FOlleto Lineal Villena

Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Espacios Vectoriales

125

5

5.1 Definición de Espacio Vectorial

5.2 Propiedades

5.3 Subespacios 5.4 Subespacio generado

5.5 Dependencia e Independencia Lineal

5.6 Bases y Dimensión

5.7 Espacios asociados a matrices

5.8 Cambio de base

5.9 Bases ortonormales

OBJETIVOS: Conceptualizar Espacios Vectoriales. Determinar si un Conjunto es o no Espacio Vectorial Determinar si un Subconjunto es o no Subespacio Vectorial

Encontrar Subespacios Generados. Determinar si un conjunto de vectores es Linealmente Independiente o no. Determinar Bases y la dimensión de Subespacios Vectoriales.

Encontrar Espacios Filas, Espacios Columna, Núcleo e Imagen de una matriz. Obtener el vector de coordenadas de un vector con respecto a diversas bases

emplenado Matrices de Transición. Hallar Bases Ortonormales.


126

El lector ya se habrá percatado, por los cursos de Matemáticas Básicas, que los conjuntos con los cuales trabajaba son estructuras en

los cuales se definen dos operaciones básicas “Suma entre sus elementos” y “Multiplicación por escalares”. Se trata ahora de

realizar un estudio más riguroso.

5.1 Definición de Espacio Vectorial

Un conjunto no vacio V junto con dos operaciones

"Suma" y "Multiplicación por Escalar", denotadas

como y respectivamente, constituyen un

Espacio Vectorial Real si se satisfacen los 10

axiomas siguientes: 1. Si sumamos dos elementos de V , el resultante debe ser elemento de V . Es

decir, si 1 2V Vv v , entonces 1 2 Vv v . La Suma debe ser Cerrada

2. 1 2, V v v ; 1 2 2 1 v v v v . La Suma debe ser Conmutativa.

3. 1 2 3, , V v v v ; 1 2 3 1 2 3 v v v v v v . La Suma debe ser

Asociativa.

4. Debe existir un elemento en V , denotémoslo como 0 , tal que sumado con

cualquier elemento de V el resultante sea el mismo elemento. Es decir,

V, V 0 v , tal que v 0 0 v v . Aquí 0 es llamado “Nulo”,

“Idéntico”, o “Neutro”

5. Para cada elemento de V debe existir un elemento, denotémoslo como v , de

modo que al sumarlos resulte el Neutro. Es decir, V,v v , tal que

v v 0 . Donde v es llamado “Inverso Aditivo de v ”

6. La Multiplicación por Escalar debe ser Cerrada. Es decir, si V v ,

entonces V v . Multiplicando a cualquier elemento de V por un número

real el resultado debe ser elemento de V .

7. La Multiplicación por Escalar debe ser Distributiva para su Suma . Es decir,

1 2 1 2 v v v v . Donde

8. La Multiplicación por Escalar debe ser Distributiva para la suma de números

reales. Es decir, v v v . Donde , .

9. La Multiplicación por Escalar debe ser Asociativa.

Es decir, v v . Donde ,

10. El número 1 debe ser el “ Idéntico Multiplicativo” . Es decir, 1 v v

A los elementos de los Espacios Vectoriales se los denomina

Vectores.

De acuerdo a lo definido los conjuntos conocidos con las

operaciones Suma convencional y Multiplicación por Escalar convencional serían Espacios Vectoriales.


127

Ejemplo 1

V (El conjunto de los Números Reales) Con las operaciones usuales de suma y multiplicación entre números reales se cumplirían los 10 ax iomas.

Ejemplo 2

2V /x

x yy

(El conjunto de pares ordenados )

Con las operac iones usuales de suma entre pares ordenados y multipl icación por números reales se cumplirían los 10 ax iomas.

Ejemplo 3

3V /

x

y x y z

z

(El conjunto de ternas ordenadas)

Con las operaciones usuales de suma entre ternas ordenadas y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 ax iomas.

Ejemplo 4

1

241 2 3 4

3

4

V /

x

xx x x x

x

x

(El conjunto ordenado de 4

componentes. Con las operaciones usuales de suma y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 ax iomas.

Ejemplo 5

1

2V / , 1,2,3, ,n

i

n

x

xx i n

x

(El conjunto ordenado de "n" componentes)

Con las operaciones usuales de suma y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 ax iomas.

Ejemplo 6

V , / es una función continua en ,C a b f f a b

Con las operaciones usuales de suma entre funciones y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 ax iomas..


128

Ejemplo 7

2V / es un polinomio de grado menor o igual a 2P p p O también

22 /P at bt c a b c .

Con las operaciones usuales de suma entre polinomios y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 ax iomas.

Ejemplo 8

3V / es un polinomio degrado menor o igual a 3P p p O también

3 23V / , , ,P at bt ct d a b c d

Con las operaciones usuales de suma entre polinomios y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 ax iomas.

Ejemplo 9

1

1 2 2 1 0V , /n n

n n n n n iP a t a t a t a t a a

El conjunto de los polinomios de

grado menor o igual a " n ". Con las operaciones usuales de suma entre polinomios y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 ax iomas.

Ejemplo 10

2 2V / , , ,a b

M a b c dc d

. El conjunto de las matrices 22 .

Con las operaciones usuales de suma entre matrices y multipl icación por números reales se cumplirían los 10 ax iomas.

Ejemplo 11

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

V /

n

nm n ij

m m m mn

a a a a

a a a aM a

a a a a

El conjunto de las matrices de dimensión nm

Con las operaciones usuales de suma entre matrices y multipl icación por números reales se cumplirían los 10 ax iomas.

Como ejemplos de conjuntos que no son Espacios Vectoriales,

también con las operaciones convencionales, tenemos:


129

Ejemplo 1

V El conjunto de los números reales positivo no es espacio vectorial porque no cumple el ax ioma de la

ex istencia del elemento nulo, es decir, 0 PREGUNTA: ¿Sólo este ax ioma no cumple?.

Ejemplo 2

1 2 3V / , , ,

1 1 1 1

xx

El conjunto de los pares ordenados cuya segunda componente es siempre igual a 1; no cumple con el ax ioma de cerradura para la suma, veamos:

Sean 1

11

x

v y 2

21

x

v entonces 1 2

2 V2

x x

1v v

Por tanto, este conjunto no es espacio vectorial.

Ejemplo 3

2V / , , 0at bt c a b c a

El conjunto de los Polinomio de grado exactamente igual a 2 , no es espacio vectorial porque al sumar dos polinomios de grado 2 no necesariamente resulta un polinomio de grado 2 ; por ejemplo (contraejemplo):

Sean 2

1 2 3 2t t v y 2

2 2 5 3t t v

Entonces 1 2 8 1 Vt v v

PREGUNTA: ¿Sólo este ax ioma no cumple?

Ejemplo 4

V / es no singularn nA M A

El conjunto de las Matrices no singulares (inversibles), no es espacio vectorial porque la matriz cero no pertenece a este conjunto ya que no tiene inversa PREGUNTA: ¿Sólo este ax ioma no cumple?

Ahora veamos, cómo proceder en el caso de que haya que

comprobar todos los axiomas.

Ejemplo

1 2 4V / 3 , , ,

3 6 12

xy x x

y

El conjunto de los pares ordenados cuya segunda componente es 3 veces la primera componente; es decir,

los puntos que pertenecen a la recta con ecuación xy 3 .

Veamos que se satis facen los 10 ax iomas.

1. Si 1

113

x

x

v y 2

223

x

x

v entonces 1 2

1 21 2

V3( )

x x

x x

v v

2.

1

1

2

2

2

2

1

1

3333 x

x

x

x

x

x

x

x

3.

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

333333 x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x


130

4. 0

V0

0

5. Si 3

x

x

v entonces su inverso aditivo ser ía V3

x

x

v

6. Si 3

x

x

v entonces V3

x

x

v

7.

2

2

1

1

2

2

1

1

3333 x

x

x

x

x

x

x

x

8.

x

x

x

x

x

x

333)(

9.

x

x

x

x

33

10.

x

x

x

x

31.

3

Ejercicios propuestos 5.1

Determine si los siguientes conjuntos son Espacios Vectoriales o No.

1. V / 3 1x

y xy

2. V / 0

x

y x y z

z

3. V / 5 , 3 , 3

x

y x t y t z t t

z

Todos los ejemplos anteriores fueron considerados con las

operaciones convencionales, pero los resultados pueden ser diferentes si las operaciones de "Suma" y "Multiplicación por escalar" se definen

de manera diferente. De aquí en adelante, a menos que se diga lo contrario, se empleará las operaciones usuales.


131

5.2 Propiedades de los Espacios Vectoriales Sea V un Espacio Vectorial. Entonces se cumplen las siguientes

propiedades:

Propiedad 1

El vector neutro 0 es único.

Demostración.

Suponga que existen dos neutros 10 y 20 .

Entonces: 1 1 1v 0 = 0 v 0

Como también: 2 2v 0 = 0 v v .

En la primera ecuación, sumamos a ambos miembros el inverso aditivo de v , y supongamos que

20 es el neutro, entonces:

2 2

1

1

2 1 2

1 2

0 0

0

-v v 0 = -v v

0 0 0

0 0

Propiedad 2.

Cada vector v tiene un único inverso aditivo v .

Demostración.

Suponga que v tiene dos inversos aditivos 1

v y 2

v .

Entonces: 1 1

v v = v v = 0

Como también: 2 2

v v = v v = 0 .

En la primera ecuación, sumamos a ambos miembros 2

v :

2

1

2 1 2

1 2

1 2

0 v

v

v v v = v 0

0 v = v

v = v

Propiedad 3

,para 0 0

Demostración.

En la ecuación: 0 0 0

Multip licamos a ambos miembros por el escalar y aplicamos propiedades distributivas:


132

0 0 0

0 0 0

Sumamos a ambos miembros el inverso aditivo de 0 y consideramos la propiedad del

inverso aditivo y la del neutro:

0 0

0

0 0 0 0 0

0 0 = 0

0 = 0

Propiedad 4.

0 ,para Vv 0 v

Demostración.

En la ecuación: 0 0 0

Multip licamos a ambos miembros por v , y aplicamos propiedades distributivas:

0 0 0

0 0 0

v v

v v = v

Sumamos a ambos miembros el inverso aditivo de 0 v , y consideramos la propiedad del

inverso aditivo y la del neutro:

0 0 0 0 0

0

0

0 0

v v v = v v

v 0 = 0

v = 0

Propiedad 5

( 1) ( ),para V v v v

Demostración.

En la ecuación 1 1 0

Multip licamos a ambos miembros por v , y aplicamos propiedades distributivas:

1 1 0

1 1

1

v

v v

v v 0

v v 0

Sumamos a ambos miembros el inverso aditivo de v , y consideramos la propiedad de l inverso

aditivo y la del neutro:

1

1

0 v

v v v v 0

v v


133

5.3 SUBESPACIOS

Sea H un subconjunto no vacío de un espacio

vectorial V . H es un subespacio de V si es en sí

mismo un espacio vectorial bajo las operaciones de

Suma y Multiplicación por Escalar definidas en V .

Es decir, un subespacio es un espacio vectorial contenido en otro Espacio Vectorial.

5.3.1 Criterio de Subespacio Teorema

H es un subespacio de V , si se cumplen en él los

dos axiomas de cerradura, es decir:

1.- Si H H x y , entonces H x y

2.- Si H x , entonces H x .

Cuando se cumple lo segundo existirá el vector nulo (0 ) en H y

también existirán los vectores inversos aditivos para cada vector de H . ¿Porqué?. El resto de propiedades se cumplirían debido a que ya

estamos dentro de un espacio vectorial.

Ejemplo 1

Sea el espacio vectorial V y sea el subconjunto 1H entonces:

1.- Si ( )x y x y

2.- Si ( ) ,x x cuando 0

Por tanto 1H NO es subespacio de V .

Ejemplo 2

Para el mismo Espacio Vectorial anterior, tómenos el subconjunto 2H 0 .

2

2

1. 0 0 0 H

2. 0 0 H ,

Por tanto 2H si es subespacio V . Además, es llamado SUBESPACIO TRIVIAl.


134

En un Espacio Vectorial V , al Subespacio Trivial H 0 y a V se

los llaman SUBESPACIO NO PROPIOS, al resto son llamados SUBESPACIOS PROPIOS.

Ejemplo 3

Sea 2V . Determine si el subconjunto H / , donde " " es fijox

y mx my

es un

subespacio de V .

SOLUCIÓN:

1. Sean 1 2

1 2

x x

mx mx

x y entonces 1 2

1 2

Hx x

m x x

x y

2. 1 1

1 1

H( )

x x

mx m x

x

Por tanto H Si es un subespacio de 2

Ejemplo 4

Sea 3V . Determine si el subconjunto H /

x

y x at y bt z ct t

z

es

un subespacio de V . SOLUCIÓN:

1. Sean

1

1

1

at

bt

ct

x y

2

2

2

at

bt

ct

y entonces

1 2

1 2

1 2

( )

( ) H

( )

a t t

b t t

c t t

x y

2.

1

1

1

( )

( ) H

( )

a t

b t

c t

x

Por tanto H es un subespacio de 3

Ejemplo 5

Sea 3V . Determine si el subconjunto H / 0

x

y ax by cz

z

es un subespacio

de V . SOLUCIÓN:

1. Sean

1

1 1 1 1

1

tal que 0

x

y ax by cz

z

x y

2

2 2 2 2

2

tal que 0

x

y ax by cz

z

y

Al sumar las ecuaciones resulta: 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0a x x b y y c z z


135

Entonces, se observa que

1 2

1 2

1 2

H

x x

y y

z z

x y (porque satisface la condición de H )

2. Multiplicando la primera ecuación por el escalar tenemos:

1 1 1( ) ( ) ( ) 0a x b y c z

Entonces se observa que

1

1

1

H

x

y

z

x (porque satis face la condición de H )

Por lo tanto H es un subespacio de 3 .

Ejemplo 6

Sea 2 2V M . Determine si el subconjunto H / , ,0

a ba b d

d

(Matrices

triangulares Superior) es un subespacio de V . SOLUCIÓN:

1. Sean 1 1

10

a b

d

x y 2 2

20

a b

d

y entonces 1 2 1 2

1 2

H0

a a b b

d d

x y

2. 1 1

1

H0

a b

d

x

Por tanto H es un subespacio de V .

Ejemplo 7

Sea 2 2V M . Determine si el subconjunto

2 1 4 3 1 2

H / , , , , ,1 3 3 6 2 0

a ba b c

b c

es un subespacio de V . SOLUCIÓN:

1. Sean 1 1

1 1

a b

b c

x y

2 2

2 2

a b

b c

y entonces 1 2 1 2

1 2 1 2

H( )

a a b b

b b c c

x y

2. 1 1

1 1

H( )

a b

b c

x


Ejemplo 8

Sea 2 2V M . Determine si el subconjunto

1 1 2 2 3

H / 1 0 0 / , ,0 0 0 0 0 0

a b a ab a c d a

c d

Es un subespacio de V .

SOLUCIÓN:

1. Sean 1 11

0 0

a a

x y 2 21

0 0

a a

y entonces 1 2 1 22H

0 0

a a a a

x y

Por tanto H NO es un subespacio de V .


136

Ejemplo 9

Sea V 0,1C . Determine si el subconjunto H 0,1 / (0) 0 (1) 0f C f f es

un subespacio de V . SOLUCIÓN:

1.- Sean tal que (0) 0 (1) 0f f f x y

tal que (0) 0 (1) 0g g g y

Como 0)0)((

00)0()0(

gf

gf y

0)1)((

00)1()1(

gf

gf entonces ( )( ) Hf g x

2.- Si H x es decir tal que (0) 0 (1) 0f f f x

Como 0)0)((

0)0(

f

f y

0)1)((

0)1(

f

f entonces Hf


Ejemplo 10

Sea 22V / , ,P at bt c a b c . Determine si el subconjunto

2H /at at a a es un subespacio de V .

SOLUCIÓN:

1. Sean 21 1a t a t a x y 2

2 2 2a t a t a y entonces

21 2 1 2 1 2 Ha a t a a t a a x y

2. 21 1 1 Ha t a t a x


Ejemplo 11

Sea 22V / , ,P at bt c a b c . Determine si el subconjunto

2 2 2H tal que 0 2 4 6 , 3 2 1 ,at bt c a b c t t t t

es un subespacio de V . SOLUCIÓN:

Note que

Independiente

c a b

a b

entonces el subconjunto puede ser expresado también de esta otra forma

2H /at bt a b a b

1.- Sean 2

1 1 1 1a t b t a b x y

2

2 2 2 2a t b t a b y

Entonces

21 2 1 2 1 2 1 2 Ha a t b b t a a b b x y

2.- 21 1 1 1 Ha t b t a b x



137

Ejemplo 12

Sea 22V / , ,P at bt c a b c .

Determine si el subconjunto 2H / (1) 1p P p es un subespacio de V .

SOLUCIÓN:

Note que: cbap

cbtattp

)1(

)( 2

entonces el subconjunto puede ser expresado de esta otra forma

2 2H tal que 1 / 1at bt c a b c at bt c c a b

Ahora bien.

1. Sean 21 1 1 11a t b t a b x y

22 2 2 21a t b t a b y

Entonces

21 2 1 2 1 2 1 22 Ha a t b b t a a b b x y

Por tanto H no es subespacio de V .

Ejemplo 13

Sea 22V / , ,P at bt c a b c

Determine si el subconjunto 2H / (1) (́1)p P p p es un subespacio de V .

SOLUCIÓN:

Observe que bapcbap

battpcbtattp

2)1(́)1(

2)(́)( 2

entonces

ca

caa

bacba

pp

2

2

)1(́)1(

El subespacio puede ser expresado de esta otra forma

2 2 2H= / 2 3 2,4 5 4,at bt c c a t t t t

Bien, veamos si se cumplen los ax iomas de cerradura

1. Sean 2

1 1 1a t b t a x y

2

2 2 2a t b t a y

Entonces

21 2 1 2 1 2 Ha a t b b t a a x y

2. 21 1 1 Ha t b t a

x



Determine si los siguientes subconjuntos H son subespacios de V o no.

1. 2V

a) 1H / 0x

yy

b) 2H /x

x yy

c) 2 2

3H / 0x

x yy

d) 4H / 0x

x yy


138

2. 3V

a) 1H / 0

x

y z

z

b) 2H /

x

y x y z

z

c) 3H = / 1

x

y x

z

3. 2 2V M

a) 1

0H / , ,

aa c d

c d

b) 2

0H = /

0

aa d

d

c) 3H / 0a b

ac d

d) 4H /a b

a ba a

e) 5H / 1a b

ac d

f) 6H /a b

a b c dc d

g) 7H / 2 3 4 0a b

a b c dc d

h) 8H / ; , ,a b

c d a b dc d

i) 9 2 2H / / , ,t a bA M A A a b d

b d

j) 2

10H = /a b

A Tr A ab d

k) 11

0H = / Tr 0

aA A

c d

4. 3 3V M

a) 1 3 3H / es triangular SuperiorA M A

b) 2 3 3H / es DiagonalD M D

c) 3 3 3H / es inversibleA M A

d) 4 3 3H / es SimétricaA M A

e) 5 3 3H / 1A M A

5. 2V P

a) 2

1H = / 0at bt c b

b) 2

2H / 2 3 0at bt c a b c

c) 3 2H = / (0) (1)p P p p

d) 4 2H / (0) (1) 1p P p p

e) 5 2H / 1 (0) 0p P p p

f) 6 2H / ´ 1 0p P p

g) 7 2H = / (́0) (́1)p P p p


139

5.3.2 Intersección de Subespacios

Definición

Sean 1H y 2H dos subespacios de V . Entonces:

1 2 1 2H H V tal que H H h h h

Es decir, el conjunto intersección agrupa elementos de los subespacios que tengan las características de ambos. Note que nunca será el conjunto vacío.

Teorema

Sean 1H y 2H dos subespacios de V . Entonces

1 2H H es un subespacio de V .

Demostración.

Para que 1 2H H sea un Subespacio de V , se deben satisfacer los dos axiomas de cerraduras.

Primero, sean x y y elementos de 1 2H H ,entonces 1 2H H x x como también

1 2H H y y , entonces 1H x y , por ser 1H subespacio; y también 2H x y , por ser 2H

subespacio. Entonces 1 2H H x y .

Segundo, sea y sea 1 2H H x , entonces 1 2H H x x , y se cumple que

1 2H H x x por ser 1H y 2H subespacios. Entonces 1 2H H x .

Por lo tanto, 1 2H H es un Subespacio de V .

Ejemplo 1

Sea el espacio vectorial 3V y los subespacios

1H / 0

x

y x y z

z

y 2H /3 2 0

x

y x y z

z

Hallar el subespacio 1 2H H

SOLUCIÓN. El subespacio intersección tendría la forma:

1 2H H / 0 3 2 0

x

y x y z x y z

z

Para expresarlo más explícitamente debemos simplificar las dos condiciones, resolv iendo el sis tema

simultáneo

023

0

zyx

zyx

2 131 1 1 0 1 1 1 0

3 2 1 0 0 1 2 0

F F

zyzy

zyx

202

0

Reemplazando en la primera ecuación: zxzzx 02 Por tanto:


140

1 2

1 2

H H / 2

1 0 1

H H 2 / 2 , 0 , 2 ,

1 0 1

x

y x z y z z

z

z

z z

z

Ejemplo 2

Sea el espacio vectorial 2V P y los subespacios

2

1H / 0at bt c a b c y 2

2H /at bt c c a

Hallar el subespacio 1 2H H

SOLUCIÓN. El subespacio intersección tendría la forma:

21 2H H / 0at bt c a b c c a

Para expresarlo más explícitamente debemos simplificar las dos condiciones, resolv iendo el sis tema

simultáneo

0

0

ca

cba

2 11 1 1 0 1 1 1 0

1 0 1 0 0 1 2 0

F F

cbcb

cba

202

0

Reemplazando en la primera ecuación: cacca 02 Por tanto:

2 21 2

21 2

H H / 2 2 4 2,

H H 2 /

at bt c b c a c c t t

ct ct c c

Ejercicios Propuesto 5.3

1. Sea 3V y sean 1H / 2

x

y x y

z

y 2H / ,

x

y y x z x z

z

Determine 1 2H H

2. Sea 3V y sean los subconjuntos

1H / 0

x

y x y z

z

, 2H 1 / ,

x

x z

z

y 3H 2 /

3

x

x x

x

a) Determine cuál de los subconjuntos anteriores son subespacios de 3

b) Determine la intersección de los subespacios encontrados.

3. Considere los subespacios de 22xM

1W / 0a b

dc d

y 2W / 0a b

ac d

a) Determine 1 2W W

b) Demuestre que 1 2W W es un subespacio de 22xM

4. Sea 2 2V xM y los subespacios


141

1H / 0a b

a b c dc d

y 2H = / , ,a b

a b db d

Determine 1 2H H

5. Sea 2 2V xM y los subespacios

1

0H / 0

aa c d

c d

y 2H / 2 2 5 0

a ba b c c

b d

Determine 1 2H H

6. Considere 2V P y los subconjuntos:

1 2H / ' 1 2 1p P p p

22H 1 /at at a

23H 2 3 /at at a a

a) Determine cuál de los subconjuntos anteriores es subespacio de P2. b) Determine la intersección de los subespacios encontrados.

5.4 SUBESPACIO GENERADO

5.4.1 Combinación Lineal

Definición

Una combinación lineal de los vectores 1 2, , , nv v v

es una expresión de la forma: 1 1 2 2 n nc c c v v v

donde 1 2, , , nc c c .

Note que el resultado de poner en combinación lineal un conjunto de vectores es otro vector.

Ejemplo 1

Una combinación lineal de los vectores

1

2

1

y

1

2

3

podría ser

1

2

3

3

1

2

1

2 . Al realizar la

operación se tendr ía como resultado el vector

5

2

7


142

Ejemplo 2

Otra combinación lineal de los vectores

1

2

1

y

1

2

3

podría ser

1

2

3

1

1

2

1

3 . Al realizar la

operación tenemos el vector

4

4

0

Los vectores resultantes de las combinaciones lineales conforman otro conjunto cuyas características nos proponemos estudiar.

5.4.2 Conjunto de Combinaciones Lineales. Definición

Sea 1 2S , , , n v v v un conjunto de vectores de un

espacio vectorial V . Al conjunto 1 1 2 2 3 3 nH / paran iV c c c c c v v v v v v

se lo llama Conjunto de todas las combinaciones

lineales de los vectores de S

Teorema

Sea 1 2 nS , , , v v v un conjunto de vectores de un

espacio vectorial V . El conjunto de todas las

combinaciones lineales de los vectores de S es un

subespacio de V .

Demostración.

Primero, sea 1 1 2 2 3 3H / paran n iV c c c c c v v v v v v y sean , x y H ,

entonces 1 1 2 2 3 3 n na a a a x v v v v y 1 1 2 2 3 3 n nb b b b y v v v v . Si sumamos

tenemos:

1 2 3

1 1 1 2 2 2 3 3 3+

n

n n n

c c c c

a b a b a b a b x y v v v v

Entonces H x y .

Segundo. Multipliquemos a x por un escalar , tenemos:

2 3

1 1 2 2 3 3

cn

n n

c c c

a a a a

1

x v v v v

Entonces H x . Por lo tanto H es un subespacio de V .


143

En tal caso se dice que H está generado por S . Se lo llamará de

aquí en adelante el Subespacio Generado por S y se lo denotará

como:

H gen(S)

A S se le llama Conjunto Generador de H .

Ejemplo 1

Sea

1 3

S 2 , 2

1 1

. Hallar el subespacio generado por S .

SOLUCIÓN:

La combinación lineal de los vectores de S , generan vectores de 3 cuya caracterís tica debemos determinar.

z

y

x

cc

1

2

3

1

2

1

21

El sistema

zcc

ycc

xcc

21

21

21

22

3

debe ser consis tente

3 12 1

3 1

21 3 1 3 1 3

2 2 0 4 2 0 4 2

1 1 0 4 0 0 0

F FF F

F F

x x x

y y x y x

z x z x y z x y z

El último renglón permite establecer la condición (caracterís tica) buscada de los vectores de H

1 3 4 7

H gen(S) / , 2 , 2 , 4 , 2 ,

1 1 0 5

x

y x y z y z

z

Note que lo que se ha hecho es no otra cosa que determinar las

características de los vectores del conjunto S .

Ejemplo 2

Sea

3 1 2

S 2 , 1 , 3

1 1 0


SOLUCIÓN:

Ponemos en combinación lineal a los vectores de S para obtener los vectores que se generan y luego establecemos condiciones para la consis tencia del sis tema que se da a lugar.

z

y

x

ccc

0

3

2

1

1

1

1

2

3

321

zcc

yccc

xccc

0

32

23

21

321

321


144

3 1 2 1

3 1

3 3 2

2

3

3 2

3 1 2 1 1 0 1 1 0

2 1 3 2 1 3 0 3 3 2

1 1 0 3 1 2 0 2 2 3

1 1 0 1 1 0

0 3 3 2 0 3 3 2

0 6 6 3 9 0 0 0 3 2 5 3 2 5 0

F F F F

F F

F F F

x z z

y y y z

z x x z

z z

y z y z

x z x y z x y z

Por tanto:

H gen(S) / 3 2 5 0

x

y x y z

z

Ejemplo 3

Sea

3 1 2

S 2 , 1 , 0

1 1 1


SOLUCIÓN:

Ponemos en combinación lineal a los vectores de S para obtener los vectores que se generan y luego establecemos condiciones para la consis tencia del sis tema que se da a lugar.

z

y

x

ccc

1

0

2

1

1

1

1

2

3

321

1 3 2 1

3 1

3 2

2

3

2

3 1 2 1 1 1 1 1 1

2 1 0 2 1 0 0 1 2 2

1 1 1 3 1 2 0 2 5 3

1 1 1

0 1 2 2

0 0 1 2

F F F F

F F

F F

x z z

y y y z

z x x z

z

y z

x y z

Observe el último renglón, se concluye que para cualquier valor de zyx , es sis tema tendría solución

única, es decir:

3H /

x

y x y z

z

Por tanto, el conjunto S genera a todo el espacio vectorial V

Ejemplo 4

Sea 2 2S 1,2 3 1t t t t . Hallar el subespacio generado por S .

SOLUCIÓN:

Ponemos en combinación lineal a los vectores de S para obtener los vectores que se generan

cbtatttcttc 22

2

2

1 1321

Destruyendo paréntesis y agrupando, resulta:

cbtatcctcctcc

cbtatctctcctctc

22121

221

222

2211

21

32

32

Entonces:


145

ccc

bcc

acc

21

21

21

3

2

Analizando la consistencia del sistema:

2 1

3 1

3 3 15 3

1 2 1 2

1 3 0 5

1 1 0 3

1 2 1 2

0 5 0 5

0 15 5 5 0 0 2 3 5 2 3 5 0

F F

F F

F F F

a a

b b a

c c a

a a

b a b a

c a a b c a b c

Por tanto:

2H / 2 3 5 0at bt c a b c

Ejemplo 5

Sea 2 1 3 2 1 1

S , ,1 1 1 0 1 1


SOLUCIÓN:

Ponemos en combinación lineal a los vectores de S para obtener los vectores que se generan.

dc

baccc

11

11

01

23

11

12321

Realizando las operac iones de las matrices

dc

ba

ccccc

cccccc

dc

ba

cc

cc

c

cc

cc

cc

31321

321321

33

33

2

22

11

11

232

0

232

Entonces:

dcc

cccc

bccc

accc

31

321

321

321

2

32

Analizando la consistencia del sistema resulta:

4 1

2 31 2

2 3 134 1

3 22 4

3 2

2

2

3

2 3 1 1 0 1 1 0 1

1 2 1 2 3 1 0 3 1 2

1 1 1 1 2 1 0 2 2

1 0 1 1 1 1 0 1 0

1 0 1 1 0 1

0 1 0 0 1 0

0 2 2 0 0 2

0 3 1 2

F FF FF F

F F F FF F

F FF F

F F

a d a

b a a d

c b b d

d c c d

d d

c d c d

b d

a d

3 4 2 32

2

0 0 1 3 5

1 0 1 1 0 1

0 1 0 0 1 0

0 0 1 3 5 0 0 1 3 5

0 0 2 2 0 0 0 2 8 11

F F F F

b d c

a c d

d d

c d c d

a c d a c d

b c d a b c d

Por tanto:

H / 2 8 11 0a b

a b c dc d


146

Ejemplo 6

Sea 1 2 1 1

S ,3 4 1 1


SOLUCIÓN:

Ponemos en combinación lineal a los vectores de S para obtener los vectores que se generan.

dc

bacc

11

11

43

2121

Realizando las operac iones de las matrices

dc

ba

cccc

cccc

2121

2121

43

2

Entonces:

dcc

ccc

bcc

acc

21

21

21

21

4

3

2

Analizando la consistencia del sistema resulta:

2 1

3 1

4 1

2 3 2

4 1

2

34

1 2

3

1 1 1 1

2 1 0 1 2

3 1 0 2 3

4 1 0 3 4

1 1 1 1

0 1 2 0 1 2

0 2 3 0 0 2

0 3 4 0 0 2 3

F F

F FF F

F F F

F F

a a

b b a

c c a

d d a

a a

a b a b

c a a b c

d a a b d

Aquí hay dos condiciones. Por tanto:

H / 2 0 2 3 0a b

a b c a b dc d

O también, H / 2 3 2 ,a b

c b a d b a a bc d


1. Determine el subespacio generado por:

1. 1 2 5

S , ,1 2 5

2. 1 1

S ,1 2

3. 1

S1

4. 1 1 1

S , ,1 2 5

5.

2 5

S 1 , 3

3 2

6.

2 5 1

S 1 , 3 , 1

3 2 1

7.

1 0

S 2 , 0

3 0

8.

1 0 1

S 2 , 0 , 1

3 0 1

9. 2 2S 2 1, 5t t t t

10. 2S 2 1t t 11. 2 2 2S 2 1, 5, 1t t t t t t

12. 1 1 1 1

S ,1 1 0 0

13. 1 1 1 1 1 2

S , ,1 1 0 0 3 4

14. 1 1

S1 1

15. 1 1 1 1 1 2 4 3

S , , ,1 1 0 0 3 4 2 1


147

2. Sea 2 2V M y sea

1 2 2 1 2 4S , ,

1 1 0 1 1 1

a) Determine si S genera a V .

b) En caso de no generarlo encuentre H=gen(S)

c) Determine si la matriz 1 1

H1 1

d) Considerando el subespacio W= /a b

b cc d

halle H W .

e) Determine si 1 1

H W1 1

5.5 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

Observe los vectores del conjunto

3 1 2

S 2 , 1 , 3

1 1 0

. Note que el tercer

vector es el resultante de sumar los dos primeros. Por lo anterior se dice que el

conjunto S es linealmente dependiente. Este es el concepto que vamos a

desarrollar ahora. Además, ocurre generalmente que determinar esta característica por inspección no es tan sencillo, por tanto debemos tener argumentos matemáticos que nos permitan realizar este trabajo.

Definición

Sean 1 2 n, , ,v v v , " "n vectores de un espacio

vectorial V . Se dice que los vectores son

linealmente dependientes si existen " "n

escalares nCCC ,,, 21 , no todos ceros, tales que:

1 1 2 2 nnC C C v v v 0

Caso contrario, se dice que son linealmente

independientes. Es decir, si:

00021

n

CCC

Ejemplo 1

Determine si el conjunto

3 1 2

S= 2 , 1 , 3

1 1 0

es linealmente independiente o dependiente

SOLUCIÓN: Aplicando la definición, ponemos los vectores en combinación lineal e igualando al vector cero se obtiene el sistema lineal que nos permite resolver el problema:


148

0

0

0

0

3

2

1

1

1

1

2

3

321CCC

0

032

023

21

321

321

CC

CCC

CCC

1 3 2 1

3 1

23 3 2

2

3

1

3 2 3

3 1 2 0 1 1 0 0 1 1 0 0

2 1 3 0 2 1 3 0 0 3 3 0

1 1 0 0 3 1 2 0 0 2 2 0

1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

0 3 3 0 0 3 3 0 0 1 1 0

0 6 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0

F F F F

F F

FF F F

El sistema homogéneo tiene Infinitas soluciones, por tanto el conjunto es linealmente dependiente.

Ejemplo 2

Determine si el conjunto

1 2 0

S 2 , 2 , 1

3 0 7


SOLUCIÓN:

1 2 3

01 2 0

2 2 1 0

3 0 7 0

c c c

1 2

1 2 3

1 3

2 0

2 2 0

3 7 0

C C

C C C

C C

3 12 1

3 1

32

3

1 2 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0

2 2 1 0 0 2 1 0 0 2 1 0

3 0 7 0 0 6 7 0 0 0 10 0

F FF F

F F

1 2

2 3

3

2 0

2 0

10 0

C C

C C

C

3

2

1

0

0

0

C

C

C

El sistema homogéneo tiene solución única que es la trivial por tanto el conjunto es independiente, es decir ningún vector se forma por combinación lineal de los restantes.

Ejemplo 3

Determine si el conjunto 1 2

S 2 , 5

4 3


SOLUCIÓN:

0

0

0

3

5

2

4

2

1

21cc

034

052

02

31

21

21

CC

CC

CC

3 12 1

3 1

112

4

1 2 0 1 2 0 1 2 0

2 5 0 0 1 0 0 1 0

4 3 0 0 11 0 0 0 0

F FF F

F F

0

02

2

21

C

CC

0

0

2

1

C

C

El sistema homogéneo tiene solución única que es la trivial por tanto el conjunto es independiente.


149

Ejemplo 4

Determine si el conjunto 1 3

S= 2 , 6

3 9


SOLUCIÓN:

1 2

01 3

2 6 0

3 9 0

c c

1 2

1 2

1 3

3 0

2 6 0

3 9 0

C C

C C

C C

2 1

3 1

2

3

1 3 0 1 3 0

2 6 0 0 0 0

3 9 0 0 0 0

F F

F F

1 23 0C C

El sistema tiene infinitas soluc iones, por tanto el conjunto es linealmente dependiente.

Teorema

Dos vectores en un espacio vectorial son

linealmente dependientes, si y sólo sí uno es

múltiplo escalar del otro.

Demostración

Primero, demostremos que si dos vectores son múltiplo escalar entonces son linealmente independientes.

Sean 1v y 2v , suponga que 2 1 ; 0c c v v , entonces tenemos que 1 2-c v v 0 ,

entonces 1v y 2v son linealmente independientes.

Segundo, demostremos ahora que si dos vectores son linealmente independientes entonces son múltip lo escalar.

Sean 1v y 2v vectores linealmente independientes, en tonces existen escales 1c y 2c no todos

ceros tales que 1 1 2 2-c c v v 0 . Suponga 2 0c , entonces dividamos la ecuación anterior para 2c y

despejemos 1v :

1

1 21 2 1 1 2 2 1 1

2 2

1

-

c

c cc c

c c v v 0 v v 0 v v

Lo cual demuestra que los vectores son múltiplos.

Ejemplo 5

Determine si el conjunto 2 2 2S 1, 2 3, 2 2t t t t t t es linealmente

independiente o dependiente SOLUCIÓN: Poniendo los polinomios en combinación l ineal e igualando al polinomio cero

000)22()32()1( 22

3

2

2

2

1 ttttCttCttC


150

2 3 3 12 1

3 1

31 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0

1 1 2 0 0 3 3 0 0 1 3 0 0 1 3 0

1 3 2 0 0 1 3 0 0 3 3 0 0 0 12 0

F F F FF F

F F

1 2 3

2 3

3

2 0

3 0

12 0

C C C

C C

C

3

2

1

0

0

0

C

C

C

El sistema homogéneo tiene solución triv ial por tanto el conjunto es linealmente independiente

Ejemplo 6

Determine si el conjunto 2 2S 2 1, 5 2t t t t es linealmente independiente o

dependiente SOLUCIÓN: Por inspección, se observa que los polinomios no son múltiplo por tanto son linealmente independi ente.

Ejemplo 7

Determine si el conjunto 1 1 2 1 1 3

S= , ,1 1 0 1 1 0

es linealmente independiente

o dependiente SOLUCIÓN: Poniendo las matrices en combinación lineal e igualando a la matriz cero

1 2 3

1 1 2 1 1 3 0 0

1 1 0 1 1 0 0 0c c c

1322 1

3 1 4

4 1

2 3 3 2

4 2

1

3

1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0

1 1 3 0 0 3 4 0 0 3 4 0

1 0 1 0 0 2 2 0 0 1 1 0

1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0

1 2 1 0 1 2 1 0

0 1 1 0 0 1 1 0

0 3 4 0 0 0 1 0

0 1 1 0 0 0 0 0

FF F

F F FF F

F F F F

F F

1 2 3

2 3

3

2 0

0

0

C C C

C C

C

3

2

1

0

0

0

C

C

C

El conjunto es linealmente independiente

Teorema

Sea A una matriz cuadrada nn . Sus filas o

Columnas son Linealmente Independiente si y sólo

sí 0A

Cuando lo anterior ocurre, al realizar eliminación de renglones

(Método de Gauss) no va a existir un reglón de ceros en la matriz resultante.


151

Ejemplo 1

Sea la matriz

2 1 4

3 5 1

1 0 0

A

Hallando su determinante tenemos:

53

120

13

420

15

411

001

153

412

A

21)5)(4()1)(1(1

0015

411

A

A

Por tanto sus renglones y filas son linealmente independientes.

Ejemplo 2

Sea la matriz

2 1 4

3 5 1

5 6 3

A

Hallando su determinante tenemos:

53

123

13

426

15

415

001

153

412

A

0)7(3)14(6)21(5 A

Por tanto sus renglones y filas son linealmente dependientes. Note la tercera fila es la suma de las dos primeras.


Determine si los conjuntos son linealmente independiente o dependiente.

1. 1 1

S ,1 2

2. 1

S1

3. 1 1 1

S , ,1 2 5

4.1 2 5

S , ,1 2 5

5.

2 5

S 1 , 3

3 2

6.

2 5 1

S= 1 , 3 , 1

3 2 1

7.

1 0 1

S= 2 , 0 , 1

3 0 1

8. 2 2S 2 1, 5t t t t

9. 2 2S= 1, 2, 1t t t t 10. 1 1 1 1

S= ,1 1 0 0

11. 1 1 1 1 1 2

S= , ,1 1 0 0 3 4


152

5.6 BASES Y DIMENSIÓN

Un conjunto finito de vectores 1 2 n, , ,v v v es una

base para un espacio vectorial, si:

1.- Son linealmente independientes,

2.- Generan al espacio vectorial. La dimensión del espacio vectorial es el número

de vectores de cualquier base.

Ejemplo 1

Sea 3V . Determine si

1 0 0

S 0 , 1 , 0

0 0 1

es una base para V

SOLUCIÓN:

Para que S sea una base para 3 , debe ser l inealmente independiente y deben generar a todo el espacio vectorial.

1.

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

321CCC Si es independiente

2.

1

0

0

0

1

0

0

0

1

zyx

z

y

x

Si genera a todo vector de 3

Por tanto, este conjunto si es una basa para 3

. Además este conjunto es llamado Base Canónica o Estándar.

La dim3 3

Ejemplo 2

Determine si

1 2 0

S 2 , 2 , 1

3 0 7

es otra base para 3

SOLUCIÓN:

Primero determinemos si S genera a 3

1 2 3

1 2 0

2 2 1

3 0 7

x

C C C y

z

3 12 1

3 1

32

3

1 2 0 1 2 0 1 2 0

2 2 1 0 2 1 2 0 2 1 2

3 0 7 0 6 7 3 0 0 10 3 3

F FF F

F F

x x x

y y x y x

z z x z y x

El último renglón indica que para cualquier valor de x , y y z ex istirán soluciones única por tanto el

conjunto S sí genera a 3

.


153

Segundo, Para determinar si son linealmente independiente bastará con referirnos a la última matriz reducida con la columna aumentada de ceros.

01000

0120

0021

O también, como el sis tema tiene solución única, cuando x , y y z toman el valor de 0 se forma un

sistema homogéneo con solución triv ial. Entonces, S es linealmente independiente.

Por tanto, S si es otra base para 3

Teorema

Sea V un espacio vectorial con base S . Todo vector de V puede ser escrito en combinación

lineal única de los vectores de S .

Demostración

Sea 1 2 nS= , , ,v v v una base del espacio V y sea Vv ∈ .

Supongamos que existen dos combinaciones lineales para v en términos de S ; es decir:

1 1 2 2 nn v = v v v

1 1 2 2 nn v = v v v

Igualamos las ecuaciones:

1 1 2 2 n 1 1 2 2 nn n v v v v v v

De aquí obtenemos:

1 1 1 2 2 2 nn n - v - v v 0

Y como S es una base, entonces:

1 1

2 2

0

0

0n n

-

-

Es decir: 1 1 2 2 n n

Lo cual demuestra que la combinación lineal es única.

Ejemplo

En el ejemplo anterior se demostró que el conjunto

1 2 0

S 2 , 2 , 1

3 0 7

es otra base para 3

, por

tanto todo vector de 3

puede ser escrito en combinación lineal única de los vectores de S . Por ejemplo, al

expresar el vector

3

2

1

en término de los vectores de S se obtendrá solución única. Compruebe que el

sistema 1 2 3

1 2 0 1

2 2 1 2

3 0 7 3

C C C

tiene solución única


154

Bien, continuemos con otros espacios vectoriales.

Ejemplo 1

Sea 2V P . Determine si 2S , ,1t t es una base para V

SOLUCIÓN:

Se puede observar que S es linealmente independiente y además todo polinomio puede ser escrito en

combinación lineal de los vectores de S

2 2( ) ( ) (1)at bt c a t b t c

Por tanto S si es una base para 2

P . Esta sería la base canónica

La 2dim 3P

Ejemplo 2

Determine si 2 2 2S 2 1, 2 2, 1t t t t t t es otra base para 2V P

SOLUCIÓN:

Primero determinemos si S genera a 2P

c

b

a

CCC

1

1

1

2

1

2

1

2

1

321

2 1

3 1

21 2 1 1 2 0

2 1 1 0 3 1 2

1 2 1 0 4 1

F F

F F

a a

b b a

c c a

Hasta allí, como los dos últimos renglones no son múltiplos, ex istirán soluciones única; por tanto, el conjunto

S sí genera a 2P .

Segundo. Es fácil comprobar que el conjunto el linealmente independiente.

Por tanto, S es otra base para 2P .

Ejemplo 3

Sea 2 2V M . Determine si 1 0 0 1 0 0 0 0

S , , ,0 0 0 0 1 0 0 1

es una base para V

SOLUCIÓN:

Se puede observar que S es linealmente independiente y además toda Matriz puede ser escrita en

combinación lineal de los vectores de S

10

00

01

00

00

10

00

01dcba

dc

ba

Por tanto S si es una base para 22

M . Esta sería la base canónica

La 2 2dim 4M

Para el caso de subespacios tenemos:

Ejemplo 1

Hallar una base para el subespacio H / 0

x

y x y z

z

SOLUCIÓN:

Despejando una variable, le damos otra forma H que nos permita resolver el problema


155

1 0

H / 0 1 /

1 1

x

y x y x y x y

x y

Por tanto, una base para H sería

1 0

S 0 , 1

1 1

Además dimH 2

Teorema

Sea H un subespacio del espacio vectorial V .

Entonces:

dimH dimV Además si dimH dimV entonces H V .

Ejemplo 2

Hallar una base para el subespacio 2H / 2 3at bt c c a b

SOLUCIÓN: Reemplazando la condición y expresando en combinación lineal

2H 2 3 /at bt a b a b

2H ( 2) ( 3) /a t b t a b

Por tanto una base para H sería 2S 2, 3t t , entonces dimH 2

Ejemplo 3

Hallar una base para H /a b

b cc d

SOLUCIÓN: Reemplazando la condición y expresando en combinación lineal

H /

1 0 0 1 0 0H /

0 0 1 0 0 1

a ba b d

b d

a b d a d b

Por tanto una base para H sería 1 0 0 1 0 0

S , ,0 0 1 0 0 1

, entonces dimH 3


156

Ejemplo 4

Hallar una base para 2 2 2H gen 1, 2 3 1, 3 2 2t t t t t t

SOLUCIÓN: Primero hallamos el subespacio generado por el conjunto de vectores dados:

2 2 2 2

1 2 31 2 3 1 3 2 2C t t C t t C t t at bt c

La matriz aumentada sería:

1 2 3

1 3 2

1 1 2

a

b

c

Aplicando el método de Gauss:

2 31 2

1 3

2 35

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 3 2 0 5 5 0 1 1

1 1 2 0 1 1 0 5 5

1 2 3

0 1 1

0 0 0 4 5

F FF F

F F

F F

a a a

b b a c a

c c a b a

a

c a

a b c

El subespacio generado sería:

24 5 0H / a b cat bt c

O también 25 4H / b c aat bt c

Reemplazando la condición y agrupando:

2

2

2

5 4H / ,

H 4 4 / ,

H 4 4 1 / ,

c aat t c a c

at ct at c a c

a t t c t a c

Por tanto una base sería:

2S 4 , 4 1t t t y dim H 2

Ejemplo 5

Hallar una base para el espacio solución del sistema 2 3 0

0

x y z

x y z

SOLUCIÓN: Primero hallamos el conjunto solución. La matriz aumentada sería:

1 2 3 0

1 1 1 0

Aplicando Gauss

1 21 2 3 0 1 2 3 0

1 1 1 0 0 1 2 0

F F

El sistema equivalente sería:

2 3 0

2 0

x y z

y z

De donde 2y z , y por sustitución regresiva:

2 2 3 0x z z

x z

Por tanto su conjunto solución, denotémoslo por H, sería:


157

H / 2

x

y x z y z z

z

Reemplazando

1

H 2 / 2 /

1

z

z z z z

z

Se observa que una base sería:

1

S 2

1

y dim H 1

Si H 0 , el subespacio trivial, entonces dimH 0 . Por tanto su

base sería S (El conjunto vacío)

Ejemplo

Hallar una base para el Espacio Solución del sistema

0

2 3 0

3 2 0

x y z

x y z

x y z

SOLUCIÓN: Primero hallamos el conjunto solución del sistema:

1 2

1 3

2

3

1 1 1 1 1 1

2 1 3 0 3 1

3 2 1 0 1 2

F F

F F

Hasta aquí se observa que tiene solución triv ial (¿Por qué?) Por tanto su conjunto solución, H, sería:

0

0

0

H

Entonces dimH 0 y no hay base.

Analice ahora los siguientes teoremas.

Teorema

Sea V un Espacio Vectorial de dimensión n .

Entonces:

1. Si n vectores generan a V entonces son

linealmente independientes.

2. Si n vectores son linealmente independientes

entonces estos vectores generan a V .


158

Teorema

Un conjunto de vectores linealmente

independiente en un Espacio Vectorial de

dimensión n , contiene a lo más n vectores.

Por ejemplo, en un Espacio Vectorial de dimensión 3 a lo mucho habrá 3 vectores Linealmente Independiente, 4 vectores o más serán

dependientes.

Ejercicios Propuestos 5.6

1. Sea 3V y

1 1 3

S= 1 , 2 , 2

1 3 1

a) Determine si S es una base para 3

b) En caso de no ser base halle H=gen S

c) Determine una base y la dimensión de H

2. Determine si el conjunto 1 0 1 1 1 1 1 1

S , , ,0 0 0 0 1 0 1 1

es una base del espacio

22xM

3. Establezca una base y la dimensión del espacio solución del sistema

032

0

zyx

zyx

4. Establezca una base y la dimensión del espacio solución del sistema

0145

082

02245

02

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

5. Considere 3V P y el conjunto

3 2 3 3 2 2S= 2 1, 1, 2 5 , 3 5 1x x x x x x x x x

a) Encuentre el espacio generado por S b) Encuentre una base para el espacio generado por S

6. Considere 2 2V M y el conjunto

1 2 1 1S ,

3 4 1 1

a) Encuentre el espacio generado por S b) Encuentre una base para el espacio generado por S


159

5.7 ESPACIOS ASOCIADOS A MATRICES

5.7.1 ESPACIO FILA Podría presentarse la necesidad de determinar la característica de los

vectores fi las o la característica de los vectores columnas de una matriz.

mmnmmnmmm

n

n

n

nm

n

RF

RF

RF

RF

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

CCCC

,

,

,

,

33

22

11

321

3333231

2232221

1131211

)(

321

Definición

Sea m nA una matriz. El Espacio Fila o Espacio

Renglón, denotado por AR , se define como:

31 111 21

32 212 22

13 23 33 3

1 2 3

1 2 3, , , ,gen , , , , gen

m

m

m

n n n mn

mA

a aa a

a aa a

a a a a

a a a a

R F F F F

Note que los vectores del espacio fila pertenecen a un subespacio de n ¿Por qué?

Ejemplo

Sea

321

112A . Hallar el Espacio Fila

AR

SOLUCIÓN:

Por definición

2 1

gen 1 , 2

1 3

AR

Es decir: 1 2 1 2

2 1

/ 1 2 donde

1 3

A

x x

R y y c c c c

z z

Entonces

z

y

x

cc

3

2

1

1

1

2

21

yzx

zy

z

zx

zy

z

x

y

z

z

y

x

00

50

31

250

50

31

12

21

31

31

21

12

Por tanto:


160

0/ zyx

z

y

x

RA

Compruebe que los vectores filas satis facen la condición.

Además, una base para AR sería

1

1

0

,

1

0

1

S y 2dim AR

5.7.2 ESPACIO COLUMNA

Definición

Sea A una matriz nm . El Espacio Columna,

denotado por A

C , se define como:

32 111 12

23 221 22

31 32 33 3

1 2 3

1 2 3 , , , ,gen , , , , gen

n

n

n

m m m mn

nA

a aa a

a aa a

a a a a

a a a a

C C C C C

Note que los vectores del Espacio Columna pertenecen a un subespacio de m

¿Por qué?

Ejemplo

Sea

321

112A . Hallar el Espacio Columna

AC

SOLUCIÓN:

Por definición 2 1 1

gen , ,1 2 3

AC

Es decir 1 2 3 1 2 3

2 1 1/ donde

1 2 3A

x xC c c c c c c

y y

yx

y

x

y

y

x

2550

321

112

321

321

112

Por tanto:

2/A

xC x y

y

Las columnas no cumplen condición alguna.

Además 2dim AC


161

Ejemplo

Sea

1 1 0

3 1 4

1 0 1

A

. Hallar A

R , A

C , Bases y dimensiones.

SOLUCIÓN:

Por definición

1

4

0

,

0

1

1

,

1

3

1

genCA , entonces:

zyx

xz

x

xy

xz

x

xz

xy

x

z

y

x

4000

110

011

3440

110

011

)4(

110

3440

011

101

413

011)3(

Por tanto

04/ zyx

z

y

x

CA

1

0

4

,

0

1

1

ACparabaseUna y 2dim AC

En cambio

1 3 1

gen 1 , 1 , 0

0 4 1

AR

entonces:

1 3 1 1 3 1 1 3 1

1 1 0 0 4 1 0 4 1

0 4 1 0 4 1 0 0 0

x x x

y y x y x

z z z y x

Por tanto /A

x

R y z x y

z

,

1 0

0 , 1

1 1

AUna base para R

y dim 2AR

Teorema

Sea A una matriz nm . Entonces: dim dimA AR C

Ejemplo

Sea

436601

3410

3211

A . Hallar A

R , A

C , Bases y dimensiones.

SOLUCIÓN:

1 1 2 3

gen 0 , 1 , 4 , 3

1 0 6 6

AC


162

yxz

y

x

xz

y

x

z

y

x

0000

3410

3211

3410

3410

3211

6601

3410

3211

zyx

z

y

x

CA /

1

1

0

,

1

0

1

ACparabaseUna 2dim AC

En cambio

1 0 1

1 1 0gen , ,

2 4 6

3 3 6

AR

yxw

zyx

xy

x

yxw

xz

xy

x

xw

xz

xy

x

xw

xz

xy

x

w

z

y

x

36000

46000

110

101

36000

2440

110

101

3330

2440

110

101

3330

2440

110

101

633

642

011

101

/ 6 4 , 6 3 ,A

x

yR z x y w x y x y

z

w

y

4

3

1

0

,

6

6

0

1

ARparabaseUna y 2dim AR

5.7.3 Núcleo y Nulidad de una matriz

Definición

Sea A una matriz nm . El Núcleo de A ,

denotado por )(Anuc , se define como:

nuc /nA A x x 0

Teorema

El núcleo de la matriz m nA es un

subespacio de n


163

Además, la dimensión del núcleo es llamada nulidad de la matriz A y se la denota como: )(A

Ejemplo

Sea

013

211A . Hallar núcleo ( nuc( )A ) y nulidad ( )(A )

SOLUCIÓN:

Por definición: 1 1 2 0

nuc( ) /3 1 0 0

x x

A y y

z z

Entonces, el núcleo es el conjunto solución del sis tema

03

02

yx

zyx

Es decir

1 0

nuc( ) / 3 2 3 , 0 ,

2 0

x

A y x R y x z x

z

1

nuc( ) 3

2

Una base para A

y 1)( A

5.7.4 IMAGEN Y RANGO DE UNA MATRIZ

Definición

Sea A una matriz nm . La Imagen o recorrido

de A, denotada por )Im(A o rec( )A , se define

como: Im rec( ) / para cualquierm nA A A y y x x

Teorema

La imagen de la matriz m nA es un

subespacio de m

Además, la dimensión de la Imagen es llamada rango de la matriz A y se la

denota como: )(A

El rango de una matriz indica la cantidad de filas o columnas linealmente independientes.


164

Ejemplo

Sea

013

211A . Hallar Imagen ( )Im(A ) y rango ( )(A )

SOLUCIÓN:

Por definición: 1 1

2 2

1 1 2rec( ) / para

3 1 0

xy y

A y x y zy y

z

Por tanto será cuestión de determinar los vectores de 2 que se generan o lo que es lo mismo,

determinar la condición (s i es que ex iste) que deben reunir 1

y y 2

y para que el sis tema

122

1

13

32013

211

y

y

z

y

x

sea consis tente.

Entonces:

2

1

3

2

yyx

yzyx

12

1

2

1

3640

211

013

211

yy

y

y

y

El último renglón nos indica que no hay condición, por tanto:

1 2

1 2

2

rec( ) /y

A y yy

1

0,

0

1)Im(AparabaseUna y 2)( A

Teorema

Para cualquier matriz m nA , se cumple que:

1. )Im(ACA

2.dim dim dimrec( ) ( )A AR C A A

3. nAA )()(

Ejemplo

Sea la matriz

6601

3410

3211

A

a) Hallar Espacio Fila AR , una base y dimensión.

1 0 1

1 1 0gen , ,

2 4 6

3 3 6

AR


165

Es decir 1 2 3 1 2 3

1 0 1

1 1 0/ donde , ,

2 4 6

3 3 6

A

x x

y yR c c c c c c

z z

w w

yxw

yxz

xy

x

xw

xz

xy

x

w

z

y

x

36000

46000

110

101

3330

2440

110

101

43

633

642

011

10123

/ 6 4 6 3A

x

yR z x y w x y x y

z

w

1 0

0 1/ /

6 4 6 4

6 3 6 3

A

x

yR x y x y x y

x y

x y

3

4

1

0

,

6

6

0

1

ARparabaseUna y 2dim

AR

b) Hallar Espacio Columna AC , una base y dimensión.

1 1 2 3

gen 0 , 1 , 4 , 3

1 0 6 6

AC

Es decir:

1 2 3 4 1 2 3 4

1 1 2 3

/ 0 1 4 3 donde , , ,

1 0 6 6

A

x x

C y y c c c c c c c c

z z

yxz

y

x

xz

y

x

z

y

x

0000

3410

3211

3410

3410

3211

1

6601

3410

32111

/A

x

C y z x y x y

z

1 0

/ 0 1 /

1 1

A

x

C y x y x y x y

x y

1

1

0

,

1

0

1

ACparabaseUna y 2dim

AC

c) Hallar Imagen )Im(A , una base y dimensión )(A .

Por el teorema A

CA )Im( y por tanto 2dim)( A

CA

d) Hallar núcleo )(Anuc , una base y )(A


166

1 1 2 3 0

nuc( ) / 0 1 4 3 0

1 0 6 6 0

x x

y yA

z z

w w

00000

03410

03211

03410

03410

03211

1

06601

03410

032111

El núcleo sería el conjunto solución del sis tema

034

032

wzy

wzyx. Es decir:

nuc( ) / 6 6 4 3

x

yA x w z y z w z w

z

w

6 6 6 6

4 3 4 3nuc( ) / /

1 0

0 1

w z

z wA z w z w z w

z

w

6 6

4 3nuc( ) ,

1 0

0 1

Una base para A

dimnuc( ) 2A

Note que se cumple que:

422

)()(

nAA

Teorema

Si A es equivalente por renglones a B ,

entonces:

, ( ) ( ), y ( ) ( )A BR R A B A B .

Ejemplo

Sea

131

402

311

A

Haciendo eliminación de renglones tenemos:

000

110

311

440

220

311

131

402

311)2)(1(

Entonces una matriz equivalente por renglones a la matriz A sería:

000

110

311

B

Veamos ahora:


167

1 2 3

1 2 1 1 2 1

gen 1 , 0 , 3 / 1 0 3

3 4 1 3 4 1

A

x x

R y y C C C

z z

1 2 1 1 2 1 1 2 1

1 0 3 0 2 4 0 2 4

3 4 1 0 2 4 3 0 0 0 2

x x x

y x y x y

z z x x y z

Por tanto

02/ zyx

z

y

x

RA

Por otro lado 1 2

1 0 1 0

gen 1 , 1 / 1 1

3 1 3 1

B

x x

R y y C C

z z

zyx

yx

x

xz

yx

x

z

y

x

200

10

01

310

10

01

13

11

01

Por tanto

02/ zyx

z

y

x

RB

Lo cual muestra que BA

RR

Además se concluye que las tres fi las de A son l inealmente dependiente, que sólo 2 son independiente de acuerdo a lo que se observa en la matriz B (2 filas diferentes de cero). Por tanto

2)()( BA .

Teorema

Sea nn

A una matriz cuadrada. Entonces A es

inversible sí y sólo si nA )( .

Ejemplo

Para la matriz anterior

1 1 3

2 0 4

1 3 1

A

Se determinó que ( ) 2A por tanto no es invertible. Además su determinante será cero.


168

Ejercicios Propuestos 5.7

Determinar A

R , A

C , nuc( )A , )Im(A , bases y dimensiones para:

1)

654

321A 2)

63

52

41

A

3)

642

321A 4)

987

654

321

A

5)

642

654

321

A 6)

2109

8765

4321

A

7)

5432

1111

4321

A 8)

1 2 3 4

5 6 7 8

3 4 6 8

A

5.8 CAMBIO DE BASE

5.8.1 VECTORES DE COORDENADAS.

Definición

Sea S , , ,1 2 nv v v una base de un espacio

Vectorial V . Entonces: ; Vn 1 1 2 2 nv = v + v v v

Se define el vector de coordenadas de v con

respecto a S, denotado por S

v , como:

1

2

S

n

v

Ejemplo 1

En 2

considerando la base canónica 1

1 0S ,

0 1

hallar el vector de coordenadas de

5=

-4x

con respecto 1S .

SOLUCIÓN:

Empezamos expresando el vector en términos de 1S

5 1 0

5 4-4 0 1


169

Entonces: 1S

5=

-4x

Note que es el mismo vector.

Ejemplo 2

Halle el vector de coordenadas del mismo vector anterior con respecto a esta otra base

2

1 1S ,

1 2

de 2

.

Solución: Para determinar el vector de coordenadas del vector con respecto a esta base debemos poner el vector en

combinación lineal de los vectores de 2S , es decir:

1 2

5 1 1

4 1 2

y luego resolver el sistema que se forma:

1 2

1 2

5

2 4

De aquí se obtiene 1 2 y 2 3 , entonces:

2S

2=

-3x

Observe que la representación matricial del sistema anterior es:

1

2

1 1 5

1 2 4

Tiene la forma:

2 1S S

=A x x

Observe además que las columnas de la matriz A son las coordenadas de

los vectores de la base 2S con respecto a la base 1S , es decir:

1 1S S

1 1

1 2A

Esta matriz permite determinar las coordenadas del vector a la base 1S .


170

5.8.2 MATRIZ DE CAMBIO DE BASE. MATRIZ DE TRANSICIÓN.

Definición

Sean 1 1 2 nS , ,v ,v v y 2 1 2 nS , ,u ,u u dos

bases de un Espacio vectorial V . La MATRIZ

DE TRANSICIÓN de la base 1S a la base

2S ,

denotada como1 2S SA

, se define como:

1 2 2 2 2S S 1 2 nS S S

A v v v

La MATRIZ DE TRANSICIÓN de la base 2S a

la base 1S , denotada como

2 1S SA , se define

como:

2 1 1 1 1S S 1 2 nS S S

A u u u

Ejemplo

Obtenga el vector de coordenadas del mismo vector anterior con respecto a esta base

3

1 2S ,

1 1

de

2, directamente y luego resuelva el problema empleando la

Matriz de Transición de la base 2S a

3S

Solución: PRIMERO, directamente, ponemos al vector en combinación lineal con respecto a esta base, es decir:

1 2

5 1 2

4 1 1

Al resolver el sistema:

1 2

1 2

2 5

4

Se obtiene 1 3 y

2 1 , entonces:

3S

3=

-1x

SEGUNDO, empleando la Matriz de Transición de la base 2S a

3S .

Tenemos

1 2

2

1 1S ,

1 2

v v

y

1 2

3

1 2S ,

1 1

u u

,

Entonces 2 3 3 3S S 1 2S S

A v v (las columnas de A son las coordenadas de los vectores de

la base 2S con respecto a 3S )


171

Las coordenadas del primer vector ser ían:

1 2

1 1 2

1 1 1

1 2

1 2

2 1

1

1 3 2 2

Entonces 3

1 S

3

2v

Las coordenadas del primer vector ser ían:

1 2

1 1 2

2 1 1

1 2

1 2

2 1

2

1 3 2 1

Entonces 3

2 S

3

1v

La Matr iz de transición sería:

2 3S S

3 3

2 1A

Ahora, hallemos 2

2

S

S

5

4x

1 2

5 1 1

4 1 2

1 2

1 2

5

2 4

1 2 2 3

Entonces 2

2

S

S

5 2

4 3x

Finalmente:

2 33 2

S SS S

3 3 2 3=

2 1 3 1Ax x

Que es el mismo resultado anter ior.


1. En 2

, sea 1B

4

1x

donde

1

2 7B ,

5 3

. Empleando Matriz de Transición

hallar 2B

x si 2

2 3B = ,

1 2

.


172

2. En 3

, sea 1B

2

1

4

x

donde 1

1 0 1

B 1 , 1 , 0

0 1 1

. Empleando Matriz de

Transición hallar 2B

x si 2

3 1 0

B 0 , 2 , 1

0 1 5

.

5.9 BASES ORTONORMALES

5.9.1 Producto Interno Estándar para

vectores de n

Sean 1 1 2 3, , , nx x x xv y 2 1 2 3, , , ny y y yv

vectores de n . El Producto Interno

Estándar se define como: 1 2 1 1 2 2 n nx y x y x y v v

Note que se trata del Producto Punto o Producto Escalar que

definimos en el capítulo 3. En este caso se dice que n es un Espacio

Vectorial con Producto Interno.

Aunque ya se estudió en el capítulo 3 a los vectores de n, sin

embargo puntualicemos nociones que nos serán útiles.

5.9.2 Longitud o Norma

Sea v un vector de n . La Norma de v ,

denotada como v , está dada por:

v v v

5.9.3 Vectores Ortogonales

Sean 1v y 2v vectores de n . Entonces

1v y 2v son ortogonales si y sólo si

1 2 0 v v


173

Teorema

Todo conjunto ortogonal de vectores,

diferentes del vector nulo, es linealmente

independiente.

Demostración

Sea 1 2S , , , n v v v un conjunto or togonal de vectores no nulos.

En la combinación lineal 1 1 2 2 nc c c n v v v 0 , hallemos las constantes.

Realizamos el producto interno con 1v ,

1 1 1 2 2 1 n 1 1

00 0

c c c n v v v v v v 0 v

Entonces:1 1 1c 0 v v

Como 1v es diferente del vector nulo, entonces

1c 0 .

Ahora realizamos el producto interno con 2v

1 1 2 2 2 2 n 2 2

00 0

c c c n v v v v v v 0 v

Entonces:2 2 2c 0 v v

Como 2v es diferente del vector nulo, entonces 2c 0 .

Y así, realizamos el producto interno con nv

1 1 2 2 n

00 0

c c cn n n n n v v v v v v 0 v

Entonces: nc 0n n v v

Como nv es diferente del vector nulo, entonces nc 0 .

Lo cual demuestra que S es Linealmente Independiente.

De acuerdo al teorema si tuviésemos un conjunto ortogonal de vectores sería linealmente independiente, entonces surge la interrogante ¿es posible obtener vectores ortogonales a partir de un

conjunto linealmente independiente?. Esta interrogante la resolveremos luego.

5.9.4 Conjunto Ortonormal

El conjunto 1 2S , , , n u u u es Ortonormal

si y sólo si:

0 para

1 para

i j

i j

i j

i j

u u

u u


174

Es decir, S es un conjunto constituido por vectores unitarios y

ortogonales. Un ejemplo típico es la base canónica para 3

1 0 0

S 0 , 1 , 0

0 0 1

Bien, ahora definiremos el procedimiento para obtener un conjunto no sólo ortogonal, sino también ortonormal, a partir de un conjunto

linealmente independiente

5.9.5 Proceso de Gram-Schmidt para construir Bases Ortonormales

A partir de un conjunto 1 2, , , nS v v v linealmente

independiente, se puede hallar un conjunto ortonormal

1 2´ , , , nS u u u siguiendo los siguientes pasos:

Paso 1:

Hallar el vector 1u de la siguiente forma: 11

1

v

uv

Paso 2:

Hallar el vector 2 2 2 1 1´ v v v u u . Luego el vector 22

2

´

´

vu

v

Paso 3:

Hallar el vector 3 3 3 1 1 3 2 2´ v v v u u v u u , luego el vector

33

3

´

´

vu

v

Y así sucesivamente. Es decir:

Paso n:

Hallar el vector 1 1 2 2 1 1´n n n n n n n v v v u u v u u v u u , luego

el vector ´

´

nn

n

v

uv


175

Ejemplo 1

Hallar una base ortonormal para 2V a partir de la base

1 2

1 2S ,

1 1

v v

SOLUCIÓN:

En este caso debemos hallar 1 2S , u u . Entonces:

Paso 1:

1

1

1

(1,1) 1 1,

2 2 2

vu

v

Paso 2:

1 1

2 2

2 2 2 1 1 1 12 2

12

12

312 2

312 2

32

322 3

2

2 2´

1 1

2 1

1 2

2

1

1´

1

v v v u u

v

Luego:

2

2

2

2

31,1

´ 23´

22

1 1,

2 2

vu

v

u

Por tanto:

1 12 2

1 12 2

S ,

Ejemplo 2

Hallar una base ortonormal para 3V a partir de la base

1 2 3

1 0 1

S 1 , 1 , 0

0 1 1

v v v

SOLUCIÓN:

En este caso debemos hallar 1 2 3S , , u u u . Entonces:

Paso 1: 1

1

1

(1,1,0) 1 1, ,0

2 2 2

vu

v


176

Paso 2:

1 12 2

1 12 2 2 1 1 2 2

12

12

12

12

12

122

0 0

´ 1 1

1 1 0 0

01

12

1 0

0

1

1 0

11

´ 12

1 2

v v v u u

v

Luego:

22

2

11,1,2

´ 1 1 22 , ,1´ 6 6 662

vu

v

Paso 3:

3 3 3 1 1 3 2 2

1 1 1 12 2 6 6

1 1 1 12 2 6 6

2 26 6

1 12 6

1 12 6

26

´

1 1 1

0 0 0

1 1 0 0 1

11 1

02 6

1 0

v v v u u v u u

1 12 6

1 12 6

13

23

2 23 33

23

1

0

1 0

1

´ 1

1

v

Luego:

33

3

21, 1,1

´ 1 1 13 , ,2´ 3 3 333

vu

v

Por tanto

1 11

6 32

1 1 1

2 6 3

2 1

6 3

S , ,

0

Ejemplo 3

Hallar una base ortonormal para el subespacio H /

x

y z x y

z

SOLUCIÓN:

Una base para H sería

1 0

S= 0 , 1

1 1

Ortonormalizandola, tenemos:


177

Paso 1: 11

1

(1,0,1) 1 1,0,

2 2 2

vu

v

Paso 2:

1 12 2

2 2 2 1 1

1 12 2

12

12

12

12

12

2

12

0 0

´ 1 1 0 0

1 1

01

1 02

1

0

1 0

1

´ 1

v v v u u

v

Luego:

22

2

11,2,1

´ 1 2 12 , ,1´ 6 6 662

vu

v

Por lo tanto una base ortonormal para H sería:

1162

26

1 12 6

S´ 0 ,


1. Hallar un conjunto ortonormal, a partir de:

1. 1 1

S ,0 1

2. 1 1

S ,2 1

3.

1 1 1

S 1 , 0 , 1

0 1 1

4.

1 1 1

S 1 , 0 , 2

0 1 3

5.

1 1 1 0

1 0 1 1S , , ,

0 1 1 0

1 1 1 1

6.

1 1 1 0

0 0 1 1S , , ,

0 1 1 0

0 1 1 1

2. Sea 3V y el subespacio H / 2 3 0

x

y x y z

z

. Encuentre una base ortonormal

para H .

3. Construy a una base ortonormal para el subespacio H / 2 0

x

y x y z

z


178

5.9.6 PROYECCIÓN ORTOGONAL

Sea 1 2 3, , , , kS u u u u una base ortonormal

de H , un subespacio del espacio vectorial V .

Sea Vv . La proyección ortogonal de v

sobre H , denotada por Hproy v , se define

como: H 1 1 1 2 k k proy v v u u v u u v u u

Note que lo que se trata de definir es no otra cosa que un procedimiento diferente y muy sencillo que permite expresar un vector

en combinación lineal de una base ortonormal de un subespacio.

Ejemplo

Sea 3V . Exprese el vector

1

2

3

v en términos de los vectores de la base

ortonormal

3

1

3

1

3

1

6

2

6

1

6

1

2

1

2

1

,,

0

S

SOLUCIÓN:

Por definición 3 1 1 2 2 3 3 proy v v u u v u u v u u , entonces:

3

1 1 1 11 1

6 6 3 32 2

1 1 1 1 1 1

2 2 6 6 3 3

2 2 1 1

6 6 3 3

1 1 1

1, 2, 3 2 2 2

3 3 30 0

proy

Esto quiere decir que:

3

1

3

1

3

1

3

2

6

2

6

1

6

1

6

7

2

1

2

1

2

3

03

2

1


179

Misceláneos

1. Determine si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas. Justifique.

a) El Conjunto Solución del sistema

03

0432

zyx

zyx es un subespacio de 3 .

b) La matriz 1 1 1 1 2 1

gen ,2 2 1 1 0 3

c) El conjunto 1,1,12 xxx genera a P2.

d) Sea el espacio vectorial 3V y el subconjunto H /

x

y x y z

z

. Entonces H es un

subespacio de dimensión 2.

e) Sea V / 0x

yy

. V es un espacio Vectorial.

f) Sea 1 2V , v v . Si 2 12v v Entonces S es un conjunto linealmente dependiente.

g) Sea 2V P y 3,22 xxxgenH . El polinomio

2( ) 3 Hp x x x

h) El conjunto 1 2 1 0 2 0 3 0

S , , ,0 1 1 0 1 1 1 1

genera a

2 2V M

i) El conjunto 2 2S 1, 2x x x no genera a 2P

j) El conjunto 1 0 1 2 0 1 0 0 1 2

S , , , ,0 0 0 0 1 0 1 1 0 1

es una base para

2 2V XM

k) Sea 3PV y sean los polinomios 3 2 2S 2 3 1, 3, 1x x x x x x entonces S es

linealmente independiente.

l) Sea el subespacio

1 1

H=gen 2 , 1

0 1

entonces el vector

1

0 H

1

v

m) Si el conjunto 1 2 3S= , ,v v v genera a un espacio vectorial V y dimV 2 entonces S es

linealmente independiente.

n) Sean 1V y

2V dos espacios vectoriales. Si la 1dimV 2 y

2dimV 3 entonces 1 2V V

o) Sea V un espacio vectorial. Si la dimV 3 y el conjunto 1 2 3 4, , ,S v v v v genera a V

entonces el conjunto S es una base para V .

p) Sea V un espacio vectorial de dimensión n y sea el conjunto 1 2 3 1S= , , , , nv v v v de

1n v ectores de V . Entonces S genera a V .

q) Si el conjunto 1 1 2 3S , , v v v es una base del espacio v ectorial V , entonces el conjunto

2 1 1 2 1 2 3S , , v v v v v v es otra base para V .


180

2. Determine una base y la dimensión del espacio solución del sistema:

0

0

02

31

432

21

xx

xxx

xx

3. Sean 2V P y los subespacios:

2

1H ( ) ( ) / ,p x a b x ax b a b

2 2H ( ) / (1) (0)p x P p p

Encuentre 1 2H H , una base y su dimensión.

4. Sea 4 2 1 3 1 2 1 1 1

H=gen , ,3 2 1 2 2 2 1 a b

un subespacio de 32xM ,

Determine los valores de “a” y “b” para que la dimensión de H sea 2.

5. Sea 2 2V XM y sean los subconjuntos

1H / , , ,a b

a b c dc d

2H / TA M A A

3H / , ,0

a a ca c

c

a) Determine cuál de los subconjuntos es un subespacio y cuál no. b) Encuentre la intersección entre los subespacios encontrados. c) Determine una base y la dimensión de los subespacios encontrados y de la intersección.

6. Sea 3V y sean los siguientes subconjuntos:

1H / 2 , 3 ,

x

y x t y t z t

z

, 2H / 0

x

y x y z

z

y 3H / 0

2

x

y y

y

a) Demuestre cual de los subconjuntos son subespacios y cuales no. b) Encuentre la intersección entre los subespacios. c) Encuentre una base y la dimensión de los subespacios, incluidos la intersección.

7. Sea 3V y sean

1

1 0

H =gen 1 , 1

1 0

, 2H / 0

x

y x y

z

, 3H / 0

x

y y

z

.

a) Demuestre formalmente cual de los subconjuntos es Subespacio. b) Encuentre la intersección de los subespacios encontrados. c) Encuentre una base y la dimensión de los subespacios encontrados y también de la intersección.

8. Sea 2 2V M y los subconjuntos:

1

1 2 0 1H =gen ,

1 1 0 2

2H / 1a b

a d cc d

y

3H / , , ,a b

a b cc a b

a) Determine cuál de los subconjuntos es un subespacio vectorial b) Encuentre la intersección entre los subespacios encontrados

c) Determine si la matriz

01

21 pertenece al subespacio intersección encontrado.


181

d) Encuentre una base y la dimensión de los subespacios encontrados y de la intersección.

9. Sea 2V P . Y sean los subconjuntos:

1 2H / ´ 2 1p x P p p

1

2 2

0

H / 0p x P p p x dx

2

3 1 2 1 2H = 1 1 / ,p x a x x a x a a

a) Determine ¿Cuál de esos subconjuntos son subespacios? b) Determine las intersecciones entre los subespacios encontrados. c) Determine la base y dimensión de los subespacios y de las intersecciones entre los subespacios.

10. Sea 2 2V xM , considere:

1H / ,

0

a aa d

d

2

1 1 1 0 0 0H =gen , ,

1 1 0 0 0 1

a) Encuentre 1 2H H

b) Demuestre que 1 2H H es un subespacio de V, bajo las operaciones convencionales.

c) Determine una base y la dimensión para 1 2H H .

11. Sea 3V y los subconjuntos 2

1H /at bt c a b c

2

2H /at bt c a b

2

3H / 2at bt c a b c

a) Demuestre cual de los subconjuntos es un subespacio. b) Halle la intersección de los subespacios encontrados

c) Determine una base y la dimensión de los subespacios encontrados y de la intersección.

12. Sea

2 1 1 2

1 0 2 2, , ,

1 0 1 1

0 1 2 1

S

a) Demuestre si el conjunto es linealmente independiente

b) Determine si S genera a 4 . Si no genera a 4 , encuentre el subespacio generado. d) Encuentre una base y la dimensión del subespacio generado.

13. Sea 2 2V M y los subconjuntos 1 / 0

a bH a d

c d

,

2 /a b

H a b cc d

y 3 / 2a b

H a b cc d

a) Demuestre cual de los subconjuntos es un subespacio. b) Halle la intersección de los subespacios encontrados c) Determine una base y la dimensión de los subespacios encontrados y de la intersección.

14. Sea 3V y los subconjuntos

1 /

x

H y x y

z

, 2 /

x

H y x y z

z

y 3 / 2

x

H y x y z

z

a) Demuestre cual de los subconjuntos es un subespacio. b) Halle la intersección de los subespacios encontrados

c) Determine una base y la dimensión de los subespacios encontrados y de la intersección.


182

15. Sea 2 1 1 0 1 2 2 2

, , ,1 0 0 1 1 2 1 1

S

a) Demuestre si el conjunto es linealmente independiente

b) Determine si S genera a 2 2M

. Si no genera a 2 2M

, encuentre el subespacio generado.

c) Encuentre una base y la dimensión del subespacio generado.

16. Determine si las siguientes proposiciones son VERDADERAS o FALSAS. JUSTIFIQUE formalmente su respuesta:

a) Sea A una matriz de 3x3 tal que detA=0. Entonces el máximo rango que tiene la matriz es 3 y la mínima nulidad es 0.

b) Sea 33

A una matriz. Si 0det A entonces el valor de 3)( A

c) Sea 32

A una matriz cualquiera, entonces su espacio fila interceptado con su espacio columna

origina un subespacio vectorial.

d) Si 33

A cuyo 0det , entonces 3

A AR C .

17. Para la siguiente matriz

110

121

011

encuentre:

a) El espacio fila, base y dimensión. b) El espacio columna, base y dimensión. c) El núcleo de A, base y dimensión. d) El recorrido de A, base y dimensión.

18. Sea

1 1 0 2

2 2 1 0

1 1 1 6

A

. Encuentre:

a) El espacio fila, base y dimensión.

b) El espacio columna, base y dimensión. c) El núcleo de A, base y dimensión. d) El recorrido de A, base y dimensión.

19. Califique las siguientes proposiciones como VERDADERAS o FALSAS. Justifique su respuesta.

a) El conjunto S= 1,0, 1 , 0,1,0 es un conjunto ortonormal

b) Si un conjunto de v ectores es ortogonal, entonces es un conjunto linealmente independientes.

c) Sea 2V y

1 2B= ,

2 1

, entonces B es una base ortogonal de V .

20. Encuentre una base ortonormal para 3

a partir de la siguiente base

B= 1,1,1 , 1,0, 1 , 1,2,3

21. Sea 3V . Halle una base ortonormal considerando

1 2 4

S= 1 , 1 , 1

2 1 5

22. Sea 4V , H= / ,

x

yz x y w z x

z

w

. Encuentre una base ortonormal para H .

23. Sea 4V donde se ha definido el producto interno canónico y

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 22 2 2 2S= ,0, ,0 , 0, ,0, , , , ,

a) Pruebe que el conjunto es ortonormal

b) Ex prese el vector (1,1,1,1)v como una combinación lineal de S.

FOlleto Lineal Villena

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