Ejer Cici Os Complement a Rios

Gua de Ejercicios Complementarios al Tema 1: EL PENSAMIENTO y EL LENGUAJE EN LA MATEMTICA 1 Material de Apoyo a la Docencia elaborado por el Prof. Cipriano Cruz. Mayo 2.003

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE INGENIERA

CICLO BSICO CURSO INTRODUCTORIO

DEPARTAMENTO DE MATEMTICA APLICADA REA DE MATEMTICA

GUA DE EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS AL TEMA 1 EL PENSAMIENTO Y EL LENGUAJE EN LA MATEMTICA

I. INTUICIN, INDUCCIN y DEDUCCIN 1. En cada uno de los siguientes ejercicios: (i) identificar la premisa y la conclusin y

(ii) decidir si el razonamiento utilizado es intuitivo, inductivo o deductivo. a) Nuestro hogar es armonioso, los hogares vecinos inmediatos son armoniosos,

luego todos los hogares del vecindario donde vivo son armoniosos. b) Si en una secuencia regular los cinco primeros trminos son 3, 8, 13, 18, 23,

entonces el sexto trmino es 28.

c) Si se suman las fracciones ba y

dc se obtiene como resultado

bdbcad +

d) Las personas que no miran a los ojos no inspiran confianza. e) Si se es su deseo, se convierte en una orden para m. S que es su deseo, por lo

tanto es una orden para m. f) Jos tena 50 barajitas y perdi 5. A Jos le quedan 45 barajitas. g) Si en ambos miembros de una igualdad se suman cantidades iguales, entonces los

resultados finales son iguales. h) Los tres primeros hijos de Alejandra fueron varones. Alejandra est embarazada,

luego su cuarto hijo ser varn. i) Todos los hombres son mortales. Scrates es hombre, luego Scrates es mortal j) Si m, n son nmeros naturales, x, y son nmeros reales arbitrarios, entonces

nmnm xxx += , ( ) mnnm xx = , ( ) nnn yxxy = , nnn

y

xyx

=

(en este caso se requiere

que y sea no nulo), nmn

mx

x

x -= (en esta caso se requiere que x sea no nulo).

2. Usando el razonamiento inductivo establezca, en cada uno de los siguientes casos, al menos

una conclusin vlida.

a) 21

, 43

, 54

, 65

, 87

b) 3, 12, 48, 192, 768, c) 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0 d) Desde hace varios aos el da primero de Mayo desfilan los trabajadores. e) El cuadrado de 1, el de 3, el de 5, , son impares.

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3. Resuelva los siguientes problemas, identificando los procesos usados como intuitivos, inductivos o deductivos: a) Si en la siguiente suma cada letra representa un dgito, cules son los valores de

P, Q y R?

P P P + Q

Q R R R

b) Una persona tiene 8 monedas, de ellas 7 son autnticas y una es falsa, lo cual se

sabe porque pesa menos que las otras 7. Si se dispo ne de una balanza de platillos, cul es el menor nmero veces que se debe utilizar la balanza para determinar cul es la moneda falsa?

c) En una tienda uno cuesta Bs. 1.500 y 1234 cuestan Bs. 6.000, qu venden en dicha tienda ?

d) Una persona piensa en un nmero. Si se duplica el nmero, se le suma 6 al resultado, luego se triplica lo obtenido y, finalmente, se resta 4, obteniendo as 50. Cul era el nmero en el que la persona pens?

e) Cul es el dgito de las unidades del nmero 352 ? II. PROPOSICIONES SIMPLES 1. Decida, justificadamente, si cada una de los siguientes enunciados es o no una

proposicin: a) El cdigo postal del Distrito Sucre es 1042.

b) El 12 de Octubre de 1492, cuando Coln lleg a este continente, fue un da Martes.

c) Feliz cumpleaos!. d) Est usted seguro de saber lo que es una proposicin? e) Lzaro, levntate y camina. f) 8 + 17 = 35 g) La bailoterapia es til para la salud. h) 17 8 = 9 y 2 + 1 = 2 i) Ms personas mueren en accidentes automovilsticos que en accidentes de

aviacin. j) Preste atencin a estos ejercicios.

2. Analice cada una de los siguientes enunciados y decida: (i) si es o no una proposicin, (ii) si es o no simple, (iii) cual es su valor booleano.

a) Mara contrajo matrimonio demasiado rpido. b) Yo veo telenovelas y noticieros. c) Andrs Galrraga tiene ms de treinta aos y el presidente tambin. d) Ayer hizo mucho calor. e) 835 +


f) Si Carlos es un poltico, entonces su hermano Roberto no tiene para que trabajar.

g)

=paresxsix

impar es xsi xxn n

3. Explicar por qu: a) La negacin de 3 es menor que 4 no es 3 es mayor que 4. b) La expresin todo nmero natural es un entero es falsa.

c) La expresin ofrecemos un 30% de descuento en todos nuestros artculos, pero lamentamos no disponer de todos los que fabricamos, es un engao al cliente.

d) La expresin si quiere ser feliz visite Aruba contiene un mensaje lgicamente engaoso.

4. Para cada una de las proposiciones que se dan a continuacin escriba la negacin

lgica: a) Mi mejor ta se llama Alexandra. b) Todos los estudiantes tendrn una segunda oportunidad. c) Ningn experto en bisbol es tambin experto en ftbol. d) Todo el mundo siente lstima por alguien en algn momento. e) x es mayor que 5. f) No es cierto que el caballo de Simn Bolvar era blanco. g) Roberto colecciona barajitas y Martha colecciona estampillas.

h) Andrs es muy pequeo para aprender a jugar ajedrez o su pap an no quiere ensearle.

i) Todo nmero natural es un nmero racional.

j) nnn yx y x = k) Todas las plantas tienen una flor. l) El cuadrado de cualquier nmero real es no negativo. m) Si el antecedente de una proposicin condicional es falsa, la proposicin condicional es

verdadera. n) Si q es una proposicin verdadera, entonces la proposicin (pq)q tambin lo es. o) Si p es una proposicin verdadera, entonces ~p (qr) es verdadera.

5. Si p es una proposicin verdadera y q, r son proposiciones falsas, determinar el valor booleano de cada una de las siguientes proposiciones:

a) (q~r)p b) ~(r(~q~p)) c) ~((~pq)r)) d) (~p~r)(pq) 6. En cada uno de los siguientes casos escriba la expresin dada como un condicional y decida

bajo que condiciones el condicional es verdadero o falso. a) Debe estar muerto, si no se mueve. b) Todos los patriotas estn dispuestos a dar la vida por su bandera. c) A cada cochino le llega su Sbado. d) No hay mal que dure cien aos. e) Julieta ama a Romeo. 7. Escriba la negacin de cada una de las siguientes proposiciones: a) Si le hablas a tus plantas ellas crecern sanas. b) Si yo digo s, ella dice no.


c) Todos los hombres alguna vez fueron nios. d) Si el cheque no tiene fondos el banco no lo paga. e) Si pap no pone orden en el hogar, mam lo hace. 8. Utilice tablas booleanas para decidir cules de las siguientes parejas de proposiciones son o

no equivalentes: a) pq ~pq b) qp ~p ~q c) ~(pq) ~pq d) p~q ~qp 9. Dibuje circuitos que representen cada una de las siguientes proposiciones y, cuando

sea posible, encuentre un circuito ms simple a) (~p~q)~r b) (~q~p)(~pq) c) ((~p~r)~q)(~pr) 10. Para cada uno de los siguientes circuitos escriba una proposicin lgica que lo

represente y, cuando sea posible, simplifique cada circuito.

a)

d)

e)

f)

p

~q r

p

q p

p

q

r

q

q

q

~p

p

q

~p

~q

b)

p ~p

c)

~p

~q


III. FUNCIONES PROPOSICIONALES y CUANTIFICADORES 1. En cada una de las siguientes funciones proposicionales: (i) identifique el (los)

universo(s) ms amplio(s) posible(s) en el (los) cual(es) ella tienen sentido, (ii) determine la(s) extensin(es) correspondientes, (iii) anteponga convenientemente cuantificadores existencia l y universal y, por ltimo, determine el valor booleano de cada una de las dos proposiciones as obtenidas.

a) es un nmero primo. b) es un nmero compuesto. c) es un buen alumno. d) es el cuadrado de s mismo.

e) tiene sus tres lados iguales f) ( ) 222 y2xyxyx ++=+ g) ( ) 222 yxyx +=+ h) ( ) 222 yxy2xy-x +-=

(i) ( )( ) 22 yxyxyx -=-+ j) ( ) 222 yxy-x -=

k) ( ) 32233 y3xyy3xxyx +++=+ l) ( ) 333 yxyx +=+

m) ( ) 32233 y3xyy3xxy-x ++-= n) ( ) 333 yxy-x -=

o) ( )( ) 3322 yxyxyxyx +=+-+ p) ( )( ) 3322 yxyxyxy-x -=++ 2. Cada una de las siguientes proposiciones siguientes est precedida, implcitamente,

por el cuantificador universal. Seale cules son las nicas excepciones para las cuales la proposicin no tiene sentido y explique por qu, descontando las excepciones, la proposicin cuantificada casi universalmente (es decir, universalmente, descontando las excepciones) es verdadera.

a) 0c,b,ba

bcac

= b) b

cabc

ba

= c) bdac

dc

ba

=

d) cd

ba

dc

ba

=

3. Para cada una de las siguientes proposiciones abiertas, seale si convirtindola en una

proposicin mediante el cuantificador existencial o universal o ambos, la proposicin as obtenida es verdadera

a) a < b cbca +


De (1) y (2) Juan Marcano no es ingeniero. c) (1) Algunos estudiantes piensan que la Lgica es intil (2) Roberto es un estudiante De (1) y (2) Roberto piensa que la Lgica es intil. d) (1) Todas las aves vuelan (2) Todos los aviones vuelan De (1) y (2) Un ave es un avin. e) (1) Todos los pollos tienen plumas (2) Todas las gallinas son pollos De (1) y (2) Todas las gallinas tienen plumas. f) (1) Todos los pollos tienen plumas (2) Todas las aves tienen plumas De (1) y (2) Todos los pollos son aves. g) (1) Ningn nmero natural es negativo (2) -1 es un nmero negativo De (1) y (2) -1 no es un nmero natural. h) (1) Un tringulo escaleno tiene un lado ms largo que los otros dos (2) Un tringulo escaleno tiene un ngulo ms grande que los otros dos De (1) y (2) El ngulo ms grande de un tringulo escaleno se opone al lado ms

grande de l.

2. Analice cada uno de los siguientes argumentos y decida si l es vlido o es una falacia a) Si usted lo convoca, l vendr Si l viene, usted estar conforme, luego Si usted lo convoca, entonces usted estar conforme . b) Si ella compra un vestido, entonces comprar unos zapatos Ella compra unos zapatos, luego Ella compra un vestido.

c) Si yo he podido ver ms que los dems es porque me sub a los hombros de gigantes (Sir Isaac Newton).

Yo no he visto ms que los dems, luego Yo no me sub a los hombros de gigantes. d) (rp)(rq), adems (qp), luego (rp) e) (~p r) (pq) y, adems (~rp), entonces (q r)

3. Para cada uno de los siguientes argumentos establezca el esquema lgico

correspondiente y determine si el argumento es vlido o se trata de una falacia a) Si usted est infectado con un virus, entonces el virus puede ser transmitido. Las

consecuencias son graves y el virus no puede ser transmitido. Por lo tanto, si las consecuencias no son graves, entonces usted no est infectado con un virus.

b) Si usted es un adulto, entonces usted no llora. Si usted no llora, entonces su mam no dice que vergenza. Por lo tanto, si usted es un adulto, entonces su mam dice qu vergenza.

c) Si Antonio es un buen mdico, entonces l vive en Caracas, Antonio vive en Caracas y le gusta la msica. Por lo tanto si a Antonio no le gusta la msica, l no es un buen mdico.


d) Si me abrocho el cinturn de seguridad estar a salvo. Yo no me abrocho el cinturn de seguridad, Por lo tanto yo no estoy a salvo.

V. MTODOS de DEMOSTRACIN 1. Demuestre cada uno de los siguientes teoremas: a) Si a es un divisor de b y b es un divisor de c, entonces a es un divisor de c. b) Si a es un nmero cuyo cuadrado es par, entonces el nmero mismo es par. c) La ecuacin ax+b=0 tiene solucin nica en R, para a no nulo.

d) Si dc

ba

= entonces d

dcb

ba +=

+ y tambin d

dcb

ba -=

-

e) Si dc

ba

= entonces dc

cba

a+

=+

y tambin dc

cba

a-

=-

f) No existe un nmero primo que sea el ms grande de todos los primos. g) Entre dos nmeros racionales siempre es posible intercalar otro nmero racional. h) El producto de dos nmeros diferentes de cero es tambin diferente de cero. i) Si a y b son nmeros tales que a+b=2ab, entonces a(b-1)+b(a-1)=0 j) Si 2yx + , entonces 1x o 1y

k) Si 100 objetos se colocan en 9 cajas, entonces alguna de las cajas tiene por lo menos 12 objetos.

2. Usando el Principio de Induccin Completa demuestre cada uno de los siguientes

teoremas: a) Sean x e y nmeros reales y m y n nmeros naturales. Entonces,

(i) nmnm xxx += (ii) ( ) mnnm xx = (iii) ( ) nnn yxxy = (iv)

n

nn

y

xyx

=

(v) nm

n

mx

x

x -= suponiendo que cada expresin representa un

nmero real.

b) nn3n2 23 ++ es un mltiplo de 6. c) 3

14n - es un entero.

d) Si 1h - , entonces ( ) nh1h1 n ++ e) n21n2 + para 3n

f) 1)!1n()!n(n...)!2(2)!1(1 -+=+++ g) )n2...(42)1n2...(31

n21

-

h) ba0 nn ba0 i) ba0 = , 1nn caa -= n

n bca =

3. Si se define recursivamente, para cualquier nmero natural n, =

n

1kka mediante:

>+

== -

== 1nsiaa

1nsiaa

n

1n

1kk

1n

1kk


Demostrar que:

a) Para cualquier nmero c, se cumple ===

n

1kk

n

1kk caac

b) + =+===

n

1kk

n

1kk

n

1kkk ba)ba(

c) si r 1, se cumple r1

r1ccr

nn

1k

1k

--

==

-

VI. CONJUNTOS 1. Sean { }12,10,8,6,4,2A = , { }10,8,4,2B = y { }12,10,4C = . Determinar si cada una de las

siguientes proposiciones es verdadera o falsa: a) 4 A b) 8 B c) 4 C d) 8 B d) 10 A e) 6 A f) 2 BC g) 12 AB h) 10 C-B i) A B j) BCA 2. Dos conjuntos que tienen el mismo nmero de elementos (aunque no los mismos

elementos) se dicen equivalentes. D ejemplos de conjuntos tales que: a) sean distintos pero equivalentes b) sean diferentes y no equivalentes 3. Determinar el nmero de elementos de cada uno de los siguientes conjuntos: a) { }6,5,4,3,2,1,0A = b) { }1000,...,6,4,2B = c) { }10x1/ZxC -= d) { }SupremoTribunaldelmiembroesx/xD = e) { }negativonmeroesx/xE = 4. Carmen cuida exageradamente su salud, aunque es fantica de los chocolates

CHOCOVEN, los cuales tienen 220 calora s por barra. Para quemar las caloras Carmen participa diariamente en una hora de deportes, no repitiendo actividades en el mismo da. Como Carmen es muy sistemtica ha observado que sus actividades favoritas le ayudan a quemar caloras, de acuerdo a la siguiente Tabla Actividad Voleibol Natacin Judo Golf Bailoterapia Caloras quemadas por hora 160 410 340 260 680

a) Si el Lunes Carmen slo tiene tiempo para no ms de dos actividades, haga una lista de los posibles conjuntos de actividades que debe desarrollar para quemar las caloras que le producen comerse tres barras de chocolate.

b) Si el Sbado Carmen tiene tiempo para tres horas de actividad. Haga una lista de todos los conjuntos de actividades con las cuales quemara el nmero de caloras que le proporcionan cinco barras de chocolate.

5. Un organizado Municipio est haciendo un estudio acerca del tipo de residuos que se

encuentra en la basura recogida. La siguiente Tabla contiene los datos, en porcentaje Categora Alimenticios Tiendas Metales Vidrio Plsticos Papel Otros Porcentaje 7 18 8 7 8 40 12

a) Qu categoras registran ms del 15% ? b) Qu categora s registran menos del 10% ? c) Pueden usarse los datos anteriores para inferir algo acerca de las caractersticas

posibles de las actividades que se realizan en dicho Municipio?


6. Sean { }h,g,f,e,d,c,b,aU = , { }e,aA = , { }g,f,e,b,aB = , { }g,f,bC = , { }e,dD = . Para

cada una de las siguientes proposiciones decida si ella es verdadera o falsa: a) AU b) DB c) DA d) BC e) A f) { } Ab,f,g g) DB h) { } AF i) C tiene exactamente 6 subconjunto propios j) A tiene 4 subconjuntos k) tiene un solo subconjunto

l) Los siguientes diagramas de Venn muestran la relacin entre A y C y la relacin entre C y B, respectivamente:

7. Describa todas las cantidades de dinero posible que se pueden formar usando una sola

vez billetes de las diferentes denominaciones que circulan actualmente. 8. Sean { }g,f,e,d,c,b,aU = , { }g,e,c,aA = , { }c,b,aB = , { }f,e,d,c,bC = . Formar los

siguientes nuevos conjuntos: a) AB b) AB c) BC d) BC e) AU f) BC g) A h) AB i) B(AC) j) A(A-C) k) B(B-A) l) A-B m) (BA)C n) (AB)C o) U-(ABC) 9. Si A y B son subconjuntos de un universo U, y n(A) representa el nmero de

elementos de un conjunto A, decida si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera o falsa:

a) AAB b) n(A) es menor que n(AB) c) ABA d) n(AB) es mayor que n(A) y que n(B) e) n(AB)=n(A)-n(B) f) AxB=BxA g) n(AxB)=n(BxA) h) n(AxB)=0 A= i) n(AxB)=100 (n(A)=25 n(B)=4) 10. Si A y B son dos conjuntos de un universo U, establezca condiciones necesarias para

que cada una de las siguientes proposiciones sea verdadera: a) A=A-B b) A=B-A c) A=A- d) A=A e) AA= 11. Describa en palabras y smbolos, al menos de dos maneras diferentes lo que

representa cada regin sombreada, luego decida si las dos o ms formas son o no, en general, verdaderas. Finalmente, demuestre sus conjeturas.

U

C A

U

C B


a) b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

12. Resuelva los siguientes problemas:

a) Rosa, estudiante de Psicologa, se propuso investigar cules son las diversiones preferidas de los adolescentes. Despus de interrogar a 55 estudiantes universitarios determin que:

(1) 17 se entretienen con los videojuegos (2) 17 se entretienen viendo TV (3) 23 Se entretienen leyendo (4) 6 se entretienen con videojuegos y TV (5) 8 se entretienen con videojuegos y leyendo (6) 10 se entretienen viendo

TV y leyendo (7) 2 se entretienen con las tres actividades. Cuntos estudiantes se entretienen. (i) con slo 2 de las tres actividades, (ii)

exactamente con una de las actividades, (iii) ninguna de las tres actividades, (iv) slo con los videojuegos?


b) En el semestre pasado 48 investigadores de la UCV recibieron apoyo financiero para asistir a eventos cientficos: (1) 5 obtuvieron apoyo de La Comisin de Estudios de Postgrado (CEP), (2) 14 obtuvieron apoyo del Consejo de Desarrollo Cientfico y Humanstico (CDCH), (3) 4 obtuvieron apoyo del Vicerrectorado Acadmico (VA), (4) 2 obtuvieron apoyo del VA y del CDCH, (5) Aqullos con apoyo de la CEP no recibieron ningn otro tipo de ayuda. Cuntos de los investigadores obtuvieron apoyo de: (i) ms de un organismo, (ii) de los tres organismos, (iii) de CDCH o de VA, (iv) de ningn organismo?

c) Usted es gerente de DATASVEN, una nueva compaa que asesora en investigaciones de mercados. Uno de sus subalternos le reporta, que al realizar un cuestionario entre 140 personas sobre las costumbres al cocinar en un cierto sector de la ciudad obtuvo los siguientes datos: (1) 58 utilizan horno de microondas, (2) 63 usan hornillas elctricas, (3) 58 usan gas, (4) 19 usan microondas y hornillas elctricas, (5) 17 usan microondas y gas, (6) 4 usan tanto gas como hornillas elctricas, (7) 1 usa los tres tipos de artefactos, (8) 2 slo cocinan con energa solar. Qu comentarios le merecen estos resultados?

d) Catalina, una tesista en Psicologa, observ que durante dos semanas de un grupo de 75 pacientes admitidos en el Hospital Clnico Universitario, haba tres categoras: B los que tenan presin arterial alta, C los que tenan colesterol alto, F el conjunto de los fumadores. Las cifras recopiladas fueron n(B)=47, n(C)=46, n(F)=52, n(BF)=33,n(BC)=31, n(BCF)=21, n(BC)(BF)(CF))=51 Determine el nmero de pacientes que: (i) tenan colesterol alto o presin alta, pero no ambos, (ii) tenan menos de dos de las caractersticas de la lista, (iii) eran fumadores pero no tenan colesterol alto ni presin alta, (iv) no tenan exactamente dos de las caractersticas de la lista.

e) Un entrenador de bsquetbol de la UCV convoc a los candidatos a la nueva seleccin, por grupos de tres facultades. El primer da se presentaron 60 estudiantes de Ingeniera (I), Humanidades y Educacin (H) y Ciencias Sociales (C), los cuales manifestaron preferir las posiciones de Defensas (D), Aleros (A) y Pivotes (P). Los datos se dan en la siguiente Tabla D A P Totales I 9 6 4 19 H 12 5 9 26 C 5 8 2 15 Totales 26 19 15 60

Usando los datos de la Tabla encuentre el nmero de jugadores de cada uno de los siguientes conjuntos:

(i) ID (ii) HP (iii) P(HD) (iv) H(DP) (v) (HP)(CD) (vi) P(HC)


VII. MODELOS de EXMENES

Modelo 1

1. Para cada una de las siguientes proposiciones, usted debe decidir si ella es verdadera o falsa. En cualquier caso debe dar un argumento vlido que justifique su respuesta. a) Si U es un conjunto universo, A y B son subconjuntos, entonces U- (A B) = (U - A) (U - B). b) Para cada entero positivo k se tiene que 2k + 3 es un nmero primo. c) El valor booleano de la proposicin ((p q) r)) es verdadero si el valor

booleano de la proposicin r es verdadero. d) Existen nmeros reales u y v tales que u + v = 3 y u - v = 1. e) A (B C) (A B) (A C)

2. a) Para demostrar de manera indirecta una proposicin del tipo p (q r), se

demuestra la veracidad de la proposicin p (~q) r. Establezca la equivalencia entre estas proposiciones.

b) Se dice que un nmero entero positivo a divide a un nmero entero positivo b si el

cociente ab

es un entero. Utilice esta definicin y el argumento mencionado en a)

para demostrar la siguiente proposicin: Si a, b, c son enteros positivos y a divide al producto bc entonces a divide a b a divide a c.

3. Escriba las variantes (recproco, inverso y contrarecproco) del siguiente condicio nal:

La condicin necesaria para que un nmero entero sea divisible por cinco es que este nmero termine en cinco

4. Demuestre utilizando el principio de induccin que para cada entero positivo n,

nn32 22n2

2n...

23

22

21 +-=++++

5. Considere como conjunto universal U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y los subconjuntos A = {4, 5, 9}, B = { x U: existe k Z tal que x = 3k} y C el conjunto de los dgitos menores que cuatro.

Determine el conjunto (U - ((B - C) A)) (C B).


Modelo 2

1. Para cada una de las siguientes proposiciones, usted debe decidir si ella es verdadera

o falsa. En cualquier caso debe dar un argumento vlido que justifique su respuesta: a) ($ u, v N)( u + v es par y tanto u como v son impares).

f) Si P e I denotan los conjuntos de nmeros naturales pares e impares respectivamente, y { }PyNx:)y,x(T = , entonces PI T.

g) Si q es una proposicin verdadera y p es una proposicin arbitraria, entonces: ((~p) (~q)) (p q). h) Si A, B son conjuntos arbitrarios y A B, entonces A B = B. i) Si una figura geomtrica es un conjunto no vaco de puntos, entonces en una

geometra que slo tiene tres puntos hay una sola figura geomtrica. j) Existe un nmero primo que es solucin de la ecuacin 0x11x12x 23 =+- .

2. Para el siguiente teorema en el sistema de los nmeros reales: 0 < x < 1 entonces x2 < x.

a) Escriba la hiptesis y la tesis. b) Escriba su contrarrecproco. c) Demustrelo usando el mtodo de reduccin al absurdo.

3. La Asamblea Nacional Constituyente tiene un subconjunto conformado por 115

asamblestas, de los cuales 50 pertenecen al MVR, 30 pertenecen al PPT, 25 pertenecen al MAS y el resto no pertenecen a ningn partido. Por supuesto, todos los que pertenecen a cada partido tienen afinidad con su partido, aunque tambin pueden tener afinidad con algn partido o partidos, o no tener afinidad con ninguno. Se sabe que:

Los del MVR no tienen afinidad con ningn otro partido. 5 constituyentes del MAS tienen afinidad slo con el MVR, otros 4 tienen

afinidad slo con el PPT y 3 tienen afinidad con el MVR y el PPT. 2 constituyentes del PPT tienen afinidad slo con el MVR, otros 6 tienen afinidad

slo con el MAS y 1 afinidad con el MVR y el MAS. De los independientes, 1 tiene afinidad slo con el MVR, 2 slo con el MAS, 3

con el MVR y el MAS y ninguno con el PPT. a) Indique en un diagrama de Venn todos los subconjuntos posibles, atendiendo a

las afinidades. b) Cuntos constituyentes tienen afinidad con el MVR? c) Cuntos constituyentes tienen afinidad con el MAS? d) Cuntos constituyentes tienen afinidad con el PPT?

4. a) Considere el siguiente proceso inductivo: una lmina de cartn cuadrada de 1 m2 de

rea se divide en dos mitades y se retira una ellas, de modo que queda un trozo cuya

rea es 21 m2, igual a

-

211 m2 que pierde la lmina original. Seguidamente esta

nueva mitad se divide en dos mitades iguales retirando una de ellas y quedando un


trozo de lmina cuya rea es 41

m2, igual a

--

41

211 m2 que pierde la lmina

original. Contine este proceso de divisin y genere una frmula que relacione el rea del trozo que queda con el nmero de m2 que va perdiendo la lmina original en cada paso.

b) Demuestre, utilizando el principio de induccin completa, que para cada entero positivo n la frmula n3 +2n genera mltiplos de 3.

5. Considere el circuito de la figura:

a) Determine la proposicin que representa el circuito. b) Haga la tabla de verdad correspondiente a la proposicin hallada. c) Analice la tabla de verdad para simplificar esta proposicin y construya el circuito

equivalente ms simple.

Modelo 3 1. Para cada una de las siguientes proposiciones, usted debe decidir si ella es verdadera

o falsa. En cualquier caso debe dar un argumento vlido que justifique su respuesta. a) Para todo nmero real x se cumple que: x < 6 o bien x > 4. b) La negacin de pq y la proposicin p(~q) son equivalentes. c) El cuadrado de un nmero de dos dgitos cuyo dgito de las unidades es 5, termina en 25. d) Existen dos nmeros pares cuya suma es impar.

2. Dado el circuito de la figura adjunta:

a) Represntelo por una proposicin lgica. b) Discuta si hay o no un circuito ms simple que

sea equivalente a l .

3. (I1)Una de las variantes del mtodo de reduccin al absurdo es: (H T) ((H (~T)) (R (~R))) (I2)Uno de los ms antiguos teoremas sobre tringulos dice que "la longitud de un

lado es menor que la suma de las longitudes de los otros dos".


Desde uno de los vrtices de un tringulo escaleno (el que tiene sus tres lados de diferente longitud) se traza un segmento al lado opuesto, dividindolo en dos tringulos. Demuestre, usando las informaciones (I1) e (I2) que estos dos tringulos no pueden ser congruentes.

4. Dado el argumento siguiente: Algunos matemticos son distraidos Juan es distraido

Luego, Juan es matemtico a) Establezca el esquema lgico del argumento b) Decida, razonadamente, si el argumento dado es o no vlido

5. Demuestre que para todo entero positivo n el nmero 510310 n1n +++ es divisible

entre 9 6. El da de las madres fueron entrevistadas 100 de ellas y al preguntrseles que regalo

haban recibido se obtuvieron los siguientes datos: 25 haban recibido al menos un aparato electrodomstico 20 haban recibido al menos un ramo de flores 24 haban recibido al menos una caja de chocolates 8 haban recibido al menos un aparato electrodomstico y un ramo de flores 7 haban recibido al menos un aparato electrodomstico y una caja de chocolates 7 haban recibido al menos un ramo de flores y una caja de chocolates 48 dijeron no haber recibido regalo alguno.

a) Represente en un diagrama de Venn los principales conjuntos que se generan con la informacin anterior b) Cuntas madres recibieron los tres tipos de regalos?

Modelo 4

1. Para cada una de las siguientes proposiciones, usted debe decidir si ella es

verdadera o falsa. En cualquier caso debe dar un argumento vlido que justifique su respuesta.

a) ((pq) r) ((p r) (qr)) b) Si T es el conjunto de los tringulos issceles y R el conjunto de los tringulos

rectngulos, entonces R es un subconjunto de T. c) Si a y b son nmeros tales que a+b=ab, entonces (a-1)(b-1)=1 d) Si el producto de dos nmeros reales es positivo, entonces ambos nmeros son

positivos. 2. Considere el siguiente argumento:

Si n es divisible por 8, entonces n es divisible por 4. Si n es divisible por 4, entonces n es un nmero par, pero n no es un nmero par. Luego n no es divisible por 8.


a) Determine el esquema lgico que corresponde al argumento b) Discuta la validez del argumento.

3. Usando el principio de induccin, demuestre cada una de las siguientes proposiciones:

a) Si x > 1, entonces xn > 1 b) Si n es un natural mayor o igual a 1, entonces: 201+212 + 223 + ... + 2n-1n = 2n(n-1) + 1

4. a) Describir, usando operaciones entre conjuntos, la regin sombreada en el

diagrama que se encuentra al final de los enunciados de este examen. b) Demostrar que si A, B, C son subconjuntos de un universo U, entonces se cumple:

A (B C) = (A B) C.

5. En un cuestionario aplicado a 100 transentes que paseaban en las cercanas de la plaza del rectorado se les pregunt su opinin respecto a quienes deban participar en las discusiones para introducir cambios en la UCV, se obtuvieron los siguientes resultados:

(1) 30 opinaron que nadie debe discutir y que todo debe quedar como est. (2) 10 opinaron que slo deben participar alumnos y profesores. (3) 8 opinaron que deben participar profesores, empleados y estudiantes. (4) 12 opinaron que slo deben participar los empleados y los estudiantes. (5) El nmero de los que opinaron que slo deben discutir los profesores y los

empleados es cinco veces mayor que los que opinan que slo deben discutir los profesores y el nmero de los que opinan que slo deben discutir los profesores o slo los estudiantes o slo los empleados es el mismo.

Cuntas personas piensan que slo deben discutir los empleados?


Modelo 5

1. Para cada una de las siguientes proposiciones, usted debe decidir si ella es

verdadera o falsa. En cualquiera de los casos debe justificar su respuesta usando un argumento vlido. a) [(pq) ^ (~q)] (~p) es una falacia. b) Si a, b y c son nmeros reales arbitrarios tales que ab = bc, entonces a = b c) Si a y b son nmeros impares, entonces a + b es par d) Si A, B son conjuntos arbitrarios, entonces A x (B C) = (A x B) (A x C)

2. Considere el siguiente argumento:

Si la funcin de 9:30 PM en el cine empez a la hora exacta y Pedro lleg a tiempo, entonces Mara no lleg 30 minutos ms temprano que Pedro o l no asisti a esta funcin.

Construya el esquema lgico que corresponda al argumento y, si se considera dicho argumento como falso, responda las siguientes preguntas:

a) Lleg Pedro a tiempo? b) A que hora lleg Mara? c) A qu hora empez la funcin en el cine?

3. Demuestre los siguientes teoremas:

a) Para x un nmero real fijo y para todo natural n se verifica que:

x + (x-1) x + (x-1) x2 + ... + (x-1) xn = xn+1

b) Si a y b son enteros positivos y a < b, entonces ab11

<

5. Sean A y B dos conjuntos arbitrarios: a) Usando diagramas de Venn ilustre si cada una de las proposiciones siguientes

tiene o no posibilidad de ser verdadera: (1) BBABA = )( , (2) ''')( BABA =

b) Demuestre sus conjeturas de la parte a).

5. Luigi (el dueo del Cafetn de Ingeniera) se interes un da por saber las preferencias de los estudiantes por tres de los productos que l vende. Para averiguarlo l permiti a 110 estudiantes probar gratuitamente, refrescos, jugos y agua. Los empleados de Luigi anotaron lo siguiente: 99 estudiantes probaron refrescos, 96 probaron jugos, 99 probaron agua, 95 probaron refrescos y jugo, 94 probaron jugos y agua, 96 probaron refrescos y agua y 93 probaron las tres cosas. Determine cuntos de estos estudiantes: (1) no probaron ninguna de las tres cosas, (2) probaron refrescos pero no jugos, (3) probaron agua, (4) probaron slo jugos y (5) probaron exactamente slo dos de estos artculos.

Ejer Cici Os Complement a Rios

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