Moisés Villena Muñoz 5 - Aula Abierta de Matemáticas · Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sistemas...

Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales y en Diferencias.

1

5.1

5

5.1 INTRODUCCIÓN. 5.2 ECUACIONES DIFERENCIALES SIMULTÁNEAS. 5.3 ECUACIONES EN DIFERENCIAS

SIMULTÁNEAS. 5.4 ANÁLISIS CUALITATIVO PARA LA

ESTABILIDAD DINÁMICA. DIAGRAMA DE FASE DE DOS VARIABLES.

5.5 LINEALIZACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES

Objetivos: Se pretende que el estudiante:

• Encuentre soluciones de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales y Sistemas de Ecuaciones en Diferencias.

• Determine Estabilidad dinámica cualitativamente para sistemas de Ecuaciones Diferenciales empleando un diagrama de fase de dos variables.

• Linealice Sistemas de Ecuaciones diferenciales no lineales.


2

5.1 INTRODUCCION Hasta ahora se han dado las técnicas para encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales y en diferencias, hallar la trayectoria )(ty o ty era el problema. Supóngase ahora que existe la situación de que en un mismo problema existen dos incógnitas, dos trayectorias )(tx y )(ty en tiempo continuo o tx y ty en tiempo discreto, a determinar. Suponga además, que se tiene dos ecuaciones diferenciales o dos ecuaciones en diferencias para resolver el problema. Los procedimientos para su tratamiento se indicarán a continuación.

5.2 ECUACIONES DIFERENCIALES SIMULTÁNEAS Suponga que se tiene dos ecuaciones diferenciales que involucra dos

variables dependientes )(tx y )(ty :

⎩⎨⎧

=+++=+++

)()()()´()´()()()()´()´(

222212221

112111211

tgtybtxbtyatxatgtybtxbtyatxa

Su representación matricial sería:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡)()(

)()(

)´()´(

2

1

2221

1211

2221

1211

tgtg

tytx

bbbb

tytx

aaaa

Si llamamos:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

aaaa

A , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

)´()´(

)´(tytx

tY , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

bbbb

B , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

)()(

)(tytx

tY y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

)()(

)(2

1

tgtg

tG

Tenemos )()()´( tGtBYtAY =+ un sistema lineal cuya solución general es la suma de una solución complementaria y una solución particular. Es decir:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=+=

)()()()(

)()(

)()()(tytytxtx

tytx

tYtYtYPC

PCPC

Primero, la solución complementaria )(tYC satisface el sistema

homogéneo 0)()´( =+ tBYtAY CC y es de la forma ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

rt

rt

C

CC ek

ektytx

tY´)(

)()(

1

1

Entonces ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

rt

rt

C rekrek

tY´

)´(1

1

Ahora reemplazando y simplificando tenemos:


3

[ ]

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

=+

00

´

00

´

00

´´

00

´´

0)()´(

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

rt

rt

rt

rt

rt

rt

rt

rt

rt

rt

rt

CC

ekk

BAr

ekek

BAr

ekek

Bekek

Ar

ekek

Brekrek

A

tBYtAY

La última expresión es un sistema homogéneo que debe tener soluciones no triviales. Para lo cual 0=+ BAr . ¿Por qué?.

De la ecuación auxiliar 0=+ BAr se obtiene el o los valores de " r ", que igual que anteriormente, pueden darse tres casos.

CASO I. 1r y 2r reales y diferentes, en tal caso:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

trtr

trtr

C

CC ekek

ekektytx

tY21

21

´´)()(

)(21

21

CASO II . rrr == 21 reales e iguales, en tal caso:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

rtrt

rtrt

C

CC tekek

tekektytx

tY´´)(

)()(

21

21

CASO III . irr μ±λ=21 , complejas conjugadas, en tal caso:

[ ][ ]⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

μ+μ

μ+μ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

λ

λ

tktketktke

tytx

tYt

t

C

CC ´cossen´

cossen)()(

)(21

21

Luego habrá que determinar la relación entre 1k y ´1k y la relación entre 2k

y ´2k resolviendo los sistemas simultáneo [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

´1

11 k

kBAr y [ ] ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

´2

22 k

kBAr .

Segundo, la Solución Particular )(tYP satisface el sistema no homogéneo )()()´( tGtBYtAY PP =+ y depende de )(tG .


4

Supongamos que ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1)(cc

tG ; es decir, los términos independientes son

constantes, entonces ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1)(AA

tYP y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

00

)´(tYP .

Reemplazando y simplificando tenemos:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

=+

2

1

2

1

00

)()()´(

cc

AA

BA

tGtBYtAY PP

Las constantes 1A y 2A se las determinan resolviendo el sistema simultáneo:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2

1

cc

AA

B

Ejemplo

Hallar )(tx y )(ty para el sistema⎩⎨⎧

=++=+++

61)(4)()´(77)(5)(2)´(2)´(

tytxtytytxtytx

SOLUCIÓN: Primero, determinamos la solución complementaria )(tYC .

En este caso ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1021

A , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4152

B y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

6177

C

Entonces la ecuación auxiliar sería:

0

4152

1021

det

0

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=+

r

BAr

Resolviendo se obtiene:

( )( ) ( )

( )( )13013

034

05286

05242

041522

04152

1021

det

2

2

−=∨−==++=++

=−−++

=+−++

=+++

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

rrrrrr

rrr

rrrrrr

r


5

Entonces ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−−

−−

tt

tt

C

CC

ekek

ekektytx

tY´´)(

)()(

23

1

23

1

Ahora debemos establecer la relación entre las constantes.

En la ecuación [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

00

´1

11 k

kBAr reemplazando A , B y 31 −=r resulta:

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+−+−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++

−

00

´1111

001

´4)3(153223

00

´41522

1

1

31

1

1

1

kk

ekk

ekk

rrr

t

rt

Se origina el sistema ⎩⎨⎧

=+=−−

0´0´

11

11

kkkk

que da como solución 11´ kk −=

Por otro lado si 12 −=r tenemos en [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

´2

22 k

kBAr

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+−+−

00

´3131

00

´4)1(151221

2

2

2

2

kk

kk

El sistema ahora sería ⎩⎨⎧

=+=+

0´30´3

22

22

kkkk

con solución 231

2´ kk −=

Por tanto:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−−

−−

tt

tt

C

CC

ekek

ekektytx

tY23

131

23

1

)()(

)(

Segundo, la Solución Particular ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1)(AA

tYP se la obtiene resolviendo el sistema

⎩⎨⎧

=+=+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

6147752

6177

4152

21

21

2

1

2

1

AAAA

AA

CAA

B

tenemos 11 =A y 152 =A . Entonces ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

151

)(tYP


6

Finalmente: ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−

++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=+=

−−

−−

15

1)()(

)()()(23

131

23

1tt

tt

PCekek

ekektytx

tYtYtY

Ejercicios Propuestos 5.1 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales:

1. ⎩⎨⎧

=+++−=−−36)(6)()`(60)(12)()`(

tytxtytytxtx

; 4)0(13)0( =∧= yx

2. ⎩⎨⎧

=+−+=+−

9)(2)()`(10)(3)(2)`(

tytxtytytxtx

; 5)0(8)0( =∧= yx

3. ⎩⎨⎧

++−=+−=

42`32`

yxyyxx

5.3 ECUACIONES EN DIFERENCIAS SIMULTÁNEAS Suponga que se tiene dos ecuaciones en diferencias que involucra dos

variables dependientes tx y ty

⎩⎨⎧

=+++=+++

++

++

ttttt

ttttt

gybxbyaxagybxbyaxa

22221122121

11211112111

Su representación matricial sería:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

+

t

t

t

t

t

t

gg

yx

bbbb

yx

aaaa

2

1

2221

1211

1

1

2221

1211

Si llamamos:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

aaaa

A , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

+

++

1

11

t

tt y

xY , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

bbbb

B , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

t

tt y

xY y ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

t

tt g

gG

2

1

Tenemos ttt GBYAY =++1 un sistema lineal cuya solución general es la suma de una solución complementaria y una solución particular. Es decir:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=+=

Pt

Ct

Pt

Ct

t

tPt

Ctt yy

xxyx

YYY

Primero, la solución complementaria CtY satisface el sistema homogéneo

01 =++C

tC

t BYAY y es de la forma ( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

t

t

Ct

CtC

trk

rkyx

Y´1

1


7

Entonces ( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

+

+

+ 11

11

1´ t

t

Ct

rk

rkY

Ahora reemplazando y simplificando tenemos:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

[ ] ( )( )

[ ] ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

=+

+

+

+

00

´

00

´

00

´´

00

´´

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

11

1

11

1

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

Ct

Ct

rkk

BAr

rk

rkBAr

rk

rkB

rk

rkAr

rk

rkB

rk

rkA

BYAY

La última expresión es un sistema homogéneo que debe tener soluciones no triviales. De manera análoga a los sistemas de ecuaciones diferenciales tenemos ahora la ecuación auxiliar 0=+ BAr de donde se obtiene el o los valores de " r ". De aquí también pueden resultar 3 casos:

CASO I. 1r y 2r reales y diferentes, en tal caso:

( ) ( )( ) ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

tt

tt

Ct

CtC

trkrk

rkrkyx

Y2211

2211

´´

CASO II . rrr == 21 reales e iguales, en tal caso:

( ) ( )( ) ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

tt

tt

Ct

CtC

trtkrk

rtkrkyx

Y´´ 21

21

CASO III . irr μ±λ=21 , complejas conjugadas, en tal caso:

( ) [ ]( ) [ ]⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

θ+θ

θ+θ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

tktkR

tktkRyx

Yt

t

Ct

CtC

t´cossen´

cossen

21

21

Donde 22 μ+λ=R y μλ=θ arctg


8

Luego habrá que determinar la relación entre 1k y ´1k y la relación entre 2k

y ´2k resolviendo los sistemas simultáneo [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

´1

11 k

kBAr y [ ] ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

´2

22 k

kBAr .

Segundo, la Solución Particular PtY satisface el sistema no homogéneo

tP

tP

t GBYAY =++1 y depende de tG .

Supongamos que ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

cc

Gt entonces ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

AA

Y Pt y ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=+

2

11 A

AY P

t .

Reemplazando y simplificando tenemos:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

=++

2

1

2

1

2

1

1

cc

AA

BAA

A

GBYAY tP

tP

t

Las constantes 1A y 2A se las determinan resolviendo el sistema simultáneo:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

2

1

2

1

cc

AA

BA

Ejemplo

Hallar tx y ty para el sistema⎩⎨⎧

=−+=++

+

+

922242

1

1

ttt

ttt

yxyyxx

; 910 00 =∧= yx

SOLUCIÓN:

Primero, determinamos la solución complementaria CtY .

En este caso ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1001

A , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=2221

B y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

924

C

Entonces l a ecuación auxiliar sería:

0

2221

1001

det

0

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=+

r

BAr

Resolviendo se obtiene:


9

( )( )

( )( )23

02306

042

0421

022

21

02221

1001

det

2

2

−=∨==+−

=−−

=−−−

=−−+

=−

+

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

rrrr

rr

rr

rrr

r

r

Entonces ( ) ( )( ) ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

tt

tt

Ct

CtC

tkk

kk

y

xY

2´3´

23

21

21

Ahora debemos establecer la relación entre las constantes.

En la ecuación [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

00

´1

11 k

kBAr reemplazando A , B y 31 =r resulta:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+

00

´1224

001

´2.32213

00

´2221

1

1

1

1

1

1

1

1

kk

rkk

kk

rr

t

Se origina el sistema ⎩⎨⎧

=+=+

0´20´24

11

11

kkkk

que da como solución 11 2´ kk −=

Por otro lado si 22 −=r tenemos

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+

00

´4221

00

´2.22212

00

´2221

2

2

2

2

2

2

2

2

kk

kk

kk

rr

El sistema ahora sería ⎩⎨⎧

=−=+−

0´420´2

22

22

kkkk

con solución 221

2´ kk =

Por tanto:

( ) ( )( ) ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−

−+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

tt

tt

Ct

CtC

tkk

kk

y

xY

232

23

221

1

21

Segundo, la Solución Particular ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

AA

Y Pt se la obtiene resolviendo el sistema


10

( )

⎩⎨⎧

=−=+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

922422

924

1222

21

21

2

1

2

1

2

1

AAAA

AA

cc

AA

BA

tenemos 71 =A y 52 =A . Entonces ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

57

)(tYP

Por tanto : ( ) ( )( ) ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−+−

+−+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=+=

5232

723

221

1

21tt

tt

t

tPt

Ctt

kk

kkyx

YYY

Y con las condiciones iniciales 910 00 =∧= yx

( ) ( )( ) ( )

⎩⎨⎧

=+−=+

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

=+

⎪⎩

⎪⎨⎧

=++−

=++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−+−

+−+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

843

42

3

952

107

910

5232

723

21

21

221

1

21

221

1

21

022

101

02

01

0

0

kkkk

kk

kk

kk

kk

kk

kkyx

Se obtiene 11 −=k y 42 =k

Finalmente: ( ) ( )( ) ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−+

+−+−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

52232

7243tt

tt

t

tt y

xY

Ejercicios propuestos 5.2 Encuentre las soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones en diferencias:

1) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−+

−=−−

++

+

217

61

11

31

1 1

ttt

ttt

yyx

yxx; 45 00 =∧= yx

2) ⎩⎨⎧

=++=++

+

+

453635

1

1

ttt

ttt

yxyyxx

; 11 00 −=∧= yx

3) ⎩⎨⎧

=−+=++

+

+

1022162

1

1

ttt

ttt

yxyyxx

; 9,10 00 == yx

4) ⎩⎨⎧

++=++=

+

+

3222

1

1

ttt

tttyxyyxx

; 1,2 00 == yx


11

5.4 ANÁLISIS CUALITATIVO PARA LA ESTABILIDAD DINÁMICA.

DIAGRAMA DE FASE DE DOS VARIABLES. Se trata ahora de plantear, como en las ocasiones anteriores, un análisis

cualitativo para determinar la estabilidad dinámica de las trayectorias. Debemos definir ahora diagrama de fase de dos variables.

Para el caso de una variable, recuerde, teniendo una ecuación diferencial autónoma )(´ yfy = se la graficaba en un sistema bidimensional yvsy´

Era bastante sencillo definir la convergencia o la divergencia de " )(ty " hacia o desde el nivel de equilibrio " y ", debido a que arriba del eje horizontal " y ", " ý " es positiva por tanto la trayectoria de " y " deberá dirigirse de izquierda a derecha, en cambio por debajo del eje horizontal la trayectaria de " y " deberá dirigirse de derecha a izquierda por ser " ý " negativa.

Supóngase ahora que no se dispone del eje vertical, veremos que es posible

determinar la convergencia o divergencia de " y ". Obteniendo el signo de "dydy´ "

sabríamos si " ý " es creciente o decreciente


12

Si " 0´>

dydy " significa que " ´y " es creciente a medida que " y " crece.

Ubicando esta información sobre el eje horizontal " y " tenemos. Con respecto al

nivel de equilibrio y ( 0´=y ) se ubica el signo negativo (-) a la izquierda y el signo positivo (+) a la derecha. Se definen dos regiones. Ahora poniendo flechas para indicar la dirección de la trayectoria " y ". Observamos que es divergente.

Si 0´<

dydy significa que " ´y " es decreciente a medida que " y " crece. Ahora se

ubica el signo positivo (+) a la izquierda de " y " y el signo negativo (-) a la derecha. Ahora poniendo flechas para indicar la dirección de la trayectoria " y ". Observamos que es convergente.

Este mismo análisis se lo puede hacer si queremos establecer cualitativamente la estabilidad dinámica para dos trayectorias )(tx y )(ty teniendo las ecuaciones diferenciales autónomas.

⎩⎨⎧

==

),(´),(´

yxfyyxfx

Cuando ⎩⎨⎧

==

0´0´

yx

o lo que es lo mismo ⎩⎨⎧

==

0),(0),(

yxfyxf

tenemos las llamadas

curvas de demarcación. El nivel de equilibrio intertemporal ( )yx, se determina en la intersección de estas curvas. Al graficar las curvas de demarcación en un plano xvsy se establecen cuatro regiones. Por ejemplo:


13

Luego será cuestión de determinar los signos de las derivadas ( )xx∂∂ ´ y

( )yy∂∂ ´ , empleando las ecuaciones diferenciales

⎩⎨⎧

==

),(´),(´

yxfyyxfx

, para ubicar los signos

a un lado y a otro lado de las respectivas curvas de demarcación. En cada una de las cuatro regiones se concluirá sobre el comportamiento

de las trayectorias )(tx y )(ty dibujando flechas que indiquen la dirección de cada trayectoria.

Por ejemplo, si ( ) 0´<

∂∂

xx significa que ´x es decreciente con respecto a x ,

por tanto ubicamos el signo positivo (+) a la izquierda de la curva 0´=x y el signo negativo (-) a su derecha. Y si ( )

0´<

∂∂

xy significa que ´y también es

decreciente con respecto a y , por tanto ubicamos el signo positivo (+) por debajo de la curva 0´=y y el signo negativo (-) arriba. Observe la figura.

Observando las flechas en cada región, se concluye que las trayectorias

)(tx y )(ty convergen al nivel de equilibrio ( )yx, . Este tipo de comportamiento se lo llama NODO CONVERGENTE.


14

Por otro lado, si ( ) 0>′∂

xx significa que ´x es creciente con respecto a x ,

por tanto ubicamos el signo negativo (-) a la izquierda de la curva 0´=x y el

signo positivo (+) a su derecha. Y si ( ) 0>∂′∂

yy significa que ´y también es

creciente con respecto a y , por tanto ubicamos el signo negativo (-) por debajo de la curva 0´=y y el signo positivo (+) arriba.

Observando las flechas en cada región, se concluye que las trayectorias )(tx y )(ty divergen del nivel de equilibrio ( )yx, . A este comportamiento se lo

llama NODO DIVERGENTE. Ahora suponga que las curvas de demarcación son las que se muestran a

continuación y que ( ) 0>′∂

xx entonces ´x es creciente con respecto a x , por tanto

ubicamos el signo negativo (-) a la izquierda de 0´=x y el signo positivo (+) a

su derecha. Y suponga que ( )0<

∂′∂

yy entonces ´y es decreciente con respecto a

y , por tanto ubicamos el signo positivo (+) por debajo de la curva 0´=y y el signo negativo (-) arriba.


15


)(tx y )(ty no son estables dinámicamente. Este comportamiento se lo llama PUNTO DE SILLA.

Ahora suponga que las curvas de demarcación son las que se muestran a

continuación y que ( ) 0<′∂

xx

entonces ´x es decreciente con respecto a x , por

tanto ubicamos el signo positivo (+) a la izquierda de la curva 0´=x y el signo

negativo (-) a su derecha, Suponga además que ( ) 0<∂′∂

yy

entonces ´y también

es decreciente con respecto a y , por tanto ubicamos el signo positivo (+) por debajo de la curva 0´=y y el signo negativo (-) arriba. 0´=x


)(tx y )(ty son estables dinámicamente; debido a que al atravesar cada región, tangente horizontalmente a 0´=y y tangente verticalmente a 0´=x , hacen posible la convergencia . En este caso, a este comportamiento se lo llama FOCO CONVERGENTE.


16

Suponga ahora que las trayectorias de demarcación son como las que se

muestran en la figura y que ( ) 0´

>∂∂

xx

entonces ´x es creciente con respecto a x ,

por tanto ubicamos el signo negativo (-)a la izquierda de la curva 0´=x y el signo

positivo (+) a su derecha. Y si ( )yy∂∂ ´

entonces ´y también es creciente con

respecto a y , por tanto ubicamos el signo negativo (-) por debajo de la curva 0´=y y el signo positivo (+) arriba.

Observando las flechas en cada región, se concluye que las trayectorias )(tx y )(ty no son estables dinámicamente; debido a que al atravesar cada

región, tangente horizontalmente a 0´=y y tangente verticalmente a 0´=x , hacen posible la divergencia . En este caso se dice FOCO DIVERGENTE.

Finalmente, puede ocurrir el siguiente comportamiento.


17

A este caso se lo llama VORTICE.

Ejemplo 1

Sea ⎩⎨⎧

+−−=′+−−=′

21432134

yxyyxx

Determine cualitativamente la estabilidad dinámica de )(tx y )(ty

SOLUCIÓN: Primero. Se obtienen las curvas de demarcación.

Haciendo ⎩⎨⎧

==

0´0´

yx

tenemos ⎩⎨⎧

=+=+

21432134

yxyx

.

Rectas que se grafican en un plano xvsy

Segundo. Se obtienen las derivadas parciales ( )xx∂∂ ´

y ( )yy∂∂ ´

De las ecuaciones diferenciales tenemos:

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<−=∂′∂

<−=′∂

04

04

yyxx

Las derivadas indican que ´x es decreciente con respecto a x , por tanto ubicamos el signo positivo (+) a la izquierda de la recta 0´=x y el signo negativo (-) a su derecha.

Por otro lado, ´y también es decreciente con respecto a y , por tanto ubicamos el signo positivo (+) por debajo de la recta 0´=y y el signo negativo (-) arriba.

Tercero. Se dibujan flechas, para las direcciones de las trayectorias )(tx y )(ty , en cada una de las cuatros regiones tomando en cuenta los signos establecidos.


18

Observando las flechas en cada región, se concluye que las trayectorias )(tx y )(ty convergen al

nivel de equilibrio ( ) ( )3,3, =yx . En este caso se dice NODO CONVERGENTE.

NOTA: Realice el análisis cuantitivo y verifique que 71 −=r y 12 −=r son raíces reales, diferentes y negativas.

Ejemplo 2

Sea ⎩⎨⎧

−+−=′−−=′

343334

yxyyxx


SOLUCIÓN:

Primero. Haciendo ⎩⎨⎧

==

0´0´

yx

tenemos ⎩⎨⎧

=+−=−

343334

yxyx

.

Rectas de demarcación que se grafican en un plano xvsy

Segundo. De las ecuaciones diferenciales tenemos:

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>+=∂′∂

>+=′∂

04

04

yyxx

Las derivadas indican que ´x es creciente con respecto a x , por tanto ubicamos el signo negativo (-) a la izquierda de la recta 0´=x y el signo positivo (+) a su derecha.

Por otro lado, ´y también es creciente con respecto a y , por tanto ubicamos el signo negativo (-) por debajo de la recta 0´=y y el signo positivo (+) arriba.



19

Observando las flechas en cada región, se concluye que las trayectorias )(tx y )(ty divergen del

nivel de equilibrio ( ) ( )3,3, =yx . En este caso se dice NODO DIVERGENTE.

NOTA: Realice el análisis cuantitivo y verifique que 71 =r y 12 =r son raíces reales, diferentes y positivas.

Ejemplo 3

Sea ⎩⎨⎧

+−=′+−=′

921032

yxyyxx


SOLUCIÓN:


==

0´0´

yx

tenemos ⎩⎨⎧

−=−−=−

921032

yxyx

.



( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<−=∂′∂

>+=′∂

02

02

yyxx


Por otro lado, ´y es decreciente con respecto a y , por tanto ubicamos el signo positivo (+) por debajo de la recta 0´=y y el signo negativo (-) arriba.



20

Observando las flechas en cada región, se concluye que las trayectorias )(tx y )(ty no son estables dinámicamente. En este caso se dice PUNTO DE SILLA.

NOTA: Realice el análisis cuantitivo y verifique que 11 =r y 12 −=r son raíces reales, diferentes y de signo contrario.

Ejemplo 4

Sea ⎩⎨⎧

+−=′+−−=′

6431734

yxyyxx


SOLUCIÓN:


==

0´0´

yx

tenemos ⎩⎨⎧

=+−=+−−0643

01734yxyx

.



( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<−=∂′∂

<−=′∂

04

04

yyxx





21

Observando las flechas en cada región, se concluye que las trayectorias )(tx y )(ty son estables dinámicamente; debido a que al atravesar cada región, tangente horizontalmente a 0´=y y tangente verticalmente a 0´=x , hacen posible la convergencia . En este caso se dice FOCO CONVERGENTE.

NOTA: Realice el análisis cuantitivo y verifique que ir 341 +−= y ir 342 −−= son raíces complejas conjugadas con parte real negativa.

Ejemplo 5

Sea ⎩⎨⎧

−+=′−−=′

1743634

yxyyxx


SOLUCIÓN:


==

0´0´

yx

tenemos ⎩⎨⎧

=−+=−−

017430634

yxyx

.



( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>=∂′∂

>=′∂

04

04

yyxx

Las derivadas indican que ´x es creciente con respecto a x , por tanto ubicamos el signo negativo (-)a la izquierda de la recta 0´=x y el signo positivo (+) a su derecha.




22

Observando las flechas en cada región, se concluye que las trayectorias )(tx y )(ty no son estables dinámicamente; debido a que al atravesar cada región, tangente horizontalmente a 0´=y y tangente verticalmente a 0´=x , hacen posible la divergencia . En este caso se dice FOCO DIVERGENTE.

NOTA: Realice el análisis cuantitivo y verifique que ir 341 += y ir 342 −= son raíces complejas conjugadas con parte real positiva.

Ejemplo 6

Sea ⎩⎨⎧

−=′+−=′

9393

xyyx


SOLUCIÓN:


==

0´0´

yx

tenemos ⎩⎨⎧

=−=+−093

093x

y.

Rectas de demarcación que se grafican en el plano xvsy

Segundo. Ahora va a ser necesario:

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>=∂′∂

<−=′∂

03

03

xyyx

¿Por qué?

Las derivadas indican que ´x es decreciente con respecto a y , por tanto ubicamos el signo positivo (+) por debajo de la recta 0´=x y el signo negativo (-) arriba

Por otro lado, ´y es creciente con respecto a y , por tanto ubicamos el signo negativo (-) a la izquierda de la recta 0´=y y el signo positivo (+) a su derecha.



23

Observando las flechas en cada región, se concluye que las trayectorias )(tx y )(ty no son estables dinámicamente; debido a que al atravesar cada región, tangente horizontalmente a 0´=y y tangente verticalmente a 0´=x , hacen posible esta no convergencia. En este caso se dice que es VORTICE.

NOTA: Realice el análisis cuantitivo y verifique que ir 301 += y ir 302 −= son raíces complejas conjugadas con parte real igual a cero.

Ejemplo 7

Sea ⎩⎨⎧

+−=′+−=′

9393

yyxx


SOLUCIÓN: Primero. Se obtienen las curvas de demarcación.

Haciendo ⎩⎨⎧

==

0´0´

yx

tenemos ⎩⎨⎧

=+−=+−

093093

yx

.

Rectas que se grafican en un plano xvsy


( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<−=∂′∂

<−=′∂

03

03

yyxx



Tercero. Se dibujan las flechas, para las direcciones de las trayectorias )(tx y )(ty , en cada una de las cuatros regiones tomando en cuenta los signos establecidos.


24

Observando las flechas en cada región, se concluye que las trayectorias )(tx y )(ty convergen al

nivel de equilibrio ( ) ( )3,3, =yx . En este tenemos NODO CONVERGENTE.

NOTA: Realice el análisis cuantitivo y verifique que 31 −=r y 32 −=r son raíces reales, iguales y negativas.

Ejemplo 8

Sea ⎩⎨⎧

−=′−=′

9393

yyxx


SOLUCIÓN:


==

0´0´

yx

tenemos ⎩⎨⎧

=−=−

093093

yx

.



( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>+=∂′∂

>+=′∂

03

03

yyxx



Tercero. Se dibujan las flechas, para las direcciones de las trayectorias )(tx y )(ty , en cada una de las cuatros regiones tomando en cuenta los signos establecidos.


25

Observando las flechas en cada región, se concluye que las trayectorias )(tx y )(ty divergen del

nivel de equilibrio ( ) ( )3,3, =yx . En este caso tenemos un NODO DIVERGENTE.

NOTA: Realice el análisis cuantitivo y verifique que 31 =r y 32 =r son raíces reales, iguales y positivas.

Ejercicios Propuestos 5.3 1. Sea el sistema de ecuaciones diferenciales:

⎩⎨⎧

=−++=++

9)(2)(2)`(24)(2)()`(

tytxtytytxtx

9)0(10)0( =∧= yx

a) Encuentre las soluciones b) Haga el diagrama de fase en 2 variables y determine el tipo de trayectoria.

2. Haga un análisis cualitativo empleando diagramas de fase para determinar la estabilidad dinámica, para:

a. ⎩⎨⎧

+−=+−−=92`

1032`yxy

yxx c.

⎩⎨⎧

+=+=9`103`

xyyx

b. ⎩⎨⎧

++=+−=92`1032`

yxyyxx

d. ⎩⎨⎧

+−=+−=92`1032`

yxyyxx


26

5.5 LINEALIZACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES 5.5.1 Polinomio de Taylor para funciones de dos

variables. Sea ),( yxf una función dos veces diferenciable. El Polinomio de Taylor en

la vecindad del punto ),( 00 yx es:

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] nyxyxyx

yxyx

Ryyy

fyyxxyxfxx

xf

yyyfxx

xfyxfyxf

++⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

∂∂

+−−∂∂

∂+−

∂∂

+−∂∂

+−∂∂

+=

20

),(2

2

00),(

22

0),(

2

2

0),(

0),(

00

000000

0000

!21

),(),(

Ejemplo

Sea xyeyxf =),( . Hallar el polinomio de Taylor de segundo orden en la vecindad de )0,0(

SOLUCIÓN: Para aplicar el desarrollo de polinomio, hallamos primero:

0)0()0,0( 0 == ef

( ) xx yeyexx

f=

∂∂

=∂∂

entonces ( )

00 0

0,0

==∂∂ exf

( ) xx eyeyy

f=

∂∂

=∂∂

entonces ( )

10

0,0

==∂∂ eyf

( ) xx yeyexx

f=

∂∂

=∂∂

2

2

entonces ( )

00 0

0,02

2

==∂∂

ex

f

( ) 02

2

=∂∂

=∂∂ xe

yyf

entonces ( )

00,0

=∂∂yf


27

( ) xx eyeyyx

f=

∂∂

=∂∂

∂ 2

entonces ( )

10

0,0

==∂∂ exf

Ahora, reemplazando

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ]

xyy

yyxxyxye x

21

0000100!2

101000 22

+=

−+−−+−+−+−+=

5.5.2 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES

Suponga ahora que tenemos un sistema de ecuaciones diferenciales no

lineales de la forma ⎩⎨⎧

==

),(´),(´

yxgyyxfx

. Para determinar las características de sus

soluciones )(tx y )(ty podemos linealizar el sistema, hallando el polinomio de Taylor de primer orden en la vecindad de punto de equilibrio ),( yx tanto para

),( yxf como para ),( yxg , y luego proceder de la misma manera que en los casos anteriores.

Ejemplo

Sea ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−=x

x

yey

ex

´

1´. Analice cuantitativamente y cualitativamente la estabilidad dinámica.

SOLUCIÓN: Primero, linealizamos el sistema.

Hallando el punto de equilibrio tenemos:

( ) 11

1

1

),(),(

=−

=−

=−

=

ye

yee

yee

yxgyxf

x

xx

Xx

Por inspección, )0,0(),( =yx

Hallando el polinomio de Taylor de primer orden para 1),( −= xeyxf en la vecindad de

)0,0(),( =yx

Para [ ] [ ]00)0,0(),()0,0()0,0(

−∂∂

+−∂∂

+≈ yyfx

xffyxf tenemos:

01)0,0( 0 =−= ef


28

( ) xx eexx

f=−

∂∂

=∂∂

1 entonces ( )

10

0,0

==∂∂ exf

( ) 01 =−∂∂

=∂∂ xe

yyf

entonces ( )

00,0

=∂∂yf

Por tanto

[ ] [ ]

xe

yxex

x

≈−

−+−+≈−

1

000101

El polinomio de Taylor de primer orden para xyeyxg =),( en la vecindad de

)0,0(),( =yx es [ ] [ ]

yye

yxyex

x

≈

+−+−+≈ 01000 (vea el ejemplo anterior)

Entonces el sistema linealizado sería ⎩⎨⎧

==

yyxx

´´

Cuantitativamente, tenemos:

Las raíces de la ecuación característica 010

01=

−−

rr

Son 121 == rr por tanto es un nodo inestable

Cualitativamente, analizando el diagrama de fase se concluye en lo mismo.

Ejercicios propuestos 5.4 Linealizar los sistemas dados, hallar su solución y determinar su estabilidad dinámica haciendo un análisis cuantitativo y un análisis cualitativo.

1) ⎩⎨⎧

−=−=yy

yxx1`

` 2

; 0, ≥yx 3) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

++=2

23

1`

3`

yxy

yyxxx; 0, ≥yx

2) ⎩⎨⎧

−=

+=

yxy

yxx2`

2`; 0, ≥yx


29

Misceláneos

1. Sea el sistema 0,0;2´

10´2

2≥≥

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

+−−=yx

yxy

yxx

a) Linealice el sistema y encuentre )(tx y )(ty b) Realice un análisis cualitativo, diagrama de fase de dos variables, para la estabilidad

dinámica de )(tx y )(ty . Indique el tipo de equilibrio. c) Verifique cuantitativamente para el sistema linealizado.

2. Linealice el sistema. Encuentre las soluciones y determine el tipo la estabilidad dinámica:

⎩⎨⎧

−=

−=

yxyxyx

28´

12´2

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