Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”3

Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

PÁGINA 73

Sistemas de ecuaciones

13 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones y comprueba las soluciones:

a) °¢£

5x + 3 = 20 – 9y2x – 3y = 5x – y

b) °¢£

x + y = 306,5x + 3,2y = 158,7

c)

°§¢§£

x3

– y2

= 4

x2

– y4

= 2 d)

°§¢§£

2x3

+ y + 1 = 0

x + 12

+ y – 13

+ 1 = 0

a) °¢£

5x + 9y = 17 –3x – 2y = 0

8 15x + 27y = 51 –15x – 10y = 0

17y = 51 8 y = 3

Si y = 3 8 5x + 27 = 17 8 5x = –10 8 x = –2

Solución: x = –2; y = 3

b) °¢£

y = 30 – x6,5x + 3,2(30 – x) = 158,7 8 6,5x + 96 – 3,2x = 158,7

3,3x = 62,7 8 x = 19

y = 30 – 19 = 11

Solución: x = 19; y = 11

c) °¢£

2x – 3y = 24 2x – y = 8

8 2x – 3y = 24 –2x + y = –8

–2y = 16 8 y = –8 2x + 24 = 24 8 x = 0

Solución: x = 0; y = –8

d) °¢£

2x + 3y = –3 3x + 3 + 2y – 2 + 6 = 0

8 2x + 3y = –3 8 –4x – 6y = 63x + 2y = –7 8 9x + 6y = –21

5x = –15 8 x = –3 2(–3) + 3y = –3 8 3y = 3 8 y = 1

Solución: x = –3; y = 1

14 Resuelve los siguientes sistemas aplicando dos veces el método de reducción:

a) °¢£

13x – 12y = 12721x + 17y = 96

b) °¢£

8,6x + 5,4y = 1125x – 12y = –245

a) 273x – 252y = 2667 221x – 204y = 2 159 –273x – 221y = –1 248 252x + 204y = 1 152 –473y = 1 419 8 y = –3 473x = 3 311 8 x = 7

Solución: x = 7, y = –3

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b) –215x – 135y = –275 103,2x + 64,8y = 132 215x – 103,2y = –2 107 135x – 64,8y = –1 323 –238,2y = –2 382 8 y = 10 238,2x = –1 191 8 x = –5 Solución: x = –5, y = 10

15 Averigua cuál de los siguientes sistemas no tiene solución y cuál tiene infinitas soluciones:

a) °¢£

x + y = 4 – y3x – 5 = 7 – 6y

b) °¢£

5 + x = y7x – y + 17 = 3x + 3y

a) °¢£

x + 2y = 4 3x + 6y = 12

°¢£ Tiene infinitas soluciones.

b) °¢£

x – y = –5 4x – 4y = –17

°¢£ No tiene solución.

16 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

°§¢§£

x + 158

+ 3(y + 1)16

= 3

7 – x2

– 1 + y12

= 3b)

°§¢§£

x + 25

– 3y – 110

= –310

2x + 38

+ y + 74

= 198

a) °¢£

2(x + 15) + 3(y + 1) = 48 6(7 – x) – (1 – y) = 36

8 °¢£

2x + 30 – 3y + 3 = 48 42 – 6x – 1 – y = 36

°¢£

2x + 3y = 15 –6x – y = –5

6x + 9y = 45 –6x – y = –5

8y = 40 8 y = 5 8 2x + 15 = 15 8 x = 0 Solución: x = 0, y = 5

b) °¢£

2(x + 2) – 3y + 1 = –3 2x + 3 + 2y + 14 = 19

8 °¢£

2x – 3y = –8 2x + 2y = 2

–2x + 3y = 8 2x + 2y = 2

5y = 10 y = 2 8 2x – 6 = –8 8 2x = –2 8 x = –1 Solución: x = –1, y = 2

17 Resuelve.

a) °¢£

x – y + 3 = 0x 2 + y 2 = 5

b) °¢£

x + y = 1xy + 2y = 2

c) °¢£

2x + y = 3xy – y2 = 0

d) °¢£

3x + 2y = 0x(x – y) = 2y2 – 8

a) °¢£

x = y – 3(y – 3)2 + y2 = 5 8 y2 – 6y + 9 + y2 – 5 = 0 8 2y2 – 6y + 4 = 0

y2 – 3y + 2 = 0 8 y = 3 ± √12

y1 = 1 8 x1 = 1 – 3 = 2y2 = 2 8 x2 = 2 – 3 = –1

Soluciones: x1 = –2, y1 = 1; x2 = –1, y2 = 2

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b) °¢£

x = 1 – y(1 – y)y + 2y = 2 8 y – y2 + 2y = 2 8 y2 – 3y + 2 = 0

y = 3 ± 12

y1 = 1 8 x1 = 1 – 1 = 0y2 = 2 8 x2 = 1 – 2 = –1

Soluciones: x1 = 0, y1 = 1; x2 = –1, y2 = 2

c) °¢£

y = 3 – 2xx (3 – 2x) – (3 – 2x)2 = 0 8 3x – 2x2 – 9 – 4x2 – 12x = 0

–6x2 + 15x – 9 = 0 8 2x2 – 5x + 3 = 0 8 x = 5 ± 12

x1 = 2x2 = 3

Si x1 = 2 8 y1 = 3 – 4 = 1 Si x2 = 3 8 y2 = 3 – 6 = –3 Soluciones: x1 = 2, y1 = 1; x2 = 3, y2 = –3

d)

°§¢§£

y =– 32

x

x(x + 32

x) = 2(– 32

x)2 – 8 8 5

2x 2 = 9

2x 2 – 8 8 –2x 2 = –8

x2 = 4 x1 = 2 8 y1 = – 3

2 · 2 = –3

x2 = –2 8 y2 = – 32

(–2) = 3

Soluciones: x1 = 2, y1 = –3; x2 = –2, y2 = 3

18 Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción y comprueba que tienen cuatro soluciones:

a) °¢£

x2 + y2 = 41x2 – y2 = 9

b) °¢£

3x2 + 2y2 = 35x2 – 2y2 = 1

c) °¢£

x2 + y2 + x + y = 32x2 – y2 + x – y = 28

d) °¢£

x2 + 2y2 + x + 1 = 0x2 – 2y2 + 3x + 1 = 0

a) °¢£

x2 + y2 = 41x2 – y2 = 9

2x2 = 50 8 x2 = 25 8 x = ±5

Si x = 5 8 25 + y2 = 41 8 y2 = 16 8 y = ±4

Si x = –5 8 25 + y2 = 41 8 y2 = 16 8 y = ±4

Soluciones: x1 = 5, y1 = 4; x2 = 5, y2 = –4; x3 = –5, y3 = 4; x4 = –5, y4 = –4

b) °¢£

3x2 + 2y2 = 35x2 – 2y2 = 1

4x2 = 36 8 x2 = 9 8 x = ±3

Si x = 3 8 27 + 2y2 = 35 8 y2 = 4 8 y = ±2

Si x = –3 8 27 + 2y2 = 35 8 y2 = 4 8 y = ±2

Soluciones: x1 = 3, y1 = 2; x2 = 3, y2 = –2; x3 = –3, y3 = 2; x4 = –3, y4 = –2

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Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

c) °¢£

x2 + y2 + x + y = 32x2 – y2 + x – y = 28

2x2 + 2x = 60 8 x2 + x = 30 8 x2 + x – 30 = 0

x = –1 ± √1 + 1202

= –1 ± 112

= –65

• Si x = –6 8 36 + y2 – 6 + y = 32 8 y2 + y – 2 = 0

y = –1 ± √1 + 82

= –1 ± 32

= –21

• Si x = 5 8 25 + y2 + 5 + y = 32 8 y2 + y – 2 = 0 8 y = –21

Soluciones: x1 = –6, y1 = –2; x2 = –6, y2 = 1; x3 = 5, y3 = –2; x4 = 5, y4 = 1

d) °¢£

x2 + 2y2 + x + 1 = 0x2 – 2y2 + 3x + 1 = 0

2x2 + 4x + 2 = 0 8 x2 + 2x + 1 = 0 8 (x + 1)2 = 0 8 x = –1

Si x = –1 8 1 + 2y2 – 1 + 1 = 0 8 2y2 = –1 8 No tiene solución.

Inecuaciones

19 Encuentra las soluciones de las siguientes inecuaciones:a) 2x + 7 < 3 b) 3 – x Ì 9 c) 3 Ì 2x + 2 d) 3 – 2x Ó x – 9

a) 2x < –4 8 x < –2 b) 3 – x Ì 9 8 –x Ì 6 8 x Ó –6

Solución: (–@, –2) Solución: [–6, +@)

c) 2x Ó 1 8 x Ó 12

d) –2x – x Ó –9 – 3 8 –3x Ó –12 8 3x Ì 12 8 x Ì 4

Solución: [12, +@) Solución: (–@, 4]

20 Resuelve.

a) 7 – 3x2

< x + 1 b) x + 43

+ 3 Ó x + 106

c) 2x – 2(3x – 5) < x d) x – 1 – x – 12

< 0

a) 7 – 3x < 2x + 2 8 –5x < –5 8 5x > 5 8 x > 1

Solución: (1, +@)

b) 2x + 8 + 18 Ó x + 10 8 x Ó –16

Solución: [–16, +@)

c) 2x – 6x + 10 < x 8 –5x < –10 8 5x > 10 8 x > 2

Solución: (2, +@)

d) 2x – 2 – x + 1 < 0 8 x – 1 < 0 8 x < 1

Solución: (–@, 1)

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21 Halla las soluciones de los siguientes sistemas de inecuaciones:

a) °¢£

2 – x > 02 + x > 0

b) °¢£

5x – 3 Ì x + 12x + 6 Ó x + 2

c)

°§¢§£

2x + 53

< x – 1

x3

– 1 < 2x – 15

d)

°§¢§£

x + 136

< 39 – 2x18

3x – 54

< –1

a) °¢£

2 – x > 0 8 –x > –2 8 x < 22 + x > 0 8 x > –2

–2 2

Solución: (–2, 2)

b) °¢£

5x – 3 Ì x + 1 8 4x Ì 4 8 x Ì 12x + 6 Ó x + 2 8 x Ó –4

1 4

No tiene solución.

c)

°§¢§£

2x + 53

< x – 1 8 2x + 5 < 3x – 3 8 –x < –8 8 x > 8

x3

– 1 < 2x – 15

8 5x – 15 < 6x – 3 8 –x < 12 8 x > –12

–12 8

Solución: (8, +@)

d) °¢£

3x + 39 < 39 – 2x 8 5x < 0 8 x < 03x – 5 < –4 8 3x < 1 8 x < 1/3

0 1/3

Solución: (–@, 0)

22 Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:a) x2 – 4 Ì 0 b) x2 – 9 > 0 c) x2 – 4x < 0 d) x2 + 3x > 0

a) x2 – 4 = 0 8 (x + 2)(x – 2) = 0 x = 2x = –2

–2 2

No NoSí

Solución: [–2, 2]

b) x2 – 9 = 0 8 (x + 3)(x – 3) = 0 x = 3x = –3

–3 3

Sí SíNo

Solución: (–@, –3) « (3, +@)

c) x2 – 4x = 0 8 x (x – 4) = 0 x = 0x = 4

0 4

No NoSí

Solución: (0, 4)

d) x2 + 3x = 0 8 x (x + 3) = 0 x = 0x = –3

–3 0

Sí SíNo

Solución: (–@, –3) « (0, +@)

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23 Resuelve las siguientes inecuaciones:a) (x – 1)(x – 5) < 0 b) (x + 2)(x – 3) > 0c) (4 – x)(2 + x) Ó 0 d) 2x (3 – x) Ì 0

a) (x – 1)(x – 5) = 0 x = 1x = 5

1 5

No NoSí

Solución: (1, 5)

b) (x + 2)(x – 3) = 0 x = –2x = 3

–2 3

Sí SíNo

Solución: (–@, –2) « (3, +@)

c) (4 – x)(2 + x) = 0 x = 4x = –2

–2 4

No NoSí

Solución: [–2, 4]

d) 2x (3 – x) = 0 x = 0x = 3

0 3

Sí SíNo

Solución: (–@, 0] « [3, +@)

24 Traduce a lenguaje algebraico cada uno de los siguientes enunciados:a) La mitad de un número menos 10 unidades es menor que 7.b) Si a los tres cuartos de un número le resto 2, obtengo más que si a su mitad le sumo 5.c) El producto de dos números consecutivos no supera a 8.d) El perímetro de un rectángulo cuya base mide 3 cm más que la altura es menor

que 50 m.

a) x2

– 10 < 7 b) 34

x – 2 > x2

+ 5

c) x (x + 1) Ì 8 d) 4x + 6 < 50

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