T2.1 Modelos 1213

7/18/2019 T2.1 Modelos 1213

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MODELADO2.1PALABRAS CLAVE Y TEMAS

OBJETIVOS

Aprender a representar matemáticamente la realidad Aplicar leyes físico-químicas en la formulación de modelos

Modelado de Sistemas

1

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¿Qué es el modelado?

2

• Conjunto de técnicas que nos permiten obtener una

representación del sistema, planta o proceso a controlar

• Representaciones abstractas

TIPOS DE MODELOS

MODELOSMENTALES

MODELOSLINGÜÍSTICOS

MODELOSGRÁFICOS

MODELOSSOFTWARE

MODELOSMATEMÁTICOS

Representaciones

presentes en

nuestro cerebro;

por ejemplo, una

representación

mental de nuestrocuerpo que

permite controlarlo

para caminar,

saltar, …

Representaciones

con palabras; este

párrafo, por

ejemplo intenta

explicar con

palabras qué es elsistema

denominado

modelo lingüístico

Tablas y/o gráficas

como modelos; los

catálogos de

productos de

ingeniería suelen

contener muchosejemplos de este

tipo de modelo.

Programas de

computador que

representen a

sistemas

complejos, como

por ejemplomediante el uso

de redes

neuronales

Ampliamenteusados en física,ingeniería,economía, etc..Se trata de

ecuaciones quemuestran lasrelacionesexistentes entrelas variables queafectan un

sistema

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¿Qué es un Modelo Matemático?

3

• Conjunto de ecuaciones que relacionan las

variables de interés del sistema y representanadecuadamente su comportamiento

• Un mismo sistema puede

estar representado por

diferentes modelos

• Distintos modelos para

distintos objetivos y tipos

de sistemas

Necesario compromiso entre

exactitud y facilidad de uso.

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4

• Son una representación aproximada de la realidad.

• Cuanto más exactos (complejos) mejor representarán a la

realidad.• Si son demasiado complejos será muy difícil de trabajar con

ellos.

• Si es demasiado sencillo no representará todos los aspectos

interesantes

UN MODELO DEBE: Ser lo suficientemente sencillo como para representar

los aspectos que nos interesan del sistema en estudio.

Tener asociadas herramientas que permitan trabajar con

él en tareas de análisis, simulación, diseño…

Modelos Matemáticos

4

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Modelos matemáticos

0)(2)(3)()(5 21 t ut ut ydt

t dy

• Un ejemplo de modelo matemático de un sistema dinámico con dos

entradas u1 y u2 y una salida y puede ser el siguiente:

donde hay que distinguir:

1. La estructura del modelo:

2. Los parámetros del modelo:

3. Las condiciones iniciales del modelo: 0

321

23121

)0(

;2k ;3 ;5

0)()()()(

y y

k k

t uk t uk t ydt

t dyk

A los modelos matemáticos se les conoce también como modelos

paramétricos, ya que pueden definirse mediante una estructura y unnúmero finito de parámetros.

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¿Por qué los Modelos Matemáticos

en Control de Sistemas?

• Dados un Sistema y un objetivo deseado de operación, ¿con qué

controlador puede alcanzarlo? ¿Se puede alcanzar el objetivo

propuesto con algún Controlador?

• Dados un Controlador y un Sistema ¿cómo funcionarán ambos

conjuntamente en lazo cerrado?

• ¿Por qué un lazo dado opera de la forma que lo hace? ¿Puedemejorarse? ¿Con qué controlador?

• ¿Cómo cambiaría la operación si se cambiaran los parámetros del

sistema, o si las perturbaciones fueran mayores, o si fallara algún

sensor?

Para responder a estas cuestiones necesitamosmodelos matemáticos

6

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Importancia de los Modelos

Matemáticos

La importancia de los modelos matemáticos radica en quepueden ser empleados para:

Simular situaciones hipotéticas, Probar situaciones en las que sería peligroso trabajar

con el sistema real,

Ser empleado como base para calcular los

controladores.

7

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Tipos de Modelos

Modelos Estáticos Modelos en los que el t iempo NO es una variable.

Representan situaciones de equilibrio.

Descritos mediante ecuaciones algebraicas.

Modelos Dinámicos

Modelos que representan la evolución del sistema a lolargo del tiempo.

Descritos mediante ecuaciones diferenciales.

8

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Tipos de Sistemas / modelos

• Sistemas Continuos

– Las variables pueden tomar valoresen todo tiempo t

– Descritos principalmente por

ecuaciones diferenciales.

– Interés fundamental: la evolución

de algunas variables.

• Sistemas de eventos discretos

– Descritos fundamentalmente por secuencias de actividades

– Interés fundamental: el

comportamiento estadístico de

algunas variables9

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Tipos de Sistemas / modelos

• Sistemas Muestreados – Las variables toman valores en determinados instantes de

tiempo fijo o variable (muestreo, secuencias de datos),

– Descritos por ecuaciones en diferencias finitas.

• Sistemas Digitales – Sistemas en los que las variables pueden tomar un conjunto

determinado de valores (cuantificación).

• Sistemas Controlados por Computador

– Sistemas muestreados digitales.

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¿Cómo Obtener Modelos

Matemáticos?

1. Mediante

razonamientos,usando leyes ,

acordes a su

naturaleza asociadas.

2. Mediante

experimentación

y análisis de datos

Modelo de conocimiento

Validez general

Modelo experimental

Rango de validez limitado11

Modelado: un conjunto de técnicas que nos permite

obtener una representación del sistema.

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Modelos de Conocimiento Conjuntos de ecuaciones diferenciales y algebraicas,

normalmente no lineales, que se obtienen a partir de un

estudio analítico del Sistema basado en:

Tienen validez general

Requieren conocimiento profundo del Sistema y de las

leyes por las que se rige.

El uso de leyes de comportamiento físico-

químicas (leyes de conservación de masa,

energía, momento, etc. y otras leyes propias del

dominio de aplicación).

Hipótesis simplificadoras sobre dicho sistema.

12

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Modelos Experimentales:

Identificación

El modelo del Sistema se obtiene a partir de datos

tomados en ensayos entrada-salida y métodos numéricosde cálculo.

Es necesario disponer de un modelo (real o prototipo).

tt

YUU Y

Sistema

Modelo

13

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Metodología Sugerida para ModelarSistemas Basados en el Conocimiento

1. Entender el funcionamiento del Sistema,

2. Descomponer el sistema en subsistemas interactuando, llegando hasta

modelos básicos ideales,

3. Aplicar a cada subsistema:

1. Seleccionar las variables, la entrada, la salida, las perturbaciones,2. Establecer los límites y objetivos del modelo

3. Establecer las hipótesis básicas,

4. Escribir las ecuaciones usando leyes de conservación y del

domino de aplicación (físicas, químicas, etc).5. Estimar el valor de los parámetros

6. Seleccionar las herramientas para resolución de las ecuaciones,

7. Resolver las ecuaciones modelo aproximado,

8. Validarlo: establecer la bondad del modelo14

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Sistemas mecánicos

2

2

i td

)t(xd

mtd

vd

mma)t(F Sólidos en traslación

Sólidos en rotación2

2

i

td

θ(t)dJ

td

ωdJ(t)T

La suma de todos los pares que actúan

alrededor de un eje dado del sólido es igual

al momento de inercia del cuerpo alrededor

del eje multiplicado por la aceleraciónangular del sólido

x

m

Leyes de Newton

La suma de todas las fuerzas que actúan

sobre una masa en una dirección dada es

igual a la masa por la aceleración del

sólido

J

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Sistemas mecánicosModelos básicos ideales

Resorte (Muelle)

F

Cambio x dela longitud

k

Resorte ideal:

• Lineal

• Sin masa

• Sin amortiguamiento

(fricción interna)

)( 0 x xk xk F

k=constante del resorte

Movimiento traslación

(desplazamientos

pequeños)

kxF Con x0=0

x0=0

El resorte ejerce una fuerzaopuesta al desplazamiento

Fluido

ResistenciaF

Cambio x dela posición

dt

t dxbt F )()(

b=coeficiente de fricción

viscosa (damping)

Amortiguador La fuerza es proporcional

a la velocidad

Amortiguador ideal:

• Lineal

• Sin masa y resorte• Disipa toda la energía

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Ejemplo 1: Masa Suspendida

mg

m

kx

x

0

F

Ecuación diferencialde segundo orden

1717

ma F mgkx

t d

xd m

F t d

xd

m i

2

2

2

2

F m

g xm

k

t d

vd

vt d

xd

1

Ecuaciones

diferenciales deprimer orden

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Sistemas mecánicos

Ejemplo Modelado

b

k

Resistencia

de torsión

Resistencia

de torsión

Torque

T

Momento de inercia

I

)()()(2

t k

dt

t d bT

dt

t d I

I T

)(t k

dt

t d b

)(

Dirección

)(t

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Sistemas eléctricos

Leyes de Kirchhoff

( ) 0k

k

i t

Nudos: Suma de todas la

intensidades con su signo en

un nudo es igual a cero.

Mallas: Suma de todas las caídas de

tensión en una malla es igual a cero.

l

l t u 0)(

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Resistor:

Resistencia )(

1)( t v

Rt i

Condensador:

Capacidad:C dt

t dvC t i )(

)(

Modelos básicos

Bobina:

autoinducción: L

t

d v L

t i0

)(1

)(

Relaciones entre

voltaje y corriente

)()( t Rit v

t

d iC

t v0

)(1

)(

dt

t di Lt v )(

)(

Relación entre corriente y carga: dt

t dqt i

)()(

Ri

v(t)

i

v(t)

v(t)

i

C

L

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)()(1

)()(

0

t vd iC

t Ridt

t di L

t

)()(1)()(

2

2

t vt qC dt

t dq R

dt

t qd L

)()( t Cvt q C )(

)()(2

2

t vvdt

t dv

RC dt

t vd

LC C

C C

Ecuación

diferencial de

segundo orden

Ejemplo: Circuito RLC

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Caso de Sistemas Térmicos

Ley fundamental Primera ley de laTermodinámica principio de conservación de la

energía: flujo de las energías entrantes (Qi)

menos flujo de energías salientes más la energíagenerada menos las pérdidas es igual a la

variación de las energías del sistema.

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23

Caso de Procesos Químicos

Ley fundamental Balance de Masa: el flujo demasa entrante (Wi) menos el flujo de masa

saliente mas el flujo de masa que se genera

menos el que se consume es igual a la variaciónde masa en el sistema.

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Sistemas hidráulicos

21

2 p gh v cte

• Describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una

línea de corriente

• Resultado de la conservación de energía aplicado a un fluido ideal (no

viscoso, incompresible)

Principio de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli establece que si

un fluido se desplaza por una cañería

sellada entre dos puntos cualquiera sedebe cumplir:

La presión, la velocidad y la altura de un fluido

ideal que circula varían siempre manteniendo

una cierta cantidad constante

2

222

2

111

2

1

2

1vgh pvgh p

Ej l

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Ejemplo

Depósito

Conservación de masa:

Acumulación = flujo entrada q - flujo salida F

)t(hk )t(qtd

)t(hdA

Ecuación diferencial no-lineal

Ecuación

algebraica

)t(Ah)t(V

Hipótesis:

Se considera densidad constante

m: masa en el depósito

A: sección del depósito

S: sección del orificio de salida

: densidad fluidok: una constante

)t(hk )t(q

td

)t(hdA

)t(hk )t(F)t(gh)t( p)t( p

)t( p)t( pSk )t(Sv)t(F

)t(hA)t(m

)t(F)t(qtd

)t(md

01

011

q(t)

F(t)

p0(t)

p1(t)

El valor de las variablescambia de forma gradual

Modelo dinámico

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Repasemos….

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¿Qué es un modelo?

Modelos matemáticos: que son, por qué utilizarlos?.

Tipos de modelos

Tipos de modelado

Conocimiento

Experimentación / Identificación

Modelos para distintos sistemas:

Mecánicos, eléctricos, térmicos, procesos químicos, etc.

Ejemplos

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Cosas en que pensar (1)

Sistema electromecánico

Un control de posición en lazo abierto de una masa a partir de la tensión

de alimentación u(t). La fuerza F(t) generada por el solenoide esproporcional a la intensidad que circula por la bobina.

Se pide obtener el modelo matemático del sistema.

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28


28

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Depósito con control de temperatura:

El sistema de la figura tiene por objeto mantener la temperatura T del agua

contenida (y que sale) en el depósito, usando para ello un sistema de

calefacción eléctrica (se manipula la tensión de alimentación V). Al depósitole llega un caudal de líquido variable, q, a una temperatura constante Ti.

Encuentre el modelo matemático que relaciona el caudal q(t) y el voltaje V(t)

con la temperatura en el depósito T(t).

q

V R T

T i,T - temperaturaV - voltaje

ce - calor específico

A - sección del depósito

- densidad

R - resistencia

Modelo matemático.Entradas: V(t) y q(t)

Salida: T(t)


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Obtener el modelo matemático del motor de cc

LR

V

Excitación

independiente

I

T par externo

k 2 f.c.e.m

T

V voltaje aplicado

I corriente del rotor

J momento de inercia

ω velocidad de giro

ángulo girado


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Hallar el modelo matemático del sistema de la figura considerando como salida

la posición del eje de la mesa giratoria y entrada la tensión de alimentación

Motor corriente continua controlado

en el inducido (rotor)

Mesa giratoria

R

e d u c t o r a

( )c t

( )ie t

31

Nota.- considerar Td posible par perturbador sobre la mesa

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