T-Student

Aplicaciones de la T de Student

Distribución t- de -Student

2

Antecedentes

• Propuesta por William Sealy Gosset (1908)

• Se emplea cuando se trabaja con muestras pequeñas

• Se utiliza para estimar el valor esperado de una distribución normal de población


3

¿ Cuándo se utiliza?• Para muestras pequeñas

• Para estimar el valor esperado de una distribución normal de población

• Estimación de la media cuando se desconoce la varianza

• Comparación entre dos poblaciones

• Contraste de hipótesis


4

¿Cuál es la distribución exacta del

estadístico ?s

X

conocida la de insesgadoestimador un es

den distribucó la de media la es

X

X


5

Supuestos de la inferencia para la media

• Los datos son una muestra (n) aleatoria

• Población con distribución normal N(μ,σ)


6

Características de Ẋ• La media muestral tiene una distribución

normal con media μ y desviación típica

• σ se estima a partir de la desviación típica muestral s

• La desviación típica de Ẋ se estima por

n

ns

Error típico de la muestra


7

Error típico de la muestra

• Es la estimación de la desviación típica del estadístico a partir de los datos

• El error típico de la media muestral Ẋ es:

ns


8

Propiedades

• La distribución t–Student es diferente para los distintos tamaños de la muestra

• Es generalmente en forma de campana

• Para n≥30 se comporta como la normal

• La media es cero

• La distribución es simétrica en torno a la media


9

Propiedades

• La varianza es igual a uno cuando t→∞

• La población es esencialmente normal

• Es una distribución continua

• Par n=1 no existe media (Distribución de Cauchy)

• Para n=2,3,... μ=0

• Para n=1 y 2 la distribución t no tiene varianza


10

• Varianza para n=2,3...

22

nn


11

Grados de libertad

• Número de valores que se pueden variar después de imponer ciertas restricciones

• Número de valores que se pueden escoger libremente al calcular un estadístico

• Libertad de movimiento


12

Grados de libertad


13

10 yx

Num. Variables=2Num. Restricciones=1

Grados de libertad =r= Num. Variables- Num. de restriccionesGrados de libertad=r=2-1r=1


14

10 yx

x

y

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30

-15

-10

-5

0

5

10

15


15

x

y

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14

-10

-5

0

5

10

(1)

(2)

3

42

yx

yx


16

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3

-2

0

2

(1)

(2)

(2) 12

(1) 124

2

xxy

xy


17

cX i

n

i

1r=N-1

n

i

i

n

XX

1


18


19

DefiniciónSe Z una variable aleatoria con N(0,1) y si U es una variable aleatoria que se distribuye en forma χ2(r), con la condición de que Z y U sean independientes.

Por lo tanto:

Se tiene una distribución T con rr grados de libertad

ns

X

rU

ZT

población la deestándar desviación la deestimador el es y

muestra la de media la es y lpoblaciona media la es donde

s

X

ns

X

rUZT


20

DefiniciónEstimador de la desviación estándar de la población:

n

ii Xx

ns

1

22

1

1

normalón distribuci laen

a transformseón distribuci la ,y Si z ts

Es un estimador insesgado de μX


21

DefiniciónComo N aumenta, entonces la distribución t se aproxima cada vez más a la distribución normal


22

DefiniciónEntonces la distribución t se puede obtener mediante la transformación:

sX

Z

y t se define entonces como:

1 nzt


23

DefiniciónFunción de densidad de probabilidad:

2

12

12

21

)(

r

rtrr

r

tf


24

r=25r=5r=1


25

DefiniciónDistribución acumulativa de probabilidad:

rt

rrt

itB

tF

trtr

rIrItF

21

2

121

121

,21

;2

21

)(

sgn21

,21

,21

,21

;121

21

)(

2

2

daregulariza BetaFunción

,,;

,;*

BetaFunción ,*

GammaFunción *

*

1*

baBbazB

baZI

baB

z

t

nr


26

r=1r=25 r=5


27

Pruebas de significación: hipótesis“Pruebas de una cola o de dos colas”

• H0 regularmente afirma la ausencia de efectos

• Ha establece que un determinado parámetro difiere del valor que le otorga la hipótesis nula en una dirección concreta


28

Estadístico de contraste

• P este valor es la probabilidad calculada suponiendo que H0 sea cierta, de que el estadístico de contraste tome un valor al menos tan extremo como el valor observado

• Valores P pequeños indican la existencia de una fuerte evidencia en contra de H0

• Si el valor P es pequeño, o más pequeños que un valor concreto α, los datos son estadísticamente significativos a un nivel de significación α.


29

¿cuánto debe ser el valor de P?

• Nivel de significación más utilizado : 5% (α=.05)


30

Errores tipo I y tipo II

• Tipo I: Se presenta cuando se rechaza H0 cuando en realidad es cierta.

• Tipo II: Se da cuando no se rechaza H0 cuando en realidad Ha es cierta


31

Escenarios posibles :

Error tipo I Decisión correcta

Decisión correcta

Error tipo II

H0 es cierta Ha es cierta

Certeza sobre la población

Decisión basada

en la muestra

Rechazo H0

Aceptación H0

No rechazo h0


32

Ejemplo 1

Refrescos light: los fabricantes de refrescos prueban nuevas fórmulas para evitar la pérdida de dulzor de los refrescos light durante el almacenamiento. Uno de los catadores experimentados evalúan el dulzor de los refrescos antes y después del almacenamiento. He aquí las pérdidas de dulzor ( dulzor antes del almacenamiento menos dulzor después del almacenamiento) hallados por 10 catadores para una nueva fórmula del refresco.


33

Datosx Antes-

después

X1 2.0

X2 0.4

X3 0.7

X4 2.0

X5 -0.4

x6 2.2

X7 -1.3

X8 1.2

X9 1.1

x10 2.3

¿Estos datos constituyen una buena evidencia de que el refresco perdió dulzura durante el almacenamiento?


34

• Paso 1: Hipótesis Existen diferencias sobre la percepción de la pérdida de dulzura por parte de los catadores

Hipótesis: Pérdida media de dulzor μ

H0: μ=0

Ha: μ>0


35

• Paso 2: Estadístico de contraste:

10

3.21.12.13.13.24.00.27.04.00.21

n

i

i

n

XX

02.1X

n

ii Xx

ns

1

22

1

1

1961.14306.1 s

ns

Xt 0

6967.2101961.1

002.1 t


36

2XX i iX

2 0.96040.4 0.38440.7 0.1024

2 0.9604-0.4 2.01642.2 1.3924

-1.3 5.38241.2 0.03241.1 0.00642.3 1.6384

Ẋ= 1.02 S2= 1.43066667S= 1.19610479


37

2.69672.2622 2.814

• Paso 3: Valor P: t=2.6967 (Tabla)


38

2 2.05 2.1 2.15 2.2 2.25 2.3 2.35 2.4 2.45 2.5 2.55 2.6 2.65 2.7 2.75 2.8 2.85 2.9 2.95 3

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

t=2.69672.2622 2.8214

(t1,p1)

(t2,p2)

(t, p)

T

P

¿p?


39

t=2.6967p=?

En tablas

t1=2.2622 p1=.025t2=2.8214 p2=.01

1

21

21

1xx

xxyy

yy

1

21

21

1tt

ttpp

pp

01334.02622.26967.2

8214.22622.2

01.025.025.

p


40

Conclusión del cambio de dulzor

• Como P=0.01334 ,existe evidencia bastante fuerte a favor de que se produce una pérdida de dulzor.


41

Ejemplo 2• La tasa actual de producir fusibles de 5 amp en

DFEletric, es 250 por hora. Se compro e instaló una máquina nueva que según el proveedor aumentará la tasa de producción. Una nuestra de 10 horas seleccionadas al azar el mes pasado indica que la producción media por hora en la nueva máquina es 256, con desviación estándar muestral de 6 por hora. Con 0.05 de nivel de significancia. ¿Puede DFElectric concluir que la nueva máquina es más rápida?


42

solución

• Paso 1:

H0:μ≤250

Ha:μ≥250

• Paso 2: H0 se rechaza si t>1.833


43

Solución

16.3

106

250256

6

256

250

ns

Xt

s

X

• Paso 3:


44

H0 se rechaza y por lo tanto la nueva máquina es más rápida


45

Ejemplo 3: Comparación de dos media poblacionales

• Un estudio EPA reciente compara la economía de combustible en carretera de los automóviles nacionales e importados. Una nuestra de 15 autos nacionales reveló una media de 33.7 mpg con desviación estándar de 2.4 mpg. Una muestra de 12 autos importados indicó una media de 35.7 mpg con desviación estándar de 3.9 mpg.


46

• Para un nivel de significancia de 0.05, ¿puede EPA concluir que el consumo de las mpg para los autos importados es mayor?

• Paso1:

H0:μ2≤μ1

Ha:μ2>μ1


47

• Paso 2: H0 se rechaza si t<-1.708

• Paso 3:

21

2

21

11nn

s

XXt

p

2

11

21

222

2112

nn

snsnsp


48

918.9

25

95.247

25

31.16764.80

25

9.3114.214

21215

9.31124.2115

2

11

2

222

22

21

222

2112

p

p

p

s

s

nn

snsns

8037.12197.1

2.24877.1

2.2

203

918.9

2.2

121

151

918.9

7.357.33

11

21

2

21

t

nns

XXt

p


49

• Paso 4: H0 se rechaza. Entonces el consumo de mpg en los autos importados es más alto.


50

Ejemplo 4: Pruebas de hipótesis con observaciones por pares

• Una empresa de pruebas independientes estadísticas compara el precio diario de renta de un auto compacto en Eclipse Rent y Avis. Se obtiene una muestra aleatoria de 8 ciudades con la información dada. Con 0.05 de nivel de significancia, ¿puede la empresa concluir que existe una diferencia en los costos de la renta?


51

Ciudad Eclipse Rent ($) Avis ($)

Acapulco

Los Cabos

420

560

400

520

D.F.

Cancún

450

480

430

480

Guadalajara

Monterrey

370

450

320

480

Puebla 410 390

Tijuana 460 500


52

Solución:

Paso 1: H0:μd=0H1:μd≠0

Paso 2: H0 se rechaza si: t<-2.365 y t>2.365


53

• Paso 3: Cálculo del estadístico t mediante la expresión:

as)(diferenci pares de número el Es

sdiferencia las deestándar Desviación

sdiferencia las de Promedio

n

s

d

ns

dt

d

d


54

Ciudad Eclipse Rent ($)

Avis ($) Diferencias

($)

Acapulco

Los Cabos

420

560

400

520

20

40

D.F.

Cancún

450

480

430

480

20

0

Guadalajara

Monterrey

370

450

320

480

50

-30

Puebla 410 390 20

Tijuana 460 500 -40


55

Ciudad Eclipse Rent ($)Avis ($) Diferencias ($) (di-d)2

Acapulco 420 400 20 20 100Los Cabos 560 520 40 40 900D.F. 450 430 20 20 100Cancún 480 480 0 0 100Guadalajara 370 320 50 50 1600Monterrey 450 480 -30 -30 1600Puebla 410 390 20 20 100Tijuana 460 500 -40 -40 2500

μ= 10 ∑ 7000s= 31.6227766


56

8944.01803.1110

86227.3110

ns

dt

d

6227.3110007

7000

700018

1

11

10

1

2

d

d

n

iid

s

s

ddn

s

d


57

• Paso 4: H0 no se rechaza. No existe diferencia en los costos.


58


59


60

Referencias[1] Meyer PL. Probabilidad y aplicaciones estadísticas: Addison-Wesley Iberoamericana 1986.[2] Montgomery DC. Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería. México: MzGraw-Hill Interamericana Editores 1996.[3] More DS. Estadística aplicada básica. 2 ed. España: Antoni Bosch editor 2004.[4] Technology M. WolframMathWorld. Student's t-Distribution 2009 [ciado Mayo 15 2009]; Disponoble en: http://mathworld.wolfram.com/Studentst-Distribution.html[5] University A. Statistical Probabilities and Distributions 2009 [citado Mayo 15 2009]; Disponible en: http://www.andrews.edu/~calkins/math/webtexts/prod12.htm[6] Whitmore GA. Problemas de estadística Método autododáctico. México: Compañía Editorial Continental S.A. 1970.[7] Walpole Ronad E., Myers Raymond H. Probabilidad y Estadística. México: McGraw-Hill. Junio 2005.

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