Taller 10 Actividades Complement Arias 10 2011

8/4/2019 Taller 10 Actividades Complement Arias 10 2011

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COLEGIO DE LA SAGRADA FAMILIADEPARTAMENTO DE MATEMTICAS

MATEMTICAS GRADO DCIMOTALLER DE REFUERZO ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS ESPECIALES 2011

Lic. JOHN FAIBERT QUINTERO OVIEDO

TALLER DE REFUERZO

El presente taller es una propuesta de trabajo para que desarrolles durante el periodo vacacional, previo a la pruebaespecial de revaloracin de desempeos en la asignatura de lgebra y trigonometra. No debes entregarlo resuelto. La

prueba incluir ejercicios y problemas planteados en l.


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A continuacin se proponen problemas asociados a la ecuacin cuadrtica.


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FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS

Las funciones lineales, cuadrticas, polinmicas y racionales se conocen como funciones algebraicas.

Las funciones algebraicas son funciones que se pueden expresar en trminos de operaciones algebraicas.Si una funcin no es algebraica se llama una funcin transcendental. Las funciones exponencialeslogartmicas y trigonomtricas son funciones transcendentales.

Definicin: Una funcin exponencial es una funcin de la forma y = ax, donde a>0 y a es diferente deuno.

Ejemplos:

F(x) = 2x F(x) = ()x = (2 -1)x = 2 -x

Nota: Cuando (la base) a > 1 entonces la funcin exponencial es una funcin creciente, como lo es f(x) =2x. Mientras que cuando a < 1, la funcin exponencial es una funcin decreciente, como lo es f(x) = 2-x.

Algunas caractersticas de las funciones exponenciales crecientes:

1) El dominio es el conjunto de los nmeros reales.

2) El recorrido es el conjunto de los nmeros reales positivos.

3) El valor de y se acerca a cero pero nunca ser cero, cuando x toma valores negativos.

4) Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1).

5) Son funciones continuas.

Algunas caractersticas de las funciones exponenciales decrecientes:


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1) El dominio es el conjunto de los nmeros reales.

2) El recorrido es el conjunto de los nmeros reales positivos.

3) El valor de y se acerca a cero pero nunca ser cero, cuando x toma valores positivos.

4) Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1).

5) Son funciones continuas.

Ya sabes calcular y = ax (funcin exponencial) para todo nmero real x. Ahora queremos proceder enforma inversa. Partiendo de y, cmo podemos determinar a x? Por ejemplo: si 8 = 2x, cul es el valor de

x? _________; si 100 = 10x

. cul es el valor de x? __________

Pero la mayora de las ecuaciones exponenciales no tienen soluciones tan evidentes.

Definicin: El logaritmo de un nmero y es el exponente al cual hay que elevar la base a para obtener yEsto es, si a > 0 y a es diferente de uno, entonces logay = x si y slo si y = ax.

Nota: La ecuacin logay = x se lee "el logaritmo de y en la base a es x".

Ejemplos:

1) A qu exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que 52

= 25. Decimosque "el logaritmo de 25 en la base 5 es 2". Simblicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2. Demanera que. log5 25 = 2 es equivalente a 52 =25.

2) Tambin podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.

Resolucin de ecuaciones logartmicas simples. Ejemplos para discusin:

1) Halla el valor de x si log3 9 = x.

2) Halla el valor de a si loga 8 = 3.

3) Halla el valor de y si log2 y = 7.

Propiedades de los logaritmo comunes: Para a > 1.

1) loga 1 = 0

2) loga a = 1


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3) loga (u v) = loga u + loga v

5) loga (un) = n loga u

6) loga M = loga N, entonces M = N

Ejemplos para discusin:

1) Halla el valor de x si log2 x - log2 (x - 8) = 3.

2) Resuelve para x la ecuacin: log8 3 + log8 25 = log8 x .

Ejercicio de prctica: Resuelve log4 (x + 1) - log4 (3x - 2) = 2.

Funcin exponencial natural:

La letra a que aparece en la funcin exponencial se llama la base. La base puede ser cualquier nmeroreal positivo (ver definicin de funcin exponencial). Sin embargo, hay casos donde se usa como base unnmero irracional denotado por e = 2.71828...

La funcin exponencial f(x) = ex se conoce como la funcin exponencial natural. La grfica de estafuncin es:

f(x) = ex

Logaritmo natural:


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Tambin podemos formar logaritmos con base e. Estos se llaman logaritmos naturales. Se representan

por el smbololn

. De manera, que si y = ex

, entonces x = loge y =ln

.El logaritmo natural tiene todas las propiedades para logaritmos con base general a. En particular:

1) ln (u v) = ln (u) + ln (v)

3) ln un = n ln u

4) ln e = 1

5) ln 1 = 0

Ejemplos para discusin:

1) Usa las propiedades de los logaritmos para escribir las siguientes expresiones como una suma,diferencia o mltiplo de logaritmos:

2) Usa las propiedades de los logaritmos para escribir las siguientes expresiones como el logaritmo deuna sola cantidad:

EJERCICIOS


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Escribe cada ecuacin exponencial a la forma

logartmica y viceversa:1) 23 = 8

4) log10 0.01 = -2

5) ln 2 = 0.6931...

6) ln 0.5 = -0.6931...

Halla el valor de x:

7) log10 1000 = x

9) log3 x = -1

10) logx 27 = 3

12) log3 x + log3 (x - 2) = 1

13) x - 3 = log2 32

14) x2 - x = log5 25

Dibuja la grfica de :

15) f(x) = 3x

16) y = 3-x

Usa las propiedades de los logaritmos para

escribir cada expresin dada como una suma,diferencia o mltiplo de logaritmos.

17) log2 xyz

22) ln 3e2

Escribe cada expresin con un nico logaritmo:

23) log3 (x - 2) - log3 (x + 2)

24) 3 ln x + 2 ln y - 4 ln z

25) 2[ln x - ln (x + 1) - ln (x - 1)]


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Respuestas:

1) log2 8 = 3

4) 10-2 = 0.01

5) e0.6931... = 2

7) x = 3

8) x = -3

10) x = 3

12) x = 3

13) x = 8

14) x = 2

16)

17) log2 x + log2 y + log2 z

18) [ln x + ln y] - ln 2

21) -log2 5

22) ln 3 + 2

15)


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TRIGONOMETRA

En trigonometra existe una herramienta que se llama circunferencia trigonomtrica que nos permite representarlas razones trigonomtricas de cualquier ngulo.

Como bien se representa en los grficos anteriores, dicha circunferencia se divide en 4 cuadrantes comenzandopor el primero que es el superior izquierdo y continuando en el sentido contrario al de las agujas del reloj hastael cuarto. Cada cuadrante tiene unas coordenadas y ordenadas y segn los grados del ngulo estas sernpositivas o negativas dependiendo del cuadrante en el que se encuentren. Las razones trigonomtricas tambinvariarn dependiendo del cuadrante. En este cuadro se pueden ver las razones trigonomtricas y suscorrespondientes signos en cada cuadrante:

Seno Coseno TangenteI + + +

II - + -

III - - +

IV + - -

El seno se obtiene dividiendo el lado opuesto al ngulo entre la hipotenusa.

El coseno se obtiene dividiendo el lado contiguo al ngulo entre la hipotenusa.

La tangente se obtiene dividiendo el lado opuesto entre el contiguo.

Cada cuadrante de la circunferencia trigonomtrica abarca 90 grados y entre los cuatro cubren los 360 grados dela circunferencia.


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En el siguiente cuadro exponemos algunas de las razones trigonomtricas ms utilizadas en las matemticas:

0 30 45 60 90 180 270 360

Seno 0 1 0 -1 0

Coseno 1 0 -1 0 1

Tangente 0 1 No existe 0 No existe 0

Las razones trigonomtricas de cualquier ngulo se pueden relacionar siempre con las de algn ngulo delprimer cuadrante. Por ejemplo, un ngulo del segundo cuadrante siempre es igual a 180 - un ngulo del primercuadrante o 90 + un ngulo del primer cuadrante.

Del mismo modo un ngulo del tercer cuadrante ser siempre 270 - un ngulo del primer cuadrante o 180 + unngulo del primer cuadrante.

Y se repite la misma secuencia de operaciones en el cuarto cuadrante, donde siempre ser 360 - un ngulo delprimer cuadrante o 270 + un ngulo del primer cuadrante.

Aqu hay algunos ejemplos:

Todas las razones trigonomtricas estn relacionadas entre ellas, sin importar de que cuadrante sean. Hay dosoperaciones que las relacionan:

Gracias a estas dos frmulas podremos obtener las tres razones con slo conocer una. Si por ejemplo sloconocemos el seno de un ngulo y queremos obtener las otras dos razones pues slo tenemos que aplicar ese


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dato que conocemos a la primera operacin para despejar el coseno y despus utilizar el resultado y el datoconocido en la segunda operacin para obtener la tangente.

Por ejemplo sabemos que , primero aplicamos este dato a la primera operacin:

El signo que le pongamos al resultado depender de en qu cuadrante se encuentre el ngulo, por ejemplo, estelo haremos colocndolo en el primer cuadrante, es decir, su signo ser positivo ya que el seno y el coseno seran

positivos y no cambiara la operacin

Habiendo obtenido este resultado ya podemos pasar a realizar la segunda operacin:

Y as tenemos las tres razones trigonomtricas utilizando estas dos operaciones y comenzando solo con un dato.

RECOMENDACIN: Acudir a la pginahttp://www.colombiaaprende.edu.co/recursos/skoool/matematica_y_geometria/funciones_trigonometricas/index.html

EJERCICIOS

1. Relaciona las razones trigonomtricas de un ngulo de 210 con las de un ngulo del primercuadrante

2. Considera un ngulo de 850. Redcelo a un ngulo menor a 360 y relaciona las razonestrigonomtricas con las de un ngulo del primer cuadrante

3.Un ngulo tal que 0<


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4. Sabiendo que cos = y 90<


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PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS

Observa que las razones trigonomtricas cumplen con las siguientes propiedades:

i.-

ii.- =

iii.-

iv.-

v.-

vi.-


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Las propiedades v y vi se llaman identidades pitagricas y las demostraremos a continuacin:

Demostracin de v:

IMAGEN

En el ABC anterior, tenamos que:

Demostracin de vi:

Fjate que en ambas demostraciones planteamos que a2 + b2 = c2, motivo por el cual ambas identidades sedenominan identidades pitagricas.

RAZONES TRIGONOMTRICAS PARA NGULOS DE 30, 45 Y 60

Si consideramos un tringulo rectngulo issceles de cateto a, entonces la

hipotenusa mide (ver diagonal de un cuadrado)

Si en este tringulo calculamos las razones trigonomtricas, obtenemos:


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Para calcular las razones trigonomtricas para los ngulos de 30 y 60, ocuparemos eltringulo equiltero de la figura:

En el tringulo rectngulo que se forma en esta figura, se cumple que:

Resumiendo, las razones trigonomtricas sen, cos y tg para 30, 45 y 60 son:

APLICACIONES DE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS EN EL CLCULO DE DISTANCIAS

Ejemplo:

Un poste vertical al suelo y de altura h est sujeto por una cuerda de longitudL con un ngulo de inclinacin Cul es la altura del poste?


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Solucin: En el tringulo rectngulo de la figura se conoce la hipotenusa y se requiere calcular el catetoopuesto, por lo tanto ocupamos la razn trigonomtrica sen :

Esta expresin nos permite calcular la altura del poste, una vez conocidos y L.

Ejemplo 2:

Una escalera de 6 m de largo se apoya en un muro vertical con un ngulo de inclinacin . A qu distancia seubica la base de la escalera con respecto al muro?

Solucin: En el tringulo rectngulo de la figura conocemos , la hipotenusa, y deseamos calcular el catetoadyacente a . Utilizando la razn trigonomtrica cos , tenemos:

Por lo tanto, la distancia que hay entre la base de la escalera y el muro es 6 cos .

EJERCICIOS

Expresa en grados sexagesimales los siguientes ngulos:

1. 3 rad 2. 2/5rad. 3. 3/10 rad.Expresa en radianes los siguientes ngulos:

4. 1316 5. 2 10 6. 127


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7. Sabiendo que cos = , y que 270


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FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

Funcin seno : f(x) = sen x

Dominio:

Recorrido: [1, 1]

Perodo:

Continuidad: Continua en

Creciente en:

Decreciente en:

Mximos:

Mnimos:Impar:sen(x) = sen x

Cortes con el eje OX:

Funcin coseno: f(x) = cos x

Dominio:

Recorrido: [1, 1]

Perodo:


Creciente en:

Decreciente en:

Mximos:

Mnimos:

Par: cos(x) = cos x



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Funcin tangente: f(x) = tan x

Dominio:

Recorrido:


Perodo:

Creciente en:Mximos: No tiene.

Mnimos: No tiene.

Impar: tg(x) = tg x


Funcin cotangente: f(x) = cot xDominio:

Recorrido:


Perodo:

Decreciente en:

Mximos: No tiene.

Mnimos: No tiene.

Impar: cotg(x) = cotg x



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Funcin secante: f(x) = sec x

Dominio:

Recorrido: ( , 1] [1, )

Perodo:

Continuidad: Continua enCreciente en:

Decreciente en:

Mximos:

Mnimos:Par: sec(x) = sec x

Cortes con el eje OX: No corta

Funcin cosecante: f(x) = csc x

Dominio:

Recorrido: ( , 1] [1, )

Perodo:


Creciente en:Decreciente en:

Mximos:

Mnimos:

Impar: cosec(x) = cosec x

Cortes con el eje OX: No corta


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EJERCICIOS


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7. Completa el cuadro correspondiente a cada funcin dada:

a) funcin f(x) = a.senx

Funcin a Conjunto imagen

f(x) = sen x

g(x) = 2sen x

h(x) = sen x

b) La funcin f(x) = sen (bx)

Funcin b Perodof(x) = sen x

g(x) = sen(2x)

h(x) = sen(x)

c) La funcin f(x) = sen(x + c)

Funcin c ngulo de fase

f(x) = sen x

g(x) = sen(x-45)

h(x) = sen(x+60)

d) La funcin f(x) = d + sen x

Funcin d Conjunto imagen

f(x) = sen x

g(x) = sen x + 1

h(x) = sen x - 2


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8. Completa el cuadro correspondiente a cada funcin dada:

a) funcin f(x) = a.cosx

Funcin a Conjunto imagen

f(x) = cos x

g(x) = 2 cos x

h(x) = cos x

b) La funcin f(x) = cos (bx)

Funcin b Perodof(x) = cos x

g(x) = cos (2x)

h(x) = cos (x)

c) La funcin f(x) = cos (x + c)

Funcin c ngulo de fase

f(x) = cos x

g(x) = cos (x-45)

h(x) = cos (x+60)

d) La funcin f(x) = d + cos x

Funcin d Conjunto imagen

f(x) = cos x

g(x) = cos x + 1

h(x) = cos x - 2

Conclusiones:

- El factor adetermina la amplitud de onda y no afecta al perodo, que en esta funcin es 2.


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- El factor b determina el perodo de la funcin sin modificar la amplitud de la onda. Cuanto mayor es |b|

menor es el perodo. El valor absoluto de b indica la cantidad de ondas que hay en el intervalo delongitud 2, y se llama frecuencia. En f hay una onda, en g hay dos ondas y en h hay media onda.

Por lo tanto el perodo p de cada funcin puede calcularse:

- El ngulo de fase, indica el desplazamiento horizontal de la funcin. Es el valor donde comienza el cicloque comenzaba en 0, en la funcin sen x, ya que

f(-c) = sen (-c + c) = sen 0 = f(0).

Si b 1 ngulo de fase

- El desplazamiento vertical hacia arriba o hacia abajo est indicado por d, segn sea ste positivo onegativo.

EJERCITACIN DE APLICACIN

Realiza en tu carpeta los siguientes ejercicios:

1) Halla los ceros (cortes con el eje x) de las funciones f(x) = sen x y f(x) = cos x que pertenezcan alintervalo [-2; 3]

2) Analiza cada afirmacin e indica si es verdadera o falsa.

a) La funcin f(x) = sen x es creciente en [-3; ].

b) La funcin f(x) =cos x es negativa en [-2; -].

c) En [0; 6] existen slo tres valores del dominio de f(x) = sen x, en los que la funcin alcanza el mximo.

d) En [0; 6] existen slo tres valores del dominio de f(x) = cos x, en los que la funcin alcanza el mnimo.


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e) f(x) = sen(4x + ) tiene por ngulo de fase a . 3) Completar el siguiente cuadro:

Funcin Amplitud Perodo ngulo de fase

f(x) = sen(4x)

f(x) = -4cos x

f(x) = 2sen(x)

f(x) = cos( )

f(x) = -sen(4x-) + 2

f(x) = 4cos(2x) - 3

4) Realiza los grficos aproximados de las siguientes funciones en el intervalo (-; 2), y verifcalos pormedio de un simulador. (Para ingresar en el simulador, escribe pi)

a) f(x) = sen x - 2

b) f(x) = - cos x + 1

c) f(x) =-2sen( )

f(x) = sen( )

e) f(x) = cos( )

5) Escribe la frmula de la siguiente funcin, sabiendo que es de la forma f(x) = a.sen(bx).


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6) La temperatura del aire, T, en grados centgrados, en una cierta ciudad, en un da de primavera, vienedada por la funcin:

donde t es el tiempo medido en horas desde la medianoche.

a) Cul es la temperatura a las 8 h, a las 12 h y a las 6 de la tarde?

b) Representa grficamente la funcin.

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