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Contenido Objetivos

Factorizacion de Polinomios

Carlos A. Rivera-Morales

Algebra

Rivera-Morales, Carlos A. Factorizacion

Contenido Objetivos

Tabla de Contenido

Objetivos


Contenido Objetivos

Objetivos:

Discutiremos:

varias tecnicas para factorizar polinomios


Contenido Objetivos

Polinomios

Factorizacion de Polinomios:

Definicion: Factorizar un polinomio significa expresar elpolinomio en forma de multiplicacion.

El objetivo esdescomponer el polinomio dado en un producto de polinomiosirreducibles o primos. Un polinomio es irreducible o primo sino se puede expresar o descomponer como un producto de otrospolinomios de menor grado que el.


Contenido Objetivos

Polinomios


Definicion: Factorizar un polinomio significa expresar elpolinomio en forma de multiplicacion. El objetivo esdescomponer el polinomio dado en un producto de polinomiosirreducibles o primos.

Un polinomio es irreducible o primo sino se puede expresar o descomponer como un producto de otrospolinomios de menor grado que el.


Contenido Objetivos

Polinomios


Definicion: Factorizar un polinomio significa expresar elpolinomio en forma de multiplicacion. El objetivo esdescomponer el polinomio dado en un producto de polinomiosirreducibles o primos. Un polinomio es irreducible o primo sino se puede expresar o descomponer como un producto de otrospolinomios de menor grado que el.


Contenido Objetivos

Polinomios

Ejemplo 1:

3x2 108=3 x2 3 36= 3(x2 36) Tecnica: factor (monomio) comun= 3(x 6)(x + 6) Tecnica: diferencia de dos cuadrados

Ejemplo 2:4x3 32x2 + 64x= 4x x2 4x 8x + 4x 16= 4x(x2 8x + 16) Tecnica: factor (monomio) comun= 4x(x 4)(x 4) Tecnica: trinomio cuadratico= 4x(x 4)2 Razon: definicion de exponentes

Observacion: (x2 8x + 16) = (x 4)2 Tecnica: trinomiocuadrado perfecto


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Polinomios

Ejemplo 1:3x2 108

=3 x2 3 36= 3(x2 36) Tecnica: factor (monomio) comun= 3(x 6)(x + 6) Tecnica: diferencia de dos cuadrados




Contenido Objetivos

Polinomios

Ejemplo 1:3x2 108=3 x2 3 36

= 3(x2 36) Tecnica: factor (monomio) comun= 3(x 6)(x + 6) Tecnica: diferencia de dos cuadrados




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Polinomios

Ejemplo 1:3x2 108=3 x2 3 36= 3(x2 36)

Tecnica: factor (monomio) comun= 3(x 6)(x + 6) Tecnica: diferencia de dos cuadrados




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Polinomios

Ejemplo 1:3x2 108=3 x2 3 36= 3(x2 36) Tecnica: factor (monomio) comun

= 3(x 6)(x + 6) Tecnica: diferencia de dos cuadrados




Contenido Objetivos

Polinomios

Ejemplo 1:3x2 108=3 x2 3 36= 3(x2 36) Tecnica: factor (monomio) comun= 3(x 6)(x + 6)

Tecnica: diferencia de dos cuadrados




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Polinomios

Ejemplo 1:3x2 108=3 x2 3 36= 3(x2 36) Tecnica: factor (monomio) comun= 3(x 6)(x + 6) Tecnica: diferencia de dos cuadrados




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Polinomios


Ejemplo 2:

4x3 32x2 + 64x= 4x x2 4x 8x + 4x 16= 4x(x2 8x + 16) Tecnica: factor (monomio) comun= 4x(x 4)(x 4) Tecnica: trinomio cuadratico= 4x(x 4)2 Razon: definicion de exponentes



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Polinomios


Ejemplo 2:4x3 32x2 + 64x

= 4x x2 4x 8x + 4x 16= 4x(x2 8x + 16) Tecnica: factor (monomio) comun= 4x(x 4)(x 4) Tecnica: trinomio cuadratico= 4x(x 4)2 Razon: definicion de exponentes



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Polinomios


Ejemplo 2:4x3 32x2 + 64x= 4x x2 4x 8x + 4x 16

= 4x(x2 8x + 16) Tecnica: factor (monomio) comun= 4x(x 4)(x 4) Tecnica: trinomio cuadratico= 4x(x 4)2 Razon: definicion de exponentes



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Polinomios


Ejemplo 2:4x3 32x2 + 64x= 4x x2 4x 8x + 4x 16= 4x(x2 8x + 16)

Tecnica: factor (monomio) comun= 4x(x 4)(x 4) Tecnica: trinomio cuadratico= 4x(x 4)2 Razon: definicion de exponentes



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Polinomios


Ejemplo 2:4x3 32x2 + 64x= 4x x2 4x 8x + 4x 16= 4x(x2 8x + 16) Tecnica: factor (monomio) comun

= 4x(x 4)(x 4) Tecnica: trinomio cuadratico= 4x(x 4)2 Razon: definicion de exponentes



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Polinomios


Ejemplo 2:4x3 32x2 + 64x= 4x x2 4x 8x + 4x 16= 4x(x2 8x + 16) Tecnica: factor (monomio) comun= 4x(x 4)(x 4)

Tecnica: trinomio cuadratico= 4x(x 4)2 Razon: definicion de exponentes



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Polinomios


Ejemplo 2:4x3 32x2 + 64x= 4x x2 4x 8x + 4x 16= 4x(x2 8x + 16) Tecnica: factor (monomio) comun= 4x(x 4)(x 4) Tecnica: trinomio cuadratico

= 4x(x 4)2 Razon: definicion de exponentes



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Polinomios


Ejemplo 2:4x3 32x2 + 64x= 4x x2 4x 8x + 4x 16= 4x(x2 8x + 16) Tecnica: factor (monomio) comun= 4x(x 4)(x 4) Tecnica: trinomio cuadratico= 4x(x 4)2

Razon: definicion de exponentes



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Polinomios





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Polinomios



Observacion: (x2 8x + 16) = (x 4)2

Tecnica: trinomiocuadrado perfecto


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Polinomios





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Polinomios

Ejemplo 3:

6x3 + 27x2 15x= 3x 2x2 + 3x 9x 3x 5= 3x(2x2 + 9x 5) Tecnica: factor (monomio) comun= 3x(2x 1)(x + 5) Tecnica: trinomio cuadratico

Ejemplo 4:x3 3x2 4x + 12= (x3 3x2) (4x 12) Tecnica: agrupacion de terminos= x2(x 3) 4(x 3) Tecnica: factor (monomio) comun= (x 3)(x2 4) Tecnica: factor (binomio) comun= (x 3)(x + 2)(x 2) Tecnica: diferencia de dos cuadrados


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Polinomios

Ejemplo 3:6x3 + 27x2 15x

= 3x 2x2 + 3x 9x 3x 5= 3x(2x2 + 9x 5) Tecnica: factor (monomio) comun= 3x(2x 1)(x + 5) Tecnica: trinomio cuadratico



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Polinomios

Ejemplo 3:6x3 + 27x2 15x= 3x 2x2 + 3x 9x 3x 5

= 3x(2x2 + 9x 5) Tecnica: factor (monomio) comun= 3x(2x 1)(x + 5) Tecnica: trinomio cuadratico



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Polinomios

Ejemplo 3:6x3 + 27x2 15x= 3x 2x2 + 3x 9x 3x 5= 3x(2x2 + 9x 5)

Tecnica: factor (monomio) comun= 3x(2x 1)(x + 5) Tecnica: trinomio cuadratico



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Polinomios

Ejemplo 3:6x3 + 27x2 15x= 3x 2x2 + 3x 9x 3x 5= 3x(2x2 + 9x 5) Tecnica: factor (monomio) comun

= 3x(2x 1)(x + 5) Tecnica: trinomio cuadratico



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Polinomios

Ejemplo 3:6x3 + 27x2 15x= 3x 2x2 + 3x 9x 3x 5= 3x(2x2 + 9x 5) Tecnica: factor (monomio) comun= 3x(2x 1)(x + 5)

Tecnica: trinomio cuadratico



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Polinomios

Ejemplo 3:6x3 + 27x2 15x= 3x 2x2 + 3x 9x 3x 5= 3x(2x2 + 9x 5) Tecnica: factor (monomio) comun= 3x(2x 1)(x + 5) Tecnica: trinomio cuadratico



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Polinomios


Ejemplo 4:

x3 3x2 4x + 12= (x3 3x2) (4x 12) Tecnica: agrupacion de terminos= x2(x 3) 4(x 3) Tecnica: factor (monomio) comun= (x 3)(x2 4) Tecnica: factor (binomio) comun= (x 3)(x + 2)(x 2) Tecnica: diferencia de dos cuadrados


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Polinomios


Ejemplo 4:x3 3x2 4x + 12

= (x3 3x2) (4x 12) Tecnica: agrupacion de terminos= x2(x 3) 4(x 3) Tecnica: factor (monomio) comun= (x 3)(x2 4) Tecnica: factor (binomio) comun= (x 3)(x + 2)(x 2) Tecnica: diferencia de dos cuadrados


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Polinomios


Ejemplo 4:x3 3x2 4x + 12= (x3 3x2) (4x 12)

Tecnica: agrupacion de terminos= x2(x 3) 4(x 3) Tecnica: factor (monomio) comun= (x 3)(x2 4) Tecnica: factor (binomio) comun= (x 3)(x + 2)(x 2) Tecnica: diferencia de dos cuadrados


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Polinomios


Ejemplo 4:x3 3x2 4x + 12= (x3 3x2) (4x 12) Tecnica: agrupacion de terminos

= x2(x 3) 4(x 3) Tecnica: factor (monomio) comun= (x 3)(x2 4) Tecnica: factor (binomio) comun= (x 3)(x + 2)(x 2) Tecnica: diferencia de dos cuadrados


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Polinomios


Ejemplo 4:x3 3x2 4x + 12= (x3 3x2) (4x 12) Tecnica: agrupacion de terminos= x2(x 3) 4(x 3)

Tecnica: factor (monomio) comun= (x 3)(x2 4) Tecnica: factor (binomio) comun= (x 3)(x + 2)(x 2) Tecnica: diferencia de dos cuadrados


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Polinomios


Ejemplo 4:x3 3x2 4x + 12= (x3 3x2) (4x 12) Tecnica: agrupacion de terminos= x2(x 3) 4(x 3) Tecnica: factor (monomio) comun

= (x 3)(x2 4) Tecnica: factor (binomio) comun= (x 3)(x + 2)(x 2) Tecnica: diferencia de dos cuadrados


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Polinomios


Ejemplo 4:x3 3x2 4x + 12= (x3 3x2) (4x 12) Tecnica: agrupacion de terminos= x2(x 3) 4(x 3) Tecnica: factor (monomio) comun= (x 3)(x2 4)

Tecnica: factor (binomio) comun= (x 3)(x + 2)(x 2) Tecnica: diferencia de dos cuadrados


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Polinomios


Ejemplo 4:x3 3x2 4x + 12= (x3 3x2) (4x 12) Tecnica: agrupacion de terminos= x2(x 3) 4(x 3) Tecnica: factor (monomio) comun= (x 3)(x2 4) Tecnica: factor (binomio) comun

= (x 3)(x + 2)(x 2) Tecnica: diferencia de dos cuadrados


Contenido Objetivos

Polinomios


Ejemplo 4:x3 3x2 4x + 12= (x3 3x2) (4x 12) Tecnica: agrupacion de terminos= x2(x 3) 4(x 3) Tecnica: factor (monomio) comun= (x 3)(x2 4) Tecnica: factor (binomio) comun= (x 3)(x + 2)(x 2)

Tecnica: diferencia de dos cuadrados


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Polinomios




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Polinomios

Tecnica: Maximo Comun Divisor (MCD):

Definicion: El maximo comun divisor (MCD) de dos o maspolinomios es el polinomio de mayor grado que divide a cadauno de los polinomios dados.


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Polinomios

Maximo Comun Divisor de Dos o Mas Terminos

Procedimiento para determinar el maximo comun divisor ofactor de dos o mas terminos:

1 Calcule el MCD de los coeficientes numericos de cadatermino.

2 Considere las letras comunes de cada uno de los terminos.

3 De cada letra comun, escoja la potencia menor que ocurrede ella en los diferentes terminos.

4 Determine el producto del MCD de los coeficientesnumericos de los terminos y las potencias de las letrascomunes del paso anterior.


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Polinomios

Ejemplo 1: Determinar el MCD de a2x2 y 3a3bx.

a2x2 = a2x2

3a3bx = 3a3bx

MCD = a2x

Ejemplo 2: Determinar el MCD de 36a2b4 , 48ab3c y 60a4b3m.

36a2b4 = 22 32 a2b448ab3c = 24 3 a2b3c60a4b3m = 22 3 5 a4b3m

MCD = 22 3 a2b2 = 12a2b2


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Polinomios


a2x2 = a2x2

3a3bx = 3a3bx

MCD = a2x


36a2b4 = 22 32 a2b4

48ab3c = 24 3 a2b3c60a4b3m = 22 3 5 a4b3m

MCD = 22 3 a2b2 = 12a2b2


Contenido Objetivos

Polinomios


a2x2 = a2x2

3a3bx = 3a3bx

MCD = a2x


36a2b4 = 22 32 a2b448ab3c = 24 3 a2b3c

60a4b3m = 22 3 5 a4b3m

MCD = 22 3 a2b2 = 12a2b2


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Polinomios


a2x2 = a2x2

3a3bx = 3a3bx

MCD = a2x


36a2b4 = 22 32 a2b448ab3c = 24 3 a2b3c60a4b3m = 22 3 5 a4b3m

MCD = 22 3 a2b2 = 12a2b2


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Polinomios

Ejercicios: Determine el maximo comun divisor de:


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Polinomios

Maximo Comun Divisor de Dos o Mas Polinomios

Procedimiento para determinar el maximo comun divisor ofactor de dos o mas polinomios:

1 Se expresa cada polinomio dado como un producto de susfactores irreducibles.

2 El MCD es el producto de los factores irreduciblescomunes elevados al exponente menor que ocurra de cadauno de ellos en las diferentes factorizaciones.


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Polinomios

Ejemplo 1: Determinar el MCD de 4a2 + 4ab y 2a4 2a2b2.

4a2 + 4ab = 4a(a + b) = 22a(a + b)2a4 2a2b2 = 2a2(a2 b2) = 2a2(a + b)(a b)

MCD = 2a(a + b)

Ejemplo 2: Determinar el MCD de x2 4 , x2 x 6 yx2 + 4x + 4.

x2 4 = (x + 2)(x 2)x2 x 6 = (x 3)(x + 2)x2 + 4x + 4 = (x + 2)2

MCD = x + 2


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Polinomios


4a2 + 4ab = 4a(a + b) = 22a(a + b)

2a4 2a2b2 = 2a2(a2 b2) = 2a2(a + b)(a b)

MCD = 2a(a + b)


x2 4 = (x + 2)(x 2)x2 x 6 = (x 3)(x + 2)x2 + 4x + 4 = (x + 2)2

MCD = x + 2


Contenido Objetivos

Polinomios



MCD = 2a(a + b)


x2 4 = (x + 2)(x 2)x2 x 6 = (x 3)(x + 2)x2 + 4x + 4 = (x + 2)2

MCD = x + 2


Contenido Objetivos

Polinomios



MCD = 2a(a + b)


x2 4 = (x + 2)(x 2)

x2 x 6 = (x 3)(x + 2)x2 + 4x + 4 = (x + 2)2

MCD = x + 2


Contenido Objetivos

Polinomios



MCD = 2a(a + b)


x2 4 = (x + 2)(x 2)x2 x 6 = (x 3)(x + 2)

x2 + 4x + 4 = (x + 2)2

MCD = x + 2


Contenido Objetivos

Polinomios



MCD = 2a(a + b)


x2 4 = (x + 2)(x 2)x2 x 6 = (x 3)(x + 2)x2 + 4x + 4 = (x + 2)2

MCD = x + 2


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Tecnica: Maximo Comun Divisor

Procedimiento para factorizar un polinomio mediante la tecnicadel maximo comun divisor o factor:

1 Determine el MCD de los terminos del polinomio

2 Exprese cada termino como el producto del MCD y susotros factores.

3 Utilice la propiedad distributiva para factorizar el MCD.


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Polinomios

Ejercicios: Determine el maximo comun divisor de:


Contenido Objetivos

Polinomios

Ejercicios: Factorice usando la tecnica del maximo (monomio)comun divisor.


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Polinomios

Ejercicios: Factorice sacando un numero negativo como factorcomun.

Ejercicios: Escriba el factor que falta.


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Polinomios

Ejercicios: Factorice sacando un factor binomio comun.


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Tecnica: Agrupacion de Terminos

Procedimiento para factorizar un polinomio mendiante latecnica de agrupacion de terminos:

Determine, si existe, el MCD, diferente de 1, de losterminos del polinomio.

De ser necesario, reacomode y agrupe los terminos delpolinomio de modo que tengan un factor comun.

Utilice la propiedad distributiva para factorizar cada grupode terminos; se espera que cada grupo de terminos tenga elmismo factor comun que posibilite continuar con lafactorizacion.


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Tecnica: Agrupacion de Terminos

Utilice la propiedad distributiva nuevamente para expresarel polinomio original como el producto del MCD de losdiferentes grupos de terminos por el otro factor formadopor la combinacion de sumas y restas los otros factores delos grupos de terminos formados en el paso 2.


Contenido Objetivos

Polinomios

Ejemplo 1:

xy + 5y + 2x + 10= (xy + 5y) + (2x + 10) Tecnica: agrupacion de terminos= y(x + 5) + 2(x + 5) Tecnica: factor (monomio) comun= (x + 5)(y + 2) Tecnica: factor (binomio) comun

Ejemplo 2:7t3 + 5t2 35t 25= (7t3 + 5t2) (35t + 25) Agrupando terminos= t2(7t + 5) 5(7t + 5) Tecnica: factor (monomio) comun= (7t + 5)(t2 5) Tecnica: factor (binomio) comun


Contenido Objetivos

Polinomios

Ejemplo 1:xy + 5y + 2x + 10

= (xy + 5y) + (2x + 10) Tecnica: agrupacion de terminos= y(x + 5) + 2(x + 5) Tecnica: factor (monomio) comun= (x + 5)(y + 2) Tecnica: factor (binomio) comun



Contenido Objetivos

Polinomios

Ejemplo 1:xy + 5y + 2x + 10= (xy + 5y) + (2x + 10)

Tecnica: agrupacion de terminos= y(x + 5) + 2(x + 5) Tecnica: factor (monomio) comun= (x + 5)(y + 2) Tecnica: factor (binomio) comun



Contenido Objetivos

Polinomios

Ejemplo 1:xy + 5y + 2x + 10= (xy + 5y) + (2x + 10) Tecnica: agrupacion de terminos

= y(x + 5) + 2(x + 5) Tecnica: factor (monomio) comun= (x + 5)(y + 2) Tecnica: factor (binomio) comun



Contenido Objetivos

Polinomios

Ejemplo 1:xy + 5y + 2x + 10= (xy + 5y) + (2x + 10) Tecnica: agrupacion de terminos= y(x + 5) + 2(x + 5)

Tecnica: factor (monomio) comun= (x + 5)(y + 2) Tecnica: factor (binomio) comun



Contenido Objetivos

Polinomios

Ejemplo 1:xy + 5y + 2x + 10= (xy + 5y) + (2x + 10) Tecnica: agrupacion de terminos= y(x + 5) + 2(x + 5) Tecnica: factor (monomio) comun

= (x + 5)(y + 2) Tecnica: factor (binomio) comun



Contenido Objetivos

Polinomios

Ejemplo 1:xy + 5y + 2x + 10= (xy + 5y) + (2x + 10) Tecnica: agrupacion de terminos= y(x + 5) + 2(x + 5) Tecnica: factor (monomio) comun= (x + 5)(y + 2)

Tecnica: factor (binomio) comun



Contenido Objetivos

Polinomios

Ejemplo 1:xy + 5y + 2x + 10= (xy + 5y) + (2x + 10) Tecnica: agrupacion de terminos= y(x + 5) + 2(x + 5) Tecnica: factor (monomio) comun= (x + 5)(y + 2) Tecnica: factor (binomio) comun



Contenido Objetivos

Polinomios


Ejemplo 2:

7t3 + 5t2 35t 25= (7t3 + 5t2) (35t + 25) Agrupando terminos= t2(7t + 5) 5(7t + 5) Tecnica: factor (monomio) comun= (7t + 5)(t2 5) Tecnica: factor (binomio) comun


Contenido Objetivos

Polinomios


Ejemplo 2:7t3 + 5t2 35t 25

= (7t3 + 5t2) (35t + 25) Agrupando terminos= t2(7t + 5) 5(7t + 5) Tecnica: factor (monomio) comun= (7t + 5)(t2 5) Tecnica: factor (binomio) comun


Contenido Objetivos

Polinomios


Ejemplo 2:7t3 + 5t2 35t 25= (7t3 + 5t2) (35t + 25)

Agrupando terminos= t2(7t + 5) 5(7t + 5) Tecnica: factor (monomio) comun= (7t + 5)(t2 5) Tecnica: factor (binomio) comun


Contenido Objetivos

Polinomios


Ejemplo 2:7t3 + 5t2 35t 25= (7t3 + 5t2) (35t + 25) Agrupando terminos

= t2(7t + 5) 5(7t + 5) Tecnica: factor (monomio) comun= (7t + 5)(t2 5) Tecnica: factor (binomio) comun


Contenido Objetivos

Polinomios


Ejemplo 2:7t3 + 5t2 35t 25= (7t3 + 5t2) (35t + 25) Agrupando terminos= t2(7t + 5) 5(7t + 5)

Tecnica: factor (monomio) comun= (7t + 5)(t2 5) Tecnica: factor (binomio) comun


Contenido Objetivos

Polinomios


Ejemplo 2:7t3 + 5t2 35t 25= (7t3 + 5t2) (35t + 25) Agrupando terminos= t2(7t + 5) 5(7t + 5) Tecnica: factor (monomio) comun

= (7t + 5)(t2 5) Tecnica: factor (binomio) comun


Contenido Objetivos

Polinomios


Ejemplo 2:7t3 + 5t2 35t 25= (7t3 + 5t2) (35t + 25) Agrupando terminos= t2(7t + 5) 5(7t + 5) Tecnica: factor (monomio) comun= (7t + 5)(t2 5)

Tecnica: factor (binomio) comun


Contenido Objetivos

Polinomios




Contenido Objetivos

Polinomios

Ejercicios: Factorice sacando un numero negativo como factorcomun.

Ejercicios: Escriba el factor que falta.


Contenido Objetivos

Polinomios

Ejercicios: Factorice usando la tecnica agrupacion de terminos.


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Tecnica: Diferencia de Dos Cuadrados

Para factorizar un polinomio mediante la tecnica diferencia dedos cuadrados usamos el producto especial o notable

(a + b)(a b) = a2 b2

de derecha a izquierda. Esto es,

a2 b2 = (a + b)(a b)


Contenido Objetivos




(a + b)(a b) = a2 b2

de derecha a izquierda.

Esto es,

a2 b2 = (a + b)(a b)


Contenido Objetivos




(a + b)(a b) = a2 b2

de derecha a izquierda. Esto es,

a2 b2 = (a + b)(a b)


Contenido Objetivos

Polinomios

Ejemplo 1:

x2 64= x2 82 Escribiendo como diferencia de dos cuadrados= (x + 8)(x 8) Forma factorizada

Ejemplo 2:4y2 49= (2y)2 72 Escribiendo como diferencia de dos cuadrados= (2y + 7)(2y 7) Forma factorizada


Contenido Objetivos

Polinomios

Ejemplo 1:x2 64

= x2 82 Escribiendo como diferencia de dos cuadrados= (x + 8)(x 8) Forma factorizada



Contenido Objetivos

Polinomios

Ejemplo 1:x2 64= x2 82

Escribiendo como diferencia de dos cuadrados= (x + 8)(x 8) Forma factorizada



Contenido Objetivos

Polinomios

Ejemplo 1:x2 64= x2 82 Escribiendo como diferencia de dos cuadrados

= (x + 8)(x 8) Forma factorizada



Contenido Objetivos

Polinomios

Ejemplo 1:x2 64= x2 82 Escribiendo como diferencia de dos cuadrados= (x + 8)(x 8)

Forma factorizada



Contenido Objetivos

Polinomios

Ejemplo 1:x2 64= x2 82 Escribiendo como diferencia de dos cuadrados= (x + 8)(x 8) Forma factorizada



Contenido Objetivos

Polinomios


Ejemplo 2:

4y2 49= (2y)2 72 Escribiendo como diferencia de dos cuadrados= (2y + 7)(2y 7) Forma factorizada


Contenido Objetivos

Polinomios


Ejemplo 2:4y2 49

= (2y)2 72 Escribiendo como diferencia de dos cuadrados= (2y + 7)(2y 7) Forma factorizada


Contenido Objetivos

Polinomios


Ejemplo 2:4y2 49= (2y)2 72

Escribiendo como diferencia de dos cuadrados= (2y + 7)(2y 7) Forma factorizada


Contenido Objetivos

Polinomios


Ejemplo 2:4y2 49= (2y)2 72 Escribiendo como diferencia de dos cuadrados

= (2y + 7)(2y 7) Forma factorizada


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Polinomios


Ejemplo 2:4y2 49= (2y)2 72 Escribiendo como diferencia de dos cuadrados= (2y + 7)(2y 7)

Forma factorizada


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Polinomios

Ejemplo 3:

(x 5)2 16= (x 5)2 42 Escribiendo como diferencia de dos cuadrados= [(x 5) + 4][(x 5) 4] Forma factorizada= (x 1)(x 9) Forma simplificada

Ejemplo 3:125x2 80= 5(25x2 16) Tecnica: Factor Monomio Comun= 5[(5x)2 (4)2] Escribiendo como diferencia de dos cuadrados= 5(5x 4)(5x + 4) Forma factorizada


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Polinomios

Ejemplo 3:(x 5)2 16

= (x 5)2 42 Escribiendo como diferencia de dos cuadrados= [(x 5) + 4][(x 5) 4] Forma factorizada= (x 1)(x 9) Forma simplificada



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Ejemplo 3:(x 5)2 16= (x 5)2 42

Escribiendo como diferencia de dos cuadrados= [(x 5) + 4][(x 5) 4] Forma factorizada= (x 1)(x 9) Forma simplificada



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Polinomios

Ejemplo 3:(x 5)2 16= (x 5)2 42 Escribiendo como diferencia de dos cuadrados

= [(x 5) + 4][(x 5) 4] Forma factorizada= (x 1)(x 9) Forma simplificada



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Polinomios

Ejemplo 3:(x 5)2 16= (x 5)2 42 Escribiendo como diferencia de dos cuadrados= [(x 5) + 4][(x 5) 4]

Forma factorizada= (x 1)(x 9) Forma simplificada



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Ejemplo 3:(x 5)2 16= (x 5)2 42 Escribiendo como diferencia de dos cuadrados= [(x 5) + 4][(x 5) 4] Forma factorizada

= (x 1)(x 9) Forma simplificada



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Ejemplo 3:(x 5)2 16= (x 5)2 42 Escribiendo como diferencia de dos cuadrados= [(x 5) + 4][(x 5) 4] Forma factorizada= (x 1)(x 9)

Forma simplificada



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Ejemplo 3:(x 5)2 16= (x 5)2 42 Escribiendo como diferencia de dos cuadrados= [(x 5) + 4][(x 5) 4] Forma factorizada= (x 1)(x 9) Forma simplificada



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Ejemplo 3:

125x2 80= 5(25x2 16) Tecnica: Factor Monomio Comun= 5[(5x)2 (4)2] Escribiendo como diferencia de dos cuadrados= 5(5x 4)(5x + 4) Forma factorizada


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Ejemplo 3:125x2 80

= 5(25x2 16) Tecnica: Factor Monomio Comun= 5[(5x)2 (4)2] Escribiendo como diferencia de dos cuadrados= 5(5x 4)(5x + 4) Forma factorizada


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Ejemplo 3:125x2 80= 5(25x2 16)

Tecnica: Factor Monomio Comun= 5[(5x)2 (4)2] Escribiendo como diferencia de dos cuadrados= 5(5x 4)(5x + 4) Forma factorizada


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Ejemplo 3:125x2 80= 5(25x2 16) Tecnica: Factor Monomio Comun

= 5[(5x)2 (4)2] Escribiendo como diferencia de dos cuadrados= 5(5x 4)(5x + 4) Forma factorizada


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Ejemplo 3:125x2 80= 5(25x2 16) Tecnica: Factor Monomio Comun= 5[(5x)2 (4)2]

Escribiendo como diferencia de dos cuadrados= 5(5x 4)(5x + 4) Forma factorizada


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Ejemplo 3:125x2 80= 5(25x2 16) Tecnica: Factor Monomio Comun= 5[(5x)2 (4)2] Escribiendo como diferencia de dos cuadrados

= 5(5x 4)(5x + 4) Forma factorizada


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Ejemplo 3:125x2 80= 5(25x2 16) Tecnica: Factor Monomio Comun= 5[(5x)2 (4)2] Escribiendo como diferencia de dos cuadrados= 5(5x 4)(5x + 4)

Forma factorizada


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Tecnicas: Suma de dos Cubos; Diferencia de dos Cubos

Para factorizar una suma o una diferencia de dos cubos usamoslas siguientes formulas:

Sean a y b numeros, variables o expresiones algebraicas.Entonces,

a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2): Suma de dos Cubos

a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2): Diferencia de dos Cubos


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Ejemplo 1:

x3 + 64= x3 + 43 Escribiendo como suma de dos cubos= (x + 4)(x2 4x + 16) Forma factorizada

Ejemplo 2:27y3 125= (3y)3 53 Escribiendo como diferencia de dos cubos= (3y 5)[(3y)2 + (3y)(5) + 52] Forma factorizada= (3y 5)(9y2 + 15y + 25) Simplificando


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Ejemplo 1:x3 + 64

= x3 + 43 Escribiendo como suma de dos cubos= (x + 4)(x2 4x + 16) Forma factorizada



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Ejemplo 1:x3 + 64= x3 + 43

Escribiendo como suma de dos cubos= (x + 4)(x2 4x + 16) Forma factorizada



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Ejemplo 1:x3 + 64= x3 + 43 Escribiendo como suma de dos cubos

= (x + 4)(x2 4x + 16) Forma factorizada



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Ejemplo 1:x3 + 64= x3 + 43 Escribiendo como suma de dos cubos= (x + 4)(x2 4x + 16)

Forma factorizada



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Ejemplo 1:x3 + 64= x3 + 43 Escribiendo como suma de dos cubos= (x + 4)(x2 4x + 16) Forma factorizada



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Ejemplo 2:

27y3 125= (3y)3 53 Escribiendo como diferencia de dos cubos= (3y 5)[(3y)2 + (3y)(5) + 52] Forma factorizada= (3y 5)(9y2 + 15y + 25) Simplificando


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Polinomios


Ejemplo 2:27y3 125

= (3y)3 53 Escribiendo como diferencia de dos cubos= (3y 5)[(3y)2 + (3y)(5) + 52] Forma factorizada= (3y 5)(9y2 + 15y + 25) Simplificando


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Ejemplo 2:27y3 125= (3y)3 53

Escribiendo como diferencia de dos cubos= (3y 5)[(3y)2 + (3y)(5) + 52] Forma factorizada= (3y 5)(9y2 + 15y + 25) Simplificando


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Polinomios


Ejemplo 2:27y3 125= (3y)3 53 Escribiendo como diferencia de dos cubos

= (3y 5)[(3y)2 + (3y)(5) + 52] Forma factorizada= (3y 5)(9y2 + 15y + 25) Simplificando


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Ejemplo 2:27y3 125= (3y)3 53 Escribiendo como diferencia de dos cubos= (3y 5)[(3y)2 + (3y)(5) + 52]

Forma factorizada= (3y 5)(9y2 + 15y + 25) Simplificando


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Ejemplo 2:27y3 125= (3y)3 53 Escribiendo como diferencia de dos cubos= (3y 5)[(3y)2 + (3y)(5) + 52] Forma factorizada

= (3y 5)(9y2 + 15y + 25) Simplificando


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Ejemplo 2:27y3 125= (3y)3 53 Escribiendo como diferencia de dos cubos= (3y 5)[(3y)2 + (3y)(5) + 52] Forma factorizada= (3y 5)(9y2 + 15y + 25)

Simplificando


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Tecnicas: Trinomios Cuadraticos de la forma x2 + bx + c

Para factorizar un trinomio cuadratico de la forma x2 + bx + csiga los siguientes pasos:

1 Determine dos numeros m y n cuyo producto sea igual a laconstante c y cuya suma sea igual a la constante b. Esto es,

mn = c y m + n = b.

2 Utilice los dos numeros determinados en el paso 1,incluyendo sus signos, para escribir la factorizacion deltrinomio. Dicha factorizacion es de la forma

(x + m)(x + n)


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Justificacion: Considere la factorizacion

x2 + bx + c = (x + m)(x + n)

Multiplicando, obtenemos que:(x + m)(x + n)= x2 + mx + nx + mn= x2 + (m + n)x + mn

Comparando el resultado x2 + (m + n)x + mn con la formax2 + bx + c, tenemos que m + n = b y mn = c


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x2 + bx + c = (x + m)(x + n)

Multiplicando, obtenemos que:

(x + m)(x + n)= x2 + mx + nx + mn= x2 + (m + n)x + mn



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Polinomios


x2 + bx + c = (x + m)(x + n)

Multiplicando, obtenemos que:(x + m)(x + n)

= x2 + mx + nx + mn= x2 + (m + n)x + mn



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x2 + bx + c = (x + m)(x + n)

Multiplicando, obtenemos que:(x + m)(x + n)= x2 + mx + nx + mn

= x2 + (m + n)x + mn



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x2 + bx + c = (x + m)(x + n)

Multiplicando, obtenemos que:(x + m)(x + n)= x2 + mx + nx + mn= x2 + (m + n)x + mn



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Ejemplo 1: Factorice x2 10x + 24

Comparando x2 10x + 24 con la forma x2 + bx + c, tenemosque, en este caso, b = 10 y c = 24.

Por lo tanto, una posibilidad es que m = 6 y n = 4 (oviceversa), pues (6)(4) = 24 = c y 6 +4 = 10 = b. Porlo tanto, una factorizacion posible es:

x2 10x + 24 = (x 6)(x 4)


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Por lo tanto, una posibilidad es que m = 6 y n = 4 (oviceversa), pues (6)(4) = 24 = c y 6 +4 = 10 = b.

Porlo tanto, una factorizacion posible es:

x2 10x + 24 = (x 6)(x 4)


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Por lo tanto, una posibilidad es que m = 6 y n = 4 (oviceversa), pues (6)(4) = 24 = c y 6 +4 = 10 = b. Porlo tanto, una factorizacion posible es:

x2 10x + 24 = (x 6)(x 4)


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Ejemplo 2: Factorice x2 2x 8

Comparando x2 2x 8 con la forma x2 + bx + c, tenemos que,en este caso, b = 2 y c = 8.

Por lo tanto, una posibilidad es que m = 4 y n = 2 (oviceversa), pues (4)(2) = 8 = c y 4 + 2 = 2 = b. Por lotanto, una factorizacion posible es:

x2 2x 8 = (x 4)(x + 2)


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Polinomios



Por lo tanto, una posibilidad es que m = 4 y n = 2 (oviceversa), pues (4)(2) = 8 = c y 4 + 2 = 2 = b.

Por lotanto, una factorizacion posible es:

x2 2x 8 = (x 4)(x + 2)


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Polinomios



Por lo tanto, una posibilidad es que m = 4 y n = 2 (oviceversa), pues (4)(2) = 8 = c y 4 + 2 = 2 = b. Por lotanto, una factorizacion posible es:

x2 2x 8 = (x 4)(x + 2)


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Ejemplo 3: Factorice x2 + x + 1


Hay que determinar dos numeros cuya suma sea 1 y cuyoproducto sea 1 tambien.No existen dos numeros enteros quecumplan ambas condiciones.Por lo tanto el polinomio x2 + x + 1es irreducible.


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Polinomios



Hay que determinar dos numeros cuya suma sea 1 y cuyoproducto sea 1 tambien.

No existen dos numeros enteros quecumplan ambas condiciones.Por lo tanto el polinomio x2 + x + 1es irreducible.


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Polinomios



Hay que determinar dos numeros cuya suma sea 1 y cuyoproducto sea 1 tambien.No existen dos numeros enteros quecumplan ambas condiciones.

Por lo tanto el polinomio x2 + x + 1es irreducible.


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Polinomios



Hay que determinar dos numeros cuya suma sea 1 y cuyoproducto sea 1 tambien.No existen dos numeros enteros quecumplan ambas condiciones.Por lo tanto el polinomio x2 + x + 1es irreducible.


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Polinomios

Ejercicios: Indique el factor que falta.

Ejercicios: Factorice cada trinomio.


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Tecnica: Trinomios Cuadraticos de la forma ax2 + bx + c, a 6= 1,por tanteo o ensayo y error

Para factorizar un trinomio cuadratico de la forma ax2 + bx + c,con a 6= 1, por tanteo siga los siguientes pasos:

1 Determine, si existe, algun factor comun diferente de 1 delos tres terminos. En tal caso, factorcelo.

2 Escriba todas las parejas de factores del coeficiente a deltermino cuadratico.

3 Escriba todas las parejas de factores del termino constantec.

4 Prueba varias combinaciones de estos factores hastadeterminar el termino del medio correcto, bx.


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Ejemplo: Factorice 6x2 + 5x 4

Tres posibles intentos son:

Intento 1: (x + 4)(6x 1) = 6x2 + 23x 4Intento 2: (2x + 1)(3x 4) = 6x2 5x 4Intento 3: (2x 1)(3x + 4) = 6x2 + 5x 4 Factorizacioncorrecta


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Intento 1: (x + 4)(6x 1)

= 6x2 + 23x 4Intento 2: (2x + 1)(3x 4) = 6x2 5x 4Intento 3: (2x 1)(3x + 4) = 6x2 + 5x 4 Factorizacioncorrecta


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Intento 1: (x + 4)(6x 1) = 6x2 + 23x 4

Intento 2: (2x + 1)(3x 4) = 6x2 5x 4Intento 3: (2x 1)(3x + 4) = 6x2 + 5x 4 Factorizacioncorrecta


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Intento 1: (x + 4)(6x 1) = 6x2 + 23x 4Intento 2: (2x + 1)(3x 4)

= 6x2 5x 4Intento 3: (2x 1)(3x + 4) = 6x2 + 5x 4 Factorizacioncorrecta


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Intento 1: (x + 4)(6x 1) = 6x2 + 23x 4Intento 2: (2x + 1)(3x 4) = 6x2 5x 4

Intento 3: (2x 1)(3x + 4) = 6x2 + 5x 4 Factorizacioncorrecta


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Intento 1: (x + 4)(6x 1) = 6x2 + 23x 4Intento 2: (2x + 1)(3x 4) = 6x2 5x 4Intento 3: (2x 1)(3x + 4)

= 6x2 + 5x 4 Factorizacioncorrecta


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Intento 1: (x + 4)(6x 1) = 6x2 + 23x 4Intento 2: (2x + 1)(3x 4) = 6x2 5x 4Intento 3: (2x 1)(3x + 4) = 6x2 + 5x 4 Factorizacioncorrecta


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Ejercicios: Determine el factor restante.

Ejercicios: Factorice completamente, de ser posible.


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Tecnica: Trinomios Cuadraticos de la forma ax2 + bx + c, a 6= 1,por agrupacion de terminos

Para factorizar un trinomio cuadratico de la forma ax2 + bx + c,con a 6= 1, por agrupacion de terminos siga los siguientes pasos:

1 Determine, si existe, algun factor comun diferente de 1 delos tres terminos. En tal caso, factorcelo.

2 Determinar dos numeros cuyo producto sea igual alproducto de a por c y cuya suma sea igual a b.

3 Reescriba el termino del medio, bx, como la suma o restade dos terminos

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