Superficies extendidas

Capítulo 3 IMC 484 1

Superficies Extendidas (Aletas)Una superficie extendida (también conocida como aleta) es un sistema que combina la conducción y la convección. En una aleta se asume que la transferencia de calor es 1D. El calor también se transfiere por convección (y/o radiación) desde la superficie a los alrededores.


Superficies Extendidas (Aletas)Las superficies extendidas pueden existir en muchos tipos de situaciones pero son normalmente utilizadas como aletas para mejor la transferencia de calor al incrementar el área de convección (y/o radiación). Ellas son particularmente útiles cuando h es pequeño, o en convección natural con gases.


Superficies Extendidas (Aletas)


Distribución de temperatura en una aleta de sección transversal variable

Balance de energía para un volumen de control diferencial

dx

qx+dxqx

dqconv

dAs Ac(x)

xin qE =&

convdxxout dqqE += +&

( ) 0112

2=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ∞TT

dxdA

kh

AdxdT

dxdA

AdxTd s

c

c

c


Distribución de temperatura en una aleta de sección transversal constante

( ) 0112

2=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ∞TT

dxdA

kh

AdxdT

dxdA

AdxTd s

c

c

c

Cambios de variable:qf

Ac

qconv

Tb ( ) 02

2=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− ∞TT

kAhP

dxTd

c

PdxdA

dxdA sc == and 0

( ) ( ) ∞−≡ TxTxθckA

hPm ≡2


Condiciones de fronteraSolución de la ecuación diferencial resultante en una aleta de sección

transversal constante

( ) mxmx eCeCx −+≡ 21θBase (x = 0)

( )0 b bT Tθ θ∞= − ≡

Transferencia de Calor:

Extermo derecho ( x = L)

)(Lhdxdk

Lx

θθ=−

=

A. Convección:

B. Adiabático: 0=−=Lxdx

dk θ

C. Temperatura cte: ( ) LL θθ =

D. Aleta infinita: ( ) 0=Lθ

( )0|ff c x A s

dq kA h x dAdxθ θ== − = ∫


Distribución de temperatura y balance de calor para aletas de sección transversal cte


fεDesempeño de aletas,

• Las aletas se usan para aumentar q aumentando A• Sin embargo las aletas son una resistencia de

conducción para la transferencia de calor

Desempeño de una aleta, εf

∴=bbc

ff hA

qθ

ε,

Ac,b: Área de la sección transversal en la base de la aleta

2≥fεSe justifica el uso de aletas si


Desempeño de aletas, εf

Hipótesis: h sin aleta = h con aleta

• Aleta infinita:

• Extremo de la aleta adiabático

bcf hPkAq θ=

4≥chA

kP2≥⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

cf hA

kPεbcc

bbc

bcf AA

hAhPkA

,,

=∴=θθ

ε

)tanh(mLhPkAq cf =

)tanh(mLhAkP

cf ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=ε 0,1)tanh( si max, =mLfε


Extremo de la aleta adiabático

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5

mL

tanh

(mL)

mL=2,3

tanh(mL)=0,98


Eficiencia de la aleta, fη

mL

( )

( ) 0tanh

1tanh0

→=∞→

→=→

mLmLL

mLmLLSi

f

f

η

η

fηPara una aleta de sección transversal uniforme con un extremo adiabático

mLmL

hPLmLhPkA

hAq c

bf

adff

)tanh()tanh(, ===θ

η

bf

fff hA

qqq

θη ==

max

1

0

Af: Área superficial de la aleta

Costo

fη


Cómo saber si la consideración de extremo adiabático es buena? Consideremos una aleta en aluminio (k=237 W/mK) de 20,0 cm de largo, 3,0 cm de profundidad y 0,5 cm de ancho. con una temperatura en la base igual a 100 ºC. Asumamos que h=5W/m2K. El ambiente se encuentra a 25 ºC.

a) Cual sería la temperatura del extremo si en el extremo hay transferencia de calor por convección.

b) La misma pregunta pero con un extremo adiabático.


T x TT T

m L x h mk m L xmL h mk mL

x x

T x x x

b b

( ) cosh[ ( )] ( / )sinh[ ( )]cosh ( / )sinh

cosh[ . ( . )] . sinh[ . ( . )]cosh( . ) . sinh( . )

( ) . {cosh( . . ) . sinh( . . )}

- ∞

∞−= =

− + −+

=− + −

+= + − + −

θθ

3138 0 2 0 00672 3138 0 20 6276 0 00672 0 6276

25 62 09 0 6276 3138 0 00672 0 6276 3138

138,3 , ==ckA

hPm

Ecuación larga


0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.285

88.75

92.5

96.25

100

T( )x

T c( )x

x

T: Ext adiabática; Tc: Ext convectivo

T(0.2)=87.32 °CTc(0.2)=87.09 °C

Nota 1: la temperatura en el extremo de la aleta es ligeramente inferioren el caso de un intercambio por convección, lo que es lógico!!!Note 2: La diferencia entre las dos soluciones es ínfima. Luego es posible encontrar aproximadamente el mismo resultado en los dos casos si se aplica un factor correctivo al caso del extremo adiabático (especialmente en el caso de aletas delgadas) lo que compensaría el efecto de transferencia de calor por convección en el extremo de la aleta.


T x TT T

m L xmL

T x

T x x

b b

( ) cosh ( )cosh

cosh[ . ( . )]cosh( . * . )

,

( ) . * cosh[ . ( . )]

- ∞

∞−= =

−

−−

=−

= + −

θθ

25100 25

3138 0 23138 0 2

25 62 32 3138 0 2

Extremo adiabática



Para ahorrarse la utilización de la ecuación larga se utiliza la suposición de extremo adiabático pero utilizando una longitud de aleta corregida para tener en cuenta la transferencia de calor por convección en el extremo LC=L+(t/2).

L L

LC=L+t/2

Con convecciónt/2

Extremo aislado

t

Luego se aplica una condición de extremo adiabática


Retomando el ejemplo anterior tenemos, m=3.138. La longitud corregida es LC=L+(t/2)=0.2+0.0025=0.2025(m)


( ) ( )[ ]( )

( ) ( )[ ]( )2025,0138,3cosh

2025,0138,3cosh25100

25 ; cosh

cosh×

−=

−−−

==−−

∞

∞ xxTmL

xLmTT

TxT corr

c

c

bb

corr

θθ

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.285

88.75

92.5

96.25

100

T( )x

T c( )x

T corr( )x

( ) ( )[ ]xxTcorr −×+= 2025,0138,3cosh05,6225

T(0.2)=87.32 °C Tc(0.2)=87.09 °CTcorr(0.2025)=87.05 °C


Curvas para calcular en aletasfη• D.R. Harper y W.B. Brown en 1922 desarrollar el siguiente método para

calcular de forma simple la eficiencia de aletas de diferentes formas• El método: utilizar la expresión para aletas con extremo adiabático, pero

utilizando una longitud corregida:

• La velocidad de transferencia de calor y la eficiencia de la aleta serán entonces de la forma

( ) cuadrada aleta ,4 cilíndrica aletas ,4/resrectangula aletas ,2/

wLLDLLtLL

c

c

c

+=+=+= t: espesor de la aleta

D: diámetro de la aleta

( )( ) tanh

tanh

mL

mL

mLMq

c

cf

cf

=

=

η

( ) / PALL cc += Ac es el área de la sección transversal y P es el perímetro de la aleta en el extremo.

bchPkAM θ=


Curvas para calcular en aletasfη

23

2121

cp

cc

c LkA

hLkAhPmL ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=wPtw 2 Si ≈⇒>>


Arreglo de aletas

Arreglo representativo de aletas(a) rectangulares(b) anulares.

– Área superficial total :

Número de aletas Área de la base

– Calor transferido total:

– Eficiencia y Resistencia total :

bft ANAA +=

ot

bbtobbbfft R

hAhAhANq,

θθηθθη ==+=

( )ft

fo A

NAηη −−= 11

tot

bot hAq

Rη

θ 1, ==


Circuitos térmicos para arreglo de aletas

• Circuito térmico equivalente SIN resistencia de contacto superficial :

• Circuito térmico equivalente CON resistencia de contacto superficial :

tcocot

cot

bbtcot hA

RR

hAq)(

)(,)(,

)(1

ηθ

θη =∴==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

1)( 11

CANA f

t

fco

ηη

( )bcctff ARhAC ,",1 /1 η+=


Aletas de sección transversal no uniforme

( ) 0112

2

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ∞TT

dxdA

kh

AdxdT

dxdA

AdxTd s

c

c

c• Ecuación general

( ) 0212

2

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+ ∞TT

kth

drdT

rdrTd

01 22

2

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ θθθ m

drd

rdrd Ec de Bessel modificada

( ) ( ) ( )mrKCmrICr 0201 +=θSolución

I0 y K0 funciones de Bessel de orden cero modificadas de primera y segunda clase. Anexos B.4 y B.5, pag 858 y 859 Incropera

C.F ( ) brr

rdrd θθθ

=∧==

102

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )21102110

210210

mrImrKmrKmrImrImrKmrKmrI

b ++

=θθ

I1 y K1 funciones de Bessel de primer orden modificadas de primera y segunda clase. Anexos B.4 y B.5, pag 858 y 859 Incropera


Ejercicio• Los álabes de turbina montados en un disco rotatorio de una turbina de gas se exponen

a un flujo de gas que esta a T∞=1200 ºC y mantiene un coeficiente de convección de h=250 W/m2K sobre los álabes. Los álabes, fabricados en Inconel, k=20 W/mK, tienen una longitud de L=50 mm. El perfil del álabe tiene un área de sección transversal Ac=6x10-4 m2 y un perimetro P=110 mm. Un esquema de enfriamiento de álabe que se propone, el cual implica dirigir aire a través del disco de soporte, es capaz de manter la base de cada álabe a una temperatura Tálabe=300 ºC.

• a) Si la temperatura máxima permisible del álabe es 1050 ºC y se supone que la punta del alabe es adiabática, ¿es satisfactorio el esquema de enfriamiento que se propone?

• b) Para el esquema de enfriamiento propuesto, ¿cuál es la transferencia de calor de cada álabe al fluido refrigerante?

• c) En que estado (gaseoso, líquido o en ebullición) debe estar el fluido refrigerante para asegurar la transferencia de calor calculada en el numeral anterior. Sugiera un rango para h lado refrigerante. Justifique su respuesta!!!

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