3068 Material Complement a Rio

MATEMATICA PARA COMPUTACIÓN I Código 3068

Material complementario

Preparado por Emmanuel Chaves Villalobos

UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA

VICERRECTORÍA ACADÉMICA ESCUELA DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

Material complementario Matemática para computación 1

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UNED – Acortando distancias

TABLA DE CONTENIDOS

I. PRESENTACIÓN 4

II. TEORÍA DE CONJUNTOS 5

A. Historia 5

B. Conceptos importantes 5

C. Notación 6

D. Igualdad de conjuntos 7

E. Subconjuntos: 8

F. Operaciones con conjuntos 9

1. Unión: 9

2. Intersección: 10

3. Diferencia: (Simbología ) 11

4. Complemento: (Simbología ) 12

5. Diferencia simétrica: (Simbología ) 13

G. Álgebra de conjuntos 13

H. Producto cartesiano de conjuntos o producto cruz 14

Ejercicios propuestos 15

III. SUCESIONES 19

A. Finita o infinita 19

B. En orden 19

C. La regla 20

D. Notación 21

E. Sucesiones definidas recursivamente 22

1. Definición de sucesión recursiva: 22


IV. DIVISIBILIDAD 29

A. División entera 29

B. División exacta 30

C. Múltiplos y divisores 30

1. Divisor de un número: 30


3


D. Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo 31

1. Divisores y múltiplos comunes: 31

2. Máximo común divisor (MCD): 31

3. Números primos entre sí: 32

4. Mínimo común múltiplo (MCM): 32

E. Algoritmo de Euclides 33


V. MATRICES 36

A. Historia 36

B. Definiciones y notaciones 36

C. Operaciones básicas 38

1. Suma o adición: 38

2. Producto por un escalar 38

3. Producto: 39

4. Transpuesta: 40

D. Matrices cuadradas y definiciones relacionadas 41

E. Matriz Booleana 42

Operaciones con matrices Booleanas: 42


VI. Referencias 49


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I. PRESENTACIÓN

El presente material tiene como finalidad ofrecer una introducción a los conocimientos básicos relacionados con las matemáticas discretas como son teoría de conjuntos, sucesiones, divisibilidad, matrices, entre otros; con el fin de aplicarlos a situaciones concretas del campo de la informática.


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II. TEORÍA DE CONJUNTOS

Diagrama de Venn que muestra un conjunto A contenido en otro conjunto U y su complemento

A. Historia

La Teoría de Conjuntos es una división de las matemáticas que estudia

los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático

alemán Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo

XIX y más tarde reformulada por Zermelo.

B. Conceptos importantes

El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien

definida de objetos no repetidos y no ordenados"; así, se puede hablar de un

conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay

en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se

sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los

bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber

si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la

http://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Venn


6


vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber

distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es.

En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o

cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el

sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor.

“Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de

objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestro

pensamiento.”

Georg Cantor

C. Notación

Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, K,...

Además se llama elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un

conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos

permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos

duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula: a, b, k,...

De esta manera, si es un conjunto, y todos sus elementos, es común

escribir: , para definir a tal conjunto . Esta notación empleada

para definir al conjunto se llama notación por extensión. Como se muestra el

conjunto se escribe entre llaves “{ }” o separados por comas “ , ”.


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Para representar que un elemento que pertenece a un conjunto , escribimos

(léase "x en A", "x pertenece a A" o bien "x es un elemento de A"). La negación

de se escribe (léase “x no pertenece a A”).

El conjunto universal, que siempre representaremos con la letra (u mayúscula), es

el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando. Así, si hablamos de

números enteros entonces es el conjunto de los números enteros, si hablamos de

ciudades, es el conjunto de todas las ciudades, este conjunto universal puede

mencionarse explícitamente, o en la mayoría de los casos se da por supuesto dado

el contexto que estemos tratando, pero siempre es necesario demostrar la existencia

de dicho conjunto previamente.

Existe además, un único conjunto que no tiene elementos al que se le llama conjunto

vacío y que se denota por . Es decir

En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo: el

conjunto {b, b, b, d, d} simplemente será { b, d }.

D. Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos A y B se dicen iguales, lo que se escribe si constan de los

mismos elementos. Es decir, si y solo si todo elemento de A está también contenido

en B y todo elemento de B está contenido en A. En símbolos:

Ejemplo: El conjunto { a, b, c } también puede escribirse:

{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a }


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E. Subconjuntos:

Diagrama de Venn que muestra

Un conjunto se dice que es subconjunto de otro , si cada elemento de es

también elemento de , es decir, cuando se verifique:

,

sea cual sea el elemento . En tal caso, se escribe: .

Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que si , se

cumpla . Si tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al

conjunto , pero si todo elemento de es elemento de , entonces decimos

que es un subconjunto propio de , lo que se representa por .

Así, el conjunto vacío es subconjunto propio de todo conjunto (excepto de sí mismo),

y todo conjunto A es subconjunto impropio de sí mismo.

Note que se utiliza solo para elementos de un conjunto y solo para conjuntos.


9


F. Operaciones con conjuntos

Sean y dos conjuntos,

1. Unión: (Simbología )

Diagrama de Venn que ilustra

Para cada par de conjuntos y existe un conjunto Unión de los dos, que se

denota como el cual contiene todos los elementos de y de . Es claro que

el hecho de que un elemento pertenezca a es condición necesaria y

suficiente para afirmar que es un elemento de o al menos de . Es decir:

Ejemplos:

1. Si tenemos los conjuntos: , ,

y

Entonces: , ,

y


10


2. Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }, entonces:

A B = { 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }

2. Intersección: (Simbología ∩)

Diagrama de Venn que ilustra

Los elementos comunes a y forman un conjunto denominado intersección de

y , representado por . Es decir, es el conjunto que contiene a

todos los elementos de que al mismo tiempo están en :

.

Si dos conjuntos y son tales que , entonces y se dice que

son conjuntos disjuntos. Es claro que el hecho de que es condición

necesaria y suficiente para afirmar que y . Es decir

Ejemplos:

1. Si tenemos los conjuntos


11


Entonces: , , y

2. Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }, entonces:

Q P= {a, b, o, r, s, y}

3. Diferencia: (Simbología )

Diagrama de Venn que muestra A – B

Diagrama de Venn que muestra B – A




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Los elementos de un conjunto que no se encuentran en otro conjunto , forman

otro conjunto llamado diferencia de y , representado por . Es decir:

.

o dicho de otra manera:

Una propiedad interesante de la diferencia es que .

Ejemplos: Sin importar cual conjunto elija usted, siempre se cumple

4. Complemento: (Simbología )

El complemento de un conjunto , es el conjunto de los elementos que pertenecen a

algún conjunto pero no pertenecen a , que lo representaremos por . Es decir

.

Ejemplo: Sea y donde , entonces

el complemento de estará dado por:

El conjunto complemento siempre lo es respecto al conjunto universal que estamos

tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los

números pares, el conjunto complemento de los números pares, es el formado por


13


los números no pares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de

las personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias.

En vista de que y , entonces , de

manera que .

5. Diferencia simétrica: (Simbología )

Los elementos de dos conjuntos y , a excepción de aquellos elementos que se

encuentran en el área de intersección de dichos conjuntos, se define la diferencia

simétrica. Es decir:

G. Álgebra de conjuntos

Sean A, B, y C conjuntos cualesquiera y U un conjunto tal que , ,

y entonces:

Elemento neutro de la unión

Elemento neutro de la intersección

Propiedad conmutativa de la intersección

= Propiedad conmutativa de la unión


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Propiedad de Involución.

Propiedad asociativa de la intersección

Propiedad asociativa de la unión

Propiedad distributiva de la intersección

Propiedad distributiva de la unión

H. Producto cartesiano de conjuntos o producto cruz

Dados dos conjuntos y , definimos al conjunto producto (o producto cartesiano)

de y (en ese orden), representado por como el conjunto


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Ejemplo: Sean y . Así,

Ya que el producto cartesiano está formado de pares ordenados (donde el orden de

los componentes importa), resulta

Ejercicios propuestos

(1) Indique en cada caso si los conjuntos que se dan a continuación son iguales:

y

y { 3, 5, 8}

y el conjunto de números enteros mayor que 4 y menores que 6

(2) Sea indique la pertenencia o no de los

siguientes ejercicios:

a) 2 A

b) 7 A

c) 3.5 A

d) 12 A

e) -4 A

f) 9 A


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(3) Sea identifique los conjuntos que son subconjuntos

de este:

(4) Si y ¿Qué se concluir de los conjuntos ?

(5) Sean Indique

cuales de los siguientes incisos son correctos

a)

b)

c)

d)

e)

f)

(6) Si: Obtenga:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

(7) Sean

¿Los conjuntos son ajenos y porque?

¿ es subconjunto de ?

¿ es un subconjunto de ?

¿ es subconjunto de ?


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(8) Si

Encuentre:

a) =

b) =

c) =

d) =

(9) ¿Cuáles de las siguientes igualdades son verdaderas?

a)

b)

c)

d)

e)

f)

(10) Si

Encuentre:

a)

b)

c)

d)


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(11) Encuentre 9 palabras ocultas en la siguiente sopa de letras relacionada con

conjuntos.

R A I C N E N E T R E P

N F U A T U C I S I A N

O O N M O S O S V O A O

N L I I N M M T A I I I

O D V N P R P U C O M C

T U E N U T L N I N A C

N A R N A S E I O N S E

U T S E L R M R A U V S

J N O V E A E M P A L R

N E V F M N N O C C E E

O P I R L I T I A N O T

C D L A A Q O P N I V N

A F B C D A N O M I T I


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III. SUCESIONES

A. Finita o infinita

Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita, si no es una sucesión

finita.

Ejemplos:

{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)

{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita

{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es

una sucesión infinita)

{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás

{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada

término

{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético

{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"

{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en

este caso un orden alternativo)

B. En orden

Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que

decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando...

Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el

mismo valor sí puede aparecer muchas veces).

Ejemplo:

{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}


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C. La regla

Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.

Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

¡Pero la regla debería ser una fórmula!

Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:

10º término,

100º término, o

n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que

queramos).

Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el

término). Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?

Primero: vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar

que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:

Probamos la regla: 2n

n Término Prueba

1 3 2n = 2×1 = 2

2 5 2n = 2×2 = 4

3 7 2n = 2×3 = 6


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Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo

que debería, así que vamos a cambiarla un poco:

Probamos la regla:

n Término Regla

1 3 2n+1 = 2×1 + 1 = 3

2 5 2n+1 = 2×2 + 1 = 5

3 7 2n+1 = 2×3 + 1 = 7

¡Funciona!

Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como:

La regla para es:

Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º:

D. Notación

Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:

Posición del término

Es normal usar para los términos:

es el término

es la posición de ese término

Así que para hablar del "quinto término" sólo tienes que

escribir:

Entonces podemos escribir la regla para en forma de ecuación, así:


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Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:

¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?

E. Sucesiones definidas recursivamente

Los valores de los términos de una sucesión pueden definirse explícitamente

mediante fórmulas como . Hay sucesiones que se definen

implícitamente mediante reglas que permiten encontrar un término de la sucesión

utilizando otros términos que lo preceden en la sucesión.

1. Definición de sucesión recursiva:

Una sucesión está definida recursivamente siempre que: .

Valor Base: Los valores de algunos términos de la sucesión, generalmente el

primero, o los primeros, se especifiquen explícitamente (se dan los valores de

los elementos a partir de los cuales se generan los demás valores de la

sucesión).

Fórmula recursiva: Los valores de los otros elementos de la sucesión están

definidos en término de valores previos en la sucesión. nos describe la

manera (reglas o fórmulas) para obtener los otros valores de la sucesión (de

manera “recurrente”).

Ejemplo: La sucesión con fórmula explicita definida por para , es

decir:

La sucesión con fórmula recursiva dada por , con , es decir:


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(1) Hallar el término general de las siguientes sucesiones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

(2) Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.

(3) Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5.

(4) Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores

que 5.


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SOLUCIONES:

(1) Hallar el término general de las siguientes sucesiones:

a)

El numerador es constante.

El denominador es una progresión aritmética de .

b)

El numerador es una progresión aritmética con una .

El denominador es una progresión aritmética con una .

c)

En esta sucesión se han simplificado algunas fracciones.

El numerador es una progresión aritmética con una .



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d)

Si prescindimos del signo es una progresión aritmética con una .

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por .

e)

Si prescindimos del signo, el numerador es una progresión aritmética

con una .


Por ser los términos pares los negativos multiplicamos por .

a)

Es una sucesión oscilante.

Los términos impares forman progresión aritmética con una , si no

tenemos en cuenta los términos pares.


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El denominador de los términos pares forman progresión aritmética con

una .

b)

Si prescindimos del signo y del exponente tenemos una progresión

aritmética con una .

Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término

general al cuadrado.

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por .

a)

Es una sucesión oscilante.

El numerador de los términos impares forman progresión aritmética con

una d= 1, si no tenemos en cuenta los términos pares.


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Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término

general al cuadrado.

El primer sumando del denominador (prescindiendo del cuadrado) es

una progresión aritmética de (sin contar los términos pares).

El término general lo tenemos que elevar al cuadrado y sumarle 3.

Los términos pares forman una sucesión constante.

(2) Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.

a15 = 5 + 14 · 5 = 75

S15 = (5 + 75)· 15/2 = 600.

(3) Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5.

a1= 5; d= 10 ; n= 15.

a15= 5+ 14 ·10= 145

S15 = (5 + 145)· 15/2 = 1125


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(4) Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores

que 5.

a1= 6; d= 2; n= 15.

a15 = 6 + 14 · 2 = 34

S15= (6 + 34) · 15/2 = 300


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IV. DIVISIBILIDAD

El tema de divisibilidad se trata sobre los números naturales, aunque se sabe que

sus resultados son válidos en . Sin embargo, para cuestiones de unicidad es más

claro restringir el estudio a los números naturales. En las propiedades en las que

intervengan números enteros se advertirá sobre este carácter.

A. División entera

Dados dos números naturales a y b, llamaremos división entera entre ellos a la

operación de encontrar otros dos números q (cociente) y r (resto), tales que se

cumpla:

, con , o lo que es lo mismo,

Se demuestra que q y r son únicos y que siempre existen. Si esta situación la

expresamos como , llamaremos a q cociente por defecto y a r resto

por defecto.

También podemos expresarla como llamando a r' resto por

exceso.

Propiedades:

Se cumple siempre que

Si el dividendo y el divisor se multiplican (o dividen) por un mismo número, el

cociente no varía, pero el resto queda multiplicado (o dividido) por ese

número.

En la división entera podemos definir la operación "módulo". Dados dos números a y

b naturales llamaremos a MOD b al resto por defecto que resulta al dividir a entre b.


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B. División exacta

Dados dos números naturales a (dividendo) y b (divisor), llamaremos división exacta

entre ellos a la operación de encontrar otro número q (cociente) tal que se cumpla

.

Si esta operación es posible, diremos que b es divisor de a, o bien

que a es múltiplo de b.

C. Múltiplos y divisores

1. Divisor de un número:

Diremos que un número natural a es divisor de b cuando existe otro número

natural k que multiplicado por a da por resultado b. Expresado de otra forma, la

división entre b y a ha de ser exacta.

La relación de "ser divisor" o de divisibilidad se representa con el símbolo |.

Así, "a divide a b" se escribe como a|b.

Propiedades

Todo número natural es divisor de sí mismo.

La unidad es divisor de todos los números naturales

El cero no es divisor de ningún número.

Si un número es divisor de otros dos, también lo es de suma y

diferencia:


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Si a es divisor de b, y b es divisor de c, entonces a es divisor de c, es decir:

Si a divide a b, también divide a bx, siendo x natural, es decir:

, con .

Si y ambos son positivos (naturales),

Todo n es múltiplo de sí mismo y de la unidad.

Cero es múltiplo de todos los números.

La suma o diferencia de dos múltiplos de un número también es múltiplo de

dicho número.

Si a es múltiplo de b, y b es múltiplo de c, entonces a es múltiplo de c.

D. Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo

1. Divisores y múltiplos comunes:

Un número natural k es divisor común de otros cuando es divisor de todos ellos.

Igualmente se define el múltiplo común.

2. Máximo común divisor (MCD):

El máximo común divisor de varios números naturales es el mayor de sus divisores

comunes.

Si su valor es 1, diremos que los números son primos entre sí.

Propiedades:

Si a es múltiplo de b, entonces el MCD de ambos es b.

El MCD de dos números a y b coincide con el MCD de b y el resto de la

división de a entre b. En esta propiedad se basa el Algoritmo de Euclides.


32


Si varios números naturales se multiplican (o dividen exactamente) por otro

natural m, su MCD queda también multiplicado (o dividido exactamente)

por m. En concreto, si se dividen entre su MCD, los resultados son primos

entre sí.

Si m es el MCD de dos números a y b y n su MCM, se cumple la igualdad:

Igualmente, si m es el MCD de a y b, existen dos números enteros p y q tales

que se verifica: (Teorema de Bezout)

3. Números primos entre sí:

Son aquellos números naturales (no necesariamente primos) que no tienen divisores

comunes. Su MCD es 1. También se les llama extraños, primos relativos o coprimos.

Según el Teorema de Bezout, si a y b son primos entre sí, existirán dos números

enteros p y q tales que se verifique:

4. Mínimo común múltiplo (MCM):

De varios números es el menor de sus múltiplos comunes.

Propiedades:

Si a es múltiplo de b, entonces el MCM de ambos es a.

Si varios números naturales se multiplican (o dividen exactamente) por otro

natural m, su MCM queda también multiplicado (o dividido exactamente)

por m.

Si m es el MCD de dos números a y b y n su MCM, se cumple la

igualdad:


33


E. Algoritmo de Euclides

El máximo común divisor de dos enteros puede obtenerse escogiendo el mayor de

todos los divisores comunes. Hay un proceso más eficiente que utiliza repetidamente

el algoritmo de la división. Este método se llama algoritmo de Euclides.

El algoritmo de Euclides se describe de la forma siguiente: Dados dos

enteros a y b cuyo máximo común divisor se desea hallar, y asumiendo que a b > 0,

(El método funciona también si a y b son negativos). Basta trabajar con los valores

absolutos de estos números, debido a que M.C.D (|a|, |b|)=M.C.D (a,b) se siguen los

siguientes pasos:

a) Se usa el algoritmo de la división para obtener a = q1b + r2 , con

0 r1 < b. Si r1 = 0, entonces y M.C.D.(a, b) = b.

b) Si r1 0 se divide b por r1 y se producen enteros q2 y r2 que

satisfacen b =q2 r1 + r2 con 0 r2 < r1.

Si r2 = 0 el proceso termina y M.C.D.(a, b) = r1.

c) Si r2 0 se procede a dividir r2 por r1 obteniendo r1 = q3 r2 + r3 con 0 r3 < r2.

d) Este proceso continua hasta que algún residuo cero aparece. Esto ocurre

porque en la secuencia b > r1 > r2 >..... 0 no puede haber más de

b enteros. Es decir, el proceso es finito.

e) En estas circunstancias, el máximo común divisor de a y b no es más que el

último residuo no cero del proceso anterior.

Esto lo garantiza la aplicación reiterada del siguiente teorema.

Teorema. Sí a y b son enteros positivos con a b y si a = qb + r; entonces

M.C.D.(a, b) = M.C.D.( b, r ).


34


Ejemplo: Halle M.C.D.(12378, 3054)

12378 = 4 3054 + 162

3.054 = 18 162 + 138

162 = 1 138 + 24

138 = 5 24 + 18

24 = 1 18 + 6

18 = 3 6 + 0

Luego M.C.D.(12378, 3054) = 6 que es el último residuo no cero.

Ejemplo: Como M.C.D.(12378, 3054) = 6 podemos utilizar el ejercicio anterior para

encontrar enteros x y y que cumplan la condición: 6 = 12378x + 3054y.

6 = 24 - 18

= 24 - (138 - 5 24)

= 6 24 - 138

= 6 (162 - 138) - 138

= 6 162 - 7 138

= 6 162 - 7 (3054 - 18 162)

= 132 162 - 7 3054

= 132 (12378 - 4 3054) - 7 3054

= 132 12378 + (-535) 3054

Luego x= 132; y = -535


35



(1) Demostrar que si dos enteros son divisibles por un tercero y los cocientes

obtenidos son primos relativos, entonces el tercer entero es el máximo común

divisor de los enteros dados.

(2) Demuestre que si la suma de dos enteros positivos a, b es un número primo

entonces M.C.D.(a, b) = 1

(3) Demuestre que el producto de 5 enteros consecutivos es divisible por 120.

(4) Si el máximo común divisor de dos números es 2, y su producto es 840, hallar

los dos números.

(5) Si el máximo común divisor de dos enteros es 14. ¿Cuáles son esos enteros,

sabiendo que la serie de los cocientes obtenidos al buscar el máximo común

divisor es 3, 8, 2 y 4?.

(6) El máximo común divisor de dos números es 108. ¿Cuál es el menor de estos

enteros si el mayor es 756?.

Visite http://www.uhu.es/64109/aula_virtual/divisib/problemas/sol2.pdf

http://www.uhu.es/64109/aula_virtual/divisib/problemas/sol2.pdf


36


V. MATRICES

A. Historia

El origen de las matrices es muy antiguo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra

en la literatura china hacia el 650 a. C.1

Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un

importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve

capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer

ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de

ecuaciones simultáneas.2 En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de

determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el

matemático japonés Seki Kōwa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en

1693.

El término "matriz" fue acuñado en 1848, por J. J. Sylvester. En 1853, Hamilton hizo

algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación

matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con

n incógnitas. Grassmann, Frobenius y von Neumann están entre los matemáticos

famosos que trabajaron sobre la teoría de matrices.

Olga Taussky-Todd (1906-1995), durante la II Guerra Mundial, usó la teoría de

matrices para investigar el fenómeno de aeroelasticidad llamado fluttering.

B. Definiciones y notaciones

Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o

entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una

de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas

verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-

n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz

siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después.

Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene


37


el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo

orden y tienen los mismos elementos.

Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se

le llama elemento i,j o elemento (i,j)-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner primero

las filas y después las columnas.

Casi siempre, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se

utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar a los elementos de

las mismas.

Por ejemplo, al elemento de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la

columna j-ésima se le denota como ai,j o a[i,j]. Notaciones alternativas son A[i,j] o Ai,j.

Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores

representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros tipos de

variables. Así A es una matriz, mientras que A es un escalar.Normalmente se

escribe para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j]

llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los

índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en

cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.

Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se

interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila

y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se

denomina vector columna.

Ejemplo:

1) Dada la matriz que es una matriz 4x3.

El elemento es el 7.


38


2) La matriz

es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.

C. Operaciones básicas

1. Suma o adición:

Dadas las matrices m-por-n, A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada

sumando los elementos correspondientes, es decir, sumar cada uno de los

elementos homólogos de las matrices a sumar. Por ejemplo:

Nótese que para sumar matrices éstas deben tener el mismo tamaño.

Propiedades:

Asociativa, Dadas las matrices m×n A, B y C: A + (B + C) = (A + B) + C.

Conmutativa, Dadas las matrices m×n A y B: A + B = B + A

Existencia de matriz cero o matriz nula: A + 0 = 0 + A = A

Existencia de matriz opuesta: A + (-A) = 0

2. Producto por un escalar

Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el escalar

por cada elemento de A.


39


Ejemplo:

Propiedades:

Sean A y B matrices y c y d escalares.

Asociatividad: (cd)A = c(dA)

Elemento Neutro: 1·A = A

Distributividad:

De escalar: c(A+B) = cA+cB

De matriz: (c+d)A = cA+dA

3. Producto:

Diagrama esquemático que ilustra el producto de dos matrices A y B dando como resultado la

matriz AB.

El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la

matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una

matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial AB es la

matriz m×p (m filas, p columnas.

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Matrix_multiplication_diagram.svg


40


Por ejemplo:

Propiedades:

E producto de matrices tiene las siguientes propiedades:

Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC).

Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC.

Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB.

En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si A.B = 0 , No

necesariamente A ó B son matrices nulas

El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificación: Si A.B = A.C, No

necesariamente B=C

El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La

división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B,

no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo

aplicable a las matrices invertibles.

4. Transpuesta:

La transpuesta de una matriz m-por-n A es la matriz n-por-m AT (algunas veces

denotada por At) formada al intercambiar las filas y columnas


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Propiedades:

La transposición de matrices tiene las siguientes propiedades:

D. Matrices cuadradas y definiciones relacionadas

La matriz identidad In de orden n es la matriz n por n en la cual todos los elementos

de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los demás elementos son iguales a 0.

La matriz identidad se denomina así porque satisface las

ecuaciones MIn = M y InN = N para cualquier matriz M m por n y N n por k.

Ejemplo: Si n = 3, una matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo número

de filas que de columnas.

Una matriz A n por n es invertible si y sólo si existe una matriz B tal que:

AB = In = BA. En este caso, B es la matriz inversa de A, identificada por A-1.


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E. Matriz Booleana

Una matriz cuyas entradas son solamente 1’s y 0`s se denomina Matriz Booleana.

Ejemplos:

a)

b)

Operaciones con matrices Booleanas:

1. Si y son dos matrices booleanas de , se define la

disyunción de y como la nueva matriz como:

2. Si y son dos matrices booleanas de , se define la

conjunción de y como la nueva matriz como:

Ejemplos: Sea

y

, se obtienen

y


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3. Multiplicación Booleana, es una nueva matriz que se denota por de

manera que si existe un uno en la misma posición en la fila de y

en la columna de y si no hay coincidencia.

Ejemplo: Sea

y

se determina la matriz

Nota: recuerde que se analiza fila con columna posición por posición, si coinciden

al menos en una ocasión unos ( ’s) la posición dada por fila columna le

corresponde un uno (1), de lo contrario le corresponde un cero (0).


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(1) Dadas las matrices:

Calcular: A + B; A - B; A B; B A; At.

(2) Demostrar que: A2 - A- 2 I = 0, siendo:

(3) Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

(4) Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones:

N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200

unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del

modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L

y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y

1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas

de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de

administración.

a) Representar la información en dos matrices.

b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración

empleadas para cada uno de los modelos.


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(5) Siendo:

Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:

SOLUCIONES

(1)


46


(2) Se tiene que

(3) Multiplicamos la segunda ecuación por -2

Sumamos miembro a miembro

Si multiplicamos la primera ecuación por 3 y sumamos miembro

a miembro obtenemos:

(4) Matriz de producción:

Filas: Modelos A y B Columnas: Terminaciones N, L, S


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Matriz de coste en horas:

Filas: Terminaciones N, L, S Columnas: Coste en horas: T, A

Matriz que expresa las horas de taller y de administración para cada uno de los modelos:

(5) Se hacen cada caso por aparte:


48



49


VI. Referencias

Bibliográficas

JIMÉNEZ Murillo, José A. (2009). Matemáticas para la computación. México:

Alfaomega Grupo Editor S.A.

KOLMAN, Busby y Ross. (1996). Estructuras de matemáticas discretas para la

computación. M{exico: Prentice-Hall Hispanoamérica, S.A.

LARSON y Hostetler. (1994). Cálculo y geometría analítica. España: McGraw-Hill

Interamericana de España S.A.

MURILLO Tsijli, Manuel (2010). Introducción a la matemática discreta. San José:

Editorial Tecnológica de Costa Rica.

Electrónicas

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/INICIALES/marco_principal.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Teoría_de_conjuntos

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Conjuntos/marco_conjuntos.htm

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/conjuntos.htm

http://matematica.50webs.com/sucesiones.html

http://www.monografias.com/trabajos37/teoria-numeros/teoria-numeros.shtml

http://hojamat.es/sindecimales/congruencias/teoria/teorcong.htm#criterios

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matemática)

http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T6_Matrices.htm

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