T3-RazonamientoAproximado

Ingeniera Electrnica Control Lgico Curso 2008-2009Mdulo II: Teora de Conjuntos Difusos

Tema 3: Razonamiento AproximadoJorge Casillas BarranqueroDpto. Ciencias de la Computacin e Inteligencia Artificial Universidad de Granadahttp://decsai.ugr.es/~casillas

Progreso de la asignaturaTema 11 2 3 4 5 6 7

Tema 38

Tema 5

Tema 7

Tema 9

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Tema 2

Tema 4

Tema 6

Tema 8

Mdulo I: Introduccin Mdulo II: Teora de Conjuntos DifusosTema 2: Introduccin a la lgica difusa (5h) Tema 3: Razonamiento aproximado (3h)

Mdulo III: Control Difuso Mdulo IV: Diseo Automtico de Controladores Difusos

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Tema 3: Razonamiento Aproximado

Ingeniera Electrnica, Control Lgico, 2008-09

Tema 3: Razonamiento Aproximado1. Variables lingsticas1.1. 1.2. 1.3. 1.4. Definicin Modificadores lingsticos Variables difusas Consideraciones generales

2. Reglas difusas

2.1. Proposiciones difusas 2.2. Reglas difusas 2.3. Operadores de implicacin

3. Razonamiento aproximado

3.1. Razonamiento en lgica clsica 3.2. Modus ponens generalizado 3.3. Regla composicional de inferenciaJorge Casillas Tema 3: Razonamiento Aproximado Ingeniera Electrnica, Control Lgico, 2008-09

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Tema 3: Razonamiento AproximadoObjetivos:Comprender el concepto de variable lingstica y su uso para manejar conceptos expresados lingsticamente Conocer el concepto de regla difusa, distintas interpretaciones de la misma, junto con sus propiedades y frmulas de clculo Repasar las reglas de inferencia bsicas y comprender su generalizacin a proposiciones difusas Entender la regla composicional de inferencia y su aplicacin

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1. Variables lingsticas1. Variables Lingsticas 1.1. Definicin 1.2. Modificadores 1.3. Variables difusas 1.4. Consideraciones 2. Reglas Difusas 2.1. Proposiciones difusas 2.2. Reglas difusas 2.3. Operadores de implicacin 3. Razonamiento Aproximado 3.1. Razonamiento en lgica clsica 3.2. Modus ponens generalizado 3.3. Regla composic. inferencia Infantil Joven Adulto Mayor Viejo Infantil Joven Adulto Mayor Viejo

Son variables cuyos valores se representan mediante trminos lingsticos. El significado de estos trminos lingsticos se determina mediante conjuntos difusos.

Edad

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1. Variables lingsticas1. Variables Lingsticas 1.1. Definicin 1.2. Modificadores 1.3. Variables difusas 1.4. Consideraciones 2. Reglas Difusas 2.1. Proposiciones difusas 2.2. Reglas difusas 2.3. Operadores de implicacin 3. Razonamiento Aproximado 3.1. Razonamiento en lgica clsica 3.2. Modus ponens generalizado 3.3. Regla composic. inferencia

Proporcionan una transicin gradual de estados Tienen capacidad para expresar y observaciones y medidas de incertidumbre trabajar con

Por capturar medidas de incertidumbre son ms ajustadas a la realidad que las variables crisp (ntidas) Albert Einstein (1921): Tan cerca como se refieran las leyes matemticas a la

realidad no son ciertas, y tan lejos como sean ciertas no se refieren a la realidad

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1.1. Definicin1. Variables Lingsticas 1.1. Definicin 1.2. Modificadores 1.3. Variables difusas 1.4. Consideraciones 2. Reglas Difusas 2.1. Proposiciones difusas 2.2. Reglas difusas 2.3. Operadores de implicacin 3. Razonamiento Aproximado 3.1. Razonamiento en lgica clsica 3.2. Modus ponens generalizado 3.3. Regla composic. inferencia

Una variable lingstica se caracteriza mediante (v, T, X, g, m)v es el nombre de la variable T es el conjunto de trminos lingsticos de v X es el universo de discurso de la variable v g es una regla sintctica para generar trminos lingsticos, y m es una regla semntica que asigna a cada trmino lingstico t su significado m(t) que es un conjunto difuso en X

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1.1. Definicin1. Variables Lingsticas 1.1. Definicin 1.2. Modificadores 1.3. Variables difusas 1.4. Consideraciones 2. Reglas Difusas 2.1. Proposiciones difusas 2.2. Reglas difusas 2.3. Operadores de implicacin 3. Razonamiento Aproximado 3.1. Razonamiento en lgica clsica 3.2. Modus ponens generalizado 3.3. Regla composic. inferencia

Trminos LingsticosMuy bajo Bajo

Rendimiento

Variable lingstica

Medio

Alto

Muy alto

Regla

semntica

Restricciones Difusas

vTema 3: Razonamiento Aproximado

Variable BaseIngeniera Electrnica, Control Lgico, 2008-09

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1.2. Modificadores lingsticos1. Variables Lingsticas 1.1. Definicin 1.2. Modificadores 1.3. Variables difusas 1.4. Consideraciones 2. Reglas Difusas 2.1. Proposiciones difusas 2.2. Reglas difusas 2.3. Operadores de implicacin 3. Razonamiento Aproximado 3.1. Razonamiento en lgica clsica 3.2. Modus ponens generalizado 3.3. Regla composic. inferencia

Un modificador lingstico es un operador unario que se aplica a un conjunto difuso h: [0,1] [0,1] Ejemplos:Muy:

h(a ) = a 2 , a [0,1]Ms-o-menos:

h(a) = a , a [0,1]Otros: extremadamente, bastante, etc.Tema 3: Razonamiento Aproximado Ingeniera Electrnica, Control Lgico, 2008-09

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1.3. Variables difusas1. Variables Lingsticas 1.1. Definicin 1.2. Modificadores 1.3. Variables difusas 1.4. Consideraciones 2. Reglas Difusas 2.1. Proposiciones difusas 2.2. Reglas difusas 2.3. Operadores de implicacin 3. Razonamiento Aproximado 3.1. Razonamiento en lgica clsica 3.2. Modus ponens generalizado 3.3. Regla composic. inferencia

Concepto anlogo al de variable lingstica Toman como valores conjuntos difusos aunque stos no tienen asociada una descripcin lingstica tiles en situaciones en las que sea ms importante la precisin que la descripcin lingstica Se caracteriza mediante (U , X, R(U,x))U es el nombre de la variable X es el universo de discurso x es un nombre genrico para los elementos de X R(U,x) es un conjunto difuso en X que representa una restriccin en los valores de X impuesta por xTema 3: Razonamiento Aproximado Ingeniera Electrnica, Control Lgico, 2008-09

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1.3. Variables difusas1. Variables Lingsticas 1.1. Definicin 1.2. Modificadores 1.3. Variables difusas 1.4. Consideraciones 2. Reglas Difusas 2.1. Proposiciones difusas 2.2. Reglas difusas 2.3. Operadores de implicacin 3. Razonamiento Aproximado 3.1. Razonamiento en lgica clsica 3.2. Modus ponens generalizado 3.3. Regla composic. inferencia

Particin con Variables Lingsticas

Particin con Variables Difusas

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1.4. Consideraciones generales1. Variables Lingsticas 1.1. Definicin 1.2. Modificadores 1.3. Variables difusas 1.4. Consideraciones 2. Reglas Difusas 2.1. Proposiciones difusas 2.2. Reglas difusas 2.3. Operadores de implicacin 3. Razonamiento Aproximado 3.1. Razonamiento en lgica clsica 3.2. Modus ponens generalizado 3.3. Regla composic. inferencia

Con el uso de modificadores lingsticos se debe evitar la ambigedad Los modificadores lingsticos y los conectivos permiten obtener un amplio conjunto de trminos compuestos que amplan la potencia descriptiva de la variable lingstica Si el nmero de trminos de una variable aumenta indefinidamente se llegar a la indistinguibilidad semntica de algunos de ellos Granularidad (Lofti Zadeh): Nivel de distincin entre los distintos niveles de incertidumbre contenida en las variables lingsticas de forma que se pueda representar correctamente la distincin que desea el usuario

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2.1. Proposiciones difusas1. Variables Lingsticas 1.1. Definicin 1.2. Modificadores 1.3. Variables difusas 1.4. Consideraciones 2. Reglas Difusas 2.1. Proposiciones difusas 2.2. Reglas difusas 2.3. Operadores de implicacin 3. Razonamiento Aproximado 3.1. Razonamiento en lgica clsica 3.2. Modus ponens generalizado 3.3. Regla composic. inferencia

El conocimiento humano se expresa en trminos de reglas difusas SI-ENTONCES: SI ENTONCES Tipos de proposiciones difusas:Atmicas: x es A, donde x es una variable lingstica y A es un valor lingstico de x Compuestas: Composicin de proposiciones difusas atmicas con las conectivas y, o y no, representando interseccin, unin y complemento difuso, respectivamenteTema 3: Razonamiento Aproximado Ingeniera Electrnica, Control Lgico, 2008-09

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Ejemplo de proposicin difusa atmica

error es Negativo-GrandeLa interpretacin o significado de una proposicin difusa atmica se define mediante la funcin de pertenencia del conjunto difuso Negativo-Grande El grado de pertenencia de un error concreto al conjunto difuso Negativo-Grande determinar el grado con que se verifica la proposicin difusa

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Ejemplos de proposiciones difusas compuestas:1. 2. 3. 4. 5. X es A o X no es B X es A y X es B X no es A y X no es B (X es A y X no es B) o X es C X es A y Y es D

En una proposicin difusa compuesta pueden estar implicadas variables distintas Las proposiciones difusas compuestas se pueden considerar relaciones difusasTema 3: Razonamiento Aproximado Ingeniera Electrnica, Control Lgico, 2008-09

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Cmo determinamos la interpretacin de estas relaciones difusas? Cmo determinamos la funcin de pertenencia?Para las conectivas y se deben utilizar intersecciones difusas X es A y Y es B

A B ( x, y ) = T [ A ( x), B ( y )]Para las conectivas o se deben utilizar uniones difusas X es A o Y es B

A B ( x, y ) = S[ A ( x), B ( y )]Para las conectivas no se deben utilizar complementos difusos

A (x) = 1 A (x)Tema 3: Razonamiento Aproximado Ingeniera Electrnica, Control Lgico, 2008-09

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2.2. Reglas difusas1. Variables Lingsticas 1.1. Definicin 1.2. Modificadores 1.3. Variables difusas 1.4. Consideraciones 2. Reglas Difusas 2.1. Proposiciones difusas 2.2. Reglas difusas 2.3. Operadores de implicacin 3. Razonamiento Aproximado 3.1. Razonamiento en lgica clsica 3.2. Modus ponens generalizado 3.3. Regla composic. inferencia

Regla difusa: proposicin difusa condicional Ejemplo: SI error es Negativo-Grande ENTONCES Y es Negativopequeo Su significado se representa mediante una relacin difusa entre el error y la variable de salida Y La funcin de pertenencia de esta relacin difusa se determina mediante un operador de implicacin difuso

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2.3. Operadores de implicacin1. Variables Lingsticas 1.1. Definicin 1.2. Modificadores 1.3. Variables difusas 1.4. Consideraciones 2. Reglas Difusas 2.1. Proposiciones difusas 2.2. Reglas difusas 2.3. Operadores de implicacin 3. Razonamiento Aproximado 3.1. Razonamiento en lgica clsica 3.2. Modus ponens generalizado 3.3. Regla composic. inferencia

Interpretacin 1: AB A junto con BLarsen:

R ( x, y ) = A ( x ) B ( y ) R ( x, y ) = min{ A ( x), B ( y )}

Mamdani:

Interpretacin 2: AB A conlleva B (no A o B)Kleene-Dienes: ukasiewicz: Zadeh: Gdel:

R ( x, y ) = max{1 A ( x), B ( y )}

R ( x, y ) = min{1, 1 A ( x) + B ( y )}

R ( x, y) = max{min{ A ( x), B ( y)}, 1 A ( x)} si A ( x ) B ( y ) 1, R ( x, y ) = B ( y ), e.o.c.Ingeniera Electrnica, Control Lgico, 2008-09

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2.3. Operadores de implicacin1. Variables Lingsticas 1.1. Definicin 1.2. Modificadores 1.3. Variables difusas 1.4. Consideraciones 2. Reglas Difusas 2.1. Proposiciones difusas 2.2. Reglas difusas 2.3. Operadores de implicacin 3. Razonamiento Aproximado 3.1. Razonamiento en lgica clsica 3.2. Modus ponens generalizado 3.3. Regla composic. inferencia

Dos formas de interpretar Si x es A entonces y es B:A junto con By y

A conlleva B

B

B

x

x

A

A

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3.1. Razonamiento en lgica clsica1. Variables Lingsticas 1.1. Definicin 1.2. Modificadores 1.3. Variables difusas 1.4. Consideraciones 2. Reglas Difusas 2.1. Proposiciones difusas 2.2. Reglas difusas 2.3. Operadores de implicacin 3. Razonamiento Aproximado 3.1. Razonamiento en lgica clsica 3.2. Modus ponens generalizado 3.3. Regla composic. inferencia

Las reglas de inferencia permiten obtener valores de verdad a partir de valores de verdad probados

Modus ponens:SI p ENTONCES q p q SI x es A ENTONCES y es B x es A y es B

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3.1. Razonamiento en lgica clsica1. Variables Lingsticas 1.1. Definicin 1.2. Modificadores 1.3. Variables difusas 1.4. Consideraciones 2. Reglas Difusas 2.1. Proposiciones difusas 2.2. Reglas difusas 2.3. Operadores de implicacin 3. Razonamiento Aproximado 3.1. Razonamiento en lgica clsica 3.2. Modus ponens generalizado 3.3. Regla composic. inferencia

Modus tollens:SI no q SI p ENTONCES q no p y no es B SI x es A ENTONCES y es B x no es A

Silogismo hipottico:SI p ENTONCES q SI q ENTONCES z SI p ENTONCES z SI x es A ENTONCES y es B SI y es B ENTONCES z es C SI x es A ENTONCES z es C

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3.2. Modus ponens generalizado1. Variables Lingsticas 1.1. Definicin 1.2. Modificadores 1.3. Variables difusas 1.4. Consideraciones 2. Reglas Difusas 2.1. Proposiciones difusas 2.2. Reglas difusas 2.3. Operadores de implicacin 3. Razonamiento Aproximado 3.1. Razonamiento en lgica clsica 3.2. Modus ponens generalizado 3.3. Regla composic. inferencia 7 Tema 3: Razonamiento Aproximado x no es A 6

Razonamiento aproximado: Obtencin de conclusiones difusas a partir de proposiciones difusas utilizando la teora de conjuntos difusos como principal herramienta

Modus ponens generalizado:SI x es A ENTONCES y es B x es A y es B

Criterio 1 2 3 4 5

x es A x es A x es muy A x es muy A x es ms o menos A x es ms o menos A x no es A

y es B y es B y es muy B y es B y es ms o menos B y es B y es desconocido y no es B

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3.3. Regla composicional de inferencia1. Variables Lingsticas 1.1. Definicin 1.2. Modificadores 1.3. Variables difusas 1.4. Consideraciones 2. Reglas Difusas 2.1. Proposiciones difusas 2.2. Reglas difusas 2.3. Operadores de implicacin 3. Razonamiento Aproximado 3.1. Razonamiento en lgica clsica 3.2. Modus ponens generalizado 3.3. Regla composic. inferencia

Cmo obtener el conjunto difuso B?Regla Composicional de Inferencia: Permite traducir el modus ponens de la lgica clsica a la lgica difusa SI x es pequeo ENTONCES y es grande x es muy pequeo El significado de la primera proposicin se podra definir como una relacin difusa R definida en XY

B ' = A 'o R = proy (ec( A) R) sobre YSi se realiza Mx como proyeccin y Mn como interseccin:

B' ( y ) = max[min( A' ( x), R ( x, y ))]Tema 3: Razonamiento Aproximado Ingeniera Electrnica, Control Lgico, 2008-09

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Sea R definida en XY, se define la proyeccin de R sobre Y como:

proy ( R ) sobre Y = sup R ( x, y ) / yY x

Por ejemplo,y1 x1 0,8 R= x2 0 x3 0,9 y2 1 0,8 1 y3 0,1 0 0,7 y4 0,7 0 0,8

proy( R ) sobre Y = 0,9 / y1 + 1 / y2 + 0,7 / y3 + 0,8 / y4Tema 3: Razonamiento Aproximado Ingeniera Electrnica, Control Lgico, 2008-09

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Funcin de Pertenencia 2D

Proyeccin en X

Proyeccin en Y

R ( x, y )

A ( x) = max R ( x, y )y

B ( y ) = max R ( x, y)x

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Sea B un conjunto difuso definido en Y, se define la extensin cilndrica de B sobre XY como:

ec( B ) =

X Y

B ( y ) /( x, y )

Por ejemplo, dado el conjunto difuso

A = 0,3 / x1 + 1 / x2 + 0,8 / x3y1 ec(A)= x2 1 y2 1 y3 1 x1 0,3 0,3 0,3 x3 0,8 0,8 0,8

Y = { y1 , y2 , y3 , y4 }y4 0,3 1 0,8

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Conjunto Difuso A

Extensin Cilndrica de A

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y1

y2 1

y3 0,8 1

R=x es aproximadamente igual que y

x1

1

0,8 0,3

x2 0,8

x3 0,3 0,8

Si x es mediano, expresado como A = 0,3 / x1 + 1 / x2 + 0,8 / x3 Qu valor toma y?y1 ec(A)= x2 1 y2 1 y3 1 ec(A)R= y1 x2 0,8 y2 1 y3 0,8 x1 0,3 0,3 0,3 x3 0,8 0,8 0,8 x1 0,3 0,3 0,3 x3 0,3 0,8 0,8

B = A o R = 0,8 / y1 + 1 / y2 + 0,8 / y3Tema 3: Razonamiento Aproximado Ingeniera Electrnica, Control Lgico, 2008-09

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Bibliografa RecomendadaBsica:G. Klir y B. Yuan. Fuzzy sets and fuzzy logic. Theory and applications. Prentice-Hall, 1995. L.X. Wang. A Course in fuzzy systems and control. Prentice-Hall, 1997.

Complementaria:D. Driankov, H. Hellendoorn y M. Reinfrank. An introduction to fuzzy control. Springer, 1995. I. Baturone, A. Barriga, S. Snchez-Serrano, C.J. Jimnez-Fernndez y D.R. Lpez. Microelectronic design of fuzzy logic-based systems. CRC Press, 2000. R.R. Yager y D.P. Filev. Essentials of fuzzy modeling and control. John Wiley, 1994.29Jorge Casillas Tema 3: Razonamiento Aproximado Ingeniera Electrnica, Control Lgico, 2008-09

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