POLINOMIOS

1 – CONOCIMIENTOS GENERALES

1.1. INTRODUCCIÓN Desde años anteriores el estudiante conoce a los polinomios como: A(x) = 2x2 – 5x + 4 B(x) = 3x – 7 También está familiarizado con algunas operaciones con polinomios, como la suma, resta y multiplicación. Durante el año pasado se trabajó, entre otras, con funciones lineales, cuadráticas y racionales. En este curso se profundizarán las operaciones con polinomios y las gráficas de funciones polinómicas, junto con los teoremas relacionados.

1.2. EL NOMBRE DE UN POLINOMIO A los polinomios se los denomina con una letra (en este texto se usarán letras en mayúsculas) y se indica, entre paréntesis, la variable utilizada. Sobre todo se usará la letra P, inicial de la palabra Polinomio. Pero cuando sea necesario hablar de varios polinomios, se utilizarán también otras letras: A(x), B(x), Q(x)... Cuando se habla de la función polinómica asociada a un polinomio, es común referirse a ella usando letras en minúsculas f (de función) y, si son varias las funciones polinómicas, se usarán las siguientes letras: g, h... Muchas veces se indican el dominio y el codominio en que están definidas. Por ejemplo: f: ? / f(x) = x2 – 5x + 7

1

1.3. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN POLINÓMICA Se llama función polinómica de los números reales en los números reales, a todas las funciones cuya formulación algebraica es:

f: ? / f(x) = anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x + a0 donde an, an – 1,... a1, a0, son números reales llamados coeficientes y n, n – 1,... son

números naturales llamados exponentes.

NOTA En adelante se llamará polinomio a la expresión que caracteriza a una función polinómica y se dará por sobreentendido que está definida de los números reales en los números reales.

La palabra polinomio indicará un polinomio ordenado en la variable x. Es común la ordenación en potencias decrecientes.

Cuando se nombre un polinomio, como A(x), B(x)... se usará el signo =, pues se ha visto la necesidad de diferenciarlo de una ecuación, en que se usa el signo =.

Por ejemplo:

Dado el polinomio A(x) = x2– x + 3 Resolver A(x) = 4x – 1 Significa resolver: x2– x + 3 = 4x – 1 Solución ={1, 4}

Véase la diferencia entre f y f(x), en el capítulo 4.

1.4. COEFICIENTES EN UN POLINOMIO El estudiante debe tener claro qué son los coeficientes en un polinomio: son todos los números o letras que afectan a las diferentes potencias en x. Se destacan dos coeficientes. El del término de mayor exponente en x: primer coeficiente o coeficiente principal. El del término de exponente cero en x: término independiente.

En P(x) = – 3x2 + 2x + 5 Coeficiente principal = – 3 Término independiente = + 5

2

Se anota P(x) = 0

3 5 7sen = + + ...

3! 5! 7!x x xx x − −

La expresión es útil para valores de: – 1 < x < 1

EJEMPLO: Dado C(x) = x3 + (2a – b)x2 – 5a + b, indique sus coeficientes.

Coeficiente del término en x3 : ? +1 Coeficiente principal

Coeficiente del término en x2 : ? 2a – b

Coeficiente del término en x1 : ? 0

Coeficiente del término en x0: ? – 5a + b Término independiente

1.5. POLINOMIO NULO

Un polinomio se llama idénticamente nulo, o simplemente polinomio nulo, cuando valen cero todos sus coeficientes.

Dado: P(x) = anxn + an–1xn – 1 + ... + a1x + a0

P(x) = 0 % ai = 0 t i = 0 a n i∈

Aproximación de la función seno por un polinomio. Se llama polinomio de Mac Laurin, y lo ve el estudiante de Ingeniería, en los cursos de sexto año de bachillerato. Para repetir el cálculo hay que poner la calculadora en modo «radianes».

Valor de calculadora: sen 45º ≅ sen 0.785398 ≅ 0.7071067

Si en el desarrollo de Mac Laurin se toma un término: sen 0.7854 ≅ 0.7854 el error cometido es menor que 0.7

Si se toman dos términos: sen 0.7854 ≅ 0.7854 – 0.08075 = 0.70465 El error cometido es menor que 0.08

Si se toman tres términos: sen 0.7854 ≅ 0.7854 – 0.08075 + 0.00249 = 0.70714 El error cometido es menor que 0.002

Si se toman cuatro términos: sen 0.7854 ≅ 0.7854 – 0.08075 + 0.00249 – 0.00004 = 0.70710 El error cometido es menor que 0.00004

El error que se comete en la aproximación es menor que el valor del último término tomado.

3

1.6. GRADO DE UN POLINOMIO El grado de un polinomio reducido P(x) no idénticamente nulo es el mayor exponente de la variable x. Se entiende por «reducido» el polinomio obtenido luego de hechas las cuentas necesarias, sumando o restando los términos de igual exponente en x. EJEMPLOS: A(x) ≡ – 3x3 + x2– 5 ? es de grado 3

B(x) ≡ x2+ 4x – 5 ? es de grado 2 C(x) ≡ 3x – 5 ? es de grado 1 D(x) ≡ 5 ? es de grado 0

NOTA Repasando las definiciones de grado y de polinomio nulo, se puede concluir que: el polinomio nulo no tiene grado.

EJEMPLO: Indicar el grado de

P(x) = 2x – x2– 5 + 3x2– 7 + 8x – 2(x – 1)2 Para obtener el grado de P(x) es necesario reducirlo. Se eleva (x – 1) al cuadrado, se multiplica por 2 el resultado y luego se suman o restan los términos de igual exponente en x. P(x) = 2x – x2– 5 + 3x2– 7 + 8x – 2x2+ 4x – 2 == x x x x x x

xx

2 2 23 2 2 8 4 ( 5 7 2)142 140

− + − + + + + − − −

−

P(x) = 14x – 14 P(x) es de grado 1

Dado el polinomio: x xn

P( ) a0

=≡

=∑

i ii

i

El grado de P(x) es el mayor i / ai $ 0

Responder «verdadero» o «falso», y justificar la

respuesta. a) El grado del producto de dos

polinomios no nulos, con coeficientes reales, es la suma de los grados de cada uno de ellos.

b) El grado de la suma de dos

polinomios no nulos, con coeficientes reales, es la suma de los grados de cada uno de ellos.

c) El grado del producto de dos

polinomios no nulos, con coeficientes reales, es igual al del polinomio de mayor grado.

d) El grado de la resta de dos

polinomios no nulos, con coeficientes reales, es igual al grado del polinomio de mayor grado.

Véanse los resultados en la página 479.

4

Contestar las preguntas 1 y 2 de la página 250.

1.7. DEFINICIÓN DE POLINOMIOS IDÉNTICOS Dos polinomios son idénticos y se escribe: A(x) = B(x), si tienen en su forma reducida el mismo grado y los términos de igual exponente en x tienen los mismos coeficientes. EJEMPLO: Dado A(x) = x3+2ax2 + 7 B(x) = bx4+ x3 + 4x2 + (c – 2) Hallar a, b, y c, si A(x) = B(x) Si dos polinomios son idénticos, son iguales los coeficientes de los términos de igual exponente en x. Coeficientes de A(x) Coeficientes de B(x) 0 ← Coeficiente del término en x4 → b

1 ← Coeficiente del término en x3 → 1

2a ← Coeficiente del término en x2 → 4

0 ← Coeficiente del término en x1 → 0

7 ← Coeficiente del término en x0 → c – 2 Al igualar los coeficientes y despejar las incógnitas resulta: 0 = b → b = 0 1 = 1 2a = 4 → a = 2 0 = 0 7 = c – 2 → c = 9

Antes de continuar, es conveniente hacer el ejercicio 238, de la página 252.

En una división entera entre dos polinomios:

1) Si el dividendo tiene grado 8 y el cociente grado 3, ¿qué grado tiene el resto?

2) Si el resto tiene grado 2 y el dividendo tiene grado 4, ¿qué grado tiene el cociente?

3) Si el divisor tiene grado 2 y el cociente tiene grado 3, ¿qué grado tiene el resto?

Véanse los resultados en la página 478.

5

1.8. VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO Cuando en un polinomio se sustituye la variable x por un número y se efectúan las operaciones indicadas, se obtiene un resultado que se llama valor numérico del polinomio para ese valor particular de x. El valor numérico del polinomio P(x) para x = a, se indica por P(a).

NOTA El valor numérico que toma un polinomio al sustituir su variable x por cero, es igual al término independiente.

P(0) = a0 EJEMPLO: Dado P(x) = x3+ ax2 – x – 4 calcular a para que P(– 2) = 6.

Para resolver el problema, se sustituye en el polinomio toda x por – 2 y se iguala a 6. Debe ponerse el valor de x entre paréntesis, para evitar posibles errores en los signos.

P(x) = x3+ 4x2– x – 4

NOTA

Un valor numérico muy importante es el cero.

Se llama raíz de un polinomio al valor de la variable x que hace cero al valor numérico del polinomio.

α es raíz de P(x) % P(α) = 0

P(– 2) = (– 2)3 + a(– 2)2 – (– 2) – 4 = 6

– 8 + 4a + 2 – 4 = 6

– 10 + 4a = 6

4a = 16

Solución: a = 4 Pensando en problemas más largos,

el estudiante se debe acostumbrar a sustituir, en el polinomio, el valor de las letras encontradas y dar también como solución al polinomio.

6

Dividendo = 3x3– 4x2– 5x + 4

Divisor = x2– 2x + 3

Cociente = 3x + 2

Resto = – 10x – 2

2 – DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS

2.1. DEFINICIÓN Dividir un polinomio P(x) (dividendo), entre otro D(x) (divisor no nulo), es encontrar dos polinomios Q(x) (cociente) y R(x) (resto), tal que el dividendo sea igual al divisor por el cociente más el resto y que el grado del resto sea menor que el grado del divisor o un polinomio nulo.

P(x) ≡ D(x) Q(x) + R(x) grado R(x) < grado D(x) o R(x) ≡ 0 Es común expresar la división con el siguiente esquema: Con respecto a los grados de los polinomios, se tendrá que si P(x) es de grado n y D(x) es de grado m, con m < n, resulta que Q(x) es de grado (n – m), y el resto R(x) es de grado menor a m, o no tiene grado. n∈ m∈

2.2. CÓMO HACER UNA DIVISIÓN

EJEMPLO: Dividir P(x) ≡ 3x3– 4x2– 5x + 4 entre D(x) = x2– 2x + 3

x x x x x

x

3 2 23 4 5 4 2 3

3

− − + − +

x x x x x

xx x x

x x

3 2 23 4 5 4 2 3

3 2 33 6 9

22 14 4

− − + − +

− + −

− +

x x x x x

xx x x

x x

x x

x

3 2 23 4 5 4 2 3

3 2 3 23 6 9

22 14 422 4 6

10 2

− − + − +

+− + −

− +

− + −

− −

x xx x

P( ) D( )R( ) Q( )

Se divide el término de mayor exponente de P(x), (3x3), entre el término de mayor exponente del divisor (x2) y se pone el resultado (3x) como el primer término del cociente.

Luego se multiplica (3x) por cada uno de los términos del divisor y se lo resta (se pasa con signo contrario y se suma) al dividendo para obtener un nuevo dividendo (2x2

– 14x + 4).

Se repite el procedimiento. La división continúa hasta que el resto sea de grado menor que el divisor, o que sea el número cero.

7

NOTA Un dato muy importante que no debe olvidar el estudiante es que:

En una división entera entre polinomios, el resto es de grado menor que el divisor,

o es el polinomio nulo. En este curso solo se estudiará la división entera de polinomios, reducidos y ordenados en potencias decrecientes de la variable y cuando el grado del dividendo sea mayor o igual que el grado del divisor.

Existen otros casos. Entre ellos:

x x

x

A( ) B( )

A( ) 0

2.3. POLINOMIOS DIVISIBLES DIVISIÓN EXACTA

Diremos que un polinomio P(x) es divisible entre el polinomio D(x) (no nulo) si el resto de la división es cero o un polinomio nulo.

P(x) es divisible entre D(x) si y solo si P(x) = D(x).Q(x)

NOTA También suele decirse que D(x)/P(x) o que D(x) divide exactamente a P(x)

x x

x

P( ) D( )

0 Q( )

Si: grado A(x) < grado B(x)

Cuando el grado del polinomio dividendo es menor que el grado del polinomio divisor, el cociente es cero y el resto es igual al polinomio dividendo.

8

Cada vez que se dice con palabras:

Que con símbolos se expresa como:

Significa, por el teorema del resto:

3 – TEOREMA DEL RESTO

3.1. TEOREMA DEL RESTO PARA DIVISORES DE LA FORMA (x – α)

El valor numérico que toma un polinomio, para x = α αe , es

igual al resto de la división entre (x – α). Hipótesis: Tesis:

Dada la división: x x

x

P( ) ( )

R Q( )

− α P(α) = R

R∈ ya que grado(x – α) = 1

Se parte de la división: → x x

x

P( ) ( )

R Q( )

− α

Se expresa como: → P(x) = (x – α) Q(x) + R Se sustituye toda x por α (el cual es un número): → P(α) = ( )Q( ) R

00

α − α α +

=

=

Se efectúan las cuentas y se llega a la tesis: → P(α) = R

3.2. ¿QUÉ NOS DICE EL TEOREMA DEL RESTO?

P(x) dividido (x + 3) da resto 1 x x

xP( ) ( 3)

1 Q( )+

P(– 3) = 1

P(x) dividido (x – 2) da resto – 7 x x

xP( ) ( 2)

7 Q'( )−

− P(2) = – 7

P(x) dividido x da resto 6 x x

xP( )

6 Q"( ) P(0) = 6

9

EJEMPLO: Dado P(x) ≡ 2x2+ (a – 2)x – 3a – 5 Calcular a para que P(x) dividido entre (x + 1) dé resto – 5 Para aplicar el teorema del resto se debe hallar el valor de α. Para ello se toma el divisor (x + 1), se iguala a cero y se despeja la x. x + 1 = 0 se despeja x, x = – 1

Por el teorema del resto, ? P(– 1) = – 5

P(– 1) = 2(– 1)2 + (a – 2)(– 1) – 3a – 5 = – 5

2 – a + 2 – 3a – 5 = – 5 – 4a = – 5 +1 – 4a = – 4 a = 1 En todos los casos, además de hallar el valor de a, es conveniente escribir el polinomio sustituyendo a por el valor hallado.

P(x) ≡ 2x2– x – 8 EJEMPLO: Dado P(x) = 2(x–2)9+(x–2)5 +x–5 Calcular el resto de dividir P(x) entre (x–3) Una posibilidad sería reducir P(x) y hacer la división. Es un método largo y complicado, que demuestra tan solo que no se conoce el significado del teorema del resto. Un método rápido y sencillo para hallar el resto es aplicar el teorema del resto. De este modo, para calcular el resto se efectúa P(3).

P(3) = 2(3 – 2)9 + (3 – 2)5 + 3 – 5 = 2 +1 + 3 – 5 = 1 Resto = 1

NOTA Aunque el teorema del resto se cumple para todo αe , se demuestra a continuación otro caso particular y frecuentemente utilizado: cuando el divisor es (ax + b).

10

Para aplicar el teorema del resto se debe

hallar el valor de ba

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

. Para ello se toma

el divisor (2x + 6), se iguala a cero y se despeja la x.

3.3. TEOREMA DEL RESTO PARA DIVISORES DE LA FORMA (ax + b)

El valor numérico que toma un polinomio, para x = – ba

a ≠ 0,

es igual al resto de la división entre (ax + b). Hipótesis: Tesis:

Dada la división: x x

x

P( ) (a b)

R Q( )

+ bP R

a⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

a∈ * b∈ R∈

Se parte de la división: → x x

x

P( ) (a b)

R Q( )

+

Se expresa como: → P(x) ≡ (ax + b) Q(x) + R

Se sustituye toda x por ba

− (el cual es un número): → P ba

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= b ba b Q Ra a0

0

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

=

=

Se efectúan las cuentas y se llega a la tesis. → P ba

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= R

EJEMPLO: Dado P(x) ≡ – 3x2 + (2a – 1)x + a – 2 Calcular a para que P(x) dividido entre (2x + 6) dé resto – 1 2x + 6 = 0 se despeja x x = – 3 Por el teorema del resto, P(– 3) = – 1 P(– 3) = – 3(– 3)2 + (2a – 1)(– 3) + a – 2 = – 1 – 27 – 6a + 3 + a – 2 = – 1 – 5a – 26 = – 1 – 5a = 25 a = – 5 En todos los casos, además de hallar el valor de a es conveniente escribir el polinomio sustituyendo a por el valor hallado.

P(x) ≡ – 3x2– 11x – 7

11

3.4. TEOREMA GENERAL DEL RESTO

Si D(α) = 0, el valor numérico que toma un polinomio P(x) para x = α es igual al valor numérico para x = α del resto de la división de P(x) entre D(x).

(α∈ ) (grado D(x) ≤ grado P(x), D(x) no nulo) Hipótesis: Tesis:

Dada la división: x x

x x

P( ) D( )

R( ) Q( ) con D(α) = 0 P(α) = R(α)

Se parte de la división: → x x

x x

P( ) D( )

R( ) Q( )

Se expresa como: → P(x) ≡ D(x) Q(x) + R(x) Se sustituye toda x por α (que es un número): → P(α) = D( )Q( ) R( )

00

α α + α=

=

Se efectúan las cuentas y se llega a la tesis: → P(α) = R(α)

René Descartes Francia, 1596-1650 Filósofo francés, creador del racionalismo y uno de los padres de la filosofía moderna. Educado por los jesuitas, estudió jurisprudencia, ingresó en el ejército y luego se retiró a vivir a Holanda, donde permaneció desde 1626 a 1649. Posteriormente fue invitado por Cristina de Suecia a su corte, donde falleció en 1650. Considerado el primer filósofo moderno, Descartes utilizó la ciencia y las matemáticas para explicar y pronosticar acontecimientos en el mundo físico.

Su famosa frase «Cogito ergo sum» ('Pienso, luego existo') fue el punto de partida que lo llevó a investigar las bases del conocimiento. La contribución más notable que hizo Descartes a las matemáticas fue la sistematización de la geometría analítica. Fue el primer matemático que intentó clasificar las curvas conforme al tipo de ecuaciones que las producen, y contribuyó también a la elaboración de la teoría de las ecuaciones. Descartes fue el responsable de la utilización de las últimas letras del alfabeto para designar las cantidades desconocidas, y las primeras letras para las conocidas.

12

4 – TEOREMA DE DESCARTES

Es condición necesaria y suficiente para que un polinomio sea

divisible entre (x – α), que P(α) = 0. α∈ Que sea condición necesaria y suficiente, significa que será necesario demostrar el directo y el recíproco. DIRECTO Hipótesis: Tesis: P(x) es divisible entre (x – α) P(α) = 0

x x

x

P( ) ( )

0 Q( )

− α

Se expresa como: P(x) ≡ (x – α) Q(x) + 0 Se sustituye toda x por α (el cual es un número): ? P(α) = ( )Q( )

00

α − α α

==

Se efectúan las cuentas y se llega a la tesis: ? P(α) = 0 RECÍPROCO Hipótesis: P(α) = 0 Tesis: P(x) es divisible entre (x – α)

x x

x

P( ) ( )

R Q( )

− α

Se expresa como: P(x) ≡ (x – α)Q(x) + R Se hace valor numérico, sustituyendo toda x por α. Se llega a que P(α) = R. Pero por hipótesis P(α) = 0. Con lo cual se concluye que: R = 0, P(α) = (α – α)Q(α) + R ? P(α) = R que significa que el polinomio es divisible entre (x – α). Que es la tesis. Por hipótesis ? P(α) = 0

NOTA

El teorema de Descartes permite afirmar que: por cada raíz α de un polinomio existe un divisor asociado, de la forma (x – α).

Si P(x) es divisible entre (x – α) significa que el resto de la división es cero.

Al dividir P(x) entre (x – α) se obtiene un cociente y un resto.

13

EJEMPLO: Hallar m y p, sabiendo que: P(x) ≡ 4x3– 16x2 + mx + p es divisible entre (x – 4) y que dividido entre (x + 1) da resto – 15

Que sea divisible entre (x – 4) significa que P(4) = 0 (teorema de Descartes).

Que dividido entre (x + 1) da resto – 15, significa que P(– 1) = – 15 (teorema del resto).

Se efectúan las sustituciones por ambos valores numéricos, para obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que se resuelve por el método de reducción.

4m p 0m p 5

+ =− + =

Solución: m = – 1 p = 4 P(x) ≡ 4x3– 16x2– x + 4

Paolo Ruffini Nació en 1765 y falleció en 1822, en Módena, Italia. Como otros personajes, Ruffini no fue solo un matemático, sino que se graduó también como médico e incluso tuvo cargos políticos. Eran tiempos de guerra, Napoleón formó la República Cisalpina y en 1798 Ruffini perdió su trabajo en la Universidad de Módena. No se preocupó, pues le quedaba tiempo para cuidar a sus enfermos y, sobre todo, para trabajar en uno de los más originales proyectos, denominado: La ecuación de quinto grado no puede ser resuelta por radicales.

La comunidad matemática de esa época no estaba preparada para aceptar esta revolucionaria idea de que un polinomio no siempre puede ser resuelto por radicales. Solo al final de su vida, entre 1800 y 1820, apoyado por Cauchy, la comunidad matemática aceptó esa idea de Ruffini.

P(4) = 4(4)3– 16(4)2 + m(4) + p = 0 256 – 256 + 4m + p = 0

4m + p = 0

P(– 1) = 4(– 1)3– 16(– 1)2+ m(– 1) + p = –15 –4 – 16 – m + p = – 15

–m + p = 5

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5 – DEMOSTRACIÓN DEL ESQUEMA DE RUFFINI El caso más importante de división de dos polinomios es aquel en que el divisor es de primer grado y de la forma (x – α), α∈ . La división queda planteada en los siguientes términos:

x x

x

P( ) ( )

R Q( )

− α P(x) ≡ (x – α) Q(x) + R R∈ por ser grado(x – α) = 1

Se trata de hallar un polinomio Q(x) cociente de la división, y un resto R, que cumplan la igualdad anterior. Es de notar que si el grado de P(x) es n, el grado de Q(x) es una unidad menor (n – 1). Para facilitar la demostración, y sin perder generalidad, se hará con un polinomio de tercer grado. Dado: P(x) ≡ a3x3 + a2x2 + a1x + a0 y un cociente Q(x) ≡ b2x2 + b1x + b0 a determinar.

Resulta que si: P(x) ≡ (x – α) Q(x) + R a3x3 + a2x2 + a1x + a0 ≡ (x – α)(b2x2 + b1x + b0) + R Efectuando las operaciones indicadas, multiplicando al divisor por el cociente y sumando el resto, el resultado debe ser idéntico a P(x), o sea que los coeficientes de los términos de igual exponente en x son iguales.

b2x3 + b1x2 + b0x

– αb2x2 – αb1x – α b0 R a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = b2x3 + (b1

– αb2)x2 + (b0 – αb1)x + (R – αb0)

Lo que implica la igualdad de los coeficientes de los términos de igual exponente en x, de P(x) y del resultado de la multiplicación anterior. De ellos se despejan los coeficientes de Q(x), en función de los de P(x). a3 = b2 ? b2 = a3

a2 = b1 – α.b2 ? b1 = a2 + α.b2

a1 = b0 – α.b1 ? b0 = a1 + α.b1

a0 = R – α.b0 ? R = a0 + α.b0 Ello significa que el primer coeficiente del cociente Q(x) es igual al primero de P(x). El segundo coeficiente de Q(x) se obtiene multiplicando por α el primero de Q(x) y sumando el segundo de P(x). Y así sucesivamente. El resto R se obtiene multiplicando por α el último coeficiente de Q(x) y sumando el último coeficiente de P(x). Se puede utilizar para la división entre (x – α) desarrollada anteriormente, un esquema sumamente cómodo llamado de Ruffini.

a a a a3 2 1 0b b b2 1 0

b b b R2 1 0

↓α α α α

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Se suman.

Se multiplican.

NOTA Se debe recordar que si en el dividendo falta algún término, debe ponerse cero en el coeficiente correspondiente. Se pone el mismo.

El esquema de Ruffini es una forma de hacer la división de un polinomio entre un divisor de la

forma (x–α). Dividendo ≡ 2x3– 6x + 5 Divisor ≡ x – 3 Cociente ≡ 2x2 + 6x + 12 Resto ≡ 41

Coeficientes del dividendo.

Raíz del divisor.

Coeficientes del cociente.

Resto

EJEMPLO: Hallar cociente y resto de dividir P(x) ≡ 2x3 – 6x + 5 entre (x – 3) aplicando el esquema de Ruffini. Para trabajar con Ruffini se debe tener en cuenta el siguiente esquema.

coeficientes del DIVIDENDOraízdel

DIVISORcoeficientes del COCIENTE RESTO

Primer paso para aplicar el esquema de Ruffini.

2 0 - 6 5

32

Pasos siguientes para aplicar el esquema de Ruffini.

2 0 - 6 53 6 1 8 3 6

2 6 1 2 4 1

NOTA

Cuando dos polinomios son divisibles, el resto de la división entre ellos da cero.

Como el cociente de Ruffini es de un grado menor que el dividendo, es común decir que se usa Ruffini «para bajar de grado» al dividendo.

En este caso, el dividendo es idéntico al divisor por el cociente.

P(x) ≡ (x – α) Q(x)

16

EJEMPLO: Hallar cociente y resto de dividir P(x) ≡ 3x3– 8x2– 5x + 6 entre (3x – 2) aplicando el esquema de Ruffini.

3 8 5 62 2 4 63

3 6 9 0

− −

− −

− −

2cociente de Ruffini 3x 6x 9

a 3− −

≡

Cociente correcto ≡ x2– 2x – 3

NOTA

Para efectuar la división: x x

x

P( ) a b

R Q( )

+

utilizando el esquema de Ruffini, hay que tener en cuenta que: 1) el resto de Ruffini es el verdadero resto. 2) el cociente de Ruffini debe dividirse entre a para obtener el correcto.

6 – ALGUNAS IDEAS PARA HALLAR UN POLINOMIO

6.1. USANDO RUFFINI Cada vez que se parta del polinomio y se deban hallar algunas letras para determinarlo, es muy conveniente usar Ruffini. i) En forma de un Ruffini para cada dato. ii) Cuando es divisible, conviene aplicar el esquema de Ruffini en forma sucesiva.

Resto = 0

Razonamiento Con a $ 0

P(x) ≡ (ax + b)Q(x) + R

P(x) ≡ a ( )x ba

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

Q(x) + R

P(x) ≡ ( )x + ba

(aQ(x)) + R

Cociente de Ruffini: (aQ(x)) El cociente que se obtiene

al hacer Ruffini, está multiplicado por a.

17

Como resto = 0 4a + 2b + c + 8 = 0 4a + 2b + c = – 8

Como resto = 12 a – b + c – 1 = 12 a – b + c = 13

Como resto = 4 9a + 3b + c + 27 = 4 9a + 3b + c = – 23

Este problema se puede hacer aplicando el teorema del resto mediante el esquema de Ruffini o usando el valor numérico. En este caso, las operaciones necesarias para aplicar el esquema de Ruffini son más sencillas.

EJEMPLO: Dado P(x) = x3 + ax2 + bx + c Hallar a, b y c sabiendo que: → P(x) es divisible entre (x – 2) → que P(x) dividido (x – 3) da resto 4 → P(– 1) = 12 Para resolver el problema, o sea hallar el polinomio, lo que implica necesariamente hallar los valores de a, b, y c, se interpreta cada dato de la letra del problema. El esquema de Ruffini es una herramienta muy importante y conviene usarlo siempre que sea posible. Primer dato Si P(x) es divisible entre (x – 2), se efectúa la división aplicando el esquema de Ruffini y se iguala el resto a cero (teorema de Descartes).

1 a b c2 2 2a 4 4a 2b 8

1 a 2 2a b 4 4a 2b c 8+ + +

+ + + + + +

Segundo dato Si P(x) dividido (x – 3) da resto 4, se efectúa Ruffini y se iguala el resto a 4 (teorema del resto).

1 a b c3 3 3a 9 9a 3b 27

1 a 3 3a b 9 9a 3b c 27+ + +

+ + + + + +

Tercer dato Si P(– 1) = 12, se efectúa Ruffini y se iguala el resto a 12 (teorema del resto).

1 a b c

1 1 a 1 a b 11 a 1 a b 1 a b c 1

− − − + − −− − + + − + −

Se resuelve el sistema: 4a 2b c 89a 3b c 23a b c 13

+ + = −+ + = −− + =

Solución: a = – 2 b = – 5 c = 10

P(x) ≡ x3– 2x2– 5x + 10

18

Dado el polinomio P(x) = 2x3 + ax2 + (b + 1)x + 6

Considere el siguiente esquema de Ruffini

de dividir P(x) entre (x – α). 63 0

1) Halle a, b y α completando el esquema. 2) Determine el dividendo, el divisor, el cociente y el resto.

Véanse los resultados en la página 480.

EJEMPLO: Hallar m y n para que P(x) ≡ x3 + mx + n sea divisible

entre D(x) ≡ x2– 4x + 4

1 0 m n2 2 4 2m 8

1 2 m 42 2 8

1 4

++ 2m +n+ 8 = 0

m +12

2m n 8

m 12+ = −

= − Solución: m = – 12 n = 16 P(x) ≡ x3– 12x + 16

Se hallan las raíces del divisor aplicando la fórmula para la ecuación de segundo grado. En este caso hay raíz doble: α = 2 β = 2. Se aplica el esquema de Ruffini en forma sucesiva exigiendo que cada resto sea cero. Recuérdese que si al polinomio le falta un término, al hacer el esquema de Ruffini se pondrá un cero en el lugar del coeficiente que falta.

= 0

19

Dado: ≡ − − − −3 2m aP( ) 7 2 + 2 + 170m 2 m 5C Cx x x x

Calcular a y m sabiendo que P(x) dividido entre (x2– 4) da resto (2x + 2).

6.2. EFECTUANDO LA DIVISIÓN Cuando se parte del polinomio y éste no es divisible entre un divisor de segundo grado, o el divisor no tiene raíces, se debe hacer la división en forma tradicional. EJEMPLO: Dado P(x) ≡ 2x4– mx3 + 2x2– x + n se sabe que dividido entre

(x2 + 4) da resto (3x + 1). Hallar m y n.

El divisor (x2 + 4) no tiene raíces reales, por lo cual se debe hacer la división en forma tradicional. Esta se efectúa dividiendo el término de mayor exponente de P(x) entre el término de mayor exponente del divisor, y poniendo dicho resultado como el primer término del cociente. Luego se multiplica éste por cada uno de los términos del divisor y se lo resta (se pasa con signo contrario y se suma) al dividendo, para obtener un nuevo dividendo y repetir el procedimiento. La división continúa hasta que el resto sea de grado menor que el divisor o el número cero.

x x x x x

x x x x

4 3 2 22 m 2 n 4

4 2 22 8 2 m 6

− + − + +

− − − −

–mx3 – 6x2 – x + n

+mx3 + 4mx

– 6x2+(4m – 1)x + n

+ 6x2 + 24 El resto (de un grado menor que el x(4m 1) (24 n)

3 1− + +

= =

divisor), debe ser idéntico al dado.

4m – 1 = 3 → m = 1 24 + n = 1 → n = –23 P(x) ≡ 2x4– x3 + 2x2 – x – 23

20

6.3. PARTIENDO DE LA DIVISIÓN En muchos casos en que no se da el polinomio, es conveniente partir de alguna división que esté en la letra del problema y completarla con un cociente o resto indeterminado. El polinomio final se encuentra como el divisor por el cociente más el resto. EJEMPLO: Hallar un polinomio P(x) de tercer grado sabiendo que:

• Dividido entre (x2 – x – 2) da un cociente Q(x) y un resto 5x – 4 • P(0) = – 12 • Q(– 1) = – 7

x x xx x

2P( ) 25 4 a b

− −− +

Se expresa como: P(x) ≡ (x2– x – 2)(ax + b) + 5x – 4 Y antes de hacer cuentas se aplican los otros datos del problema: P(0) = (02– 0 – 2)(a(0) + b) + 5(0) – 4 = – 12 ? – 2b – 4 = –12 b = 4 En el cociente se aplica: Q(–1) = a(– 1) + 4 = – 7 a = 11 Se plantea el polinomio: P(x) ≡ (x2 – x – 2)(11x + 4) + 5x – 4 Se efectúan cuentas: P(x) ≡ 11x3 –11x2 – 22x + 4x2 – 4x – 8 + 5x – 4

P(x) ≡ 11x3 – 7x2 – 21x – 12

Se plantea la división poniendo como cociente un polinomio de primer grado Q(x) ≡ ax + b

Hallar dos polinomios f(x) y g(x) tales que: f(x) = (x – α)2(x + β) α > 0, β > 0

(x + 4).f(x) = g(x) – (x2– 9)

g(x) es divisible entre (x2– 9)

21

EJEMPLO: i) Un polinomio P(x) dividido entre (x + 2) da resto 5 y dividido entre (x – 3) da resto 10. Hallar el resto de dividir P(x) entre (x + 2)(x – 3) ii) Se sabe que el cociente de la división anterior es (2x2 + x) Hallar P(x) Primera parte Datos que da la letra del ejercicio

x x

xP( ) 25 Q'( )

+→ P( 2) = 5−

x x

xP( ) 310 Q"( )

−→ P(3) = 10

¿Qué pide el ejercicio? Un resto

x x x

x x

P( ) ( 2)( 3)

Q( )

+ −

+a b

P(x) ≡ (x + 2)(x – 3)Q(x) + ax + b Se aplican los valores numéricos y se obtienen dos ecuaciones con dos incógnitas, que se resuelven.

P( 2) ( 2 2)( 2 3)Q( 2) a( 2) b 50

0

− = − + − − − + − + =

==

2a b 53a b 10

− + =+ =

P(3) (3 2)(3 3)Q(3) a(3) b 100

0

= + − + + =

==

Segunda parte

x x x

x x x

P( ) ( 2)( 3)

27 2

+ −

+ +

P(x) ≡ (x + 2)(x – 3)(2x2 + x) + x + 7 P(x) ≡ 2x4– x3 – 13x2 – 5x + 7

Primero se aplica el teorema del resto acada uno de los datos. Se obtienen valoresnuméricos del polinomio P(x).

Solución: a = 1 b = 7 R(x) ≡ x + 7

Conociendo el cociente y el resto hallado en laprimera parte del ejercicio, el polinomio se calcula comoel divisor por el cociente más el resto.

Se plantea la división pedida, poniendo por cociente a Q(x) y un resto de primer grado, con coeficientes indeterminados. Se expresa la división como:

– 2a + b = 5

3a + b = 10

22

α es raíz de P(x) ⇔ P(α) = 0

6.4. SISTEMA DE ECUACIONES CON POLINOMIOS Puede suceder que se deban hallar dos polinomios resolviendo un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, en donde las incógnitas son los polinomios. EJEMPLO: Hallar los polinomios P(x) y Q(x) sabiendo que:

P(x) + Q(x) ≡ x4– x3– 29x2+ 60x – 30 P(x) – 2Q(x) ≡ – 2x4+ 23x3– 71x2+ 24x + 42 P(x) + Q(x) ≡ x4 – x3 – 29x2 + 60x – 30 – P(x) + 2Q(x) ≡ 2x4– 23x3+71x2 – 24x – 42 3Q(x) ≡ 3x4– 24x3 + 42x2 + 36x – 72 → Se divide todo entre 3

Q(x) ≡ x4– 8x3 + 14x2 + 12x – 24 2P(x) + 2Q(x) ≡ 2x4 – 2x3 – 58x2 + 120x – 60 P(x) – 2Q(x) ≡ –2x4 + 23x3– 71x2 + 24x + 42 3P(x) ≡ 21x3 – 129x2 +144x – 18 → Se divide todo entre 3

P(x) ≡ 7x3– 43x2 + 48x – 6

7 – RAÍCES DE UN POLINOMIO

7.1. DEFINICIÓN Se llama raíz de un polinomio a aquellos valores de la variable x para los cuales el valor numérico del polinomio vale cero.

EJEMPLO: Dado P(x) ≡ x3 – 5x2 – 3x +18 Investigar si x = 2 o x = – 3 son raíces de P(x). Basta sustituir la x en el polinomio por 2 y por – 3 Si da cero, es raíz; si no da cero, NO es raíz.

P(2) = (2)3 – 5(2)2 – 3(2) + 18 = 0 → Entonces x = 2 es raíz de P(x).

P(– 3) = (– 3)3 – 5(– 3)2 – 3(– 3) +18 = – 45 → Entonces x = – 3 NO es raíz de P(x).

Al sumar la primera, más la segunda multiplicada por – 1, se elimina P(x) y del resultado se despeja Q(x).

Al sumar la primera multiplicada por dos, más la segunda, se elimina Q(x) y del resultado se despeja P(x).

23

Por el teorema de Descartes se cumple que si P(α) = 0 el polinomio es divisible entre (x – α). Por lo cual, las siguientes afirmaciones significan lo mismo. P(α) = 0 P(x) es divisible entre (x – α) α es raíz de P(x) (x – α) / P(x)

RESOLVER P(x) = 0 SIGNIFICA HALLAR TODAS SUS RAÍCES

Antes de continuar, es conveniente contestar la pregunta 13, de la página 251.

7.2. ALGUNAS IDEAS PARA HALLAR RAÍCES

NOTA En la mayoría de los casos se tratará de deducir una o varias raíces leyendo atentamente la letra del problema.

Luego se aplicará el esquema de Ruffini tantas veces como sea necesario hasta llegar a un cociente de segundo grado, donde es posible investigar si tiene más raíces, aplicando la fórmula:

Primer caso Una de las raíces puede estar en la primera parte de la letra de los problemas. Si esta dice: ? α es raíz de P(x) ? P(x) es divisible entre (x – α) ? P(α) = 0 ? (x – α) / P(x) Estas cuatro afirmaciones significan lo mismo: que α es raíz de P(x).

Para ax2 + bx + c = 0

x − 2b ± b 4ac= 2a−

24

Segundo caso RAÍCES EVIDENTES Caso A El estudiante debe reconocer cuándo un polinomio tiene raíz 1. La suma de los coeficientes vale cero. EJEMPLO: Dado P(x) ≡ – x3 + 2x2 + 11x – 12 hallar las raíces de P(x). Al sumar los coeficientes del polinomio – 1 por el término en x3

+ 2 por el término en x2

+11 por el término en x – 12 por el término independiente. 0 ? Entonces el polinomio tiene raíz uno.

1 2 11 121 1 1 12

1 1 12 0

− −−

−

Raíces de P(x) = {– 3, 1, 4} Caso B El estudiante debe reconocer cuándo un polinomio tiene raíz 0. El polinomio no tiene término independiente. Se saca x de factor común. EJEMPLO: Dado P(x) ≡ x3 + 3x2 – 10x hallar las raíces de P(x). Se saca x de factor común y se aplica la propiedad hankeliana (si un producto de dos números reales vale cero, uno de los números tiene que ser cero).

x(x2 + 3x – 10) = 0 por: x = 0 ? raíz: ? α = 0

por: x2 + 3x – 10 = 0 raíces: ? β = 2 γ = – 5

Raíces de P(x) = {– 5, 0, 2}

Una raíz es: ? α = 1 Las otras dos raíces, si las tiene, surgen de resolver el cociente igual a cero:

– x2+ x + 12 = 0 raíces: ? β = – 3 γ = 4

25

Caso C También se considera raíz evidente a – 1. La suma de los coeficientes de los términos de exponente par y la suma de los coeficientes de los términos de exponente impar, dan el mismo resultado. EJEMPLO: Dado P(x) ≡ x3 + x2 + 4x + 4 hallar las raíces de P(x). + 1 por el término en x3 + 1 por el término en x2 + 4 por el término en x + 4 por el término independiente + 5 + 5

1 1 4 41 1 0 4

1 0 4 0− − −

Raíces de P(x) = { – 1} Tercer caso Aplicación de relación entre raíces y coeficientes. Se da al estudiante un dato para aplicar relaciones entre raíces y coeficiente.

Cuarto caso Raíces comunes a dos polinomios. Se da al estudiante un dato para aplicar raíces comunes a dos polinomios.

Quinto caso Raíces independientes del parámetro. Se le dice al estudiante que el polinomio tiene raíces independientes del parámetro.

Sexto caso Casos particulares de ecuaciones. El polinomio que debe resolver es: simétrico, hemisimétrico, bicúbico, bicuadrado etc.

Séptimo caso Aplicación del teorema de la raíz racional.

La raíz evidente es: α = – 1 Las otras dos, si las tiene, surgen de resolver el cociente igual a cero.

x2+ 4 = 0 raíces: ? no tiene

26

Cociente Q(x) ≡ 2x – 1

Resto R(x) ≡ 5x + 4

NOTA Los ejemplos mostrados son los casos más comunes, en este curso, para hallar raíces a un polinomio.

Aplican los diferentes temas a estudiar.

Por supuesto, no son los únicos.

Por ejemplo, en el próximo curso se aproximan raíces aplicando el teorema de Bolzano.

Véase el texto «Matemática de sexto» de este mismo autor.

También el ingenio, basado en el conocimiento, es muy importante para hallar todas las raíces de una expresión.

EJEMPLO: Dado P(x) ≡ 6x3 + x2 – 13x + 12 1) Hallar cociente Q(x) y resto R(x) de dividir P(x) entre (3x2 + 2x – 8). 2) Resolver P(x) – R(x) = 0.

1) Hacer la división:

x x x x x

x x x

3 2 26 13 12 3 2 8

3 26 4 16

+ − + + −

− − + x

x x

x x

2 1

23 3 12

23 2 8

−

− + +

+ + −

x5 4+ +

2) Para resolver P(x) – R(x) = 0, se debe tomar en cuenta que, en la división anterior, se cumple:

P(x) ≡ (3x2+ 2x – 8)(2x – 1) + R(x) De donde se puede despejar: P(x) – R(x) = (3x2+ 2x – 8)(2x – 1) Las raíces de (P(x) – R(x)) son:

las raíces de (3x2+ 2x – 8) =

{ }432,−

y la raíz de (2x – 1) = { }12

Raíces de P(x) – R(x) = { }1 4

2 32, ,−

27

NOTA ¿Tiene raíces el polinomio nulo? ¿Cuántas y por qué? El polinomio nulo tiene infinitas raíces, pues dado que todos sus coeficientes son cero, cualquier número por cero da cero.

Un polinomio de grado cero, ¿tiene raíces? No, puesto que ningún valor logra anularlo.

8 – TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

Un polinomio de grado efectivo n, que admite n raíces distintas (αi con i = 1 a n), se puede escribir como el

producto del coeficiente del término de mayor exponente, por n factores de la forma (x – αi) con: i = 1 a n n∈ *

Hipótesis: P(x) ≡ anxn + an – 1 xn–1 +... + a1 x + a0 an ≠ 0

tiene n raíces distintas: α1 , α2 , α3 ,... αn Tesis: P(x) = an(x – α1).(x – α2).(x – α3)... (x – αn) Si α1 es raíz de P(x), significa, por el teorema de Descartes, que P(x) es divisible

entre (x – α1). Ello se plantea como: ? P(x) ≡ (x – α1)Q’(x) (1)

Sean A(x) y B(x) dos polinomios de coeficientes «invertidos». A(x) ≡ anxn + an–1xn–1 +... + a1x + a0 an

≠ 0

B(x) ≡ a0xn + a1xn–1 +... + an–1x + an a0 ≠ 0

¿Cuál es la relación entre las raíces de A(x) y B(x)?

Demuéstrela.

Véase el resultado en la página 480.

Grado efectivo nsignifica an

$ 0

28

Si α2 es raíz de P(x), significa, por definición de raíz, que P(α2) = 0. Se sustituye

en el polinomio (1) toda x por α2 y se iguala a cero.

P(α2) = (α2 – α1).Q’(α2) = 0

En el producto (α2

– α1)Q’(α2) = 0, uno de los factores debe valer cero. Pero por ser

raíces diferentes, (α2 – α1) ≠ 0. Entonces Q’(α2) = 0, lo cual significa, por el teorema

de Descartes, que Q’(x) es divisible entre (x – α2). Q’(x) ≡ (x – α2).Q’’(x)

Al sustituir en (1), se obtiene una nueva expresión para P(x).

P(x) ≡ (x – α1) (x – α2).Q’’(x) (2) Si α3 es raíz de P(x), significa, por definición de raíz, que P(α3) = 0. Se sustituye

en el polinomio (2) toda x por α3 y se iguala a cero.

P(α3) = (α3 – α1)(α3 – α2)Q’’(α3) = 0

En el producto: (α3 – α1)(α3 – α2)Q’’(α3) = 0, uno de los factores debe valer cero.

Pero (α3 – α1) ≠ 0 (α3 – α2) ≠ 0 por ser raíces diferentes. Entonces Q’’(α3) = 0, lo cual

significa, por el teorema de Descartes, que Q’’(x) es divisible entre (x – α3).

Q’’(x) ≡ (x – α3).Q’’’(x)

Al sustituir en (2), se obtiene una nueva expresión para P(x).

P(x) ≡ (x – α1)(x – α2)(x – α3)Q’’’(x) (3) Y así sucesivamente, al repetir el mismo razonamiento hasta la penúltima raíz, se obtiene la expresión siguiente:

P(x) ≡ (x – α1)(x – α2)(x – α3)... (x – αn – 1)Qn – 1(x) (n – 1)

Para la última raíz se repite el razonamiento: si αn es raíz, entonces P(αn) = 0.

Al sustituir toda x por αn en el polinomio (n – 1), se llega a:

P(αn ) = (αn – α1)(αn – α2)(αn – α3)... (αn – αn – 1)Qn – 1(αn) = 0 Si el producto anterior vale cero, uno de los factores debe valer cero. Pero (αn – α1) ≠ 0, (αn – α2) ≠ 0, (αn – α3) ≠ 0,... (αn – αn – 1) ≠ 0, por ser raíces diferentes.

Entonces Qn – 1(αn) = 0, lo cual significa, por el teorema de Descartes, que Qn – 1(x) es

divisible entre (x – αn). De este último cociente debe tenerse en cuenta que:

Qn – 1(x) es un polinomio de primer grado, pues ya hay (n – 1) factores, de la forma (x – αi) (i∈ * i = 1 a n), en la descomposición de P(x).

El último cociente de las sucesivas divisiones de P(x) entre los (x – αi) es an . Esto

se puede ver mediante el siguiente esquema de Ruffini.

29

a .......................... an 0

1a ........................... 0n

2a ................................n

α

α

a ..................................n

na último cocienten

α Entonces Qn – 1(x) ≡ (x – αn)an

Al sustituir en el polinomio (n – 1), se obtiene:

P(x) ≡ an(x – α1)( x – α2)( x – α3)... (x – αn) o sea, la tesis.

NOTA La condición de raíces distintas es necesaria para la demostración del teorema; sin embargo, el teorema también es válido para raíces iguales.

NOTA

El teorema de descomposición factorial es de suma importancia, no solo para la demostración de otros teoremas, sino por su significado.

Los factores de la forma (x – α) son los divisores primos del polinomio.

El estudiante debe comprender que la descomposición factorial de un polinomio no es más que otra manera de expresar al polinomio, pues si se efectúan las cuentas, se obtiene la forma reducida de este. Aunque: según la definición dada en 1.3, no se debería llamar polinomio a la descomposición factorial.

30

f(– 3) = 0 f(5) = 0

f(4) = 21

f(0) = – 30

f(2) = 0

Raíces de la función, (los valores de x, que

hacen cero a la función).

= { – 3, 2, 5}

EJEMPLO: Escribir la descomposición factorial de: P(x) ≡ – 2x2 + 16x – 14 Se hallan las raíces aplicando la fórmula para una ecuación de segundo grado.

x2 116 16 4( 2)( 14)

72( 2)

α =− ± − − −=

β =− P(x) ≡ – 2(x – 1)(x – 7)

El estudiante debe hacer las cuentas y comprobar que se obtiene de nuevo el polinomio, en su forma reducida. EJEMPLO: Hallar un polinomio sabiendo que tiene raíces: α = – 2, β = 1, γ = 4 y que P(0) = – 16 Se plantea la descomposición factorial de un polinomio de tercer grado de raíces α = –2, β = 1, γ = 4 P(x) ≡ a(x + 2)(x – 1)(x – 4) Luego se aplica que P(0) = – 16 P(0) = a(0 + 2)(0 – 1)(0 – 4) = – 16 8a = – 16 a = –2 P(x) ≡ – 2(x + 2)(x – 1)(x – 4) Se hacen las cuentas P(x) ≡ – 2x3

+ 6x2 + 12x – 16

9 – GRÁFICAS DE FUNCIONES POLINÓMICAS Cuando se está trabajando con gráficas de funciones polinómicas, se acostumbra a hablar del valor funcional, que se obtiene, generalmente, interpretando el gráfico dado.

31

NOTA Las raíces de una función polinómica (los ceros) son las abscisas de los puntos de corte de la representación gráfica de la función con el eje x.

Recuérdese que, en este curso, se está buscando la función polinómica de menor grado posible.

Por lo tanto, si la representación gráfica de la función corta al eje x, la raíz está una sola vez. Si toca al eje x sin cortarlo, la raíz se debe considerar doble.

Por cada raíz α doble, corresponde un factor (x – α)2 en la descomposición factorial de f(x).

EJEMPLO:

Determinar la expresión f(x) de una función polinómica de tercer grado, cuya representación gráfica es la dada.

Al observar la representación gráfica y sabiendo que f es de tercer grado, se puede determinar que las raíces de f son: x = – 3 (dos veces) y x = 1 (una vez). Al aplicar el teorema de descomposición factorial se obtiene que:

f(x) ≡ a(x + 3)2 (x – 1) Al aplicar el otro dato, que se deduce también de la representación gráfica dada, de que f(0) = 36, se puede despejar a. f(0) = a(0 + 3)2 (0 – 1) = 36 – 9a = 36 a = – 4 Se sustituye y se hacen cuentas para hallar f(x). f(x) ≡ – 4(x + 3)2 (x – 1) f(x) ≡ – 4x3– 20x2– 12x + 36

f(x)

x 0

32