Soluciones:

1.-

a) 24x4+60x3-18x2 = 6x2·(4x2+10x-3)

b) 45x11+60x8+20x5= 5x5·(3x3+2)2

c) 4x2-9= (2x+3)·(2x-3)

d) 6x6-96x2=6x2·(x2+4)·(x+2)·(x-2)

e) 12x9-36x6+27x3=3x3·(2x3-3)2

Resolución: En primer lugar, observamos que podemos sacar factor común, pues

el MCD(12,36,27)=3; y el menor de los grados es 3. Así, 3x3 es un factor común. Lo

extraemos quedando:

12x9-36x6+27x3=3x3· (4x6-12x3+9).

Ahora, hay que observar si el segundo factor, el polinomio de grado 4 puede

factorizarse utilizando alguna de las identidades notables. Por su forma solo podría

ser el cuadrado de una diferencia, ya que tiene tres términos y uno de sus

coeficientes es negativo. Si así fuera, los dos términos con coeficientes positivos

serían los cuadrados del primero y del segundo, así, vemos cuáles tendrían que ser

estos:

Si 4x6 es a2, entonces ‘a’ será , es decir, será 2x3.

Si 9 es b2, entonces ‘b’ será , es decir, será 3.

Así, Calculamos ahora -2ab, que tiene que coincidir con el término con coeficiente

negativo para que el polinomio sea el desarrollo del cuadrado de una diferencia;

comprobamos:

-2ab=-2·(2x3)·3=-12x3, que es exactamente el término con coeficiente negativo del

polinomio. Así, tenemos que el polinomio es el desarrollo del cuadrado de una

diferencia, en concreto de la diferencia (2x3-3). Así quedará:

12x7-36x5+27x3=3x3·(4x4-12x2+9)= 3x3·(2x3-3)2

f) x4+16-8x2=(x+2)2·(x-2)2

Resolución: En primer lugar, observamos que no podemos sacar factor común,

pues el MCD(1,16,8)=1; y el menor de los grados es 0. Así, 1 es el único factor

común.

Ahora, hay que observar si el polinomio de grado 4 puede factorizarse utilizando

alguna de las identidades notables. Por su forma solo podría ser el cuadrado de una

diferencia, ya que tiene tres términos y uno de sus coeficientes es negativo. Si así

fuera, los dos términos con coeficientes positivos serían los cuadrados del primero y

del segundo, así, vemos cuáles tendrían que ser estos:

Si x4 es a2, entonces ‘a’ será , es decir, será x2.

1

Si 16 es b2, entonces ‘b’ será , es decir, será 4.

Así, Calculamos ahora -2ab, que tiene que coincidir con el término con coeficiente

negativo para que el polinomio sea el desarrollo del cuadrado de una diferencia;

comprobamos:

-2ab=-2·(x2)·4=-8x2, que es exactamente el término con coeficiente negativo del

polinomio. Así, tenemos que el polinomio es el desarrollo del cuadrado de una

diferencia, en concreto de la diferencia (x2-4). Así quedará:

x4+16-8x2=(x2-4)2

Ya habríamos terminado, pero observamos que el factor que está elevado al

cuadrado, es decir, el x2-4, se corresponde con el desarrollo de una suma por una

diferencia, es decir es una diferencia de cuadrados, en concreto de los cuadrados

de x y de 2, ya que x2-4=x2-22, así, será x2-4=(x+2)·(x-2) y por tanto (x2-4)2=[(x-

2)·(x+2)]2, y efectuando esta potencia quedará (x2-4)2=(x-2)2·(x+2)2. Por tanto,

resumiendo queda:

x4+16-8x2=(x+2)2(x-2)2

g) 8x4-84x3+18x2=2x2·(7x-3)2

h) 18x7+8x+26x4=2x·(9x6+13x3+4)

2.-

a) 7x7-5x5-18x4-4x3+5x2-11

b) -7x7+5x5-24x4-10x3+5x2+4x+3

c) -105x7-75x6+25x5-9x4+60x3-15x2+2x-3

Resolución: Vamos a sustituir en el enunciado los nombres de los polinomios

por los propios polinomios y, para no errar, los pondremos inicialmente

entre paréntesis:

(5x3+2x-3)·[-(3x3-2)+(-21x4-12x3+5x2-1)]

A continuación deshacemos los paréntesis, y resolvemos el polinomio que queda

dentro del corchete, ordenando los términos por grado y agrupando aquellos

que son semejantes. Así, el polinomio A(x) en principio no se toca:

(5x3+2x-3)·[-3x3+2 -21x4-12x3+5x2-1]= (5x3+2x-3)·( -21x4-12x3-3x3+5x2 +2 -1)=

=(5x3+2x-3)·[-21x4+(-12-3)x3+5x2 +(2 -1)]= (5x3+2x-3)·(-21x4-15x3+5x2 +1)

Por último multiplicamos los polinomios que han quedado, formando todas las

posibles parejas entre los términos del primero y los del segundo. Como en el

primero hay 3 términos y en el segundo 4, habrá 4x3=12 parejas:

(5x3+2x-3)·(-21x4-15x3+5x2 +1)=

(5x3)·(-21x4)+(5x3)·(-15x3)+(5x3)·(5x2)+(5x3)·(1)+(2x)·(-21x4)+(2x)·(-15x3)+

+(2x)·(5x2)+(2x)·(1)+(-3)·(-21x4)+(-3)·(-15x3)+(-3)·(5x2)+(-3)·(1)

=-105x7-75x6+25x5+5x3-42x4-30x4+10x3+2x+63x4+45x3-15x2-3=

2

=-105x7-75x6+25x5-42x4-30x4+63x4+5x3+10x3+45x3-15x2+2x-3=

=-105x7-75x6+25x5+(-42-30+63)x4+(5+10+45)x3-15x2+2x-3=

=-105x7-75x6+25x5-9x4+60x3-15x2+2x-3

d) -112x7-60x6-12x5+36x4+38x3-15x2+10

e) 105x13-33x11-88x10-30x9+85x8-45x7-55x6-54x5+26x4+95x3+8x2+8x-

30

3.-

a) Cociente: Resto:

b) Cociente: Resto:

c) Cociente: Resto:

d) Cociente: Resto:

e) Cociente: Resto:

4.-

a) Cociente: Resto: -10

b) Cociente: Resto:

c) Cociente: Resto:

d) Cociente: Resto: 0

e) Cociente: Resto: 0

f) Cociente: 7x6-7x5+2x4+x3-x2+x-3Resto:-2

5.-

a)

b)

c)

d)

3

Resolución: En primer lugar, vamos a factorizar tanto el numerador como el

denominador.

En el numerador podemos sacar factor común al monomio x, ya que MCD(2,3,1)=1

y el menor de los grados es 1. Así quedará -2x3-3x2+x= x·(-2x2-3x+1)

En el denominador podemos sacar factor común el monomio 3x2, ya que

MCD(6,9,3)=3 y el menor de los grados es 2. Quedando 6x4+9x3-3x2=3x2·(2x2+3x-

1) Por tanto la fracción algebraica quedará de la manera siguiente:

A simple vista observamos que x es un factor que

está tanto en el numerador como el denominador por lo que se puede simplificar,

pero, además, observamos que el segundo factor del numerador y denominador es

igual salvo el signo de sus coeficientes, es decir, son polinomios opuestos. Haciendo

el símil con números sería, por ejemplo, como si tuviéramos la fracción que se

simplifica dejando únicamente el -1 en el numerador. Pues ocurre lo mismo con los

polinomios, así, además de el factor x, también se simplifica por el factor 2x2+3x-1,

quedando un -1 en su lugar en el numerador. Resumiendo, la solución final será:

4