T- STUDENT

la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente

donde

Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1

V tiene una distribución ji-cuadrado con grados de libertad

Z y V son independientes

Si μ es una constante no nula, el cociente es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad .

EJEMPLO:

Sea T ~ Weibull(0.5,3)

a) Determinar

b) Determinar

c) Determinar P(T

P (T>5) =1-P(T1) = 1 – e-

GAMMA

se puede caracterizar del modo siguiente:

si se está interesado en la ocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson de media lambda, la variable que mide el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gamma con parámetros a= nlambda(escala) y p=n (forma).

Se denota Gamma(a,p).

EJEMPLO:

Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:

1. El tiempo medio de supervivencia.

2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.

Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a,p)

a : Escala 0,8100

p : Forma 7,8100

Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000

Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000

Punto X 14,2429

Media 9,6420

Varianza 11,9037

Moda 8,4074

El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.

DISTRIBUCION NORMAL

CAMPANA DE GAUSS

Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa por N (μ, σ).

El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.

Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.

La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.

Distribución normal estándarN (0, 1)

La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ =0, y por desviación típica la unidad, σ =1.

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.

Distribución normal estándarN (0, 1)

Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N (μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N (0, 1).

La tabla nos da las probabilidades de P (z ≤ k), siendo z la variable tipificada.

Estas probabilidades nos dan la función de distribución Φ (k).

Φ (k) = P (z ≤ k)

La resistencia de una aleación de aluminio se distribuye normalmente con media de 10 giga pascales (Gpa) desviación estándar de 1.4 Gpa.

¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de esta aleación tenga resistencia mayor a 12 GPa?

Determine el primer cuartil de la resistencia de esta aleación.

Determine el 95º. Percentil de la resistencia de esta aleación.

RESULTADOS

µ = 10 σ = 1.4

A) z = (12 -10)/1.4 = 1.43 el área ala derecha de z = 1.43 es 1 – 0.9236 = 0.0764

B) la puntuación de z en el 25 º percentil es -0.67

El 25 º percentil es entonces 10 - 0.67 (1.4) = 9.062 Gpa.

C) la puntuación de z en el 95 º percentil es 1.645

El 25 º percentil es entonces 10 + 1.645(1.4) = 12.303 Gpa.