Material Complement a Rio

LG_MATES_1ESO_CAS_9801.FH11 30/3/10 13:34 P gina 2

Composici n

C M Y CM MY CY CMY K

edebé

1ESOMatemáticasMATERIAL COMPLEMENTARIO

Materia de Matemáticas 1

Proyecto y edición: grupo edebé

Dirección general: Antonio Garrido GonzálezDirección editorial: José Luis Gómez CutillasDirección de edición de texto: María Banal MartínezDirección del área de Ciencias y Tecnología: Rosa Comabella BernatDirección pedagógica: Santiago Centelles CerveraDirección de producción: Juan López Navarro

Equipo de edición de edebé:Edición: José Estela Herrero, Nuria Lorente Pla y Pau Barberá FábregasPedagogía: Elsa Escolano LumbrerasIlustración: Robert Maas OlivesCubierta: Luis Vilardell Panicot

Colaboradores:Texto: Carina Rubio Cabana y Eugenio González SierraDibujos: Jordi Magriá VilardebóPreimpresión: Reverté-aguilar

Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública otransformación de esta obra sólo puede ser realizada con la autoriza-ción de sus titulares, salvo excepción prevista por la Ley. Diríjase aCEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos – www.cedro.org)si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra.

Es propiedad de grupo edebé© grupo edebé, 2010 Paseo San Juan Bosco, 6208017 Barcelonawww.edebe.com

ISBN 978-84-236-9801-1Depósito Legal. B. Impreso en EspañaPrinted in SpainEGS - Rosario, 2 - Barcelona

Educación Secundaria Obligatoria

Material complementario

Este libro forma parte del proyecto editorial Edebé y ha sido elaborado según las disposicionesy normas curriculares que desarrollan la Ley Orgánica de Educación (LOE) de 3 de mayo de 2006.

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1Matemáticas

Material complementario

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Índice

¿Cómo es este libro? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Recursos didácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Otros recursos para la evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

• Evaluación inicial

• Indicadores para la evaluación contínua

• Prueba final de competencias básicas


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¿Cómo es este libro?

Este libro proporciona al profesor una serie de materiales y recursos para atender a la diversidad a la vezque plantea diferentes propuestas prácticas de evaluación.

Materiales específicos para la atención a la diversidad

— Fichas de refuerzo, en las que se plantean actividades destinadas a los alumnos y alumnas que tienendificultades en la adquisición de los aprendizajes básicos. Con ellas lograrán alcanzar un grado mínimode consolidación de los contenidos. Las fichas de refuerzo son fotocopiables y cada una incorpora lasolución a las actividades en su reverso.

— Fichas de profundización o consolidación, donde se presentan actividades que ofrecen al alumno/auna visión más amplia y profunda de los contenidos y permiten perfeccionar éstos. Estas fichas estándestinadas a aquellos alumnos que tienen mayor facilidad de comprensión y capacidad de trabajo.

Profundización�� 3Ficha

1. Al cruzar 2 individuos de una determinada especie de dípteros se espera que la descendencia sea de un 85 %de ojos rojos y el resto de ojos marrones. Si la descendencia fuese de 325 individuos, ¿cuántos de ellos seríande ojos rojos y cuántos de ojos marrones?

2. Un trabajador de una empresa percibe mensualmente un sueldo neto de 1834 ∑. La suma de todos los des-cuentos de la nómina es del 23,5 %. ¿Cuál es el sueldo bruto anual de este trabajador si percibe 14 pagas com-pletas al año?

3. Un producto nos ha costado 47,65 ∑. Teniendo en cuenta su precio se vio incrementado en un 16 % en con-cepto de IVA, ¿cuál era el precio inicial del producto?

4. Un establecimiento comercial efectúa las segundas rebajas de la temporada:

a) ¿Cuál era el precio de la camisa antes de las rebajas?

b) ¿Cuánto costaban los pantalones en las primeras rebajas?

c) ¿Qué descuento se ha aplicado al bolso en las segundas rebajas respecto a las primeras? ¿Qué descuento repre-senta respecto al precio anterior a las rebajas?

d) ¿Cuál ha sido el artículo más rebajado de la campaña de rebajas?

5. Marta, Alberto y Teresa aportan semanalmente 3, 4 y 6 ∑, respectivamente, para apostar en las quinielas. Siobtienen un premio de 8000 ∑ ¿cuánto le corresponderá a cada uno de ellos en el reparto?

6. Tres carpinteros han trabajado en una construcción por la que han percibido 4875 ∑. Si el primer carpintero hatrabajado 32 horas, el segundo 18 y el tercero 25, ¿cuánto le corresponde cobrar a cada uno?

7. Cuántos litros caben en un depósito de gasolina de un coche, si sabemos que para llenarlo hacen falta 3 minu-tos y que en 50 segundos hemos puesto 10 L?

8. Al entrar un producto en una tienda, el propietario aumenta el precio inicial de 80 ∑ en un 18% ya que no quie-re perder el IVA del producto. Cuando llegan las rebajas , se ve obligado a rebajar el IVA del precio marcado.¿Hay diferencia entre precio inicial y el precio que marca el producto ahora en rebajas?

Nombre: ........................................................................................................ Curso: ......................................... Fecha: ........................................

?

32,3

24,2

65,5

45,85

91,5

64,05

?48

28,8

84 122 — 20%— 25%

55

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5. P

ropo

rcio

nalid

y p

orce

ntaj

es

Profundización3Ficha

��

9. El precio de un producto al que se le ha aplicado un 30 % de descuento es 436,03 ∑. ¿Qué precio tenía antes dehaberle aplicado el descuento?

— Si sabemos que aún con el 30% de descuento, el comerciante sale ganando un 15% del precio final, ¿cuál esel beneficio que obtiene?

10. En una tienda se ha aplicado el 15% de descuento a un objeto valorado inicialmente en 155 ∑ y, sobre el nuevoprecio de venta, otro 15%. ¿El precio de venta es el mismo que si hubiéramos aplicado un 30% de descuentosobre el precio inicial?

11. Un poste de 2,10 m de altura proyecta una sombra de 0,8 m. Una torre, a la misma hora y en el mismo lugar, pro-yecta una sombra de 18,95 m. ¿Qué altura tiene dicha torre?

12. Los elementos químicos radioactivos se desintegran, es decir, una parte de su masa se descompone, dando lu-gar a la radiación. El elemento uranio (U-235) se caracteriza porque reduce aproximadamente un 18 % de sumasa cada año. Si se dispone de una muestra de 30 g de U-235:

a) ¿Qué masa de uranio quedará entro de un año?

b) ¿Y dentro de 2 años ?

c) ¿Y dentro de 5 años?

56

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5. P

ropo

rcio

nalid

y p

orce

ntaj

es

Refuerzo1Ficha

��Solucionario

1.

2. a) No ; b) Sí ; c) Sí ; d) No.

4.

9 bolígrafos costarán 13,5 ∑.

5. 3,456 L

6. a) 840 bocadillos ; b) 71,4 ∑.

x = =

9 4,5

313,5

×

a)

53 6

b)64 16

2c)

62824

d)108

15= = = =

108

712

; ; ;

A 3 7,5 12 18 33

B 2 5 8 12 22

3.

52

5. P

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5. P

ropo

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nalid

y p

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ntaj

es

Refuerzo Proporcionalidad��UNIDAD 5

1Ficha

1. Completa las siguientes proporciones con los valores que faltan:

a)53

?6

c)?6

2824

b)64?

162

d)108

15?

= =

= =

Una proporción es una igualdad entre dos razones:

Los términos a y d se denominan extremos y los términos b y c, medios.En toda proporción se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los medios:

a × d = b × c

a

b

c

d=

Para resolver la regla de tres se multiplican las dos cantidades conocidas situadas en diagonal y sedivide el resultado por la tercera cantidad conocida:

Dos cantidades son directamente proporcionales si a medida que aumenta o disminuye una deellas, la otra aumenta o disminuye en la misma proporción.


2. Justifica si existe o no proporcionalidad directa en los siguientes casos:

a) La edad de una persona y su peso.

b) El número de electrodomésticos funcionando y el consumo de electricidad de un hogar.

c) La velocidad de un coche y la distancia recorrida.

d) La velocidad de un coche y su precio.

3. Calcula la constante de proporcionalidad entre A y B y completa la tabla:

4. El precio de tres bolígrafos es de 4,5 ∑. ¿Cuánto costarán 9 bolígrafos?

5. Un automóvil consume 7,2 L de gasolina por cada 100 km recorridos. ¿Cuántos litros gastará en un trayecto de48 km?

6. En un bar se preparan 294 bocadillos en una semana. Cada bocadillo cuesta 1,70 ∑.

a) ¿Cuántos bocadillos preparan en 20 días?

b) ¿Cuánto recaudan con la venta diaria de bocadillos?

a c

b xse multiplica

se divide x b c

a= ×

3 4,5

9 xse multiplica

se divide

x = =

.... ....

...........

×

A 3 7,5 18

B 2 5 8 22

4. N

úmer

os fr

acci

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y nú

mer

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ecim

ales

51

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4


Recursos para la evaluación

En cada unidad didáctica el profesor encontrará:

— Fichas de evaluación. Dos fichas por cada unidad didáctica del libro del alumno, donde se evalúa porescrito el aprendizaje de los contenidos. Ambas fichas son de una extensión y un nivel de dificultad equi-valentes, lo que permite dividir la clase en dos grupos sobre los que efectuar la prueba.

— Fichas de evaluación de competencias básicas. Una ficha por cada unidad didáctica, que permiteevaluar las capacidades que todos los alumnos deben haber desarrollado al acabar la unidad.

Además de los recursos correspondientes a las unidades didácticas, se ofrecen Otros recursos para la eva-luación, que incluyen:

— Fichas para la evaluación inicial, con la que el profesor puede valorar el grado de conocimiento delque parte el alumnado al iniciar el curso correspondiente.

— Unos indicadores para la evaluación continua, con los que el profesor puede realizar la evaluaciónformativa a lo largo del curso.

— Una prueba final de competencias básicas, con la que el profesor/a puede valorar las capacidadesadquiridas al finalizar cada uno de los cursos.

Todas las fichas de evaluación son fotocopiables y cada una incorpora la solución a las actividades en sureverso.

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Pri

mer

tri

mes

tre

Utiliza los números naturales para expresar e interpretar situaciones cotidianas.

Representa sobre la recta números naturales.

Opera correctamente con números naturales.

Conoce la jerarquía de las operaciones y las reglas de uso de los paréntesisy corchetes en �.

Aplica estrategias de cálculo mental.

Conoce el concepto de potencia y su notación.

Aplica las reglas para operar con potencias.

Conoce el concepto de raíz cuadrada y su notación.

Determina múltiplos y divisores de un número.

Conoce las propiedades de los múltiplos y los divisores.

Maneja los criterios de divisibilidad.

Distingue los números primos de los compuestos.

Efectúa la descomposición de un número en factores primos.

Calcula el m.c.m. y el M.C.D. de dos o más números.

Resuelve problemas cotidianos en los que debe calcularse el m.c.m. o el M.C.D.

Utiliza los números enteros para expresar situaciones cotidianas.

Representa números enteros sobre la recta.

Compara y ordena números enteros.

Opera correctamente con números enteros.


Lee y escribe correctamente números fraccionarios.

Compara fracciones con la unidad correctamente.

Calcula la fracción de un número.

Identifica y calcula fracciones equivalentes.

Reconoce fracciones irreducibles.

Simplifica fracciones.

Reduce fracciones a común denominador.

Compara y ordena fracciones, decimales y porcentajes.

Expresa un número fraccionario como decimal.

Opera correctamente con números fraccionarios.

Analiza el enunciado de un problema antes de afrontar su resolución.

Expresa verbalmente el procedimiento seguido en la resolución de un problema.

Aplica el método de razonamiento inverso para resolver problemas.

Utiliza esquemas en la resolución de problemas.

Reconoce la utilidad de la calculadora y decide sobre la conveniencia de usarla o no.

Revisa sistemáticamente los resultados.

Utiliza la calculadora para facilitar cálculos de tipo numérico.

Presenta de manera clara y ordenada los trabajos.

Reconoce los beneficios del trabajo en equipo.

Valora positivamente el esfuerzo para buscar soluciones.

Valora la utilidad de los diferentes tipos de números.

Aritm

étic

a y

álge

bra

Indi

cado

res

rela

cion

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s co

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s ob

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la m

ater

ia

Nom

bre

del a

lum

no/a

Otro

s

Valoración global

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1. 1 decena = 10 unidades; 1 unidad de mil = 10 centenas; 1 decena de mil = 1 000 decenas.

2. a) Setecientos mil treinta y dos.

b) Dos millones quinientos sesenta y siete mil novecientos setenta y uno.

c) Doce millones trescientos setenta y nueve mil ochocientos treinta y cuatro.

3. 15 × 500 + 45 × 800 = 7 500 + 36 000 = 43 500.

4. Respuesta sugerida:

Divisores de 13: el 13 y el 1. Divisores de 42: el 2 y el 3.

5. a) −5; b) −2; c) 3 000; d) −10.

6. > > > > > .

7. 62 500 − 62 500 × − 62 500 × = 9 375.

8. Décimas: 4; 0; 0; 4; centésimas: 3; 4; 3; 0.

9. a) 260,78 c) 257,16

b) 443,67 d) 142,98

10. Longitud: decámetro; masa: decigramo, tonelada y quintal; capacidad: kilolitro; superficie: metro cuadrado yárea; volumen: centímetro cúbico.

11. a) Kilómetros cuadrados d) Centilitros

b) Toneladas e) Metros

c) Gramos f) Metros cúbicos

12. a) 280 000 d) 100

b) 760 e) 1 250 000

c) 0,1243 f) 0,35

120

45

16

14

12

43

32

62

Evaluación inicial (primera parte)

Solucionario�

134

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Evaluación inicial (primera parte)�

Nombre: …………………………...………....... Curso: …..……………Fecha: ………...…………

1. Completa:

1 decena = …..…...… unidades

1 unidad de mil = …..…...… centenas

1 decena de mil = …..…...… decenas

2. Escribe con letras los números siguientes.

a) 700 032 b) 256 7971 c) 12 379 834

3. En un laboratorio se envasan comprimidos en cajas pequeñas de 15 comprimidos y en cajas grandes de 45 com-primidos. Se quiere fabricar un lote de 500 cajas pequeñas y 800 cajas grandes. ¿Cuántos comprimidos son ne-cesarios?

4. Escribe dos números que sean divisores de 13 y dos números que sean divisores de 42.

5. Expresa con números enteros estos datos.

a) La temperatura es de 5 grados bajo cero.

b) El ascensor se dirige a la planta 2 del subterráneo.

c) Este pico tiene una altura de 3 000 metros.

d) El submarinista está a una profundidad de 10 m bajo el mar.

6. Ordena del más grande al más pequeño los números siguientes.

7. A un partido de fútbol asistieron 62 500 espectadores. Si eran hinchas del equipo local y eran neu-

trales, ¿cuántos espectadores apoyaban al equipo visitan-te?

8. Señala la cifra de las décimas y la de las centésimas de cada uno de los siguientes números.

2,43; 15,04; 0,03; 21,4

9. Coloca de forma adecuada y efectúa las siguientes operaciones.

a) 216,32 + 31,7 + 12,76 c) 21,43 × 12

b) 456,23 − 12,56 d) 134,23 − 3,7 + 12,45

10. Clasifica las siguientes unidades según sean de longitud, masa, capacidad, superficie o volumen.

11. Indica la unidad que creas adecuada para medir:

a) La extensión de tu país. d) La capacidad de un vaso.

b) La tara de un camión. e) La altura de tu escuela.

c) La masa de una naranja. f) El volumen de un armario.

12. Efectúa las siguientes transformaciones.

a) 28 km = ............................. dm d) 1 q = ............................. kg

b) 0,76 hl = ............................. dl e) 12,5 hg = ............................. mg

c) 124,3 dl = ............................. hl f) 35 dag = ............................. kg

120

45

12

32

14

16

43

62

; ; ; ; ;

kilolitro - metro cuadrado - decigramo - tonelada

centímetro cúbico - área - decámetro - quintal

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© grupo edebé

142

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Prueba final de competencias básicas (primera parte)

Solucionario�

1. a) Acciones compradas: 324 + 46 + 56 = 426

Acciones vendidas: 278 + 46 + 49 = 373

El grupo se quedó 426 − 373 = 53 acciones.

b) 324 × 13 + 46 × 195 + 56 × 44 = 15 646 ∑

c)

Compra: 278 × 13 + 46 × 195 + 49 × 44 =

= 14 740 ∑

Venta: 278 × 16 + 46 × 189 + 49 × 48 = 15 494 ∑

El grupo ganó 15 494 − 14 740 = 754 ∑.

2. 60 = 22 · 3 · 5

84 = 22 · 3 · 7

M.C.D. (60, 84) = 22 · 3 = 12

Las baldosas deben medir 12 dm de lado.

3. a) x = 45

La capacidad es de 45 litros.

b) El consumo por kilómetro será:

Por tanto, el consumo en 100 km será:

El consumo del coche es 5,51 l/100 km.

4. Realizamos un esquema:

Restan:

Restan: de =

Restan: de =

Hallamos la cantidad cuyos son 9.

de ............ = 9

9 : 9 = 1 ; 1 × 40 = 40

Hay 40 ponentes en total.

— Españoles: de 40 = 20 Restan: 20

— Franceses: de 20 = 5 Restan: 15

— Italianos: de 15 = 6 Restan: 9

— Alemanes: 9

5. El número de días laborables es:

30 − 10 = 20

Días con turno de noche:

20 − 20 − 20 = 4

Por tanto:

4 · 1,5 = 6

Le corresponderán 6 días.

6. Descuento: 35 × 0,14 = 4,90

Precio de la camisa: 35 − 4,90 = 30,10

Descuento: 18 × 0,30 = 5,40

Precio del disco: 18 − 5,40 = 12,60

60 − (30,10 + 12,60) = 17,30

Le quedan 17,30 ∑.

7. Edad actual: x

Edad dentro de 5 años: x + 5

Edad hace 3 años: x − 3

x + 5 = 2 · (x − 3) ⇒ x + 5 = 2x − 6

x − 2x = − 6 − 5 ⇒ −x = − 11 ⇒ x = 11

Tiene 11 años.

8. a) B (−3, 4); C (−3, −4); D (3, −4).

b) AC = = = 10

Se encuentra a 10 m.

1008 62 2+

12

35

12

25

14

12

940

940

940

38

35

38

12

34

12

100 0 0551 5 51kml

kml⋅ =, ,

150 0551

l272 km

lkm

= ,

13

15x =

25

35

34

14

12

12

Cantidad P. compra P. venta

Vitriosa 278 13 16

Metrocicle 46 195 189

BBM 49 44 48

141

© grupo edebé

Nombre: …………………………...……….................... Curso: …..…..............………… Fecha: ……....................................…...…………

1. Un grupo accionista compró 324 acciones de Vitriosa a 13 ∑ cada una, 46 acciones de Metrocicle a 195 ∑ cadauna y 56 acciones de BBM a 44 ∑ cada una. Más tarde vendió 278 acciones de Vitriosa a 16 ∑ cada una, 46 acciones de Metrocicle a 189 ∑ cada una y 49 acciones de BBM a 48 ∑ cada una. Calcula:

a) Cuántas acciones se quedó el grupo accionista.

b) El importe total de la compra de las acciones

c) Los euros que ganó (o perdió) el grupo por la venta de las acciones.

2. El suelo de una habitación mide 60 dm de ancho por 84 dm de largo. Queremos embaldosar el suelo con baldo-sas cuadradas, de manera que el número de baldosas sea exacto y éstas sean lo más grandes posible. ¿Cuálserá la medida de estas baldosas?

3. Ana se encuentra el coche sin gasolina y reposta en la estación de servicio 15 litros, con lo que el depósito se encuentra a un tercio de la capacidad. Utiliza el coche durante la semana y comprueba que puede recorrer272 km con esa gasolina.

a) ¿Cuál es la capacidad del depósito de gasolina de su coche?

b) ¿Cuánto consume el vehículo por cada 100 km?

4. En un congreso científico la mitad de los ponentes son españoles. Del resto, la cuarta parte son franceses. De losque quedan, dos quintas partes son italianos. Los nueve ponentes restantes son alemanes. ¿Cuántos ponenteshay en total? ¿Cuántos hay de cada nacionalidad?

5. Eduardo trabaja de lunes a viernes en el turno de mañana, tarde o noche. Este mesha trabajado la mitad de los días laborables en el turno de mañana y 3/5 partes delresto de días en el turno de tarde. El resto de días los ha trabajado en el turno denoches, en guardias de 12 horas.

Por cada noche trabajada la empresa le compensa con un día y medio libre el messiguiente.

¿Cuántos días libres le corresponderán?

6. Omar ha ido de compras a unos grandes almacenes. Compra una camisa de 35 ∑ que tiene un 14 % de des-cuento y un disco de 18 ∑ que tiene un descuento del 30 %. Si salió de casa con 60 ∑, ¿cuánto dinero le queda-rá después de realizar las compras?

7. ¿Qué edad tiene María si dentro de 5 años tendrá el doble de la edad que tenía hace tres años?

8. La figura muestra las distintas opciones de pase queofrece un juego de ordenador para el jugador A consus compañeros de equipo B, C o D. El centro delcampo coincide con el origen de coordenadas y cadaunidad corresponde a 1 m.

Las coordenadas del jugador A son (3, 4). B se en-cuentra a la misma distancia de la línea central delcampo que el jugador A y D a la misma distancia de subanda que el jugador A de la suya. La posición de C es simétrica de la de D respecto de la línea cen-tral del campo.

a) Señala la posición de los jugadores B, C y D.

b) Calcula la distancia a la que se encuentra el jugador C del jugador A.

3

10

17

24

4

11

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25

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2

9

16

23

30

1

8

15

22

29

B

C

A

D

Prueba final de competencias básicas (primera parte)�

Ficha de evaluación�4Ficha

Solucionario

�

1. a) No ; b) No ; c) Sí ; D) Sí.

2. 2,2 L

3. 2,5 cm ; 1250 m

— Han aprobado 12 estudiantes.

5. a) 16,65 ∑ ; b) 14,65 ∑

6. Victorias: 64,48 % ; Derrotas: 35,52 %

7. 269,5 ∑

8. Sí, porque ahora costará 709,75 ∑.

9. 32,36 ∑

10. En el segundo establecimiento, puesto que en el primero, después de aplicar el IVA , el ordenador cuesta 806,2 ∑.

11. a) La vivienda del centro costaría 412 425 ∑ y la de la periferia valdría 340 210 ∑. La diferencia de precio entre lasdos es de 72 215 ∑.

La vivienda del centro es un 21,23 % más cara que la de la periferia.

12. Los dos descuentos consecutivos son:

699 × 0,95 = 664,05 ∑

664,05 × 0,95 = 630,85 ∑

Y un solo descuento es:

699 × 0,9 = 629,10 ∑

Se ahorra más dinero con un solo descuento.

72215100 21,23%

340210× =

chicos:

15 3chicas:

10 2

25 5 25 5= =;4.

b)

58

5. P

ropo

rcio

nalid

y p

orce

ntaj

es

© grupo edebé �

Solucionario

Ficha de evaluación� 4Ficha


1. Justifica si existe o no proporcionalidad directa en cada uno de los casos siguientes:


b) El número de páginas de un libro y su precio.

c) El número de páginas de un libro y su volumen.

d) La superfície de una vivienda y su precio.

2. Compramos 2 L de leche para añadirle jarabe de grosella. La proporción indicada es de un 10 % de jarabe. ¿Quécantidad de bebida obtendremos?

3. En un plano, observamos que 6 cm representan una distancia real de 1500 m. ¿Cómo se representaría una dis-tancia real de 625 m en dicho plano?

— ¿A qué distancia real equivalen 5 cm?

4. En una clase de 1.º de ESO de 25 alumnos, hay 15 chicos y 10 chicas. ¿Qué proporción hay de chicos y chicas?

— Si el porcentaje de aprobados de la asignatura de matemáticas es del 48 %, ¿cuántos estudiantes han aprobado?

5. Cinco rotuladores cuestan 9,25 ∑.

a) ¿Cuánto nos costarán 9 rotuladores al mismo precio?

b) ¿Cuánto nos costarán si nos aplican un descuento del 12 %?

6. Un tenista ha jugado 214 partidos esta temporada y ha vencido en 138. ¿Cuál es su porcentaje de vistorias y de-rrotas de la temporada?

7. Este mes vamos a percibir 350 ∑ de intereses de un depósito bancario. Si, en concepto de impuestos nos van a re-tener un 23 % de dicha cantidad, ¿cuánto dinero recibiremos ?

8. Un artículo que costaba 835 ∑ está rebajado un 15 %. Si disponemos de 710 ∑, ¿podremos comprarlo?

9. Un producto cuesta 27,90 ∑ sin IVA. ¿Cuánto costará después de aplicarle un IVA del 16 %?

10. Un ordenador cuesta en un establecimiento 695 ∑ + 16 % de IVA y en otro cuesta 800 ∑ con el IVA incluido.¿Donde interesa comprarlo?

11 En el centro de una ciudad el precio de vivienda por metro cuadrado es de 6 345 ∑, mientras que en un barrio pe-riférico es de 5 234 ∑ por metro cuadrado.

a) ¿Cuál es la diferencia de precio entre las dos zonas para una vivienda de 65 m2?

b) ¿Qué porcentaje es más cara la vivienda del centro con respecto a la de la periferia?

12.Juan entra a comprar un televisor valorado en 699 ∑. El vendedor le ofrece un 5% de descuento. Viendo que aún nose decide, le añade otro 5% sobre el descuento anterior ya aplicado. Juan se lo piensa y le dice que se lo queda si leaplica el 10% directamente sobre el precio marcado. ¿Por qué toma Juan esta decisión?

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Ficha de evaluación de CBSolucionario

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1. a) 841,2 $ ; b) Entre los imanes y su precio no existe proporcionaliad directa. entre los llaveros y el suyo sí; c) Sí,podrá adquirirlos puesto que 9 llaveros cuestan : 11+ 7 + 2,5 = 20,5 $ y 6 llaveros : 17,5 + 3,5 = 21 $. Es decir, untotal de 41,5 $.

2. A = 1,10 ∑ / unidad ; B = 1,65 ∑ / unidad ; C = 1,43 ∑ / unidad ; D = 1,46 ∑ / unidad. Las ofertas ordenadas demenos a más ventajosa son: A - C - D - B.

3. A = 17 % ; B = 2,89 ∑ ; C = 23,99 ∑ ; D = 14 % ;E = 24 %.

4. a) 52,8 ∑ ; b) 1117,6 ∑.

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Ficha de evaluación de CB� 5Ficha

1. Alberto va a viajar a Estados Unidos. Ha ido al banco para cambiar euros por dólares. Le informan sobre el cam-bio monetario de ese día: 1 euro equivale a 1,402 dólares.

a) Si ha cambiado 600 ∑, ¿cuántos dólares ha recibido?

Antes de regresar, Alberto quiere comprar algunos recuerdos para sus amigos. Entra en un establecimiento don-de encuentra varios objetos que le pueden interesar:

• Imanes para la nevera:

1 = 2,5 $ 3 = 7 $ 5 = 11 $

• Llaveros:

1 = 3,5 $ 3 =10,5 $ 5 = 17,5 $

b) Justifica si existe proporcionalidad directa entre el núme-ro de imanes y su precio y entre el número de llaveros y elsuyo.

c) ¿Podrá adquirir 9 imanes y 6 llaveros, si dispone de 42 $para comprar los recuerdos?

Al volver del viaje le han sobrado 85 $. Vuelve al banco paracambiarlos de nuevo por euros. En ese momento el cambioes: 1 euro equivale a 1,39 dólares.

d) ¿Cúantos euros recibirá?

2. Durante una campaña de rebajas, varios establecimientos ofrecen descuentos en la venta de una botella de gelde baño, cuyo precio sin descuento es de 2,20 ∑. Las distintas ofertas son:

A = Llévate dos y paga uno C = Descuento de un 35 %

B = Llévate dos y paga uno y la mitad de otro D = Llévate tres y paga dos

Indica el precio por unidad de producto de cada una de las ofertas y ordénalas de menos a más ventajosa paraun cliente.

3. Completa la información de las siguientes ofertas:

4. La recaudación en un restaurante por 25 menús de 25 menús del día ha sido de 220 ∑.

a) ¿Cuál ha sido el importe de la cuenta de una mesa de 6 personas?

b) ¿Cuál será la recaudación semanal de menús del día si han servido 25 menús el lunes, 19 el martes, 27 elmiércoles, 41 el jueves y 15 el viernes?


7,59 AHORRO..........%

6,29 39,99 40% AHORRO

...... 3,29 12% `M S BARATO!

......

12,79 DESCUENTO..........%

10,99

21,99

AHORRO..........%

2,27

A

B

C D E

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Recursos didácticos


Números naturales y divisibilidad1. Refuerzo: Reglas de prioridad en las operaciones combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112. Refuerzo: Operaciones combinadas con corchetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133. Profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154. Ficha de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175. Ficha de evaluación de Competencias Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Números enteros1. Refuerzo: Suma y resta de números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212. Refuerzo: Multiplicación y división de números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233. Profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254. Ficha de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275. Ficha de evaluación de Competencias Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Potencias y raíces1. Refuerzo: Operaciones con potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312. Refuerzo: Potencias y raíces cuadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333. Profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354. Ficha de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375. Ficha de evaluación de Competencias Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Números fraccionarios y números decimales1. Refuerzo: Operaciones con fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412. Refuerzo: Números decimales y fracciones decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433. Profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454. Ficha de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475. Ficha de evaluación de Competencias Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Proporcionalidad y porcentajes1. Refuerzo: Proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512. Refuerzo: Porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533. Profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554. Ficha de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575. Ficha de evaluación de Competencias Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Medidas1. Refuerzo: Conversión de unidades de longitud, masa y capacidad . . . . . . . . . . . . . . . 612. Refuerzo: Factores de conversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633. Profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654. Ficha de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675. Ficha de evaluación de Competencias Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Iniciación al álgebra: ecuaciones1. Refuerzo: Operaciones con expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712. Refuerzo: Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733. Profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754. Ficha de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775. Ficha de evaluación de Competencias Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

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Rectas y ángulos1. Refuerzo: Conversión de medidas angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812. Refuerzo: Operaciones en el sistema sexagesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833. Profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854. Ficha de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875. Ficha de evaluación de Competencias Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Polígonos: perímetros y áreas1. Refuerzo: Propiedades de los polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912. Refuerzo: Áreas de cuadriláteros y triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933. Profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954. Ficha de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975. Ficha de evaluación de Competencias Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Circunferencia y círculo1. Refuerzo: Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012. Refuerzo: Longitud de la circunferencia. Círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033. Profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054. Ficha de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075. Ficha de evaluación de Competencias Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Tablas y gráficos1. Refuerzo: Construcción de una gráfica cartesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112. Refuerzo: Construcción de un diagrama de sectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133. Profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154. Ficha de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175. Ficha de evaluación de Competencias Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Estadística y probabilidad1. Refuerzo: Experimentos aleatorios y experimentos determnistas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212. Refuerzo: Frecuencia absoluta, relativa y media aritmética o promedio . . . . . . . . . . . . . 1233. Profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254. Ficha de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275. Ficha de evaluación de Competencias Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129


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Refuerzo Reglas de prioridad en las operaciones combinadas��

Recuerda que para resolver una serie de operaciones combinadas debes tener en cuenta la prioridad de las operacio-nes.

El siguiente organigrama te indica los pasos que has de seguir para resolver una serie de operaciones combinadas.

INICIO

¿Hay multiplica-ciones o divisiones dentro

de los paréntesis?¿Hay paréntesis?

Señala los sig-nos ×, : queaparezcan yefectúa estasoperaciones.

Efectúa las sumas y las restas en el orden en que aparezcan.

Efectúa las sumas y las restas delinterior de los paréntesis en el or-den en que aparezcan.

sí

sísí

no

no

no

¿Hay multiplicaciones odivisiones?

1. Aplica los pasos del organigrama anterior para cal-cular:

2 + 15 × 7 − 12 : 4 =

— ¿Hay paréntesis? ..............

— Señala las multiplicaciones y las divisiones, yefectúalas.

2 + 15 × 7 − 12 : 4

105 3

— Efectúa las sumas y las restas en el orden enque aparecen.

2 + 105 − 3 = ..............

2. Ahora, aplícalo para calcular:

15 + 3 × (9 + 12 × 2) − 18 : (6 − 3) =

— ¿Hay paréntesis? ..............

— ¿Hay multiplicaciones o divisiones dentro delos paréntesis? ..............

— Señala los signos ×, : que aparezcan en el inte-rior de los paréntesis y efectúa las operacionescorrespondientes.

15 + 3 × (9 + 12 × 2) − 18 : (6 − 3)

24

Señala los signos ×, :que aparezcan en el in-terior de los paréntesisy efectúa estas opera-ciones.

— Efectúa las sumas y las restas del interior de losparéntesis.

15 + 3 × (9 + 24) − 18 : (6 − 3)

33 3

— ¿Hay multiplicaciones o divisiones? .............

— Señala los signos ×, :, y efectúa las operacionescorrespondientes.

15 + 3 × 33 − 18 : 3

99 6

— Efectúa las sumas y las restas en el orden enque aparecen.

15 + 99 − 6 = ..............

3. Efectúa las siguientes operaciones.

a) 25 − 3 × 7 + 12 − 48 : 6 =

b) 14 × 2 + 35 − 6 × 4 − 8 =

c) 65 − (3 × 9 + 7) + 35 × 4 =

d) 31 + 5 × (2 × 5 − 4) − 63 : 9 =

UNIDAD 1

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1. — No

— 2 + 105 − 3 = 104

2. — Sí

— Sí

— Sí

— 15 + 99 − 6 = 108

3. a) 25 − 3 × 7 + 12 − 48 : 6 =

25 − 21 + 12 − 8 = 8

b) 14 × 2 + 35 − 6 × 4 − 8 =

28 + 35 − 24 − 8 = 31

c) 65 − (3 × 9 + 7) + 35 × 4 =

65 − (27 + 7) + 35 × 4 = 65 − 34 + 140 = 171

d) 31 + 5 × (2 × 5 − 4) − 63 : 9 =

31 + 5 × (10 − 4) − 63 : 9 = 31 + 5 × 6 − 63 : 9 = 31 + 30 − 7 = 54

Refuerzo1Ficha

��Solucionario


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Refuerzo Operaciones combinadas con corchetes

1. Aplica los pasos del organigrama anterior para resolver:

12 + [7 + 5 × (12 − 3)] =

— ¿Hay corchetes? ............

— Efectúa las operaciones indicadas en el interior de los paréntesis y sustituye los corchetes por paréntesis.

12 + [7 + 5 × (12 − 3)] = 12 + (7 + 5 × .........)

9

— Procede como en los casos anteriores.

12 + (7 + 5 × 9) = 12 + 7 + 45 = .........

2. Resuelve: [4 × 5 − (7 + 4)] × 2 − 16 =

— ¿Hay corchetes? ............

— Efectúa las operaciones indicadas en el interior de los paréntesis y sustituye los corchetes por paréntesis.

[4 × 5 − (7 + 4)] × 2 − 16 = (4 × 5 −........) × 2 − 16 =

— Procede como en los casos anteriores.

(........ −........) × 2 − 16 = ...... × 2 − 16 = ...... − 16 = .........

3. Resuelve las siguientes operaciones.

a) 12 − [25 − 2 × (5 + 6)] + (7 + 11) : 3 =

b) [(17 + 16) × 4] − 27 : (17 − 4 × 2) =

c) [1 + 8 × (26 − 18)] − 4 × 9 − 23 =

d) 7 × [60 : (46 − 37 + 3)] + 29 =

¿Hay corchetes?Efectúa las operacionesindicadas en el interior delos paréntesis.

Sustituye los corchetespor paréntesis.

Sitúate en el inicio del orga-nigrama anterior (ficha 1).

sí

no

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Veamos ahora cómo debemos proceder en el caso de que aparezcan corchetes.

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1. — Sí

— 12 + [7 + 5 × (12 − 3)] = 12 + (7 + 5 × 9)

— 12 + (7 + 5 × 9) = 12 + 7 + 45 = 64

2. — Sí

— [4 × 5 − (7 + 4)] × 2 − 16 = (4 × 5 −11) × 2 − 16 =

— (20 − 11) × 2 − 16 = 9 × 2 − 16 = 18 − 16 = 2

3. a) 12 − [25 − 2 × (5 + 6)] + (7 + 11) : 3 =

12 − (25 − 2 × 11) + (7 + 11) : 3 = 12 − (25 − 22) + 18 : 3 = 12 − 3 + 6 = 15

b) [(17 + 16) × 4] − 27 : (17 − 4 × 2) =

(33 × 4) − 27 : (17 − 8) = 132 − 27 : 9 = 132 − 3 = 129

c) [1 + 8 × (26 − 18)] − 4 × 9 − 23 =

(1 + 8 × 8) − 4 × 9 − 23 = (1 + 64) − 4 × 9 − 23 = 65 − 36 − 23 = 6

d) 7 × [60 : (46 − 37 + 3)] + 29 =

7 × (60 : 12) + 29 = 7 × 5 + 29 = 35 + 29 = 64

2Ficha

Refuerzo��Solucionario


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Profundización��Nombre: ........................................................................................................ Curso: ......................................... Fecha: ........................................

Un cuadrado mágico es un conjunto de números dispuestos en un cuadro de manera que la suma de sus filas, co-lumnas y diagonales es la misma.

1. Completa las celdas vacías de los cuadrados de las figuras 1, de manera que la suma de sus números (horizon-tal, vertical o diagonal) sea 9. Haz lo mismo con el cuadrado de la figura 2 para obtener 18, con el de la figura 3para obtener 12 y con el de la figura 4 para obtener 12.

— ¿Cómo es posible que los cuadrados anteriores tengan solución y éste no?

A continuación, puedes saber cómo obtener los números correspondientes a las casillas sombreadas del cua-drado de la figura 1.

2. Comprueba que en los cuadrados de las figuras 2 y 3 también se verifica esta relación. ¿Sabrías dar una explica-ción de este hecho?

Consideramos ahora un cuadrado cualquiera y representamos mediante símbolos los números:

Así, podemos expresar estas relaciones del siguiente modo.

❐ = ❍ + ▲ − ❁ ❇ = ❍ + ❁ − ▲

Si ahora sumamos los tres números de la fila central, obtenemos:

❐ + ❍ + ❇ = ❍ + ▲ − ❁ + ❍ + ❍ + ❁ − ▲ = 3 ❍

De donde deducimos que 3 veces el número central ha de ser el valor de la suma.

3. Comprueba que en los cuadrados de las figuras 1, 2 y 3 se cumple esta condición. ¿Se cumple en el cuadrado dela figura 4?

Fig. 2. Fig. 1. Fig. 3. Fig. 4.

4 2

4 1

5

4 2

3

2 1

3

2 1

3

2 1

❐ ❍ ❇

❁ ▲

−+ =

+−=

3Ficha


3Ficha

Profundización

4. Como ya sabes, sacar factor común de una suma o una resta es hallar un factor común a todos los términos. Paraencontrarlo se divide cada uno de los sumandos o sustraendos por un número que sea divisor de todos ellos.

Observa:

Vemos que todos los números son múltiplos de 2 y de 4. Por tanto, podemos sacar como factor común el 2 o el 4.

36 + 16 + 40 = 2 (18 + 8 + 20)

36 + 16 + 40 = 4 (9 + 4 + 10)

Observa que el mayor factor común que puedes sacar es el máximo común divisor de los sumandos.

— Efectúa la operación de sacar factor común en las siguientes expresiones.

a) 24 + 18 + 32 d)77 − 44 + 121

b) 36 + 39 − 72 e) 60 − 48 + 72

c) 128 + 36 − 44 f) 117 + 143 − 78

5. En el país de Cocolandia, una madre manda a su hijo a comprar 3 docenas de huevos y 3 litros de leche. Sabeque cada litro de leche cuesta 85 cocos pero no sabe cuánto cuesta cada docena de huevos. Da a su hijo un bi-llete de 1 000 cocos. El niño le devuelve 300 cocos y ésta le dice que hay un error en la cuenta.

— ¿Cómo puede saberlo si desconoce el precio de la docena de huevos?

El niño reconoce que se ha gastado una pequeña cantidad de dinero en chucherías y desafía a su madre a adivi-nar cuánto ha gastado.

La madre le pide alguna pista y el niño le dice que el precio de la docena de huevos está comprendido entre 125 y 135 cocos y es un múltiplo de 11.

— ¿Cuánto ha gastado el niño en chucherías?

6. Decimos que un cuadrado es mágico si la suma de los números de cada fila, la suma de los números de cada co-lumna y la suma de los números de las dos diagonales es igual, y este número se llama número mágico. Sustitu-ye las letras por el valor numérico que le corresponda para que el siguiente cuadrado sea mágico y calcula el nú-mero mágico.

A = El menor número múltiplo de 3 mayor que 6.

4 = M.C.D. (B, 4).

C = Mínimo común múltiplo de dos número primos entre sí.

D = M.C.D. (14, 21).

E = Número primo menor que 20 pero que la suma de sus ci-fras sea 10.

F = M.C.D. (36, 24, 60).

G = Sus únicos divisores primos son el 2 y el 3, y tiene 4 divi-sores.

H = Número primo de dos cifras.

I = Número primo anterior a E.

J = Número primo comprendido entre 19 y 29.

36 16 40

36 2 2 3 3 4 9

16 2 2 2 2 4 9

40 2 2

+ += × × × = ×= × × × = ×= × × 22 5 4 2 5× = × ×

⎧⎨⎪

⎩⎪

3 16 A 22 15

B 8 C 14 2

D 25 13 1 E

24 F 5 18 G

H 4 I 10 J

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Ficha de evaluación�Nombre: ........................................................................................................ Curso: ......................................... Fecha: ........................................

1. Calcula:

a) 2 × 3 + 5 d) (4 + 7) × 5 g) 4 × 3 + 5 − 8 : 2

b) 6 + 8 : 4 e) (1 + 3) × 1 − 2 h) [7 × (3 − 1) + 4] − 6 × 2

c) 2 × 3 + 5 × 6 f) (2 + 3) × (2 + 3) i) 12 : 4 + 3 × 2 − (5 − 1)

2. Un vendedor de embutidos compró 600 jamones a 200 euros la unidad. Vendió 400 unidades a 290 euroscada una. Para liquidar el mismo día toda la mercancía, bajó los precios y vendió 150 unidades a 250 euroscada una. Si un restaurante le compró los que le quedaban a 230 euros la unidad, calcula:

a) La cantidad de jamones que se quedó el restaurante.

b) Los euros que pagó el vendedor por los 600 jamones.

c) Los euros que ganó el vendedor por la venta de los 600 jamones.

3. Escribe cinco múltiplos de 6 que tengan tres cifras.

4. Escribe tres divisores de 80 que sean múltiplos de 5.

5. a) Enuncia los criterios de divisibilidad por 5, por 9 y por 11.

b) Completa el siguiente enunciado y escribe un ejemplo.

En todo múltiplo de 11 inferior a 100, si una cifra es a la otra será .......

6. Clasifica los siguientes números en primos y en compuestos.

7. Efectúa la descomposición en factores primos del número 360.

8. Escribe todos los divisores de 60.

9. Calcula:

a) M.C.D. (120, 72, 48)

b) m.c.m. (120, 72, 48)

10. Calcula b sabiendo que:

• M.C.D. (a, b) = 32 × 7

• m.c.m. (a, b) = 2 × 33 × 7 × 32

• a = 2 × 32 × 7

11. Una cartulina mide 30 cm de largo y 42 cm de ancho. Queremos cuadricularla de manera que el número decuadros de la cuadrícula sea exacto.

a) ¿Cuáles pueden ser las medidas del lado de los cuadrados?

b) ¿Cuánto puede medir como máximo el lado de estos cuadrados?

12. Dos norias, situadas una al lado de la otra, dan una vuelta en 6 y 8 minutos, respectivamente. Ana y Juan coin-ciden, en un momento determinado, en el punto más alto. ¿Al cabo de cuánto tiempo volverán a coincidir?

13 - 20 - 49 - 67 - 79 - 123 - 143

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Ficha de evaluaciónSolucionario

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1. a) 11; b) 8; c) 36; d) 55; e) 2; f) 25; g) 13; h) 6; i) 5.

2. a) 600 − 400 − 150 = 50

El restaurante compró 50 jamones.

b) 600 × 200 = 120 000

Pagó 12 000 euros.

c) 400 × 290 + 150 × 250 + 50 × 230 − 120 000 = 45 000

Por la venta de las 600 jamones, el vendedor ganó 45 000 euros.

3. Respuesta sugerida: 120, 180, 366, 600 y 666.

4. Respuesta sugerida: 10, 20 y 40.

5. a) Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5. Un número es divisible por 9 cuando la suma de suscifras es múltiplo de 9. Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocu-pan lugar par y las que ocupan lugar impar es 0 o múltiplo de 11.

b) a; un múltiplo de 11 inferior a 100 puede ser: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 ó 99.

6. Primos: 13, 67, 79; compuestos: 20, 49, 123 y 143.

7. 360 = 23 × 32 × 5

8. D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

9. a) 24; b) 720.

10. b = 7 × 33 × 32 = 7 392

11. a) 2 cm, 3 cm y 6 cm; b) 6 cm.

12. m.c.m. (6, 8) = 24. Así, volverán a coincidir al cabo de 24 minutos.

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Ficha de evaluación de CB

1. El metro de una determinada ciudad ofrece las siguientes opciones para la adquisición de billetes:

— Billete S (1 viaje): 2 ∑

— Billete T (10 viajes): 15 ∑

— Abono M (mensual ilimitado): 50 ∑

— Abono A (anual ilimitado): 550 ∑

Indica en los siguientes casos cuál es la compra más interesante para un usuario si realiza:

a) 7 viajes anuales.

b) 7 viajes mensuales.

c) 40 viajes mensuales.

d) 40 viajes mensuales entre enero y junio.

2. Una piscina municipal tiene 868 abonados para los cursillos de natación. Teniendo en cuenta que los grupos de-ben ser de entre 14 y 35 personas y que todos los grupos deben tener el mismo número de nadadores, señala lasdistintas posibilidades que se tiene de formar los grupos.

3. Un método para estudiar idiomas se basa en aprender un vocabulario básico de 1 000 palabras. Se comienzael primer día aprendiendo 20 palabras, el segundo día 25, el tercero 30 y así sucesivamente. ¿Cuánto tiempodura el curso?

4. Un coleccionista de sellos tiene 294 y un álbum en el cual caben 24 sellos en cada hoja. ¿Cuántas hojas necesi-ta para guardar su colección?

— En caso de que quede alguna hoja incompleta, ¿cuántos sellos tendrá?

5. El día 1 de junio coincidieron tres cruceros en el puerto de una ciudad. El primero, recorre su ruta en 12 días; elsegundo en 18 días y el tercero en 15 días.

a) ¿Cuál será el primer día en que el primer y el segundo crucero volverán a coincidir en el puerto?

b) ¿Cuál será el primer día en que coincidirán los tres cruceros?

c) En 1 año, ¿cuántas veces coincidirán los tres cruceros en el puerto?


� 5Ficha


1. a) S: 7 · 2 = 14 ∑; T: 15 ∑ ; M: 50 ∑; A: 550 ∑.

7 billetes S.

b) 7 · 12 = 84 viajes en un año.

S: 84 · 2 = 168 ∑; M: 600 ∑; A: 550 ∑.

8 T + 4 S = 8 · 15 + 4 · 2 = 128

8 billetes T y 4 billetes S.

c) 40 · 12 = 480 viajes en un año.

S: 480 · 2 = 960 ∑; M: 600 ∑; A: 550 ∑.

48 T = 48 · 15 = 720

Abono A.

d) 40 · 6 = 240 viajes en el período.

S: 240 · 2 = 480 ∑; M: 300 ∑; A: 550 ∑.

24 T = 24 · 15 = 360

Abono M.

2. 868 = 22 · 7 · 31

Las posibilidades son: 62 grupos de 14 personas, 28 grupos de 31 personas o 31 grupos de 28 personas.

3.

El curso dura 17 días.

4. 294 24054 12006

Necesita 13 hojas. Una de ellas quedará incompleta y contendrá 6 sellos.

5. a) m.c.m (12, 18 ) = 22 × 32 = 36

El primer y el segundo crucero coincidirán al cabo de 36 días, es decir el 6 de julio.

b) m.c.m. (12, 15 y 18) = 22 × 32 × 5 = 180

Los tres coincidirán en 180 días, es decir el día 27 de noviembre.

c) 365 180005 2

0

En un año coincidirán 2 veces.

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Día 1 2 3 16 17

Palabras del día 20 25 30 95 100

Palabras totales 20 45 75 920 1020

...

5Ficha

� Ficha de evaluación de CBSolucionario


Refuerzo Suma y resta de números enteros��UNIDAD 2

Veamos cómo se efectúa la suma de números enteros. Observa cómo procedemos para resolver la siguiente suma.

(+25) + (−12) + (−5) + (+13)

— Sumamos los términos positivos: 25 + 13 = 38

— Sumamos los términos negativos: 12 + 5 = 17

— Hallamos la diferencia entre las sumas anteriores: 38 − 17 = 21

— A este último resultado le colocamos delante el signo de la suma mayor, en este caso +.

(+25) + (−12) + (−5) + (+13) = +21

1. Sigue los pasos anteriores para calcular las siguientes sumas.

a) (−34) + (+28) + (+14) + (−23)

b) (+18) + (+83) + (−42) + (−15) + (+21)

c) (−27) + (+45) + (−12) + (−24)

Veamos cómo se efectúa la resta de números enteros. Observa cómo procedemos para resolver la siguiente resta,y recuerda para ello que restar un número entero es equivalente a sumar su opuesto.

(−12) − (−5) = (−12) + (+5) = −7

Si aparecen combinadas sumas y restas, transformamos previamente las restas en sumas. Observa:

Opuesto

(+5) + (−7) − (+23) + (−12) = (+5) + (−7) + (−23) + (−12) =

= (+5) + (−42) = −37

2. Efectúa las siguientes operaciones.

a) (+34) − (−13) + (−8) − (−21)

b) (−36) + (−42) − (−56) + (+29)

c) (+67) − (−12) + (−25) + (+14)

d) (−16) + (−21) − (−43) + (−61)

e) (−24) − (+38) + (−61) + (+15) − (−128) + (−192)


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�

�

�

Opuesto

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1. a) −15; b) +65; c) −18.

2. a) +60; b) +7; c) +68; d) −55; e) −172.

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Veamos cómo se efectúa el producto de números enteros. Para ello deberás recordar la regla de los signos para lamultiplicación.

Observa cómo procedemos para resolver el siguiente producto: (+25) × (−3)

— Multiplicamos los números prescindiendo del signo: 25 × 3 = 75

— Multiplicamos los signos según la regla de los signos para la multiplicación: (+) × (−) = (−)

(+25) × (−3) = −75

1. Sigue los pasos anteriores para calcular los siguientes productos.

a) (+34) × (−6) c) (−15) × (−9) e) (+25) × (−4)

b) (−4) × (+36) d) (+54) × (+12) f) (−32) × (+3)

Veamos cómo se efectúa la división de números enteros. Para ello recuerda que debemos considerar la regla de lossignos para la división.

Observa cómo procedemos para resolver la siguiente división: (−48) : (+4)

— Dividimos los números prescindiendo del signo: 48 : 4 = 12

— Dividimos los signos según la regla de los signos para la división: (−) : (+) = (−)

(−48) : (+4) = −12

2. Sigue los pasos anteriores para calcular las siguientes divisiones.

a) (+36) : (−6) c) (−18) : (−9) e) (+24) : (−4)

b) (−36) : (+4) d) (+54) : (+2) f) (−33) : (+3)


Multiplicación y división de números enteros

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+ +

+

–

–

––

++

:

+ +

+

–

–

––

+

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Refuerzo��


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1. a) −204; b) −144; c) +135; d) +648; e) −100; f) −96.

2. a) −6; b) −9; c) +2; d) +27; e) −6; f) −11.

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1. Indica qué valores enteros puede tener a en cada uno de los siguientes casos.

a) ⏐a⏐ + ⏐a⏐ = 12

b) 2 × ⏐a⏐ = 12

c) ⏐a⏐ : 5 = 10

2. Indica qué valores enteros pueden tener a y b en cada uno de los siguientes casos.

a) ⏐a ⏐ + ⏐b ⏐ = 2

b) ⏐a ⏐ × ⏐b ⏐ = 4

3. Calcula el valor de a en cada uno de los siguientes casos.

a) (+2) + (−5) = a + (+3)

b) (+5) + a = (−3) − (−2)

c) (+2) + a + (−4) = 0

4. Calcula los siguientes números.

a) El número cuyo doble de su opuesto es 6.

b) El número que multiplicado por su opuesto es −36.

c) El número que dividido por −5 es −10.

5. Escribe los números:

a) De dos en dos desde −11 a 8.

b) De tres en tres desde −26 a 17.

c) De siete en siete desde −18 a 46.

6. Añade cinco términos a cada una de las siguientes series numéricas.

a) +2, +5, +8, +11...

b) −13, −17, −21 −25...

7. Escribe los números que faltan en los círculos y en las flechas de los siguientes diagramas.


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9

3

–6

4 (–2)

(–3)

–2 3

(–9)

2 (–6)

5

30

(–6)

(–2)

3Ficha

Profundización��


3Ficha

8. Cada letra tiene un valor numérico que es el resultado de la operación que se encuentra en su parte inferior. Así,a la letra A le corresponde el valor −6, que es el resultado de −2 + (−2) + 2 − 4.

Halla el valor de cada letra y responde a la pregunta oculta:

¿ —— —— —— —— —— —— —— —— —— —— —— —— —— —— —— —— —— (−9) (−4) (−13) (−30) (−4) (144) (−13) (18) (2) (−13)(−30) (4) (−13) (18) (2) (−13)(−15)

—— —— —— —— —— —— —— —— —— —— —— —— —— —— ——?(−10) (−3) (−4) (−6) (−84) (−6) (−15) (−4) (2) (−1) (−4) (−13) (−15) (4) (2)

A B C D

−2 + (−2) + 2 − 4 −5 − (−4) + 8 (1) + (−2) − (1) 36 − [5 − (−6)]

E F G H

−2 − 7 − [3 − (−1)] 5 − [8 + (−6) − (9)] − [−(2 − 7) − (3 + (−1))] 3 − [2 − (−5) + 6] + 3

I J K L

−2 × 5 −6 × (−8) −9 × (−3) × 2 −4 × (−7) × (−3)

M N Ñ O

−12 × 3 × (−4) −300 : 10 −56 : (−4) −12 : (−3) : 2

P Q R S

−10 : (−5) : (−2) ⏐(−27)⏐ : (−3) −⏐(−1)⏐ × (−3) × ⏐6⏐ ⏐(−75)⏐ : (−5)

T U V X

⏐(−28)⏐ : ⏐(− 7)⏐ ⏐(−32)⏐ : ⏐(−4)⏐ : (−⏐(− 2)⏐) M.C.D. (3, 9) × (−8) m.c.m. (5, 15) × (−4)

Y Z

El número mayor de 13 y 14 El número menor de −2, 3, −5 y 0

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1. Escribe, mediante números enteros, cada una de las siguientes situaciones y a continuación halla el valor abso-luto del número entero obtenido.

2. Indica el valor de los números representados por A, B,C y D para cada uno de los siguientes casos.

a) A = 0 b) B = 0 c) C = 0 d) D = 0

3. Resuelve los apartados siguientes:

a) Escribe todos los números enteros comprendidos entre −3 y 4.

b) Escribe cinco números enteros mayores que −4.

c) Ordena de menor a mayor los siguientes números enteros: +3, −50, −3, +20, 0.

d) Completa:

El mayor de dos números enteros positivos es el que tiene .................. valor absoluto. El mayor de dos númerosenteros negativos es el que tiene .................. valor absoluto.

4. Resuelve las siguientes operaciones. Suprime previamente los paréntesis innecesarios.

a) (−3) + (−4) c) (−3) + (+4) e) (−5) − (−10)

b) (−13) − (+4) d) (−3) + [(+3 − (−2)) + (−4)] − (−4) f) (−3) + [−5 + 3 − (−3 + 4)] + (−3)

5. Efectúa las siguientes operaciones. Suprime previamente los paréntesis innecesarios.

a) (−3) × (−2) × (−10) b) (−1) × (+14) × (−5) c) (−25) : (−5) d) (−60) : (+15)

6. Si un submarino se encuentra a una profundidad de 215 m bajo el nivel del mar y desciende hasta una profundi-dad de 465 m por debajo del nivel del mar, ¿cuántos metros ha descendido?


Número entero Valor absoluto

La temperatura es de 5 °C bajo cero.

Hace 10 años.

He subido 2 pisos.

He ganado 6 ∑.

3 m por debajo del nivel del mar.

A B C D

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Ficha de evaluación�


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1.

2. a) A = 0, B = 6, C = 13 y D = 18

b) A = −6, B = 0, C = 7 y D = 12

c) A = −13, B = −7, C = 0 y D = 5

d) A = −18, B = −12, C = −5 y D = 0

3. a) −2, −1, 0, 1, 2 y 3

b) Respuesta sugerida: −3, −2, −1, 0 y 1

c) −50 < −3 < 0 < +3 < +20

d) mayor; menor.

4. a) (−3) + (−4) = −3 − 4 = −7

b) (−13) − (+4) = −13 − 4 = −17

c) (−3) + (+4) = −3 + 4 = 1

d) (−3) + [(+ 3 − (−2)) + (−4)] − (−4) = −3 + (3 + 2 − 4) + 4 = 2

e) (−5) − (−10) = −5 + 10 = 5

f) (−3) + [−5 + 3 − (−3 + 4)] + (−3) = −3 + (−5 + 3 + 3 − 4) − 3 = −9

5. a) (−3) × (−2) × (−10) = −3 × (−2) × (−10) = −60

b) (−1) × (+14) × (−5) = −1 × 14 × (−5) = 70

c) (−25) : (−5) = −25 : (−5) = 5

d) (−60) : (+15) = −60 : 15 = −4

6. −215 − (−465) = 250. Por tanto, el submarino ha descendido 250 m.

�

Número entero Valor absoluto

La temperatura es de 5 °C bajo cero. −5 5

Hace 10 años. −10 10

He subido 2 pisos. +2 2

He ganado 6 ∑. +6 6

3 m por debajo del nivel del mar. −3 3

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1. Las estadísticas de puntos a favor y puntos en contra de dos equipos de baloncesto en las primeras jornadas deliga es la siguiente:

EQUIPO 1Puntos a favor

Puntos en contra

Jornada 1 62 58

Jornada 2 84 72

Jornada 3 70 90

Jornada 4 95 86

Jornada 5 102 96

Jornada 6 68 81

EQUIPO 2Puntos a favor

Puntos en contra

Jornada 1 58 62

Jornada 2 96 89

Jornada 3 62 75

Jornada 4 71 77

Jornada 5 88 80

Jornada 6 91 .......

a) ¿Cuál es la diferencia entre los puntos a favor y los puntos en contra de cada equipo en cada una de las 5primeras jornadas de liga?

b) En el global de las 5 primeras jornadas ¿cuál de los dos equipos tiene mayor diferencia entre los puntos a fa-vor y los puntos en contra?

c) Sabemos que al final de la jornada 6 la diferencia global entre los puntos a favor y en contra de ambos equi-pos es la misma. ¿El equipo 2, ganó o perdió? ¿Cuál fue el resultado?

2. a) Pitágoras fue un filósofo y matemático griego que nació el 582 a.C y murió en el 507 a. C

— ¿Cuántos años vivió? ¿En que año se conmemorarán los 2600 años de su nacimiento ?

b) 220 años después de la muerte de Pitágoras nació Arquímedes, otro importante matemático griego que murióa la edad de 75 años.

— ¿En que año nació?¿en que año murió? ¿En el 2013 que efeméride se celebrará respecto de su nacimien-to?

3. La evolución de la temperatura en una estación meteorológica a lo largo de 24 horas es la siguiente:

— A las 8h de la mañana el termómetro marca una temperatura de −6ºC.

— A las 12h, la temperatura ha subido 5 ºC y a las 16h, ha subido 7 ºC más.

— A las 20h, la temperatura baja 3ºC y de 20h a las 00h la temperatura baja a razón de 1ºC por hora.

— A las 4h de la mañana la temperatura es el doble de baja que el día anterior a las 8h.

— A las 8h del día siguiente, la temperatura ha subido 3 grados respecto las 4h de la mañana.

a) Halla la temperatura que marcaba el termómetro a las 12h, a las 16h y a las 20 h.

b) ¿Cuántos grados bajó la temperatura de las 20 h a 00 h? ¿Qué temperatura marcaba el termómetro a estahora?

c) ¿A qué temperatura estaban a las 4h de la mañana? ¿Cuánto ha bajado la temperatura desde las 20h de la tar-de?

d) ¿Qué temperatura marca el termómetro a las 8h de la mañana del día siguiente?

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Ficha de evaluación de CB�


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1. a) J1 J2 J3 J4 J5

Equipo 1: +4, +12, −20, +9, +6

Equipo 2: −4, +7, −13, −6, +8

b) Equipo 1: +4 + 12 + (−20) + 9 + 6 = +11

Equipo 2: −4 + 7 + (−13) + (−6) + 8 = −8

Tiene mayor diferencia el Equipo 1.

c) Equipo 1: +11 + (−13) = −2

Equipo 2: − 8 + .... = −2; − 8 + 6 = −2

El equipo 2 ganó por 6 puntos de diferencia.

El resultado fue:

2. a) −507 − (− 582) = 75

−582 + 2600 = 2018

Pitágoras vivió 75 años y en el 2018 se conmemorarán los 2600 años de su nacimiento.

b) −507 + 220 = −287

−287 + 75 = −212

2013 − (−287) = 2300

Arquímedes nació en el 287 a.C. y murió en el 212 a.C. En el 2013 se conmemorarán los 2300 años de su na-cimiento.

3. a) 12h : −6ºC + 5ºC = 1ºC; 16h: 1ºC + 7ºC = 8ºC; 20h: 8ºC + (−3ºC) = 5 ºC.

b) 4horas x (−1ºC/hora) = −4ºC; 00h: 5ºC + (−4ºC) = 1ºC.

c) 4h: 2 x (−6ºC) = −12ºC; −12ºC − (+5ºC) = −17ºC.

De las 20h a las 4h la temperatura bajó 17ºC.

d) 8h: −17ºC + 3ºC = −15ºC.

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Equipo 2Puntos a favor

Puntosen contra

Jornada 6 91 85

5Ficha



1Ficha

Refuerzo��UNIDAD 3

1. Efectúa las siguientes multiplicaciones:

a) 43 × 45 = 4(..... + .....) = 4..... e) 93 × 94 × 92 = 9(..... + .....+ .....) =

b) (−2)6 × (−2)5 = (−2)(..... + .....) = (−2)..... f) (−8)6 × (−8)5 × (−8)5= (−8)(..... + .....+ .....) =

c) (−7)3 × (−7)4 = (−7)(..... + .....) = g) 156 × 155 × 154 = 15(..... + .....+ .....) =

d) 56 × 58 = 5(..... + .....) = 5..... = h) (−3)4 × (−3)5 × (−3)3= (−3)(..... + .....+ .....) =

2. Efectúa las siguientes divisiones:

a) 56 : 53 = 5(..... − .....) = 5..... e) (−4)9 : (−4)3 : (−4)2= (−4)(..... − .....− .....) =

b) (−3)8 : (−3)6 = (−3)(..... − .....) = (−3)..... f) 38 : 35 : 3 = 3(..... − ....− ......) =

c) 86 : 85 = 8(..... − .....) = g) 19 : 14 : 12= 3(..... − .....− .....) =

d) (−9)7 : (−9)2 = (−9)(..... − .....) = h) (−7)12 : (−7)7 : (−7)4= (−7)(..... − .....− .....) =

3. Efectúa las siguientes operaciones:

a) (53)2 = 5(..... × .....) = 5..... e) ((−7)2)4 = (−7)(..... × .....) = .

b) ((−2)4)3 = (−2)(..... × .....) = (−2)..... f) (93)5 = 9(..... × .....) =

c) (17)4 = 1(..... × .....) = g) (148)6 = 14(..... × .....) =

d) ((−3)3)3 = (−3)(..... × .....) = h) ((−4)4)9 = (−4)(..... × .....) =


Recuerda cómo se efectúa la mul-tiplicación de potencias de la mis-ma base.

43 � 44 � 45 = 4(3 + 4 + 5) = 412

�

Se escribe la misma base.

�

Se suman los exponentes.

Recuerda, ahora, cómo se efectúa ladivisión de potencias de la mismabase.

65 � 63 = 6(5 − 3) = 62

(32)4 = 3(2 × 4) = 38

�


�

Se restan los exponentes.

Recuerda cómo se eleva unapotencia a otra potencia.

�


�

Se multiplican losexponentes.

31

© grupo edebé �

Operaciones con potencias

3. P

oten

cias

y ra

íces


1Ficha


1. a) 48 b) (−2)11 c) (−7)7 d) 514 e) 99 f) (−8)16 g) 1515 h) (−3)12

2. a) 53 b) (−3)2 c) 8 d) (−9)5 e) (−4)4 f) 32 g) 13 h) −7

3. a) 56 b) (−2)12 c) 128 d) (−3)9 e) (−7)8 f) 915 g) 1448 h) (−4)36

32

© grupo edebé �

3. P

oten

cias

y ra

íces


2Ficha

Refuerzo Potencias y raíces cuadradas��


1.Efectúa la descomposición polinómica de los números siguientes:

a) 8 315

b) 432 544

c) 14 327

d) 45 835

2.Escribe los siguientes números como potencias de 10:

a) 1 000 000

b) 10 000 000 000 000

c) 1000 000 000 000 000

3.Escribe como un número natural por una potencia de 10 los siguientes números:

a) 40 000

b) 870 000 000 000

c) 500 000 000

4.Calcula las siguientes potencias utilizando la calculadora:

a) (−245)9

b) 54323

c) 497

d) (−9)14

5.Expresa el resultado de las siguientes operaciones en forma de una única potencia:

a) 32 × 33 c) (5 + 2) 4 e) 66 × 63 : 62

b) 79 : 74 d) (93)3 f) (43 × 44)2

6.Calcula:

a) (−7) 6

b) −74

c) −23 × (−2)4

7.Calcula las siguientes raíces cuadradas:

a c

b d

) )

) )

169 256

225 900

33

© grupo edebé

�

3. P

oten

cias

y ra

íces


34

© grupo edebé �

1. a) 8 315 = 8 × 103 + 3 × 102 + 1 × 10 + 5

b) 432 544 = 4 × 105 + 3 × 104 + 2 × 103 + 5 × 102 + 4 × 10 + 4

c) 14 327 = 1 × 104 + 4 × 103 + 3 × 102 +2 × 10 + 7

d) 45 835 = 4 × 104 + 5 × 103 + 8 × 102 + 3 × 10 + 5

2. a) 106 b) 1013 c) 1015

3. a) 4 × 104 b) 87 × 1010 c) 5 × 108

4. a) −3,180 495 308 × 1021

b) 1,602 799 816 × 1011

c) 6,782 230 729 × 1011

d) 2,287 679 245 × 1013

5. a) 35 b) 75 c) 74 d) 99 e) 67 f) 414

6. a) 117 649 b)−2 401 c) −128

7. a) ±13 b) ±15 c) ±16 d) ±30

3. P

oten

cias

y ra

íces

2Ficha



1. La siguiente tabla muestra, en número de habitantes, la evolución de la población de las 10 ciudades más po-bladas del mundo.

— Expresa como un número natural por una potencia de 10 el número de habitantes de las 4 ciudades más pobla-das de cada uno de los años indicados en la tabla.

2. Determina el valor de a en cada caso:

a) 7a = 49 d) (−3)a = −243

b) 5a = 625 e) (−2)a = 64

c) 9a = 729 f) (−13)a = 169

3. Reduce a una sola potencia:

a) a2 × a3 × a4 d) (a5)3

b) a7 : a3 e) (a9 : a5) × a7

c) (a6 × a4) : a3 f) (−a2)4

4. Determina el valor de a en cada caso:

5. Calcula, por tanteo, el valor de la raíz entera:

6. ¿Cuáles de los siguientes números son cuadrados perfectos? Justifica tu respuesta.

a) 2025 c) 4225

b) 3650 d) 7056

a) d)

b) e)

c) f)

30 125

50 240

70 410

a) d)

b) e)

c) f)

a a

a a

a

= =

= =

= =

8 196

16 289

25 324 aa

35

© grupo edebé


�

Ciudad 1955 2005 2015 (estimado)

Tokio 13.710.000 35.200.000 35.500.000

Bombay 3.520.000 18.200.000 21.900.000

Ciudad de México 3.800.000 19.400.000 21.600.000

Sao Paulo 3.030.000 18.300.000 20.500.000

Nueva York 13.220.000 18.500.000 19.900.000

Shangai 6.865.000 14.500.000 17.200.000

Calcuta 4.945.000 14.300.000 17.000.000

Yakarta 1.970.000 13.200.000 16.800.000

Dacca 540.000 12.400.000 16.800.000

Karachi 1.380.000 11.600.000 15.200.000

3. P

oten

cias

y ra

íces

3Ficha



3Ficha


a) 75 − 33 − 26 + 120

b) 84 − 51 − 113

c) 93 + 37 − 25 + 26

d) 34 − 15 + 80 − 132

8. Disponemos de 2070 fichas del mismo tamaño y forma y las queremos colocar formando el mayor cuadrado po-sible. ¿Cuántas fichas colocaremos en cada lado? ¿Cuántas nos quedarán sin colocar?

9. Una parcela cuadrada tiene 1600 m2 de superficie ¿Cuántos metros de valla metálica se necesitan para cercar-la?

10. Un tablero cuadrado, A, tiene una superficie de 900 m2. Cortamos dos nuevos tableros, B y C: el lado del table-ro B es la mitad del lado del tablero A y el lado del tablero C es a mitad del lado del tablero B. Calcula las super-ficies de los tableros B y C. ¿Se han reducido también a la mitad?

11. Veinte cajas de galletas contienen 20 estuches cada una. Cada estuche contiene 20 galletas y cada galleta pesa20 g. ¿Cuántos kilogramos de galletas hay en las 20 cajas?

12. Marta escribe un sms y, pasados 2 min, lo envía a 4 amigos, para que cada uno de éstos lo envíe, a su vez , aotros 4 amigos. Cada vez que el sms pasa de una persona a otra transcurren 2 min. ¿Cuántas personas recibi-rán el sms 30 min después de que Marta enviara el primero?

36

© grupo edebé �

3. P

oten

cias

y ra

íces



�37

© grupo edebé


1. Expresa el resultado de las siguientes operaciones en forma de potencia:

a) 44 × 43 c) (5 × 3)3 e) 24 × 26 : 24

b) 56 : 54 d) (65)2 f) (73 × 74) 2

2. Resuelve las siguientes operaciones:

a) (−3)4 c) −54

b) (−8)4 × (−8)2 d) ((−7) + 5)3

3. Expresa estos números como un número natural por una potencia de 10:

a) 9 000 000

b) 5 430 000 000 000

c) 27000 000 000 000

4. Descompon cada uno de los siguientes números en un producto de dos potencias:

a) 414

b) 312

c) (−7)9

5. Expresa en forma de potencia la siguiente situación: El número de baldosas cuadradas que se necesitan para em-baldosar una habitación cuadrada, si caben doce por cada lado.

6. Calcula las siguientes raíces cuadradas:

7. Indica el valor de las raíces cuadradas enteras de los siguientes números:

a) 250

b) 650

c) 950

8. Descompon en factores primos los siguientes números:

a) 196 b) 130 c) 2025

A partir de las descomposiciones efectuadas:

— Indica cuáles de estos números son cuadrados perfectos y cuáles no.

— Deduce el valor de la raíz cuadrada exacta o entera de cada uno de ellos.

a c

b d

) )

) )

625 729

1156 3600

3. P

oten

cias

y ra

íces

4Ficha



38

© grupo edebé �

1. a) 47; b) 52; c) 153; d) 610; e) 26; f) 714.

2. a) 81; b) 262 144; c) −625; d) −8

3. a) 9 × 106; b) 543 × 1010; c) 27 × 1012


a) 49 × 45; b) 34 × 38; c) (−7)5 × (−7)4

5. 122

6. a) ±25; b) ±34; c) ±27; d) ±60

7. a) 15; b) 25; c) 30

8. a) 196 = 22 × 72. Es un cuadrado perfecto y su raíz cuadrada exacta es ±14.

b) 130 = 2 × 5 × 13. No es un cuadrado perfecto y su raíz cuadrada entera es 11.

c) 2 025 = 52 × 92. Es un cuadrado perfecto y su raíz cuadrada exacta es ±45.

3. P

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cias

y ra

íces

4Ficha


�


�39

© grupo edebé

1. Queremos cubrir el suelo de la cocina y la galería con baldosas cuadradas.

Las medidas de la cocina y la galería son las siguientes:

En la tienda, tienen 2 tipos de baldosas cuadradas:

Baldosa tipo 1: Baldosa cuadrada de 30 cm de lado. Precio: 0,6 ∑ la baldosa,

Baldosa tipo 2: Baldosa cuadrada de longitud doble a la tipo 1. Precio: 2 ∑ la baldosa.

a) ¿Cuántas baldosas del tipo1 necesitamos para cubrir el suelo de la cocina y la galería?

b) ¿Cuántas baldosas de tipo 2 necesitamos para cubrir el suelo de la cocina y la galería?

c) ¿Qué nos sale más económico, cubrir el suelo con las baldosas del tipo 1 o del tipo 2?

Con el dinero que hemos ahorrado, hemos comprado placas de corcho de 40 cm de lado, para cubrir el suelode otra habitación cuadrada.

d) Si en total hemos necesitado 225 piezas para cubrir todo el suelo, ¿qué medidas tiene la habitación?

2. Escribe como producto de un número natural por una potencia de 10 los siguientes datos aproximados referidosal sistema solar:

a) La Tierra tiene una población total de 6000 millones de habitantes.

b) La distancia de Marte al Sol es de 228 000 000 de kilómetros.

c) Júpiter tiene un diámetro de 140 000 km.

d) Mercurio tiene una masa de 3 302 000 000 000 000 000 000 000 kg

e) La temperatura del núcleo solar es de 13,6 millones de ºC.

3. Aplica las propiedades de las potencias para expresar como una potencia única cada una de las expresiones si-guientes.

a) 52 × 57 b) 1110 : 117 c) 23 × 33 d) (73)2 e) 34 × (35)2 : 311 f) (210 : 44)3

4. Un campesino quiere plantar 260 lechugas en filas de modo que llenen completamente un campo de área cua-drada sin que quede ninguna fila a medio completar.

a) ¿Puede plantarlas todas?¿Cuántas filas puede plantar?

b) ¿Cuántas lechugas le sobran?

c) ¿Cuántas lechugas le faltan para poder plantar una fila más?


3 m

COCINA6 m

3 mGALERÍA

6 m

3. P

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íces

5Ficha



40

© grupo edebé

Ficha de evaluación de CB

1. a) Cocina: 6 : 0,3 = 20; 202 = 400

Galería: 3 : 0,3 = 10; 102 = 100

Total de baldosas: 400 + 100 = 500

Necesitamos 500 baldosas del tipo 1.

b) Cocina: 6 : 0,6 = 10; 102 = 100

Galería: 3 : 0,6 = 5; 52 = 25

Total de baldosas: 100 + 25 = 125

Necesitamos 125 baldosas del tipo 2.

c) 500 × 0,6 = 300 ∑

125 × 2 = 250 ∑.

Es más económico cubrir el suelo con baldosas del tipo 2.

d) ; 15 × 0,4 = 6

La habitación mide 6 metros de lado.

2. a) 6 × 109 habitantes.

b) 228 × 106 km.

c) 14 × 104 km.

d) 3302 × 1020 kg.

e) 136 × 105 ºC.

3. a) 59; b) 113; c) 63; d) 76; e) 33; f) 26.

4. a)

Podrá plantar 16 filas de lechugas.

b) 162 = 256; 260 − 256 = 4

Le sobrarán 4 lechugas.

c) 172 = 289; 289 − 260 = 29

Le faltan 29 lechugas.

260 16 1= ,

225 15=

Solucionario

�

�

3. P

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cias

y ra

íces

5Ficha


4. N

úmer

os fr

acci

onar

ios

y nú

mer

os d

ecim

ales

Refuerzo Operaciones con fracciones 1Ficha

41

© grupo edebé


�

1. Efectúa gráficamente las siguientes operaciones y escribe la fracción resultante.

m.c.m. (7 y 3) = 21

21 : 7 = 3 ; 3 × 5 = 15

21 : 3 = 7 ; 7 × 2 = 14

2. Sigue los pasos anteriores para resolver las operaciones que te proponemos a continuación.

a) c) e)

b) d) f) 38

67

13

+ −119

45

−13

34

+

913

17

−37

58

311

+ +37

125

+

57

23

1521

1421

121

− = − =

Recordemos ahora cómo se debe proceder cuando los denominadores son distintos. Vamos a calcular la siguientesuma.

— Reducimos las fracciones a mínimo común denominador, y para ello calculamos el m.c.m. de los denominadores.

m.c.m. (3 y 5) = 15

— Dividimos el valor del m.c.m. por el denominador de la primera fracción y multiplicamos el resultado por su nume-rador.

15 : 3 = 5 ; 5 × 2 = 10

— Dividimos el valor del m.c.m. por el denominador de la segunda fracción y multiplicamos el resultado por su nume-rador.

15 : 5 = 3 ; 3 × 4 = 12

— Sumamos las fracciones obtenidas.

Análogamente, para restar fracciones con diferente denominador debemos reducir previamente las fracciones a co-mún denominador. Observa:

23

45

1015

1215

2215

+ = + =

23

45

+ =

+ = – =

+ = – =

+ = – =

+ = – =14

24

46

16

38

18

710

310



4. N

úmer

os fr

acci

onar

ios

y nú

mer

os d

ecim

ales

Refuerzo1Ficha


��Solucionario

42

�

1.

2. a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) .151168

5091

1945

817616

1312

9935

+ = – =

+ = – =

+ = – =

+ = – =14

24

46

16

38

18

710

310

34

36

48

410


Refuerzo Números decimales y fracciones decimales 2Ficha

Refuerzo��

43

4. N

úmer

os fr

acci

onar

ios

y nú

mer

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ales

© grupo edebé


�

1. Recuerda cómo se halla la fracción decimal de un número decimal.

3,76 =

2 cifras 2 ceros decimales

Escribe en forma de fracción decimal los siguientes números decimales.

a) 5,1 b) 48,7 c) 23,89 d) 29,167

2. Recuerda cómo se leen los números decimales.

3,76: 3 unidades 76 centésimas

Escribe cómo se leen los números del ejercicio 1.

3. Ordena de menor a mayor los números del ejercicio 1.

4. Completa la siguiente tabla de posición.

5. Si un número decimal es menor que 1, ¿cómo es su parte entera?

6. Añade un cero a la derecha de 6,35. ¿Cómo son 6,35 y el número obtenido?

7. Escribe tres números de cuatro cifras con las cifras 4, 5, 2, 3 tomadas en este orden y que sean menores que 453.

376100

Númerodecimal

Fraccióndecimal

c d u , Décima Centésima Milésima

8 décimas

5 centésimas

3 milésimas

12 décimas

134 centésimas

3 145 décimas


Refuerzo2Ficha

��Solucionario

��Solucionario

44

4. N

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os fr

acci

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ios

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ales

© grupo edebé �

1. a) ; b) ; c) ; d) .

2. a) 5 unidades y 1 décima; b) 48 unidades y 7 décimas; c) 23 unidades y 89 centésimas; d) 29 unidades y 167 mi-lésimas.

3. 3,76 , 5,1 , 48,7 , 23,89 , 29,167

4.

5. Nula.

6. 6,350; 6,35 y 6,350 son el mismo número. Añadir un cero a la derecha de un número decimal no altera el valor delnúmero.

7. 452,3; 45,23; 4,523.

291671 000

2389100

48710

5110

Númerodecimal

Fraccióndecimal

c d u , Décima Centésima Milésima

8 décimas8

108

5 centésimas5

1005

3 milésimas3

10003

12 décimas12

101 2

134 centésimas134

1001 3 4

3 145 décimas 3145

103 1 4 5


Profundización 3Ficha

��

45

4. N

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os fr

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ios

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© grupo edebé

1. Indica para qué valores de a la fracción :

a) Es propia.

b) Es impropia.

c) Es igual a la unidad.

2. Completa las siguientes igualdades.

3. Efectúa las siguientes operaciones combinadas.

4. Calcula la fracción irreducible desconocida de las operaciones combinadas de cada uno de los siguientes apar-tados.

5. Carlos tiene una colección de cromos, pero la mitad de ellos son repetidos. Consigue cambiar con unos amigos

de éstos y decide regalar los restantes a María y a Juan: María se queda con la mitad y Juan con los 12 res-

tantes. ¿Cuántos cromos tiene ahora Carlos?

— Resuelve el problema mediante un esquema.

6. Un padre decidió repartir su colección de discos de rock entre sus dos hijos del siguiente modo: la mitad, más lamitad de un disco, para su hijo mayor; la mitad de los restantes, más la mitad de un disco, para su hijo menor, yél se quedó con un disco, su preferido.

Al enterarse de su forma de reparto, sus hijos se quedaron atónitos, pues no entendían qué podían hacer conmedio disco.

— ¿Puedes tú ayudarles?

— ¿Crees que el padre de estos chicos tuvo que partir algún disco?

13

a) b)23

15

1112

23

25

16

+ × = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ × =?

???

a) c)

14

52

23

34

16

53

12

103

56

142

97

4

− ×

+ × −

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − ×

55143

114

515

35

28

112

7

53

2

− ×⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ × +

+b)

4489

34

14

52

111

24

115

102

2126

31

×

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ × +

+ −:

:d)

3312

215

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ × −

a) d)1272 36

246

720= = =........

........

........

11008 504120

42

8

= = =........

........

........

b)11

144 39

916803 0

= = =........

........

........e)

224 1512105

27

12

= = =........

........

........

c)55

625 255

5315

2 4= = =........

........

........f )

775 49563

11= = =........

........

........

a7


�


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© grupo edebé

7. Toma dos grupos de 10 cartas numeradas del 0 al 9.

— Extrae 7 cartas.

— Opera los números extraídos en los cinco primeros lugares para obtener una fracción equivalente a la que ten-ga como numerador el número sacado en sexto lugar y como denominador el número extraído en séptimo lu-gar (si este número es cero, se repite la extracción).

Si han salido, por ejemplo, los números 1, 4, 6, 9, 2, 5 y 7, se trata de escribir con 1, 4, 6, 9 y 2 una fracción

equivalente a . En este caso, puede ser:

8. Contesta:

a) ¿Qué cifra ocupa el lugar de las milésimas en el número 1,089? ………..........….......…… ¿Cuántas milésimas tiene?……….................………

b) ¿Qué cifra ocupa el lugar de las centésimas en el número 1,089? ………...............……… ¿Cuántas centésimas tiene?………...................………

c) ¿Qué cifra ocupa el lugar de las décimas en el número 1,089? ………...................……… ¿Cuántas décimas tiene?……….................………

9. Completa la siguiente cadena.

9 14 2 6

1014

57

+× +

= =

57

�

10. Tengo 12,4 ∑, que son las dos séptimas partes de lo que necesito para comprarme un saco de dormir para irde acampada. Determina cuánto vale el saco de dormir y cuánto dinero me falta aún para poder comprármelo.

11. Resuelve los problemas siguientes escribiendo las operaciones de la forma indicada y recuadrando en cadacaso la solución. Antes de resolver los cálculos, intenta hacer una estimación del resultado.

a) ¿Qué número decimal tenemos que sumar a 0,35 para obtener dos unidades?

b) La suma de tres números es 15,6. Si dos de los números son 4,75 y 9,6, ¿cuál es el otro número?

c) Si a un número le resto 19,3, obtengo 8,7. ¿Cuál es este número?

d) Si cada botella de refresco tiene un tercio de litro de capacidad y cuesta 0,75 ∑, ¿cuánto cuesta el litro deeste refresco?

— Si las botellas se venden en lotes de 6 unidades, ¿cuántos litros tiene un lote y cuánto costará?

149,5

150 541

270,5

61,6

+ 12,5 1

5122 5,de

− (2,5 + 35,7 : 5,1)

: 0,01 + (0,5 × 0,4 : 0,1)

1

2075de+ …...…… × 0,2

× 0,56

: 100

× ….....……

: ….....……

: ….....…


Ficha de evaluación 4Ficha

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�47

4. N

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ales

© grupo edebé

1. Escribe qué fracción representan:

a) 45 minutos de una hora c) 2 días de una semana

b) 3 : 7 d)

2. Escribe en cifras las siguientes cantidades.

a) Seis unidades y quince centésimas. c) Dieciséis centésimas.

b) Dos milésimas. d) Una unidad, cuatro décimas y seis milésimas.

— Escribe cuatro situaciones cotidianas en las que podrías utilizar estos números.

3. Identifica en la siguiente serie:

a) Una fracción irreducible; c) Un número mixto;

b) Un par de fracciones equivalentes; d) Una fracción igual a la unidad.

— Escribe, ordenadas de menor a mayor, las fracciones anteriores.

4. Continúa las siguientes series, añadiendo cinco números a cada una.

a) 0,05 - 0,1 - ........- ........- ........- ........- ........ b) 3 - 2,1 - ........- ........- ........- ........- ........

— Representa sobre la recta los números de la serie b.

5. Ordena de menor a mayor los siguientes números.

2,5 - 0,145 - 1,45 - - 0 - 2,51 - 3 - 0,33 - - - 0,0145 - 1,405

6. Efectúa las siguientes operaciones simplificando el resultado siempre que sea posible.

7. Resuelve las siguientes operaciones.

a) 234 + 2,35 + 12 d) 1 795 : 0,47

b) 1 200 − 125,75 e) 3,4 × 10 : 1,7

c) 23,8 × 6,05 f) 2,5 × (34 − 10,5) − 3 × (2 − 1,5 + 2,7 × 1,2)

(En las divisiones, aproxima el cociente hasta las centésimas e indica el resto.)

8. Alicia tiene una bolsa de caramelos. Ella se queda con la mitad. Regala a Óscar, su mejor amigo, la mitad de la

otra mitad; a su compañera Raquel le da de los que le quedan, y a su hermano pequeño le da los restantes.

Si su hermano ha recibido 4 caramelos, ¿cuántos les han correspondido a Alicia, a Óscar y a Raquel? ¿Cuántoscaramelos había en total? Elabora un esquema.

13

a) c) e)

b)

89

29

49

39

15

24

47

25

14

2

+ + − + × −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4414

45

223

14

35

+ + ×d) f):

12

13

32

812

212

46

213

14

77

235



Ficha de evaluación4Ficha


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1.

2. a) 6,15; b) 0,002; c) 0,16; d) 1,406

— Respuesta sugerida: Los pueblos más próximos se encuentran a una distancia de 6,15 km. Se detectó 0,0002 g/dm3 de sustancia tóxica en el agua del río. Ganó la carrera por 0,16 s. El trozo de carne pesaba 1,406 kg.

3.

—

4. a) 0,05; 0,1; 0,15; 0,2; 0,25; 0,3; 0,35.

b) 3; 2,1; 1,2; 0,3; −0,6; −1,5; −2,4.

—

5. 0 < 0,0145 < 0,145 < 0,33 < < < 1,405 < 1,45 < < 2,5 < 2,51 < 3

6.

7. a) 248,35; b) 1 074,25; c) 143,99; d) 3 819,14 y el resto 0,0042; e) 20; f) 47,53.

8.

de x = 4 ⇒ x = 24. En total había 24 caramelos.

A Alicia le han correspondido 12 caramelos, a Óscar 6 y a Raquel 2.

a) b) c) d) e) f )23

1112

1930

25

435

4960

; ; ; ; ; .

32

12

13

212

14

812

46

77

213

< < = < <

a) b) c) d)14

812

46

213

77

; , ; ; .

a) b) c) d)34

37

27

135

; ; ; .

�

12

12

12de = 1

412

–(1 14

– 112

– )= 16

13 de 1

2–(1 1

4– ) = 1

12

16

–3 –2 –1 0 1 2 3

–2,4 –1,5 –0,6 0,3 1,2 2,1

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Ficha de evaluación de CB 5Ficha


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1. Realiza las siguientes operaciones:

a) Suma el 6 % de 150 a los de 615 y resta el resultado del triple del cuadrado del primer número primo de

la tercera decena.

b)

2. En la extinción de un incendio forestal, un helicóptero ha utilizado las partes de un depósito de agua de25 600L de capacidad.

a) ¿Qué fracción de agua queda en el depósito?

b) Si el helicóptero carga en cada viaje 800 L de agua, ¿cuántos viajes ha realizado?

Días después del incendio, las lluvias llenan el equivalente a parte del depósito.

c) ¿Qué cantidad de agua representa?

d) ¿Qué fracción del depósito queda por llenar?

Los tres pueblos cercanos al bosque quemado deciden unir esfuerzos para repoblar el total de árboles quema-

dos. El primero se compromete a replantar parte de los árboles quemados, y el segundo las partes.

e) ¿Qué fracción del bosque le toca replantar al tercer pueblo?

f) Si el total de árboles quemados es de 1500, ¿cuántos árboles planta cada pueblo?

3. Antes de iniciar un viaje, un conductor llena el depósito del coche en una gasolinera donde el precio de la gaso-lina es de 1,055 ∑ por litro. Si le cuesta 35,62 ∑:

a) ¿Cuántos litros de gasolina ha echado?

b) Si en el depósito del coche caben 50 L, ¿cuántos litros había antes de repostar?

La distancia que debe recórrer hasta llegar al destino es de 320 km. Si el consumo medio del coche es de0.076 L de gasolina por kilómetro:

c) ¿Qué cantidad de gasolina ha gastado?

d) ¿Qué cantidad de gasolina queda en el depósito?

Al regresar, el consumo medio de gasolina es de 0,080 L por kilómetro. Si el piloto de la reserva se enciendecuándo en el depósito quedan 10 L de gasolina.

e) ¿A qué kilómetro se va a encender?

25

13

14

38

− + ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −5

367

12

32

98

:

23


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5Ficha


1. a) = 2883 − 419 =

= 2464

b)

2. a)

En el depósito quedan partes de agua.

b) ; 9600 : 800 = 12

El helicóptero ha realizado 12 viajes.

c)

Representan 6400 L de agua.

d)

Después de las lluvias queda parte del depó-sito por llenar.

e)

Al tercer pueblo le toca replantar del bos-que.

f)

El primer pueblo replanta 500 árboles, el segun-do 600 árboles y el tercero 400 árboles.

3. a) 35,62 : 1,055 = 33,76

Ha echado 33,76 L de gasolina.

b) 50 − 33,76 = 16,24L

Había 16,24 L de gasolina en el depósito.

c) 0,076 × 320 = 24,32 L

En el viaje de ida se consumen 24,32 L de gaso-lina.

d) 50 − 24,32 = 25,68

En el depósito quedan 25,68 L

e) 25,68 − 10 = 15,68 L.

Se encenderá en el kilómetro 196 de la vuelta.

15 680 8

196,,

=

415

1500 400de =

13

1500 50025

1500 600; ;de de= =

415

113

25

415

− − =

18

58

14

78

178

18

+ = − =;

14

25600 6400de =

38

25600 9600de =

58

138

58

− =

− + ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − = − +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ − =

= − −

53

67

12

32

98

53

37

43

53

:

337

43

35 9 2821

247

− = − − − = −

3 316

100150

23

6152⋅ − × + ×⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

50

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Refuerzo Proporcionalidad 1Ficha

1. Completa las siguientes proporciones con los valores que faltan:

a) 53

?6 c) ?

6 24

b) 64?

162 d) 10

815?

28= =

= =

Una proporción es una igualdad entre dos razones:

Los términos a y d se denominan extremos y los términos b y c, medios.En toda proporción se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los medios:

a × d = b × c

ab

cd

=

Para resolver la regla de tres se multiplican las dos cantidades conocidas situadas en diagonal y sedivide el resultado por la tercera cantidad conocida:

Dos cantidades son directamente proporcionales si a medida que aumenta o disminuye una deellas, la otra aumenta o disminuye en la misma proporción.


2. Justifica si existe o no proporcionalidad directa en los siguientes casos:


b) El número de electrodomésticos funcionando y el consumo de electricidad de un hogar.

c) La velocidad de un coche y la distancia recorrida.

d) La velocidad de un coche y su precio.

3. Calcula la constante de proporcionalidad entre A y B y completa la tabla:

4. El precio de tres bolígrafos es de 4,5 ∑. ¿Cuánto costarán 9 bolígrafos?

5. Un automóvil consume 7,2 L de gasolina por cada 100 km recorridos. ¿Cuántos litros gastará en un trayecto de48 km?

6. En un bar se preparan 294 bocadillos en una semana. Cada bocadillo cuesta 1,70 ∑.

a) ¿Cuántos bocadillos preparan en 20 días?

b) ¿Cuánto recaudan con la venta diaria de bocadillos?

a c

b xse multiplica

se divide x b ca

= ×

3 4,5

9 xse multiplica

se divide x = =.... ....

...........

×

A 3 7,5 18

B 2 5 8 22


5. P

ropo

rcio

nalid

ad y

por

cent

ajes

51

© grupo edebé �


Refuerzo1Ficha

SolucionarioRefuerzo��

Solucionario

1.

2. a) No ; b) Sí ; c) Sí ; d) No.

4.

9 bolígrafos costarán 13,5 ∑.

5. 3,456 L

6. a) 840 bocadillos ; b) 71,4 ∑.

x = =9 4,53

13,5×

a) 53 6 b) 64 16

2 c) 6 24 d) 108

1528= = = =108

712; ; ;

A 3 7,5 12 18 33

B 2 5 8 12 22

3.

52

5. P

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y p

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es

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Refuerzo Porcentajes 2Ficha

Refuerzo��


1. Efectúa los siguientes cálculos:

a) 7,5 % de 3 800

Esquematizamos los datos como una regla de tres y la resolvemos:

b) 6 % de 44 200

c) 27,2 % de 18 460

d) 0,7 % de 790 700

2. a) Calcula qué porcentaje de 5 600 representa 2 520.


2520 es el ........ % de 5600.

b) ¿Qué porcentaje de 18 330 es 4950?

c) ¿Qué porcentaje de 457 650 es 3 715?

d) ¿Qué porcentaje de 3240 es 423?

3. a) El 22 % de una cantidad es 88. ¿Cuál es la cantidad?


b) Sabiendo que el 34 % de una cantidad es 76 420, calcula dicha cantidad.

c) Sabiendo que el 16 % de una cantidad es 48, calcula dicha cantidad.

d) Sabiendo que el 12,5 % de una cantidad es 325, calcula dicha cantidad.

4. Escribe cada uno de los siguientes porcentajes como una fracción y como un número decimal:

b) 43 %

c) 36 %

d) 5 %

a) 19 %19

0,19= =100

Un porcentaje o tanto por ciento es una razón entre dos cantidades, considerando como deno-minador el número 100.

Un porcentaje es equivalente a una fracción y a un número decimal.

75 %75

1000,75= =

3 800 100

x 7,5x = = ......

3800 7,5100

×

5 600 100

2 520 xx = = ......

2520 1005600

×

x 100

88 22x = = ......

88 100×22

© grupo edebé �53

5. P

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5. P

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1. a) 285 ; b) 2 652 ; c) 5 021,12 ; d) 5 534,9

2. a) 45 % ; b) 27,005 % ; c) 0,81 % ; d) 13,06 %

3. a) 400 ; b) 224 764,7 ; c) 300 ; d) 2 600

b) 43 %43

0,43

c) 36 %43

0,36

d) 5 %

= =

= =

100

1005

0,05= =100

4.

Refuerzo2Ficha

��Solucionario



1. Al cruzar 2 individuos de una determinada especie de dípteros se espera que la descendencia sea de un 85 %de ojos rojos y el resto de ojos marrones. Si la descendencia fuese de 325 individuos, ¿cuántos de ellos seríande ojos rojos y cuántos de ojos marrones?

2. Un trabajador de una empresa percibe mensualmente un sueldo neto de 1834 ∑. La suma de todos los des-cuentos de la nómina es del 23,5 %. ¿Cuál es el sueldo bruto anual de este trabajador si percibe 14 pagas com-pletas al año?

3. Un producto nos ha costado 47,65 ∑. Teniendo en cuenta su precio se vio incrementado en un 16 % en con-cepto de IVA, ¿cuál era el precio inicial del producto?

4. Un establecimiento comercial efectúa las segundas rebajas de la temporada:

a) ¿Cuál era el precio de la camisa antes de las rebajas?

b) ¿Cuánto costaban los pantalones en las primeras rebajas?

c) ¿Qué descuento se ha aplicado al bolso en las segundas rebajas respecto a las primeras? ¿Qué descuento repre-senta respecto al precio anterior a las rebajas?

d) ¿Cuál ha sido el artículo más rebajado de la campaña de rebajas?

5. Marta, Alberto y Teresa aportan semanalmente 3, 4 y 6 ∑, respectivamente, para apostar en las quinielas. Siobtienen un premio de 8000 ∑ ¿cuánto le corresponderá a cada uno de ellos en el reparto?

6. Tres carpinteros han trabajado en una construcción por la que han percibido 4875 ∑. Si el primer carpintero hatrabajado 32 horas, el segundo 18 y el tercero 25, ¿cuánto le corresponde cobrar a cada uno?

7. Cuántos litros caben en un depósito de gasolina de un coche, si sabemos que para llenarlo hacen falta 3 minu-tos y que en 50 segundos hemos puesto 10 L?

8. Al entrar un producto en una tienda, el propietario aumenta el precio inicial de 80 ∑ en un 18% ya que no quie-re perder el IVA del producto. Cuando llegan las rebajas , se ve obligado a rebajar el IVA del precio marcado.¿Hay diferencia entre precio inicial y el precio que marca el producto ahora en rebajas?


?

32,3

24,2

65,5

45,85

91,5

64,05

?48

28,8

84 122 — 20%— 25%


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3Ficha


9. El precio de un producto al que se le ha aplicado un 30 % de descuento es 436,03 ∑. ¿Qué precio tenía antes dehaberle aplicado el descuento?

— Si sabemos que aún con el 30% de descuento, el comerciante sale ganando un 15% del precio final, ¿cuál esel beneficio que obtiene?

10. En una tienda se ha aplicado el 15% de descuento a un objeto valorado inicialmente en 155 ∑ y, sobre el nuevoprecio de venta, otro 15%. ¿El precio de venta es el mismo que si hubiéramos aplicado un 30% de descuentosobre el precio inicial?

11. Un poste de 2,10 m de altura proyecta una sombra de 0,8 m. Una torre, a la misma hora y en el mismo lugar, pro-yecta una sombra de 18,95 m. ¿Qué altura tiene dicha torre?

12. Los elementos químicos radioactivos se desintegran, es decir, una parte de su masa se descompone, dando lu-gar a la radiación. El elemento uranio (U-235) se caracteriza porque reduce aproximadamente un 18 % de sumasa cada año. Si se dispone de una muestra de 30 g de U-235:

a) ¿Qué masa de uranio quedará entro de un año?

b) ¿Y dentro de 2 años ?

c) ¿Y dentro de 5 años?

56

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1. Justifica si existe o no proporcionalidad directa en cada uno de los casos siguientes:


b) El número de páginas de un libro y su precio.

c) El número de páginas de un libro y su volumen.

d) La superfície de una vivienda y su precio.

2. Compramos 2 L de leche para añadirle jarabe de grosella. La proporción indicada es de un 10 % de jarabe. ¿Quécantidad de bebida obtendremos?

3. En un plano, observamos que 6 cm representan una distancia real de 1500 m. ¿Cómo se representaría una dis-tancia real de 625 m en dicho plano?

— ¿A qué distancia real equivalen 5 cm?

4. En una clase de 1.º de ESO de 25 alumnos, hay 15 chicos y 10 chicas. ¿Qué proporción hay de chicos y chicas?

— Si el porcentaje de aprobados de la asignatura de matemáticas es del 48 %, ¿cuántos estudiantes han aprobado?

5. Cinco rotuladores cuestan 9,25 ∑.

a) ¿Cuánto nos costarán 9 rotuladores al mismo precio?

b) ¿Cuánto nos costarán si nos aplican un descuento del 12 %?

6. Un tenista ha jugado 214 partidos esta temporada y ha vencido en 138. ¿Cuál es su porcentaje de victorias y de-rrotas de la temporada?

7. Este mes vamos a percibir 350 ∑ de intereses de un depósito bancario. Si, en concepto de impuestos nos van a re-tener un 23 % de dicha cantidad, ¿cuánto dinero recibiremos ?

8. Un artículo que costaba 835 ∑ está rebajado un 15 %. Si disponemos de 710 ∑, ¿podremos comprarlo?

9. Un producto cuesta 27,90 ∑ sin IVA. ¿Cuánto costará después de aplicarle un IVA del 16 %?

10. Un ordenador cuesta en un establecimiento 695 ∑ + 16 % de IVA y en otro cuesta 800 ∑ con el IVA incluido.¿Donde interesa comprarlo?

11. En el centro de una ciudad el precio de vivienda por metro cuadrado es de 6 345 ∑, mientras que en un barrio pe-riférico es de 5 234 ∑ por metro cuadrado.

a) ¿Cuál es la diferencia de precio entre las dos zonas para una vivienda de 65 m2?

b) ¿Qué porcentaje es más cara la vivienda del centro con respecto a la de la periferia?

12. Juan entra a comprar un televisor valorado en 699 ∑. El vendedor le ofrece un 5 % de descuento. Viendo que aún nose decide, le añade otro 5 % sobre el descuento anterior ya aplicado. Juan se lo piensa y le dice que se lo queda sile aplica el 10 % directamente sobre el precio marcado. ¿Por qué toma Juan esta decisión?

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Solucionario�

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1. a) No ; b) No ; c) Sí ; d) Sí.

2. 2,2 L

3. 2,5 cm ; 1250 m

— Han aprobado 12 estudiantes.

5. a) 16,65 ∑ ; b) 14,65 ∑

6. Victorias: 64,48 % ; Derrotas: 35,52 %

7. 269,5 ∑

8. Sí, porque ahora costará 709,75 ∑.

9. 32,36 ∑

10. En el segundo establecimiento, puesto que en el primero, después de aplicar el IVA , el ordenador cuesta 806,2 ∑.

11. a) La vivienda del centro costaría 412 425 ∑ y la de la periferia valdría 340 210 ∑. La diferencia de precio entre lasdos es de 72 215 ∑.

La vivienda del centro es un 21,23 % más cara que la de la periferia.

12. Los dos descuentos consecutivos son:

699 × 0,95 = 664,05 ∑

664,05 × 0,95 = 630,85 ∑

Y un solo descuento es:

699 × 0,9 = 629,10 ∑

Se ahorra más dinero con un solo descuento.

72215100 21,23%

340 210× =

chicos:15 3

chicas:10 2

25 5 25 5= =;4.

b)

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1. Alberto va a viajar a Estados Unidos. Ha ido al banco para cambiar euros por dólares. Le informan sobre el cam-bio monetario de ese día: 1 ∑ equivale a 1,402 $.

a) Si ha cambiado 600 ∑, ¿cuántos dólares ha recibido?

Antes de regresar, Alberto quiere comprar algunos recuerdos para sus amigos. Entra en un establecimiento don-de encuentra varios objetos que le pueden interesar:

• Imanes para la nevera:

1 = 2,5 $ 3 = 7 $ 5 = 11 $

• Llaveros:

1 = 3,5 $ 3 =10,5 $ 5 = 17,5 $

b) Justifica si existe proporcionalidad directa entre el núme-ro de imanes y su precio y entre el número de llaveros y elsuyo.

c) ¿Podrá adquirir 9 imanes y 6 llaveros, si dispone de 42 $para comprar los recuerdos?

Al volver del viaje le han sobrado 85 $. Vuelve al banco paracambiarlos de nuevo por euros. En ese momento el cambioes: 1 ∑ equivale a 1,39 $.

d) ¿Cúantos euros recibirá?

2. Durante una campaña de rebajas, varios establecimientos ofrecen descuentos en la venta de una botella de gelde baño, cuyo precio sin descuento es de 2,20 ∑. Las distintas ofertas son:

A = Llévate dos y paga uno C = Descuento de un 35 %

B = Llévate dos y paga uno y la mitad de otro D = Llévate tres y paga dos

Indica el precio por unidad de producto de cada una de las ofertas y ordénalas de menos a más ventajosa paraun cliente.

3. Completa la información de las siguientes ofertas:

4. La recaudación en un restaurante por 25 menús del día ha sido de 220 ∑.

a) ¿Cuál ha sido el importe de la cuenta de una mesa de 6 personas?

b) ¿Cuál será la recaudación semanal de menús del día si han servido 25 menús el lunes, 19 el martes, 27 elmiércoles, 41 el jueves y 15 el viernes?


7,59 AHORRO..........%

6,29 39,99 40% AHORRO

...... 3,29 12% MÁS BARATO!

......

12,79

DESCUENTO..........%

10,99

21,99

AHORRO..........%

2,27

A

B

C D E

�59

5. P

ropo

rcio

nalid

y p

orce

ntaj

es

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5Ficha


1. a) 841,2 $

b) Entre los imanes y su precio no existe proporcionaliad directa. entre los llaveros y el suyo sí

c) Sí, podrá adquirirlos puesto que 9 llaveros cuestan : 11+ 7 + 2,5 = 20,5 $ y 6 llaveros : 17,5 + 3,5 = 21 $. Es de-cir, un total de 41,5 $.

2. A = 1,10 ∑ / unidad ; B = 1,65 ∑ / unidad ; C = 1,43 ∑ / unidad ; D = 1,46 ∑ / unidad. Las ofertas ordenadas demenos a más ventajosa son: A - C - D - B.

3. A = 17 % ; B = 2,89 ∑ ; C = 23,99 ∑ ; D = 14 % ;E = 24 %.

4. a) 52,8 ∑

b) 1117,6 ∑.

�60

5. P

ropo

rcio

nalid

y p

orce

ntaj

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6. M

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Refuerzo Conversión de unidades de longitud, masa y capacidad 1Ficha

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�

Recuerda que la característica más importante del sistema métrico decimal es que para obtener los múltiplos y sub-múltiplos de las unidades fundamentales multiplicamos o dividimos por 10, 102, 1 03...

Veamos cómo podemos obtener las equivalencias entre las unidades de longitud, masa y capacidad utilizando el denomi-nado método de la escalera.

Observa la figura de la derecha.

Cada vez que subes un peldaño, has de dividir entre 10; cada vez que bajasun peldaño, has de multiplicar por 10.

Así, para pasar de centímetros a hectómetros, debemos subir cuatro pelda-ños, por lo que tenemos que dividir entre 10 cuatro veces o, lo que es lo mis-mo, entre la unidad seguida de cuatro ceros.

: 104

1 cm = 0,0001 hm

Del mismo modo, para pasar de kilolitros a decalitros, debemos bajar dos pel-daños, por lo que debemos multiplicar por 100:

× 102

1 kL = 102 daL

1. Utiliza el método de la escalera para completar la siguiente tabla de unidades de longitud.

UnidadEquivalencias

mm cm dm m dam hm km

1 mm 1 0,001

1 cm 10

1 dm 102

1 m 1

1 dam 1

1 hm 1 03

1 km 10

— Elabora una tabla similar con las unidades de masa y otra con las unidades de capacidad.

2. Completa las siguientes igualdades.

a) 1 kL = .............. cL c) 1 dg = .............. dag

b) 1 hg = .............. mg d) 1 mL = .............. daL

Unidaddeca

hecto

kilo

deci

centi

mili

: 10

10

�

�

��UNIDAD 6

61


1Ficha


62

6. M

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1.

�

2. a) 100 000 cL c) 0,01 dag

b) 100 000 mg d) 0,0001 daL

UnidadEquivalencias

mm cm dm m dam hm km

1 mm 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001

1 cm 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001

1 dm 102 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001

1 m 103 102 10 1 0,1 0,01 0,001

1 dam 104 103 102 10 1 0,1 0,01

1 hm 105 104 103 102 10 1 0,1

1 km 106 105 104 103 102 10 1

UnidadEquivalencias

mg cg dg g dag hg kg

1 mg 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001

1 cg 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001

1 dg 102 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001

1 g 103 102 10 1 0,1 0,01 0,001

1 dag 104 103 102 10 1 0,1 0,01

1 hg 105 104 103 102 10 1 0,1

1 kg 106 105 104 103 102 10 1

UnidadEquivalencias

mL cL dL L daL hL kL

1 mL 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001

1 cL 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001

1 dL 102 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001

1 L 103 102 10 1 0,1 0,01 0,001

1 daL 104 103 102 10 1 0,1 0,01

1 hL 105 104 103 102 10 1 0,1

1 kL 106 105 104 103 102 10 1


Refuerzo Factores de conversión 2Ficha

��

Recuerda que un factor de conversión es un cociente entre dos cantidades equivalentes expresadas en unidades di-ferentes.

1. Indica cuáles de las siguientes fracciones son factores de conversión. Puedes ayudarte de las tablas que hascompletado anteriormente.

a) c) e)

b) d) f)

Veamos cómo podemos usar los factores de conversión para transformar unas unidades en otras.

Observa cómo procedemos para efectuar la conversión de 5 hg en decigramos.

— Escribimos la unidad inicial y la unidad final.

unidad inicial unidad final

hg dg

— Escribimos el factor de conversión que expresa la equivalencia entre hectogramos y decigramos, teniendo encuenta que la unidad inicial debe aparecer en el denominador y la final, en el numerador.

Fíjate en que existen dos fracciones posibles:

y

Utilizaremos siempre fracciones en las que no aparezcan números decimales, para simplificar los cálculos.

— Multiplicamos la unidad inicial por el factor de conversión.

2. Efectúa las siguientes transformaciones; para ello, utiliza el factor de conversión adecuado.

a)

b) 23 hg = .......................... cg e) 156,4 cL = .......................... hL

c) 1,2 L = .......................... hL f) 12 hm = .......................... dm

d) 0,05 dam = .......................... mm g) 13,7 g = .......................... hg

3. Transforma las siguientes unidades de superficie y volumen.

a)

b) 0,00325 hm2 = ..................................... dm2

c) 4,145 dm3 = ..................................... mm3

142 142500 m 500 m1hm10 m

2 22

4 2= × = ........................hm2

25 dag 5 dag10 mg1 dag

4

= × =2 ........................mg

5 5 1 500hg10 dg1hg

0 dg 0dg3

3× = × =

10 dg1hg

31dg0,001hg

1 hg10 dg3

102 hm1 m

1 km10 m3

10 daL1 kL

210 dam1 cm

41 cm10 mm


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6. M

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1. a); b); e); f).

2. a) 250 000 mg

b) 230 000 cg e) 0,015 64 hL

c) 0,012 hL f) 12 000 dm

d) 500 mm g) 0,137 hg

3. a) 14,25 hm2

b) 3 250 dm2

c) 4 145 000 mm3

�

Refuerzo2Ficha

��Solucionario



El estudio de las proporciones del cuerpo humano en el arte tiene como fin la búsqueda de la belleza ideal o canon. Y,generalmente, los cánones estéticos vienen dados en términos de las proporciones que debe haber entre las diferen-tes partes del cuerpo.

Se sabe que los escultores griegos fueron los primeros en proponer unas proporciones ideales. Sin embargo, el con-cepto estético de cuerpo perfecto ha variado profundamente a lo largo del tiempo, y no necesariamente tiene quecoincidir con el actual.

1. Policleto, artista griego del siglo V a. C., consideró que la altura de cabeza era una séptima parte de la altura to-tal del cuerpo, mientras que otro artista griego posterior, Lisipo, del siglo IV a. C., consideró que la altura de la ca-beza era una octava parte de la altura total del cuerpo.

— Mide la altura de la cabeza de varios de tus compañeros, estudia la relación con su altura, respectivamente, ycomprueba si se ajustan al criterio de Policleto o al de Lisipo.

2. Según Vitrubio, arquitecto romano del siglo I a. C., las proporciones humanas perfectas, empleadas en esculturay pintura, debían ser:

braza = altura = 6 pies = 4 codos = 8 palmos = 24 manos

— Mide dichas partes del cuerpo de varios de tus compañeros, estu-dia sus relaciones y comprueba si se ajustan al criterio de Vitrubio.

3. Posteriormente, Leonardo da Vinci (1452-1519), escultor, ingeniero,arquitecto e inventor italiano, propuso un criterio según el cual, comopuedes observar en la figura de la derecha, basada en su célebre di-bujo de la obra Cuadernos, la altura y la envergadura de una personahan de ser iguales, y además verifican que:

altura total altura hasta el ombligo= = 1,618...

altura hasta el ombligo distancia ombligo-cabeza

Este número es el denominado número de oro.

— Mide la longitud entre la cabeza y el ombligo, y entre éste y los piesde varios de tus compañeros y comprueba si se ajustan al criteriode Leonardo da Vinci.

4. A principios del siglo XX, el arquitecto suizo Le Corbusier (1887-1965) creó un modelo de proporción arquitectónico basado en elcuerpo humano y la denominada sección áurea, es decir, una razóncuyo valor es el número de oro, denominado Le Modulor, como pue-des observar en la figura de la derecha.

La importancia de este modelo es su aplicación al diseño de mue-bles y edificios antropométricamente agradables.

— Compara las proporciones descritas en la figura con las corres-pondientes en el cuerpo de varios de tus compañeros y com-prueba si se aproximan o no al criterio de Le Corbusier.


Braza o envergadura

Codo

Dedo

Man

o

Pal

mo

Paso

Pie

216

175

108

66

41

25

16

133

82

51

31

20

41,5

66,5

108

6641

2516

97

8251

3120

11


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3Ficha


En ocasiones no podemos medir un objeto, bien por sus dimensiones, bien por la falta de instrumentos apropiados.En estos casos se suelen efectuar mediciones indirectas.

5. Dos personas quieren medir la altura de un edificio, pero sólo disponen de un lápiz. Para conseguirlo llevan acabo la estrategia siguiente.

• Una de ellas se apoya en la fachada del edificio y la otra se alejahasta que, bajo su ángulo de visión, coinciden los extremos dellápiz con el punto más alto y la base del edificio.

Entonces, gira el lápiz hasta ponerlo horizontal, dejando fijo elextremo que coincide con la base del edificio.

• La otra persona empieza a andar en la dirección perpendicular ala que anduvo la otra persona, hasta llegar a un punto donde,bajo el ángulo de visión de la persona que tiene el lápiz, coincidacon el extremo de éste.

• Cuentan los pasos que ha dado la segunda persona y determinan la altura del edificio.

— ¿Podrías explicar cómo lo han hecho?

— Piensa cómo podrías calcular la anchura de la fachada con las mismas condiciones.

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�

1. Señala las magnitudes y las unidades que aparecen en las siguientes frases.

• La piscina municipal tiene una capacidad de 85 kL.

• El representante de Panamá saltó una longitud de 15 m.

• Nadie podía mover el paquete. Su masa era superior a los 50 kg.

2. Completa las frases siguientes.

• Toda medida consta de un ................... y una .................... de .....................

• El sistema de unidades que más se utiliza en la actualidad se llama .................. .............................

• Las siete unidades básicas del SI son: .................., ........................, ......................, amperio, kelvin, mol y candela.

• El litro es una unidad .......................... con nombre propio.

3. Completa la siguiente tabla.

4. Relaciona las expresiones que representen la misma medida.

4 hg 3 dag 5 g 43,5 hg 4 g 3 dg 5 cg 4,35 dag

4,35 g 4 dag 3 g 5 dg 43,5 dag 4 kg 3 hg 5 dag

5. Expresa en forma compleja las siguientes medidas.

a) 82 dam c) 37 254 dm2 e) 176 g

b) 145 254 cm3 d) 1,2345 kg f) 4,23 daL

6. Un tonel contiene 2 000 L de vino. ¿Cuántas botellas de 75 cL se podrán llenar? ¿Y cuántas de 1 500 mL?

7. Escribe, ordenados de mayor a menor, la altura de los picos queaparecen en la tabla.

8. Transforma utilizando factores de conversión:

a) 80 dam = ............. km c) 12 dg = ............. dag e) 18 dm 3 = ............. hm3

b) 1,45 cm 2 = ............. mm2 d) 12 t = ............. hg f) 4 daL = ............. cL

9. a) En la medida de una longitud se ha cometido un error de 5 m. ¿Representa esto un error grave?

b) ¿Cómo harías una estimación del volumen de una habitación?


Medida 5 800 kg 235 g 862 L 2 754 km

Orden demagnitud

Pico Altura

Everest 8 km 8 hm 4 dam 8 m

Aconcagua 69,60 hm

Monte Cook 3 km 755 m

Mont Blanc 480 dam 7 m

McKinley 61 940 dm

�67

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�

1. Magnitudes: capacidad; longitud; masa.

Unidades: kilolitro, kL; metro, m; kilogramo, kg.

2. • número, unidad, medida.

• Sistema Internacional.

• metro, kilogramo, segundo.

• derivada.

3.

4. 4 hg 3 dag 5 g 4,35 g

43,5 hg 4 dag 3 g 5 dg

4 g 3 dg 5 cg 43,5 dag

4,35 dag 4 kg 3 hg 5 dag

5. a) 8 hm 2 dam; b) 145 dm3 254 cm3; c) 3 dam2

72 m2 54 dm2; d) 1 kg 2 hg 3 dag 4 g 5 dg; e) 1 hg 7 dag 6 g; f) 4 daL 2 L 3 dL.

6. 2 666 botellas de 75 cL; 1 333 botellas de 1 500 mL.

7. 8 km 8 hm 4 dam 8 m > 69,60 hm > 61 940 dm >

> 480 dam 7 m > 3 km 755 m

8. a) 0,8 km; b) 145 mm 2; c) 0,12 dag;

d) 120 000 hg; e) 0,000 000 018 hm3; f) 4 000 cL.

9. a) Depende. Cuanto mayor sea el valor de la longi-tud que hemos medido, menos grave será elerror. Así, si hemos medido la anchura de unahabitación, el error es muy grave, pero si hemosmedido la distancia entre dos ciudades, el errores muy pequeño.

b) Estimamos las longitudes de la habitación (alto,ancho, largo), por ejemplo por adición repetida,y multiplicamos los valores obtenidos.

Medida 5 800 kg 235 g 862 L 2 754 km

Orden 104 102 103 103

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Solucionario

�




1. Efectúa las siguientes sumas:

a) 5 t + 38 kg + 60 dg + 7 dag. Expresa el resultado en kg.

b) 23,2 l + 63 ml + 3 dal + 0,57 hl. Expresa el resultado en cl.

c) 1 200 cm2 + 65 dam2 + 0,3 km2 + 670 ha. Expresa el resultado en m2.

d) 1,2 m3 + 180 cm3 + 18 dm3 + 0,15 dam3. Expresa el resultado en dm3.

2. Un ayuntamiento dispone de un solar de 1,2 ha que distribuirá de la siguiente forma:

— parte del solar se destinará a una zona de viviendas.

— parte se destinará a una zona verde.

— El resto se destinará a una zona para equipamientos.

a) Situa en el plano del proyecto cada una de las zonas pla-nificadas.

b) ¿Cuántos metros cuadrados tiene el solar? ¿Cuántosmetros cuadrados se destinarán a la zona de viviendas,cuántos a zonas verdes y cuántos a equipamientos?

c) ¿Qué fracción del solar se destina a la zona de equipa-mientos?

Las viviendas serán 4 edificios de base cuadrada y ocuparán 1600 m2 de la zona de viviendas.

d) ¿Cuánto medirá la fachada de cada una de ellas?

En la zona verde se prevé que en promedio, en cada área de terreno habrá un árbol.

e) ¿Cuántos árboles habrá en total?

En la zona de equipamientos se construirá una piscina de 450 m3.

f) Si 1L de agua ocupa 1dm3, ¿cuántos litros de agua se necesitarán para llenarla?

3. El montacargas de una empresa de distribución de materiales tiene las siguientes limitaciones:

— Capacidad máxima: 12 cajas de 0,75 m3.

— Peso máximo: 25 000 kg.

Con la ayuda de la tabla de la derecha, y sabiendo que todas las cajas tienen la misma capacidad de 0,75 m3

contesta a las siguientes preguntas:

a) ¿Podemos cargar 8 cajas llenas de piezas de aluminio? ¿Y 4 ca-jas de piezas de acero y 7 de piezas de madera?

b) ¿Cuánto pesa una caja llena de piezas de acero? ¿y una de la-drillos?

c) ¿Cuántas cajas de acero podemos cargar como máximo en elmontacargas? ¿Y de ladrillos?

13

16


Material Peso de 1 m3 del material

Madera 800 kg

Ladrillos 1800 kg

Aluminio 2700 kg

Acero 7800 kg

�69

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5Ficha


1. a) 5000 + 38 + 6 + 70 = 5 114 kg

b) 2320 + 6,3 + 3000 + 5700 = 11026,3 cl

c) 0,12 + 6 500 + 300 000 + 6700000 == 7000 650,12 m2

d) 1200 + 0,18 + 18 + 150000 = 151218,18 dm3

2. a)

b)

12000 − (2000 + 4000) = 6000

El solar tiene 12000 m2 de los cuáles 2000 m2

se destinarán a la zona de viviendas, 4000 m2 ala zona verde y 5000 m2 a la zona de equipa-mientos

c)

Se destinará la mitad del solar a la zona deequipamientos.

d)

La fachada de cada uno de los edificios medirá20 m.

e)

4000 : 100 = 40

Habrá 40 árboles.

f)

450 000 dm3 = 450 000 L

Se necesitarán 450 000 L de agua.

3. a) 8 × 0,75 = 6 ; 6 × 2700 = 16200

16200 kg < 25000 kg

4 × 0,75 = 3 ; 3 × 7800 = 23400

7 × 0,75 = 5,25 ; 5,25 × 800 = 4200

23400 + 4200 = 27600

27600 kg > 25000 kg

Se podrán cargar 8 cajas de aluminio pero nose podrán cargar 4 cajas de acero y 7 de made-ra.

b) 0,75 × 7800 = 5850 kg

0, 75 × 1800 = 1350 kg

Una caja que contiene piezas de acero pesa5850 kg y una que contiene ladrillos pesa1350 kg.

c) 25000 : 5850 = 4,3

25000 : 1800 = 13,9

Podemos cargar un máximo de 4 cajas de pie-zas de acero y un máximo de 12 cajas (debidoa la limitación de volumen) de cajas de ladrillos.

450 4501

450000m m1000 dm

mdm3 3

3

33= × =

1 11

100 2área área100 m

áream

2

= × =

16004

400 400 20= =;

600012000

12

=

13

1200012000

34000de = =

16

1200012000

22000de = =

1 2 1 210000

112000

22, ,ha ha

mha

m= × =

zonaviviendas

zonaequipamientos

zonaverde

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Refuerzo Operaciones con expresiones algebraicas 1Ficha

Consideremos la expresión algebraica a 2 + 1. Si sustituimos la letra a por un número, por ejemplo el 2, y efectuamoslas operaciones indicadas, obtenemos un número.

22 + 1 = 4 + 1 = 5

Hemos hallado el valor numérico de a 2 + 1 para a = 2.

1. Encuentra el valor numérico de la expresión anterior para los valores que se indican.

— ¿Puede ocurrir que el valor numérico sea igual para dos valores diferentes de la variable? ………………………


3. Identifica los términos semejantes y reduce las expresiones siguientes.

a) 5n + 7m − 2n − 9m + 6n + 3m = (5 − 2 + 6) n + (7 − 9 + 3) m = 9 n − m

b) 5y − 7x − 4z + 8y − 2z + 6x + 4y + 5z

c) 8a − 4a3 b + 5b − 9a + 2a3 b + 8b

4. Resuelve las siguientes multiplicaciones. Aplica la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de lasuma tal y como se muestra en el primer apartado.

a) ab · (a 2 + b − c3) = ab · a 2 + ab · b − ab · c3 = a3b + ab 2 − abc3

b) ab · (a 2 − b)

c) bc2 · (2b 3 + a3 − c4)

5. Observa cómo aplicamos la propiedad distributiva para extraer factor común.

b 2a2 + b2 + 2ab = b (ba2 + b + 2a)

Identifica el factor común en cada una de las siguientes expresiones y extrae factor común.

a) 3x 2 + 3x3

b) 2x3 + 4x2 + x

c) abc + ab − ab2c2


�

Factor común

a a2 + 1

−1 (− 1)2 + 1 = 1 + 1 = ....

1

2

3

Expresión Coeficiente Parte literal

7x3y 7 x3y

−6x2y2

a3bc31

2

−abc


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7. In

icia

ción

al á

lgeb

ra: e

cuac

ione

s


Refuerzo1Ficha


Solucionario

— Sí, ya que el valor numérico de a 2 = 1 es el mismo para a = 1 y a = −1.

3. b) 17y − x; c) −2a3b − a + 13b.

4. b) a 3b − ab 2; c) 2b4c2 + a3bc2 − bc6.

5. a) 3x 2 (1 + x); b) x (2x 2 + 4x + 1); c) ab (c + 1 − bc2).

a a2 + 1

−1 (− 1)2 + 1 = 1 + 1 = 2

1 12 + 1 = 1 + 1 = 2

2 22 + 1 = 4 + 1 = 5

3 32 + 1 = 9 + 1 = 10

1.

Expresión Coeficiente Parte literal

7x3y 7 x3y

−6x2y2 −6 x2y2

a3bc31

2

1

2a3bc3

−abc −1 abc

2.

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7. In

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ción

al á

lgeb

ra: e

cuac

ione

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Refuerzo Ecuaciones 2Ficha

Refuerzo��

Observa la siguiente balanza.

La balanza está equilibrada: cuatro cilindros pesan lo mismo que dos esferas.

1. Indica si la balanza está equilibrada en las siguientes situaciones.

a) Añadimos un cilindro a cada uno de los platillos.

b) Añadimos un cilindro en el platillo de la izquierda y una esfera en el de la derecha.

c) Ponemos el doble de lo que hay en cada platillo.

2. Si un platillo tiene 6 cilindros, ¿cuántas esferas deben colocarse en el otro platillo para que la balanza esté equi-librada?

Recuerda el concepto de ecuación:

Una ecuación es una ............................... entre expresiones algebraicas que sólo es cierta para algunos valores de las letrasque aparecen en ella.

Las igualdades se comportan de igual forma que lo hace la balanza.

Si sumamos un mismo número o expresión algebraica o si multiplicamos por un mismo número los dos miembros deuna ecuación, ésta no varía. Por ejemplo, veamos la siguiente ecuación.

2 x + 1 = 7

Su solución, el valor que hace que se cumpla la igualdad, es x = 3.

Si sumamos a los dos miembros 4, tenemos:

2 x + 1 + 4 = 7 + 4

2 x + 5 = 11

La ecuación obtenida también tiene por solución x = 3 , y se dice que es equivalente a la primera.

3. Obtén una ecuación equivalente a 2 x + 1 = 7.

a) Sumando −3 a los dos miembros.

b) Sumando −5x a los dos miembros.

c) Multiplicando los dos miembros por −2.

Recuerda cómo se procede para resolver la ecuación 5 x − 3 = 2 x + 9.

— Transposición de términos: 5 x − 2 x = 9 + 3

— Reducción de términos semejantes: 3 x = 12

— Despeje de la incógnita:

4. Resuelve las ecuaciones que has obtenido en la actividad anterior siguiendo los tres pasos descritos.

x = =123

4


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Refuerzo2Ficha


��Solucionario

1. a) Equilibrada.

b) No equilibrada.

c) Equilibrada.

2. 3 esferas.

3. a) 2 x − 2 = 4

b) 1 − 3 x = 7 − 5 x

c) −4 x − 2 = −14

4. a) 2 x − 2 = 4; 2 x = 4 + 2 ; 2 x = 6; x = = 3.

b) 1 − 3 x = 7 − 5 x; −3 x + 5 x = 7 − 1; 2 x = 6; x = = 3.

c) −4 x − 2 = −14; −4 x = −14 + 2; −4 x = −12; x = = 3.−

−124

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62

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1. En la primera columna de la siguiente tabla se muestran monomios cuya parte literal está formada por dos varia-bles, a y b. En la segunda columna, dos números en cada fila, de manera que únicamente uno de cada fila corresponde al valor numérico de la expresión algebraica correspondiente para determinados valores de a y b.

— Determina qué valores son los únicos posibles para las variables a y b, y qué números de cada fila son los va-lores numéricos de las expresiones algebraicas correspondientes.

2. ¿Puede existir un valor de a para el cual el valor numérico de 1 + a 2 sea −1? ¿Y para que el valor numérico seaun número negativo?

3. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para el valor indicado de las variables.

a) a 2 + b para a = 2 y b = 4 c) a 2 + b + ab para a = 4 y b = 3

b) 2a + 3b − ab para a = 3 y b = 2 d) 2a + ab − abc para a = 5, b = 2 y c = 3

4. Efectúa las multiplicaciones siguientes.

a) 4 · 3m e) m · m3m5

b) 3m · 2m2n f) (−4m) · 3m · m 3

c) 8m 2 · 5n 3 g) a3b · (−2) a4b

d) 10m 2n · 5mnp h) a2c3 · a2b · b3c

5. Efectúa las multiplicaciones siguientes aplicando previamente la propiedad distributiva.

a)

b)

c)

6. Extrae factor común.

a) (x − y) 3 − (x − y) · (x + y)

b) (x2 + y)2 − (x 2 + y) · (x 2 − y) + a · (x 2 + y) · (x 2 − y) 2

c) (x 2 − yz) · (x + yz) − 3 · (x + yz) · (x − yz) + (x + yz) 2

23

110

42

78

63

m m n · m m n n3 2 2−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

13

419

43

34

23

x y x y · x x y y2 2 2 2+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− − − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

25

1210

13

52

2c d b d a c a b · a c2 3 2 2 3 4 3 2 4

32

14

23

13

12


a 2, 3

ab 10, 7

2ab 10, 20

a 2 4, 9

a2b 10, 20

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3Ficha


7. Une con flechas las expresiones de la primera columna con las de la segunda columna que sean equivalentes.

(a − b) 2 a2 − 2ab + b2

(a + b) 2 a2 + 2ab + b2

(a − b) · (a − b) a2 − b2

8. Desarrolla y simplifica las expresiones siguientes.

a) (a − b)2 − a − b

b) (a + b)2 − (a − b) · (a + b)

c) (a 2 − b)2 − a2b − a 2

d) ((a − b)2 − b)2

9. Escribe como cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia o producto de dos factores las siguientes expresiones.

a) x2 + 8x + 16 = (x + ….) 2 e) 9x4 − 25 = (3x2 − .…) · ( .… + …. )

b) 9x2 − 6xy2 + y4 f) 4m 2 − n2

c) x2 − 2x + 1 g) 4a2 −

10. Halla el valor de a, b y c en la rueda de la figura, de manera que la suma de los tres números de cada diámetrotenga el mismo valor.

11. Rellena los huecos en las ecuaciones siguientes para que todas ellas tengan por solución x = −1.

a) 3 x + ..... = 2

b) ..... x − 3 = −5

c) 8 + 2 x = .....

4981

b + 2 2

b – 2 4

2b 5

c 3

a 2

8

3c

2

5

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4Ficha


1. Expresa las siguientes situaciones referidas al número entero x.

a) El doble. c) El triple del siguiente.

b) El siguiente. d) La suma con su mitad.

2. Escribe una frase que defina cada una de las expresiones algebraicas siguientes.

a) a 3 b) 2 (a + b) c) (a + 3)2 d) a2 + 3

3. En un despacho se instalan m mesas de seis patas cada una y triple número de sillas de cuatro patas cada una,para que trabajen dos personas en cada mesa. Representa, en función de m:

a) El número de sillas.

b) El número de personas que trabajarán en el despacho.

c) El número de patas de sillas y mesas que habrá en total.


5. Calcula el número de sillas y de personas del despacho del ejercicio 3 si en total se han instalado 8 mesas.

6. Opera:

a) 6 x − 3 (2 − 4 x)

b) 3 a · 3 a b − 2 a2b

7. Entre las siguientes cartas marca con un círculo las que contienen términos semejantes y explica por qué.

8. Escribe dos ecuaciones equivalentes a la siguiente: x − 3 = 6 − 2 x.

9. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 3 x + 11 = 2 x + 8

b) 7 − 2 z + 6 = 1


Expresiónalgebraica

Términos Coeficiente Parte literalValor de la expresión

para a = 2 y b = 5

2 a + b

3 a b − 4 b + 4 a

A B

C D

a b

d

c

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1. a) 2 x; b) x + 1; c) 3 (x + 1); d) x + .


a) El cubo de un número; b) El doble de la suma de a y b; c) El cuadrado de un número aumentado en tres uni-dades; d) La suma del cuadrado de un número y 3.

3. a) 3 m; b) 2 m; c) 18 m.

4.

5. 24 sillas y 16 personas.

6. a) 6 x − 3 (2 − 4 x) = 18 x − 6

b) 3 a · 3 a b − 2 a 2b = 7 a 2b

7. Las cartas que contienen términos semejantes son aquéllas en las que aparecen las expresiones a b c y 3 a b c,pues los términos de ambas expresiones tienen la misma parte literal.


— Si sumamos 2 a los dos miembros:

x − 3 + 2 = 6 − 2 x + 2; x − 1 = 8 − 2 x

— Si multiplicamos por 3 los dos miembros:

3 (x − 3) = 3 (6 − 2 x); 3 x − 9 = 18 − 6 x

9. a) 3 x − 2 x = 8 − 11; x = − 3.

b) − 2 z = 1 − 7 − 6; z = = 6.−−122

23

x2

Expresiónalgebraica

Términos Coeficiente Parte literalValor de la expresión

para a = 2 y b = 5

2 a + b 2 a, b 2, 1 a, b 9

3 a b − 4 b + 4 a 3 a b, − 4 b, 4 a 3 , −4 , 4 a b, b, a 18

Solucionario

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1. Hace 5 años un empresario creó una empresa de etiquetar envases. Al comienzo tenía una única máquina queetiquetaba pero debido a la fuerte demanda de los últimos años, compró dos máquinas más, una hace 3 años yotra el año pasado siendo cada una más eficiente que la anterior. Actualmente, la empresa etiqueta productosutilizando las tres máquinas simultáneamente, y su rendimiento en horas es el siguiente.

— La máquina B etiqueta dos terceras partes de los envases que etiqueta la máquina A

— La máquina C etiqueta el doble de envases que la máquina A.

a) ¿Qué antigüedad tiene cada máquina?

b) Si las tres máquinas juntas en una hora pueden etiquetar 880 envases, ¿cuántos envases puede etiquetarcada máquina?

Los envases etiquetados se empaquetan en cajas de 100 y un camión al final del día viene a recogerlos.

El martes, el camión se llevó 64 cajas debido a que por problemas en el suministro eléctrico la máquina C tra-bajó la mitad del tiempo que lo hace habitualmente, la A sólo dos hora más que la C y la B 2 horas menos de lohabitual.

c) ¿Cuántas horas trabajan habitualmente las máquinas?

d) ¿Cuántas horas trabajó cada una el Martes?

e) ¿Cuántas cajas llenas se lleva el camión habitualmente?

2. En el día de su inauguración una tienda de antigüedades decide hacer la siguiente oferta:

Un coleccionista sabe que si quiere comprar 7 artículos le faltarán 18 ∑, en cambio, si compra 5 le sobrarán32 ∑.

— ¿Cuánto vale cada artículo?

— ¿De qué cantidad de dinero dispone el coleccionista?

3. En el período de rebajas un comerciante decidió rebajar el precio de un equipo de música el 20%. Al término deéste período de rebajas, volvió a subir el precio, pero esta vez un 15% respecto el precio rebajado. Si un clientepagó 140 ∑ por el equipo de música, y le devolvieron 2 ∑.

a) ¿Cuánto costaba el equipo de música antes de las rebajas?

b) ¿Y durante el período de rebajas?

4. Un examen tipo test consta de 36 preguntas. Cada pregunta contestada correctamente vale 2 puntos, las nocontestadas valen 0 puntos y las contestadas equivocadamente restan 0,5 puntos. Si María ha sacado una pun-tuación de 47 y ha dejado 5 preguntas en blanco. ¿Cuántas preguntas ha acertado? ¿En cuántas se ha equivo-cado?


LOS ARTÍCULOSTODOS

AL MISMO PRECIO

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1. a) La máquina B tiene cinco años, la máquina A tres años y la máquina C un año.

b) Llamamos x a los envases que etiqueta la máquina A.

La máquina A etiqueta 240 envases en una hora, la B etiqueta 160 envases en una hora y la C 480 envases enuna hora.

c) Llamamos t a las horas que trabajan las máquinas habitualmente.

Habitualmente las máquinas trabajan 12 horas.

d) El martes la máquina A trabajó 8 horas, la B 10 horas y la C 6 horas.

e) Habitualmente las máquinas etiquetan un total de 480 · 12 + 240 · 12 + 160 · 12 = 10560 envases.

Si en cada caja caben 100 envases se podrán llenar 105 cajas y sobrarán 60 envases.

2. 7x − 18 = 5x + 32 ; 2x = 50; x = 25

Cada artículo vale 25 euros

— 7 · 25 − 18 = 5 · 25 + 32 = 157

El coleccionista dispone de 157 euros.

3. a) x − 0,20x + 0,15 · (x − 0,20x) = 140 − 2; 0,92 x = 138;

Antes de las rebajas el equipo costaba 150 euros.

b) 150 − 0,20 · 150 = 120

Durante el período de rebajas costaba 120 euros.

4. 2 · x − 0,5 · (36 − x − 5) = 47; 2,5x = 62,5;

Ha acertado 25 preguntas y se ha equivocado en 36 − 25 − 5 = 6 preguntas.

x = =62 52 5

25,,

x = =1380 92

150,

4802

2402

2 160 2 6400 2t t

t⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + − =( ) ; 440 120 480 160 320 6400

520 6240

t t t

t t

+ + + − =

=

;

; == =6240520

12

x x x x x x x x+ + = + + = =23

2 880 3 2 6 2640 11 2640; ; ; == =264011

240

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Refuerzo Conversión de medidas angulares 1Ficha


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8. R

ecta

s y

ángu

los

160

°′

160

′″

13 600

°″

3 6001°

″

601°

′

601

″′


1. Lee en la página 168 de tu libro las equivalencias entre las diferentes unidades angulares y completa las igualda-des siguientes.

1° = ..............′ 1′ = ..............″ 1° = ..............″

De grados a segundos

De minutos a segundos

De grados a minutos

De segundos a minutos

De minutos a grados

De segundos a grados

3. Utiliza el factor de conversión adecuado para efectuar las transformaciones siguientes.

a) Expresa en grados: 150′, 13 560″, 1 280′.

b) Expresa en minutos: 240°, 34 560″, 45°, 4 578″.

c) Expresa en segundos: 12°, 45′, 320′.

Recuerda que podemos expresar cualquier medida angular en forma compleja o incompleja. Para transformar unamedida angular compleja en forma incompleja, debemos transformar las cantidades que aparecen en la medida com-pleja en la unidad que se pide en la forma incompleja.

Veamos cómo expresar 26° 36′ 45″ en forma incompleja de segundos.

26° ⋅ = 93 600″ 36′ ⋅ = 2 160″

93 600″ + 2 160″ + 45″ = 95 805″

Así pues, 26° 36′ 45″ son 95 805″.

4. Expresa en forma incompleja de grados las siguientes medidas angulares.

a) 23° 15′ 36″ b) 235′ 56″ c) 12° 56′ 59″

601

″′

3 6001°

″

2. Relaciona mediante flechas cada transformación con elfactor de conversión adecuado.


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°′

160

′″

13 600

°″

3 6001°

″

601°

′

601

″′

2.

De grados a segundos

De minutos a segundos

De grados a minutos

De segundos a minutos

De minutos a grados

De segundos a grados

1. 1° = 60′; 1′ = 60″; 1° = 3 600″.

3. a) 2,5°; 3,77°; 21,33°.b) 14 400′; 576′; 2 700′; 76,3′.c) 43 200″; 2 700″; 19 200″.

4. a) 23,26°; b) 3,93°; c) 12,95°.


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Refuerzo��

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= ........°

= ........° ........′

+ = ........′ ........″

— Ahora suma todos los resultados.

4° 45′ 56″+ 16° 32′ 21″

60 = ........′ ........″........ ..............

60 = ........° ........′........ ........

1. Observa cómo efectuamos la suma de la dere-cha, completando los espacios indicados.

Primero, calcula las sumas indicadas en cadarecuadro y, a continuación, transforma los re-sultados que sean mayores que 60.

�

�

�

�

�

�

2. Sigue los pasos del procedimiento anterior para calcular las sumas que te presentamos a continuación.

a) 23° 15′ 54″ + 34° 56′ 13″ = c) 32° 24′ 43″ + 21° 24′ 32″ =

b) 32° 25′ 21″ + 21° 21′ 23″ = d) 4° 12′ 43″ + 13° 43′ 42″ =

43° 25′ 16″− 12° 21′ 39″

43° 25′ 16″− 12° 21′ 39″

43° 24′ 76″− 12° 21′ 39″

........ ........ ........

14′ 76″

29° 15′ 16″− 12° 11′ 24″

88′

31° 28′ 78″32° 29′ 18″

− 23° 32′ 26″

29° 15′ 43″− 12° 26′ 12″

29° 15′ 43″− 12° 26′ 12″

28° 75′ 43″− 12° 26′ 12″

........ ........ ........

3. Observa cómo efectuamos las restas de laderecha, completando los espacios indica-dos.

No podemos restar 39″de 16″. Pasamos 1′ delminuendo a segundos yefectuamos la resta.

No podemos restar 26′de 15′. Pasamos 1° delminuendo a minutos yefectuamos la resta.

4. Efectúa los pasos del procedimiento anterior para calcular las siguientes restas.

a) b)

− 1 + 60

�

�

− 1 + 60

�

�


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1. 21° 18′ 17″

2. a) 58° 12′ 7″b) 53° 46′ 44″c) 53° 49′ 15″d) 17° 56′ 25″

3. 31° 3′ 37″; 16° 49′ 31″

4. 17° 3′ 52″; 8° 56′ 52″


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1. Recuerda lo que has visto sobre la posición relativa de dos rectas, es decir, la disposición que pueden adoptardos rectas en el plano, y resuelve los apartados siguientes.

a) Si una recta es paralela a otra y ésta lo es a una tercera, ¿en qué posición relativa se hallan la primera y la ter-cera?

b) Traza una recta r y señala un punto P que no sea de la recta r. ¿Cuántas rectas puedes trazar que sean paralelasa r y que pasen por P?

c) ¿Cuántas rectas determinan cuatro puntos no alineados? ¿Y cinco puntos?

d) Completa la tabla de la derecha te-niendo en cuenta que las rectasque dibujes han de ser secantesdos a dos y que no puede habertres concurrentes en un punto.

— Comprueba que el número de partes en que queda dividido el plano coincide con el valor numérico de la

— expresión algebraica , para n = 1, n = 2, n = 3 y n = 4.

2. Resuelve la actividad siguiente, que te permitirá profundizar en el trabajo con segmentos desarrollando, como eneste caso, las propiedades de la suma de segmentos.

• Observa la mesa de billar representada enla figura de la derecha, y localiza un puntode la banda que equidiste de A y de B.

3. Resuelve los siguientes apartados.

a) Calcula 520° 30′ 5″ + 6° 8′ 7″ y comprueba el resultado obtenido con la calculadora.

b) Utiliza la calculadora para hallar 52° 30′ 5″ : 3 y para expresar el resultado en forma compleja y en forma incom-pleja.

112

( 1)+ +⋅ ⋅n n


Número de rectasNúmero de partes en quequeda dividido el plano

1 2

2

3

4

12

2 1

3 4

A

B


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4. Observa los ángulos de la figura de la derecha y calcula el valorde x.

5. Lee con atención el siguiente texto y, a continuación, responde a las cuestiones.

a) Completa la biografía de Euclides (fechas aproximadas de nacimiento y muerte, lugar donde recibió su forma-ción...).

b) Escribe todas las palabras del texto que hacen referencia a conceptos geométricos.

c) Intenta enunciar los tres primeros postulados de Euclides con otras palabras.

d) Investiga por qué se ha llamado postulado de las paralelas al quinto postulado de Euclides.

Euclides y su obra Elementos se han convertido en una sola personificación de las Matemáticas por antonomasia. LosElementos constituyen, con diferencia, la obra matemática de mayor éxito en la historia mundial. Durante más de 2 000años fue la base de la enseñanza matemática y en la época más reciente todavía se utilizaban en Inglaterra como textoescolar oficial.

Sin embargo, casi nada se conoce acerca de las circunstancias de la vida de este autor. (...) En la historia de las cienciasse le designa como Euclides de Alejandría, ya que Alejandría es el único lugar que con seguridad puede ponerse en rela-ción con Euclides. (...)

Como fecha de la redacción de su obra maestra Elementos, se puede señalar aproximadamente el año 325 a. C. (...) Estaobra consta de 13 libros. El libro I —al igual que los demás— comienza con definiciones: entre otras, las de punto, línea,segmento, plano, ángulo, perpendicular, figura, círculo, arco, circunferencia, etc., figura poligonal, triángulo equilátero...(...)

A las definiciones siguen cinco postulados; en virtud de ellos se puede:

1. Unir cada punto con otro cualquiera por medio de una recta.

2. Prolongar rectilínea e indefinidamente todo segmento de recta.

3. Trazar círculos de cualquier diámetro y con cualquier centro. (...)

Mediante el cuarto postulado se establece que todos los ángulos rectos son iguales.

El más famoso fue el último, el quinto postulado, llamado postulado de las paralelas. En su primitiva versión afirmaba:

«Si una línea recta al cortar a otras dos rectas hace que los ángulos resultantes al mismo lado tengan por suma menosque dos rectos, entonces, al prolongar hacia el infinito estas dos rectas, éstas se cortan en el mismo lado en que en-cuentren los ángulos que sumaban menos que dos rectos» [1, pág. 3].

Wussing, H. y Arnold, W. Biografías de grandes matemáticos.

55 32 45o

2x

x


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1. Coloca las letras correspondientes en los elementosgeométricos de la siguiente figura, sabiendo que:

— r y s son secantes.

— r pasa por P.

— t es perpendicular a s y corta a r en el punto Q.

2. Los segmentos UV y VW son consecutivos. Además, la longitud del segmento UV es de 14 cm y la del segmen-to VW, 10 cm. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a) La longitud del segmento UW es menor que 4 cm.

b) La longitud del segmento UW no puede ser menor que la del segmento UV.

c) La longitud del segmento UW puede ser 7 cm.

d) La longitud del segmento UW es menor que 24 cm.

3. Las rectas r y s son paralelas. Indica en cada uno de los siguientes casos el nombre de la relación que guardanlos ángulos Â y

^B y calcula el valor del ángulo

^B.

4. Dibuja un segmento y divídelo en tres partes iguales sin efectuar ninguna medición.

5. Dibuja:

a) Un ángulo convexo que sea agudo.

b) Un ángulo que sea la cuarta parte de un ángulo llano.

c) El ángulo suplementario de un ángulo recto.

d) Dos ángulos adyacentes.

6. A partir de los ángulos de la figura construye:

a)Â + ^

B b) 2 · Â c)

Â − ^

B d) Â : 2

7. Determina el valor de los ángulos^B,

^C y

^D.


sr s s

r

s r

r

B

A = 102o

B A = 32o

B

BA = 100

o

A = 60o

BA

BD

CA = 30o

c)b) d)a)


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1.

2. a) Falso. La longitud del segmento UW no puedeser menor que 4 cm.

b) Falso. La longitud del segmento UW sí puede sermenor que 14 cm.

c) Verdadero.

d) Falso. La longitud del segmento UW puede serde 24 cm.

3. a) Alternos internos. ^B = 102°.

b) Correspondientes. ^B = 32°.

c) Adyacentes. ^B = 80°.

d) Conjugados externos. ^B = 120°.




7.^A = ^

C, por ser dos ángulos agudos de lados per-pendiculares ⇒ ^

C = 30°.^B = 180° − 90° − ^

C = 90° − 30° = 60°^B = ^

D, por ser alternos internos ⇒ ^D = 60°.

P

Q

t

r

s

a b

BA

C

c d

D1D2

c

BA – B

d

A2

B A + B

a

2 A.

AA

A A

b

A


5Ficha


89

© grupo edebé �

8. R

ecta

s y

ángu

los


a) 128° 6’ 3’’ − 16° 28’ 14’’ − 45° 31’ 42’’

b) (12° 34’ 23’’ + 5° 36’ 54’’) x 3

c) Suma un ángulo recto, un ángulo llano, el complementario de 38° y el suplementario de 47°.

d) Suma los dos ángulos no rectos de un triángulo rectángulo, un ángulo de un triángulo equilátero y todos losángulos de un trapecio.

2. En una partida de billar un jugador realiza la siguiente tirada.

Considerando que los ángulos formados por la trayectoria de la bola con la banda, antes y después de chocarcon estas son iguales y que el ángulo

^A mide 27º:

a) ¿Cuanto vale el ángulo ^B?

b) ¿Cuánto valdrán los ángulo ^C y

^D?

Con la ayuda de una regla, dibuja en que punto de la tercera banda chocará la bola blanca.

c) ¿Impactará con la bola de color situada en el punto 2

d) ¿Con qué ángulo impactará con la tercera banda?

Para impactar con la bola de color, la bola blanca tendría que haber llegado a la bola de color formando un án-gulo de 30º tal y como muestra la figura.

e) ¿Qué valor tienen los ángulos ^A,

^B,

^C y

^D de la nueva trayectoria?

f) Dibuja toda la trayectoria seguida por la bola blanca.


= 30…E

AB

C

D

2


5Ficha


90

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8. R

ecta

s y

ángu

los

1. a) 16° 28’ 14’’ + 45° 31’ 42’’ = 61° 59’ 56’’

128° 6’ 3’’ − 61° 59’ 56’’ = 127° 65’ 63’’ − 61° 59’ 56’’ = 66° 6’ 7’’

b) 12° 34’ 23’’ + 5° 36’ 54’’ = 17° 70’ 77’’ = 18° 11’ 17’’

18° 11’ 17’’ · 3 = 54° 33’ 51’’

c) 90° + 180° + (90° − 38°) + (180° − 47°) = 455°

d) 90° + 60° + 360° = 510°

2. a) ^B = ^

A = 27°

b) ^C = 90° − 27° = 63° ;

^D = ^

C = 63°

c) No impactará.

d)^E = 90° − 63° = 27°

e) D = 90° − 30° = 60° ; ^C = ^

D = 60°; ^B = 90° − 60° = 30° ;

^A = ^

B = 30°.

f)

AB

C

D

E

A = 27…B = 27…

C = 63…

D = 63…


Propiedades de los polígonos 1Ficha


1. Observa el polígono de la derecha y contesta a las siguientes preguntas.

— ¿Cuántos lados tiene? ¿Cuántos ángulos tiene? ¿Cuántos vértices tiene?

— ¿Qué relación guardan el número de lados, el de ángulos y el de vértices deun polígono cualquiera?

— Dibuja todas sus diagonales y di cuántas tiene. Comprueba que el número de diagonales cumple la siguiente relación.

Número de diagonales = donde n es número de lados

— Cuatro de los ángulos de este pentágono miden 80°, 140°, 100° y 110°. ¿Cuálserá el valor del quinto ángulo?

— Señala cuál de las siguientes palabras sirve para definir la figura.

convexo, cóncavo, equilátero, equiángulo, regular, irregular

2. Completa las siguientes frases sobre los triángulos.

— Los triángulos ............................................... son polígonos regulares.

— Los triángulos .................................................. tienen 3 lados desiguales.

— Los triángulos ......................................... tienen 2 lados iguales y 1 desigual.

— Un triángulo ........................................... tiene un ángulo de 90°.

— El ángulo ^A de la siguiente figura mide ............................

— En un triángulo rectángulo el lado mayor es opuesto al ángulo recto y se denomina .....................................

— Las mediatrices de un triángulo se cortan en el ................................... Este punto es el centro de la circunferencia cir-cunscrita al triángulo.

3. Indica las afirmaciones que sean falsas y corrígelas.

— La suma de los ángulos de un cuadrilátero es 180°.

— Los paralelogramos tienen dos pares de lados paralelos.

— Un cuadrado es un caso particular de rombo.

— Los trapecios tienen un único par de lados paralelos.

— Los cuatro lados de un trapecio pueden ser iguales.

— No existe ningún cuadrilátero que sea un polígono regular.

— Todo cuadrado es un cuadrilátero.

— Las diagonales de un rectángulo son iguales y las de un rombo, distintas.

— Tanto las diagonales de un rectángulo como las de un rombo se cortan en su punto medio.

n (n 3)2

⋅ −


91

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9. P

olíg

onos

: per

ímet

ros

y ár

eas

55°

^A


1Ficha


1. — 5, 5, 5.

— Los tres son iguales.

— Tiene 2 diagonales. Número de diagonales = .

— La suma de los 5 ángulos será 180° · (5 − 2) = 180° · 3 = 540°.

El valor del ángulo que falta será:

540° − 80° − 140° − 100° − 110° = 110°

— El pentágono de la figura es un pentágono convexo e irregular.

2. — Equiláteros.

— Escalenos.

— Isósceles.

— Rectángulo.

— 90° − 55° = 35°

— Hipotenusa.

— Circuncentro.

3. — La suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360°.

— Verdadero.

— Verdadero.

— Verdadero.

— Los cuatro lados de un trapecio no pueden ser iguales.

— Existe un cuadrilátero que es un polígono regular: el cuadrado.

— Verdadero.

— Verdadero.

— Verdadero.

4 4 12

2⋅ − = ⋅ =(4 3)

2

92

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ros

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Área de cuadriláteros y triángulos 2Ficha

Refuerzo��


Área del rectángulo

El área de un rectángulo de baseb y altura h es:

A = b · h

Área del romboide

Para hallar el área de un romboide lotransformamos en un rectángulo. Ob-serva la figura.

• El área del romboide es iguala la del rectángulo.

• El área de un romboide debase b y altura h es:

Aromboide = Arectángulo = b · h

3. Calcula el área del romboide dela figura.

Área del rombo

Para hallar el área de un rombo dibu-jamos un rectángulo de lados igualesa las diagonales del rombo. Observala figura.

• El área del rombo es la mitadde la del rectángulo.

• El área de un rombo de dia-gonales D y d es:

Arombo = Arectángulo =

4. Calcula el área del rombo de lafigura.

Área del trapecio

Para hallar el área de un trapecio lodescomponemos en dos triángulos.Observa la figura.

• El área del trapecio es la sumade las de los dos triángulos.

• El área de un trapecio de ba-ses B y b y altura h es:

Atrapecio = Atriángulo 1 + Atriángulo 2 =

5. Calcula el área del trapecio dela figura.

= + = +B h b h B b h· · ( ) ·2 2 2

D d·2

12

Área del triángulo

El área de un triángulo de baseb y altura h es:

Ab · h=

2

Base b

Altura h

Base b

Altura h

7,2

3,5

18

24A = b h = ...... ...... = ............. .

A = b h = ...... ...... = ............. .

hh

b b

da

d DD

h

b

B

h

b

B

h

19,2

A =

11,4

b h. 2

= ......... 2

= .........

6

8

A = ..............................

8,2

14,9

A = b · h = ...... · ...... = ..................

8,4

4,4

AD d= = =· .................

.................2 2

..

6,7

7,8

2,4

AB b h= + = =( ) · .................

............2 2

1. Calcula el área de los rectángulos dibujados. 2. Calcula el área de los triángulos dibujados.

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2Ficha


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1. A = b · h = 3,5 · 7,2 = 25,2

A = b · h = 24 · 18 = 432

2.

3. A = b · h = 8,2 · 14,9 = 122,2

4.

5. AB b h= + ⋅ = + ⋅ =( ) ( , , ) ,

,2

7 8 2 4 6 72

34 2

AD·d= = =2

8 4 4 42

18 5, · ,

,

Ab·h= = =2

6 82

24·

Ab·h= = =2

19 2 11 42

109 4, · ,

,


3Ficha



2. Señala cómo se puede cortar el polígono A de la figura en dos partes, de manera que, al volver a reunirlas, sepueda formar cualquiera de los polígonos B, C, D, E, F y G.

3. Con un cordel de 16 cm podemos formar distintos rectángulos; por ejemplo, un rectángulo de base 1 cm y de al-tura 7 cm, un rectángulo de base 2 cm y de altura ................... cm.

Considerando que el perímetro de los rectángulos que se pueden formar es siempre de 16 cm, completa la si-guiente tabla.

— ¿Cuál es el rectángulo que se puede formar que tiene mayor área?

4. Explica cómo construirás un triángulo conocidos a, b y b + c.


PolígonoNúmerode lados

Número de diagonales queparten de un vértice

Número totalde diagonales

Número de triángulosen que queda descompuesto

Suma de losángulos

0

35

1080°

7

Eneágono

2

A

B

EF

CD

G

Base del rectángulo Altura del rectángulo Perímetro del rectángulo Área del rectángulo

1 cm 7 cm 16 cm 7 cm2

2 cm 16 cm

3 cm

4 cm

5 cm

6 cm

7 cm

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5. Considera el triángulo representado en la figura y resuelve los apartados siguientes.

a) Traza las mediatrices y señala el circuncentro.

— Dibuja una circunferencia con centro en el circuncentro y de radio la distancia del circuncentro a uno de losvértices del triángulo. ¿Qué observas?

b) Traza las bisectrices y señala el incentro.

— Dibuja una circunferencia con centro en el incentro y de radio la dis-tancia del incentro a uno de los lados del triángulo. ¿Qué observas?

c) Calca con cuidado el triángulo sobre un cartón, recórtalo, traza sus me-dianas y señala su baricentro. A continuación, pasa un hilo anudado porel baricentro y observa que el triángulo se mantiene horizontal al suelo sisujetas el triángulo por el hilo.

6. Calcula los lados del trapecio representado en la figura siguiente.

7. Determina, en cada uno de los siguientes triángulos, el valor desconocido.

8 Resuelve el siguiente problema, utilizando para ello el teorema de Pitágoras. Dos coches salen de un edificio en di-recciones perpendiculares. Si sus velocidades respectivas son 60 km/h y 80 km/h, ¿a qué distancia se encontrarán alcabo de 1 h?

9. Recorta 16 cuadrados de 1 cm de lado y forma con todos ellos distintos rectángulos. A continuación, completa lasiguiente tabla.

— ¿Cuál es el rectángulo de menor perímetro?

10. Halla una fórmula para calcular el área del trapecio de la figura de la derecha, como di-ferencia de áreas de triángulos.

11. Halla el área de un cuadrado cuyo perímetro es 18 cm.

12. Halla el lado y el perímetro de un cuadrado cuya área es 64 cm2.

13. El área de un rectángulo es 12 cm2 y la longitud de su base es 4 cm. Calcula su perímetro.

10 cm

16 cm

5 cm

Base del rectángulo Altura del rectángulo Área del rectángulo Perímetro del rectángulo

1 cm 16 cm 16 cm2 34 cm

2 cm 16 cm2

4 cm

8 cm

16 cm

h’

h

b

B

b = 7 cm

c = 12 cm

a

c = 15 cm

a = 17 cmb

b = 3 cm a = 5 cm

c


4Ficha


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1. Dibuja las siguientes figuras.

a) Una línea poligonal formada por nueve segmentos que no forme un polígono.

b) Un polígono de tres lados iguales. ¿Cómo se llama?

c) Un polígono regular de seis lados. ¿Cómo se llama? ¿Cómo son sus ángulos?

d) Un cuadrilátero de ángulos rectos y lados iguales. ¿Cómo se llama?

e) Un polígono regular con ángulo central de amplitud 45°. ¿Qué polígono es?

2. El número total de diagonales de un polígono es 20. ¿De qué polígono se trata?

3. Calcula la suma de los ángulos de un decágono regular. ¿Cuánto mide cada uno de ellos?

4. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 60°. ¿Cuánto miden los otros dos? Constrúyelo sabiendo que el cateto opuesto al ángulo de 60° mide 5 cm.

5. El perímetro de un rombo es 40 cm y uno de sus ángulos mide 75°. Averigua la medida de los lados y la amplitudde todos sus ángulos y dibújalo.

6. Averigua el perímetro y el área del recinto de la figura de la dere-cha. Ten en cuenta que una de las figuras de las que está com-puesta es un triángulo equilátero y otra un cuadrado.

7. Se quiere embaldosar una pared de una cocina con baldosas cua-dradas de 15 cm de lado. ¿Cuántas baldosas serán necesarias sila pared tiene la forma de un rectángulo de 45 dm de base y 3 mde altura?

8. Calcula la distancia que ha de recorrer el caminante para llegar al castillo.

9. Calcula el perímetro del triángulo de la siguiente figura.


2,3 cm 5 cm

1,6 cm2 cm

4 cm

3 cm

8 cm 4 cm

6 cm

80 m

50 m


4Ficha


�

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1. a) Respuesta sugerida:

b) Respuesta sugerida:

Triángulo

c) Respuesta sugerida:

Hexágono regular; sus ángulos son convexos y todos iguales.

d) Respuesta sugerida:

Cuadrado

e) Respuesta sugerida:

Octógono regular

2. Octógono, pues .

3. 1 440°; 144°.

4. 90° y 30°.

5. Cada lado mide 10 cm y la amplitud de sus ángu-los es 75° y 105°.

6. P = 2,3 + 2,3 + 2,3 + 2,3 + 2,3 + 2,3 + 4 + 3 + 5 ++ 2,3 = 28,1

El perímetro del recinto es 28,1 cm.

Acuadrado = 2,32 = 5,29

Atriángulo = · 2,3 · 2 = 2,3

Apentágono = = 9,2

Atrapecio = = 13,5

A = 5,29 + 2,3 + 9,2 + 13,5 = 30,29

El área del recinto es 30,29 cm 2.

7. Apared = 450 · 300 = 135 000

Abaldosa = 15 · 15 = 225

= 600

Serán necesarias 600 baldosas.

8. d = = 94,34

La distancia que ha de recorrer es de 94,34 m.

9. c1 = = 10

c2 = = 7,21

P = 12 + 10 + 7,21 = 29,21

El perímetro es 29,21 cm.

6 42 2+

8 62 2+

50 + 802 2

135 000225

(5 + 4) 32

⋅

5 2,3 1,62

⋅ ⋅

12

8 8 32

20⋅ −( ) =

60o

45o

105o

75o

10 c

m

60o

90o

5 cm


5Ficha


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1. Una empresa de transportes tiene una nave que utilizapara almacenar contenedores. Las dimensiones de la naveson 10 m x 30 m y 5 m de altura.

La empresa puede elegir entre cuatro tipos de contene-dores, todos ellos de 4 m de altura:

— Modelo A, de 3 m de ancho por 9 m de longitud.

— Modelo B, de 3,5 m de ancho por 8,5 m de largo.

— Modelo C, de 4,5 m de ancho por 9,2 m de largo.

— Modelo D, de 4,5 m de ancho por 10,5 m de largo.

Suponiendo que la empresa adquiere todos los contenedores de un mismo modelo y que entre contenedor ycontenedor, para su correcta manipulación y almacenamiento, debe existir como mínimo 0,5 m de separación:

a) ¿Cuántos contenedores de cada modelo caben en la nave?

b) ¿Qué modelo le permite mayor aprovechamiento del espacio?

c) ¿Con qué modelo se produce el peor aprovechamiento de espacio?

d) ¿Qué opción le interesa al encargado si quiere aparcar el coche, de 1,8 m de anchura, dentro de la navecuando va a trabajar?

e) ¿Qué opción permite almacenar más contenedores?

2. Para el cumpleaños de su abuela, Marta decide enmarcar una fotografía familiar del verano pasado como rega-lo. Para hacerlo, sigue los siguientes pasos:


18 cm

13 cm

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

Primero mide la fotografía. Sus medidas son: 13 cm x18 cm

Luego corta una lámina de made-ra de modo que al enganchar lafotografía en ella, sobre exacta-mente 1 cm de madera por lado.

A continuación, corta un listón de2 cm de ancho en cuatro partes yconstruye un marco que enganchaalrededor de la fotografía y ajustadoal borde de la lámina de madera.

a) ¿Qué medidas deberá tener la lámina de madera?

b) ¿Qué superfície tendrá ?

c) ¿Cuántos centímetros deberá medir el listón que debemos cortar para hacer el marco?

d) ¿Cuál será la superfície de fotografía visible?

e) Si ponemos los trozos de listón uno al lado de otro, ¿que superficie ocuparán?

f) ¿Qué relación hay entre la superfície de la lámina, la superfície que ocuparán los listones y la superfície de fo-tografía visible?


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1. a) A: 8 contenedores A

B: 7 contenedores B

C: 6 contenedores C

D: 2 contenedores D

b) El modelo C.

c) Con el modelo D.

d) Puede ser con A, B o D.

e) La opción A.

2. a) Medidas lámina: 15 cm x 20 cm

b)

c) 15 · 2 + (20 − 4) · 2 = 62 cm

d) 11 · 16 = 176 cm2.

e) (2 · 15) · 2 + (2 · 16) · 2 = 124 cm2.

f) Área lámina - Área listones = Área fotografía visible

62 cm2 − 124 cm2 = 176 cm2.

A = × =15 20 300 2cm

3011

2 7= ,

305

6=

304

7 5= ,

303 5

8 5,

,=


Circunferencia 1Ficha


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10. C

ircun

fere

ncia

y c

írcul

o

1. Completa el crucigrama de la derecha.

Horizontales:

1. Segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.

2. Punto interior del cual equidistan todos los puntos de la circunferencia.

3. Porción de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ésta.

Verticales:

A. Segmento que une dos puntos de la circunferencia.

B. Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

2. Observa la figura de la derecha y completa la siguiente tabla.



5. Empareja los siguientes conceptos relacionando la posición relativa de dos circunferencias según la distanciaentre sus centros.

Posición relativa de las circunferencias Distancia entre los centros

Exteriores Mayor que la suma de los radiosConcéntricas CeroInteriores Igual a la suma de los radiosTangentes exteriores Menor que la suma de los radiosTangentes interiores Igual a la diferencia de los radiosSecantes Menor que la diferencia de los radios


Punto Distancia al centro (cm) Radio (cm) Posición relativa

A Pertenece

B

C

Recta Puntos en común con la circunferencia Posición relativa

r Exterior

s

t

Circunferencias Puntos en común Posición relativa

A y D

A y B Interiores

A y C

C y D

C

AB

D

s

t

r

BA

C

A

B

1

2

3


1Ficha


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10. C

ircun

fere

ncia

y c

írcul

o

1. A

B

1

2

3

CUERDA

C

A

A D I O

E N T R O

R C OR

EMA

D

2.Punto

Distanciaal centro (cm)

Radio (cm)Posiciónrelativa

A 1,5 1,5 Pertenece

B 1,1 1,5 Interior

C 2,3 1,5 Exterior

3.Recta

Puntos en comúncon la circunferencia

Posiciónrelativa

r Ninguno Exterior

s Uno Tangente

t Dos Secante

4.

5. Exteriores, mayor que la suma de los radiosConcéntricas, ceroInteriores, menor que la diferencia de los radiosTangentes exteriores, igual a la suma de los radiosTangentes interiores, igual a la diferencia de los radiosSecantes, menor que la suma de los radios

Circunferencias Puntos en comúnPosiciónrelativa

A y D

A y B Ninguno Interiores

Uno

A y C Dos Secantes

Tangentes

C y D Ninguno Exteriores


Longitud de la circunferencia. Círculo 2Ficha

Refuerzo��

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10. C

ircun

fere

ncia

y c

írcul

o

1. Calcula el valor del número π a partir de la medición de la longitud de la circunferencia y de su diámetro en cadauno de los siguientes casos.

2. A partir de los resultados que has obtenido en la actividad anterior, completa las siguientes fórmulas.

— Calcula la longitud de una circunferencia de 3 m de diámetro.

— Calcula la longitud de una circunferencia de 0,25 m de radio.

3. Teniendo en cuenta que a un ángulo completo, 360°, le corresponde una longitud igual a la de la circunferencia,L = 2 · π · r, completa la longitud que tendrán los siguientes arcos.

a) Un arco que es la cuarta parte de una circunferencia de 40 m de longitud: .

b) Un arco de 60° de amplitud definido en una circunferencia de 40 m de longitud: .

c) Un arco que es la cuarta parte de una circunferencia de radio r: .

d) Un arco de 60° de amplitud definido en una circunferencia de radio r: .

4. Recuerda la relación entre el área de un círculo y la longitud de su circunferencia, y completa la siguiente tabla.

2360 180⋅ ⋅ = ⋅π πr r

........ ........

2 ⋅ ⋅ = ⋅π πr r........ ........


Diámetro

Moneda

Rueda de bicicleta

Vaso

Disco compacto

LongitudLongitudDiámetro

Ld

Lr

L d L r

......= =

= ⋅ =

...... ......

...... ...... ⋅⋅ ......

Radio Longitud de la circunferencia

5 cm

Área del círculo

153,86 dm2

18,84 m

40360

m........

40 m........


2Ficha


104

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10. C

ircun

fere

ncia

y c

írcul

o

2.

—

—

3.

4.

a)40

440360

60

24 2

2360

60

m

b)m

c)r r

d)r

⋅

⋅ ⋅ = ⋅

⋅ ⋅ ⋅

π π

π == ⋅ ⋅π r180

60

L m m= ⋅ ⋅ =2 0 25 3 14 1 57, , ,

L m m= ⋅ =3 3 14 9 42, ,

Ld

L2r

L d L 2r

= =

= ⋅ = ⋅

π π

π π

RadioLongitud de la circunferencia

Área del círculo

5 cm 31,4 cm 78,5 cm2

3 m 18,84 m 28,26 m2

7 dm 43,96 dm 153,86 dm2


3Ficha


105

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�

10. C

ircun

fere

ncia

y c

írcul

o

1. Observa la figura de la derecha y calcula la longitud del seg-mento OP y el área del triángulo OPQ.

2. Efectúa la representación gráfica necesaria para comprobar los siguientes apartados.

a) Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

b) Los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son suplementarios.

3. Traza una circunferencia de radio 5 cm y determina la recta tangente desde un punto en los siguientes casos.

a) Si el punto pertenece a la circunferencia.

b) Si el punto es exterior a la circunferencia.

4. Traza la circunferencia circunscrita a cada uno de los triángu-los rectángulos representados en la figura de la derecha.

—¿Dónde se halla el centro de ambas circunferencias?

5. Traza la circunferencia que pasa por tres puntos no alineados, A,B y C, representados en la figura de la derecha.

Indicación: El centro de una circunferencia equidista de todos sus puntos y lamediatriz de un segmento es la recta que equidista de los extre-mos de dicho segmento.

Para construir polígonos regulares inscritos en una circunferencia se utiliza el procedimiento general de dividir la cir-cunferencia en un número de partes iguales, tantas como lados queramos que tenga el polígono. Observa cómoconstruimos un pentágono regular mediante dicho procedimiento:

— Trazamos un diámetro vertical AB y lo dividimos en cinco partesiguales.

— Con radio igual al diámetro y con centros en A y B, respectiva-mente, trazamos dos arcos que se cortan en el punto C.

— Unimos el punto de C con la segunda división del diámetro AB,y determinamos el punto D.

El segmento AD es el lado del pentágono, y si lo transportamos su-cesivamente sobre la circunferencia obtenemos el pentágonoADEFG.

6. Construye, según el procedimiento anterior, los siguientes polígonos regulares: un heptágono, un eneágono y undodecágono.


Q

OP

6 cm8 cm

BA

C

D

A

G

E F

B

1

2

3

4

5

C


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106

© grupo edebé �

10. C

ircun

fere

ncia

y c

írcul

o

7. Lee la actividad 86 del apartado Investiga de la unidad y, a continuación, aplicando el procedimiento general de ladivisión de una circunferencia en un número de partes iguales, diseña algunos rosetones.

8. Calcula, con el dato que se proporciona, la longitud de las curvas representadas en la siguiente figura.

9. Calcula la longitud de una circunferencia circunscrita a un cuadrado de 5 cm de lado.

10. Calcula la longitud de una circunferencia inscrita en un cuadrado de 25 cm2 de área.

1 cm


4Ficha


107

© grupo edebé

�

10. C

ircun

fere

ncia

y c

írcul

o

1. Dibuja tres circunferencias A, B y C, de modo que:

• A es la que tiene radio mayor.

• A y B son concéntricas.

• C es interior y tangente con respecto a A y exterior con respecto a B.

— Si sabemos que los radios de A y C son 10 cm y 2 cm, indica entre qué valores se hallará el radio de B.

2. Define ángulos central, inscrito, interior y exterior en una circunferencia.

— Calcula el valor de un ángulo interior que define dos ángulos centrales de 70° y 35°.

3. Dibuja un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 6 cm de diámetro.

a) ¿Qué longitud tiene la circunferencia?

b) ¿Qué área tiene el círculo limitado por la circunferencia?

c) ¿Qué amplitud y longitud de arco tienen cada uno de los arcos determinados por los ángulos centrales?

4. Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.

a) No es posible trazar una cuerda de 8 cm en una circunferencia de 3 cm de radio.

b) La longitud de una circunferencia de 10 cm de radio es 62,8 cm2.

c) La longitud de una circunferencia de 10 cm de radio es 62,8 cm.

d) El área de un círculo de 10 cm de radio es 314 cm2.

e) La longitud de un arco de 90° de amplitud en una circunferencia de 4 cm de diámetro es 3,14 cm.

5. Una pista de atletismo tiene la forma y las dimensiones indicadas en la siguiente figura.

a) Calcula el perímetro de la pista.

b) Halla su área.

c) Compara su área con la de un campo de fútbol si ésta es aproximadamente de 1 hm2.

d) La parte central de la pista es un rectángulo de césped de dimensiones 40 m × 20 m. Si parasembrar el césped se necesitan aproximadamente 50 g de semilla por metro cuadrado, ¿cuán-tos kilogramos de semilla se han utilizado?

6. Calcula el perímetro y el área de la figura de la derecha.


60 m

125 m

e

5 cm


4Ficha


�

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10. C

ircun

fere

ncia

y c

írcul

o


— El radio de la circunferencia B, r, se hallará entrelos valores 0 < r < 6 cm.

2. Un ángulo central en una circunferencia tiene suvértice en el centro de la circunferencia.

Un ángulo inscrito en una circunferencia tiene suvértice en la circunferencia y sus lados son secan-tes a ésta.

Un ángulo interior en una circunferencia tiene suvértice en un punto interior a la circunferencia, perono en el centro.

Un ángulo exterior en una circunferencia tiene suvértice en un punto exterior a la circunferencia ysus lados son secantes a ésta.

— El ángulo interior que define dos ángulos centra-les de 70° y 35° mide 52,5°.

3.

a) L = 18,84 cm.

b) A = 28,26 cm2.

c) La amplitud de cada arco es 60°; l = 3,14 cm.

4. a) Verdadera, ya que la cuerda de longitud máximaque se puede trazar en una circunferencia es eldiámetro, que en este caso mide 6 cm.

b) Falsa, ya que 62,8 cm2 no es una medida de lon-gitud.

c) Verdadera, pues L = 2 π · 10 cm = 62,8 cm.

d) Verdadera, pues A = π · (10 cm)2 = 314 cm2.

e) Verdadera, pues l = = π = 3,14 cm.

5. a) P = 438,4 m; b) A = 10 326 m2;

c) 10 326 m2 = 1,0326 hm2 > 1 hm2;

d) 50 g/m2 × 800 m2 = 40 000 g = 40 kg.

6. P = 17,85 cm, A = 19,63 cm2

π ⋅ ⋅2 90180cm

A

BC

6 cm


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y c

írcul

o

1. Un parque tiene un estanque circular de 40 m de diámetro. En su centro hay un jardín con forma de cuadradode 12 m de lado. La orilla del estanque y el jardín están unidos mediante 4 puentes tal y como se muestra en lafigura.

a) ¿Qué perímetro tiene el estanque?

b) ¿Qué superficie tiene el jardín?

c) ¿Cuál es la superficie ocupada por el agua?

Alrededor del estanque y a dos metros de la orilla hay un camino que lo rodea

d) Qué longitud tiene el camino?

Un corredor sale del centro del jardín y realiza cinco veces el siguiente circuito.

e) Qué distancia ha recorrido?

2. En una mesa redonda de un restaurante están cenando 9 comensales y cada uno abarca un arco de circunfe-rencia de 60 cm.

a) ¿Qué perímetro tiene la mesa?

b) ¿Cuál es el radio de la mesa?

c) ¿Qué ángulo central le corresponde a cada comensal?

d) ¿Si la mesa tuviera un radio mayor estarían más amplios o másapretados?

e) Calcula el arco de circunferencia que abarcaría cada comensal siel radio de la mesa fuera 14 cm mayor.


40 m 2 m2 m12 m

PUENTEPUENTE JARDÍN

PU

EN

TE

PU

EN

TE

CAMIN

OCAM

INOCAMIN

O

CAM

INO


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10. C

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o

1. a) ; P = 2 · π · 20 = 125,66 m

El estanque tiene un perímetro de 125,66 m.

b) Ajardín = 12 · 12 = 144

La superficie del jardín es de 144 m2.

c) Aagua = Aestanque − Ajardín

Aestanque = π · 202 = 1256,64

Aagua = 1256,64 − 144 = 1122,64

El agua ocupa una superficie de 1122,64 m2.

d) P = 2 · π · r = 2 · π · (20 + 2) = 138,23

El camino tiene una longitud de 138,23 m.

e ) 5 · (2 · 4 · 22 + 138,23) = 1571,15

Ha recorrido una distancia de 1571,15 m.

2. a) 60 · 9 = 540

El perímetro de la mesa es de 540 cm.

b)

El radio de la mesa es de 86 cm

c) 360º : 9 = 40º

A cada comensal le corresponde un ángulo central de 40º.

d) Estarían más amplios.

e) r = 86 + 14 = 100

Cada comensal abarcaría un arco de circunferencia de 70 cm.

lr

n= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =π π180

100180

40 70

rP= = =2

5402

86π π

rd= =2

20


Construcción de un gráfica cartesiana 1Ficha



Carlos ha encontrado los siguientes datos sobre la evolución de la esperanza de vida por continentes.

1. Contesta a las preguntas.

a) ¿Qué continente tendrá una esperanza de vida mayor en el año 2010? ......................................................... ¿Cuál una es-peranza de vida menor? .........................................................

b) Señala aquellos continentes cuya esperanza de vida superaba los 70 años en el año 1990.

.................................................................................................................................................................................................................

c) ¿Cómo varía la esperanza de vida de un continente con el paso del tiempo?

.................................................................................................................................................................................................................

Veamos ahora cómo podemos construir una gráfica cartesiana para comparar estos datos.

2. Dibuja unos ejes de coordenadas cartesianas, y sitúa el tiempo sobre el eje Xy los valores de la esperanza de vida sobre el eje Y.

Ten en cuenta que en el eje Y deben aparecer las esperanzas de vida de to-dos los continentes. Por tanto, busca el valor más bajo y el valor más altoen la tabla y sitúa en el eje Y los valores desde uno un poco inferior al másbajo hasta uno un poco superior al más alto.

3. Marca los puntos correspondientesal primer continente: África (1980, 48,0),(1985, 49,5)… y únelos mediante seg-mentos.

— Aplica el mismo proceso para losdemás continentes.

1980 1985 1990 1995 2000 2010*

África 48,0 49,5 51,3 51,1 51,4 53,2

América Latina

63,1 64,9 66,7 68,1 69,2 71,4

América del Norte**

73,3 74,7 75,2 75,9 76,9 78,2

Asia 58,5 60,4 62,5 64,5 66,3 69,4

Europa 71,2 71,9 73,0 72,6 73,3 75,0

Oceanía 68,2 70,1 71,3 72,9 73,8 75,6

* Proyección ** México se ha incluido en América Latina.

Esp

eran

za d

e vi

da

Tiempo

80

1980

70

60

50

40

301985 1990 1995 2000 2010

Esp

eran

za d

e vi

da

Tiempo

19801985 ... ... ... ... ...

...

...

...

...

111

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11. T

abla

s y

gráf

icos


1Ficha


1. a) América del Norte; África.

b) América del Norte, Europa y Oceanía.

c) La esperanza de vida aumenta con el paso del tiempo.

2. Nota: los valores de los ejes y su situación se observan en la figura de la siguiente actividad.

3.

Esp

eran

za d

e vi

da

Tiempo

80

1980

70

60

50

40

30

1985 1990 1995 2000

África

América LatinaAmérica del Norte

EuropaOceanía

Asia

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gráf

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Refuerzo��


Carlos ha encontrado los siguientes datos sobre la población mundial del año 2000: África: 784,4 millones de habitantes;Asia: 3 682,6 millones de habitantes; Europa: 728,9 millones de habitantes; América Latina y el Caribe: 519,1 millones dehabitantes; América del Norte (sin México): 309,6 millones de habitantes; Oceanía: 30,4 millones de habitantes.

A continuación veremos cómo se puede construir un diagrama de sectores con estos datos.

1. Indica cuál de las siguientes es la variable que debemos considerar.

a) La población mundial.

b) El número de habitantes de Oceanía.

c) La región del mundo considerada.

2. Calcula los datos necesarios para elaborar el diagrama de sectores y completa una tabla como la inferior.

a) Escribe en la primera columna los valores de la variable.

b) En la siguiente columna anota la cantidad asociada a cada valor.

c) Determina la cantidad total asociada a todos los valores de la variable. Recuerda que sólo tienes que sumar lascantidades asociadas a cada uno de los valores de la variable.

d) Completa la tercera columna con los porcentajes correspondientes a cada valor de la variable. Para hallarlos, pro-cede de esta manera:

% (África) =

e) Calcula la amplitud de cadasector a partir del porcentajeque le corresponde.

Recuerda que debes multipli-car el porcentaje por 360° ydividir el resultado entre 100,como, por ejemplo:

3. Dibuja el diagrama de sectores.

13 0360100

46 8, · ,° = °

784 4100 12 9

,· ,

.............................= 5545 13 0…% , %�

Valores de la variable Cantidad asociada Porcentajes Amplitud

África 784,4 13,0 % 46,8°

Asia 60,8 %

América Latina y el Caribe

Traza un círculo y señala un radio.Mide el primer ángulo (46,8°) y dibujael segundo radio que delimita el primersector.

Mide el resto de las amplitudes y mar-ca los radios correspondientes. Si lohas hecho bien, el último sector com-pletará los 360° del círculo.

Añade a cada sector el nombre del va-lor representado.

46,8oÁfrica

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gráf

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1. c) La región del mundo considerada.

2. Una vez completados todos los pasos, la tabla queda de la siguiente manera:

3. El diagrama de sectores acabado, una vez seguidos todos los pasos indicados, es el que aparece en esta figura.

Valores Cantidad Porcentaje Amplitud

África 784,4 13,0 % 46,8°

Asia 3 682,6 60,8 % 218,88°

Europa 728,9 12,0 % 43,2°

América Latina yel Caribe

519,1 8,6 % 30,96°

América delNorte

309,6 5,1 % 18,36°

Oceanía 30,4 0,5 % 1,8°

OceaníaAmérica del Norte

(sin México)

ÁfricaAmérica Latinay el Caribe

Europa

Asia

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Las variables estadísticas pueden ser de dos clases: cuantitativas, si toman valores numéricos, o cualitativas, si susvalores no son numéricos.

1. Observa la tabla siguiente y resuelve los apartados.

a) ¿Cuáles son las variables estadísticas de la tabla anterior?

b) Identifica cuáles de las variables anteriores son cuantitativas y cuáles son cualitativas.

Dada una serie de datos estadísticos, cada valor se caracteriza por su frecuencia absoluta y su frecuencia relativa.

— La frecuencia absoluta de un dato es el número de veces que se repite dicho dato.

La suma de todas las frecuencias absolutas es igual al número total de datos.

— La frecuencia relativa de un dato es la razón entre su frecuencia absoluta y el número total de datos.

La suma de todas las frecuencias relativas es igual a 1.

2. En una jornada del campeonato escolar de fútbol regional se han registrado los siguientes resultados:

5 equipos no han marcado goles, 7 equipos han marcado 1 gol, 4 equipos han marcado 2 goles, 3 equipos hanmarcado 3 goles, ningún equipo ha marcado 4 goles y 1 equipo ha marcado 5 goles.

Ahora resuelve los siguientes apartados:

a) La variable estadística, ¿es cualitativa o cuantitativa?

b) Completa la tabla siguiente.

Número de goles Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

0 5

1

2

3

4

5

Nombre Peso (kg) Talla (cm) Deporte favorito Música favorita

Elena 39 145 baloncesto rock

David 44 152 fútbol rock

Juan 46 153 baloncesto clásica

Elisa 40 150 natación pop

20 1

115

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gráf

icos

7

20


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Profundización��3. Los resultados obtenidos por los alumnos de una clase en un examen de Matemáticas se muestran en el si-

guiente diagrama de barras.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

5

6

8

10

12

Nú

mer

o a

lum

no

Resultados

a) ¿Cuántos alumnos hay en la clase?

b) ¿Cuál ha sido la puntuación obtenida por un mayor número de alumnos?¿Qué porcentaje de alumnos ha ob-tenido esta puntuación?

c) ¿Qué tanto por ciento de alumnos tienen un nota mayor o igual a 5?

El siguiente gráfico, representa los mismos resultados de los alumnos pero agrupados en un diagrama de sec-tores:

— Grupo A: Alumnos que han obtenido de 0 a 2 puntos

— Grupo B: Alumnos que han obtenido 3 o 4 puntos.

— Grupo C: Alumnos que han obtenido 5 o 6 puntos

— Grupo D: Alumnos que han obtenido 7 o 8 puntos.

— Grupo E: Alumnos que han obtenido 9 o 10 puntos.

d) Coloca cada grupo al sector del diagrama que le corresponde

e) ¿Qué tanto por ciento representa cada sector?

f) ¿Qué arco de circunferencia abarca cada sector?

4. La siguiente gráfica muestra la excursión en bicicleta que hicieron dos amigos el domingo.

0 400

10

20

30

40

50

60

dis

tan

cia

(km

)

tiempo (min)80 120 160 200 240 280

Inventa una historia que explique que les pasó a cada uno de ellos el domingo y que concuerde con lo observa-do en la gráfica.116

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gráf

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1. Organiza la siguiente información en una tabla.

— ¿Cuántas chicas de 3.º de ESO practican atletismo?

— ¿Cuántos chicos juegan al baloncesto o al fútbol?

2. Los extremos de la hipotenusa de un triángulo rectángulo se encuentran en los puntos A (−2, 3) y B (1, 7). Repre-senta dicho triángulo en un sistema de coordenadas cartesianas si sabemos que el tercer vértice se encuentra enel primer cuadrante y uno de los catetos es paralelo al eje de ordenadas.

— ¿Si cada división de los ejes equivale a 1 m, ¿cuáles son las longitudes de los lados?, ¿cuál es la superficie deltriángulo?

3. La gráfica de la derecha nos muestra la velocidad de un co-che de Fórmula 1 durante su primera vuelta a un circuito.

a) ¿Cuánto tiempo ha tardado el coche en dar esta primeravuelta?

b) ¿En qué instante ha alcanzado la velocidad máxima?

c) ¿Cuándo ha disminuido su velocidad?

4. Los siguientes datos corresponden a las veces que han ido al cine durante el último mes cada uno de los alum-nos de una clase:

3, 1, 0, 1, 2, 2, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 2, 1, 2, 2, 0, 1

a) Construye una tabla estadística con las frecuencias absoluta y relativa de cada valor.

b) ¿Cuántas veces, por término medio, han ido al cine los alumnos?

c) ¿Qué tanto por ciento de los alumnos ha ido dos veces al cine durante el mes pasado?

5. Representa los datos de la actividad anterior en un diagrama de barras.

6. El siguiente diagrama de sectores corresponde a las edades de los miembros del grupo de teatro del colegio. Sisabemos que hay 8 miembros de 13 años, calcula:

a) ¿Cuántos miembros hay de 12 años?

b) ¿Cuántos integrantes tiene el grupo?

En 1.º de la ESO practican baloncesto 8 chicas y 8 chicos, juegan al fútbol 15 chicasy 10 chicos y hacen atletismo 13 chicas y 10 chicos. En 2.º de la ESO juegan al ba-loncesto 8 chicas y 10 chicos, juegan al fútbol 10 chicas y 12 chicos y practican atle-tismo 10 chicas y 15 chicos. En 3.º de la ESO practican baloncesto 12 chicas y 8 chi-cos, juegan al fútbol 12 chicas y 15 chicos y hacen atletismo 8 chicas y 10 chicos. En4.º de la ESO juegan al baloncesto 10 chicas y 12 chicos, juegan al fútbol 12 chicas y16 chicos y practican atletismo 8 chicas y 13 chicos.

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 Tiempo (s)

300250200150100

50

Velocidad (km/h)

15 años19,23%

11 años11,54%

12 años15,38%

13 años30,77%

14 años23,08%

117

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gráf

icos


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�

1.

— 8 chicas.

— (8 + 10 + 8 + 12) + (10 + 12 + 15 + 16) = 91

91 chicos.

1.º ESO 2.º ESO 3.º ESO 4.º ESO

Chicas Chicos Chicas Chicos Chicas Chicos Chicas Chicos

Baloncesto 8 8 8 10 12 8 10 12

Fútbol 15 10 10 12 12 15 12 16

Atletismo 13 10 10 15 8 10 8 13

2.

— 3 m, 4 m y 5 m.

S = 3 m · 4 m = 6 m 2

3. a) Ha tardado 80 s. b) Ha alcanzado la máxima ve-locidad a los 35 s de la salida. c) La velocidad hadisminuido desde los 10 s a los 20 s, de los 35 sa los 45 s y desde los 60 s a los 65 s.

4. a)

b) = 1,5

Por término medio cada alumno/a ha ido 1,5 ve-ces al cine.

c) 33 %.

5.

6. a) ⇒ x = 4

Hay 4 miembros de 12 años.

b) ⇒ x = 26

El grupo de teatro tiene 26 miembros.

x100

830,77

=

x15,38

830,77

=

0 4 1 5 2 6 3 2 418

⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ + + +

12

Veces que se haido al cine

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciarelativa

0 4 0,22

1 5 0,28

2 6 0,33

3 2 0,11

4 1 0,06

18 1

1 2 3 X–1–2–3

7Y

654321

0 1 2 3 4 N.o de veces quese ha ido al cine

6

5

4

3

2

1

N.o

de

alum

nos

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gráf

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2. Para averiguar los conocimientos de sus alumnos acerca del código de circulación, un profesor efectúa un testde 10 preguntas y obtiene los resultados que muestra la tabla

1. En una carrera de orientación, a un corredor le dan el siguiente mapa con las siguientes instrucciones:

— La salida está marcada con el punto S.

— Las coordenadas del punto de control A son (3, 2).

— El circuito debe recorrerse en el sentido contrario alas agujas del reloj.

— El primer punto por donde tienes que pasar es elmás alejado de la salida.

a) Dibuja los ejes de coordenadas. Si en realidad el punto A está a 300 metros al Este y 200 metros al Norte de lasalida, ¿cuántos metros representa cada cuadrado de la cuadrícula?

b) Halla las coordenadas de los 4 puntos de control.

c) ¿Cuál es el punto por donde debe empezar el corredor? ¿en qué orden deberá ir pasando por los puntos decontrol?

Un vez pasado el control del punto D y de camino hacia el A los organizadores avisan al corredor de que se estádesviando de la ruta pues se encuentra a 300 metros al este y 100 metros al sur del punto D.

d) Sitúa en el mapa el punto en qué se encuentra y halla sus coordenadas.

e) ¿Qué ruta debe seguir para llegar al punto de control A?

N.° respuestas correctas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

F. absoluta (n.° alumnos) 0 0 1 2 4 8 11 9 7 5 1 Total:

Frecuencia relativa Total: 1

C

B

S

A

D

N

S

EO

a) ¿Cuál es el total de alumnos que han efectuado el test?

b) Completa la tabla con las frecuencias relativas a cada resultado y el porcentaje.

c) Elabora un diagrama de barras con los datos de la tabla.

d) ¿Cuál ha sido el resultado más repetido? ¿Qué tanto por ciento del total representa?

3. La siguiente gráfica muestra los gastos y beneficios de un vende-dor en función del número de artículos que vende.

a) Vender 20 artículos le supone ¿ganar o perder dinero? ¿Quécantidad?

b) ¿A partir de qué número de artículos empieza a tener benefi-cios?

c) ¿Qué número de artículos deberá vender para tener un beneficiode 300 ∑?

0 100

100

200

300

400

500

600

∑

N.º artículos20 30 40 50 60

700

800

ingresos

gastos

119

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1. a)

— Cada cuadrado representan 100 metros

b) A (2, 3) ; B (−3, 4) ; C (−1, −2) ; D (3, −1)

c) Debe empezar por el punto de control B pues es el mas alejado. Orden de paso por los controles: B, C, D y A

d)

Se encuentra en el punto (2, −3).

e) Debe seguir una ruta 200 metros hacia el norte y 100 metros al este.

2. a) 48 alumnos

b)

C

B

S

A

D

E

C

B

S

A

D

0 10

34

6789

N.º

de

resp

ues

tas

corr

ecta

s

Nº. alumnos2 3 4 5

1011

21

5

6 7 8 9 10

N.° respuestas correctas 0 1 2 9 4 5 6 7 8 9 10

F. absoluta (n.° alumnos) 0 0 1 2 4 8 11 9 7 5 1 Total: 48

Frecuencia relativa 0 01

48

2

48

4

48

8

48

11

48

9

48

7

48

5

48

1

48Total: 1

Porcentaje 0 0 2,08 4,17 8,33 16,67 22,92 18,75 14,58 10,42 2,08 Total: 100

d) El mas repetido es 6 aciertos y representa un 23%.

3. a) Le supone perder 100 euros

b) A partir de 40 artículos.

c) 100 artículos.

c)

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s y

gráf

icos


Experimentos aleatorios y experimentos deterministas 1Ficha



Recuerda que podemos clasificar los experimentos en deterministas o aleatorios.

— Los experimentos deterministas son aquellos en los que es posible predecir el resultado antes de realizarlo.

— Los experimentos aleatorios son aquellos en que no es posible predecir el resultado antes de realizarlo.

1. Indica cuál de los siguientes experimentos son deterministas o aleatorios.

a) Sacar una carta de una baraja y anotar qué carta es.

b) Determinar la velocidad media a la que ha descendido un esquiador en un “slalom”.

c) Determinar el número de personas que acudirán al concierto de la fiesta mayor de un pueblo.

d) Determinar la cantidad de rayos que caerán en una tormenta.

e) Determinar el gasto de luz que hizo una familia el mes pasado.

f) Anotar el pie que calza la próxima persona que entrará en una tienda de zapatos.

g) Calcular la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 12 cm y 16 cm.

h) Contar el número de hormigas que viven en el interior de un hormiguero.

i) Hallar la distancia que hay entre la Tierra y el Sol.

De los experimentos aleatorios, aunque no sabemos el resultado que obtendremos antes de realizarlo, sí que podemossaber qué resultados se pueden dar.

2. Responde a las siguientes preguntas.

a) ¿Qué resultados podemos obtener si lanzamos una moneda al aire?

b) ¿Qué resultados podemos obtener si tiramos dos monedas a la vez?

c) ¿Qué valores pueden salir si lanzamos un dado de 12 caras?

d) Si escogemos una carta de una baraja española, ¿qué palo podemos obtener?

e) Si preguntamos a alguien en qué mes nació, ¿Qué nos puede responder?

Recuerda que cada caso particular que sé puede dar en un experimento recibe el nombre de suceso. Existen tres tiposde sucesos:

— Suceso seguro: Ocurre siempre

— Suceso imposible: no ocurre nunca

— Suceso probable (o improbable): ocurre alguna vez. Los podemos clasificar en muy improbable, improbable,probable, muy probable.

3. Clasifica estos sucesos según sean seguros, imposibles o probables

a) Lanzar un dado y que salga un número menor que 4.

b) Recorrer una distancia de 200 km a pie en 5 minutos.

c) Acabar un partido de fútbol con el resultado de 12 a 6.

d) Tirar dos dados y que la suma de sus resultados sea mayor o igual a dos.

e) Ir en autobús y sentarse al lado de la ventana.

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1. a) aleatorio; b) determinista; c) aleatorio; d) aleatorio; e) determinista; f) aleatorio; g) determinista; h) aleatorio; i) deter-minista

2. a) Cara o cruz.

b) cara y cara, cara y cruz o cruz y cruz

c) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 o 12.

d) Bastos, copas, espadas o oros

e) Enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre o diciembre.

3. a) Probable; b) Imposible; c) probable (poco probable); d) Seguro; e) Probable

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Refuerzo��


Recuerda que en el trabajo estadístico utilizamos tres parámetros que permiten interpretar con mayor facilidad los datosrepresentados: la frecuencia absoluta, la frecuencia relativa y la media aritmética.

— Frecuencia absoluta: Número de veces que se repite cada valor de la variable estadística asociada.

— Frecuencia relativa : Frecuencia absoluta dividida por el número total de datos.

— Media aritmética o promedio: valor representativo de un conjunto de datos que se obtiene al sumar todos los datos ydividirlos entre el número total de ellos.

1. Para demostrar que un dado de 4 caras no está trucado hemos realizado una primera serie de 60 lanzamientos

Los resultados obtenidos son los siguientes.

1 1 3 4 2 4 1 3 4 2 2 1 3 1 4

1 2 2 3 4 4 2 3 1 3 4 1 1 2 2

1 3 3 4 1 1 3 4 4 3 3 2 3 2 1

1 1 1 4 3 4 1 2 4 2 4 1 2 4 3

a) Completa la tabla de frecuencias:

Cara 1 2 3 4

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Cara 1 2 3 4

Frecuencia absoluta 99 103 100 98

b) ¿Cuánto vale la suma de todas las frecuencias absolutas? ¿Con qué número coincide?

c) ¿Cuánto suman todas las frecuencias relativas?

d) ¿Cuál es la media aritmética de las frecuencias relativas?

Continuamos el experimento y después de un total de 400 tiradas, los resultados son los siguientes:

e) ¿Cuánto valen ahora las frecuencias relativas de cada una de las caras?

f) ¿Estos valores son más o menos próximos a la media aritmética que las frecuencias relativas obtenidas cuando sehabían realizado 60 lanzamientos?

Así pues a modo de conclusión podríamos decir que:

Observando los resultados obtenidos al lanzar muchas veces un dado de 4 caras no trucado podemos afirmar que la....................... ....................... de un determinado resultado tiende a estabilizarse entorno a un valor fijo, en este caso alvalor ...... .

Es decir la probabilidad de que toque alguna de las 4 cara es .............. 123

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Cara 1 2 3 4

Frecuencia absoluta 18 13 14 15

Frecuencia relativa18

600 3= ,

13

600 22= ,

14

600 23= ,

15

600 25= ,

1. a)

b) 60. Es el número de tiradas realizadas

c) 1

d) 0,25

e) 0,25; 0,26; 0,25; 0,25

f) Son más próximos a la media aritmética.

... frecuencia relativa...; .... 0,25.... ; .... 0,25....

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Profundización��Nombre: ........................................................................................................ Curso: ......................................... Fecha: ........................................

Dada una serie de datos de un estudio estadístico, se definen unos parámetros estadísticos; es decir, unos valoresque nos permitirán resumir el estudio estadístico y obtener una idea de conjunto. Así, tenemos que:

• La moda es el dato que más se repite.

• La media aritmética es el valor que se obtiene de dividir la suma de todos los datos entre el número total de ellos.

• La mediana, en el caso de un número impar de datos, se corresponde con el valor del dato que ocupa el lugar cen-tral al situar todos los datos ordenados de menor a mayor y, en el caso de un número par de datos, es igual a la me-dia de los dos datos centrales.

1. La profesora de Educación Física ha contabilizado el número de flexiones por minuto que efectúa un grupo de 21 alumnos: 28, 33, 35, 25, 28, 30, 31, 33, 30, 35, 32, 37, 35, 33, 23, 38, 33, 33, 30, 35 y 30.

— Confecciona, con estos datos, una tabla de frecuencias, construye el diagrama de barras correspondiente ycalcula la moda, la media aritmética y la mediana.

2. La gráfica de la derecha recibe el nombre de picto-grama, que no es más que un diagrama de barras enel que sustituimos las barras por un icono alusivo a lavariable que se está estudiando.

A partir del pictograma que muestra el mes de naci-miento de los alumnos de la ESO de un centro escolar,resuelve los siguientes apartados.

a) Construye la tabla de frecuencias absolutas y relati-vas.

b) ¿Cuál es el valor de la moda?

c) Calcula la media mensual de nacimientos.

3. El gráfico siguiente es un climograma, en el que serepresentan los dos elementos característicos del clima de un área o región: la temperatura, expresada en gradoscentígrados mediante una gráfica lineal, y la cantidad de agua recogida por metro cuadrado, expresada en milí-metros mediante barras.

a) ¿Qué mes es el más caluroso? ¿En qué mes se producen más precipitaciones?

b) ¿Cuál es la moda de las temperaturas? ¿Y la de las precipitaciones?

c) Calcula la temperatura media anual y la media anual de precipitación.

d) Calcula la mediana de las temperaturas y la mediana de las precipitaciones.

50

40

30

20

10

E F M A M Jn Ju Ag S O N D

E F M A M Jn Ju Ag S O N D

90

mm

80

70

60

50

40

30

20

10

0

45

oC

40

35

30

25

20

15

10

5

0

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Profundización��A veces los experimentos aleatorios, constan de dos o mas experimentos simples y conocer el conjunto de resulta-dos que se pueden dar no es fácil. Para determinar los resultados posibles, muchas veces resulta útil hacer un dia-grama en árbol que consiste en hacer un recuento gráfico de las distintas posibilidades que presenta un experimentoaleatorio.

4. Señala el conjunto de resultados que pueden obtenerse en cada uno de los experimentos siguientes:.

a) Coger dos artículos al azar de un montón de ropa dónde hay camisetas, pantalones y bañadores.

b) Resultados que podemos obtener al tirar dos dados, uno de 4 caras y otro de 6 caras.

c) Cantidad de dinero que podemos obtener si sacamos tres monedas de una hucha donde hay monedas de 20 cén-timos, 50 céntimos y 1 euro

d) Resultados que se pueden dar en una tirada del juego piedra-papel-tijera.

e) Colores que podemos obtener al sacar 4 bolas de una urna donde hay 2 bolas negras, 5 bolas rojas, 4 amarillas y2 blancas.

5. Un juego de ordenador permite crear nuestro propio personaje. Podemos escoger si es chico o chica, si tiene el pelolargo o corto, si el color de pelo es rubio, castaño o moreno y si el color del vestido es rojo, azul, amarillo o verde.¿Cuántos personajes distintos podemos crear?

6. En una caja tenemos 2 pares de calcetines amarillos, 4 pares de calcetines rojos y 8 pares de calcetines negros.¿Cuál es el mínimo número de pares de calcetines que tenemos que coger para asegurarnos que cogemos 1 par decalcetines negros? ¿Y para asegurarnos un par de calcetines rojos?

En experimentos en que todos los resultados posibles tienen la misma probabilidades de salir, podemos calcular la pro-babilidad de un suceso A a partir del cociente:

7. En una urna tenemos 10 bolas enumeradas del 1 al 10. Halla la probabilidad de los sucesos siguientes:

a) Sacar el número 10.

b) Sacar un número menor que 6

c) Sacar, dos bolas y que la suma de ambas sea 12.

8. Calcula la probabilidad de sacar cada uno de los números en las siguientes ruletas.

9. En un estudio estadístico hecho a 60 alumnos de un curso de ESO se les ha preguntado cuántos hermanos tenían yel resultado ha sido el siguiente:

P Anúmero de resultados favorablesnúmeros

( ) =de resultados posibles

312

1

23

31

21

23

1

32

1

3

Número de hermanos 0 1 2 3 o más

Número alumnos 12 24 15 9

Si escogemos un alumno al azar halla la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) Que tenga 2 hermanos

b) Que tenga mas de dos hermanos

c) Que tenga menos de dos hermanos126

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1. El número de zapatos de cada uno de los alumnos de una clase es el siguiente:

40 39 40 41 39 38 42 39 40 41 41 37 40

40 40 38 42 41 39 38 39 40 42 37 40

a) Construye una tabla estadística para cada uno de los números, indicando las frecuencias absolutas, relativasy porcentajes de cada una de ellas.

b) ¿Cuál es el número de zapato más común?

c) Halla la media aritmética.

2. Clasifica los siguientes experimentos según sean deterministas o aleatorios.

a) Determinar el color de los pantalones de la próxima persona que entre en un supermercado.

b) Determinar la hora exacta en que amanecerá.

c) Conocer el resultado de un partido de fútbol antes de que empiece.

d) Determinar el color de una bola extraída de dentro una bolsa donde hay distintas bolas del mismo tamaño ydistinto color.

e) Determinar el área de una circunferencia conociendo su radio.

3. Determina el conjunto de resultados que se pueden dar en cada uno de los siguientes experimentos y clasifica-los de más probables a menos probables.

a) Coger una ficha de dominó y que sume 10.

b) Coger una carta de una baraja española y que sea una figura.

c) Lanzar un dado de 10 caras y que salga un número menor que 4.

d) Lanzar 2 monedas una después de la otra y que salga mínimo una cara.

4. Un corredor entrena de lunes a viernes en una pista de atletismo de 400 metros de longitud para prepararse paralas carreras que normalmente son el sábado. El siguiente gráfico muestra su rutina de entrenamientos basado enel número de vueltas que da a la pista cada día.

Lunes0

20

40

N.º

de

vuel

tas 60

30

50

10

Martes Miércoles Jueves Viernes

a) ¿Cuántos kilómetros hace el día que entrena más?

b) ¿Qué media de kilómetros hace en los cinco días de entrenamientos?

c) La semana que tiene carrera el sábado, hace una media de 11,4 kilómetros al día . Teniendo en cuenta que eldomingo descansa, y no se contabiliza a la hora de hacer la media, ¿de qué distancia son las carreras en queparticipa?

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�

1. a)

b) 40

c) 39,6

2. a) Aleatorio; b) determinista; c) aleatorio ; d) aleatorio; e) determinista.

3. a) Cinco/cinco (doble cinco) o cuatro/seis.

b) Sota de bastos, caballo de bastos, rey de bastos, sota de copas, caballo de copas, rey de copas, Sota de es-padas, caballo de espadas, rey de espadas, sota de oros, caballo de oros, rey de oros.

c) 1, 2 y 3

d) cara - cara, cara - cruz y cruz - cara.

4. a) 50 x 400 = 20 000 m = 20 km.

b)

Entrenando realiza una media de 12,8 km la semana.

c) .

Participa en carreras de 10 km.

12 82

11 4 11 4 2 12 8 10,

, ; , ,+ = = × − =x

x

8 16 12 20 85

12 8+ + + + = ,

Número de zapato 37 38 39 40 41 42

Frecuencia absoluta 2 4 5 7 4 3

Frecuencia relativa2

250 08= ,

4

250 16= ,

1

50 20= ,

7

250 28= ,

4

250 16= ,

3

25= 00 12,

Porcentaje 8% 12% 20% 32% 16% 12%

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1. Las temperaturas máximas de una ciudad a lo largo de un mes han sido las siguientes:

18 18 20 21 18 19 20 21 21 21 21 23 24 20 19

18 19 21 20 20 18 18 19 20 21 21 23 21 19 18

a) Construye una tabla estadística para cada una de las temperaturas indicando las frecuencias absolutas y re-lativas de cada una de ellas

b) Representa los datos en un diagrama de barras

c) ¿Cuál ha sido la máxima más elevada? ¿En cuántos días se ha llegado esta temperatura? ¿Y la más baja?

d) ¿Cuál ha sido la temperatura que más se ha repetido?

e) ¿Cuántos días ha habido con temperaturas inferiores a 21 grados?

f) ¿Cuál a ha sido la media aritmética de las máximas?

2. La siguiente gráfica muestra las notas del segundo trimestre de los alumnos de 1.º de ESO de un instituto en laasignatura de matemáticas.

a) Si los alumnos están repartidos en tres clases, ¿cuántos alumnos hay por clase?

b) ¿Cuál es la nota más repetida?

c) Si la media aritmética del primer trimestre de todos los alumnos era de 6 ¿en el segundo trimestre la media hasubido o bajado? ¿Cuál es ahora la media de los dos primeros trimestres?

3. Para realizar un estudio de movilidad, se han escogido los alumnos de dos clases y se les ha preguntado conqué transporte iban al instituto. Los resultados se muestran en las siguientes tablas:

Contesta a las siguientes personas y justifica tu respuesta.

a) Si escogemos un alumno al azar ¿es mas probable que vaya a la clase A o a la clase B?

b) Si escogemos un alumno de la clase A ¿en qué transporte es más probable que vaya al instituto? ¿Y en quetransporte es menos probable? ¿Y si lo escogemos de la clase B?

c) Si escogemos un alumno que va en transporte público, ¿a qué clase irá con más probabilidad? ¿Y si escoge-mos uno de los que va a pie? ¿Y uno de los que va en bicicleta?

Frec

uen

cia

2

Nota1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

TransporteCoche/moto

BicicletaTransporte

públicoA pie

N.º Alumnos 6 3 11 8

TransporteCoche/moto

BicicletaTransporte

públicoA pie

N.º Alumnos 9 3 8 12

CLASE A CLASE B

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1. a)

b)

c) Máxima más elevada: 24ºC que se registró 1 único día.

Máxima más baja: 18ºC que se registró en 7 días.

d) La temperatura máxima que más sé ha repetido es de 21ºC.

e) En 18 días la máxima ha sido inferior a 21 ºC.

f)

La media aritmética de las máximas es de 20ºC.

2. a) 84 : 3 = 26

b) 7

c)

Ha subido. En el segundo trimestre la media es de 6,2; así, la media de los dos primeros trimestres es 6,1

3. a) De la clase B pues del total de 60 alumnos, 32 van a la clase B.

b) Lo más probable es que vaya en transporte público y lo menos probable es que vaya en bicicleta pues de los28 alumnos de la clase B, 11 van en transporte público y 3 en bicicleta.

c) Un alumno que va en transporte público es más probable que vaya a la clase A mientras que si va a pie es másprobable que sea de la clase B. Si va en bicicleta es igual de probable que vaya a la clase A o a la clase B.

2 1 3 1 4 8 5 18 6 16 7 21 8 9 9 5 10 384

6× + × + × + × + × + × + × + × + × = ,,2

18 7 19 5 20 6 21 9 23 2 2430

20× + × + × + × + × + =

Temperatura 18 19 20 21 22 23 24

Frecuencia absoluta

7 5 6 9 0 2 1

Frecuencia relativa

7

300 23= ,

5

300 17= ,

6

300 2= ,

9

300 3= ,

0

300= 2

300 07= ,

11

300 03= ,

Frec

uen

cia

1

Temperatura (ºC)

18 19 20 21 22 23 24

2

3

4

5

6

7

8

9

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Otros recursospara la evaluación


� Evaluación inicial (primera parte)


1. Completa:

1 decena = …..…...… unidades

1 unidad de mil = …..…...… centenas

1 decena de mil = …..…...… decenas

2. Escribe con letras los números siguientes.

a) 700 032 b) 2 567 971 c) 12 379 834

3. En un laboratorio se envasan comprimidos en cajas pequeñas de 15 comprimidos y en cajas grandes de 45 com-primidos. Se quiere fabricar un lote de 500 cajas pequeñas y 800 cajas grandes. ¿Cuántos comprimidos son ne-cesarios?

4. Escribe dos números que sean divisores de 13 y dos números que sean divisores de 42.

5. Expresa con números enteros estos datos.

a) La temperatura es de 5 grados bajo cero.

b) El ascensor se dirige a la planta 2 del subterráneo.

c) Este pico tiene una altura de 3 000 metros.

d) El submarinista está a una profundidad de 10 m bajo el mar.

6. Ordena del más grande al más pequeño los números siguientes.

7. A un partido de fútbol asistieron 62 500 espectadores. Si eran hinchas del equipo local y eran neu-

trales, ¿cuántos espectadores apoyaban al equipo visitante?

8. Señala la cifra de las décimas y la de las centésimas de cada uno de los siguientes números.

2,43; 15,04; 0,03; 21,4

9. Coloca de forma adecuada y efectúa las siguientes operaciones.

a) 216,32 + 31,7 + 12,76 c) 21,43 × 12

b) 456,23 − 12,56 d) 134,23 − 3,7 + 12,45

10. Clasifica las siguientes unidades según sean de longitud, masa, capacidad, superficie o volumen.

11. Indica la unidad que creas adecuada para medir:

a) La extensión de tu país. d) La capacidad de un vaso.

b) La tara de un camión. e) La altura de tu escuela.

c) La masa de una naranja. f) El volumen de un armario.

12. Efectúa las siguientes transformaciones.

a) 28 km = ............................. dm d) 1 q = ............................. kg

b) 0,76 hL = ............................. dL e) 12,5 hg = ............................. mg

c) 124,3 dL = ............................. hL f) 35 dag = ............................. kg

120

45

12

32

14

16

43

62

; ; ; ; ;

kilolitro - metro cuadrado - decigramo - tonelada

centímetro cúbico - área - decámetro - quintal

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1. 1 decena = 10 unidades; 1 unidad de mil = 10 centenas; 1 decena de mil = 1 000 decenas.

2. a) Setecientos mil treinta y dos.

b) Dos millones quinientos sesenta y siete mil novecientos setenta y uno.

c) Doce millones trescientos setenta y nueve mil ochocientos treinta y cuatro.

3. 15 × 500 + 45 × 800 = 7 500 + 36 000 = 43 500.


Divisores de 13: el 13 y el 1. Divisores de 42: el 2 y el 3.

5. a) −5; b) −2; c) 3 000; d) −10.

6.

7. 62 500 − 62 500 × − 62 500 × = 9 375.

8. Décimas: 4; 0; 0; 4; centésimas: 3; 4; 3; 0.

9. a) 260,78 c) 257,16

b) 443,67 d) 142,98

10. Longitud: decámetro; masa: decigramo, tonelada y quintal; capacidad: kilolitro; superficie: metro cuadrado yárea; volumen: centímetro cúbico.

11. a) Kilómetros cuadrados d) Centilitros

b) Toneladas e) Metros

c) Gramos f) Metros cúbicos

12. a) 280 000 d) 100

b) 760 e) 1 250 000

c) 0,1243 f) 0,35

120

45

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> > > > > .

Evaluación inicial (primera parte)

Solucionario�

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� Evaluación inicial (segunda parte)

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13. Escribe el nombre de tres instrumentos de dibujo que utilices habitualmente.

14. Indica el nombre de los siguientes polígonos.

15. Cita dos clasificaciones distintas de los triángulos, indicando en cado caso el criterio aplicado.

16. Escribe una frase con la palabra perímetro y otra con la palabra superficie.

17. Considera la figura de la derecha y dibuja:

a) Un rectángulo que tenga el mismo perímetro pero área diferente.

b) Un rectángulo que tenga la misma área pero perímetro diferente.

18. ¿Cuántos metros recorre un atleta al dar una vuelta completa a esta pista deatletismo?

19. Observa la tabla de la derecha y responde a las siguientes cues-tiones.

a) ¿Qué país ha conseguido la mejor marca en cada una de laspruebas?

b) ¿Hay algún país que no haya participado en la prueba de dis-co?

c) ¿Qué país ha conseguido una distancia de lanzamiento depeso superior en 5 décimas a la de Francia?

d) Escribe, ordenadas de menor a mayor, las longitudes alcan-zadas en lanzamiento de peso.

20. El diagrama de barras de la derecha indica el número de alumnos de un colegio que han nacido en los diferentesmeses del año.

a) ¿Cuántos alumnos nacieron el mes de enero?

b) ¿En qué mes nacieron más alumnos? ¿Y menos?

c) ¿Cuántos alumnos hay en el colegio?


3 cm

4 cm

PaísPeso(m)

Disco(m)

Jabalina(m)

Alemania 20,5 66 80

Bélgica 18 62 75

Dinamarca 17 - 82

España 19 64 84

Francia 18,5 60 85

Grecia 17 68 81

60

50

40

30

20

10

E F M A M J J A S O N D

Nº.

de

alum

nos

b

a

c d e

110 m

45 m


Evaluación inicial (segunda parte)

Solucionario�

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13. Respuesta sugerida: compás, regla y escuadra.

14. a. triángulo; b. cuadrilátero (romboide); c. pentágono; d. dodecágono; e. trapecio.

15. Según sus lados: equiláteros, isósceles o escalenos; según sus ángulos: obtusángulo, rectángulo y acutángulo.


Los focos estaban distribuidos a lo largo del perímetro de la mansión. La superficie cultivable de la Tierra va disminuyendo.

17. a) Respuesta sugerida:

b) Respuesta sugerida:

18. Perímetro de la semicircunferencia: π · 45 = 141,3 m

Perímetro de la pista: 2 · 141,3 + 2 · 110 = 502,6 m

19. a) Peso: Alemania, disco: Grecia, jabalina: Francia.

b) Sí, Dinamarca.

c) España.

d) 17 < 18 < 18,5 < 19 < 20,5.

20. a) 20 alumnos.

b) Abril es el mes en que más alumnos nacieron, y marzo y septiembre los meses en los que menos alumnos nacieron.

c) 325 alumnos.

3 cm

2 cm

6 cm

2 cm


Indicadorespara la evaluación continua

Las profesoras y los profesores de la ESO deberán evaluar los aprendizajes desus alumnos en relación con los objectivos generales. Éstos, por su formula-ción y grado de generalización, resultan difícilmente evaluables; por ello sehace necesario enumerar una serie de datos y observaciones que pueden to-marse como indicadores de la presencia y el desarrollo de las capacidades aque apuntan los objetivos generales.

Con el fin de orientar a profesoras y profesores en la evaluación continua, laeditorial Edebé ofrece, a continuación, unos indicadores de evaluación por tri-mestres que recogen las capacidades enunciadas en los objectivos generalesde la materia.

137

© grupo edebé


Pri

mer

tri

mes

tre

Utiliza los números naturales para expresar e interpretar situaciones cotidianas.

Representa sobre la recta números naturales.

Opera correctamente con números naturales.


Aplica estrategias de cálculo mental.

Conoce el concepto de potencia y su notación.

Aplica las reglas para operar con potencias.

Conoce el concepto de raíz cuadrada y su notación.

Determina múltiplos y divisores de un número.

Conoce las propiedades de los múltiplos y los divisores.

Maneja los criterios de divisibilidad.

Distingue los números primos de los compuestos.

Efectúa la descomposición de un número en factores primos.

Calcula el m.c.m. y el M.C.D. de dos o más números.

Resuelve problemas cotidianos en los que debe calcularse el m.c.m. o el M.C.D.

Utiliza los números enteros para expresar situaciones cotidianas.

Representa números enteros sobre la recta.

Compara y ordena números enteros.

Opera correctamente con números enteros.


Lee y escribe correctamente números fraccionarios.

Compara fracciones con la unidad correctamente.

Calcula la fracción de un número.

Identifica y calcula fracciones equivalentes.

Reconoce fracciones irreducibles.

Simplifica fracciones.

Reduce fracciones a común denominador.

Compara y ordena fracciones, decimales y porcentajes.

Expresa un número fraccionario como decimal.

Opera correctamente con números fraccionarios.

Analiza el enunciado de un problema antes de afrontar su resolución.

Expresa verbalmente el procedimiento seguido en la resolución de un problema.

Aplica el método de razonamiento inverso para resolver problemas.

Utiliza esquemas en la resolución de problemas.

Reconoce la utilidad de la calculadora y decide sobre la conveniencia de usarla o no.

Revisa sistemáticamente los resultados.

Utiliza la calculadora para facilitar cálculos de tipo numérico.

Presenta de manera clara y ordenada los trabajos.

Reconoce los beneficios del trabajo en equipo.

Valora positivamente el esfuerzo para buscar soluciones.

Valora la utilidad de los diferentes tipos de números.

Aritm

étic

a y

álge

bra

Indi

cado

res

rela

cion

a-do

s co

n lo

s ob

jetiv

osde

la m

ater

ia

Nom

bre

del a

lum

no/a

Otro

s

Valoración global

138

© grupo edebé


Seg

und

o t

rim

estr

e

Utiliza los números decimales para expresar situaciones cotidianas.

Conoce el valor de posición de las cifras decimales.

Representa sobre la recta números decimales.

Compara y ordena números decimales.

Opera correctamente con números decimales.

Redondea números decimales.

Efectúa cálculos en los que intervienen porcentajes.

Traduce expresiones del lenguaje cotidiano al algebraico, y viceversa.

Obtiene el valor numérico de expresiones algebraicas.

Efectúa operaciones con expresiones algebraicas sencillas.

Resuelve ecuaciones sencillas de primer grado con una incógnita.

Resuelve problemas utilizando la estrategia de ensayo-error.

Resuelve problemas utilizando la estrategia de simplificación y búsqueda de regularidades.

Tiene el hábito de reflexionar ante sus aciertos y errores.

Valora la utilidad del lenguaje algebraico en ámbitos diversos.

Entiende los conceptos de magnitud y unidad.

Conoce las unidades de longitud, masa, capacidad, superficie y volumen.

Conoce las equivalencias entre las diferentes unidades de una misma magnitud.

Utiliza factores de conversión para transformar unas unidades en otras.

Sabe hallar la forma compleja de una medida expresada en forma incompleja, y viceversa.

Compara y opera con medidas expresadas en diferentes unidades.

Reconoce los instrumentos de medida de longitud, masa y capacidad más usuales.

Efectúa estimaciones de medidas de longitud.

Conoce los elementos básicos de la geometría.

Simboliza correctamente puntos, rectas y planos.

Distingue las diferentes posiciones relativas de dos rectas en el plano.

Reconoce semirrectas y segmentos.

Entiende el concepto de ángulo.

Compara ángulos y efectúa operaciones con ellos.

Identifica los diferentes tipos de ángulos.

Conoce las diferentes unidades de medida de ángulos y sus equivalencias.

Sabe hallar la forma compleja de una medida angular expresada en forma incompleja, y viceversa.

Opera correctamente en el sistema sexagesimal.

Utiliza con precisión el transportador de ángulos.

Utiliza correctamente los instrumentos de dibujo para trazar rectas paralelas y perpendiculares.

Sabe trazar la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.

Sabe dividir un segmento en partes iguales sin efectuar ninguna medición.

Verifica la coherencia de las unidades en problemas en los que intervienen diferentes magnitudes.

Resuelve problemas mediante la estrategia de experimentar con la posible solución.

Expresa los resultados numéricos de las mediciones acompañados de la unidadcorrespondiente.

Estima el tiempo aproximado en llevar a cabo una actividad.

Reconoce y valora la utilidad de la geometría para expresar situaciones relativas alentorno.

Muestra sensibilidad y gusto por la presentación cuidadosa de los trabajos.

Aritm

étic

a y

álge

bra

Geo

met

ríaIn

dica

dore

s re

laci

ona-

dos

con

los

obje

tivos

de la

mat

eria

Nom

bre

del a

lum

no/a

Otro

s

Valoración global

139

© grupo edebé


140

© grupo edebé

Terc

er t

rim

estr

e

Identifica y clasifica polígonos.

Calcula el número de diagonales y la suma de los ángulos de un polígono convexo.

Sabe hallar el valor del ángulo central de un polígono regular.

Clasifica correctamente los triángulos.

Construye triángulos a partir de unos datos concretos.

Conoce y aplica los criterios de igualdad de triángulos.

Identifica correctamente las rectas notables de un triángulo.

Conoce la clasificación de los cuadriláteros.

Construye paralelogramos con regla y compás.

Sabe hallar la forma compleja de una medida de superficie expresada en formaincompleja, y viceversa.

Conoce las unidades agrarias.

Utiliza factores de conversión para transformar unas unidades en otras.

Compara y opera con medidas de superficie expresadas en diferentes unidades.

Calcula el perímetro y el área de figuras planas.

Efectúa estimaciones y cálculos de áreas.

Aplica correctamente el teorema de Pitágoras.

Reconoce los diferentes elementos de la circunferencia.

Diferencia las posiciones relativas de: punto - circunferencia, recta - circunferencia,circunferencia - circunferencia.

Identifica los diferentes tipos de ángulos en la circunferencia.

Calcula el valor de los ángulos inscritos, interiores y exteriores a una circunferencia.

Reconoce polígonos inscritos y polígonos circunscritos a una circunferencia.

Dibuja polígonos regulares inscritos en una circunferencia.

Sabe calcular la longitud de una circunferencia y la de un arco de circunferencia.

Reconoce y construye círculos.

Calcula el área del círculo.

Sabe emplear herramientas informáticas para construir figuras geométricas.

Resuelve problemas utilizando la estrategia de similitud con otro problema resuelto.

Resuelve problemas utilizando la estrategia de descomponer el problema en subproblemas.

Resuelve problemas utilizando la estrategia de modificar el problema.

Representa un punto en un sistema de ejes coordenados e identifica un puntoa partir de sus coordenadas.

Conoce la utilidad de las tablas de valores y de las gráficas cartesianas.

Elabora e interpreta tablas estadísticas a partir de conjuntos de datos.

Interpreta y elabora gráficos estadísticos (diagramas de sectores y de barras).

Utiliza la estrategia de organización de la información para resolver problemas.

Distingue entre fenómenos aleatorios y deterministas.

Calcula las frecuencias absoluta y relativa de un suceso.

Asigna probabilidades a sucesos.

Utiliza la calculadora para facilitar cálculos de tipo estadístico.

Muestra una actitud crítica ante las informaciones presentes en los medios decomunicación en forma de tablas y gráficas.

Muestra sensibilidad por la precisión y la claridad en el tratamiento y presentaciónde conjuntos de datos y resultados.

Geo

met

ríaTr

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n y

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rIn

dica

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laci

ona-

dos

con

los

obje

tivos

de la

mat

eria

Nom

bre

del a

lum

no/a

Otro

s

Valoración global


141

© grupo edebé


1. Un grupo accionista compró 324 acciones de Vitriosa a 13 ∑ cada una, 46 acciones de Metrocicle a 195 ∑ cadauna y 56 acciones de BBM a 44 ∑ cada una. Más tarde vendió 278 acciones de Vitriosa a 16 ∑ cada una, 46 acciones de Metrocicle a 189 ∑ cada una y 49 acciones de BBM a 48 ∑ cada una. Calcula:

a) Cuántas acciones se quedó el grupo accionista.

b) El importe total de la compra de las acciones

c) Los euros que ganó (o perdió) el grupo por la venta de las acciones.

2. El suelo de una habitación mide 60 dm de ancho por 84 dm de largo. Queremos embaldosar el suelo con baldo-sas cuadradas, de manera que el número de baldosas sea exacto y éstas sean lo más grandes posible. ¿Cuálserá la medida de estas baldosas?

3. Ana se encuentra el coche sin gasolina y reposta en la estación de servicio 15 litros, con lo que el depósito se encuentra a un tercio de la capacidad. Utiliza el coche durante la semana y comprueba que puede recorrer272 km con esa gasolina.

a) ¿Cuál es la capacidad del depósito de gasolina de su coche?

b) ¿Cuánto consume el vehículo por cada 100 km?

4. En un congreso científico la mitad de los ponentes son españoles. Del resto, la cuarta parte son franceses. De losque quedan, dos quintas partes son italianos. Los nueve ponentes restantes son alemanes. ¿Cuántos ponenteshay en total? ¿Cuántos hay de cada nacionalidad?

5. Eduardo trabaja de lunes a viernes en el turno de mañana, tarde o noche. Este mesha trabajado la mitad de los días laborables en el turno de mañana y 3/5 partes delresto de días en el turno de tarde. El resto de días los ha trabajado en el turno denoches, en guardias de 12 horas.

Por cada noche trabajada la empresa le compensa con un día y medio libre el messiguiente.

¿Cuántos días libres le corresponderán?

6. Omar ha ido de compras a unos grandes almacenes. Compra una camisa de 35 ∑ que tiene un 14 % de des-cuento y un disco de 18 ∑ que tiene un descuento del 30 %. Si salió de casa con 60 ∑, ¿cuánto dinero le queda-rá después de realizar las compras?

7. ¿Qué edad tiene María si dentro de 5 años tendrá el doble de la edad que tenía hace tres años?

8. La figura muestra las distintas opciones de pase queofrece un juego de ordenador para el jugador A consus compañeros de equipo B, C o D. El centro delcampo coincide con el origen de coordenadas y cadaunidad corresponde a 1 m.

Las coordenadas del jugador A son (3, 4). B se en-cuentra a la misma distancia de la línea central delcampo que el jugador A y D a la misma distancia de subanda que el jugador A de la suya. La posición de C es simétrica de la de D respecto de la línea cen-tral del campo.

a) Señala la posición de los jugadores B, C y D.

b) Calcula la distancia a la que se encuentra el jugador C del jugador A.

3

10

17

24

4

11

18

25

5

12

19

26

6

13

20

27

7

14

21

28

2

9

16

23

30

1

8

15

22

29

B

C

A

D

Prueba final de competencias básicas (primera parte)�


142

© grupo edebé

Prueba final de competencias básicas (primera parte)

Solucionario�

1. a) Acciones compradas: 324 + 46 + 56 = 426

Acciones vendidas: 278 + 46 + 49 = 373

El grupo se quedó 426 − 373 = 53 acciones.

b) 324 × 13 + 46 × 195 + 56 × 44 = 15 646 ∑

c)

Compra: 278 × 13 + 46 × 195 + 49 × 44 =

= 14 740 ∑

Venta: 278 × 16 + 46 × 189 + 49 × 48 = 15 494 ∑

El grupo ganó 15 494 − 14 740 = 754 ∑.

2. 60 = 22 · 3 · 5

84 = 22 · 3 · 7

M.C.D. (60, 84) = 22 · 3 = 12

Las baldosas deben medir 12 dm de lado.

3. a) x = 45

La capacidad es de 45 litros.

b) El consumo por kilómetro será:

Por tanto, el consumo en 100 km será:

El consumo del coche es 5,51 L/100 km.

4. Realizamos un esquema:

Restan:

Restan: de =

Restan: de =

Hallamos la cantidad cuyos son 9.

de ............ = 9

9 : 9 = 1 ; 1 × 40 = 40

Hay 40 ponentes en total.

— Españoles: de 40 = 20 Restan: 20

— Franceses: de 20 = 5 Restan: 15

— Italianos: de 15 = 6 Restan: 9

— Alemanes: 9

5. El número de días laborables es:

30 − 10 = 20

Días con turno de noche:

20 − 20 − 20 = 4

Por tanto:

4 · 1,5 = 6

Le corresponderán 6 días.

6. Descuento: 35 × 0,14 = 4,90

Precio de la camisa: 35 − 4,90 = 30,10

Descuento: 18 × 0,30 = 5,40

Precio del disco: 18 − 5,40 = 12,60

60 − (30,10 + 12,60) = 17,30

Le quedan 17,30 ∑.

7. Edad actual: x

Edad dentro de 5 años: x + 5

Edad hace 3 años: x − 3

x + 5 = 2 · (x − 3) ⇒ x + 5 = 2x − 6

x − 2x = − 6 − 5 ⇒ −x = − 11 ⇒ x = 11

Tiene 11 años.

8. a) B (−3, 4); C (−3, −4); D (3, −4).

b) AC = = = 10

Se encuentra a 10 m.

1008 62 2+

12

35

12

25

14

12

940

940

940

38

35

38

12

34

12

100 0 0551 5 51kmL

kmL⋅ =, ,

150 0551

L272 km

Lkm

= ,

13

15x =

25

35

34

14

12

12

Cantidad P. compra P. venta

Vitriosa 278 13 16

Metrocicle 46 195 189

BBM 49 44 48


143

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9. Se dispone de 3 750 piezas cuadradas de azulejo y se quieren gastar todas ellaspara revestir totalmente el exterior de un cubo. Indica cuántas filas y columnasde azulejos hay que colocar en cada una de las caras del cubo.

10. Ordena de menor a mayor las longitudes de estos objetos. Para ello, exprésalas previamente en forma incom-pleja de metros.

11. Juan es un experto jugador de billar y sabe que si golpea labola de la forma que indica la figura, formando un ángulo de42° con la banda, se introducirá directamente en el agujero.Determina el valor de los otros ángulos que forma la trayectoriade la bola con las bandas. Ten en cuenta que los ángulos for-mados por la trayectoria de la bola con la banda, antes y des-pués de chocar con ésta, son iguales.

12. Tras la confección de distintos modelos de bolsos, un industrial se encuentra con distintos retales de piel de lasformas y tamaños siguientes.

Calcula la superficie de cada una de las piezas.

13. Una academia de enseñanza imparte clases de repaso de varias materias. Éste es el número de alumnos que sehan matriculado en cada una de ellas.

a) Representa estos datos mediante un diagrama de barras.

b) ¿Cuántos alumnos hay en una clase por término medio?


A = 42°B

C

ED

12

3,4

5

7,5

2,3

1

2

3

24

42b

a e

d

c

Objeto MesaPuerta Armario Portería de fútbol Valla

Longitud 1 m 6 dm 2 cm18,5 dm 256 cm 7,32 m 0,547 dam

Matemáticas 26

Música 3

Lengua y Literatura 21

Inglés 12

C. Sociales 15

C. de la Naturaleza 16

Plástica 2

Tecnología 5

Prueba final de competencias básicas (segunda parte)�


9. El cubo tiene 6 caras cuadradas. En cada cara:

En cada una de las caras:

En cada lado 25 filas de 25 azulejos.

10. Mesa 1,62 m

Puerta 1,85 m

Armario 2,56 m

Valla 5,47 m

Portería de fútbol 7,32 m

11.^B = 90°^C = 90° − ^

A = 90° − 42° = 48°. Por ser complemen-tarios.^D = ^

C = 48° Por ser alternos internos.^E = 90° − ^D = 90° − 48° = 42°.

12. a)

b) A = (2 cm + 4 cm) · 4 cm = 24 cm2

c) P = 5 · 5 cm = 25 cm

d)

e) A = π · (6 cm)2 = 56,5 cm2

13. a)

b)

Hay 12,5 alumnos por término medio.

26 3 21 12 15 16 2 58

12 5+ + + + + + + = ,

12

h 22= − =1 172 ,

A7,5 cm 2,3 cm

2cm= ⋅ = 8 6 2,

625 25=

3 7506

625=

25

20

15

10

5

0

N.° de alumnos

Matemáticas

Música

Lengua yLiteratura

Inglés

C. Sociales

C. de laNaturaleza

Plástica

Tecnología

A2 cm 3,4 cm

2cm2= ⋅ =5

42 5,

A(6 cm 3 cm)

2,7 cm2= =+

1

144

© grupo edebé

Prueba final de competencias básicas (segunda parte)

Solucionario�


Para consultar el proyecto de etapa, la programación del curso y otros recursos visitar la web:

www.edebe.com/educacion/9747

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