x= una función " n " veces derivable, entonces:

La primera derivada es:

h

xfhxfyDdxdyxfy

hx)()(lím)´(´

0

−+====

→

La segunda derivada es:

( )h

xfhxfyDdx

ydxfyyDhxx

)´()´(lím)´´(´´´0

22

2 −+=====

→

La tercera derivada es:

( )h

xfhxfyDdx

ydxfyyDhxx

)´´()´´(lím)´´´(´´´´´0

33

3 −+=====

→

En fin, La n ésima− derivada es:

h

xfhxfyDdx

ydxfynn

h

nxn

nnn )()(lím)(

11

0

−−

→

−+====

Ejemplo 1

Hallar ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

− xDn

x 211

SOLUCIÓN:

Aquí tenemos: ( ) 12121

1 −−=−

= xx

y .

Obteniendo derivadas hasta poder generalizarla, resulta:

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) 454535

343424

23233

1222

221!42214322)2(21)4)(32(

221)!3(221)32(222132´´´

221)!2(221222122´´

221!1221221´

−−−

−−−

−−−

−−−

−=−××=−−−×=

−=−×=−−−=

−=−=−−−=

−=−=−−−=

xxxy

xxxy

xxxy

xxxy

IV

Directamente la quinta derivada sería ( )( ) 56 221!5 −−= xyV

Por tanto la "n-ésima" derivada sería: ( )( ) ( ) nnn xny 221! 1+−−=


110

Ejemplo 2

Hallar 11 3

nxD

x⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

SOLUCIÓN:

Aquí tenemos: ( ) 11 1 31 3

y xx

−= = ++

.

Obteniendo derivadas:

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

( )

2

3 2

4 3

5 4

´ 1 3 3

´́ 2 1 3 3

´́ ´ 2 3 1 3 3

(2 3 4) 1 3 (3 )IV

y x

y x

y x

y x

−

−

−

−

= − +

= + +

= − × +

= + × × +

Directamente la quinta derivada sería ( )( ) ( )6 55! 1 3 3Vy x −= − +

Por tanto la "n-ésima" derivada sería: ( ) ( )( ) ( ) ( )11 ! 1 3 3n nn ny n x − += − +

Ejemplo 3

Demuestre que ( ) !nxD nnx = ; n∈

SOLUCIÓN:

Como nxy = entonces:

( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )

1

2

3

´´́ 1

´́ ´ 1 2

1 2 3 1

1 2 3 1!

n

n

n

n n n

y nxy n n x

y n n n x

y n n n n n n x

n n n nn

−

−

−

−

=

= −

= − −

= − − − − −

= − − −

=

Ejercicio Propuesto 3.5 1. Calcular las derivadas de orden superior indicadas.

a. ( )[ ]24

4cos x

dxd

b. ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+ xxsenx

dxd

1

2

2

2 π

c. [ ]xn

nxe

dxd

d. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

− xD n

x 45

e. ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−+

xxDx 1

130

f. [ ]xsenxdxd

35

35


111

2. Determine ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+ xdx

dxdxd

11

2

2

3. Usando el símbolo factorial, encuentre una fórmula para: ( )01

11 ... axaxaxaD n

nn

nnx ++++ −

− , n∈ 4. Determine un polinomio P de grado 3 tal que 1)1( =P , 3)1´( =P , 6)1´´( =P , 12)1´´´( =P .

Hasta aquí hemos tratado con funciones cuyas reglas de correspondencia estaban dadas por una ecuación de la forma ( )y f x= , esta forma la llamaremos en adelante EXPLÍCITA; suponga ahora que la ecuación de una función esté dada en la forma ( , ) 0F x y = , forma que le llamaremos IMPLÍCITA, y suponga que se desea obtener la derivada ´y de esta ecuación sin necesidad de despejar y ; de ahí la necesidad de mencionar mecanismo de derivación para este tipo de problema.

3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA Para obtener ´y en una función implícita ( , ) 0F x y = sin necesidad de

despejar y ; es más, suponga que no se pueda despejar y , hay que considerarla como 0))(,( =xfxF y derivando cada miembro de la ecuación tomando en cuenta las reglas mencionadas lograríamos lo deseado.

Ejemplo

Sea 4 5 0x y− = la ecuación de una función (asegúrese que en verdad representa una función) la derivada la podemos obtener por una de las siguientes formas:

1. Despejando y (forma explícita: 4

5y x= ) entonces:

1

54´5

y x−=

2. Sin despejar y (forma implícita: 4 5 0x y− = ).

La consideraremos como ( ) 54 0x f x− =⎡ ⎤⎣ ⎦ . Ahora derivamos cada miembro de la ecuación:

( ) [ ]

( ) ( )

54

43

0

4 5 ´ 0

x xD x f x D

x f x f x

⎡ ⎤− =⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦

− =⎡ ⎤⎣ ⎦

Ahora despejamos ( )´f x :

( )( )

3

4

4´5

xf xf x

=⎡ ⎤⎣ ⎦

Por ahora podemos comprobar que los resultados son los mismos, simplemente habría que reemplazar

( )4

5f x x= :


112

( )( )

3 3 3 15

4 4 164 55

4 4 4 4´55 55

x x xf x xf x xx

−= = = =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

Ejemplo 2

Sea 122 =+ yx con 0y ≥ (semicircunferencia), hallar ý SOLUCIÓN: PRIMER MÉTODO.

Como es posible despejar y , tenemos 21y x= + −

Entonces: ( ) ( )

1221

2

2

´ 1 2

1

y x x

x xyx

−= − −

= − = −−

SEGUNDO MÉTODO. Implícitamente consiste en observar la ecuación dada como [ ] 1)( 22 =+ xfx y tomar derivada a ambos

miembros de la igualdad: [ ]( ) ( )0)´()(22

1)( 22

=+=+

xfxfxDxfxD xx

que es lo mismo que: 0´22 =+ yyx

despajando ý resulta: 2

´1

x xyy x

= − = −−

Una dificultad puede ser que la ecuación dada no represente lugar geométrico.

Ejemplo

Suponga que la ecuación fuese 122 −=+ yx Esta ecuación no representa lugar geométrico, sin embargo obtener ý sería de la misma forma que el ejemplo anterior.

En los ejemplos anteriores se demuestra que la derivación implícita es válida,

la comprobación no siempre va a ser posible. Pero lo que se requiere es obtener la derivada y es lo que hemos dejado explicado.

Observe además que las ecuaciones implícitas podrían representar no sólo funciones sino una relación cualquiera, entonces estaríamos en capacidad de obtener la derivada en cualquier punto de esa relación.

Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos.


113


Hallar ý para 323 274 yxyx =+ SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos miembros y resolviendo tenemos:

( ) ( )( )

´6´14712

´6´27712

274

222

222

323

yyxyyyx

yyyyxyx

yDxyxD xx

=++

=++

=+

Despejando ý resulta: xyyyxy

146712´ 2

22

−+

=


Hallar ý para ( ) 123ln 222 −=++ xyyxx SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos:

( )( ) ( )[ ]

xyyyy

x

xyyyxxyyx

xDyyxxD xx

4´6´21

4´6´211

123ln

22

222

=+++

=+++

−=++

Despejando ý resulta:

y

xy

xy 1

2

614

´+

−−=


Hallar ý para ( ) yxxyxy ++= 22cos SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos:

( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( )yx

xyyx

xyxyyxyxyyxyy

yyxxyxyyyyxyxy

yxxyDxyD xx

++

++++=−−

+++++=+−

++=−

2´

2´2´sen2sen

´11´2´21sen

cos

222

2122

22

21

Despejando ý resulta:

( )

( )2

22

sen22

2

2sen

´xyxy

yxxy

yxxyxxyy

y+

++

+−+−−

=


114


Determinar la ecuación de la recta normal a la curva cuya ecuación es ( )yxsenycosx += en P(0,0). SOLUCIÓN:

La recta normal es la perpendicular a la recta tangente, por tanto tg

1m

mnormal −=

Ahora ( )0,0tg ým = . Obteniendo ý resulta: ( ) ( )( )

( ) [ ]´1)cos(´sencos1sencos

yyxyyxyyxDyxD xx

++=−++=

En la última expresión se puede reemplazar las coordenadas del punto, es decir: 0=x y 0=y y luego

despejar ý : ( ) [ ]

0´´101

´1)00cos(´0sen00cos

=+=+

++=−+

yy

yy.

Esto quiere decir que la recta tangente es horizontal y por tanto la recta normal será vertical con pendiente 10normalm = − = −∞

Y su ecuación será: ( )

0

0010

=

−−=−

x

xy (el eje y ).


Sea 22 32 =− yyx . Encuentre ''y en (2,1). SOLUCIÓN: Primero se encuentra 'y :

( ) ( )0´6´2

2222

32

=−+

=−

yyyxxy

DyyxD xx

En )1,2( sería: 2´

0´)1(6´)2()1)(2(2 22

==−+

yyy

Ahora encontramos ''y volviendo a derivar implícitamente:

( ) ( )

( ) 0´´6´´12´´´2´22

0´6´222

22

=+−+++

=−+

yyyyyyxxyxyy

DyyyxxyD xx

En )1,2( sería:15´´0´´648´´48820´´)1(6)2)(2)(1(12´´)2()2)(2(2)2)(2(2)1(2 22

==−−+++=−−+++

yyyyy


115


1. Encontrar dxdy

para:

a. 132

32

=+ yx

b. ( )ln 1xy y+ =

c. ln 0xye y+ =

d. sec tany y xy+ =

e. ( )ln 5xy y+ =

2. Demuestre que la rectas tangente a las curvas definidas por las ecuaciones 32 4xy = y 1432 22 =+ yx

en el punto ( )2,1 son perpendiculares entre sí.

3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación 53 33 =++ yxyx en el punto ( )1,1

4. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la grafica de ( ) 22322 8 yxyx =+ en el punto ( )1,1 −

5. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación ( )[ ] 212 =++− yxsenxy π

en el punto )1,1(

6. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación 223

23

=+ yx que es paralela a la recta 06 =++ yx

7. Determine las ecuaciones de la recta normal a la curva que tiene por ecuación ( ) ( )2222 41 yyyx −+= en el punto ( )2,0 − .

8. Determine la ecuación de la recta normal a la curva definida por la ecuación ( ) ( )yxyx += sen32cos en el punto ( )0,0 .

9. Determine todos los puntos de la función f que define la ecuación xyyx 232 =+ donde la recta tangente a f sea horizontal.

10. Encuentre ''y si 034 23 =+− yx

11. Calcula: 2

2

dxyd

para 132

32

=+ yx

12. Para la función )(xfy = dada en forma implícita por la ecuación

2tg 4 =+−π−yeyx determine 2

2

dxyd

en el punto ( )4,2 π .

3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA Las ecuaciones de ciertas trayectorias son dadas en la forma:

⎩⎨⎧

==

)()(

:tyytxx

C

Tanto x como y están expresadas en términos del parámetro t , el objetivo

será hallar directamente dxdy .


116

3.6.5.1 Teorema de la derivada de funciones definidas por ecuaciones paramétricas.

Suponga que )(txx = y )(tyy = son funciones continuamente diferenciables, y que 0)´( ≠tx para cualquier "t " de cierto intervalo. Entonces las ecuaciones paramétricas definen a " y " como una función diferenciable de " x " y su derivada es:

dtdxdtdy

dxdt

dtdy

dxdy

==

Ejemplo 1

Sea la circunferencia con ecuación cartesiana 122 =+ yx , la derivada también puede ser hallada partiendo

de su ecuación paramétrica ⎩⎨⎧

==

tytx

Csencos

: , es decir: yx

tt

dtdxdtdy

dxdy

−=−

==sen

cos

Esta manera representaría un tercer método para hallar la derivada, tal como se puede observar. Ejemplo 2

Sea ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

sentey

text

t cos hallar dydx

SOLUCIÓN:

sentt

tsentsentete

tesente

dtdxdtdy

dxdy

tt

tt

−+

=−

+==

coscos

coscos

Para hallar derivadas de orden superior, observe que la primera derivada es función de " t ", es decir que )´(ty

dxdy

= ; por tanto:

Segunda derivada: [ ] [ ][ ]

)´´(

)´()´(

)´(2

2ty

dtdxdt

tyd

dxdt

dttyd

tydxd

dxyd

====


117

Tercera Derivada: [ ] [ ][ ]

)´´´(

)´´()´´(

)´´(3

3ty

dtdxdt

tyd

dxdt

dttyd

tydxd

dxyd

====

Y así sucesivamente.

Ejemplo 1

Sea ⎩⎨⎧

==

tytx

Csencos

: hallar 3

3

d ydx

.

SOLUCIÓN:

Ya encontramos la primera derivada: ( )cos cotsen

dydy tdt tdxdx t

dt

= = = −−

La segunda derivada sería: ( ) ( ) ( )22

32

´ cot csccsc

d dy t td y dt dt tdx dxdx sentdt dt

− − −= = = = −

−

La tercera derivada sería: ( ) ( ) ( )

323

43

d dy´´ csc t 3csc t csc t cot gtd y dt dt 3csc t cot gtdx dxdx sentdt dt

− − −= = = = −

−

Ejemplo 2

Sea ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

sentey

text

t cos hallar 2

2

d ydx

SOLUCIÓN: La primera derivada ya la encontramos:

sentt

tsentsentete

tesente

dtdxdtdy

dxdy

tt

tt

−+

=−

+==

coscos

coscos

La segunda derivada sería:

( )

( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

2

2

2

2 2

2

2 2 2 2

cos´ cos

cos cos cos coscoscos

cos coscoscos

cos 2cos 2cos cos

t t

t t

d sent td yd y dt t sentdtdx dxdxdt dt

t sent t sent sent t sent tt sent

e t e sentt sent sent t

t sente t e sent

t tsent sen t sen t tsent t

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠= =

− − − + − −

−=

−

− + +

−= =

−− + + + +

=( )

( )

3

2

32

cos

2cos

t

t

e t sent

d ydx e t sent

−

=−


118

Ejemplo 3

Calcular n

n

dxyd

para: ⎪⎩

⎪⎨⎧

∈=

=

Rmty

txm ;

ln

SOLUCIÓN: Hallando las primeras derivadas, suficientes hasta poder generalizar, tenemos:

Primera derivada: mmm

mtt

tmt

t

mt

dtdxdtdy

dxdy

====−

−−

1

11

1

Segunda derivada:

[ ]m

mtm

ttm

dtdxdt

tyd

dxyd 2

1

12

2

2)´(

===−

−

Tercera derivada:

[ ]m

mtm

ttm

dtdxdt

tyd

dxyd 3

1

13

3

3)´´(

===−

−

Directamente, la cuarta derivada sería: mtmdx

yd 44

4=

Por tanto: mnn

ntm

dxyd=


1. Hallar dxdy

para:

a. ( )( )⎩

⎨⎧

−=+=

ttsentaytsenttaxcos

cos b.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+

−=

+=

1

11

2

2

t

ty

tx

2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ( )( )⎩

⎨⎧

−=−=

tayttax

cos1sen

en 2π

=t

3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=3

2

3

2

tty

ttxen el punto (1,2)

4. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ⎩⎨⎧

+=−=

ttyttx

2cos4sen33cos32sen4

en 0=t

5. Sea C la curva con ecuaciones paramétricas ⎪⎩

⎪⎨⎧

−+=

=

142 3

2

tty

tx; IRt ∈ . Encontrar las ecuaciones de las

rectas tangentes a C y que pasen por el origen.

6. Sea C la curva con ecuaciones paramétricas ( )

cosln cos

y tx t=⎧⎪

⎨ =⎪⎩. Calcule a)

2

2

dx

yd y b)

3

3

dx

yd


119

3.6.6 DERIVACIÓN POLAR Si una curva tiene sus ecuaciones en coordenadas polares, para encontrar la

derivada procedemos del mismo modo que para ecuaciones paramétricas.

Si tenemos ( )θfr = y como ⎩⎨⎧

==

)()cos(θθ

senryrx

Al reemplazar queda ⎩⎨⎧

==

)()()cos()(

θθθθ

senfyfx

Entonces θθθθθθθθ

θ

θsenff

fsenf

ddx

ddy

dxdy

)(cos)´(cos)()´(

−+

==

Para encontrar la ecuación de la recta tangente:

Considere que la ecuación cartesiana de una recta, definida por un punto y su pendiente, es de la forma:

)( 00 xxmyy −=− Entonces:

x

y

0y0r

0x

( )r f θ=

( )0 0,r θ

0θ

Fig. 3.13


120

( )( )

0000

0000

000

000

)(cos)´(cos)()´(

cos

0

θθθθθθθθ

θ

θ

θθθθ

θθ

senfffsenf

ddx

ddy

dxdym

senfyfx

−+

===

==

=

Ejemplo

Encuentre la ecuación de la recta tangente a θ=θ= 3sen4)(fr en 40π=θ

SOLUCIÓN: Observa la gráfica:

En este caso [ ]

2

4

cos3sen4

)cos()()cos()(

0

22

22

44

44000

=

=

=

=θθ=

ππ

ππ

x

ffx

y [ ]

2

4

sen3sen4

)sen()()sen()(

0

22

22

44

44000

=

=

=

=θθ=

ππ

ππ

y

ffy

Para la pendiente, tenemos: θ=θ 3cos12)´(f Entonces:

[ ] [ ][ ] [ ]

21

2626

412

412

34cos3cos12

cos343cos12

)(cos)´(cos)()´(

22

22

22

22

22

22

22

22

4444

4444

0000

0000

=

−−+−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

−

+=

−+

=

m

sensen

sensen

senfffsenf

m

ππππ

ππππ

θθθθθθθθ

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente estaría dada por: )2(2

)(

21

00

−=−

−=−

xy

xxmyy

Fig. 3.14


121


1. Hallar la ecuación de la recta tangente a θ3cos4−=r en 40πθ =

2. Hallar la ecuación de la recta tangente a θ34senr = en 60πθ =

3. Hallar la ecuación de la recta tangente a θ32senr = en 60πθ =

4. Hallar la ecuación de la recta tangente a θ343 senr −= en 30πθ =

3.6.7 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS

3.6.7.1 Teorema de existencia de la función inversa.

Si f es una función estrictamente monótona en su dominio entonces f tiene una inversa.

El teorema nos indica que es suficiente definir que una función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente para saber que es una función que tiene inversa. Ahora nos vamos a preocupar de la derivada de la función inversa.

3.6.7.2 Teorema de la derivada de la función inversa.

Sea f una función derivable y estrictamente monótona en un intervalo I . Si 0)´( ≠xf en cierto " x " en I , entonces

1−f es derivable en el punto correspondiente " y ", y

( ))´(

11

xfyf

dxd

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −


122

Lo que en esencia nos manifiesta el teorema es que la pendiente de la recta tangente a f ( 1m ) y la pendiente de la recta tangente a 1−f ( 2m ) se relacionan

de la forma 1

2

1m

m = . Y que se puede encontrar la derivada de la inversa 1−f ,

trabajando con f en el punto correspondiente. Es decir, sin necesidad de conocer

la regla de correspondencia de 1−f .

Ejemplo 1

Sea 12)( 5 ++= xxxf una función estrictamente monótona. Hallar ( )41⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −fdxd

SOLUCIÓN: En este caso "4" es rango para f por tanto habrá que encontrar el correspondiente x para reemplazarlo en:

( )xff

dxd

´1)4(1 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

Entonces, teniendo 124 5 ++= xx por inspección deducimos que 1=x la satisface.

Por lo tanto, ( ) ( ) 71

2151

1´1)4(

41 =

+==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

ff

dxd

No olvide que este resultado significa que la recta tangente a f en el punto ( )4,1 tiene pendiente 7=m y por tanto su ecuación sería: ( )174 −=− xy

En cambio, la recta tangente a 1−f en el punto correspondiente ( )1,4 tiene pendiente 71

=m y por

ecuación: ( )4711 −=− xy

Fig. 3.15


123

Ejemplo 2

Obtenga la derivada para la función inversa de xexf =)( empleando el teorema de la derivada de la función inversa. SOLUCIÓN:

De acuerdo al Teorema de la Derivada de la Función Inversa ( ) ( )yfxf

dxd

´11 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

Como xeyxf ==)( tenemos que xexf =)´( y yeyf =)´( y además al cambiar la variable resulta yex = , lo cual nos permite decir que: xyf =)´(

Bien, reemplazando ( ) xyfxf

dxd 1

´1

)(1 ==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

(No olvide la inversa de la función exponencial es la logarítmica, es decir: 1( ) lnf x x− = , cuya derivada la determinamos con su definición)

3.6.7.3 Derivadas de las Funciones Trigonométricas Inversas

( ) 11;1

1arcsen2

<<−−

= xx

xDx

( ) 11;1

1arccos2

<<−−

−= xx

xDx

( ) 211arctgx

xDx +=

( ) 2

1arc tg1xD co x

x= −

+

( ) 1;1

1sec2

>−

= xxx

xarcDx

Demostración: Demostraremos la primera. Planteemos el problema de la siguiente manera: Sea xyxf sen)( == hallar [ ] [ ]xDxfD xx arcsen)(1 =− SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de la Derivada de la función inversa tenemos: [ ] [ ]

)´(1)(1yf

arcsenxDxfD xx ==−

Entonces, yyf cos)´( = . Ahora habrá que encontrar ycos , sabiendo que senyx = (cambiando la variable en la función dada).

Por trigonometría, decir que 1xseny = significa que 21cos xy −= (observe la figura 3.16)


124

Por lo tanto, [ ]

21

1cos

1

xyarcsenxDx

−== L.Q.Q.D.

Las fórmulas anteriores pueden ser generalizadas para una función )(xuu =

( ) 11;´1

1arcsen2

<<−−

= uuu

uDx

( ) 11;´1

1arccos2

<<−−

−= uuu

uDx

( ) ´1

1arctg 2 uu

uDx +=

( ) 1;´1

1sec2

>−

= uuuu

uarcDx

Ejemplo

Hallar ´y para 22lntg yxxyarc +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

SOLUCIÓN: Derivando implícitamente, tenemos:

( )[ ]( )

( )[ ]

( )( )

( )( )

yxyxy

yxyyxyyyxyxy

yx

yyx

yxx

yxyx

yx

yyx

x

yxy

x

yx

yyxyxx

yxy

yxDyxx

yD

yxDxytgarcD

xy

xx

xy

xx

−+

=

+=−+=−+

+=

+

−

+/

+/=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

+

++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

+

++

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

´

´´´´

´´

2

´2´1

´222

1)1(´

1

1

121

1

1

ln

22222

2

222

2

22

222

22222

2221

2

2

Fig. 3.16


125


1. Si ( ) 23 37 ++= xxxf hallar ( )61⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −fdxd

2. Si ( ) 132 +−= xxxf para 23>x ; hallar ( )1 5d f

dx−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

.

3. Hallar ( )4π⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛dxdg , si g es la función inversa de f tal que: ( ) xarcxxf tgln +=

4. Si f es una función inversible y diferenciable. Si en el punto f∈)4,2( , la recta tangente es paralela a la

recta 023 =+− yx determine el valor de ( )41⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −fdxd

.

5. Hallar la ecuación de la recta tangente a la inversa de la función 32)( 3 −+= xxxf en el punto

( ))0(,0 1−f

6. Determine la ecuación de la recta tangente a la función )(1 xfy −= en el punto ( )12, ( 2)f −− − donde

IRxxxxf ∈++= ,323)( 3

7. Hallar la ecuación de la recta normal a la inversa de f en ( )12 , (2 )a f a− si se conoce que

aafaf 2)()´( == .

8. Hallar ( )01⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −fdxd conociendo que la ecuación ( ) 23cos =−+ yxxy define una función invertible

( ))(xfy = en un intervalo que contiene el punto 1=x y 0)1( =f

9. Calcular dxdy

, para :

a. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−= 1ln 2xxxarcsenxy

b. ( )4ln2

2 +−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= xxxarctgy

c. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=x

senxarctgycos53

4

d. ( )senxxarctgey +=

3

3.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Cuando las reglas de correspondencia de los lugares geométricos son un tanto

complicadas o cuando son funciones potenciales de la forma )()( xgxfy = , lo mejor será aplicar logaritmo y derivar implícitamente.

Ejemplo 1

Hallar dxdy para xxy =

SOLUCIÓN: Primero, aplicando logaritmo, tenemos:

xxy

xy x

lnlnlnln

==

Ahora derivando implícitamente, resulta:


126

( ) ( )

[ ][ ]1ln´

1ln´

1ln)1(´1

lnln

+=

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=

xxy

xyyx

xxyy

xxDyD

x

xx

Ejemplo 2

Hallar dxdy para [ ] xxy arctg2sen=

SOLUCIÓN:

Primero, aplicando logaritmo, tenemos: [ ]( )( )xxyxy x

2senlnarctgln2senlnln arctg

==


( )[ ]

( ) ( )( )

( )

[ ] ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+

+=

=

xxx

xxxy

xxx

xxyy

xx

xxx

yy

xxDyD

x

xx

2sen2cosarctg2

12senln2sen´

2sen2cosarctg2

12senln´

22cos2sen

1arctg2senln1

1´12senlnarctgln

2arctg

2

2

Ejemplo 3

Hallar dxdy para

xxxy =

SOLUCIÓN: Ahora, hay que aplicar dos veces logaritmo. Primero, aplicando logaritmo tenemos:

( )xxy

xyx

xx

lnln

lnln

=

=

Luego, volvemos a aplicar logaritmo: ( ) ( )

)ln(lnln)ln(ln)ln(lnln)ln(ln

lnlnlnln

xxxyxxy

xxyx

x

+=+=

=

Y ahora sí, derivamos implícitamente:


127

[ ] [ ]

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++=

++=

+=

xxxxxxy

xxxxxy

xxxyyy

xxxxxy

yy

xxxDyD

xx

xx

xx

x

xx

ln11lnln´

ln11lnln´

ln11lnln´

1ln11ln)1(´1

ln1

)ln(lnln)ln(ln

Existen situaciones en que es recomendable emplear la derivación logarítmica

Ejemplo

Hallar dxdy para

4

32

1

arctg12xe

xxy

+

++=

SOLUCIÓN: Primero, aplicando logaritmo, tenemos:

[ ]

( ) ( ) ( )x

x

exxy

e

xxy

+−+++=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+

++=

1lnarctg1ln2lnln

1

arctg12lnln

41

312

21

4

32


( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++

+=

+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++

+=

+−+++=

xx

xx

xxx

eexarctgx

xx

yy

eexarctgx

xx

yy

earctgxxDyD

1

141

1

11

1312

2

121´

1

141

1

11

1312

2

121´1

1ln1ln2lnln

22

22

41

312

21

Finalmente, reemplazando resulta:

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++

++

++= x

xxe

exarctgxx

xe

arctgxxy

1

141

1

11

1312

2

121

1

12´ 224

32


1. Calcular dxdy , para :

a. 4csc

1sec3

35

−

+=

x

tgxxy

b. ( )53

3 24 3

4

14cosxx

xxxy−

−=

e. xnnxy =

f. ( )( )

xarctg

xxsenarcseny

2

2

2

cosarccos ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=


128

c. ( ) ( )

)(32

1 2

33 2xearcsen

xx

xy++

−=

d. x

xy 3=

g. ( )( ) xxearcsenysec21+=

h. ( )( )( ) ( )( )xarctgxseny 3cos3ln=

i. ( ) 22 yxyx y +=+

j. ( )21x

y x= +

2. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación ( ) ( )1ln1

++=

xxey en el punto )1,0(

3. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación. 2=+ xy yx en el punto )1,1( .

4. Determine ( )2,12

2

dxyd

, si existe, para 3=+ xyx y

3.7 FUNCIONES HIPERBÓLICAS.

Existen funciones especiales, denominadas Hiperbólicas, que se definen a partir de la función exponencial.

3.7.1 FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO

Su regla de correspondencia es 2

)(xx eesenhxxfy

−−===

Por tanto su gráfica sería:

3.7.2 FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO

Su regla de correspondencia es: 2

cosh)(xx eexxfy

−+===

Fig. 3.17


129

Por tanto su gráfica sería:

3.7.3 FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA Su regla de correspondencia es:

xx

xx

eeee

xsenhxtghxxfy

−

−

+−

====cosh

)(

Por tanto, su gráfica sería:

Se puede demostrar que 1cosh 22 =− xsenhx

Fig. 3.19

Fig. 3.18


130

3.7.4 DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS

( ) xxDx coshsenh =

( ) xxDx senhcosh =

( ) xhxDx2sectgh =

( ) xhxcDx2csctgh −=

( ) xhxhxDx tghsecsec −=

( ) xhxchxDx tghcsccsc −=

¡Demuéstrelas!

Misceláneos

1. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique formalmente su respuesta.

a) Si 2)2()2´()2´( === ggf entonces ( ) 4)2( =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛dx

gfd

b) La función xxf sen)( = no es derivable en 0=x

c) Si f y g son derivables en cx = y 0)()´( == cgcf y )()()( xgxfxh = entonces 0)´( =ch .

d) La ecuación de la recta tangente a la curva 3xy = en el punto ( )1,1 es ( )131 −=− xy .

e) La expresión 2

1sen

2π→ −

−π x

xlimx

es la derivada de xxf sen)( = cuando 2π=x .

f) La función 356)( 3 −+= xxxf no tiene rectas tangentes con pendiente 4.

g) Si xxxxy =)( entonces ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++=x

xxxxxy xxx 1lnln)´( 2

h) Si ( ))()( xfefxg = tal que 2ln)0( =f , 2)0´( −=f y 3)2´( =f entonces 12)0´( −=g

i) Si f es una función continua en el intervalo cerrado [ ]ba, y )()( bfaf = entonces en algún punto del intervalo abierto ( )ba, , la función f tiene una recta tangente que es paralela al eje x .

j) Si f es una función invertible entonces )´(

1)(1xf

xfdxd

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ − .

k) Si f , g y h son funciones tales que ( ) 4)2´( =hgf , 1)1´()1( −== gg y

1)2´()2( == hh entonces 0)1´( =−f

l) Si f es una función inversible y derivable tal que 4)1´( =f y 2)1( −=f entonces

1)2(1 =−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −fdxd .


131

m) Si ( )))(1(1)( xfffxh ++= , 1)1( =f , 1)2( −=f , 5)1´( =f , 2)2´( −=f y 3)0´( =f entonces 30)1´( −=h

n) La función de variable real f con regla de correspondencia ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<≤

≥−

=0;3

10;

1;12

)(xx

xx

xx

xf es derivable

en todo su dominio.

o) Existen funciones g y h tales que la función

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥<<+−

≤

=1;)(

10;453

0;)(

)( 2

xxhxxx

xxg

xf es derivable en

todo .

p) Si tenemos las curvas baxxxf ++= 2)( y cxxxg += 3)( . Entonces no existen valores

, ,a b c∈ , tales que ellas posean una recta tangente común en el punto )2,2( .

q) Si la ecuación xy yx = define una función )(xfy = entonces la ecuación de la recta tangente a f en el punto ( )1,1 es 1−= xy .

r) Si g es la función inversa de xxxf ln2)( += entonces 52)2´( =g .

s) Si f es una función de variable real tal que ⎪⎩

⎪⎨⎧

>+

≤=

1;2

1;3)( 2 xx

xxxf entonces )1´(f existe.

t) 2)2()2´()2´( === ggf entonces ( ) 4)2´( =gf .

u) Si 0)()( == cgcf y )()()( xgxfxh = entonces 0)´( =ch

v) Si C es un lugar geométrico en el plano cuyos puntos satisfacen la ecuación:

{ }2 2

2 2 1 ; , 0x y a ba b

+ = ∈ − , entonces la recta tangente a C en cualquier punto

( ) CyxP ∈00, , tiene por ecuación 120

20 =+

b

yy

a

yx

w) Si f y g son funciones de en tales que ´´ gf = entonces gf =

2. Encuentre dxdy

para

a. ( ) yxeyx yx cos22cos22 =+ +

b. ( ) xxxy

ln2 1)( +=

c. ( )( )xexxy 32 coslnsen)( +=

d. 21 1arctg

yxy y −=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

e. xx xe exxy +=)(

f. xxxxy += cos)(

g. xxxy

3232ln)(

−+

=

h. 4

32

1

arctg12)(

xe

xxxy

+

++=

i. ( ) ( )23)( xarctgxsenxy =

j. ( ) xexxy2arctglnarcsen)( +=

k. ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=+ y

xyx arctgln

l. ( )xx eexy tg)( tg=

m. ( ) 2xyx y =+


132

3. Hallar [ ][ ]1)( 2 +xfdxd

4. Determine los valores para " a ", " b " y " c " de modo que la función

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>+

≤≤+

<⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

=

1;

10;

0;sen

)(2

144

xdcx

xbax

xx

xfx

Sea continua en 0=x y derivable en 1=x . Además determine, de ser posible,

[ ] ( )[ ] ( )1´.)2´( 21 +−− πfff

5. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎩⎨⎧

==

tantytx

2sec2

en 6π

−=t

6. Si 23)´( xexxf = , 0)1( =f y ( ) 31)( 2 ++= xxg determine el valor de ( ) )1´(fg .

7. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva definida por las ecuaciones paramétricas

⎩⎨⎧

==

ttytx

cossencos

en el punto )0,0( .

8. Determine la ecuación de la recta tangente a la función f en 1=x donde f , g y h son funciones

diferenciables en todo IR . f tiene como regla de correspondencia a ( ))()( 2 xgxhxf = y se conoce que 2)1( =g , 2)1´( −=g , 3)2´( −=h y 1)2( −=h

9. Determine los puntos del intervalo [ ]2,1− donde la función [ ] 1)( −+= xxxf sea derivable.

10. Determine los valores reales que puede tomar " k " para que kk

fdxd

51)1( 2

1

+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ − . Considere que

1)4( =f y xxxf 10)´( 2 +−= .

11. Para la función )(xfy = cuyas ecuaciones paramétricas son ⎩⎨⎧

−==

ttytx

arcsenarccos

, ( )1,1−∈t determine

3

3

dxyd

.

12. Para la función )(xfy = cuyas ecuaciones paramétricas son ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=

ttytx

ln1 2

, 0>t determine 3

3

dxyd

en el

punto )0,2(

13. Determine a, b y c conociendo que las curvas baxxy ++= 2 y 2xcxy −= tienen una recta tangente común en el punto )0,1( .

14. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva cuya ecuación es ( ) xyxyyx =−− tgln 2 en el punto

)0,1( .

15. Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva C en el punto )2,1( . Donde C está definida por las

ecuaciones paramétricas ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

−+

tt

tt

y

x

31

2 2

, { }0,1−−∈ IRt


133

16. Hallar 2

2

dxyd

para ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

tey

text

t

sen

cos, IRt ∈

17. Hallar dxdy

en el punto ( )π,0 donde x e y satisfacen la ecuación ( ) 0sen2 =−++ xyxxy .

18. Sea )(xfy = función tal que 1−= fh . Sea 0≥y si 2

21

)(+

−+

=yy

yyh calcular )1´(f

19. Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la curva definida por las ecuaciones paramétricas

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

tay

tax3

3

sen

cos; [ ]π∈ 2,0t ; 0>a en el punto ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

3

22

3

22 ,aa .

20. Determine los valores de a, b, c para que las funciones f y ´f sean continuas en todo su dominio; donde f

es una función tal que ⎪⎩

⎪⎨⎧

<+

≥+=

0;

0;sen)(

xcbe

xaxxf x .

21. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ( )( )⎩

⎨⎧

+=+=

ttyttx

sencos1coscos1

en 2π=t .

22. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación ( ) 43cos 22 =++ xxyy ; en el punto )0,1( .

23. Hallar le ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación 1ln =+ yxy ; en el punto )1,1( .

24. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=3

2

3

2

tty

ttx

en el punto ( )2,1 .

25. Demuestre que la derivada de [ ])(cossen)( xfxxF = es una función Par.

26. Determine el valor de k de manera que la recta definida por 03 =+− kyx sea tangente a la parábola

definida por 152 2 +−= xxy .

27. Hallar ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

xx

dxd

11

50

50

28. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

−=− 2

12

2

t

t

ey

ex cuando 0=t

29. Determine la ecuación de la recta tangente a la función f cuya regla de correspondencia es

66)( 2 +−= xxxf , y además dicha recta es paralela a la recta que contiene al origen y al vértice de la parábola.

30. Si f es una función de en inversible y con regla de correspondencia 103)( 3 −+= xxxf

entonces determine ( )41⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −fdxd

MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

109

4 4.1 MONOTONÍA 4.2 MÁXIMOS Y MÍNIMOS 4.3 CONCAVIDAD 4.4 ELABORACIÓN DE GRÁFICAS

SOFISTICADAS 4.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA

DERIVADAS 4.6 TEOREMA DE ROLLE 4.7 TEOREMA DE CAUCHY 4.8 TEOREMA DE L´HOPITAL

OBJETIVOS:

• Determinar intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento • Determinar extremos • Determinar intervalos de Concavidad. • Graficar funciones sofisticadas. • Utilizar el teorema del valor medio para derivadas. • Calcular indeterminaciones empleando derivadas.


110

4.1 MONOTONÍA La derivada nos permite determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función. 4.1.2 Teorema de Monotonía

Sea ƒ una función continua en un intervalo [ ]ba, y diferenciable en todo punto interior de [ ]ba, . Entonces: 1. Si [ ]baxxf ,,0)´( ∈∀> entonces ƒ es creciente en [ ]ba,

2. Si [ ]baxxf ,,0)´( ∈∀< entonces ƒ es decreciente en [ ]ba, .

DEMOSTRACIÓN. Se demostrará el primer inciso del teorema.

Suponga que 0)´( >xf entonces 0)()(

0

0

0

>−−

→ xxxfxf

límxx

; es decir 0)()(

0

0 >−−

xxxfxf .

Suponga ahora que xx <0 , entonces )()( 0 xfxf < , lo cual indica que f es creciente. Si 0x x< entonces 0( ) ( )f x f x< lo cual también indica que f es creciente

Para el caso 0)´( <xf , la demostración es análoga.

Ejemplo 1

Analice la monotonía de 2( ) 2 4 5f x x x= − + SOLUCIÓN: De acuerdo al teorema anterior para determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento analizamos la primera derivada de f . Es decir, a 44)´( −= xxf El asunto es determinar en que intervalo para x esta derivada tiene valores positivos y en qué intervalo tiene valores negativos, para lo cual factorizamos )1(4)´( −= xxf ; se observa que:

x )´(xf f

1<x Negativa (-) decrece 1>x Positiva(+) crece


111

Ejemplo 2 Analice la monotonía de 3 2( ) 3 3f x x x= − + SOLUCIÓN: Analizando la primera derivada 2(́ ) 3 6f x x x= − En la forma factorizada ( )(́ ) 3 2f x x x= − se observa que:

x )´(xf f 0<x Positiva (+) crece

0 2x< < Negativa (-) decrece 2x > Positiva (+) crece

Ejercicios Propuestos 4.1 1. Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento:

1. 171243)( 234 +−−= xxxxf

2. 5

34( )5 3xf x x= −

3. 31( ) 4 23

f x x x= − +

4. 51233)( 23 −+−= xxxxf

5. ( ) ( )42 1−= xxf

6. ( )43 1)( −= xxf

4.2 MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Este es uno de los problemas más interesante que resuelve la derivada 4.2.1 DEFINICIÓN

Sea :f I R R⊆ . Suponga “ 0x ” pertenece al intervalo I . Entonces: 1. 0( )f x es el valor máximo de f en I , si

0( ) ( )f x f x≥ , x I∀ ∈ . (El mayor de todos) 2. 0( )f x es el valor mínimo de f en I , si

0( ) ( )f x f x≤ , x I∀ ∈ . (El menor de todos) Al valor máximo y al valor mínimo de f se le llama VALOR EXTREMO.


112

Ahora debemos dar las condiciones para garantizar la existencia de los valores extremos.

4.2.2 TEOREMA. Condición suficiente para la existencia de Máximos y Mínimos

Si f es una función continua definida en un intervalo [ ]ba, entonces f alcanza un valor máximo y un valor mínimo en [ ]ba, .

Lo anterior quiere decir que siempre encontraremos extremos cada vez que trabajemos con funciones continuas en un intervalo cerrado. Pero sigue habiendo una interrogante ¿cómo obtenerlos?

Podemos suponer que deben existir puntos candidatos a ser extremos. Es decir, dedicarnos a analizar sólo cierta clase de puntos. Estos serán los denominados Puntos críticos.

4.2.3 DEFINICIÓN. Puntos Críticos.

Sea f una función definida en un intervalo [ ]ba, que contiene a “ 0x ”. Entonces “ 0x ” es llamado Punto Crítico si es: • Un punto extremo del intervalo, es

decir ax =0 , bx =0 . Estos serán denominados Puntos Críticos de Frontera.

O bien, • Un punto donde la derivada es igual a

cero; es decir 0)´( 0 =xf . Estos serán denominados Puntos Críticos


113

Estacionarios. (En estos puntos la recta tangente es horizontal).

O bien, • Un punto donde la derivada no existe;

es decir )´( 0xf no está definida. Estos serán denominados Puntos Críticos Singulares. (En estos puntos la gráfica de f tiene unos picos. Por ejemplo ( )f x x= , tiene un punto crítico singular (pico) en 0x = )

4.2.4 TEOREMA

Sea f una función definida en un intervalo [ ]ba, que contiene a “ 0x ”. Si

)( 0xf es un valor extremo entonces “ 0x ” es un Punto Crítico.

Para el caso de puntos críticos de frontera, no se requiere demostración, debido a que obviamente estos serán candidatos a que allí se produzcan los extremos de la función. La demostración se la realizará para los casos de puntos críticos estacionarios y puntos críticos singulares.

DEMOSTRACIÓN. Sea )( 0xf un valor máximo; es decir ( ) )(0 xfxf ≥ , entonces: 0)()( 0 ≤− xfxf

Si 0x x> , dividiendo por 0xx − tenemos 0)()(

0

0 ≤−−

xxxfxf

Ahora obteniendo límite 0)()(

00 0

0++ →→

≤−−

xxxxlím

xxxfxf

lím resulta 0)´( 0 ≤+xf .

Para 0xx < , tenemos, obteniendo límite 0)()(

00 0

0−− →→

≥−−

xxxxlím

xxxfxf

lím resulta 0)´( 0 ≥−xf

Suponga que f es derivable en 0x , entonces 0)´( 0 =xf ; es decir 0x es un punto crítico estacionario. Suponga que f no es derivable en 0x , entonces )´( 0xf no existe; es decir 0x es un punto crítico singular. La demostración sería análoga para el caso de que )( 0xf sea un valor mínimo.


114

Por lo tanto, los valores extremos de una función se producirán siempre en los puntos críticos. Bastará con analizar los puntos críticos.

Además, el teorema anterior nos hace concluir que:

• Si “ 0x ” no es un punto crítico entonces no será extremo. • Necesariamente los extremos se producen en los puntos críticos. • Es suficiente que )( 0xf sea un extremo para que “ 0x ” sea un punto

crítico. • Que “ 0x ” sea un punto crítico es una condición necesaria pero no es

suficiente. Es decir, no todo punto crítico es extremo. En las gráficas anteriores, también se presentaban puntos críticos que no eran extremos. Esto nos hace pensar que deben existir criterios para clasificar los puntos críticos, sin embargos en problemas sencillos no son necesarios, un simple análisis basta.


115

Ejemplo 1

Determinar los extremos para 542)( 2 +−= xxxf en [ ]3,0 SOLUCIÓN: De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos. 1. Puntos críticos de Frontera: 00 =x y 30 =x 2. Puntos críticos Estacionarios: valores de x para los cuales la derivada es igual a cero. Para obtenerlos

analizamos la derivada 44)´( −= xxf

Ahora 0)1(40)´(=−

=xxf

, entonces sería: 10 =x .

3. Puntos críticos Singulares: valores de x para los cuales la derivada no existe. Al observar la derivada

notamos que se define para toda x ; por tanto, no existe puntos críticos singulares. Es lo que se espera debido a que las funciones polinomiales son continuas y derivables en todo .

Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual, evaluamos la función en los puntos

críticos (Esto es suficiente debido a que se trata de una función polinómica, más adelante aprenderemos criterios más fuertes, para otros casos):

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3)1(11534323

55040202

2

==+−=

=+−=

ff

f

Por inspección, se determina que: En 30 =x se encuentra el Valor Máximo f .

Y en 10 =x se encuentra el Valor Mínimo de f . Ejemplo 2

Determinar los extremos para 3 2( ) 3 3f x x x= − + en [ ]2,3− SOLUCIÓN: Primero determinamos los puntos críticos. 1. Puntos críticos de Frontera: ´0 2x = − y 0 3x =

2. Puntos críticos Estacionarios: Analizando la derivada 2´( ) 3 6f x x x= − , tenemos:

2

´( ) 03 6 03 ( 2) 0

f xx xx x

=

− =− =

Entonces serían: 00 =x y 0 2x = . 3. Puntos críticos Singulares: No hay. Bien, ahora evaluando en la función:

( ) ( ) ( )( )

3 2

3 2

3 2

2 2 3 2 3 8 12 3 17

3 (3) 3(3) 3 27 27 3 3(0) 3(2) (2) 3(2) 3 1

f

fff

− = − − − + = − − + = −

= − + = − + =

=

= − + = −


116

De acuerdo a estos resultados se puede concluir que el valor máximo de la función es 3, que se produce tanto en 0 3x = como en 0 0x = ; y, el valor mínimo de la función es -17 que se produce en 0 2x = − .

Ejercicios Propuestos 4.2 1. Determine el valor máximo y el valor mínimo :

1. 171243)( 234 +−−= xxxxf en [ ]2,3−

2. 5

34( )5 3xf x x= − en [ ]3,3−

3. 31( ) 4 23

f x x x= − + en [ ]5,3−

4. 51233)( 23 −+−= xxxxf en [ ]1,1−

5. ( ) ( )42 1−= xxf en [ ]2,2−

6. ( )43 1)( −= xxf en [ ]1,2−

Hasta el momento nos habíamos preocupado de determinar el mayor de todos los valores de la función y el menor de todos en todo su dominio o en un intervalo de su dominio, pero esto nos deja insatisfechos con respecto a puntos críticos que bien pudieron ser extremos, u otros puntos que los pudiéramos considerar máximos o mínimos cuando no lo son. 4.2.5 Máximos y Mínimos Locales O Relativos

Sea f una función de variable real. Sea “ 0x ” un punto del dominio de f . Entonces: 1. )( 0xf es un valor máximo local de f , si

existe un intervalo ( )ba, en el dominio de f que contiene a “ 0x ” tal que )( 0xf es el valor máximo de f en ( )ba, .

2. )( 0xf es un valor mínimo local de f , si existe un intervalo ( )ba, en el dominio de f que contiene a “ 0x ” tal que )( 0xf es el valor mínimo de f en ( )ba, .

3. )( 0xf es un valor extremo local de f , si es un máximo o un mínimo local.

Al mayor valor y al menor valor de todos, se les llamará extremos absolutos. Observe el siguiente gráfico:


117

Un criterio para clasificar a los extremos locales es el que sigue.

4.2.6 Teorema: Criterio de la primera derivada.

Sea f continua en ( )ba, que contiene al punto crítico “ 0x ”. Entonces: 1. Si ( )0,,0)´( xaxxf ∈∀> y ( )bxxxf ,,0)´( 0∈∀<

entonces )( 0xf es un valor máximo local de f .

2. Si ( )0,,0)´( xaxxf ∈∀< y ( )bxxxf ,,0)´( 0∈∀> entonces )( 0xf es un valor mínimo local de f .

3. Si )´(xf tiene el mismo signo a ambos lados de “ 0x ” entonces )( 0xf NO es un valor extremo de f .


118

Ejemplo Para 3 2( ) 3 3f x x x= − + Analizando la primera derivada ( )(́ ) 3 2f x x x= − se observó que:

x )´(xf f 0<x Positiva (+) crece

0 2x< < Negativa (-) decrece 2x > Positiva (+) crece

Entonces: 1. Como antes de 0x = la derivada es positiva y después es negativa se concluye que (0) 3f = es un

máximo local. 2. Como antes de 2x = la derivada es negativa y después es positiva se concluye que (2) 1f = − es un

mínimo local.

Ejercicios Propuestos 4.3 Emplee el criterio de la primera derivada para clasificar los extremos locales:

1. 171243)( 234 +−−= xxxxf

2. 5

34( )5 3xf x x= −

3. 31( ) 4 23

f x x x= − +

4. 51233)( 23 −+−= xxxxf

5. ( ) ( )42 1−= xxf

6. ( )43 1)( −= xxf

Si nuestro objetivo ahora fuese trazar la gráfica de las funciones analizadas, no tendríamos inconveniente, debido a que la información que hemos obtenido nos permite hacerlo.

Ejemplo 1

Trazar la gráfica de 542)( 2 +−= xxxf en [ ]3,0 . SOLUCIÓN: Se ha obtenido 10 =x como Punto Critico Estacionario y también se ha determinado que antes de este punto la gráfica de la función es decreciente y después es creciente, por tanto su gráfica sería:

•

•

•

542)( 2 +−= xxxf

( )3,1

( )5,0

( )11,3


119

Note que para obtener la gráfica de la función anterior no es necesario el análisis que se realizó, hubiera bastado con los criterios conocidos acerca de funciones cuadráticas. Sin embargo se decidió realizarlo para que el lector compruebe la concordancia de los resultados, aplicando uno u otro criterio, y además para que se vaya familiarizando con los criterios nuevos, expuestos en esta sección.

Para otros casos se hace imprescindible los nuevos criterios.

Ejemplo 2

Graficar 3 2( ) 3 3f x x x= − + en [ ]2,3− SOLUCIÓN: Ya se obtuvieron los Puntos Críticos Estacionarios 00 =x y 0 2x = , también se determinó que antes de

00 =x la gráfica de la función es creciente y después es decreciente hasta el otro punto 0 2x = ; y después de este punto crítico es otra vez creciente; por tanto, su gráfica es:

Ejercicios Propuestos 4.4 Elabore la gráfica de:

1. 171243)( 234 +−−= xxxxf

2. 5 33 20y x x= −

3. 313 9 2y x x= − +

4. 51233)( 23 −+−= xxxxf

5. ( ) ( )42 1−= xxf

6. ( )43 1)( −= xxf

Para los casos de funciones polinomiales, los criterios estudiados podrían ser suficientes para obtener una buena aproximación de su gráfica, debido a que son funciones continuas y derivables en todo su dominio y se puede concluir sobre su

.máxy

míny

3 2( ) 3 3f x x x= − +


120

comportamiento sin cometer error alguno; sin embargo, para otros casos se hace necesario otros criterios.

Ejemplo.

Graficar 4

5( )f x x= SOLUCIÓN:

Analizando la derivada 1

5

5

4 4(́ )5 5

f x xx

−= = , tenemos:

Punto Crítico Singular: 00=x x )´(xf f

0<x Negativa (-) decrece 0>x Positiva (+) crece

Por tanto, se puede decir que su gráfica es:

Para la gráfica del último ejemplo se hace necesario determinar la forma de la curva, porque con la información de monotonía obtenida queda la duda de que la gráfica presente el comportamiento anterior, sino más bien tengo uno de los siguientes comportamientos:

45y x=


121

4.3 CONCAVIDAD 4.3.1 Teorema de concavidad

Sea f una función dos veces derivable sobre un intervalo abierto I. Entonces: 1. Si Ixxf ∈∀> ,0)´´( entonces f es

cóncava hacia arriba en I. 2. Si Ixxf ∈∀< ,0)´´( entonces f es

cóncava hacia abajo en I.

Ejemplo 1

Analizar la concavidad de 4

3( )f x x= SOLUCIÓN:

Como la primera derivada de f es 1

54(́ )5

f x x−=

entonces la segunda derivada es 6

5

5 6

4 4´́ ( )25 25

f x xx

−= − = −

Determinando el signo de la segunda derivada, se concluye que:

x )´´(xf f 0<x Negativa (-) Cóncava hacia abajo 0>x Negativa (-) Cóncava hacia abajo

Certificando con esto que la gráfica de f es la que se proporcionó.

Otra definición importante es la que presentamos a continuación. 4.3.2 Puntos de Inflexión

Sea f continua en “ 0x ”, llamamos a ( ))(, 00 xfx un punto de inflexión de la gráfica de f , si es cóncava hacia arriba a un lado de “ 0x ” y cóncava hacia abajo al otro lado.


122

Es decir, en un punto de inflexión la segunda derivada cambiará de signo, o de positiva a negativa o de negativa a positiva.

Ejemplo 2 Analizar la concavidad de 3 2( ) 3 3f x x x= − + SOLUCIÓN: Como la primera derivada de f es 2(́ ) 3 6f x x x= − entonces la segunda derivada es

´́ ( ) 6 6 6( 1)f x x x= − = −

x )´´(xf f 1x < Negativa (-) Cóncava hacia abajo 1x > Positiva (+) Cóncava hacia arriba

Esto confirma la gráfica de f proporcionada anteriormente y además completa la información del comportamiento de la función.

Note que en la función del ejemplo anterior hay un punto donde su gráfica cambia de concavidad, éste es el punto de inflexión.

Ejercicios Propuestos 4.5 Determine los intervalos de concavidad:

1. 171243)( 234 +−−= xxxxf

2. 5

34( )5 3xf x x= −

3. 31( ) 4 23

f x x x= − +

4. 51233)( 23 −+−= xxxxf

5. ( ) ( )42 1−= xxf

6. ( )43 1)( −= xxf

3 2( ) 3 3f x x x= − +


123

Para clasificar los puntos críticos estacionarios en máximos y mínimos, también se podría aplicar este otro criterio.

4.3.3 Teorema: Criterio de la segunda derivada

Supóngase que ´f y ´´f existen en ( )ba, que contiene a “ 0x ” y que 0)´( 0 =xf . 1. Si 0´́ ( ) 0f x < entonces )( 0xf es un valor

máximo local de f . 2. Si 0´́ ( ) 0f x > entonces )( 0xf es un

valor mínimo local de f .

Ejemplo Determinar los extremos aplicando el criterio de la segunda derivada para 3 2( ) 3 3f x x x= − + SOLUCIÓN: De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos estacionarios. Puntos críticos Estacionarios: 0=x y 2x = . Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual: ´´( ) 6 6f x x= −

a) ´´(0) 6(0) 6 6 0f = − = − < (negativo) por tanto aquí hay un MÁXIMO.

b) ( )´´(2) 6 2 6 6 0f = − = > (positivo) por tanto aquí hay un MÍNIMO.


124

4.4 ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS

Para elaborar gráficas de funciones con reglas de correspondencias sofisticadas se sugiere seguir los ochos pasos siguientes:

1.Establecer el dominio de la función. 2.Establecer la simetría de las gráficas.

Es decir, determinar si es par, impar o ninguna.

3.Establecer las asíntotas horizontales, verticales u oblicuas.

4.Establecer los puntos críticos de frontera, estacionarios y singulares.

5.Analizar la monotonía. Es decir, determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento.

6. Establecer los extremos relativos. 7.Analizar la concavidad. Es decir,

determine los intervalos donde es cóncava hacia arriba y los intervalos donde es cóncava hacia abajo.

8. Establecer los Puntos de Inflexión.

Ejemplo 1

Graficar 4

243( )243xf x

x=

+

SOLUCIÓN: Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso 1. DOMINIO: RfDom =

Paso 2. SIMETRÍA: ( )

4 4

243 243( ) ( )( ) 243 243

x xf x f xx x

−− = = − = −

− + + por tanto f es IMPAR.


125

Paso 3. ASÍNTOTAS: VERTICALES: No hay (¿por qué?) HORIZONTALES: Calculamos límite al infinito

4 3

44

44 4

243 243243 0lím lím lím 01243 1243 243 0243

x x x

xx x x

xxxx x

→∞ →∞ →∞= = = =

+ +++

Note que idéntico resultado se obtendría tomando límite a menos infinito, es decir:

4

243lím 0243x

xx→−∞

=+

Por tanto el eje x ( 0=y ) es asíntota horizontal tanto para el infinito positivo como para el infinito negativo. Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS: • P.C.F : no hay. ¿Por qué? • P.C.E:

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( )( )( )

4 3 44

2 2 24 4 4

2 2 2

2 24 4

243 (4 ) 3 81243 3(́ ) 243 243 243243 243 243

3 9 9 3 3 3 9243 243

243 243

x x x xxf xx x x

x x x x x

x x

+ − −−= = = =

+ + +

− + − + += =

+ +

por lo tanto tenemos P.C.E: 0 3x = y 0 3x = − • P.C.S: no hay. ¿Por qué? Paso 5. MONOTONÍA: Analizando el signo de la primera derivada, se concluye que: Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que: 1. En 0 3x = − la primera derivada cambia de signo, de negativo a positivo, por tanto aquí existe un Mínimo local. 2. En 0 3x = la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo local. Paso 7: CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada

( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( )

( )

24 3 4 4 4 3

2 44 4

4 3 4 4 3

44

7 3 3 7

34

7 3

34

3 4

34

3

81 4 243 81 2 243 4´́ ( ) 729 729

243 243

4 243 243 81 2729

243

4 243 162 2729

243

4 405729

243

4 405729

243

4729

x

x x x x x xf x D

x x

x x x x x

x

x x x x

x

x x

x

x x

x

x

⎡ ⎤− − + − − +⎢ ⎥= =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − + − −⎣ ⎦=+

⎡ ⎤− − − +⎣ ⎦=+

⎡ ⎤−⎣ ⎦=+

⎡ ⎤−⎣ ⎦=+

=( )( )

( )( )( )( )

( )

2 2

34

3 24 4

34

405 405

243

4 405 405 405729

243

x x

x

x x x x

x

− +

+

− + +=

+

3−

++++++−−−−−−´f

f

−−−−−−

decrece decrececrece 3


126

Entonces: Paso 8: PUNTOS DE INFLEXIÓN Como la segunda derivada cambia de signo tanto en 0=x , 4 405x = y 4 405x = − entonces existen

tres puntos de inflexión: ( )( )4 4405, 405f− − , ( )0,0 y ( )( )4 4405, 405f .

En conclusión:

x )´(xf )´´(xf f 4 405x < − - - Decrece y cóncava hacia

abajo 4 405x = − 0 Punto de inflexión

4 405 3x− < < − - + Decrece y cóncava hacia arriba

3x = − 0 + Punto crítico estacionario, Mínimo local

3 0x− < < + + Crece y cóncava hacia arriba

0=x 0 Punto de inflexión 0 3x< < + - Crece y cóncava hacia

abajo 3x = 0 - Punto crítico estacionario,

Máximo local 41 405x< < - - Decrece y cóncava hacia

abajo 4 405x = 0 Punto de inflexión 4 405x > - + Decrece y cóncava hacia

arriba

4 405−

++++++−−−−−−´´f

f

−−−−−−

4 4050

++++++

2.25

2.25−

4

243( )243xf x

x=

+( )4.49;1.68

( )4.49; 1.68− −


127

Ejemplo 2

Graficar 11)( 2

2

−+

=xxxf

SOLUCIÓN: Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso 1. DOMINIO: { }1,1−−= RfDom

Paso 2. SIMETRÍA: ( ) )(

11

1)(1)(

2

2

2

2xf

xx

xxxf =

−

+=

−−

+−=− por tanto f es PAR.

Paso 3. ASÍNTOTAS: VERTICALES: 1−=x y 1=x (calcule los límites laterales) HORIZONTALES: Calculamos límites al infinito

11

1

11

22

222

2

2

2=

−

+=

−

+∞→∞→

xxx

xxx

límxxlím

xx

Por tanto, 1=y es la asíntota horizontal tanto el infinito positivo como para el infinito negativo. Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS: • P.C.F : no hay. ¿Por qué? • P.C.E:

( ) ( )( ) ( ) ( )2222

33

22

22

1

4

1

2222

1

)2(112)´(−

−=

−

−−−=

−

+−−=

x

x

x

xxxx

x

xxxxxf

Por lo tanto tenemos 00 =x • P.C.S: no hay. ¿Por qué? Paso 5. MONOTONÍA: Analizando el signo de la primera derivada, se concluye que: Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que: En 00 =x la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo local. Paso 7: CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada

( )( ) ( ) ( )( )( )

( )

( )

( ) ( )33

2

32

22

222

222

22

11412´´

1

1644

1

212414

1

4)´´(

+−

+=

−

++−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

xxxf

x

xx

x

xxxx

x

xDxf x

Entonces:

1−

++++++ −−−−−−´f

f

−−−−

decrece decrececrece10

++++

crece

1−

´´f

f

−−−−−−−−−−−

1

++++++++++++


128

Paso 8: PUNTOS DE INFLEXIÓN: No hay En conclusión:

x )´(xf )´´(xf f 1−<x + + Crece y cóncava hacia arriba 1−=x Asíntota vertical

01 <<− x + - Crece y cóncava hacia abajo 0=x 0 - Punto crítico estacionario,

Máximo local 10 << x - - Decrece y cóncava hacia

abajo 1=x Asíntota vertical 1>x - + Decrece y cóncava hacia

arriba

Ejemplo 3

Graficar 2

( )1

xf xx

=+

SOLUCIÓN: Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso 1. DOMINIO: { }1Dom f R= − −

Paso 2. SIMETRÍA: ( )( )

2 2

( )1 1

x xf xx x−

− = =− + − +

, por tanto f no es par ni impar.

Paso 3. ASÍNTOTAS: VERTICALES: Por inspección de la regla de correspondencia, en 1x = − la función no se define (división entre cero) por tanto aquí hay una asíntota vertical. Además:

2

1lím

1x

xx−→−

= −∞+

y 2

1 1x

xlímx+→−

= +∞+

HORIZONTALES: Calculamos límites al infinito

11

2

2

−+

=xxy


129

2

2 2

2 2 2

1 11 1 11 0x

xx xlím

xxxx x x

→∞= = = = ∞

+ + +

Por tanto, no hay asíntota horizontal. ASÍNTOTA OBLICUA: En ciertas funciones se cumple que: ( )lím ( ) 0

xf x mx b

→∞− + =⎡ ⎤⎣ ⎦

donde xxf

mx

)(lím

∞→= y [ ]mxxfb

x−=

∞→)(lím

Si los límites existen, se dice que la gráfica de f tiene una asíntota oblicua bmxy += Entonces, para esta función sería:

22

2 2

2 2

2 2

1 11 11 11

x x x x

xxxx xm lím lím lím lím

x x x x xxx x

→∞ →∞ →∞ →∞

+= = = = = =+ ++

2 2 2

11 2 2x x x

x x x x xb lím x lím límx x x→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − −⎡ ⎤= − = = = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Por tanto, hay una asíntota oblicua 1y x= − Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS: • P.C.F : no hay • P.C.E:

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

22

2

2 2 2

2 2

2

2 1 1(́ )

1 1

2 2 21 1

2(́ )

1

x

x x xxf x Dx x

x x x x xx x

x xf x

x

+ −⎡ ⎤= =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

+ − += =

+ +

+=

+

por lo tanto, tenemos P.C.E: 0=x y 2x = − • P.C.S: no hay Paso 5. MONOTONÍA: Analizando el signo de ´f Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que: 1. En 2x = − la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo local. 2. En 0x = la primera derivada cambia de signo, de negativo a positivo, por tanto aquí existe un Mínimo local. Paso 7. CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada

2−

++++++ −−−−−−´f

f

++++++

crece crecedecrece0


130

( )( )( ) ( )( )( )

( )

( ) ( )( ) ( )( )( )

( )

( )

2 22

2 22

2

4

2 2

3

3

2 2 1 2 2 12´́ ( )1 1

1 2 2 1 2 2

1

2 4 2 2 41

2´́ ( )1

x

x x x x xx xf x Dx x

x x x x x

x

x x x xx

f xx

⎡ ⎤ + + − + ++= =⎢ ⎥

+⎢ ⎥ ⎡ ⎤+⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤+ + + − +⎣ ⎦=

+

+ + − −=

+

=+

Entonces: Paso 8. PUNTOS DE INFLEXIÓN NO HAY. Aunque la segunda derivada tiene signo diferente en 1x = − , pero como no es punto del dominio, tiene asíntota, entonces no es un punto de inflexión. En conclusión:

x )´(xf )´´(xf f 2x < − + - Crece y cóncava hacia abajo 2x = − 0 - Punto Crítico Estacionario,

Máximo local 2 1x− < < − - - Decrece y cóncava hacia

abajo 1 0x− < < - + Decrece y cóncava hacia

arriba 0x = 0 + Punto Crítico Estacionario,

Mínimo local 0x > + + Crece y cóncava hacia arriba

1−

++++++−−−−−−´´f

f

2

( )1

xf xx

=+

1y x= −

1x = −


131

Cuando no se dispone de la regla de correspondencia, se deberá tener condiciones que nos permitan concluir sobre la gráfica de una función.

Ejemplo

Bosqueje una función f de variable real que cumpla las siguientes condiciones: 1. Dom f =

2. f continua en ( ) ( )∞∪−∞ ,00,

3. 0)1( =−f , 0)4()( 23 == ff , 2)0()3( ==− ff , 4)2( =−f , 2)3( −=f , 1)1( =f

4. ε<−⇒−<∀>∃>ε∀ 1)(:;0,0 xfNxxN

5. ε<−⇒∂<<∀>∃∂>ε∀ 3)(0:;0,0 xfxx

6. −∞=−→

)(lím0

xfx

7. [ ] 0)3()(lím =−−+∞→

xxfx

8. 0)2(' =−f , 9. 0)(' >xf para 32 >∨−< xx ,

10. 0)(' <xf ,para 3002 <<∨<<− xx

11. 0)1('' =f 12. 0)('' >xf para 313 <<∨−< xx

13. 0)('' <xf para 31003 >∨<<∨<<− xxx

SOLUCIÓN: Interpretemos las condiciones, tenemos: 1. Dominio de la función. 2. Intervalos de continuidad. Como es abierto tanto a la izquierda como a la derecha de cero, entonces se puede esperar que exista una asíntota vertical o un punto de no definición. 3. Puntos de la gráfica de la función. Hay que ubicarlos en el plano cartesiano. 4. 1)(lím =

−∞→xf

x. Asíntota horizontal 1=y , para x negativos.

5. 3)(lím0

=+→

xfx

. La función se aproxima a 3, por la derecha de 0.

6. −∞=−→

)(lím0

xfx

. Asíntota vertical, el eje y por la izquierda de 0

7. [ ] 3)(lím −=+∞→

xxfx

Asíntota oblicua 3−= xy para x posoitivos.

8. Punto crítico estacionario en 2−=x 9. f crece en los intervalos ( )2,−−∞ o en ( )∞,3 10. f decrece en los intervalos ( )0,2− o en ( )3,0 11. Punto de inflexión: ( )1,1 12. f es cóncava hacia arriba en ( )3,−−∞ o en ( )3,1 13. f es cóncava hacia abajo en ( )0,3− o en ( )1,0 o en ( )∞,3 Entonces la grafica sería:


132

Ejercicios Propuestos 4.6 1. Graficar las siguientes funciones, mostrando: dominio, simetría, asíntotas, puntos críticos, monotonía, extremos,

concavidad, puntos de inflexión:

1. xxxf −= 4)( 2

2. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −= 3 53 23 52)( xxxf

3. 2

)( xexf −=

4. ( )

2

22)(x

xxf −=

5. ( )253

−−

=xxxf

6. ( ) 2

2

92

xxxf−

=

7. xexf1

)( =

8. ( ) ( ) 32

32

22)( −−+= xxxf

9. ( )2

2

12)(

−

−+=

xxxxf

10. 1

2)(2

−−+

=x

xxxf

11. ( )

xxxf

22)( +=

12. 2

3 4)(x

xxf −=

13. 3

)(2

−=

xxxf

14. xxexf1

)( =

•

•

•

•

•

23

3−= xy

•


133

2. Bosqueje una función f de variable real que cumpla las siguientes condiciones: )()( xfxf −= 2)(lím −=

−∞→xf

x

+∞=+→

)(1

xflímx

∞=+−→

)(lím1

xfx

0)2/3(')0(')3(' ===− fff

( ) 03 =−f , ( ) 123 −=f , 2

1)2( −=f , 0)0( =f

0)(' >xf en ( )1,0 y ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 3,

23

0)2('' =f

3. Bosqueje el gráfico de una función f tal que: Dominio f =IR Contínua en ( ) ( )∞∪−∞ ,22, f(-1)=4, f(0)=6, f(2)=-3, f(3)=0 εε <+⇒∂<−<∀>∃∂>∀ 1)(20:;0,0 xfxx

MxfxxM −<⇒∂<−<∀>∃∂>∀ )(20:;0,0

ε<−⇒−<∀>∃>ε∀ 2)(:;0,0 xfNxxN

[ ] 0)(lím =−+∞→

xxfx

( ) ( ) ( )2,0,0)(';,20,,0)(' ∈<∞∪−∞∈> xparaxfxparaxf

( ) ( ) ( )∞∪−∈<−−∞∈> ,22,1,0)('';1,,0)('' xparaxfxparaxf 4. Suponga que ( )2'( ) ( 3)( 1) 2f x x x x= − − + y (1) 0f = , ( )2 5f − = , (3) 5f = − ,

esboce una gráfica para f .

5. Bosqueje el gráfico de una función f continua en IR tal que ( 4) (5) 0f f− = = , (0) 8f = ,

(1) 6f = , ( )1 7f − = − , ( )2 3f = − y además la gráfica de su derivada es:

6. Bosqueje el gráfico de una función f continua en IR tal que ( 2) 4f − = , (1) 0f = , (2) 1f = ,

(3) 3f = y además la gráfica de su derivada es:


134


(4) 0f = y además la gráfica de su derivada es:


(2) 1f = − , ( )72 4f − = − y además la gráfica de su derivada es:


135

4.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADAS (TEOREMA DE LAGRANGE)

Si f es una función continua en [ ]ba, y derivable en ( )ba, entonces, existe al menos un número “ 0x ” en ( )ba, tal que

abafbfxf

−−

=)()()´( 0

Lo que nos indica este teorema es que si la función es continua en un intervalo cerrado y suave en su interior entonces existirá un punto en ese intervalo para el cual la recta tangente y la recta secante en los extremos del intervalo tienen igual pendiente.

Demostración:

Sea )()()( xgxfxS −= donde g es la recta entre los puntos ( ))(, afa y ( ))(, bfb ,

entonces podemos obtener su ecuación: ( )

( )axab

afbfafy

xxmyy

−−−

=−

−=−)()()(

00

, es decir

( )axab

afbfafxgy −−−

+==)()()()(

b- a

f(b

)-

f(a

)

a b

)(af

)(bf

0x

)(xfy =

Recta TangenteRecta Secante


136

Reemplazando, resulta: ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−−

+−= axab

afbfafxfxS )()()()()(

Obtengamos ( ) 0)()()()()( =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−−

+−= aaab

afbfafafaS y

( ) 0)()()()()( =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−−

+−= abab

afbfafbfbS

Por tanto, ( )bax ,0 ∈∃ tal que 0)´( 0 =xS

Para lo cual ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

−=ab

afbfxfxS )()()´()´( y 0)()()´()´( 00 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

−=ab

afbfxfxS

Por lo último ab

afbfxf−−

=)()()´( 0 L.Q.Q.D.

Ejemplo 1

Encuentre el número “ 0x ” garantizado por el teorema del valor medio para derivadas si 2( )f x x= en [ ]1,2− .

SOLUCIÓN: Observe que f es continua en [ ]1,2− y como (́ ) 2f x x= por tanto es diferenciable en ( )1, 2− se

cumplen las hipótesis del teorema del valor medio, por tanto la existencia de 0x en ( )1, 2− tal que

( )0(2) ( 1)(́ )2 1

f ff x − −=

− − está garantizada y lo podemos encontrar.

Para lo cual 0 0(́ ) 2f x x= y ( )

(2) ( 1) 4 1 3 12 1 3 3

f f− − −= = =

− −

Igualando y despejando, resulta: 0

0

2 112

x

x

=

=.

Geométricamente.

Recta Tangente

Recta Secante

2( )f x x=

[ ]0.5


137

Ejemplo 2

Use el teorema del valor medio para demostrar que: baasenbsen −≤− SOLUCIÓN: Usemos ( )f x senx= . Note que es una función continua en [ ],a b y derivable en ( ),a b por tanto de

acuerdo al teorema de Lagrange , existe un ( )0 ,x a b∈ tal que 0( ) ( )(́ ) f b f af x

b a−

=−

.

Reemplazando y simplificando

0cos senb senaxb a−

=−

Por otro lado 00 cos 1x≤ ≤

Entonces 0 1senb senab a−

≤ ≤−

Aplicando propiedades del valor absoluto y despejando.

1

senb senab a

senb sena b a

−≤

−

− ≤ −

Que es lo que se quería demostrar. Ejemplo 3 Dos carros de la policía de transito equipadas con radar están situadas a 7 kilómetros de distancia en una autopista, cuando un camión pasa junto al primero de ellos, se le mide una velocidad de 90 km por hora; 4 minutos después al pasar junto al otro coche, éste le mide 70 km por hora. Aunque el camión bajó la velocidad, pruebe que en algún momento en esos 4 minutos ha superado el límite de velocidad permitida que es de 100 km por hora. SOLUCIÓN: Sea ( )e f t= , el espacio recorrido por el camión, una función del tiempo, continua y diferenciable en el cualquier intervalo de tiempo mientras dure el movimiento. Primeramente calculemos la velocidad media del camión en esos 4 minutos:

7 105

460

me km kmv ht horas

Δ= = =Δ

Sea 1t el momento en que se le mide al camión una velocidad de 1 90 kmv h= y sea 2t el momento en que

se mide una velocidad de 2 70 kmv h= . De acuerdo al teorema de Lagrange existe un ( )0 1 2,t t t∈ en el cual

( )0´de f tdt

= , la velocidad instantánea del camión, fue igual a la velocidad media (105kmh ), lo cual

demuestra que ha superado el límite de velocidad (100kmh ).

Como particularidad del teorema de Lagrange tenemos el teorema de Rolle.


138

4.6 TEOREMA DE ROLLE

Si f es una función continua en [ ]ba, y derivable en ( )ba, y si )()( bfaf = entonces, existe al menos un número “ 0x ” en ( )ba, tal que 0)´( 0 =xf

El teorema del valor medio para dos funciones sería:


1. La función xxf =)( satisface la hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0,2]. Diga si esto es verdadero o falso, justificando apropiadamente su respuesta.

2. Sea .2)( 24 xxxf −= Hallar todos los valores de " 0x " en el intervalo [-2,2] que satisfacen el teorema de Rolle.

3. La altura que alcanza una bola "t" segundos después de ser lanzada, está dada por la siguiente función:

324816)( 2 ++−= tttf . a) Comprobar que f (1) = f (2). b) Según el teorema de Rolle, ¿qué velocidad ha llevado en algún momento del intervalo [1,2]?

4. Sea .,,;)( 2 IRxxxf ∈∂++= δβαβα Encontrar el valor de " 0x " que satisfaga el teorema del valor medio para derivadas en [a,b].

5. Dos carros patrullas equipadas con radar están situadas a 5 millas de distancia en una autopista, cuando un

camión pasa junto al primero de ellos, se le mide una velocidad de 55 millas por hora; 4 minutos después al pasar junto a otro coche, éste le mide 50 millas por hora. Probar que en algún momento en esos 4 minutos ha superado el límite de velocidad de 70 millas por hora.

6. Use el teorema del valor medio para demostrar que: cos cosb a b a− ≤ −


139

7. Considere 4

5( )f x x= en el intervalo [ ]1,2− . Demuestre que no se cumple la conclusión del Teorema de Lagrange. Justifique.

8. Considere ( ) 3f x x= en el intervalo [ ]1,8− . Verifique que no se cumple una de las hipótesis del Teorema

de Lagrange, sin embargo la conclusión sí se cumple. Justifique.

4.7 TEOREMA DE CAUCHY

Sean f y g funciones continuas en [ ]ba, y diferenciables en ( )ba, entonces, existe al menos un número “ 0x ” en ( )ba, tal

que )()()()(

)´()´(

0

0

agbgafbf

xgxf

−−

=

No olvide demostrarlo. Con los resultados del teorema anterior, se pueden calcular indeterminaciones.

4.8 TEOREMA DE L’HOPITAL

Suponga que 0)(lím)(lím ==→→

xgxfuxux

o también

∞==→→

)(lím)(lím xgxfuxux

. Si )´()´(lím

xgxf

ux→ existe en sentido finito

o infinito; entonces: )´()´(lím

)()(lím

xgxf

xgxf

uxux →→=

Donde −∞+∞= −+ ,,,, aaau No olvide demostrarlo.

Ejemplo 1

Calcular x

xx

senlím0→

SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos:

10cos1

coslímsenlím00

===→→

xx

xxx


140

Ejemplo 2

Calcular ( ) xx

x1

01lím +

→

SOLUCIÓN: Transformando la expresión primero, resulta:

( ) ( )( ) ( )

xx

xx

x

x

xx

xxx eeex

++

→

+

→→→===+

1lnlím1ln

0

1ln

0

1

00

1

límlím1lím

Aplicando el teorema de L´hopital al exponente, tenemos:

11

11

lím)1ln(lím00

=+=+

→→

xx

xxx

Por tanto, ( ) eex xx

==+→

11

01lím

Ejemplo 3

Calcular 30

senlímx

xxx

−→

SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos:

2030 3

1coslímsenlímxx

xxx

xx

−=

−→→

Como se mantiene la indeterminación, volvemos a aplicar la regla de L´Hopital, y así tantas veces como sea

necesario: 61

6senlím

31coslím

020−=

−=

−→→ x

xxx

xx

Ejemplo 4

Calcular 324153lím 2

2

−+

+−∞→ xx

xxx

SOLUCIÓN:

Note que aquí tenemos: ∞∞

Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos: 2856lím

+−

∞→ xx

x

Volviendo a aplicar L´Hopital resulta: 43

86lím =

∞→x

Ejemplo 5

Calcular ( ) xx

x 2tg

12lím

π

→−

SOLUCIÓN: Observe que aquí tenemos ∞1 . Entonces la regla de L´hopital no es aplicable directamente. Transformando la expresión primero, resulta:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

xgxx

x

xx

xx

xx

xeeex 2

cot122

tg

2lnlím2lntg

12ln

12

tg1

límlím2límπ→ππ

−

−

→

−

→

π

→===−


141

Aplicando el teorema de L´hopital al exponente, tenemos:

( ) π=

−−

=−

−−

=−

πππ→π→

21csc

21

límcot

)2ln(lím222

212

1 xx

xgx

xx

Por tanto, ( ) ππ

→=−

2

2tg

12lím ex x

x

Ejemplo 6

Calcular ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

→ 11

ln1

1 xxlimx

SOLUCIÓN: Observe que aquí tenemos ∞−∞ .. Transformando la expresión primero, resulta:

( )( )1lnln1

11

ln1

11 −−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−→→ xx

xxlimxx

limxx

Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos:

( )( ) ( ) ( ) xxxlim

xx

xx

limxx

x

xlimxx

xxlimxxxx ln1

1

ln11

1

1ln11

101

1lnln1

1111 +−−

=+−

−

=+−

−−=

−−−

→→→→

Volviendo a aplicar L´hopital: 21

11

1ln11

11=

+=

+−−

→→

x

limxx

xlimxx


1. 44

1032

2

2 +−

−++→ xx

xxlimx

2. x

xxlimx tg

sen20

−→

3. xxx eexxlim −→ −

+−

tgsen0

4. x

xclimx

1tg0

−→

5. ( ) xcxlimx

tgcos10

−→

6. x

xlimx cos1

1cos0 −

−−→

7. xx

xlim1

∞→

8. xx

xlim sen0→

9. ( ) xx

xlim1

0cos

→

10. ( )2

3

2cos0

xxlim

x→

11. ( )xx

xlim1

20

1+→

12. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+

→

xln

xxlim 4

3

0

13. ( )

20 23cosln

xx

limx→

14. x

x xxlim ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+→ 10

15. ( ) xx

xclim sen0

tg→


142

Misceláneos

1. Bosqueje el grafico de f analizando dominio, simetría , asíntotas, intervalos de monotonía y concavidad, extremos locales y puntos de inflexión

a) 12)(

−−

=xxxf h) 55)( 23 −−+= xxxxf

b) 1

2)(2 −

−=

xxxf i) 35)( xxxf −=

c) 1

)(2 −

=x

xxf j) ( )8)( 232

−= xxxf

d) 1

2)(2 −

=x

xf k) 34

4)( 2

2

+−

−=

xx

xxxf

e) ( )xxxf −= 8)( 3

f) 1)( 32

+=xxexf

g) x

xxf 1)(2 −

=

2. Bosqueje una gráfica posible de una función f que tenga todas las siguientes características: • f es continua en toda su extensión • 3)4( −=−f , 0)0( =f , 2)3( =f • 0)4´( =−f , 0)3´( =f , 0)´( >xf para 4−<x , 0)´( >xf para 34 <<− x ,

0)´( <xf para 3>x . • 0)4´´( =−f , 0)0´´( =f , 0)´´( <xf para 4−<x • 0)´´( >xf para 04 <<− x , 0)´´( <xf para 0>x

3. Bosqueje una gráfica posible de una función f que tenga todas las siguientes características:

• +∞=→

)(lím xfax

0)(lím =−∞→

xfx

−∞=+∞→

)(lím xfx

edba <<<< 0

• 0)()( == efcf , 5)( =bf , 3)0( =f , 1)()( == dfaf • 0)´´( =bf , )´´(cf no existe, 0)´( =df , 0)´´( <df , • ( ) ( )[ ]0)´(,, >∪−∞∈∀ xfdcax , ( ) ( )[ ]0)´(,, <+∞∪∈∀ xfdcax • ( ) ( )[ ]0)´´(,, >∪−∞∈∀ xfbaax , ( ) ( )[ ]0)´´(,, <+∞∪∈∀ xfccbx

4. Grafique f tal que la gráfica de su derivada ´f es:

Suponga que 1)1( −=−f

x

y

1−23−


143

5. Grafique f tal que la gráfica de su derivada ´f es:

Suponga que 0)0( =f 6. Calcular :

a) ( ) 2

0lim x

xsenx

+→ d) 20

coslim2

xxex

x

−→

b) xtgxx

x 4cos12seclim

2

4 +−

→π e) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

→ xxx

x costan2lim

2

ππ

c) xsenxarc

xtgxx −

−→0lim

22−

5

5−

MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada

145

5

5.1 RAZÓN DE CAMBIO 5.2 PROBLEMAS PRÁCTICOS DE MÁXIMOS Y

MÍNIMOS

5.3 DIFERENCIALES Y APROXIMACIONES 5.4 POLINOMIO DE TAYLOR

OBJETIVOS:

: Resolv er problemas de razón de cambio.

Resolv er problemas de máximos y mínimos.

Aprox imar v alores.

Aprox imar funciones mediante polinomios


146

5.1 RAZÓN DE CAMBIO Como la derivada expresa el cambio instantáneo que experimenta una variable con respecto a otra variable, para una función )(xfy , se podría obtener la

derivada o razón de cambio de las variables " x " y " y " con respecto al tiempo

" t ", es decir: "dt

dy" y "

dt

dx". Lo cual nos va a permitir resolver problemas de

aplicación.

Ejemplo 1

Hacia un tanque de forma de cono invertido fluye agua a razón de 3

5min

m, si la altura

del tanque es de 10 m. y el radio de la base es de 5 m.

a) ¿Qué tan rápido se esta elevando el nivel del agua cuando tiene 3 m. de altura?. SOLUCIÓN: Esquematizando en un gráfico, la información dada, tenemos:

Llamemos: 3M Cantidad de agua que entra en m

3Q Cantidad de agua que sale en m

3V Cantidad de agua alojada en m

Para este tipo de problema, de manera general se puede proponer: VQM

Derivando con respecto al tiempo, resulta:

dt

dV

dt

dQ

dt

dM

Ahora de acuerdo a la información proporcionada, tenemos:

3

5min

dM m

dt y

3

0min

dQ m

dt .

3

5min

m5

10

r

h


147

El volumen del agua alojada depende de la geometría del recipiente. En este caso deberíamos usar

la formula del volumen de un cono , es decir: hrV 2

31 .

Ahora hay que tener la función volumen en término de una variable, lo más indicado es que sea en

función de h (¿por qué?).

Las secciones transversales son triángulos semejantes, esto nos permite relacionar r con h .

Entonces:

2

4

2

5 0

20

min

dM dQ dV

dt dt dt

dhh

dt

dh m

dt h

En 3h resulta:

2

20 20

9 min3

dh m

dt

b) Suponga ahora que se produce una perforación en lo bajo del recipiente y empieza

a salir agua a razón de 3

2min

m, Calcule la rapidez con que se está elevando el

nivel de agua cuando tiene 3 m. de altura?.

2

4

2

5 2

12

min

dM dQ dV

dt dt dt

dhh

dt

dh m

dt h

En 3h resulta:

2

12 12

9 min3

dh m

dt

10

h

r

5

10 5

h r entonces

2

hr

reemplazando en la formula para el volumen del agua alojada, resulta:

3

12

2

31

2hh

hV

por tanto dt

dhh

dt

dV 2

4


148

Ejemplo 2

Una piscina tiene 10 m de largo y 5 m de ancho, 2.5 m de profundidad en el extremo mas hondo y 1 m en el extremo menos profundo, el fondo es rectangular, se esta bombeando agua a razón de 4 m3/min. ¿Con qué rapidez se eleva el nivel del agua

cuando tiene: a) 0.5 m b) 1.5 m

SOLUCIÓN: Esquematizando en un gráfico, la información dada, tenemos: Note que aquí tenemos un recipiente de doble geometría, por tanto antes que el nivel del agua sea 1.5 m. es una situación y otra situación después de los 1.5 m.

a) 0 1.5h De manera análoga al problema anterior

3 3 3

min min min

m m mEntra sale Alojado

El volumen de agua alojada en el recipiente se lo calcula con la fórmula para un prisma de base

triangular, es decir 5

(5)2 2

bhV bh .

La relac ión entre b y h se la obtiene considerando los triángulos semejantes; entonces:10 1.5

b h ,

que resulta: 20

3b h .

Por tanto, el volumen queda: 25 20 50

2 3 3V h h h

.

5

10

2.5

1

3

4min

m

10

1.5

h

b


149

De aquí resulta 100

3

dV dhh

dt dt .

Reemplazando, se obtiene:

3 3

min min

1004 0

3

30 1.5

25 min

m m dVEntra sale Alojada

dt

dhh

dt

dh mh

dt h

En 0.5h resulta

33 6

25(0.5) 25 min

dh m

dt

b) si 1.5 2.5h , tenemos:

El volumen de agua alojada se lo puede calcular de la siguiente manera:

1 2

1

2(1.5)(10)(5) 10 (5)

7550

2

V V V

V h

V h

entonces 50dV dh

dt dt y al reemplazarlo resulta:

3 3

3

min min

4 0 50

2

25 min

m m dVEntra sale Alojada

dt

dh

dt

dh m

dt

Note que es independiente de h. Note también que como el volumen de la parte inferior del recipiente es constante, entonces su rapidez de cambio es "0"; por tanto no ex istiría ningún inconveniente si sólo trabajáramos con la parte superior de rec ipiente, pero con un nuevo nivel de referencia.

10

2.5

h

Contante

Variable

1V

2V


150

Ejemplo 3

Un aeroplano que vuela hacia el norte a 640 millas/h pasa sobre cierta ciudad al medio día (12h00). Un segundo aeroplano que va hacia el este a 600 millas/h, esta directamente encima de la misma ciudad 15 min. mas tarde. Si los aeroplano están

volando a la misma altitud, que tan rápido se están separando a la 1:15 p.m.(13h15). SOLUCIÓN: Esquematizando en un gráfico, la información dada, tenemos: Referencia: 12h15

En 1 hora:

millasz

millasy

millasx

1000160640600

640

600

22

Por tanto:

hora

millas

dt

dz872

1000

)640)(640160()600(600


1. De un tubo sale arena a razón de 16 pies3/seg. Formando en el suelo una pirámide cónica cuya altura es

siempre ¼ del diámetro de la base. ¿Con qué rapidez aumenta la altura de la pirámide cuando la misma tiene 4 pies de longitud?

2. Un depósito cónico de 12 m. de altura y radio de la base 4 m., tiene inicialmente 10 m3 de agua. En t=0

comienza a fluir agua al interior del depósito a una razón de 8 m3/h, y al mismo tiempo, por el fondo comienza a salir agua a razón de 5 m3/h. Determine la razón a la que está variando el nivel del líquido después de 3 horas?

3. En un depósito de forma cónica se está vertiendo agua a razón de 225 litros por minuto . El cono tiene 6 metros

de profundidad y 3 metros de diámetro. Si hay una fuga en la base y el nivel del agua sube a razón de 2.5 centímetros por minuto, cuando el agua tiene 4.8 metros de profundidad, ¿con qué rapidez escapa agua del

depósito? 33101 mLitro

1604

1640

e

vte

t

ev

222 160 yxz

derivando con respecto al tiempo

dz dx dy2z 2 2 160

dt dt dt

dx dy160

dz dt dt

dt z

x y

x y


151

4. Considere el reserv orio de la figura adjunta, al cual se está vertiendo agua a razón de 50 m3/min. Determine ¿con qué rapidez sube

el nivel del agua, cuando éste tiene?: a) 2 m. b) 5 m.

5. La orilla de una piscina es un rectángulo de 60 pies de largo y 30 pies de ancho. Su profundidad aumenta

uniformemente de 4 a 9 pies en un tramo horizontal de 40 pies y después continúa al mismo nivel los 20 pies restantes, como se ilustra en la figura. La piscina se está llenando a razón de 50 pie3/min de agua. Calcule aprox imadamente la RAPIDEZ DE CAMBIO del nivel de agua en el momento que la profundidad es:

a) 4 pies

b) 6 pies

6. Suponga que se vacía el agua de un tanque esférico de radio 10 pies. Si el nivel del agua en el tanque es 5 pies y ésta decreciendo a

razón de 3 pies/seg., ¿con qué razón disminuye el radio r de la superficie del agua?

7. Una piscina tiene 20 pies de ancho, 4 pies de profundidad en un extremo y 10 pies de profundidad en el otro

ex tremo. La piscina se llena bombeando agua a razón de 40 pies cúbicos por minuto. Encuentre la rapidez con la que sube el nivel del agua para cualquier v alor de h, donde h es la profundidad del agua.

8. Un avión que vuela a velocidad constante de 300 Km/h pasa sobre una estación terrestre de radar a una altura de

1 Km. Y se eleva a un ángulo de 30º. ¿A qué v elocidad aumenta la distancia entre el av ión y la estación de radar

1 minuto más tarde? 9. Un aeroplano v uela hacia el oeste a 500 Km. Por hora y pasa sobre cierto pueblo a la 11:00 a.m.; un segundo

aeroplano v uela a la misma altura hacia el sur a 400 Km. por hora y pasa por el mismo pueblo a mediodía. ¿Qué

tan rápido se separan a la 1:00 p.m.?

9' 4'

20' 40'

r 10

20

50

15 25

4

4

m.

2

m.

1

3

2


152

10. La rueda moscovita que se muestra en la figura dá una v uelta cada dos minutos. ¿Con qué rapidez se eleva una pasajera en el instante en que se encuentra a 54 pies por encima del suelo?

5.2 PROBLEMAS PRACTICOS DE MÁXIMOS Y MINIMOS

Con lo expuesto en el capitulo anterior es posible resolver problemas

prácticos de optimización.

Ejemplo 1

Se desea construir una caja con tapa utilizando un cartón rectangular que mide 5 pies x 8 pies. Esta se realiza cortando las regiones sombreadas de la figura y luego doblando

por las líneas discontinuas, ¿Cuáles son las dimensiones x, y, z que maximizan el volumen de la caja? SOLUCIÓN:

De acuerdo a la figura, la caja formada así tendrá un volumen que se puede calcular con la formula

xyzV .

Observe zx 25 , por tanto xz 25

Observe también que yx 228 , por tanto xy 4

64 pies R= 60 pies

R


153

Reemplazando, el volumen sería:

xxxV

xxx

xxxV

20132

)25)(4(

)25(4

23

2

La derivada es: 20266 2 xxdx

dV

Obteniendo los puntos críticos, tenemos:

33.31

020266

0

310

2

xx

xx

dx

dV

Escogemos px 1 , porque no es posible que 5.2x

Por tanto pxy 3144 y pxz 3)1(2525 serían las dimensiones

para obtener un volumen máximo. Cuyo valor es: 3máx 9)3)(3(1 pxyzV

Ejemplo 2

Un triángulo isósceles tiene un vértice en el origen, la base paralela al eje x con los

extremos en la curva 12y = 36 - x2. Determínese las dimensiones del triángulo de área máxima. SOLUCIÓN:

Haciendo un esquema con la información proporcionada, tenemos:

El área de triángulo se la calcula con la formula 2

hbA

Se observa que 12

32x

yh y que xb 2

Reemplazando, obtenemos el área en función de una sóla variable:

123

2

1232

3

2

xxA

xx

A

Derivando para obtener los puntos críticos, resulta:

4

32x

dx

dA


154

Ahora,

04

3

0

2

x

dx

dA

por tanto, despejando resulta 32x

Las dimensiones del triangula de área máxima sería:

343222 xb y

21312

323

123

22

x

yh

por consiguiente: 2

máx 342

234

2u

hbA

Ejemplo 3

Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que puede

inscribirse en un cono circular recto de radio “R” y altura “H”. SOLUCIÓN: Haciendo un esquema tenemos:

El volumen del cilindro se lo calcula con la formula hrV 2

Para poner el volumen en función de una sola variable, relacionamos r y h por semejanza de

triángulos:

Reemplazando, tenemos:

3222 rRrR

H

R

rHHRrhrV

Entonces: 232 rrRR

H

dr

dV

y para el óptimo:

Rrr

rrRR

H

dr

dV

32

2

0

032

0

Del gráfico observamos que: H

hH

R

r

Entonces:

R

rHHRh

rHHRhR

hRHRrH


155

Por lo tanto: HR

RHHR

R

rHHRh

3

132

Ejemplo 4

A las 7:00 a.m. un barco estaba a 60 millas en dirección este de un segundo barco. Si el

primero navega hacia el oeste a 20 millas por hora y el segundo al sur este a 30 millas por hora, ¿en qué momento se encuentra más próximos el uno del otro? SOLUCIÓN: Esquemáticamente tenemos: Aplicando la ley del coseno para calcular la dis tancia de separación z , resulta:

45cos60260 222 yxyxz

Además como t

ev entonces vte y para cada dis tancia tenemos:

ttvx x 20 y ttvy y 30

Reemplazando queda:

2

2222

222

3020602302060

45cos60260

ttttz

yxyxz

Maximizar z es lo mismo que maximizar 2z por tanto si Dz 2

tenemos:

2

2223020602302060 ttttD

Derivando y simplificando resulta:


156

tdt

dD

tttdt

dD

ttttdt

dD

2120080021800600

12003600120018008002400

302060230202)30(302)20(20602

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Y para el óptimo:

horast

t

t

dt

dD

15.1

21200800

21800600

02120080021800600

0

Es decir las 8:09 a.m. estarán más próx imos uno del otro


1. Usted debe construir una caja rectangular cerrada con volumen 576 pulgadas cúbicas y cuy o fondo sea el doble de largo que de ancho como se muestra en la figura:

Determine las dimensiones de la caja que minimizarán el área total de su superficie.

2. Determine las dimensiones del rectángulo de mayor área que tiene dos vértices en el eje x y sus otros dos

vértices pertenecen a la parábola cuya ecuación es: 0,8 2 yxy .

3. Determine la LONGITUD de la escalera MÁS CORTA que llega desde el piso, sobre un muro de 8 pies de altura, hasta una pared de un edificio, a 1 pie de distancia del muro.

4. Un excursionista se encuentra en un bosque a 2 km. de una larga carretera recta. Desea caminar a su cabaña, que se encuentra a 10 km. de distancia por el bosque y también a 2 km. de la carretera (v er figura). Puede caminar a una velocidad de 8 km/h por la carretera pero solamente a 3 km/h por el bosque. Así decide caminar primero hacia la carretera, después por la carretera y finalmente por el bosque hacia la cabaña. ¿Qué ángulo minimizará el tiempo total necesario para que el excursionista llegue a su cabaña? ¿Cuánto tiempo se ahorra

en comparación con la ruta directa por el bosque?

1' Pared

E

d

i

f

i

c

i

o

Escalera

Piso

x

2x


157

5. Determine el área máxima posible de un trapecio inscrito en un círculo de radio 1, como lo muestra la figura.

6. Hallar el v alor del área máx ima del rectángulo que se puede circunscribir a otro rectángulo dado de longitud L y ancho W.

7. Se v a a inscribir un cono circular recto dentro de otro cono circular recto de v olumen dado, con el mismo eje y

con el vértice del cono interior tocando la base del cono ex terior. Encuentre la razón entre las alturas de dichos conos para que el volumen del cono inscrito tenga el máximo volumen.

8. Calcule las dimensiones del cono circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera de radio

igual a 10 cm.

9. Inscribir en una esfera dada un cilindro de v olumen máximo.

10. Encuentre las dimensiones de los triángulos isósceles inscritos en la región comprendida entre el gráfico de

12 4

xxf y el eje x, de manera que el área de la región sombreada sea máxima.

11. Se tiene 80 pies de tela de alambre con la que se planea cerrar un corral rectangular al lado de un granero de

100 pies de largo como se muestra en la figura. ¿Cuáles son las dimensiones del corral de máxima área?

10 km

2 km Bosque

Excursionista Cabaña

Carretera

GRANERO

CORRAL

y

x

W

L

1


158

12. Dos aeroplanos A y B vuelan horizontalmente a la misma altura. La posición del aeroplano B es al suroeste del A, a 20 km. al oeste y 20 km. al sur de A. Si el aeroplano A v uela hacia el oeste a 16 km/min y el B vuela hacia el norte a 64/3 km/min. a) ¿En cuántos segundos estarán los más cerca uno del otro?

b) ¿Cuál será su distancia más corta? 13. Halle la altura de un prisma triangular regular de volumen máximo inscrito en una esfera de radio R. Nota:

Recuerde que en un triángulo equilátero las alturas y medianas coinciden y se intersecan en un punto P de

modo que AMAP3

2

5.3 DIFERENCIALES Y APROXIMACIONES

5.3.1 DEFINICIÓN DE DIFERENCIAL

Supongase que )(xfy es diferenciable

en “ x ” y que dx , la diferencial de una

variable independiente “ x ”, designa un

incremento arbitrario de “ x ”.

La diferencial de “ y ” correspondiente a

la variable dependiente “ y ” se define

como: dxxfdy )´(

A B

P M

C


159

5.3.2 APROXIMACIONES

Observe la gráfica

Note que dxx

Y que, si 0x entonces dyy , es decir:

xxfy )´(

Entonces: xxfxfxxf )´()()( 000

Es decir: xxfxfxxf )´()()( 000

Ejemplo 1

Aproximar 6.4

SOLUCIÓN:

Debemos emplear la función xxf )( .

Note que 6.046.4 , entonces 40 x y 6.0x

Para emplear la formula xxfxfxxf )(́)()( 000 , Obtenemos:

6.04)( 00 xxxxf , 24)( 00 xxf y 4

1

42

1

2

1)(́

00

xxf

Entonces:

15.26.4

6.04

126.04


160

Ejemplo 2

Aproximar 31sen

SOLUCIÓN:

Para este caso empleamos xxf sen)( , por tanto xxf cos)(́

Para aplicar la formula xxfxfxxf )(́)()( 000 , para la cual definimos:

6

300

x ,

1801

x entonces:

501.031sen

1802

35.031sen

18030cos)30sen()130sen(

)cos()sen()sen( 000

xxxxx

5.3.3 ESTIMACION DE ERRORES

Sea )(xfy la variación en y cuando varía x se la se la calcula

empleando la formula xxfy )´(

Ejemplo

El lado de un cubo se midió en 11.4 cm. con un posible error de ± 0.05 cm. Calcule el volumen del cubo y proporcione una estimación para el posible error de este valor. SOLUCIÓN:

El volumen del cubo se lo obtiene con la formula 3lV .

Como cml 4.11 entonces 335.14814.11 cmV .

Pero como hay un margen de error (variabilidad) en la medic ión del lado: cml 05.0 , se propaga un error en el valor del volumen calculado.

Este margen de error en el volumen se lo calcula de la siguiente manera: ldl

dVV Es decir:

3

2

2

5.19

)05.0()4.11(3

3

cmV

V

llV

Esto quiere decir que 35.195.1481 cmV


1. En los siguientes ejercicios use diferenciales para calcular v alores aproximados de los números dados. Compare con los valores reales:

a) 402 b) 3 91.26 c) 9.35 d)

6 05.64

2. El diámetro ex terior de un delgado casquete esférico es de 12 pies. Si el casquete tiene 0.3 pulgadas de espesor, use diferenciales para calcular el volumen aproximado de la región interior del mismo.


161

3. Un rodillo cilíndrico mide exactamente 12 pulgadas de longitud y se ha estimado su diámetro en 6 0.005 pulgadas. Calcule su volumen con una estimación del error.

4. Se mide el radio de una esfera con un instrumento cuya precisión es de 0.05 cm.. Si la medición registra un

radio de 15 cm. Determine el error que tendrá el volumen de la esfera

5.4 POLINOMIO DE TAYLOR

La ecuación de la recta tangente en el punto )(, 00 xfx es

000 )´()( xxxfxfy es decir 000 )´()( xxxfxfy .

En la vecindad de 0x , )(xfy ; por tanto una buena aproximación para una

función diferenciable en un punto sería la recta tangente en ese punto; es decir:

000 )´()()( xxxfxfxf .

Lo anterior corresponde a la aproximación de una función mediante un polinomio lineal.

Para mayor orden tenemos:

nn

xxn

xfxx

xfxx

xfxxxfxfxf 0

03

002

00

000!

)(...

!3

)´´´(

!2

)´´()´()()(

El Polinomio de Taylor de orden “n” para una función.

NO OLVIDE DEMOSTRARLO.

Si 00x se llama Polinomio de Mclaurin. En tal caso sería:

...!3

)0´́ (́

!2

)0´́ ()0(́)0()(

32 x

fx

fxffxf

Ejemplo

Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 para xexf )( y empleelo para calcular 1.0e .

SOLUCIÓN:

4003

002

00

000!4

)(

!3

)´́ (́

!2

)´́ ()(́)()( xx

xfxx

xfxx

xfxxxfxfxf

IV

24621

0!4

0!3

0!2

0

432

40

30

20

00

xxxxe

xe

xe

xe

xeee

x

x

bien, ahora reemplazando 1.0x resulta:

000004166.0000166666.0005.01.01)1.0( f

105170833.1)1.0( f


162


1. Hallar el polinomio de Maclaurin de orden “n” para:

a) xexf 3 ; n=4 d)2

cosh)(xx ee

xxf

; n=10

b) xexxf 2)( ; n=4 e)

1

1)(

2

xxf ; n=4

c) xxf sen)( ; n=3

2. Hallar el polinomio de Taylor de grado n, alrededor de 0x .

a) x

xf1

)( ; n=4; 10 x c) xxf ln)( ; n=4; 10 x

b) xxf )( ; n=4; 40 x

Misceláneos

1. Se tiene un tanque esférico de radio igual a 10m. En el tanque ingresa agua a razón de h

m32 .

¿Con qué rapidez aumenta el radio de la superficie del agua cuando el nivel del agua es de 5m.

NOTA: Volumen del casquete esférico

3

2 hRhV Observar la figura.

2. En la ribera de un río de 0.9 Km de ancho hay una planta eléctrica; en la otra ribera a 3 Km. Corriente arriba, hay una fábrica y la fábrica necesita energía eléctrica por lo que se debe tender cables entre la planta eléctrica y la fábrica. Tender los cables por tierra cuesta $3 por metro y hacerlo por el agua cuesta $5 por metro. ¿Cuál es la forma más económica de tender los cables entre la fábrica y la planta eléctrica?. RESP. 1125 m. por agua y 2325 por tierra

3. En un recipiente cónico de 10m. de altura y 5m. de radio en su abertura se ingresa agua a razón de

minm3

5 . Con que rapidez cambia el área de la superficie del líquido en el recipiente cuando

éste tiene de 3m.

4. Determinar las dimensiones del triángulo de mayor área que se pueda inscribir en un semicírculo de radio 4 cm.

5. Dos puntos A y B parten del origen de coordenadas. El punto A se mueve sobre la dirección

positiva del eje x con la ley del movimiento 22)( ttxx , en donde x se da en centímetros y t

en minutos. El punto B se mueve sobre la recta xy a una rapidez constante de min

cm2 .

Determine la rapidez a la que estos dos puntos se están alejando uno del otro después de 2 min. De haberse comenzado a mover.

6. Tres puntos A, B y C se encuentran de tal manera que el ángulo ABC es de 60° y la distancia entre A y B es de 3Km. Del punto A sale, dirigiéndose hacia B, un corredor a una veloc idad de 18 Km/h. En el mismo instante sale B, dirigiéndose hacia C, un ciclista a una velocidad de 27 Km/h. Encuentre el momento en que el corredor se encuentra más próx imo del ciclis ta.

7. En un depósito de forma cónica se está vertiendo agua a razón de 32.0 m por minuto. El cono

tiene 8 metros de profundidad y 4 metros de diámetro. Si hay una fuga en la base y el nivel del agua sube a razón de 2 centímetros por minuto, cuando el agua tiene 5 metros de profundidad, ¿con qué rapidez escapa agua del depósito?

8. Una pequeña isla está a 2 millas en línea recta del punto más cercano P de la ribera de un gran lago. Si un hombre puede navegar desde la isla en su bote de motor a 20 millas por hora, y caminar a 4 millas por hora, ¿en qué lugar desembarcar para llegar en el tiempo más corto a un pueblo que dista 10 millas al sur del punto P?


163

9. Del fi ltro cónico de una cafetera cae café a razón de minpul310 . (Ver figura).

a) ¿Con qué rapidez se eleva el nivel del café en la jarra, cuando el café tiene 5 pulgadas de profundidad en el cono?.

b) ¿Con qué rapidez baja el nivel de café del cono en ese instante?

10. En un triángulo rectángulo isósceles se inscribe un rectángulo de manera que uno de sus lados reposa sobre la hipotenusa. Determinar las dimensiones del rectángulo de mayor área que se puede inscribir de esa manera, considerando que los catetos del triángulo miden 2 m.

11. Dos barcos navegan a partir de un mismo puerto isleño, uno hacia el norte a 24 millas por hora y el otro hacia el este a 30 millas por hora. El barco de la ruta NORTE partió a las 9:00 A.M., y el de la ruta ESTE a las 11:00 A.M.. ¿Con qué rapidez aumenta la dis tancia entre ellos a las 2:00 P.M.?

12. Encuentre las dimensiones del rectángulo de máxima área que se puede inscribir en un semicírculo de radio R.?

13. Se tiene un tanque esférico de radio 15 pies. En el tanque sube el nivel del agua a razón de 2 pies por segundo. ¿Con qué rapidez aumenta el radio de la superficie del agua cuando el nivel del agua es de 5 pies? Observe la figura

14. Un rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados se encuentra en el primer cuadrante de modo que sus vértices están sobre el origen, el eje X positivo, el eje Y positivo y sobre la recta

1002 yx . Determine las dimensiones del rectángulo de mayor área posible que se encuentra

localizado de la manera señalada.

15. En una página de un libro debe haber 150 2cm de texto escrito. Los márgenes laterales deben ser de 2 cm y los márgenes superior e inferior de 3 cm. Determine las dimensiones de la hoja para que se gaste la menor cantidad de papel pos ible.

16. En el interior de un triángulo rectángulo isósceles, cuya hipotenusa mide 18 cm., se inscribe un rectángulo de manera que uno de sus lados reposa sobre la hipotenusa. Calcular las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse de esa manera.

17. En un recipiente cónico de 10 m. de altura y 5m. de radio en su abertura se ingresa agua a razón de

minm35 . ¿Con qué rapidez cambia el área de la superficie del líquido en el recipiente cuando

éste tiene un nivel de 3m.?.

18. Determinar las dimensiones del triángulo de mayor área que se pueda inscribir en un semicírculo de radio 4 cm., donde uno de los lados es el diámetro del semicírculo.

19. El tumor del cuerpo de una persona es de forma esférica y su radio aumenta a razón de 0,001 cm por día. Determine con qué rapidez aumenta el área superficial del tumor cuando su diámetro es de 1cm.

20. Determinar las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede ubicarse en el primer cuadrante, donde dos de sus vértices pertenecen al eje X, y los otros dos vértices pertenecen respectivamente a las rectas xy 2 y 303 yx .

21. Las rectas 2:1 xyL y 102:2 xyL forman un triángulo con el eje x . Encuentre las

dimensiones del rectángulo de may or área, con un lado contenido en el eje x , que puede inscribirse en el

triángulo dado. 22. La diagonal de un cubo está aumentando a razón de 4 pulgadas/min. Calcule la razón con la que varía el área

total del cubo en el instante que la diagonal mide 5 pulgadas. 23. Dos buses parten de una misma estación a las 09h00. Las carreteras por las que viajan forman un ángulo recto

entre sí. Determine la rapidez con la que varía la distancia que los separa al cabo de media hora de viaje, si la velocidad de los buses es de 90 Km/h y 110 Km/h respectivamente.

24. Un escenario circular con radio de 3 metros de longitud, da una vuelta cada dos min utos, tal como se muestra

en la figura. Una cámara fija en el punto P, está a 23 m. del centro O del escenario, y enfoca a una persona

que se encuentra en el punto M. Determine a qué v elocidad v aría la distancia entre la cámara y la persona, en el

instante que los segmentos OM y OP forman un ángulo de 45 . Resp. 3

min

m

O

M

P

Moisés Villena Muñoz Respuestas

1

CAPITULO 1: Límites Ejercicios Propuestos 1.1

1. a) =∈∂ b) 2∈

=∂ c) =∈∂ d)2∈

=∂ e) ( )222

+∈

=∂

f) ∂ =∈ g) ( )[ ]4727 31

32

++=∈∂

h) ( ) ( ) 3 233 2 11 aaaa +−+−=∈∂

2. a) 003.0=∂ b) 8

110 2 1a

∂ =+

c) 08.0=∂

3. ( ) 05.03801.0 =+=∂ 4. 1.19.0 << x

Ejercicios Propuestos 1.2 3. a) existenoxflím

x=

→)(

1 b) ( ) existenoxflím

x=

−→ 2 ( )

21

xlím f x→

=

c) ( ) 32

−=→

xflímx

d) ( ) existenoxflímx

=→0

e) existenoxfx

=−→

)(lím1

2

11)(lím2

5−=

−→xf

x

Ejercicios Propuestos 1.3 3. a) V b) F c) V d) F e) F f) F g) F

Ejercicios Propuestos 1.4 1) 2 2) 1 3) -2 4) 0 5) -1 6) 0 7) 1 8)0 9) -1 10) 1

Ejercicios Propuestos 1.5 1) 6 2) 1

4− 3) 12 4) 15− 5) 11

9

6) 45 7) 15

2 8) 14 9) 1

2 10) 112

11) 19 12) 1 a− 13) 1

9 14) 12 15) 1

72

16) 1

Ejercicios Propuestos 1.6 1) 5 2) 1 3) 2

9 4) π2 5) π

6) π 7) 33 8) 2

1 9) 1 10) 32


1) e 2) 1 3) 21−e 4) 1 5)

78e

−

6) 2e− 7) π6

e 8) 3 9) ( )3

ba − 10) 1−

Moisés Villena Muñoz Respuestas

2

11) ( ) 2lnba − 12) 0 13) 2e 14) ( )2ab

Ejercicios Propuestos 1.8 1) 1− 2) 1

6 3) 27112 4) 8

1−

Ejercicios Propuestos 1.9 1) 5 2) 0 3) 72 4) 2 5) 1

6) 0 7) 8 8) 0 9) 3 10) 5

11) 3 12) 1− 13) 32− 14) 1− 15) 3−

16) 5− 17) 21 18) 2

1− 19) 1 20) 21

21) 21 22) 2−e 23) 4−e 24) 7

Ejercicios Propuestos 1.10 3. 1) +∞ 2) −∞ 3) −∞ 4) +∞ 5) −∞ 6) −∞ 7) +∞ 8) +∞ 9) +∞ 10) +∞

Misceláneos de límites

1. 1) F 2) F 3) V 4) F 5) V 6) V 7) F 8) F 9) F 10) V 11) V 12) F 13) F 14) V 15) F 16) V 17) V 18) F 19) F

2. 1) 2

2+=εδ 2) ( )23 += εδ 3) εδ = 4) εδ 2= 5) εδ =

3. 1) 15 2) 43 3) 4 4) 12e 5) e3 6) 1− 7) π

6

e 8) 32 9) 2

1−e

10) 52 11) 2ln 12) 4

π 13) 1 14) 21 15) e 16) 2

9 17) 115− 18) 0

19) 23 20) 0 21) 2

1 22) ∞ 23) 332 24) 1 25) 1 26) 1 27) 0

28) 2 29) 913−

e 30) 1 31) 2 32) 21 33) 1 34) 3 35) 4e 36) 0

37) 3− 38) 43 39) 1− 40) 0 41) 2ae

CAPITULO 2: Continuidad Ejercicios Propuestos 2.1 1. 1) 4x = 2) 2x = − 3) 1x = 4) 1x = − 5) 3x = 6) no hay 7) 1x = − , 0x = , 1x = 8) 2−=x , 2=x 9) { }Zkkxx ∈+= ;2

1/ 10) Zx∈

11) 23π−=x , π−=x , 0=x , 2

π=x , π=x 2. 1) 1

6A = − 2) 14A = 3) 18A = 4) 1

12A = 5) A no existe

Ejercicios Propuestos 2.2 1. 1) 1

3a = , 23b = 2) 3a = − , 4b = 3) 4a = , 2b = −

4) 4a = − , 3b = − 5) No existe valor de a y b 2. 1) 1x = 2) 3

2x = − 3) 4x = − , 3x = − , 1x = 4) 2x =

5) Zkkx ∈= ;2π 6) 1−=x y 1=x

3. a. Rx∈ b. { }0−∈ Rx

4. 310 −=k

Ejercicios Propuestos 2.3 3) a. V b.V c. F d. F e. F f. F g. V

Misceláneos 1. a) F b) V c) F d) F e) V f) F g) F h) F i) F j) F 2. 0=a 3. 4

1=A y 41=B

CAPITULO 3: La Derivada Ejercicios Propuestos 3.1

1) a) 2.5 b) 2.3 c) 2.1 d) ( )´ 2 2f =

2) ( ) 1´ 32

f =

3) a) ( )´ 3f x = b) ( )´ 2f x = − c) ( )´ 2 2f x x= + d) ( )´ 4 1f x x= − +

e) ( ) 2´ 6f x x= f) ( ) 23

23)´( 23 −+−= xxf


1) ( )´ 1 2f = 2) No existe 3) No existe 4) 6=a , 4−=b

5) 3=a , 1−=b 6) Rccbca ∈∧−=∧−= 232


1) a) ( ) 234

3

2´ 3 xf x x ex

−= + −

b) ( ) 4 2´ 5 3 4f x x x x= + +

c) ( ) ( ) ( )´ 2 cos 1 cos 1f x x x x x senx x senx= + − − − + −

d) ( ) ( )22

2 2

cos 11´x xxf x

x senx xsen x+−

= −

e) ( ) ( )( )( )2

1 1 cos´

1

xe x senx x xf x

senx

⎡ + + − ⎤⎣ ⎦=+

f) ( ) ( )´ 2 ln 12

xxef x x x= ⎡ + + ⎤⎣ ⎦

2) 4 1y x= +

3) 1334

y x= − +

4) 2 1y x= + ; 2 9y x= − + 5) 12 81y x= + ; 12 44y x= − 6) ( )9,3P

7) 53 8) !50

9) 4910


1. a) ( )2

1´2 2

xf xx x

−=

− + b) ( )

( )3

2´

2 3xf x

x−

=−

c) ( )( )

2

22

4´1

x

x

ef xe

=+

d) ( )( ) ( )

312 22 2

2´1 1

xf xx x

=− +

e) ( )2

2

cos cos2 2 2´ 3cos2 cos 2senx x x senxsen xf x

x x+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

f) ( ) ( ) ( )2´

1 ln 1xf x

x x=

+ + g) ( )

( )22

8´4

f xx x

=−

3. ( ) ( )x

exxgfx

2cos1

4sin)´(2

2cos1 2

+

−=

+

4. a) 4 b) 8− c) 2 d) -10 e) 6− 5. 16


1. a) ( )[ ] ( ) ( ) ( )242224

4cos1216sin48cos xxxxx

dxd

−+=

b) ( ) ( )

( )32

2

2

12cos2sin2

1 xxxx

xxxsen

dxd

+

+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+πππππ

c) [ ] xxxn

nxenexe

dxd

+=

d) ( )

( ) 14!5

45

+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

− nn

xxn

xD

e) ( )

( ) 11!2

11

+−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−+

nn

xxn

xxD entonces

( )( )31

30

1!302

11

xxxDx

−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−+

f) [ ] ( ) ( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−−

+−=

+

++

paresnsixxxn

imparesnsixxxnxx

dxd

n

n

n

n

;sincos1

;cossin1sin

1

1

2

21

entonces

[ ] xxxnxxdxd cossin35sin35

35−−=

2. ( )( )42

2

1212

11

xx

xdxdx

dxd

+

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+

3. ( )!nan

4. 1332)( 23 −+−= xxxxp


1. a) 3´ yyx

= − b) ( )

´1

yyx y

= −+

c) 2

´1

xy

xy

y eyxye

= −+

d) 2´sec tan sec

yyy y y x

=+ −

e) ( )

2´2

yyx y

= −+

3. 58

53 +−= xy 4. 2y x= − 5. 2+−= xy

6. 2+−= xy 7. 0=x 8. 32y x=

9. ( )1,1 10. 3

42

64948´´

yxxyy −

= 11. 3

13

43

1´´yx

y =

12. ´´ 3y = −


1. a) )tan(´ ty = b) ( )11´ 2 +

+=

ttty

2. axy 24 π−+= 3. 13 −= xy 4. 8

4183 += xy

5. xy 5= 6. a) ´́ cosy t= , b) ´́ ´ cosy t=


1. 22 −= xy 2. 83 +−= xy 3. 223 +−= xy

4. ( )23

33123312

23 3 −=−

−+ xy


1. 161 2. 1

5 3. 32 4. 3

5. 5 5 0x y− + = 6. 11 9 0x y− − = 7. ( ) 0122 =+−+ aayax 8. 3

9. a) 1

1

1arcsin´

22 +−

−+=

xx

xxy b) ( )2´ xarctgy =

c) 5cos3

4´+

=x

y d) ( )( ) ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

++

+= +

23

2

1

cos3´3

senxx

xxey senxxarctg


1. a) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

++

−

+=

4csccsc

23

cossec

315

4csc

1sec´ 3

332

3

35

xctgxxx

xsenxxtgx

x

tgxxy

b) ( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

+−

−−−

−

−= 3

3

253

3 24 3

41520

1324

43

4

14cos´xxx

xxxtg

xxx

xxxy

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

+−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

2

22

2

33 22 32

132

323

2

1

212

1´ x

xx

xearcsen

xx

xxx

eearcsen

xex

y

d) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

xxxy xx 1ln3ln3´ 3

e) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= n

xnnxy xn ln´

f)

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

xxxx

xxxx

x

xyy

424222

2cos1cosarccos

1

sin1sinarcsin

1cossinarctan2

arccos)arcsin(sin

ln1

arctan2´

g) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−++++=

xx

xxxx

ee

xeexxey22

2sec2

21arcsin

sec21arcsinlntansec1arcsin´

h) ( )[ ] ( ) ( )( )

( )( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−=

x

xxxx

xxxy x

3cos1

3sinlnln3sin33sin3sinln

3cosarctan3cos33sinln´2

3cosarctan

i) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )yxyyxyyxyxyx

yxyyxxy+−+++++

+−+=

2ln

2´ 2222

22

j) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++++= 2

222

1

21ln1´x

xxxyx

2. ( ) 012ln =+− yx

3. 02 =−+ yx

4. 14

Misceláneos 1. a) V b) V c) F d) V e) V f) V g) V h) V i) F j) F k) F l) F m) V n) F o) V p) F q) F r) F s) F t) V u) V v) F w) F

2. a) ( ) ( )

( ) ( ) yxeyxyyx

eyxxxyyyyx

yx

sinsin22

sin22cos´ 22

22

cos222

cos222

++−

++−=

+

+

b) ( ) ( )( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

++=

1ln21ln1´ 2

2ln2

xxx

xxxy

x

c) ( )( ) ( )( )

( )( )( )xx

xxx

exex

xeexexy332

3332

coscoslnsin

sin3coslncoslncos´++

−++=

d)

yy

yy

yx

y1arctan

12

1´2

2

3−

++

=

e) ( )1lnln´ ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= xxe

xexexy xx

xxe xx

f) ( )

xx

xxxx

xxy+

++−

+=

4

sin122

cos´

g) 2946´

xy

−=

h)⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+++

++= x

x

x ee

xxxx

e

xxy

141

11

arctan11

31

21

arctan12´ 224

32

i) ( ) ( )2arctan 2

4

2´ sin 3 ln sin 3 3arctan cot 31

x xy x x x an xx

⎡ ⎤= +⎢ ⎥+⎣ ⎦

j) 2

arctan

2 1arctan2

ln1

1´2

xex

xxy

x

++

−=

k) ( )

222´

yxyxxyxy++

−=

l) ( )xxxx eeexey 22tan sectansec´ +=

m) ( )

yxyyx

yxy

xy

+++

+−

=ln

2

´

3. )´()(2 xfxf 4. Rccdbca ∈∧+=∧=∧= 112

5. 322 +−= xy

6. ( )[ ]2

)1( efgDx =

7. xy = ∧ xy −= 8. 56 +−= xy

9. f es derivable en ( ) ( ) ( )2,11,00,1 ∪∪− 10. 38 =∨−= kk

11. 3

23 1d y t

dx= − −

12. 81

13

3−=

=tdxyd

13. 3a = − , 4b = − , 1c =

14. 32

32 −= xy

15. 23

21 += xy

16. ( )32

2

sincos2

ttedxyd

t −=

17. 22 −= πdxdy

18. 272)1´( =f

19. 3

222 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−= axy

20. Rcbca ∈∧=∧+= 11

21 1+= xy 22. 66 −= xy

23. 23

21 +−= xy

24. 13 −= xy

25. De )(xF tenemos ( ) ( )xfxxfxxF cos´sincoscos)´( 2−=

y como ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) )(cos´sincoscos)´( 2 xFxfxxfxxF =−−−−−=−

Por tanto )´(xF es PAR 26. 7−=k

27. ( )

( )5150

50

1!502

11

xxx

dxd

+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+−

28. 3+−= xy

29. 41−−= xy

30. ( )15141 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −fdxd

CAPITULO 4: Temas adicionales de la Derivada Ejercicios Propuestos 4.1

1. f crece en ( ) ( )1,0 2,− ∪ +∞ ; f decrece en ( ) ( ), 1 0,2−∞ − ∪

2. f crece en ( ) ( ), 2 2,−∞ − ∪ +∞ ; f decrece en ( ) ( )2,0 0,2− ∪

3. f crece en ( ) ( ), 2 2,−∞ − ∪ +∞ ; f decrece en ( )2,2−

4. f es creciente x R∀ ∈

5. f crece en ( ) ( )1,0 1,− ∪ +∞ ; f decrece en ( ) ( ), 1 0,1−∞ − ∪

6. f crece en ( )1,+∞ ; f decrece en ( ),1−∞


1. ( )2 73f − = Máximo ; ( )2 15f = − Mínimo

2. ( ) 633 5f = Máximo ; ( ) 633 5f − = − Mínimo

3. ( ) 222 3f − = Máximo ; ( ) 595 3f − = − Mínimo

4. ( )1 7f = Máximo ; ( )1 23f − = − Mínimo

5. ( )2 81f − = Máximo ; ( ) ( )1 1 0f f= − = Mínimo

6. ( ) 42 7f = Máximo ; ( )1 0f = Mínimo


1. ( )0 17f = Máximo Local ; ( )2 15f = − Mínimo Local ; ( )1 12f − = Mínimo Local

2. ( ) 642 15f − = Máximo Local ; ( ) 642 15f = − Mínimo Local

3. ( ) 222 3f − = Máximo Local ; ( ) 102 3f = − Mínimo Local

4. No hay extremo local 5. ( )0 1f = Máximo Local ; ( )1 0f − = Mínimo Local ; ( )1 0f = Mínimo Local

6. ( )1 0f = Mínimo Local


1. f es cóncava hacia arriba en ( ) ( ),1 7 1 7,−∞ − ∪ + +∞ ;

f es cóncava hacia abajo en ( )1 7,1 7− +

2. f es cóncava hacia arriba en ( ) ( )2,0 2,− ∪ +∞ ;

f es cóncava hacia abajo en ( ) ( ), 2 0, 2−∞ − ∪

3. f es cóncava hacia arriba en; ( )0,∞

f es cóncava hacia abajo en ( ),0−∞

4. f es cóncava hacia arriba en ( )13 ,∞ ;

f es cóncava hacia abajo en ( )13,−∞

5. f es cóncava hacia arriba en 1 1, ,7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−∞ − ∪ +∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

;

f es cóncava hacia abajo en 1 1,7 7

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

6. f es cóncava hacia arriba en ( ) 32,0 ,

11⎛ ⎞

−∞ ∪ +∞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

;

f es cóncava hacia abajo en 320,

11⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejercicios Propuestos 4.5 1) 2)

( )15,2 −•

•

••

•

( )12,1−

( )17,0

P.C.E:

P.C.E:

P.C.E:

P.I.

P.I.

Mín. Absoluto

Mín. Local

Máx. Local 171243 234 +−−= xxxy

( )35.1,21.1 −

( )32.14,55.0−

( )64,2−•

•

•( )64,2 −−

•

•

( )6.39,2−

( )6.39,2 −

35 203 xxy −=

3) 4)

5)

( )54.0,7

1( )54.0,7

1−••

•

• •

42 )1( −= xy

x

y

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-4

-2

0

2

4

6

51233 23 −+−= xxxy

( )911

31 −

P.I.

( )20,3−•

•

•( )16,3 −

( )2,0

29331 +−= xxy

6)


1 1)

( )43 1)( −= xxf

( )45.0,3 112

•

( )16.9,516

•

•

•

( )2.5;9.1

xxxf −= 4)( 2

2)

3) 4)

( )2

22)(x

xxf −=

P.C.E.

P.I. ( )41,3

•

( )3 53 23 52)( xxxf −=

( )6,2( )3 26,1− •

•

2

)( xexf −=

( )e

12

1 ,( )e

12

1 ,− ••

5) 6) 7)

xexf 1)( =

( )221 ; −− e•

253)(

−−

=xxxf

2

2

92)(

xxxf−

=

P.C.E

Mín. Local

8)

9) 10)

( )22

12)(

−−+

=x

xxxf

( )125.1;5 − ( )11.1;7 −• •

12)(

2

−−+

=x

xxxf

xy −=

32

32 )2()2()( −−+= xxxf

( )3 4,2

( )3 4,2 −−

11)

12)

( )x

xxf22)( +

=

4+= xy

( )8,2•

•

( )3,2 −−•

xy =2

3 4)(x

xxf −=

13)

14)

( )12,6

3+= xy

3

3

3)(

2

−=

xxxf

1+= xyxxexf

1)( =

( )e,1•


2. 0=x , 2

1=x , 2

1−=x .

3. a) 64)2()1( == ff b) 0)´( 0 =xf para algún [ ]2,10 ∈x

4. 20

bax +=

Ejercicios Propuestos 4.8 1) +∞ , 2) 1− , 3) 1 4) 0 5) 0 6) 1− 7) 1 8) 1 9) 1 10) 6−e 11) e 12) 3e 13) 4

9− 14) 1 15) 1

Misceláneos 1)

a)

12)(

−−

=xxxf

b)

c)

( )87.1;23.0•

•

12)( 2 −

−=

xxxf

1)( 2 −=

xxxf

d)

e)

12)( 2 −

=x

xf

( )xxxf −= 8)( 3

f) g) h)

( )45.0;5.1− •

1)( 32

+=xxexf

xy =

xxxf 1)(

2 −=

x

y

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

55)( 23 −−+= xxxxf

i) j)

35)( xxxf −=

( )8)( 232 −= xxxf

k)

6) a) 1 b)41 c) 0 d) 2

3 e) 2−

344)( 2

2

+−−

=xx

xxxf

CAPITULO 5: Aplicaciones de la Derivada Ejercicios Propuestos 5.1

1. segpie

π41

2. ( ) h

m3 219

3

π 3. min22.0

3m

4. a)minm

π8

b) minm

π5.12

5. a)minpie

1565

b) minpie

361

6. disminuye a razón de segpie3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= seg

piedtdr 3 7.

minpie

251

8. h

km31

1650 9.

hkm

293300

10. minpie

π3510


1. 6=x , 8=h 2. 324=b , 3

16=h 3. p55

4. 097.67=θ ; se ahorra 42min 36 seg 5. 2

433 u

6. ( )

2

2WL + 7. 3=

hH

8. 340=h , 3

220=r 9. Rh3

2= , Rr 32= 10. 2=b , 8

1=h

11. 40=b y 20=h 12. a) segt 63= b) Km4 13. RH3

2=

Ejercicios Propuestos 5.3 1. a) 05.20 b) 99.2 c) 99.5 c) 00026.2

2. 38.244 pieπ 3. ( ) 3.lg18.0108 puπ± 4. 345 cmπ±

Ejercicios Propuestos 5.4 1. a) 4

8273

292

293 31 xxxxe x ++++≈ b) 4

21322 xxxex x +−≈−

c) 6

sin33xxx πππ −≈ d)

!10!8!6!421cosh

108642 xxxxxx +++++≈

e) 86422 1

11 xxxx

x+−+−≈

+

2. a) ( ) ( ) ( ) ( )432 111111−+−+−+−−≈ xxxx

x

b) ( ) ( ) ( ) ( )42048153

25632

641

41 44442 −+−+−−−+≈ xxxxx

c) ( ) ( ) ( ) ( )41

31

211ln

432 −−

−+

−−−≈

xxxxx

Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones...

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